向量的主要应用
向量在代数中的应用
高中新教材引入了平面向量的内容并作为独立的章节来学习后，就成为今年高考的一个新内容，且平面向量在代数、解析几何、空间几何中应用都很广泛，因此可用向量作为载体来考查这些方面的知识，又因为向量在计算长度、角度，判断平行、垂直等方面都非常方便直观，因此向量又可作为一种解题的思想和方法。
在此举例说明如下：一、向量在初等代数中的应用在初等代数中，往往要进行繁杂的计算，但是如果应用向量的有关知识和运算方法，就能化繁为简、化难为易，起到事半功倍的效果1、利用向量的数量积解决有关不等式问题.例1 证明柯西不等式2212122222121)()()(y y x x y x y x +≥+⋅+证明：令),(),,(2211y x b y x a == （1）当0 =a 或0 =b 时，02121=+=⋅y y x x b a ，结论显然成立；（2）当0 ≠a 且0 ≠b 时，令θ为b a ,的夹角，则],0[πθ∈θcos ||||2121b a y y x x b a =+=⋅. 又 1|cos |≤θ||||||b a b a ≤⋅∴（当且仅当b a //时等号成立） 222221212121||y x y x y y x x +⋅+≤+∴∴2212122222121)()()(y y x x y x y x +≥+⋅+.（当且仅当2211y x y x =时等号成立） 2、利用向量解决有关函数极值的问题.例2.设a 、b 、c ∈R +,求函数y=2222)(b x c a x +-++的最小值。
解：构造向量=(x, a), =(c-x,b),所以m +n =(c,a+b)+，+=22)(b a c ++,所以y=2222)(b x c a x +-+++=22)(b a c ++, 即y min =22)(b a c ++。
例3 求x x x x y 22cos 3cos sin 2sin ++=的最值解：原函数可变为x x y 2cos 2sin 2++=，所以只须求x x y 2cos 2sin +='的最值即可，构造{}{}1,1,2cos ,2sin ==b x x a ，那么22cos 2sin =≤=+x x . 故22,22m in m ax -=+=y y向量作为一种数学工具，如能使用向量的有关知识和运算方法，可以避免繁杂的运算，降低计算量，不仅新颖，而且简单明了。
向量在物理中的应用举例 课件
知识点归纳
向量在物理中的应用 (1)物理中的力、速度、位移都是向量，它们的分解与合成 与向量的加法与减法相类似，可以用向量来解决． (2)物理中的功是一个标量，它是力f与位移s的数量积，即 W＝f·s＝|f|·|s|cos θ.
用向量方法解决力学问题
如图，在重300 N的物体 上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的 两侧，与铅垂线的夹角为30°和60°， 求重物平衡时，两根绳子拉力的大小．
【思路分析】力的合成与分解，可用向量的平行四边形法 则解决．
【规范解答】如右图，作平行四边形 OACB， 使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.在△OAC 中，∠ ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°，|O→A|＝|O→C |cos 30°＝ 150 3 (N) ， | A→C | ＝ | O→C |sin 30°＝ 150(N)，|O→B|＝|A→C|＝150 N.
力所做的功
已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，F 的大小为50 N，F拉着80 N的木块在摩擦系数为μ＝0.02的水平 面上运动了20 m，问F和摩擦力f所做的功分别是多少？
【思路分析】利用向量数量积的物理意义求解．
【规范解答】设木块的位移为 s，则 F·s＝|F||s|·cos 30°＝
【规范解答】设船速为 v1，水速为 v2， 船的实际速度为 v3.建立如图所示坐标系， 则|v1|＝5 m/s，|v3|＝250 m/s＝4 m/s.
由 v3＝v1＋v2，得 v2＝v3－v1＝(0,4)－(－3,4)＝(3,0)， ∴|v2|＝3，即 v2＝3 m/s.
用向量解决相关的物理问题，要将相关的 物理量用几何图形正确地表示出来；根据物理意义，将物理问 题转化为数学问题求解．最后将数学结论还原为物理问题．
向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用
平面几何中的向量是一种抽象的概念，它可以用来描述空间中的点、线、面等几何图形的位置、方向和大小。
因此，向量在平面几何中有着广泛的应用。
首先，向量可以用来描述平面上的点。
例如，若给定两个点
A(x1,y1)和B(x2,y2)，则它们之间的距离可以用向量表示，即AB=<x2-x1,y2-y1>。
其次，向量可以用来描述平面上的线段。
例如，若给定两个点
A(x1,y1)和B(x2,y2)，则它们之间的线段可以用向量表示，即AB=<x2-x1,y2-y1>。
此外，向量还可以用来描述平面上的多边形。
例如，若给定一个多边形ABCD，则它的面积可以用向量表示，即
S=1/2|AB×AC|，其中AB和AC分别表示多边形ABCD的两
条边。
最后，向量还可以用来描述平面上的角度。
例如，若给定两个向量a=<x1,y1>和b=<x2,y2>，则它们之间的夹角可以用向量
表示，即θ=arccos(a·b/|a||b|)，其中a·b表示向量a和b的点积，|a|和|b|分别表示向量a和b的模。
综上所述，向量在平面几何中有着广泛的应用，它可以用来描
述空间中的点、线、面等几何图形的位置、方向和大小，从而为平面几何的研究提供了有力的工具。
高中数学公式大全向量的运算与应用
高中数学公式大全向量的运算与应用高中数学公式大全：向量的运算与应用一、定义与基本概念在数学中，向量是具有大小和方向的物理量。
向量通常用有向线段来表示，有长度和方向。
二、向量的表示方法1. 坐标表示法：向量可以用坐标表示，通常用尖括号表示。
例如：向量a = <a1, a2, a3>2. 基本单位向量表示法：使用基本单位向量i、j、k以及系数表示。
例如：向量a = a1i + a2j + a3k三、向量的运算1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律。
a +b = b + a(a + b) + c = a + (b + c)2. 向量的减法：向量的减法可以转化为加法。
a -b = a + (-b)3. 向量的数量积（点积）：向量a和b的数量积表示为a·b = |a| |b| cosθ，其中θ为a和b之间的夹角。
a·b = a1b1 + a2b2 + a3b34. 向量的向量积（叉积）：向量a和b的向量积表示为a×b，满足交换律和分配律。
a×b = |a| |b| sinθ n，其中θ为a和b之间的夹角，n为一个垂直于a 和b的单位向量。
四、向量的应用1. 向量的单位化：将向量转化为单位向量，即长度为1。
单位化的向量往往用于表示方向。
单位向量u = a / |a|，其中a为非零向量。
2. 向量的投影：向量a在向量b上的投影表示为a在b方向上的投影长度，可以计算为：a在b方向上的投影= |a|cosθ，其中θ为a与b之间的夹角。
3. 向量的共线与垂直判定：a与b共线的条件是a×b = 0。
a与b垂直的条件是a·b = 0。
4. 平面向量的共线与垂直判定：a与b共线的条件是a×b = 0。
a与b垂直的条件是a·b = 0。
5. 平面向量的夹角计算：两个向量a和b之间的夹角θ可以计算为：cosθ = (a·b) / (|a| |b|)6. 向量的线性相关与线性无关：如果存在一组不全为零的系数k1、k2、...、kn，使得k1a1 + k2a2 + ... + knan = 0，则向量组a1、a2、...、an线性相关；如果这样的系数不存在，向量组a1、a2、...、an线性无关。
向量知识在平面解析几何中的应用
向量知识在平面解析几何中的应用
平面解析几何是一门涉及抽象概念和实际绘图技巧的重要数学
学科。
它的研究主要集中在理解几何学形状的属性，以及它们之间的关系。
近年来，向量知识已被视为平面解析几何的重要资源，它通过一系列的实践来增强学生关于几何形状的理解和推理能力。
向量知识的应用主要用于研究几何形状的边、角和一些基本的概念。
首先，向量知识可以用来刻画平面上的几何形状，如多边形、圆和椭圆等。
向量代表了一条线段或者一个特定的方向，使得学生可以使用它们来描述和比较不同的形状，同时能够清楚地看到它们之间的相互关系。
其次，向量知识也可以用来定义和操作几何形状的角。
它可以用来测量两个向量之间的夹角，这是识别几何图形的一项重要技能。
此外，向量还可以用来找出平行线、垂直线、平分线等。
最后，向量知识也可以用来计算平面图形的面积和周长。
这类计算有助于学生更好地理解几何形状的特征，使其能更加熟练地掌握解析几何的概念和工具。
总而言之，向量知识在平面解析几何中有着重要的作用。
它能够帮助学生更好地理解几何形状，有助于掌握解析几何的概念和工具。
向量知识的应用涵盖了描述形状、测量角度和计算面积等重要内容，为学生学习解析几何提供了强大的支持。
因此，要想更好地掌握解析几何，学生应加强向量知识的学习，以便更好地理解和掌握解析几何中的概念和工具。
向量在解析几何中的应用
第一章引言1。
1 研究背景向量（或矢量）,最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量.大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到。
“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿。
向量在解析几何整个知识体系中占有非常重要的地位,向量是数学中的一个重要概念.它可以使图形量化,使图形间关系代数化。
向量是研究图形问题的有力工具.向量是一个具有几何和代数双重身份的概念,同时向量代数所依附的线性代数是高等数学中一个完整的体系，具有良好的分析方法和完整结构,通过向量的运用对传统问题的分析，可以帮助学生更好地建立代数与几何的联系,也为中学数学向高等数学过渡奠定了一个直观的基础．这方面的案例包括平面几何、立体几何和解析几何．1。
2 本课题的研究内容本课题主要是对向量法在有关平面问题中的应用的进一步探讨.具体从以下几个方面进行探讨：1、向量在建立平面方程中的应用。
2、向量在讨论平面与平面、平面与直线的位置关系中的应用.3、向量在推导点到平面的距离公式中的应用.4、向量在推导两平面的夹角公式中的应用。
5、向量在平面其它方面的应用。
第二章 向量法在有关平面问题中的应用2.1 向量的基础知识1。
向量分解定理定理1 如果向量10e ≠，那么向量r 与向量1e 共线的充分条件是r 可以用向量1e 线性表示，或者说r 是1e 的线性组合，即1r xe =,并且系数x 被r ,1e 唯一确定.定理2 如果向量1e ,2e 不共线,那么向量r 与向量1e ，2e 共面的充要条件是r 可以用向量1e ，2e 线性表示，或者说r 可以分解成1e ,2e 的线性组合,即12r xe ye =+，并且系数, x ，y 被r ,1e ，2e 唯一确定.这时1e ,2e 叫做平面上向量的基底。
6.4.1 平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用
【解】∵DG⊥BE，AE⊥BE，∴DG//AE
几何问题代数化.一般地，存在坐标系或者便于建立坐标系的题型适合用坐
标法.
力、速度和加速度一样，都是具有方向的量，
在物理计算时一般引入向量加法的平行四边形法则
来帮助运算.
2
向量在物理中的应用举例
功、动量问题的向量处理方法
物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的
实质是力F与位移s的数量积，即 = · = || (θ是F与s的夹角).功是一
题②
已知向量 = 125°, 125° , = 75°, 75° , = 3 + 4,52
≠ 0 . 若//, 则与的夹角是多少？
【解】根据题意，不妨设 = = 125°, 125° < 0 ,
则 =
·
||
第6章 平面向量及其应用
6.4.1 平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用
1
平面几何中的向量方法
向量在平面几何中的应用
平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的
平行、垂直、长度、夹角问题.
已知向量 = 1, 1 , = (2, 2)，为向量, 的夹角，
=
125°75°+125°75°
−
因为，0 < < 180°，所以 = 70°
= −200° = 70°
题③ ——利用向量解决解决平面几何中的平行(共线)问题
如图，已知AD，BE，CF是ΔABC的三条高，且交于
点O，DG⊥BE于点G，DH⊥CF于点H，求证：HG//EF.
大小又有方向的量，力所做的功就是向量数量积的物理背景.因此，利用向量可以
数学-向量在物理中的应用举例
向量在物理中的应用举例高中数学 会用向量方法解决简单的力学问题及其他实际问题，体会向量在解决物理和实际问题中的作用．导语 向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答更简捷、更清晰．一、向量与力2例1 如图，用两根分别长5m和10 m的绳子，将100 N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后，G点距屋顶距离恰好为5 m，求A处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．解 如图，由已知条件可知AG与铅垂方向成45°角，BG与铅垂方向成60°角．设A处所受力为F a，B处所受力为F b，物体的重力为G.因为∠EGC＝60°，∠EGD＝45°，则有|F a|cos 45°＋|F b|cos 60°＝|G|＝100，①且|F a|sin 45°＝|F b|sin 60°，②26由①②得|F a|＝150－50，26所以A处所受力的大小为(150－50)N.反思感悟 用向量解决物理问题的一般步骤(1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题．(2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型．(3)参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值．(4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．跟踪训练1 用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为________ N.答案 10解析 设重力为G ，每根绳的拉力分别为F 1，F 2，则由题意得F 1，F 2与－G 都成60°角，且|F 1|＝|F 2|，F 1＋F 2＋G ＝0．∴|F 1|＝|F 2|＝|G |＝10 N ，∴每根绳子的拉力都为10 N.二、向量与速度、加速度、位移例2 (教材P41例4改编)一条宽为 km 的河，水流速度为2 km/h ，在河两岸有两个码头3A ，B ，已知AB ＝ km ，船在水中的最大航速为4 km/h ，问该船怎样安排航行速度可使它3从A 码头最快到达彼岸B 码头？用时多少？解 如图所示，设为水流速度，为航行速度，以AC 和AD 为邻边作▱ACED ，且当AE 与AB 重合时能AC → AD → 最快到达彼岸，根据题意知AC ⊥AE ，在Rt △ADE 和▱ACED 中，||＝||＝2，||＝4，∠AED ＝90°，∴||＝＝2，又AB ＝，∴用时DE → AC → AD → AE → |AD →|2－|DE → |2330.5 h ，易知sin ∠EAD ＝， ∴∠EAD ＝30°.12∴该船航行速度大小为4 km/h ，与水流方向成120°角时能最快到达B 码头，用时0.5 h.反思感悟 速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算．用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也借助于坐标来运算．跟踪训练2 某人从点O 向正东走30 m 到达点A ，再向正北走30 m 到达点B ，则此人的3位移的大小是______ m ，方向是北偏东________．答案 60 30°解析 如图所示，此人的位移是＝＋，且⊥，OB → OA → AB → OA → AB →则||＝＝60(m)，OB → |OA →|2＋|AB → |2tan ∠BOA ＝＝，|AB →||OA → |3所以∠BOA ＝60°.所以的方向为北偏东30°.OB → 三、向量与功例3 已知力F (斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N ，一个质量为8 kg 的木块受力F 的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m ．问力F 和摩擦力f 所做的功分别为多少？(g ＝10 m/s 2)解 如图所示，设木块的位移为s ，则W F ＝F·s ＝|F||s|cos 30°＝50×20×＝500(J)．323将力F 分解，它在铅垂方向上的分力F 1的大小为|F 1|＝|F|sin 30°＝50×＝25(N)，12所以摩擦力f 的大小为|f |＝|μ(G －F 1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，因此W f ＝f·s ＝|f||s|cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．即F 和f 所做的功分别为500 J 和－22 J.3反思感悟 力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W ＝F·s ＝|F||s|cos θ(θ为F 和s 的夹角)．跟踪训练3 一物体在力F 1＝(3，－4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)的共同作用下从点A (1,1)移动到点B (0,5)．则在这个过程中三个力的合力所做的功为________．答案 －40解析 ∵F 1＝(3，－4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，∴合力F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(8，－8)．又∵＝(－1,4)，AB → ∴F ·＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40，AB → 即三个力的合力做的功等于－40.1．知识清单：(1)利用向量的加、减、数乘运算解决力、位移、速度、加速度的合成与分解．(2)利用向量的数量积解决力所做的功的问题．2．方法归纳：转化法．3．常见误区：不能将物理问题转化为向量问题．1．人骑自行车的速度是v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度大小为( )A ．v 1－v 2B ．v 1＋v 2C ．|v 1|－|v 2|D.|v 1v 2|答案 C 解析 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v 1＋v 2.人的速度和风速方向相反，故选C.2．一物体受到相互垂直的两个力F 1，F 2的作用，两力大小都为5 N ，则两个力的合力的3大小为( )A ．5 NB ．5 N 2C ．5 ND ．5 N36答案 D解析 两个力的合力的大小为|F 1＋F 2|＝＝5(N)．F 21＋F 2＋2F 1·F 263．已知力F 的大小|F |＝10，在F 的作用下产生的位移s 的大小为|s |＝14，F 与s 的夹角为60°，则F 做的功为( )A ．7B ．10C ．14D ．70答案 D 解析 F 做的功为F·s ＝|F ||s |cos 60°＝10×14×＝70.124．当两人提起重量为|G |的旅行包时，两人用力方向的夹角为θ，用力大小都为|F |，若|F |＝|G |，则θ的值为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°答案 D解析 作＝F 1，＝F 2，＝－G (图略)，OA → OB → OC → 则＝＋，OC → OA → OB → 当|F 1|＝|F 2|＝|G |时，△OAC 为正三角形，所以∠AOC ＝60°，从而∠AOB ＝120°.课时对点练1．如果一架飞机向东飞行200 km ，再向南飞行300 km ，记飞机飞行的路程为s ，位移为a ，那么( )A ．s >|a |B ．s <|a |C ．s ＝|a |D ．s 与|a |不能比较大小答案 A解析 在△ABC 中，两边之和大于第三边，即s ＝||＋||>||＝|a |，故选A.AB → BC → AC → 2．共点力F 1＝(lg 2，lg 2)，F 2＝(lg 5，lg 2)作用在物体M 上，产生位移s ＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W 为( )A ．lg 2B ．lg 5C ．1D ．2答案 D解析 因为F 1＋F 2＝(1,2lg 2)，所以W ＝(F 1＋F 2)·s＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1)＝2lg 5＋2lg 2＝2.3．已知三个力F 1＝(－2，－1)，F 2＝(－3,2)，F 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F 4，则F 4等于( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1,2)D ．(1,2)答案 D解析 为使物体平衡，则合力为0，即F 4＝(0－(－2)－(－3)－4,0－(－1)－2－(－3))＝(1,2)．4．河水的流速为2 m/s ，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )A ．10 m/sB ．2 m/s 26C ．4 m/sD ．12 m/s 6答案 B解析 由题意知|v 水|＝2m/s ，|v 船|＝10 m/s ，作出示意图如图．∴|v |＝＝＝2(m/s)．102＋22104265．一个物体受到同一平面内三个力F 1，F 2，F 3的作用，沿北偏东45°方向移动了8 m ，已知|F 1|＝2 N ，方向为北偏东30°，|F 2|＝4 N ，方向为北偏东60°，|F 3|＝6 N ，方向为北偏西30°，则这三个力的合力所做的功为( )A ．24 JB ．24 J 2C ．24 JD ．24 J 36答案 D解析 如图，建立直角坐标系，则F 1＝(1，)，F 2＝(2，2)，F 3＝(－3,3)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(2－2,2＋4)．33333又位移s ＝(4，4)，所以合力F 所做的功W ＝F ·s ＝(2－2)×4＋(2＋4)×4＝24223232 J.66．(多选)关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是( )A ．船垂直到达对岸所用时间最少B ．当船速v 的方向与河岸垂直时用时最少C ．沿任意直线运动到达对岸的时间都一样D ．船垂直到达对岸时航行的距离最短答案 BD解析 根据向量将船速v 分解，当v 垂直河岸时，用时最少．船垂直到达对岸时航行的距离最短．7．一个物体在大小为10 N 的力F 的作用下产生的位移s 的大小为50 m ，且力F 所做的功W ＝250 J ，则F 与s 的夹角等于________．2答案 π4解析 设F 与s 的夹角为θ，由W ＝F·s ，得250＝10×50×cosθ，∴cos θ＝.又222θ∈[0，π]，∴θ＝.π48．一条河宽为8 000 m ，一船从A 处出发垂直航行到达河正对岸的B 处，船速为20 km/h ，水速为12 km/h ，则船到达B 处所需时间为________ h.答案 0.5解析 如图，v 实际＝v 船＋v 水＝v 1＋v 2，|v 1|＝20，|v 2|＝12，∴|v 实际|＝|v 1|2－|v 2|2＝＝16(km/h)．202－122∴所需时间t ＝＝0.5(h)．816∴该船到达B 处所需的时间为0.5 h.9．已知两恒力F 1＝(3,4)，F 2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A (20,15)移动到点B (7,0)．(1)求F 1，F 2分别对质点所做的功；(2)求F 1，F 2的合力F 对质点所做的功．解 (1)＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，AB → W 1＝F 1·＝(3,4)·(－13，－15)AB → ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，W 2＝F 2·＝(6，－5)·(－13，－15)AB → ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．∴力F 1，F 2对质点所做的功分别为－99 J 和－3 J.(2)W ＝F ·＝(F 1＋F 2)·AB → AB →＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(J)．∴合力F 对质点所做的功为－102 J.10．在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h 的速度向东流，渡船在静水中的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？解 如图所示，设表示水流的速度，表示渡船在静水中的速度，表示渡船实际垂直AB → AD → AC →过江的速度．因为＋＝，AB →AD →AC →所以四边形ABCD 为平行四边形．在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，||＝||＝12.5，DC →AB →||＝25，所以∠CAD ＝30°，AD →即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.11．两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们的夹角为90°时，合力的大小为20 N ，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为( )A ．40 NB ．10 N2C ．20 N D. N210答案 B解析 对于两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们的夹角为90°，合力的大小为20 N 时，可知这两个力的大小都是10 N ；当它们的夹角为120°时，可知力的合成构成一个等边三2角形，因此合力的大小为10 N.212．长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸．假设游船在静水中的航行速度v 1的大小为|v 1|＝10 km/h ，水流的速度v 2的大小为|v 2|＝4 km/h.设v 1和v 2的夹角为θ(0°<θ<180°)，北岸的点A ′在A 的正北方向，则游船正好到达A ′处时，cos θ等于( )A. B ．－ C. D ．－2152152525答案 D解析 设船的实际速度为v ，v 1与南岸上游的夹角为α，如图所示．要使得游船正好到达A ′处，则|v 1|cos α＝|v 2|，即cos α＝＝，|v 2||v 1|25又θ＝π－α，所以cos θ＝cos(π－α)＝－cos α＝－.2513．一个物体受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3的作用处于平衡状态，已知F 1，F 2成60°角，且|F 1|＝3 N ，|F 2|＝4 N ，则F 1与F 3夹角的余弦值是________．答案 －53737解析 因为物体处于平衡状态，所以F 1＋F 2＋F 3＝0．因此F 3＝－(F 1＋F 2)，于是|F 3|＝(F 1＋F 2)2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2F 1·F 2＝＝，32＋42＋2×3×4·cos 60°37设F 1与F 3的夹角是θ.又F 2＝－(F 1＋F 3)，所以|F 2|＝(F 1＋F 3)2＝|F 1|2＋|F 3|2＋2F 1·F 3＝＝4，32＋37＋2×3×37·cos θ解得cos θ＝－.5373714.如图所示，在倾斜角为37°(sin 37°＝0.6)，高为2 m 的斜面上，质量为5 kg 的物体m 沿斜面下滑，物体m 受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m 的支持力所做的功为________J ，重力所做的功为________J(g ＝9.8 m/s 2)．答案 0 98解析 物体m 的位移大小为|s |＝＝(m)，则支持力对物体m 所做的功为2sin 37°103W 1＝F·s ＝|F||s|cos90°＝0(J)；重力对物体m 所做的功为W 2＝G·s ＝|G||s|cos 53°＝5×9.8××0.6＝98(J). 10315.(多选)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确的是( )A ．绳子的拉力不断增大B ．绳子的拉力不断变小C ．船的浮力不断变小D ．船的浮力保持不变答案 AC 解析 设水的阻力为f ，绳的拉力为F ，绳AB 与水平方向的夹角为θ，(0<θ<π2)则|F |cos θ＝|f |，∴|F |＝.|f |cos θ∵θ增大，cos θ减小，∴|F |增大．∵|F |sin θ增大，∴船的浮力减小．16.如图所示，在某海滨城市O 附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O 的东偏南θ 方向，距点O 300 km 的海面P 处，并以20 km/h 的速度向西(cos θ＝210，θ∈(0，π2))偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km/h 的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？参考数据：cos(θ－45°)＝.45解 设t h 后，台风中心移动到Q 处，此时城市开始受到台风的侵袭，∠OPQ ＝θ－45°.∵＝＋，OQ → OP → PQ → ∴2＝(＋)2OQ → OP → PQ → ＝2＋2＋2·OP → PQ → OP → PQ →＝2＋2－2||||cos(θ－45°)OP → PQ → OP → PQ → ＝3002＋(20t )2－2×300×20t ×45＝100(4t 2－96t ＋900)．依题意得2≤(60＋10t )2，OQ → 解得12≤t ≤24.从而12 h 后该城市开始受到台风的侵袭．。
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向量的主要应用
(1)向量是数学中证明几何问题的有效工具之一，根据平面向量的基本定理，任一平面直线型图形
中的线段都可
以表示为某些向量的线性组合。这样在证明几何问题时，可先把已知和结论表示成向量的形式，再
通过向量的运
算就很容易地得出结论。一般地，利用实数与向量的积可证明共线，平行等问题；利用向量的数量
积可解决长度，
角度等问题
(2)向量的坐标表示把点与数联系了起来，进而可以把曲线与方程联系起来，这样就可以用代数方
程研究几何问
题，同时也可以用向量来研究某些代数问题
(3)向量的数量积体现了向量的长度与三角函数间的关系，把向量的数量积应用到三角形中，能解
决三角形的边
角之间的有关问题
(4)向量是从一些物理量中抽象出来的，它与物理学中的力学，运动学等有着密切的关系，用向量
解决有关物理
问题，可以先根据题意把物理量用有向线段表示出来，再转化为数学中的向量运算，求解
向量在几何中的应用
一般地，用向量研究平面几何问题的步骤是：
(1) 寻找平面几何与向量之间的联系，用向量表示几何问题中涉及的几何问题，将平面几何问题转
化为向量问题
(2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离，夹角等问题
(3) 把运算结果“翻译”成几何语言
向量的方法可运用于证明有关直线平行，垂直，线段的相等及点共线等问题，其基本方法
有：
(1) 要证明线段AB=CD，可转化为证明ABCD，或ABCD
(2) 要证明线段//ABCD，只要证明存在一实数0，使ABCD成立，且四个点不共线即
可
(3) 要证明线段ABCD，只要证明它们的数量积0ABCD即可
(4) 要证明A,B,C三点共线，只要证明存在一实数0，是ABAC成立；或设
,,OAaOBbOCc
，
只要证明存在一个实数t，使1ctatb
向量在物理中的应用
(1) 向量与力
向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却
是既有大小，
又有方向且作用于同一作用点的，用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上
(2) 向量与速度，加速度与位移
速度，加速度与位移的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，而运动的叠加用到了向量的
合成
(3) 物理上力做的功的实质就是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向
量的数量积
向量在几何中的应用
1. 平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC的长
D C
A B
2. 已知点O为ABC所在平面内一点，222222OABCCAOBOCAB，证明：点O
是ABC的垂心
3. 已知：AD,BE,CF是ABC的三条高，DGBE于G，DHCF于H，如图，求证：
//HGEF
A
E
F O H
G
B D
C
小结：用向量知识解决平面几何问题中证明线段相等或平行的问题，一般是转化为相应向
量相等或平行
来解决，如下：
(1) 如果A,B,C三点共线，欲证AB=BC，则只需证ABBC即可
(2) 如果线段AB,CD不平行，而要证它们相等，则需证明22ABBC或证ABCD
向量在物理学中的应用
1. 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单
杠上做引体
向上运动，两臂的夹角越小越省力，你能从数学角度解释这种现象吗？
向量在解析几何中的应用
1. 求通过点1,2A且平行于向量3,2a的直线方程
小结：向量知识在解析几何中的应用，主要涉及直线中平行，垂直和求直线方程的问题，解
题中一般是
利用求轨迹方程的方法，先在直线上设一动点,Pxy，再根据条件(平行或垂直)建立x,y的关
系
向量在不等式中的应用
1. 利用向量方法解答下列问题
(1) 设a,b为不相等的正数，求证：2442233ababab
(2) 对于xR，试求函数2211yxxxx的值域
小结：解答类似本题的题目时，在于恰当的构造向量，利用向量的不等式
,mnmnabab
。
同时，应根据问题的条件，注意等号成立的前提是否具备，不然，就会造成不等号的选取出现不严
谨的地方
对某些从表面上看，似乎与向量毫无关系的代数问题，首先一定要对题目进行认真观察，充分
挖掘问题的
内涵，有时候就可能找到一个简捷的向量解法
向量专题
专题一：向量的运算
1. 已知4,5ab，当(1) //ab；(2) ab；(3) a与b的夹角为30时，分别求a与b的
数量积
小结：(1)当向量的始点不在坐标原点时，注意向量终点的坐标不等于向量坐标；而当向量的始点在
坐标原点时，
向量的坐标和向量终点的坐标就相同了
(2)已知向量两端点的坐标求向量的坐标是向量的坐标运算中最基本的问题，要注意：
向量坐标=向量终点坐标-向量始点坐标
(3)要注意数学符号的正确书写：11,axy是表示向量的坐标，22,Axy是表示点的坐标
专题二：共线问题
1. 已知1,2,3,2ab，若2kab与24ab平行，求实数k的值
小结：向量平行的运算有一下几种常用方法：
(1) 向量与非零向量a共线存在唯一实数使ba
(2) 向量共线的坐标表示表达式11,axy与22,bxy共线12210xyxy
(3) 向量a与b共线abab
专题三：向量的模
1.已知向量a与b均为单位向量，它们的夹角为60，那么3ab=
2.已知a与b两个非零向量，当atbtR的模取最小值时，求t的值
小结：利用向量的数量积可以解决如下几类问题：
(1) 求两向量的夹角，进而确定两线的夹角，但要注意两者的区别与联系
(2) 求向量的长度，进而可解决平面上的两点间的距离，求线段的长度问题，求a时一般利用
2
2
aaaa
计算后再平方
(3) 判断两向量是否垂直，进而可证两线垂直
(4) 判断或计算三角形中的边角关系问题
专题四：向量的夹角与垂直问题
1. 已知4,3ab
(1) 若a与b夹角为60，求23abab
(2) 若23261abab，求a与b的夹角
专题五：向量在平面几何中的应用
1.四边形ABCD中，,,,ABaBCbCDcDAd，且abbccdda，判断此四边
形的形状
专题六：向量和代数
1.设22222abmnambn，其中0mn，求证：abmn