行星齿轮非线性振动的模型建立

行星齿轮非线性振动的模型建立
齿轮传动作为精密传动的重要组成部分，越来越多的用于高速、高精度的控制系统和精密机器当中。

然而，在齿轮的制造、加工、安装等环节中，不可避免的会出现各种误差以及在后期齿轮传动的过程中出现的磨损，使得齿轮啮合出现齿侧间隙。

这就使得国内外的研究人员不得不开始关注齿轮间隙的非线性问题，本文从一对齿轮的非线性问题出发，采用类似办法进一步分析了单自由度行星齿轮非线性动力学模型的动态系统特性，研究了齿轮副中的刚度、阻尼、载荷诸参数对系统动态特性的影响。

2.齿轮系统的非线性振动分析
在齿轮动力学的研究当中，一般情况下根据研究目的的不同，可以分为动载系数模型；齿轮副扭转振动模型；传动系统模型；齿轮系统模型这四种研究模型。

在齿轮系统模型的分析中，包含了若干非线性因素，比如传动误差、齿侧间隙和齿轮传动的其它间隙等。

在这些因素当中，尤其以齿轮啮合刚度的时变性引起的振动现象以及齿侧间隙引起的非线性振动问题最为重要。

而这两个因素当中，齿侧间隙为强非线性，是典型的非线性动力学问题。

齿轮传动系统是弹性机械系统，是在动态激励下产生动态响应的。

而轮齿啮合是随时间周期性变化的，那么齿侧间隙的非线性就是一种不连续、不可微的函数，代表了较强的非线性。

在工程实际的求解中，这种强的非线性往往是不可解的，一般采用近似解来解决。

所以，轮齿弹性变形和啮合刚度周期变化的研究是齿轮系统非线性分析的基础。

3.一对啮合齿轮的非线性振动模型
针对一对正确啮合的定轴齿轮传动，不仅能够应用于一般定轴齿轮传动，而且对行星齿轮传动的分析和模型建立也具有一定的指导意义。

国内外的现有相关文献中指出：关于直齿齿轮齿侧
间隙非线性振动的研究是在假设刚性支撑和忽略输入输出惯量的基础上进行的，在这种假设的基础上，就可以将其简化为单自由度振动模型。

但是，较为完整的模型应该包含时变啮合刚度、传动误差，再就是上文提到的齿轮齿侧间隙的非线性因素。

在模型的建立过程当中，应假设采用质量集中的方法建立齿轮系统模型，这样建立可以重点考虑齿侧间隙的非线性，而且也可以兼顾时变啮合刚度的周期性激励作用。

另外，根据国内外关于齿轮齿侧的定义中指出：“装配好的齿轮副，当一个齿轮固定时，另一个齿轮的圆周晃动量，应以分度圆的弧长来计算；在齿轮动力学模型中，由于是基于啮合线上的运动来分析的，因此这里的齿侧间隙是指啮合线上度量的侧隙。

根据以上假设，我们分析得到，一对啮合齿轮的齿侧间隙函数应具有以下特点：①由于齿轮啮合是沿啮合线进行的，啮合力和啮合位移都发生在啮合线上，因此，应选取啮合线位移作为广义坐标；②啮合刚度是时间的参数，方程应该是变参数微分方程；③齿侧间隙是强非线性的，因此它所带来的弹性恢复力也应该是强非线性的；④齿侧间隙函数应该是单自由度的动力学模型方程，是关于侧隙位移量的分段函数。

4.行星齿轮的非线性振动模型
行星齿轮系统具有结构紧凑、体积小、传动比大等优点，是一种目前市面上应用较为广泛的齿轮传动形式，尤其在高速、高精度的控制系统和机器当中。

在这些工况下，行星齿轮往往是在轻载的高速运行下，同时，还常常处于频繁启动、制动的工作条件下，所以，齿侧间隙的非线性振动对系统的影响显著提高。

本文以最基本的2K-H行星齿轮系统为例进行分析，并建立其非线性动力学模型。

在模型中主要考虑齿轮副间隙的非线性影响，得到一个多间隙、变参数、弯扭耦合的多自由度非线性方程组。

行星轮系即存在行星轮的转动角速度，又存在中心太阳轮的位移，为统一建模，可将构建的角速度转化成相应啮合线上的等
价位移量。

然后利用一对啮合齿轮的建模思路，将其转化为具有
7个回转自由度的模型；再加之，由于行星轮不可避免的加工以及装配误差，各行星轮所受到的实际载荷又是不完全相等的，在不均匀的力的作用下，最终使得太阳轮不会静止在几何中心，必会有平面的位移产生，即就是2个平移自由度的动力学模型。

最终可以得到一个关于系统的质量、阻尼、刚度以及齿侧间隙的非线性函数的方程通式。

基于以上分析不难发现，建立的方程式9个自由度的变参数、强非线性的方程组，这种方程很难直接求解。

首先，方程的建立是选取了9个不同的广义坐标；其次，齿侧间隙的非线性函数是关于行星轮自身坐标以及齿侧等价位移量的多元函数；最后，该方程存在着弹性的弱非线性恢复力以及线性恢复力，参量无法统一，难以实现求解分析。

5.结论
本文从齿轮动力学的现状入手，指出了齿侧间隙研究的必要性。

从一对啮合齿轮的齿侧间隙进行分析建模，进一步推广到行星齿轮齿侧间隙的非线性动力学的分析建模工作，得到了行星齿轮的非线性函数的方程通式。

但是，方程的求解问题难以解决，有待后续进一步研究解决。