(完整版)三角形的外角练习题及答案

7．2．2 三角形的外角
基础过关作业
1．若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是________三角形．
2．△ABC中，若∠C—∠B=∠A，则△ABC的外角中最小的角是______（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．3．如图1，x=______．
（1）（2) (3)
4．如图2，△ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA到E，连EF，则∠1，∠2，∠3的大小关系是_________．
5．如图3，在△ABC中,AE是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，求∠AEB的度数．
6．如图,在△ABC中,∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高,H是BD、•CE的交点,求∠BHC的度数．
综合创新作业
7．如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=60°，则∠EDC=______．
8．一个零件的形状如图7-2-2—6所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠D应分别是30°和20°，李叔叔量得∠BCD=142°，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？
9．(1）如图7-2—2—7（1)，求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（2)如图7—2—2-7（2），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
10．（易错题)三角形的三个外角中最多有_______个锐角．
培优作业
11．(探究题）（1）如图，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠CBE、∠BCF•的平分线，试探索∠BDC与∠A之间的数量关系．
(2）如图，BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC的外角∠ACE的平分线，它们相交于点D，试探索∠BDC与∠A之间的数量关系．
12．（趣味题）如图，在绿茵场上,足球队员带球进攻，总是向球门AB冲近,说明这是为什么？
数学世界
七桥问题
18世纪在哥尼斯堡城的普莱格尔河上有七座桥,将河中的两个岛和河岸连接．如图所示．城中的居民经常沿河过桥散步，于是就提出一个问题:•能否一次不重复地把这七座桥走遍?可是,走来走去，这个愿望还是无法实现．该怎样走才好呢？•这就是著名的哥尼斯堡七桥问题．••好奇的人把这个问题拿给当时的大数学家欧拉（1707～1783）．欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在．
你知道欧拉是根据什么道理证明的吗？
答案：
1．钝角
2．直角点拨：∵∠C-∠B=∠A，∴∠C=∠A+∠B．
又∵（∠A+∠B）+∠C=180°，∴∠C+∠C=180°，∴∠C=90°，
∴△ABC的外角中最小的角是直角．
3．60 点拨：由题意知x+80=x+（x+20）．解得x=60．
4．∠1〉∠2>∠3
点拨：∵∠1是∠2的外角，∠2是∠3的外角，∴∠1〉∠2〉∠3．
5．解：∠BAC=180°—(∠B+∠C）=180°-（52°+78°）=50°．
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=∠CAE=1
2
∠BAC=25°．
∴∠AEB=∠CAE+∠C=25°+78°=103°．
6．解：在△ACE中，∠ACE=90°-∠A=90°-60°=30°．而∠BHC是△HDC的外角，
所以∠BHC=∠HDC+∠ACE=90°+30°=120°．
7．30°点拨：设∠CAD=2a，由AB=AC知∠B=1
2
（180°-60°—2a）=60°—•a，•
∠ADB=180°—∠B-60°=60°+a,由AD=AE知，∠ADE=90°—a，所以∠EDC=180°-∠ADE—∠ADB=30°．
8．解法1：如答图1,延长BC交AD于点E，
则∠DEB=∠A+∠B=90°+30°=•120°,
从而∠DCB=∠DEB+∠D=120°+20°=140°．
若零件合格，∠DCB应等于140°．
李叔叔量得∠BCD=142°，
因此可以断定该零件不合格．
(1) （2） (3)
点拨：也可以延长DC与AB交于一点，方法与此相同．
解法2：如答图2，连接AC并延长至E，则∠3=∠1+∠D,∠4=∠2+∠B，
因此∠DCB=∠1+∠D+∠2+∠B=140°．以下同方法1．
解法3：如答图3,过点C作EF∥AB，交AD于E，
则∠DEC=90°,∠FCB=∠B=•30°，所以∠DCF=∠D+∠DEC=110°，
从而∠DCB=∠DCF+∠FCB=140°．以下同方法1．
说明：也可以过点C作AD的平行线．
点拨：上述三种解法应用了三角形外角的性质：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和．9．解:（1）由图知∠A+∠F=∠OQA，∠B+∠C=∠QPC，∠D+∠E=∠EOP．
而∠OQA、•∠QPC、∠EOP是△OPQ的三个外角．
∴∠OQA+∠QPC+∠EOP=360°．
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠OQA+∠QPC+∠EOP=360°．
（2）360°点拨：方法同（1）．
10．1 点拨：本题易因混淆内角、外角的概念，而误填为3．
11．解：(1）∠BDC=90°-1
2
∠A．
理由:∠ABC+∠ACB=180°—∠A．
∠EBC+∠FCB=（180°—∠ABC）+（180°-∠ACB）=360°-（∠ABC+∠ACB)=180°+∠A．∵BD、CD分别为∠EBC、∠FCB的平分线,
∴∠CBD=1
2
∠EBC，∠BCD=
1
2
∠FCB．
∴∠CBD+∠BCD=1
2
（∠EBC+∠FCB)=
1
2
×（180°+∠A）
=90°+1
2
∠A．
在△BDC中,∠BDC=180°—（∠CBD+∠BCD）=180°—（90°+1
2
∠A)=90°-
1
2
∠A．
（2）∠BDC=1
2
∠A．
理由：∵∠ACE是△ABC的外角，
∴∠ACE=∠A+∠ABC，
∵CD是∠ACE的平分线，BD是∠ABC的平分线，
∴∠DCE=1
2
∠ACE=
1
2
∠A+
1
2
∠ABC，∠DBC=
1
2
∠ABC．
∵∠DCE是△BCD的外角，
∴∠BDC=∠DCE-∠DBC=1
2
∠A+
1
2
∠ABC—
1
2
∠ABC=
1
2
∠A．
12．解：如图,设球员接球时位于点C,他尽力向球门冲近到D，
此时不仅距离球门近，射门更有力，而且对球门AB的张角也扩大，球就更容易射中．
理由说明如下:
延长CD到E，则∠ADE>∠ACE,∠BDE〉∠BCE，
∴∠ADE+∠BDE>∠ACE+∠BCE，即∠ADB〉∠ACB．
点拨：解此题关键是将生活中的问题抽象为数学问题．
数学世界答案：
欧拉将七桥布局转化为图所示的简单图形,于是七桥问题就变成一个一笔画的问题．这个图形显然无法一笔画出，也就是说，•要想一次无重复地走遍这七座桥是办不到的．。