探究绝对值函数最值的求法

探究绝对值函数最值的求法及应用

2011年陕西省理科高考试题第14题。题目是：植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为米。该题考查了求绝对值函数的最小值问题，转化为求函数y=|x-10|+|x-20|+|x-30|+|x-200|

g g g——的最小值问题。另外2009年上海高考有一道数学试题；其题目是：某地街道呈现东—西、南—北向的网络格状，相邻街距都为1。两街道相交的点称为格点。若以互相垂直一两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）（6，6）为报刊零售点，请确定一个格点（除零售点外）为发行站，使6个零售点沿街道发行站之同路程的和最短。该题也需要转化为求绝对值函数

z=2|x+2|+2|x-3|+|x-4|+|x-6|+|y-1|+|y-2|+|y-3|+|y-4|+|y-5|+|y-6|的最小值问题。那么如何求这种多个绝对值和的函数的最小值问题呢对此，笔者运用以下方法进行了探索研究，得出了解决这种问题的基本方法，以此与各位同仁商榷。

一、利用函数图象研究这类函数的值域，从而达到求函数的最值：由于含绝对值函数可

以等价化为分段函数，因此运用函数的图象求函数的最值。

例1求函数y=|2x-1|的最小值。

解：由于函数

1

2x-1x

2

y=|2x-1|=

1

-2x+1x<)

2

⎧

≥

⎪⎪

⎨

⎪

⎪⎩

（）

（

，

作出其图象如右图：由图象可知其当

1

2

x=时，

原绝对值函数的最小值为0。

例2求函数|21||22|

y x x

=-++的最小值。解：由于该函数

|21||22|y x x =-++14x+1(x 211=3(-

），作出其 图象如右图所示。则当11-22

x ≤≤时，其函数的最 小值为3：

例3、求函数y=|x+1|+|x-1|+|x-2|的最小值。

解：由于该函数可化成分段函数，则

y=|x+1|+|x-1|+|x-2|=3x-2x>2)x-4(1

-x+4(-1

⎧⎪≤⎪⎪⎨⎪⎪≤⎪⎩（ 作出其图象如右图：

结论1：对于函数1212||||()y x x x x x x =-+-<，当且仅当12x x x ≤≤时，函数y 有最小

值21x x -。

证明如下：由于函数

1212||||()

y x x x x x x =-+-<

该函数等价于：

，

作出其图象如右图：从图象可知，当12x x x ≤≤时，

该函数的最小值为21x x -。

结论2：对于函数123123||||||()y x x x x x x x x x =-+-+-<<，当且仅当2x x =时，函数y

有最小值为31x x -。

证明如下：由于函数123123||||||()y x x x x x x x x x =-+-+-<<

该函数等价于

该函数的图象如右图所示：

由图象中知：当且仅当2x x =时该函数的最小值为31x x -。

以上两个结论可推广到任意n 个绝对值的和的最值问题。结论如下：

推论1：对于函数12212123212||||||||()n n n n y x x x x x x x x x x x x x --=-+-+⋅⋅⋅+-+-≤≤≤⋅⋅⋅≤≤

当且仅当1n n x x x +≤≤时，函数y 有最小值为

21212211()()()()n n n n n n x x x x x x x x -+-+-+-+⋅⋅⋅+-+-

（n N *∈）。

推论2：对于函数1221||||||n y x x x x x x -=-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-（12321n x x x x -≤≤≤⋅⋅⋅≤）当且仅当 n x x =时，函数y 有最小值21122211()()()n n n n x x x x x x --+--+-+⋅⋅⋅+-（n N *∈）

二． 运用以上推论，达到求函数最值的目的：

下面我们来解以下高考试题：

例1：（2011年陕西省理科高考试题第14题）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧

植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，

使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 分析：该题是一个实际应用题，考查的知识点是绝对值求和的最值问题。先将该题放在数

轴上来研究。即将实际问题抽象成数学问题，通过建立数学模型来解决此问题。

解：以一段直线公路为x 轴，建立如图所示的数轴坐标系。

设领取树苗的坐标

为

x 时，每位同学前

来

领取树苗往返所走的

路程和为y 米，则y=2|x-10|+2|x-20|+2|x-30|+2|x-200|+g g g ——，根据推论1可知：当且仅当

100110x ≤≤米时，函数y=2|x-10|+2|x-20|+2|x-30|+2|x-200|+g

g g ——有最小值： 2[(20010)(19020)(18030)(17040)(16050)(15060)(14070)(13080)(12090)(110100)]⨯-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=2000（米）

或