考研必备之自动化专业 自控原理 第九章 状态空间分析法答案-计算题

9.3.5 计算和证明题

9.3.5.1 已知机械系统如图9-7所示，21,m m 为质量块，1m 受外力)(t F 作用。弹簧的弹性系数如图示，如不计摩擦，自选一定数目的状态变量，建立系统的状态空间描述。

图9-7 题9.3.5.1图

提示：设中间变量质量块1m 的位移为z ，根据牛顿定律有

z m y z k t F 11)()( ①

同理对质量块2m 有

y m y k y z k 221)( ②

设状态变量

z x 1 12x z x y x 3 34x y x

由式① 1

3111112)

(m t F x m k x m k z x

由式② 32

211214x m k k x m k y x

因此有

)(00100010

0000

00

1

1432

12

2

1

2

11

1

1143

2

1t F m x x x x m k k m k m k m k x x x x

43210100x x x x y 9.3.5.2 已知系统结构图如图9-8所示。试写出系统的状态方程和输出方程（要求写成矢量形式）。

y 图 9-8 题9.3.5.2图

提示： x

y u x x 01101212

9.3.5.3 已知系统的微分方程，试建立其相应的状态空间描述，并画出相应的状态结构图。

（1）u u u y y y y 86375 （2）u u u y y y y 23375

提示：（1） x u x x 168100573100010 y ，状态结构图略 （2） u

x u x x

541

10057310

001

y ，状态结构图略。

9.3.5.4判断下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A 阵。

（1）

t t t t t sin cos 0cos sin 0001)(Φ （2）

t t e e t 220

)1(2

11)(Φ 提示：（1）不是状态转移矩阵，因为I )0(Φ。

（2）是。

2010)

(0

t t A Φ 9.3.5.5 线性系统u x x

101000 ，

11)0(x ，在单位阶跃输入时系统的响应x (t)。 提示：

t e t 001)(Φ， )(t x d e e t t t )(110001110010

121t e

9.3.5.6 已知状态空间描述为 x

y u x x 02102010 ，试求： （1）根据状态空间描述画出系统状态结构图； （2）判断系统的能控性和能观测性； （3）求系统的传递函数； （4）求系统状态转移矩阵； （5）求该系统的特征方程。

提示：（1）状态结构图略（2）能控且能观测 （3）

b A I

c 1

)()(s s G )

2(2

s s （4）

t t e e t 220)1(2

11

)(Φ （5）022

s s s A I

9.3.5.7线性系统的传递函数为

18

2710)()(23 s s s a

s s U s Y （1）试确定a 的取值，使系统为不能控，或成为不能观测的。 （2）在上述a 的取值下，求使系统为能控的状态空间描述。 （3）在上述a 的取值下，求使系统为能观测的状态空间描述。 提示：（1）

)

6)(3)(1(182710)()(23 s s s a

s s s s a s s U s Y ，当传递函数出现零极点对消时，系统的状态有可能是不能控或不能观测的，即6,3,1 a 。

（2）当6,3,1 a 时，能控的状态空间描述（能控I 型）：

u x x x x x x

100102718100010321321

32101x x x a y

（3）当6,3,1 a 时，能观测的状态空间描述（能观测II 型）：

32132132110001101027011800x x x y u a x x x x x x 9.3.5.8 试判别下列系统的能控性和能观测性。

（1） 4000140000300001A ，

01

001202B ，

00731041C （2）

1000000010000001100000002000

0000200

00000200000012

A ，

001101

001123

111112

112B

010111100021111113122C

提示：利用约当标准型判据。（1）能控不能观测；（2）能控不能观测。

9.3.5.9 给定二阶系统0, t Ax x

，现知对应于两个不同初态时状态响应为

21)0(x 时， t t e e t 222)(x ，

11)0(x 时，

t t e e t )(x ，

试求（1）求系统状态转移矩阵)(t Φ；（2）系统矩阵A 。

提示：齐次状态方程0),()( t t t Ax x ，0)0(x x 的解为0)()(x Φx t t ，已知0x 和)(t x ，则可先求出

)(t Φ，再求系统矩阵A 。

（1）)(t Φ

t t t

t t t t

t e e e

e e e e e 22222222；（2）

3210A 9.3.5.10已知系统的传递函数为3

43

6)(22 s s s s s G ，试将其转化为能控标准型、能观测标准型和约当标

准型，并画出相应的状态结构图。

提示：能控标准型： u x y u x x 20104310 ；能观测标准型： u x y u x x

10204130 ；约当标准型： u

x y u x x

31113001 。状态结构图略。

9.3.5.11线性系统的空间描述为 x

y u x x 101011

，确定使系统为状态完全能控和状态完全能观测

的待定常数 和 。

提示：状态完全能控的判别矩阵0 M ，012

；状态完全能观测判别矩阵0 N ，得 和

无关。故使系统为能控和能观测的待定常数 和 满足的关系为：012 9.3.5.12 设系统描述为bu Ax x

，Cx y ，其中， 000010011A ，

010b , 010 C ；求系统的状态转移矩阵及状态转移矩阵的逆阵。