统计学第四章
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第四章 差异量
教学目的：
1.理解全距、四分位距、百分位距、平均差、方差、标准差和差异系数等概念；
2.掌握各种差异量指标的计算方法。
数据的分布特征不仅有集中趋势，还有离中趋势。以动态的眼光，从不同的角度看，数据是向中间变动的，也是向两端变动的。两组数据可能平均水平相同，但两组数据的分布特征并不完全相同。
【如】:比较下列两组数据 A 组：88、82、73、76、81 B 组：92、86、70、72、80
两组平均数,80==B A X X 但R A =88－73＝15，R Ｂ=92－70＝22。即A 组较集中，B 组较分散。因此，我们描述一组数据的分布特征，既要描述其集中趋势，也要描述其离中趋势。
差异量：表示一组数据的离中趋势或变异程度的量称为差异量。
常用的差异量指标有全距、四分位距、百分位距、平均差、方差、标准差和差异系数。
第一节
全距、四分位距、百分位距
一、全距
全距：是一组数距中最大值与最小值之差。 优点：意义明确，计算方便。 缺点：反应不灵敏，易受极端值影响。
二、四分位距
（一）四分位距的的概念
四分位距:是指一组按大小顺序排列的数据中间部位50%个频数距离的一半。
）
（1.42
1
3Q Q QD -=
QD ：表示四分位距； Q 3：表示第三四分位数；
Q 1：表示第一四分位数。
所以：四分位距的公式又为：
2
25
75P P QD -=
（二）四分位数的计算方法 1、原始数据计算法
（1）将数据由小到大进行排列； （2）分别求出三位四分位数（点）； （3）代入公式计算。
【例如】：有以下16个数据25、22、29、12、40、15、14、39、37、31、33、19、17、20、35、30，其中四分位距的计算方法如下：
（1）先将原始数据从小到大排列好；
12、14、15、17、*19、20、22、25、*29、30、31、33、*35、37、39、40
Q 1=18 Md =27 Q 3=34
（2）求出Q 1、Md 、Q 3；
（3）将Q 1、Md 、Q 3的得数代入公式（）。
82
18
34=-=
DQ
2、频数分布表计算法 利用频数分布表计算公式为：
）
（2.42
25
75P P QD -=
关键是分别计算P 75和P 25，百分位数计算方法掌握了，这里的计算就不会有什么问题。 （三）优缺点
优点：意义明确，不受极端值影响。 缺点：反应不灵敏。 三、百分位距
百分位距：是指两个百分位数之差。 常用的百分位距有两种：P 90－P 10和P 93－P 7 优点：意义明确，不受极值影响。 缺点：反映不灵敏。
第二节 平均差
一、平均差的概念
平均差：是指每个数据与本组数据的平均数（或中位数）之差的绝对值的算术平均数（用MD 表示）。
二、平均差的计算方法
1、原始数据计算法 公式为：
)(||||3.4⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
-=-=
∑∑N Md X MD N
X X MD 或
【如】：求88、82、73、76、81的平均差。
4.45808180768073808280888058176738288|)||||
||||(||
|)(=÷-+-+-+-+-=∑-=∴=÷++++=∑=
N
X X MD N
X
X
：解 2、频数分布表计算法 公式为：
.
)
(|
|4.4为各组组中值：c c
X N
X X f MD ∑-=
【例】：求表中30数据的平均差。
表
30个分数的频数分布表
分数 60— 70－ 80－ 90－ 频数 5 12 10 3 组中值
65
75
85
95
7.783095
3851075126551=⨯+⨯+⨯+⨯=∑=
N fX X c ）
（解：
5.7307.789537.7885107.7875127.78655)
2(|)||||
|||(|
|=÷-⨯+⨯+-⨯+-⨯=∑-=
-N
X X f MD c 三、平均差的优缺点
优点：意义明确，反应灵敏。 缺点：不适合代数运算。
第三节
方差和标准差
一、方差和标准差的概念
1.方差：是一组数据离差平方的算术平均数（用2
x σ表示）。
定义公式为：
)()
(5.42
2N
X X x ∑-=
σ
。
：；
：为离差平方和为离差2
)(∑--X X X X
2、方差的方根即标准差
)()
(6.42
N
X X x ∑-=
σ
例：求72，78，80，86的方差和标准差 解：（1）求算术平均数
794
86
807872=+++=
=
∑N
X X
（2）求方差
254
)7986()7980()7978()7972()(22222
2=-+-+-+-=-=
∑N
X X x
σ
（3）求标准差
5252
===x x σσ
※：标准差的值越大，说明数据越分散。 二、方差和标准差的计算方法 1.原始数据计算法
)()
(.
)(22
2
2
2
2
2
2
2
2
22N
X
X N
X N X N
X N X X N X N
X N X X N X N
X X X X N X X x ∑=
∑-∑=-∑=
=∑+⋅-∑=
∑∑∑+⋅-=
∑-=ΘΘ）（σ
所以得：
)
()()
()
(8.47.42
2
2
2
2
N
X N X N
X N X x x
∑-∑=
∑-∑=σσ
【例】：计算80、78、84、80、72的方差和标准差。 解：
9
.336
.1536
.155728084788027228028427828022
2
2
])[(5
)
(==
=÷-=∑-∑=-+++++++x x
N
X N X σσ）（
2.频数分布表计算法 公式为：
)
()()
()
(10.49.42
2
2
2
2
N
fX N fX N fX N fX c c
x c c x
∑-∑=
∑-∑=σσ