《线性代数》的主要知识点

《线性代数》的主要知识点

第一部分 行列式

概念：

1． n 阶行列式展开式的特点：①共有n!项，正负各半；

②每项有n 个元素相乘，且覆盖所有的行与列；

③每一项的符号为（列）行）ττ+-()1(

2． 元素的余子式以及代数余子式 ij j i ij M )1(A +-=

3． 行列式的性质

计算方法：

1． 对角线法则

2． 行列式的按行（列）展开 (另有异乘变零定理)

第二部分 矩阵

1． 矩阵的乘积

注意：①不满足交换率（一般情况下BA AB ≠）

②不满足消去率 （由AB=AC 不能得出B=C ）

③由AB=0不能得出A=0或B=0

④若AB=BA ，则称A 与B 是可换矩阵

2．矩阵的转置

满足的法则：T T T B A )B A (+=+，T T T T T A B AB kA kA ==)(,)(

3．矩阵的多项式 设n n x a x a a x +++= 10)(ϕ，A 为n 阶方阵，则

n n A a A a E a A +++= 10)(ϕ称为A 的n 次多项式。

对与对角矩阵有关的多项式有结论如下：

（1）如果 1-Λ=P P A ，则n n A a A a E a A +++= 10)(ϕ

1

1110---Λ++Λ+=P Pa P Pa EP Pa n

n = 1)(-ΛP P ϕ

（2）若),,(21n a a a diag =Λ，则))(),(),(()(21n a a a diag ϕϕϕϕ =Λ

4．逆矩阵：n 阶矩阵A,B ，若E BA AB ==，则A,B 互为逆矩阵。

n 阶矩阵A 可逆0A ≠⇔；

n A r =⇔)( （或表示为n A R =)(）即A 为满秩矩阵；

⇔A 与E 等价；

⇔A 可以表示成若干个初等矩阵的乘积；

⇔A 的列（行）向量组线性无关；

⇔A 的所有的特征值均不等于零 求法：①伴随矩阵法：*11A A

A ⋅=- ②初等变换法：()()1,,-−−−→−A E E A 初等行变换或⎪⎪⎭⎫

⎝⎛−−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1A E E A 初等列变换， E 是单位矩阵

性质：（1）矩阵A 可逆，则A 的逆矩阵是唯一的

（2）设A 是n 阶矩阵，则有下列结论 ①若A 可逆，则1-A 也可逆，且A A =--11)( ②若A 可逆，则T A 也可逆，且T T A A )()(11--=

③若A 可逆，数0≠k ，则kA 可逆，且111)(--=A k

kA ④若B A .为同阶矩阵且均可逆，则B A .也可逆，且111)(---=A B AB

5．方阵A 的行列式：

满足下述运算规律（设B A ,为n 阶方阵，λ为数） ①A A T = ②A A n

λλ= ③B A AB = 6．伴随矩阵：行列式A 的各个元素的代数余子式ij A 所构成的如下的矩阵

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=nn n n n n A A A A A A A A A A 212221212111*，称为矩阵A 的伴随矩阵（注意行与列的标记的不同） 伴随矩阵具有性质：E A A A AA ==** 常见的公式有：①1*-=n A A ②1*-⋅=A A A ③A A

A 1)(1*=- ④=-1*)(A *1)(-A 等 7．初等矩阵：由单位矩阵E 经过一次初等变换后所得的矩阵称为初等矩阵。

三种初等变换对应着三种初等矩阵，分别记为：

（1）),(j i E （互换E 的第i 、j 列）

（2）))((k i E （E 的第i 行乘以不为零的数k ）

（3）))((k ij E （把E 的j 行的k 倍加到第i 行上）

初等矩阵具有下述性质：初等矩阵的转置仍为初等矩阵；初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵仍为初等矩阵且),(),(1j i E j i E =-、)]([)]([11--=k i E k i E 、)](,[)]([1k j i E k ij E -=-；

初等矩阵的行列式分别是 -1，k, 1。

8．矩阵的初等变换：初等行变换: 下面三种变换称为矩阵的初等行变换：

①对调两行； 记为 j i r r ↔ 对换第j i 与行 ②以数0≠k 乘某一行中的所有元素； 记为 k r i ⨯ 第i 行乘k

③把某一行所有元素的k 倍加到另一行对应的元素上去；记为 j i kr r + 第j 行k 倍加到第i 行上。把定义中矩阵的行换成列，即得矩阵的初等列变换的定义.

矩阵的初等行变换和初等列变换统称矩阵初等变换

矩阵的初等变换与初等矩阵的关系：设A 是一个n m ⨯矩阵，则

① 对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；

② 对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵

9．矩阵的等价：如果矩阵A 经过有限次初等变换变成矩阵B ，就称矩阵A 与矩阵B 等价。 且若矩阵A 经过有限次初等行变换变成矩阵B ，就称矩阵A 与B 行等价；

若仅经过初等列变换，就称A 与B 列等价。

设B A ,为n m ⨯矩阵

①A 与B 行等价⇔∃m 阶可逆矩阵P ，使得B PA =

②A 与B 列等价⇔∃n 阶可逆矩阵Q ，使得B AQ =

③B A ,等价⇔∃m 阶可逆矩阵P ，n 阶可逆矩阵Q ，使得B PAQ =

利用矩阵的初等变换解矩阵方程

B AX =，B A X 1-=，可以： )(B A −−−→−初等行变换)(1B A E -

B XA =，1-=BA X ，可以： )(T T B A −−−→−初等行变换)(T X E ，从而解出X 。

10．矩阵的秩：非零子式的最高阶数。记为）（或A R )A (r

求法：A −−−→−初等行变换

行阶梯形矩阵B ，）（A R =B 的非零行的行数。

相关公式：①若A 是n m ⨯矩阵，则},min{)(0m n A R ≤≤

②)()(A R A R T = ③B A ~⇔)(A R =)(B R ④若设A 为n m ⨯矩阵， n m Q P ,均为可逆矩阵，则)(A r )(PAQ r =

⑤，则)()(),()}(),(max{B R A R B A R B R A R +≤≤

⑥若B A ,均为n m ⨯矩阵，则)()()(B R A R B A R +≤+