二阶非线性周期边值问题的正解
二阶非线性常微分方程边值问题解的存在性
（ ．） ［ ， ］ 的下解 ， 中 仲 （ ＝ １１ 在 ｎ ６ 上 其 ）
ｐ２ ， ｙ Ｐ＞ ｌ 若存 在 卢 ｔ ∈ ｃ ［ ， ］ 即 （ ） Ｏ ｎ ｂ 使 ； （） ｎ ６ ， ∈ （ ，）
得（ （ ） ）≤ ， ， ， ）则称 卢 为方 程 （ ．） ［ ６ 上 的上 解 ． （ 卢 ， （） １ １ 在 ｎ， ］
在函数 ： ， 一 （ ， ， 在［ ， 上任何有界区间上可积， Ｖ（，） Ｅ和 一∞ ＜ｚ＜＋ ［ ∞］ ｎ ∞）使｛ ｎ ｎ ∞］ 且对 ∈
ｃ有 ｌ（，，）≤ １ ．满足： （ ） （； “）ｕ ｏ ， Ｙｚ ｌ （ｚＩ ） Ｉ “／ ’ ） ＝∞， 。 的反函 （ ｄ 其中 为 数．
＝
Ａ＋ Ｉ（ （ ， 如 ） Ｉ ｃ一 ） 出，
（ １ ２．） （ ２ ２．）
其 中 ｃ 满足
Ｂ Ａ ｆ （一 — ＝ ｃ
，如 ）
我 言，积 方 （． 有 时 常 存 且 一设Ｈ ｚ ＝１ （ — Ｏ ） 其中Ｑｓ； 们断 当 分 程 ２ ） 解 ，数ｃ 在 唯 １ （） ｚ Ｑ ） ｍ， （ ）
首 先证 Ｎ ： ［ ， ］ ｃ ［ ， ］ 连续 的 ． 在 ［ ， ］ Ｃｂ ｎ ６ 一 ｎ ６ 是 设 ｎ ６ 上一 致有 一 Ｙ． 一 Ｙ ， 证 一 致有 ： 往 ＾
— Ｎｙ，Ｎｙ ）（ ） （ ）（ ． 时有 ｛ （ ． ￡ 一 ）此
无穷区间上二阶微分方程无穷多点边值问题的正解存在性
其 中 ＝Ｂ ， ＝Ｂ ｌｎ ＝１２ …）， ｕ ｙ一（ ，， 满足
引理 １２ Ｓｈｕｅ） 设 Ｄ是 Ｅ中有界凸闭集 ， ： ． “ （ ｃａｄｒ Ａ Ｄ— Ｄ是全连续算子， Ａ在 Ｄ中必具有不动 则 引理 １３ 若 （）∈Ｃ ［ 。Ｒ ］ｎ Ｃ ［ ，。 是问题（ ． ） ． ｔ Ｒ ，。 Ｒ］ １ １ 韵解则 当且仅当 “ ｔ 是下列积分方程的 （）
第３ ８卷
第 １期
２１ ０ ２年 １月
曲 阜 师 范 大 学 Ｊｕｎ ｌ ｏ Ｑ ｆ Ｎ ｒ ａ ｏ ｒａ ｆ ｕｕ ｏｍ ｌ
Ｖｏ ． ８ Ｎｏ １ １３ ．
பைடு நூலகம்
Ｊｎ ０ ２ ａ ．２ １
无穷区间上二阶微分方程 无穷多点边值 问题的正 解存在性
赵 林 燕 ， 赵 增 勤
（ 曲阜师范大学数学科学学院 ， ７ １５ 山东省曲阜市 ） ２３ ６ ，
摘要 ： 利用 Ｓｈｕｅ不动点等定理 ， ｅａｄｒ 研究无穷区间上二阶微分方程无穷多点边值问题， 得出了所考虑
边值问题正解的存在性 、 唯一性及迭代序列 ， 此外还进行 了举 例应 用．
关键 词 ： 不动点； 无穷区间； 正解； 边值问题．
种非线性条件下的非线性二阶多点边值问题 ． 尤其 ， 有许多学者 已经关注无穷区间上边值问题的一个或多
个 解 的存 在性 ， 这些 问题 经常 出现 在求解 非线 性椭 圆方 程 的径 向对 称解 、 气体 动力 学等过 程 中． 本 文 考虑 如下非 线性 微分 方程 的无穷 多点 边值 问题 ： ｒ”ｔ （）＋ｑ 厂 ｔｕ ｔ） ＝０， ｔ∈ （）（，（） ，
收稿 日期 ：０ １０ — ２ １ －７１ ４
基金项 目： 山东省 自然科学基金 （ Ｒ ０ ０ Ｍ ０ ） Ｚ ２ １Ａ ０ ５ ． 作者简 介： 赵林燕 ，女，１８ 一 ９ ５ ，硕士生 ； 研究方 向： 非线性分析及应用 ； － ａｌｙ ３ ９４ ６ ６ ．ｏ Ｅ ｍ ｉ ｗ １５ ４ ＠１３ ｃｍ； ： 赵增勤 ， ， ９５ ， 男 １５ ． 教授 ， 博士生导师 ； 研究方向 ： 非线性分 析及其应用 ； － ａ ： ｚａ＠ｍ ｉ ｑ ｕ ｅｕ ａ ・ Ｅｍ ｉ ｚ ｈｏ ａ ．ｆ ． ｄ －ｎ ｌｑ ｌ ｎ
时间标度上二阶周期边值问题解的存在性
时间标度上二阶周期边值问题解的存在性刘会灵;彭世国【摘要】运用Mawhin的重合度定理,讨论了一类时间标度上非线性动态方程周期边值问题的解的存在性,得到判别方法并举例作以说明.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2009(026)005【总页数】7页(P883-889)【关键词】时间标度;周期边值;动态方程;非线性【作者】刘会灵;彭世国【作者单位】广东白云学院基础教学部,广州,510450;广东工业大学自动化学院,广州,510090【正文语种】中文【中图分类】O2311 引言1988年德国的Stefen Hilger在他的博士论文中首次提出测度链(measure chain)上的微积分理论[1]，用以统一连续和离散的研究。
时间标度(time scale)是一个特殊的测度链，表示实数上的任意非空闭子集，下面简称时标，用“T”来表示。
它的诞生统一了差分方程和微分方程的研究。
在随后的许多数学家，特别是德国数学家M.Bohner等人的不断努力下，这一理论得到极大发展，逐步形成较完善的时标动态方程理论[2,3]。
时标动态方程理论不仅是数学界的一次理论突破，而且在应用上有着巨大的潜力。
比如美国的托马斯和彼得森运用时标动态方程理论弥合了西尼罗河病毒传播中连续和离散之间的空隙。
托马斯认为这种数学模型是研究和控制这种疾病的最有效的工具。
除此之外一些科学家已经开始研究利用时标改进股票市场的计算模式，还有的科学家利用时标精确计算发动机的油耗量。
本文运用Mawhin的重合度定理讨论周期边值问题解的存在性，得出判别法并举例。
其中[a,b]表示[a,b]∩T,a,b∈T，且0<b−a<1，这里假设b点右稠，f在[a,b]×R2上连续。
由于篇幅问题，本文对所涉及的时间标度方面的知识不再赘述，请读者参阅文献[3]。
2 准备知识定义1 设X,Z是赋范空间。
L:X⊃domL→Z是一个线性算子，如果(a)ImL是Z的闭子空间；(b)dimKerL=codimImL<+∞，则称L为指标为零的Fredholm算子。
一类二阶常微分方程组边值问题正解的存在性
赤 峰 学 院 学 报 （自 然 科 学 版 ） Ｊｕｎｌｆ ｈ ｅｇＵ ｉ ｒｉ Ｎ ｔ ａＳ ｉ ｃ ｄｔ ｎ ｏ ｒａ ｏ ｉ ｎ ｎｖ ｓｙ（ ａ ห้องสมุดไป่ตู้ ｅ ｅ ｉｏ ） Ｃ ｆ ｅ ｔ ｕ ｌｃ ｎ Ｅ ｉ
Ｖ０． ． １２６ Ｎｏ ３
且
ａ
（－）Ｏ １ｓ ｆ 一． ， ｋｔ） （ｓ ，＝ （＿） １ ｓ ， （ ｓ （ ｓ， １ ）ｔ ） － －－
０≤ ｔ ｓ － ≤ ＜ ｑ ￣
０≤ｔ ≤１且 ｓ ≤ｓ ≥
≤ ｇ≤ ｔ １ ≤
Ｊ１一 （ｓ 。 ＝０－咖２ｄ＋ —咖】 ＜ 。ｂ （￥ （ｓ ｏ８ ｓ ＋ （ ） ｄ １－ ｓ ＜ ）
１ ５言 Ｉ
为 了证明此定理 ， 我们首先做如下准备 ：
２ 预 备 知 识 和 引 理
非线性常微分方程三点边值问题的研究起源于 Ｃｕ ｔ ｐ ［ ａＪ
此后 ，许 多作 者借 助于 Ｌｒｙ ｓｈｕ ｅ 连续性理论及 ｋａ— ｅａ—ｃａｄ ｒ ｒｓ ｎ ｓｌ ｉ ｓ ｏｅ ｋｉ 不动点理论 （ １【 【 【］ 究 了三点边值 问题． ｓ ’ 见【】 】 】 ） ２３４ 研
（． １） １
ｎ： ｎＫ．
那么 Ａ至少有一个不动点在 Ｋｆ（ ＼Ｑ。． ３ ）
引 理 ２２ （ １［１【０） 设 ０ １ ｌ ． ［ 、 、１】 ７ ９ ＜１ ， ＜ ｄＥＲ 则 对 于 ＶＹ ∈
正解 的存在性． 中 ｅ（，） ｔＯ 其 Ｏ１，ｏ ． ＜ 定义 （， ｅｃ ｏ１×ｃ ０１被称 为边 值问题 （ ．） ｕ ） ￣， ｖ （ ） ２ ，） （ １ 的一 １
Ｍａ ． ０ ０ ｒ２ １
非线性奇异微分方程无穷边值问题的正解
其 中 启 １ 厂： Ｏ Ｃ ） ０ ＋。 ） （ 。 ， 。 一 ＞ ， （ ，ｘ ×［ ， 。 × ～ 。 ＋。 ） Ｄ
［ ， ×） 连续 函数 并且 － 许在 ｔ Ｏ ＋Ｃ 是 。 厂允 ＝０处 奇异 ．
无 穷 区间上 的边值 问题在研 究椭 圆方 程 的径 向
对 称解 ， 气压 强 等方 面有 着广 泛 的应 用 大 卜 ． 近年 来， 许多 作者 研究 了 当 函数 － 厂是连 续 函数情 况 下 边
然 后构 造一 个特 殊 的空 间和特 殊 的锥并 且列 出有 关
＋６ ￡ （ ｆ 『 ， 里 ａ， ．０ ＋ｃ ） ［ ， 。 是 （） ＋ ） 这 ｂ ［ ， × 一 Ｏ ＋。 ） ３ 连 续 函数 ． 献Ｅ ］ 文 ５ 中作 者推 广 了文献 ［ ］ ４ 中的结 果 ，
得 到了下 列边值 问题 正解 的存 在性 定理
一
个 特殊 的空 间上 和 特 殊 的锥 ， 采用 逼 近 的方 法来
ｌ （ ） ， ｌ ｚ 一０ Ｘ ０ 一０ ｉ （） ， ｍ
解 决 由无穷 区 间和 奇 异性 所 带 来 的问 题． 因此研 究 Ｂ （） ＶＰ １ 式具 有 十分重 要 的理论 和实 际意 义． 文 中 的主要 目的是 获 得 Ｂ ＶＰ（ ） 正 解 的存 在 １式 性． 一般来 说 ， 过求 解 一 个 算 子 （ 为 Ａ） 通 记 的不 动
。） 。 是非 负连 续 函数 ， 对 任 意 的 （ ， ． ∈ Ｅ ， 且 ｆ ｙ ， ） ０ ＋
Ｃ ） ［ ， 。 ） 一 Ｃ ， （ ） 有 ｆ（， ． ａ Ｋ × Ｏ ＋ 。 ×（ Ｋ ＋ Ｄ ， ３ Ｄ Ｏ ｔｚ， ） （） ｙ
但 定 义域从 有 限 区间 推 广 到无 穷 区间 ， 即要 获 得 边 值 问题 在 区间 （ ， Ｋ） 的正 解 ， 于不 能 在无 穷 Ｏ ＋Ｃ 上 ） 由
时间模上二阶3-点边值问题的两个正解
时间模上二 阶 ３ 一点边值 问题 的两个正解
张 英
（ 山西 大 同大学数 学 与计算机 科 学 学院 ， 西大 同 山
摘
０７０） ３０９
要 ： 用 Ａ ｅ — ｎ ｅ ｏ 上 的不动 点 定理 ， 运 ｖｒ Ｈｅｄｒ ｎ锥 ｙ ｓ 讨论 了时 间模上 的二 阶 非线 性动 力 学方 程 ３ 一点边 值 问题 ｆ （＋（ｆｙｔ－ ，ｔ ｔｔｃ Ｔ Ｙ ｔ ａ）（（） ） ｔ ）－ ∈Ｉ，］ ， Ｏ ｌ３ ｌ （） ，（）ｆ （） ｙ ￡＝ ｙ ３ ｌ ｔ －０ ｔ＝ ｙ ２
，
（ １ ） 一
ｆＶｔ＋ （ ： ， ∈ ｙ （ ｏ Ａ ）ｈ ）
…
， ， 】 ｃ
（） ４
正解 的存在 性． 其 中 ０ ７∈（，（ ＜ ＜Ｔ ７ ０ ） Ｐ
，
ｔ （）０ ｙ ｆ （ ） ｙ ￡＝ ，（）ｌ ｔ － ｔ＝ ｙ
引理 １ 设 Ｏ ＜ ， ｙｆ 方 程 （ ） ｌ 则 （是 ） ４ 的唯 一 解
山西大同大学学报（ 自然科学版）
２ ０ 正 ０ ８，
） ｙ一（）） ， （ 』ｓｓｓ （ ￡ ｔｈＶ ￡ 。 －（ ）） －
在（） ， ｆ￡ ￡得 到 ６中 令 ：２ ３ ， ，
（） ６
在 ｔ ｔ ｔ ｃＴ是减 少 的． ∈ｆ，】 ｌ３ 因此 ） （ ≤ｙ （）０ 故 ｙ￡ ， ￡ ＝ ， ） ， （ ） 在 ｆ ｆ ｔ Ｃ 是减少 的 从 而 ∈［，］ ．３
第２ ４卷第 ６期
２０ ０ ８年 ｌ ２月
山西 大同 大 学学 报 （ 自然 科 学 版）
Ｊｕｎ ｌ ｆ ｈｎ ｉ ａｏｇＵ ｉｅｓｙＮ ｔｒ ｃｅｃ） ｏ ｒａ ａｘ Ｄ ｔｎ ｎｖｒｉ （ａｕａ Ｓ ｉ ｅ ｏＳ ｔ ｌ ｎ
2n阶方程两点边值问题正解的存在性
（ ） Ｖ （） 一 “”（） … ， ，２ ， ，４ ￡ ‘ ｆ ， ２ ｒ （） ３
２０ （ ）一 ２ １ 一 ０ Ｖ （ ） 一 ＂ （ ） 一 ０， ， （） ，４ Ｏ ０ １ ４ … ２ （ ）＝ ， （ ） 一 ０ ２ ０ ２ １ ． （） ４
（）一 （ １ ” ‘ 。（ ） ￡ 一 ）一“ ’ｆ ．
（ １ ｚ ≤ 艿时． 一 ） ２２
２ 准 备 工 作
设 厂 ［ ，］ × Ｈ — Ｒ连续 ， Ｊ １ ， ：ｏ １ × 记 一－ ｏ １， ］对式（）令 １，
一
（２ Ｆ ）对 Ｖｔ － ｏ １ ， Ｅ ｔ ，３ ３届， ， ， ｒ ≥ ０ … Ｉ２ 满足
＋ ＋． ＞，ｃ ｏ得 刍 ． １ ≥使 ． ＋ 及
当 ０ ≤ Ｌ ≤ ， ≤ 一 ｚ ≤ ， ， ≤ ｚ ０ ２ … ０
（ １’ ｚ，２ 一 ） ２ ≤ 时． Ｌ
（４ Ｆ ）对 Ｖｔ Ｅ ，３ ｊ ， ， ， ｚ ０ 足 ∈ ｏ１， 恳 … 岛 ≥ 满
＋ ＋ ＋ ＜，ｃ ｏ得 叁 … 譬 １ ≥使 ： 及
ｆ（， ２ … ，＂ ）≤ 岛 一 ｔｚ， ， ３ ２ ５ ２
２ 阶 方 程 两 点 边 值 问题 正 解 的 存 在 性
许 尔伟 。 尹 雪娟 。 毛 耀 忠 ， ，
（．西北师范大学 数学与信息科学学院 ， １ 甘肃 兰州 ７０ ７ ；．兰州城市学 院 数学学院 ， ３０ ０ ２ 甘肃 兰州 ７０７ ； ３ ０ ０
３ ．兰州城市学院 体育学院 ， 甘肃 兰州 ７ ０ ７ ） ３ ０ ０
摘
要： 察 了 ２ 考 阶 方程 两 点 边 值 问题
（ １ｎ ‘ ｆ ｆ ｔ“ ￡， （） … ，‘ 一 ）“ （）一 （，（） ￡， “ 一
一个非线性二阶q-差分方程的边值问题的研究
一个非线性二阶q-差分方程的边值问题的研究杨小辉;彭定忠【摘要】This paper uses nonlinear alternative for single valued maps and presents an existence result for three-point boundary value problems of nonlinear q-difference equations, and gives an example to illustrate the advantage of our result.%利用不动点定理，得到了一个非线性二阶q-差分方程的边值问题解的存在性结论，并给出一个实例来说明。
【期刊名称】《湖南理工学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)002【总页数】4页(P10-13)【关键词】存在性;q-差分方程;q-微分;q-积分;三点边值问题【作者】杨小辉;彭定忠【作者单位】广东警官学院计算机系，广州 510230;湖南理工学院数学学院，湖南岳阳 414006【正文语种】中文【中图分类】O175.7q−积分理论由Jackson[1]在上世纪初首先提出, 后Carmichael[2], Mason[3], Adams[4], Trjitzinsky[5]等做了大量的工作. 从那时起, q−积分理论在很多领域得到了发展和应用[6～10], 最近又开始为大家所关注. Bashir Ahmad等在文[11]中研究了如下问题解的存在性:其中是常数.马如云在文[12]中研究了如下问题正解的存在性:其中0<η<1.本文考察下列具有三点分边值条件的非线性q−差分方程的边值问题:解的存在性, 其中定理假设BVP(1)中,还满足如下条件:是个非减连续函数,使得存在M>0使得则BVP(1)至少有一个解.先给出q−差分的基本概念[13].设I⊂R, I≠∅, f:I→R, 0<q<1, 记则称为函数f在点t的q−差分. 如果f′(0)存在, 则高阶q−差分定义采用递归形式:函数f( t)定义在区间[a, b]上的q−积分是:当a=0时, 如果收敛, 则如果f定义在区间[0,b]上, 则注意到,. 如果f在t=0处连续, 则在q−积分中, 乘法法则和分部积分公式分别是:顺序积分定义为:引理1 BVP(1)等价于如下积分方程:其中容易验证证明设u是BVP(1)的解, 对进行q−积分, 得到再次q积分, 得到其中c1、c2都是任意常数. 对式(4)两次q−微分, 可以得到把BVP(1)的边值条件代入(3)和(4), 得到c1=0, 且引理2 设X是一个Banach 空间, C是X中的闭凸子集, Ω是C中的开子集且0∈Ω. 若F:Ω→C是个连续、紧的算子(即F( Ω)是C中的相对紧子集), 则下列之一成立,(ⅰ) F在中有一个不动点;(ⅱ) 在∂Ω上有一个u满足其中定理的证明: 设X是[0,1]上的连续函数集合. 规定范数容易知道X是一个Banach 空间. 定义X上的算子F:其中u∈X, t∈I. 容易知道(ⅰ) F把X中的有界集映射到其中的有界集.设是X的有界子集, 假设则有因此有(ⅱ) F在X中的有界集上是等度连续的.设是X的有界子集,则有当不式右边趋向于零. 由Arzelá-Ascoli 定理的推论, 可以得到F: X→X是全连续的. (ⅲ) 假设那么对∀t∈I, 有所以因此由条件(A2)知, 存在M使得设注意到算子是连续的和全连续的, 并且由Ω的选择可知不存在使得满足再由引理2知BVP(1)有一个解.取取则根据定理1知BVP(5)有解.【相关文献】[1] F.H. Jackson. On q-difference equations [J]. American J. Math, 1910 (32): 305～314[2] R.D. Carmichael. The general theory of linear q-difference equations[J]. American J. Math, 1912(34): 147～168[3] T.E. Mason. On properties of the solutions of linear q-difference equations with entire function coefficients[J]. American J. Math, 1915(37): 439～444[4] C.R. Adams. On the linear ordinary q-difference equation[J]. American Math. Ser. II, 1929(30): 195～205[5] W.J. Trjitzinsky. Analytic theory of linear q-difference equations[J]. Acta Mathematicas, 1933[6] T. Ernst. A new notation for q-calculus and a new q-Taylor formula,U.U.D.M. Report 1999: 25, ISSN 1101-3591, Department of Mathematics, Uppsala University, 1999[7] R.J. Finkelstein. q-Field theory[J]. Lett. Math. Phys, 1995(34): 169～176[8] R.J. Finkelstein. q-deformation of the Lorentz group[J]. J. Math. Phys, 1996(37): 953～964.[9] R. Floreanini, L. Vinet. Automorphisms of the q-oscillator algebra and basic orthogonal polynomials[J]. Phys. Lett. A, 1993(180): 393～401[10] R. Floreanini, L. Vinet. Symmetries of the q-difference heat equation[J]. Lett. Math. Phys, 1994(32): 37～44[11] Bashir Ahmad, Ahmed Alsaedi, Sotiris K Ntouyas. A study of second-order q-difference equations with boundary conditions[J]. Advance in Difference Equations, 2012(35): 1～10[12] Ruyan Ma. positive solutions of nonlinear three-point boundary-value problem[J]. Electronic Journal of Differentia Equations, 1998(34): 1～8[13] V. Kac, P. Cheung. Quantum Calculus[M]. Springer, New York, 2002。
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（） ２ 如果 ｉｆ ｌ ｉ＞Ｏ 并 且对 任何 ｕ Ｋ 及 任何 ≥ １ ｎ ｌ ｌ ， Ｔ ＥＯ 都有 Ａ ｕ Ｔ ≠ ， 则 （ Ｋ，Ｋ） ． Ｔ， ， 一０
ｕ ａ ｒ Ｅ Ｋ
２ 问题 （ ） １ 的等价 形 式 与 Ｇｒｅ ｅ ｎ函数 估 计
引理 ２ Ｃ 若线性 周期 边值 问题
大
庆
石
油
学
院
学
报
第 ３ ５卷
２１ ０ １年
为证 明定 理 １ 需 要用 到引 理． ，
引理 １。 设 Ｅ是 Ｂ ｎ ｃ Ｅ ａ ａ ｈ空 间 ， 是 Ｅ 中的锥 ， Ｋ—Ｋ 是全连 续算 子． Ｋ Ｔ： （） １ 如果 对任 何 Ｅ８ 及任 何 ０ ≤ １ 有 ａ ｕ ， Ｋ ＜ 都 Ｔ ≠Ｕ 则 （ Ｋ，Ｋ） ； Ｔ， ， 一１
ｆ （） ＋ （） ￡ ＋ （）一 ｆ ｔ“ ） ０＜ ｔ ２ ， （， （） ， ＜ ｎ
１ （） （７ ， （）一 （７ ． ０ 一 ２） ｏ ２） ｚ ￡ ｃ ｃ
式中： 参数 ａ ，＜ ４ 一ａ ＜１ ＞０ ０ 。 ．
／
二 阶非线性 周期 边值 问题 出现在 物理及 应 用数学 领域 中［ ８， 们对 此进 行研究 ， 论 含单 参数 的二 １ ］人 － 讨
．
１ 问题假 设
（ ）（ 于［，ｃ× ｏ＋。） Ｈ１ ） ０２］ Ｅ， 。非负连续， ０ ｌ厂￡ ）ｔ 厂， ７ 且 ＜ （ “ｄ＜＋。 ； ， 。
（ ）ｉ ｓ ｐ Ｈ。 ｌ ｕ ｍ
一０ Ｅ［ ： ３ ｔ ｏ １
＜卢 ｌ ， ｉ ｉｆ ｍ 旦
“ ＋ｏ Ｅ［ ．］ 一 。ｔ ｏ １
＞ ；
＜
（ 。 ｌ ｉｆ Ｈ ）ｉ ｎ ｍ
＞ ，ｌ ｉ ｍ ｓ ｐ ｕ
定 义 ： “ ￡为边 值 问题 （ ） １个正解 ， 果它 满足 称 （） １的 如
（ｉ （） 。０ ２ ） ｏ ２ｃ， （） ，Ｅ（ ， 丌 ； ） ＥＣ （ ，丌 ｎＣ Ｅ ，７ “ ＞Ｏ ｔ ０ ２ ） ］
关
键
词 ： 期 边 值 问 题 ；正 解 ；锥 ；不 动 点 指 数 ； 林 函数 周 格
文献 标 识 码 ： Ａ 文 章 编号 ：０ ０—１ ９ （０ １０ １０ ８ １２ １ ）５—０ ９ —０ ０７ ５
中 图分 类 号 ： ７ ．８ Ｏ１ ５０
０ 引 言
研究 二 阶非线 性周期 边值 问题 ， 即
｛ｔ“（２７）一 ， （ ）一 （ 丁） 一 １． ） ｃ ｕ） Ｕ （ （ １ （ ）一 ２ｃ
－
－
［ａ ｕ （ ） ］ ￣ ｔ － ｔ －ｔ ） ｉ ｆ（
“
＇
＝
０’
０
一
（ 兀） ２
一
０ ， ０）一 Ｕ （
，
，２ ）一 １ （丌 ．
（） ２
有唯 一解 ｒ ＥＣ Ｅ ，丌 ， （） ｏ ２ ］ 则周 期边值 问题 ： ｆ （） 删 ＋ｆ （）一 ｏ ２ ］ ＋ （） ｌ ｔ （）Ｅ Ｌ１ ， 兀 ， ｕ Ｅ
１ ０ 一ｕ ２ ） ０ （ ） “（ 一 ０ （） （ｎ 一 ， ｏ 一 ２ ） ． ７ ｃ
有 唯一解 ， 即
“￡一ｆ （ｓ（ｄ （ 。 ￡）ｓ ｓ ） ， ） ， Ｇ
Ｊ０）一 Ｊ １
、
ｆ（ 一 ５ ， ｔ ） ０≤ ｓ ｔ ２ ｒ ≤ ≤ ｎ； ｒ ２ｃ ｔ ｓ ， （ ＋ — ） ０≤ ｔ Ｓ ２ｃ ７ ≤ ≤ ７ ．
（． （） ｕ （） ＿ ） ￡ ＋ａ ￡ ＋ （） （ ， （） ， 且 “ ￡满 足 ￡ 一厂 ￡“ ） 并 （）
‘ （ ）一 ‘ （ ７） ｉ一 ０ １ Ｏ ’ ２ｃ ， ’ ，，
则 主要结 果是
定 理 １ 假设 （ ） （ ） （ ） （ ） Ｈ１ ， Ｈ２ 或 Ｈ ，Ｈ。 成立 ， 则边值 问题 （ ） １ 至少存 在 １个正解 ． 推论 假设 （ ） 条件 之一成 立 ： Ｈ 及
“ 一十。 Ｅ［ ．］ 。ｔ ｏ １
“
则 边值 问题 （ ） １ 至少存 在 １ 正解 ． 个
收 稿 日期 ：０ Ｉ ３ １ 审稿 人 ： 成 仕 ； 辑 ： ２ １ 一０ —１ ； 刘 编 关开 澄
作 者 简 介 ： 燕 （９ ２ ， ， 士 ， 教 授 ， 胡金 １ ７ 一） 女 硕 副 主要 从 事 非 线 性 常 微 分 方 程 方 面 的研 究
“ Ｏ ＥＥ ，Ｊ 一 ｔ ｏ １ 甜
（ ） ｍ ｓｐ Ｈ：ｌ ｕ ｉ
（ ｌ ｎ Ｈ ）ｍ ｉ ｉ ｆ
“ ｔ ｏ １ 一ｏ Ｅ Ｅ ，
一０ ｌ ｉ ，ｉ ｎ ｍ ｆ
“ ＋ 。 Ｅ［ ，］ 一 。ｔ ０ １
一＋。 ； 。
尘 一０
．
一＋。 ，ｉ ｓＤ 。 ｌ ｍ ｕ
阶非线 性周 期边 值 问题 ， 得正解 存在 性结 果 ． 关含 双参 数二 阶非线 性周期 边值 问题 的研究 结果 还不 获 有 多见． 笔者研 究一 类二 阶非 线性周 期边 值 问题式 （ ） 简 称 问题 （ ） ， １（ １ ） 在非 线 性项 满 足适 当的条 件 下 ， 明 证 正 解 的存在 性．
大
庆
石
油
学
院 ” 学
报
第３ ５卷
Ｖｏ ．３ １ ５
第 ５期 ２ １ ０ １年 １ ０月
Ｎｏ ．５ Ｏｃ． ２ １ ｔ ０１
ｊ ｏＵＲＮＡＬ ０Ｆ ＤＡＱＩ ＮＧ ＰＥＴＲ０ＬＥＵＭ ＮＳＴＩ Ｉ ＴＵＴＥ
二 阶 非 线 性 周 期 边 值 问题 的 正 解
胡 金 燕 ，孔 令 彬
（东 北 石 油 大学 数 学 科 学 与 技 术学 院 ， 龙 江 大 庆 １３ １ 黑 ６３ ８）
摘 存在性．
要 ： 用 锥 不 动 点 指 数 和 Ｇ ｅｎ函数 性 质 ， 究 一 类 含 有 双 参 数 的二 阶 非 线 性 周 期 边 值 问题 ， 证 明 其 正解 的 利 ｒｅ 研 并