第14章 推理与证明 变式题答案
理科数学(解析版)14：推理与证明
2012高考真题分类汇编：推理与证明1.【2012高考真题江西理6】观察下列各式：221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+= 则1010a b +=A ．28B ．76C ．123D ．199 【答案】C【命题立意】本题考查合情推理中的归纳推理以及递推数列的通项公式。
【解析】等式右面的数构成一个数列1,3,4,7,11，数列的前两项相加后面的项，即21++=+n n n a a a ，所以可推出12310=a ，选C.2.【2012高考真题全国卷理12】正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝73.动点P 从E 出发沿直线喜爱那个F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16（B ）14（C ）12(D)10 【答案】B【解析】结合已知中的点E,F 的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA 点时，需要碰撞14次即可.3.【2012高考真题湖北理10】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159 判断，下列近似公式中最精确的一个是11.d ≈ B．d C．d ≈ D．d ≈【答案】D【解析】346b 69()d ,===3.37532b 16616157611==3==3.14,==3.142857230021d a V A a B D πππππππ⨯==⨯⨯⨯由，得设选项中常数为则；中代入得，中代入得，C 中代入得中代入得，由于D 中值最接近的真实值，故选择D 。
备战(上海版)高考数学分项汇编专题14推理与证明、新定义(含解析)理【含答案】
专题14 推理与证明、新定义一．基础题组1. 【2011上海,理14】已知点O (0,0)、Q 0(0,1)和点R 0(3,1)，记Q 0R 0的中点为P 1，取Q 0P 1和P 1R 0中的一条，记其端点为Q 1、R 1，使之满足(|OQ 1|－2)(|OR 1|－2)＜0，记Q 1R 1的中点为P 2，取Q 1P 2和P 2R 1中的一条，记其端点为Q 2、R 2，使之满足(|OQ 2|－2)(|OR 2|－2)＜0，依次下去，得到P 1，P 2，…，P n ，…，则0lim n n Q P →∞=______.2. (2009上海,理13)某地街道呈现东—西、南—北向的网格状,相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点.若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5),(6,6)为报刊零售点.请确定一个格点(除零售点外)___________为发行站,使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.【答案】（3，3）3. 【2007上海,理9】若,a b 为非零实数，则下列四个命题都成立： ①10a a+≠ ②()2222a b a ab b +=++ ③若a b =，则a b =± ④若2a ab =，则a b =。
则对于任意非零复数,a b ，上述命题仍然成立的序号是_____。
4. 【2006上海,理10】如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ．【答案】36二．能力题组1. 【2010上海,理22】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分.若实数x 、y 、m 满足m y m x ->-，则称x 比y 远离m .（1）若21x -比1远离0，求x 的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：33a b +比22a b ab +远离2（3）已知函数()f x 的定义域|,,24k D x x k Z x R ππ⎧⎫=≠+∈∈⎨⎬⎩⎭.任取x D ∈，()f x 等于x sin 和x cos 中远离0的那个值.写出函数()f x 的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）.【答案】（1）（2）（3）【点评】本题给人耳目一新的感觉，问题的表述比较陌生，提问方式新颖，考生需要较强的数学理解和化归能力，对考生的综合数学能力要求较高．但认真分析一下就会有“他乡遇故知”的感觉——函数与不等式的综合.2. 【2006上海,理16】如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p 、q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标”．已知常数p ≥0，q ≥0，给出下列命题：①若p ＝q ＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；②若pq ＝0，且p ＋q ≠0，则“距离坐标”为（p ，q ）的点有且仅有2个；③若pq ≠0，则“距离坐标”为（p ，q ）的点有且仅有4个．上述命题中，正确命题的个数是 [答]（ ）（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3．1l 2lOM （p ，q ）【答案】D3. 【2005上海,理22】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．在直角坐标平面中，已知点1(1,2)P ，22(2,2)P ，33(3,2)P ，…，(,2)n n P n ，其中n 是正整数．对平面上任一点0A ，记1A 为0A 关于点1P 的对称点，2A 为1A 关于点2P 的对称点，……，n A 为1n A -关于点n P 的对称点．（1） 求向量02A A 的坐标；（2） 当点0A 在曲线C 上移动时，点2A 的轨迹是函数()y f x =的图象，其中()f x 是以3为周期的周期函数，且当(]0,3x ∈时，()lg f x x =，求以曲线C 为图象的函数在(]1,4的解析式；（3）对任意偶数n ，用n 表示向量0n A A 的坐标【答案】（1）（2，4）；（2）()lg(1)4g x x =--；（3）4(21)(,)3n n -三．拔高题组1. 【2014上海,理22】（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.在平面直角坐标系xoy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，则称点21,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点21P P ，被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线.⑴ 求证：点），（），（012,1-B A 被直线01=-+y x 分隔；⑵若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线，求实数k 的取值范围；⑶动点M 到点）（2,0Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线.【答案】(1)证明见解析；（2）11(,][,)22k∈-∞-+∞；（3）证明见解析.【考点】新定义，直线与曲线的公共点问题.2. 【2011上海,理23】已知平面上的线段l及点P.任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d(P，l)．(1)求点P(1,1)到线段l：x－y－3＝0(3≤x≤5)的距离d(P，l)；(2)设l是长为2的线段，求点的集合D＝{P|d(P，l)≤1}所表示的图形面积；(3)写出到两条线段l1，l2距离相等的点的集合Ω＝{P|d(P，l1)＝d(P，l2)}，其中l1＝AB，l2＝CD，A，B，C，D是下列三组点中的一组．对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分．①A(1,3)，B(1,0)，C(－1,3)，D(－1,0)②A(1,3)，B(1,0)，C(－1,3)，D(－1，－2)③A(0,1)，B(0,0)，C(0,0)，D(2,0)【答案】(1) (2) 4＋π;(3)参考解析。
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专题十四 推理与证明、新定义 试题部分
1.【2015高考湖北，理9】已知集合22{(,)1,,}AxyxyxyZ，{(,)||2,||2,,}BxyxyxyZ，定义集合
12121122{(,)(,),(,)}ABxxyyxyAxyB，则AB中元素的个数为（ ） A．77 B．49 C．45 D．30 2.【2015高考广东，理8】若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（ ） A．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3 3.【2015高考浙江，理6】设A，B是有限集，定义(,)()()dABcardABcardAB，其中()cardA表示有限集A中的元素个数，命题①：对任意有限集A，B，“AB”是“ (,)0dAB”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集A，B，C，(,)(,)(,)dACdABdBC，（ ） A. 命题①和命题②都成立 B. 命题①和命题②都不成立 C. 命题①成立，命题②不成立 D. 命题①不成立，命题②成立 4.【2015高考北京，理8】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ） A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 马鸣风萧萧
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 5.【2015高考福建，理15】一个二元码是由0和1组成的数字串*12nxxxnN ，
其中1,2,,kxkn 称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0），已知某种二元
2019版高考数学一轮复习题组训练(文科)课标版第十四章推理与证明(含模拟题)含答案
第十四章推理与证明题组1合情推理与演绎推理1.[2016北京,8,5分][文]某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则()A.2号学生进入30秒跳绳决赛B.5号学生进入30秒跳绳决赛C.8号学生进入30秒跳绳决赛D.9号学生进入30秒跳绳决赛2.[2017北京,14,5分][文]某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:(i)男学生人数多于女学生人数;(ii)女学生人数多于教师人数;(iii)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为.②该小组人数的最小值为.3.[2016山东,12,5分][文]观察下列等式:(sin)-2+(sin)-2=×1×2;(sin)-2+(sin)-2+(sin)-2+(sin)-2=×2×3;(sin)-2+(sin)-2+(sin)-2+…+(sin)-2=×3×4;(sin)-2+(sin)-2+(sin)-2+…+(sin)-2=×4×5;……照此规律,(sin)-2+(sin)-2+(sin)-2+…+(sin)-2=.4.[2015陕西,16,5分][文]观察下列等式1-=1-+-=+1-+-+-=++……据此规律,第n个等式可为.5.[2014新课标全国Ⅰ,14,5分][文]甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.6.[2014福建,15,4分]若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4有且只有一个是正确的, 则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是.7.[2014安徽,12,5分][文]如图14-1,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2.过点A作BC的垂线,垂足为A1;过点A1作AC的垂线,垂足为A2;过点A2作A1C的垂线,垂足为A3;…,依此类推.设BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,…,A5A6=a7,则a7=.图14-18.[2014陕西,14,5分][文]已知f(x)=,x≥0,若f1(x)=f(x), f n+1(x)=f(f n(x)),n∈N+,则f2 014(x)的表达式为.9.[2013湖北,17,5分][文]在平面直角坐标系中,若点P(x,y)的坐标x,y均为整数,则称点P为格点.若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L.例如图14-2中△ABC是格点三角形,对应的S=1,N=0,L=4.图14-2(Ⅰ)图中格点四边形DEFG对应的S,N,L分别是;(Ⅱ)已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c,其中a,b,c为常数.若某格点多边形对应的N=71,L=18,则S=(用数值作答).题组2直接证明与间接证明10.[2017北京,20,13分]设{a n}和{b n}是两个等差数列,记c n=max{b1-a1n,b2-a2n,…,b n-a n n}(n=1,2,3,…),其中max{x1,x2,…,x s}表示x1,x2,…,x s这s个数中最大的数.(Ⅰ)若a n=n,b n=2n-1,求c1,c2,c3的值,并证明{c n}是等差数列;(Ⅱ)证明:或者对任意正数M,存在正整数m,当n≥m时,>M;或者存在正整数m,使得c m,c m+1,c m+2,…是等差数列.11.[2016浙江,20,15分][文]设函数f(x)=x3+,x∈[0,1].证明:(Ⅰ)f(x)≥1-x+x2;(Ⅱ)<f(x)≤.12.[2013北京,20,13分]已知{a n}是由非负整数组成的无穷数列.该数列前n项的最大值记为A n,第n项之后各项a n+1,a n+2,…的最小值记为B n,d n=A n-B n.(Ⅰ)若{a n}为2,1,4,3,2,1,4,3,…,是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*,a n+4=a n),写出d1,d2,d3,d4的值;(Ⅱ)设d是非负整数.证明:d n=-d(n=1,2,3,…)的充分必要条件为{a n}是公差为d的等差数列;(Ⅲ)证明:若a1=2,d n=1(n=1,2,3,…),则{a n}的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.A组基础题1.[2018郑州一中高三入学测试,12]数学上称函数y=kx+b(k,b∈R,k≠0)为线性函数.对于非线性可导函数f(x),在点x0附近一点x的函数值f(x),可以用如下方法求其近似代替值:f(x)≈f(x0)+f '(x0)(x-x0).利用这一方法,m=()A.大于mB.小于mC.等于mD.与m的大小关系无法确定2.[2018吉林百校联盟联考,5]甲、乙、丙三人参加某公司的面试,最终只有一人能够被该公司录用,得到面试结果以后,甲说:丙被录用了;乙说:甲被录用了;丙说:我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误,则下列结论正确的是()A.丙被录用了B.乙被录用了C.甲被录用了D.无法确定谁被录用了3.[2017南昌市三模,4]已知13+23=()2,13+23+33=()2,13+23+33+43=()2,…,若13+23+33+43+…+n3=3 025,则n=()A.8B.9C.10D.114.[2017长春市高三第二次质量监测,14] 将1,2,3,4,…这样的正整数按如图14-3所示的方式排成三角形数组,则第10行左数第10个数为.图14-35.[2017甘肃兰州高考实战模拟,14]观察下列式子:1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,…,由以上可推测出一个一般性结论:对于n∈N*,则1+2+…+n+…+2+1=.6.[2017郑州市高三第三次质量预测,13][数学文化题]中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外.”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放有纵横两种形式,如下表:表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位、百位、万位数用纵式表示,十位、千位、十万位用横式表示,以此类推,例如6 613用算筹表示就是,则5 288用算筹可表示为.B组提升题7.[2017长沙市五月模拟,7]某班级有一个学生A在操场上绕圆形跑道逆时针方向匀速跑步,每52秒跑完一圈,在学生A开始跑步时,在教室内有一个学生B,往操场看了一次,以后每50秒他都往操场看一次,则该学生B“感觉”到学生A的运动是()A.逆时针方向匀速前跑B.顺时针方向匀速前跑C.顺时针方向匀速后退D.静止不动8.[2017沈阳市高三三模,9][数学文化题]“杨辉三角”又称“贾宪三角”,是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算,而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中,辑录了贾宪三角形数表,并称之为“开方作法本源”图.下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”.该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数是()2 017 2 016 2 015 2 014……65432 14 033 4 031 4 029……………11975 38 0648 060 (2016128)16 124 (362820)…………………………A.2 017×22 016B.2 018×22 015C.2 017×22 015D.2 018×22 0169.[2018山东省东明一中模拟,15]古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为,记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k 边形数中第n个数的表达式:三角形数: N(n,3)=n2+n;正方形数: N(n,4)=n2;五边形数: N(n,5)=n2-n;六边形数:N(n,6)=2n2-n,…,由此推测N(8,8)=.10.[2017长春市高三第四次质量监测,16]有甲、乙二人去看望高中数学老师张老师,期间他们做了一个游戏,张老师的生日是m月n日,张老师把m告诉了甲,把n告诉了乙,然后张老师列出来如下10个日期供选择:2月5日,2月7日,2月9日,5月5日,5月8日,8月4日,8月7日,9月4日,9月6日,9月9日.看完日期后,甲说:“我不知道,但你一定也不知道.”乙听了甲的话后,说:“本来我不知道,但现在我知道了.”甲接着说:“哦,现在我也知道了.”请问,张老师的生日是.答案1.B由数据可知,进入立定跳远决赛的8人为1~8号,所以进入30秒跳绳决赛的6人从1~8号里产生.数据排序后可知3号,6号,7号必定进入30秒跳绳决赛,则得分为63,a,60,63,a-1的5人中有3人进入30秒跳绳决赛.若1号,5号学生未进入30秒跳绳决赛,则4号学生就会进入决赛,与事实矛盾,所以1号,5号学生必进入30秒跳绳决赛.故选B.2.612令男学生、女学生、教师人数分别为x,y,z,且x>y>z,①若教师人数为4,则4<y<x<8,当x=7时,y取得最大值6.②当z=1时,1=z<y<x<2,不满足条件;当z=2时,2=z<y<x<4,不满足条件;当z=3时,3=z<y<x<6,y=4,x=5,满足条件.所以该小组人数的最小值为3+4+5=12.3.n(n+1)根据已知,归纳可得结果为n(n+1).4.1-+-+…+--=++…+观察所给等式的左右两边可以归纳出1-+-+…+--=++…+.5.A根据甲和丙的回答推测乙没去过B城市,又知乙没去过C城市,故乙去过A城市.6.6因为①正确,②也正确,所以只有①正确是不可能的;若只有②正确,①③④都不正确,则符合条件的有序数组为(2,3,1,4),(3,2,1,4);若只有③正确,①②④都不正确,则符合条件的有序数组为(3,1,2,4);若只有④正确,①②③都不正确,则符合条件的有序数组为(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2).综上,符合条件的有序数组的个数是6.7.解法一直接递推归纳:等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2所以AB=AC=a1=2,AA1=a2=,A1A2=a3=1,…,A5A6=a7=a1×()6=.解法二求通项:等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2,所以AB=AC=a1=2,AA1=a2=,…,A n-1A n=a n+1=sin ·a n=a n=2×()n,故a7=2×()6=.8.由f1(x)=⇒f2(x)=f()==;又可得f3(x)=f(f2(x))==,故可猜想f2 014(x)=.9.(Ⅰ)3,1,6由定义知,四边形DEFG由一个等腰直角三角形和一个平行四边形构成,其内部格点有1个,边界上格点有6个,S四边形DEFG=3.(Ⅱ)79由待定系数法可得,,⇒,-,,故当N=71,L=18时,S=1×71+×18-1=79.10.(Ⅰ)c1=b1-a1=1-1=0,c2=max{b1-2a1,b2-2a2}=max{1-2×1,3-2×2}=-1,c3=max{b1-3a1,b2-3a2,b3-3a3}=max{1-3×1,3-3×2,5-3×3}=-2.当n≥3时,(b k+1-na k+1)-(b k-na k)=(b k+1-b k)-n(a k+1-a k)=2-n<0,所以b k-na k关于k∈N*单调递减.所以c n=max{b1-a1n,b2-a2n,…,b n-a n n}=b1-a1n=1-n.所以对任意n≥1,c n=1-n,于是c n+1-c n=-1,所以{c n}是等差数列.(Ⅱ)设数列{a n}和{b n}的公差分别为d1,d2,则b k-na k=b1+(k-1)d2-[a1+(k-1)d1]n=b1-a1n+(d2-nd1)(k-1).所以c n=--) -),当时, -,当时①当d1>0时,取正整数m>,则当n≥m时,nd1>d2,因此c n=b1-a1n.此时,c m,c m+1,c m+2,…是等差数列.②当d1=0时,对任意n≥1,c n=b1-a1n+(n-1)max{d2,0}=b1-a1+(n-1)(max{d2,0}-a1).此时,c1,c2,c3,…,c n,…是等差数列.③当d1<0时,当n>时,有nd1<d2.所以=--) -)=n(-d1)+d1-a1+d2+-≥n(-d1)+d1-a1+d2-|b1-d2|.对任意正数M,取正整数m>max{----,},故当n≥m时,>M.11.(Ⅰ)因为1-x+x2-x3=--)--)=-,x∈[0,1],所以-≤,即1-x+x2-x3≤,所以f(x)≥1-x+x2.(Ⅱ)由0≤x≤1得x3≤x,故+≤,f(x)=x3+≤x+=x+-+=-) ))所以f(x)≤.由(Ⅰ)得f(x)≥1-x+x2=(x-)2+≥.因为f()=>,所以f(x)>.综上,<f(x)≤.12.(Ⅰ)d1=d2=1,d3=d4=3.(Ⅱ)(充分性)因为{a n}是公差为d的等差数列,且d≥0,所以a1≤a2≤…≤a n≤…,因此A n=a n,B n=a n+1,d n=a n-a n+1=-d(n=1,2,3,…).(必要性)因为d n=-d≤0 n=1,2,3,…),所以A n=B n+d n≤B n,又a n≤A n,a n+1≥B n,所以a n≤a n+1, 于是,A n=a n,B n=a n+1,因此a n+1-a n=B n-A n=-d n=d,即{a n}是公差为d的等差数列.(Ⅲ)因为a1=2,d1=1,所以A1=a1=2,B1=A1-d1=1.故对任意n≥1,a n≥B1=1.假设{a n}(n≥2)中存在大于2的项.设m为满足a m>2的最小正整数,则m≥2,并且对任意1≤k<m,a k≤2.又a1=2,所以A m-1=2,且A m=a m>2.于是,B m=A m-d m>2-1=1,B m-1=min{a m,B m}≥2.故d m-1=A m-1-B m-1≤2-2=0,与d m-1=1矛盾.所以对于任意n≥1,有a n≤2,即非负整数列{a n}的各项只能为1或2.因为对任意n≥1,a n≤2=a1,所以A n=2.故B n=A n-d n=2-1=1.因此对于任意正整数n,存在m满足m>n,且a m=1,即数列{a n}有无穷多项为1.A组基础题1.A依题意,取f(x)=,则f'(x)=,则≈+(x-x0).令x=4.001,x0=4,则≈2+×0.001,注意到(2+×0.001)2=4+0.001+(×0.001)2>4.001,即m=替值大于m,故选A.2.C若乙的说法错误,则甲、丙的说法都正确,而两人的说法互相矛盾,据此可得,乙的说法是正确的,即甲被录用了.故选C.3.C13+23=()2=()2,13+23+33=()2=()2,13+23+33+43=()2=()2,…由此归纳可得13+23+33+43+…+n3=[)]2,因为13+23+33+43+…+n3=3 025,所以[)]2=3 025,所以n2(n+1)2=(2×55)2,所以n=10,故选C.4.91由三角形数组可推断出,第n行共有2n-1个数,且最后一个数为n2,所以第10行共19个数,最后一个数为100,左数第10个数是91.5.n2由1=12,1+2+1=4=22,1+2+3+2+1=9=32,1+2+3+4+3+2+1=16=42,…,归纳猜想可得1+2+…+n+…+2+1=n2.6.根据题意知,5 288用算筹表示,从左到右依次是横式的5,纵式的2,横式的8,纵式的8,即.。
高考数学一轮复习 第十四章 推理与证明 14.2 直接证明与间接证明对点训练 理
2017高考数学一轮复习 第十四章 推理与证明 14.2 直接证明与间接证明对点训练 理1．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 答案 A解析 因为至少有一个的反面为一个也没有，所以要做的假设为方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根，故选A.2.已知数列{a n }满足：a 1∈N *，a 1≤36，且a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，a n ≤182a n －36，a n >18(n ＝1,2，…)．记集合M ＝{a n |n ∈N *}．(1)若a 1＝6，写出集合M 的所有元素；(2)若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； (3)求集合M 的元素个数的最大值． 解 (1)6,12,24.(2)证明：因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设a k 是3的倍数．由a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，a n ≤18，2a n －36，a n >18，可归纳证明对任意的n ≥k ，a n 是3的倍数．如果k ＝1，则M 的所有元素都是3的倍数．如果k >1，因为a k ＝2a k －1或a k ＝2a k －1－36，所以2a k －1是3的倍数，于是a k －1是3的倍数．类似可得，a k －2，…，a 1都是3的倍数．从而对任意的n ≥1，a n是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数．综上，若集合M 存在一个元素是3的倍数，则M 的所有元素都是3的倍数． (3)由a 1≤36，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n －1，a n －1≤18，2a n －1－36，a n －1>18，可归纳证明a n ≤36(n ＝2,3，…)． 因为a 1是正整数，a 2＝⎩⎪⎨⎪⎧2a 1，a 1≤18，2a 1－36，a 1>18，所以a 2是2的倍数．从而当n ≥3时，a n 是4的倍数．如果a 1是3的倍数，由(2)知对所有正整数n ，a n 是3的倍数． 因此当n ≥3时，a n ∈{12,24,36}．这时M 的元素个数不超过5.如果a 1不是3的倍数，由(2)知对所有正整数n ，a n 不是3的倍数．因此当n ≥3时，a n∈{4,8,16,20,28,32}．这时M 的元素个数不超过8.当a 1＝1时，M ＝{1,2,4,8,16,20,28,32}有8个元素． 综上可知，集合M 的元素个数的最大值为8.3．设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nS nn 2＋c，n ∈N *，其中c 为实数．(1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)； (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0. 证明 由题意得，S n ＝na ＋n n －12d .(1)由c ＝0，得b n ＝S n n＝a ＋n －12d .又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 22＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32d ，化简得d 2－2ad ＝0. 因为d ≠0，所以d ＝2a .因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a .从而对于所有的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k . (2)设数列{b n }的公差是d 1，则b n ＝b 1＋(n －1)d 1，即nS n n 2＋c＝b 1＋(n －1)d 1，n ∈N *，代入S n 的表达式，整理得，对于所有的n ∈N *，有⎝ ⎛⎭⎪⎫d 1－12d n 3＋⎝⎛⎭⎪⎫b 1－d 1－a ＋12d n 2＋cd 1n ＝c (d 1－b 1)．令A ＝d 1－12d ，B ＝b 1－d 1－a ＋12d ，D ＝c (d 1－b 1)，则对于所有的n ∈N *，有 An 3＋Bn 2＋cd 1n ＝D .(*)在(*)式中分别取n ＝1,2,3,4，得A ＋B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1＝64A ＋16B ＋4cd 1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧7A ＋3B ＋cd 1＝0， ①19A ＋5B ＋cd 1＝0， ②21A ＋5B ＋cd 1＝0， ③由②，③得A ＝0，cd 1＝－5B ，代入方程①，得B ＝0，从而cd 1＝0. 即d 1－12d ＝0，b 1－d 1－a ＋12d ＝0，cd 1＝0.若d 1＝0，则由d 1－12d ＝0，得d ＝0，与题设矛盾，所以d 1≠0. 又因为cd 1＝0，所以c ＝0.。
数学一轮复习高考帮第14章推理与证明(.数学文)
第十四章推理与证明题组1合情推理与演绎推理1.[2016北京,8,5分][文]某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则()A.2号学生进入30秒跳绳决赛B.5号学生进入30秒跳绳决赛C.8号学生进入30秒跳绳决赛D.9号学生进入30秒跳绳决赛2.[2017北京,14,5分][文]某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:(i)男学生人数多于女学生人数;(ii)女学生人数多于教师人数;(iii)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为.②该小组人数的最小值为.3.[2016山东,12,5分][文]观察下列等式:(sin)-2+(sin)-2=×1×2;(sin)-2+(sin)-2+(sin)-2+(sin)-2=×2×3;(sin)-2+(sin)-2+(sin)-2+…+(sin)-2=×3×4;(sin)-2+(sin)-2+(sin)-2+…+(sin)-2=×4×5;……照此规律,(sin)-2+(sin)-2+(sin)-2+…+(sin)-2=.4.[2015陕西,16,5分][文]观察下列等式1-=1-+-=+1-+-+-=++……据此规律,第n个等式可为.5.[2014新课标全国Ⅰ,14,5分][文]甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.6.[2014福建,15,4分]若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4有且只有一个是正确的, 则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是.7.[2014安徽,12,5分][文]如图14-1,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2.过点A作BC的垂线,垂足为A1;过点A1作AC的垂线,垂足为A2;过点A2作A1C的垂线,垂足为A3;…,依此类推.设BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,…,A5A6=a7,则a7=.图14-18.[2014陕西,14,5分][文]已知f(x)=,x≥0,若f1(x)=f(x), f n+1(x)=f(f n(x)),n∈N+,则f2 014(x)的表达式为.9.[2013湖北,17,5分][文]在平面直角坐标系中,若点P(x,y)的坐标x,y均为整数,则称点P为格点.若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L.例如图14-2中△ABC是格点三角形,对应的S=1,N=0,L=4.图14-2(Ⅰ)图中格点四边形DEFG对应的S,N,L分别是;(Ⅱ)已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c,其中a,b,c为常数.若某格点多边形对应的N=71,L=18,则S=(用数值作答).题组2直接证明与间接证明10.[2017北京,20,13分]设{a n}和{b n}是两个等差数列,记c n=max{b1-a1n,b2-a2n,…,b n-a n n} (n=1,2,3,…),其中max{x1,x2,…,x s}表示x1,x2,…,x s这s个数中最大的数.(Ⅰ)若a n=n,b n=2n-1,求c1,c2,c3的值,并证明{c n}是等差数列;(Ⅱ)证明:或者对任意正数M,存在正整数m,当n≥m时,>M;或者存在正整数m,使得c m,c m+1,c m+2,…是等差数列.11.[2016浙江,20,15分][文]设函数f(x)=x3+,x∈[0,1].证明:(Ⅰ)f(x)≥1-x+x2;(Ⅱ)<f(x)≤.12.[2013北京,20,13分]已知{a n}是由非负整数组成的无穷数列.该数列前n项的最大值记为A n,第n项之后各项a n+1,a n+2,…的最小值记为B n,d n=A n-B n.(Ⅰ)若{a n}为2,1,4,3,2,1,4,3,…,是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*,a n+4=a n),写出d1,d2,d3,d4的值;(Ⅱ)设d是非负整数.证明:d n=-d(n=1,2,3,…)的充分必要条件为{a n}是公差为d的等差数列;(Ⅲ)证明:若a1=2,d n=1(n=1,2,3,…),则{a n}的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.A组基础题1.[2018郑州一中高三入学测试,12]数学上称函数y=kx+b(k,b∈R,k≠0)为线性函数.对于非线性可导函数f(x),在点x0附近一点x的函数值f(x),可以用如下方法求其近似代替值:f(x)≈f(x0)+f '(x0)(x-x0).利用这一方法,m=的近似代替值()A.大于mB.小于mC.等于mD.与m的大小关系无法确定2.[2018吉林百校联盟联考,5]甲、乙、丙三人参加某公司的面试,最终只有一人能够被该公司录用,得到面试结果以后,甲说:丙被录用了;乙说:甲被录用了;丙说:我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误,则下列结论正确的是()A.丙被录用了B.乙被录用了C.甲被录用了D.无法确定谁被录用了3.[2017南昌市三模,4]已知13+23=()2,13+23+33=()2,13+23+33+43=()2,…,若13+23+33+43+…+n3=3 025,则n=()A.8B.9C.10D.114.[2017长春市高三第二次质量监测,14] 将1,2,3,4,…这样的正整数按如图14-3所示的方式排成三角形数组,则第10行左数第10个数为.图14-35.[2017甘肃兰州高考实战模拟,14]观察下列式子:1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,…,由以上可推测出一个一般性结论:对于n∈N*,则1+2+…+n+…+2+1=.6.[2017郑州市高三第三次质量预测,13][数学文化题]中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外.”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放有纵横两种形式,如下表:表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位、百位、万位数用纵式表示,十位、千位、十万位用横式表示,以此类推,例如6 613用算筹表示就是,则5 288用算筹可表示为.B组提升题7.[2017长沙市五月模拟,7]某班级有一个学生A在操场上绕圆形跑道逆时针方向匀速跑步,每52秒跑完一圈,在学生A开始跑步时,在教室内有一个学生B,往操场看了一次,以后每50秒他都往操场看一次,则该学生B“感觉”到学生A的运动是()A.逆时针方向匀速前跑B.顺时针方向匀速前跑C.顺时针方向匀速后退D.静止不动8.[2017沈阳市高三三模,9][数学文化题]“杨辉三角”又称“贾宪三角”,是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算,而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中,辑录了贾宪三角形数表,并称之为“开方作法本源”图.下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”.该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数是()2 017 2 016 2 015 2 014……65432 14 033 4 031 4 029……………11975 38 0648 060 (2016128)16 124 (362820)…………………………A.2 017×22 016B.2 018×22 015C.2 017×22 015D.2 018×22 0169.[2018山东省东明一中模拟,15]古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为,记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k 边形数中第n个数的表达式:三角形数: N(n,3)=n2+n;正方形数: N(n,4)=n2;五边形数: N(n,5)=n2-n;六边形数:N(n,6)=2n2-n,…,由此推测N(8,8)=.10.[2017长春市高三第四次质量监测,16]有甲、乙二人去看望高中数学老师张老师,期间他们做了一个游戏,张老师的生日是m月n日,张老师把m告诉了甲,把n告诉了乙,然后张老师列出来如下10个日期供选择:2月5日,2月7日,2月9日,5月5日,5月8日,8月4日,8月7日,9月4日,9月6日,9月9日.看完日期后,甲说:“我不知道,但你一定也不知道.”乙听了甲的话后,说:“本来我不知道,但现在我知道了.”甲接着说:“哦,现在我也知道了.”请问,张老师的生日是.答案1.B由数据可知,进入立定跳远决赛的8人为1~8号,所以进入30秒跳绳决赛的6人从1~8号里产生.数据排序后可知3号,6号,7号必定进入30秒跳绳决赛,则得分为63,a,60,63,a-1的5人中有3人进入30秒跳绳决赛.若1号,5号学生未进入30秒跳绳决赛,则4号学生就会进入决赛,与事实矛盾,所以1号,5号学生必进入30秒跳绳决赛.故选B.2.612令男学生、女学生、教师人数分别为x,y,z,且x>y>z,①若教师人数为4,则4<y<x<8,当x=7时,y取得最大值6.②当z=1时,1=z<y<x<2,不满足条件;当z=2时,2=z<y<x<4,不满足条件;当z=3时,3=z<y<x<6,y=4,x=5,满足条件.所以该小组人数的最小值为3+4+5=12.3.n(n+1)根据已知,归纳可得结果为n(n+1).4.1-+-+…+--=++…+观察所给等式的左右两边可以归纳出1-+-+…+--=++…+.5.A根据甲和丙的回答推测乙没去过B城市,又知乙没去过C城市,故乙去过A城市.6.6因为①正确,②也正确,所以只有①正确是不可能的;若只有②正确,①③④都不正确,则符合条件的有序数组为(2,3,1,4),(3,2,1,4);若只有③正确,①②④都不正确,则符合条件的有序数组为(3,1,2,4);若只有④正确,①②③都不正确,则符合条件的有序数组为(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2).综上,符合条件的有序数组的个数是6.7.解法一直接递推归纳:等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2,所以AB=AC=a1=2,AA1=a2=,A1A2=a3=1,…,A5A6=a7=a1×()6=.解法二求通项:等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2,所以AB=AC=a1=2,AA1=a2=,…,A n-1A n=a n+1=sin ·a n=a n=2×()n,故a7=2×()6=.8.由f1(x)=⇒f2(x)=f()==;又可得f3(x)=f(f2(x))==,故可猜想f2 014(x)=.9.(Ⅰ)3,1,6由定义知,四边形DEFG由一个等腰直角三角形和一个平行四边形构成,其内部格点有1个,边界上格点有6个,S四边形DEFG=3.(Ⅱ)79由待定系数法可得,,⇒,-,,故当N=71,L=18时,S=1×71+×18-1=79.10.(Ⅰ)c1=b1-a1=1-1=0,c2=max{b1-2a1,b2-2a2}=max{1-2×1,3-2×2}=-1,c3=max{b1-3a1,b2-3a2,b3-3a3}=max{1-3×1,3-3×2,5-3×3}=-2.当n≥3时,(b k+1-na k+1)-(b k-na k)=(b k+1-b k)-n(a k+1-a k)=2-n<0,所以b k-na k关于k∈N*单调递减.所以c n=max{b1-a1n,b2-a2n,…,b n-a n n}=b1-a1n=1-n.所以对任意n≥1,c n=1-n,于是c n+1-c n=-1,所以{c n}是等差数列.(Ⅱ)设数列{a n}和{b n}的公差分别为d1,d2,则b k-na k=b1+(k-1)d2-[a1+(k-1)d1]n=b1-a1n+(d2-nd1)(k-1).所以c n=--) -),当时, -,当时①当d1>0时,取正整数m>,则当n≥m时,nd1>d2,因此c n=b1-a1n.此时,c m,c m+1,c m+2,…是等差数列.②当d1=0时,对任意n≥1,c n=b1-a1n+(n-1)max{d2,0}=b1-a1+(n-1)(max{d2,0}-a1).此时,c1,c2,c3,…,c n,…是等差数列.③当d1<0时,当n>时,有nd1<d2.所以=--) -)=n(-d1)+d1-a1+d2+-≥n(-d1)+d1-a1+d2-|b1-d2|.,},对任意正数M,取正整数m>max{----故当n≥m时,>M.11.(Ⅰ)因为1-x+x2-x3=--)=-,x∈[0,1],所以-≤,即1-x+x2-x3≤,--)所以f(x)≥1-x+x2.(Ⅱ)由0≤x≤1得x3≤x,故+≤,f(x)=x3+≤x+=x+-+=-) ))所以f(x)≤.由(Ⅰ)得f(x)≥1-x+x2=(x-)2+≥.因为f()=>,所以f(x)>.综上,<f(x)≤.12.(Ⅰ)d1=d2=1,d3=d4=3.(Ⅱ)(充分性)因为{a n}是公差为d的等差数列,且d≥0,所以a1≤a2≤…≤a n≤…,因此A n=a n,B n=a n+1,d n=a n-a n+1=-d(n=1,2,3,…).(必要性)因为d n=-d≤0 n=1,2,3,…),所以A n=B n+d n≤B n,又a n≤A n,a n+1≥B n,所以a n≤a n+1, 于是,A n=a n,B n=a n+1,因此a n+1-a n=B n-A n=-d n=d,即{a n}是公差为d的等差数列.(Ⅲ)因为a1=2,d1=1,所以A1=a1=2,B1=A1-d1=1.故对任意n≥1,a n≥B1=1.假设{a n}(n≥2)中存在大于2的项.设m为满足a m>2的最小正整数,则m≥2,并且对任意1≤k<m,a k≤2.又a1=2,所以A m-1=2,且A m=a m>2.于是,B m=A m-d m>2-1=1,B m-1=min{a m,B m}≥2.故d m-1=A m-1-B m-1≤2-2=0,与d m-1=1矛盾.所以对于任意n≥1,有a n≤2,即非负整数列{a n}的各项只能为1或2.因为对任意n≥1,a n≤2=a1,所以A n=2.故B n=A n-d n=2-1=1.因此对于任意正整数n,存在m满足m>n,且a m=1,即数列{a n}有无穷多项为1.A组基础题1.A依题意,取f(x)=,则f'(x)=,则≈+(x-x0).令x=4.001,x0=4,则≈2+×0.001,注意到(2+×0.001)2=4+0.001+(×0.001)2>4.001,即m=的近似代替值大于m,故选A.2.C若乙的说法错误,则甲、丙的说法都正确,而两人的说法互相矛盾,据此可得,乙的说法是正确的,即甲被录用了.故选C.3.C13+23=()2=()2,13+23+33=()2=()2,13+23+33+43=()2=()2,…由此归纳可得13+23+33+43+…+n3=[)]2,因为13+23+33+43+…+n3=3 025,所以[)]2=3 025,所以n2(n+1)2=(2×55)2,所以n=10,故选C.4.91由三角形数组可推断出,第n行共有2n-1个数,且最后一个数为n2,所以第10行共19个数,最后一个数为100,左数第10个数是91.5.n2由1=12,1+2+1=4=22,1+2+3+2+1=9=32,1+2+3+4+3+2+1=16=42,…,归纳猜想可得1+2+…+n+…+2+1=n2.6.根据题意知,5 288用算筹表示,从左到右依次是横式的5,纵式的2,横式的8,纵式的8,即.B组提升题7.C令操场的周长为C,则学生B每隔50秒看一次,学生A都距上一次学生B观察的位置(弧长),并在上一次位置的后面,故学生B“感觉”到学生A的运动是顺时针方向匀速后退的.8.B从给出的数表可以看出,该数表每行都是等差数列,其中第一行从右到左是公差为1的等差数列,第二行从右到左的公差为2,第三行从右到左的公差为4,…,即第n行从右到左的公差为2n-1,而从右向左看,每行的第一个数分别为1=2×2-1,3=3×20,8=4×21,20=5×22,48=6×23,…,所以第n行的第一个数为(n+1)×2n-2.显然第2 017行只有一个数,其值为(2 017+1)×22 017-2=2 018×22 015.故选B.9.176由题意可得,三角形数:N=(n,3)=n2+n;正方形数:N=(n,4)=n2+0n;五边形数:N=(n,5)=n2-n;六边形数:N(n,6)=n2-n;……由此归纳可得N(n,k)=-n2+-n,故N(8,8)=×82-×8=176.10.8月4日根据甲说的“我不知道,但你一定也不知道”,可排除5月5日、5月8日、9月4日、9月6日、9月9日;根据乙听了甲的话后说的“本来我不知道,但现在我知道了”,可排除2月7日、8月7日;根据甲接着说的“哦,现在我也知道了”,可以得知张老师生日为8月4日.。
【K12高考数学】2018高考数学理(13-17高考题)分类汇编：第14章推理与证明
4, t 4 5 ④， 5, t 5 6 ⑤，由②③得 t 5…6 ，与⑤矛盾，所以正整数 n 的最大值是 4.
故选 B.
命题意图 考查归纳推理与不等式的性质 .
2
22
数为 N (n, k ) ( k … 3 ) ，以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式：
三角形数 N (n,3) 1 n 2 1 n ， 22
正方形数 N (n,3) n2 ，
五边形数 N (n,5) 3 n 2 1 n ，
2
2
六边形数 N (n,6) 2n2 n ，
可以推测 N (n, k ) 的表达式，由此计算 N (10,24) ．
个数对序列 P 使 T5 P 最小，并写出 T5 P 的值 . （只需写出结论） .
7.（ 2017 全国 2 卷理科 7）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩． 老
师说：你们四人中有 2 位优秀， 2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成
绩，给丁看甲的成绩． 看后甲对大家说： 我还是不知道我的成绩． 根据以上信息， 则（）.
D.
8. （ 2017 全国 1 卷理科 12）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件 . 为
激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动
. 这款软件
的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1，1，2， 1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，
8，16，…，其中第一项是 20 ，接下来的两项是 20 ，21，再接下来的三项是 20 ，21 ，22 ， 依此类推 . 求满足如下条件的最小整数 N： N 100且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂 .
高考数学真题分类汇编 14 推理与证明 理 (1)
第十四章推理与证明考点一合情推理与演绎推理1.(2014北京,8,5分)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( )A.2人B.3人C.4人D.5人答案 B2.(2014课标Ⅰ,14,5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.答案 A3.(2014陕西,14,5分)观察分析下表中的数据:多面体面数(F) 顶点数(V) 棱数(E) 三棱柱 5 6 9五棱锥 6 6 10立方体 6 8 12猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是.答案F+V-E=24.(2014北京,20,13分)对于数对序列P:(a1,b1),(a2,b2),…,(a n,b n),记T1(P)=a1+b1,T k(P)=b k+max{T k-1(P),a1+a2+…+a k}(2≤k≤n),其中max{T k-1(P),a1+a2+…+a k}表示T k-1(P)和a1+a2+…+a k两个数中最大的数.(1)对于数对序列P:(2,5),(4,1),求T1(P),T2(P)的值;(2)记m为a,b,c,d四个数中最小的数,对于由两个数对(a,b),(c,d)组成的数对序列P:(a,b),(c,d)和P':(c,d),(a,b),试分别对m=a和m=d两种情况比较T2(P)和T2(P')的大小;(3)在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列P使T5(P)最小,并写出T5(P)的值.(只需写出结论)解析(1)T 1(P)=2+5=7,T2(P)=1+max{T1(P),2+4}=1+max{7,6}=8.(2)T2(P)=max{a+b+d,a+c+d},T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}.当m=a时,T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}=c+d+b.因为a+b+d≤c+b+d,且a+c+d≤c+b+d,所以T2(P)≤T2(P').当m=d时,T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}=c+a+b.因为a+b+d≤c+a+b,且a+c+d≤c+a+b,所以T2(P)≤T2(P').所以无论m=a还是m=d,T2(P)≤T2(P')都成立.(3)数对序列P:(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)的T5(P)值最小,T1(P)=10,T2(P)=26,T3(P)=42,T4(P)=50,T5(P)=52.考点二直接证明与间接证明5.(2014山东,4,5分)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是( )A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根答案 A考点三数学归纳法6.(2014安徽,21,13分)设实数c>0,整数p>1,n∈N*.(1)证明:当x>-1且x≠0时,(1+x)p>1+px;(2)数列{a n}满足a1>,a n+1=a n+.证明:a n>a n+1>.解析(1)证明:用数学归纳法证明:①当p=2时,(1+x)2=1+2x+x2>1+2x,原不等式成立.②假设p=k(k≥2,k∈N*)时,不等式(1+x)k>1+kx成立.当p=k+1时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x.所以p=k+1时,原不等式也成立.综合①②可得,当x>-1,x≠0时,对一切整数p>1,不等式(1+x)p>1+px均成立.(2)证法一:先用数学归纳法证明a n>.①当n=1时,由题设a1>知a n>成立.②假设n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式a k>成立.由a n+1=a n+易知a n>0,n∈N*.当n=k+1时,=+=1+.由a k>>0得-1<-<<0.由(1)中的结论得=>1+p·=.因此>c,即a k+1>.所以n=k+1时,不等式a n>也成立.综合①②可得,对一切正整数n,不等式a n>均成立.再由=1+可得<1,即a n+1<a n.综上所述,a n>a n+1>,n∈N*.证法二:设f(x)=x+x1-p,x≥,则x p≥c,并且f '(x)=+(1-p)x-p=>0,x>.由此可得, f(x)在[,+∞)上单调递增.因而,当x>时, f(x)>f()=,①当n=1时,由a1>>0,即>c可知a2=a1+=a1<a1,并且a2=f(a1)>,从而a1>a2>.故当n=1时,不等式a n>a n+1>成立.②假设n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式a k>a k+1>成立,则当n=k+1时, f(a k)>f(a k+1)>f(),即有a k+1>a k+2>.所以n=k+1时,原不等式也成立.综合①②可得,对一切正整数n,不等式a n>a n+1>均成立.7.(2014陕西,21,14分)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf '(x),x≥0,其中f '(x)是f(x)的导函数.(1)令g1(x)=g(x),g n+1(x)=g(g n(x)),n∈N+,求g n(x)的表达式;(2)若f(x)≥ag(x)恒成立,求实数a的取值范围;(3)设n∈N+,比较g(1)+g(2)+…+g(n)与n-f(n)的大小,并加以证明.解析由题设得,g(x)=(x≥0).(1)由已知,g1(x)=,g2(x)=g(g1(x))==,g3(x)=,…,可得g n(x)=.下面用数学归纳法证明.①当n=1时,g1(x)=,结论成立.②假设n=k时结论成立,即g k(x)=.那么,当n=k+1时,g k+1(x)=g(g k(x))===,即结论成立.由①②可知,结论对n∈N+成立.(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立,即ln(1+x)≥恒成立.设φ(x)=ln(1+x)-(x≥0),即φ'(x)=-=,当a≤1时,φ'(x)≥0(仅当x=0,a=1时等号成立),∴φ(x)在[0,+∞)上单调递增,又φ(0)=0,∴φ(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,∴a≤1时,ln(1+x)≥恒成立(仅当x=0时等号成立).当a>1时,对x∈(0,a-1]有φ'(x)<0,∴φ(x)在(0,a-1]上单调递减,∴φ(a-1)<φ(0)=0.即a>1时,存在x>0,使φ(x)<0,故知ln(1+x)≥不恒成立,综上可知,a的取值范围是(-∞,1].(3)由题设知g(1)+g(2)+…+g(n)=++…+,n-f(n)=n-ln(n+1),比较结果为g(1)+g(2)+…+g(n)>n-ln(n+1).证明如下:证法一:上述不等式等价于++…+<ln(n+1),在(2)中取a=1,可得ln(1+x)>,x>0.令x=,n∈N+,则<ln.下面用数学归纳法证明.①当n=1时,<ln 2,结论成立.②假设当n=k时结论成立,即++…+<ln(k+1).那么,当n=k+1时,++…++<ln(k+1)+<ln(k+1)+ln=ln(k+2),即结论成立.由①②可知,结论对n∈N+成立.证法二:上述不等式等价于++…+<ln(n+1),在(2)中取a=1,可得ln(1+x)>,x>0.令x=,n∈N+,则ln>.故有ln 2-ln 1>,ln 3-ln 2>,……ln(n+1)-ln n>,上述各式相加可得ln(n+1)>++…+.结论得证.证法三:如图,dx是由曲线y=,x=n及x轴所围成的曲边梯形的面积,而++…+是图中所示各矩形的面积和,∴++…+>dx=dx=n-ln(n+1),结论得证.8.(2014江苏,23,10分)已知函数f0(x)=(x>0),设f n(x)为f n-1(x)的导数,n∈N*.(1)求2f1+f2的值;(2)证明:对任意的n∈N*,等式=都成立.解析(1)由已知,得f1(x)=f '0(x)='=-,于是f2(x)=f '1(x)='-'=--+,所以f1=-, f2=-+. 故2f1+f2=-1.(2)证明:由已知,得xf0(x)=sin x,等式两边分别对x求导,得f0(x)+xf '0(x)=cos x,即f0(x)+xf1(x)=cos x=sin,类似可得2f1(x)+xf2(x)=-sin x=sin(x+π),3f2(x)+xf3(x)=-cos x=sin,4f3(x)+xf4(x)=sin x=sin(x+2π).下面用数学归纳法证明等式nf n-1(x)+xf n(x)=sin对所有的n∈N*都成立.(i)当n=1时,由上可知等式成立.(ii)假设当n=k时等式成立,即kf k-1(x)+xf k(x)=sin.因为[kf k-1(x)+xf k(x)]'=kf 'k-1(x)+f k(x)+xf 'k(x)=(k+1)f k(x)+xf k+1(x),'=cos·'=sin,所以(k+1)f k(x)+xf k+1(x)=sin.因此当n=k+1时,等式也成立.综合(i),(ii)可知等式nf n-1(x)+xf n(x)=sin对所有的n∈N*都成立.令x=,可得nf n-1+f n=sin(n∈N*).所以=(n∈N*).9.(2014重庆,22,12分)设a1=1,a n+1=+b(n∈N*).(1)若b=1,求a2,a3及数列{a n}的通项公式;(2)若b=-1,问:是否存在实数c使得a2n<c<a2n+1对所有n∈N*成立?证明你的结论. 解析(1)解法一:a 2=2,a3=+1.再由题设条件知(a n+1-1)2=(a n-1)2+1.从而{(a n-1)2}是首项为0,公差为1的等差数列,故(a n-1)2=n-1,即a n=+1(n∈N*).解法二:a2=2,a3=+1,可写为a1=+1,a2=+1,a3=+1.因此猜想a n=+1.下用数学归纳法证明上式:当n=1时结论显然成立.假设n=k时结论成立,即a k=+1,则a k+1=+1=+1=+1.这就是说,当n=k+1时结论成立.所以a n=+1(n∈N*).(2)解法一:设f(x)=-1,则a n+1=f(a n).令c=f(c),即c=-1,解得c=.下用数学归纳法证明加强命题a2n<c<a2n+1<1.当n=1时,a2=f(1)=0,a3=f(0)=-1,所以a2<<a3<1,结论成立.假设n=k时结论成立,即a2k<c<a2k+1<1.易知f(x)在(-∞,1]上为减函数,从而c=f(c)>f(a2k+1)>f(1)=a2,即1>c>a2k+2>a2.再由f(x)在(-∞,1]上为减函数得c=f(c)<f(a2k+2)<f(a2)=a3<1.故c<a2k+3<1,因此a2(k+1)<c<a2(k+1)+1<1.这就是说,当n=k+1时结论成立.综上,符合条件的c存在,其中一个值为c=.解法二:设f(x)=-1,则a n+1=f(a n).先证:0≤a n≤1(n∈N*).①当n=1时,结论明显成立.假设n=k时结论成立,即0≤a k≤1.易知f(x)在(-∞,1]上为减函数,从而0=f(1)≤f(a k)≤f(0)=-1<1.即0≤a k+1≤1.这就是说,当n=k+1时结论成立.故①成立.再证:a2n<a2n+1(n∈N*).②当n=1时,a2=f(1)=0,a3=f(a2)=f(0)=-1,有a2<a3,即n=1时②成立. 假设n=k时,结论成立,即a2k<a2k+1.由①及f(x)在(-∞,1]上为减函数,得a2k+1=f(a2k)>f(a2k+1)=a2k+2,a2(k+1)=f(a2k+1)<f(a2k+2)=a2(k+1)+1.这就是说,当n=k+1时②成立.所以②对一切n∈N*成立.由②得a2n<-1,即(a2n+1)2<-2a2n+2,因此a2n<.③又由①、②及f(x)在(-∞,1]上为减函数得f(a2n)>f(a2n+1),即a2n+1>a2n+2,所以a2n+1>-1,解得a2n+1>.④综上,由②、③、④知存在c=使a2n<c<a2n+1对一切n∈N*成立.。
2021高考理科数学一轮总复习课标作业：第14章 推理与证明 70
课时作业70 数学归纳法一、选择题1．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n （2n 2＋1）3时，由n ＝k 时的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k ＋1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2D.13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1]解析：n ＝k 时，左边为…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…，n ＝k ＋1时，左边为…＋(k －1)2＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…，可见左边添加的式子为(k ＋1)2＋k 2.故选B.答案：B2．(2019年高考数学理)用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n ＋2＝2n ＋3－1”，在验证n ＝1时，左边计算所得的式子为( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋22D ．1＋2＋22＋23解析：当n ＝1时，左边计算的式子为1＋2＋22＋23，故选D. 答案：D3．(2019年河南省濮阳市高三第二次模拟)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案．如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，求满足如下条件的最小四位整数N：第2017行的第N项为2的正整数幂．已知210＝1 024，那么该款软件的激活码是()12 3 4 5 6 7 …3 5 7 9 1113…8 12162024…20283644…486480……A．1 040 B．1 045C．1 060 D．1 065解析：由数表推得，每一行都是等差数列，第n行的公差为2n－1，记第n行的第m个数为f(n，m)，则f(n，1)＝f(n－1，1)＋f(n－1，2)＝2f(n－1，1)＋2n－2，即f（n，1）2n＝f（n－1，1）2n－1＋14，算得f(n，1)＝(n＋1)2n－2，则f(n，m)＝f(n，1)＋(m－1)·2n－1＝2n－2(2m＋n－1)，又已知第2 017行的第N项为2的正整数幂，且210＝1 024，可推得N＝1 040，即该款软件的激活码是1 040，故选A.答案：A图14．(2019年内蒙古包头市高三第一次模拟)现有4张牌(1)、(2)、(3)、(4)，每张牌的一面都写上一个数字，另一面都写上一个英文字母。
2021-2022年高考数学总复习专题14推理与证明新定义分项练习含解析理
2021年高考数学总复习专题14推理与证明新定义分项练习含解析理一．基础题组1. 【xx全国，理12】正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF ＝.动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为( )A．16 B．14 C．12 D．10【答案】B2. 【xx全国3，理12】计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：十六进制0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B= （）A．6E B．72 C．5F D．B0【答案】B【解析】3. 【xx高考新课标2理数】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 .【答案】1和3【解析】试题分析：由题意分析可知甲的卡片上的数字为1和3，乙的卡片上的数字为2和3，丙的卡片上的数字为1和2.【考点】推理【名师点睛】逻辑推理即演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程.4.【xx课标II，理7】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【考点】合情推理【名师点睛】合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．。
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素材来源于网络，林老师编辑整理 素材来源于网络，林老师编辑整理 第十四章 推理与证明 【例14.1 变式1】 解析 因为56753125,515625,578125,
85末四位数字为0625，95末四位数字为3125，
105末四位数字为5625，115末四位数字为8125，
125末四位数字为0625，…，5,,nnN
记an为5n的末四位组成的四位数，由上可得5n 数列{}na是以4为周期的，故4nnaa，所以201178125,aa 故选D. 评注 周期性的证明，5,,nnN
444444555(51)5523953910000,nnnnn
故
4nnaa
（5n），在许多问题的求解中，发现周期就是找到了突破口，如本题中20115的末四位数通过周期转化为75的末四位数. 【例14.1 变式2】 解析 经观察，从0开始到4为一个周期，故易得选B. 【例14.1 变式 3】 解析 由数阵可知：每一行从左至右成等差数列，且公差为2n，易知第5行的第1个数为32+48=80，公差为25 = 32，所以第7个数为80632272. 【例14.2 变式 1】
解析 （1）220203sinsin(60)sin(120),2
（2）20203sinsinsin(60)sin(60),4
证明：（1）220202002002222222222sinsin(60)sin(120)sin(sincos60cossin60)(sincos120cossin120)1313sin(sincos)(sincos)22221331sinsincossincossin44243333cossincossin422223cos,2 素材来源于网络，林老师编辑整理
素材来源于网络，林老师编辑整理 （2） 2020
2002
222222
sinsinsin(60)sin(60)31sinsin(sin60coscos60sin)(cossin)2231313sinsincossincossinsincos22442333sincos.444
【例14.2 变式2】 解析 （1）选择②式，计算如下：
202000013sin15cos15sin15cos151sin30.24
（2）根据已知，可推广，得： 22003sincos(30)sincos(30).4
证明如下： 2200
000
002
sincos(30)sincos(30)1cos21cos(602)sin(cos30cossin30sin)2211311cos2(cos60cos2sin60sin2)sincossin2222113311coscossin2sin2(1cos2)244441111cos244
3cos2.44 【例14.3 变式1】 解析
0123
()cos,()(cos)'sin,()(sin)'cos,()(cos)'sin,fxxfxxxfxxxfxxx
40()(sin)'cos(),fxxxfx …4,()(),kkfxfx
2015450333()()()sin,fxfxfxx故选C.
评注 要利用周期性归纳求解的方法.
【例14.3 变式2】 解析 由11a，且11nnnaaa(n = 1,2,3,…)得：234111,,,234aaa …，故
猜想：201412014a 素材来源于网络，林老师编辑整理 素材来源于网络，林老师编辑整理 评注 本题亦可用演绎推理解决，将11nnnaaa变形为1111nnaa，利用1{}na为等差数列可知1nna，故1nan.所以20141.2014a 【例14.4 变式1】 分析 利用归纳推理猜想得到{}na的通项公式是解决本题的关键.
解析 （1）由已知三角数阵可知，12341,=3,6,10aaaa，…，每一项可看作等差数列求和问题，即an = 1 + 2 + 3 + … + n = (1)2nn, 再由123451223344556,,,,22222aaaaa，…，可知 要使an能被5整除，需使n或n + 1能被5整除. 即当n = 4，5，9，10，14，15，…时，an能被5整除
即25410615820,,,babababa，…，
所以25(*)kkbakN.故2012510065030baa （2）由（1）可知，对
215115*,(51)5(51)22kkkNbakkkkg
故填（1）5030；（2）5(51)(*)2kkkN. 评注 本题也可利用演绎推理求解{}na的通项公式，由题图14-3可知：
11(*).nnaannN 所以21322,3aaaa，…，1nnaan，累加，得： 123naa…+n，即(+1)2nnna.
【例14.4 变式 2】 解析 设圆内两两相交的(2)nn条线段，彼此最多分割成na条线段，同时将圆最多分割
成nb个部分. （1）5n时，5525,16ab.
（2）由归纳可知，2nan，2234nb…222nnn. 素材来源于网络，林老师编辑整理 素材来源于网络，林老师编辑整理 评注 用归纳推理解决几何问题时，也是通过观察前几个图形的规律，然后归纳总结出第n个图形所对应的数值与n的关系式. 【例14.5 变式1】 解析 由已知可类比写出： 332332332
2131311;3232321;4333331;
……
332(1)331,nnnn
将以上各式分别相加，得： 33223(1)13(123n
…)nn
所以222123+ …2n 31(1)[(1)13]321(1)(21)6nnnnnnn
评注 本题求解是通过方法的类比求出，解题时要知道立方和与立方差公式，即 3322()()ababaabbm
【例14.5 变式2】 解析 将双曲线的方程化为2222yx，类比上述方法，两边同时对x求导，得：
2'4yyx，则2'xyy ，即过点00(,)Pxy的切线的斜率
率k=002yx=222=2，因此切线方程为y-2=2(x-2),整理得：2x-y-2=0. 评注 本题重点考查了类比推理和复合函数求导的运算，当然本题也可通过圆锥曲线与直线的位置关系求解。 【例14.5变式3】
解析 （1）证明：由cos()=coscos-sinsin ①
cos()=coscos+ sinsin， ② ①-②得：cos()-cos()=-2 sinsin ③ 素材来源于网络，林老师编辑整理 素材来源于网络，林老师编辑整理 令=A, =B,有=2BA,=2BA,代入③，得： cos A- cos B=-2sin2BAsin2BA. (2)由二倍角公式可知：1-cos2C=2sin2C, 利用（1）证明的结论可知： cos 2A –cos2B=-2sin(A+B)·sin(A-B),
即：-sin(A+B) ·sin(A-B)= sin2C, 又A+B+C=,所以sin(A+B)= sin(-C)=sinC, 即：-sin(A-B ) = sinC = sin(A+B), 亦即sin(A+B)+ sin(A-B )=0. 由已知可得：2sinAcosB=0,又sinA≠0，所以cosB=0,
故∠B=2,所以△ABC为直角三角形。 评注 本题第（2）问也可通过三角恒等变换求解. 【例14.6变式1】
解析 ①Ax+By+Cz+D=0(A2+B2+C2≠0);
②（x-x0）2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2. 【例14.6变式2】 解析 （1）斜面的中面面积等于斜面面积的41； （2）三角直角面的面积的平方和等于斜面面积的平方； （3）斜面与三个直角面所成二面角的余弦平方和等于1. 【例14.7变式1】 解析 （分析法）化简知
cbabcba311可等价于3bccbabacba
即1bcabac 即bcbacababacbc222 222bacca CBA, 成等差数列 oB60
212cos222acbcaB 即222bacca 成立 所以原等式成立
【例14.8变式1】 解析：（综合法） abba222 cbbc222 aaca222
得 cabcabcba222 当且仅当 31cba取等号 得 1)(2cba 1222222cabcabcba