2011年天津市中考数学试题和答案--解析版
2012年天津市中考数学试卷-答案
（3）反比例函数 图象的一支位于第二象限，故在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大，所以 与点 在该函数的第二象限的图象上，且 ，故可知
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征．
【提示】根据旋转对称图形的性质，可得出四边形需要满足的条件，结合选项即可得出答案．
【考点】旋转对称图形．
7.【答案】A
【解析】从正面看可得从左往右2列正方形的个数依次为1，2；从左面看可得到从左往右2列正方形的个数依次为2，1；从上面看可得从上到下2行正方形的个数依次为1，2．
【提示】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
（Ⅱ）利用样本估计总体的方法，用样本中的平均数 即可．
【考点】条形统计图，用样本估计总体，加权平均数，中位数，众数．
22.【答案】（1）
（2）
【解析】（Ⅰ）∵MA切 于点A，∴ ，又 ，∴ ，∵MA．MB分别切 于点A、B，∴ ，∴ ，∴ ；
（Ⅱ）如图，连接AD、AB，∵ ，又 ，∴ ，又 ，∴四边形MADB是平行四边形，又 ，∴四边形MADB是菱形，∴ ．
【考点】简单组合体的三视图．
8.【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是正方形，M为边DA的中点，∴ ，∴ ，∴ ，∵ ，∵四边形 是正方形，∴
【提示】利用勾股定理求出 的长，即 的长，有 ，所以可以求出 ，进而得到 的长．
【考点】正方形的性质，勾股定理．
9.【答案】C
【解析】A．汽车在高速公路上的行驶速度为 （km/h），故本选项错误；
【提示】（Ⅰ）根据题意，用 乘以 ，计算即可得解；
【中考12年】天津市2001-中考数学试题分类解析 专题8 平面几何基础
2001-2012年天津市中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题8：平面几何基础一、选择题1. （2001天津市3分）在等边三角形、平行四边形、矩形和圆这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有【】A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B。
【考点】轴对称图形和中心对称图形，等边三角形、平行四边形、矩形和圆的性质。
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。
因此，等边三角形只是轴对称图形，平行四边形只是中心对称图形；矩形和圆既是轴对称图形又是中心对称的图形。
故选B。
2.（天津市2002年3分）有如下四个结论：①有两边及一角对应相等的两个三角形全等；②菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；④两圆的公切线最多有4条。
其中正确结论的个数为【】（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个【答案】B。
【考点】全等三角形的判定，菱形的性质，垂径定理，圆与圆的位置与切线的关系。
【分析】根据全等三角形的判定定理，菱形的对称性，垂径定理，两圆的位置与切线的关系作答：①边边角不能判定两三角形全等，故错误；②正确；③当弦也是直径时不成立，故错误；④两圆外离时，有4条公切线，正确。
故选B。
3.（天津市2003年3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是【】（A）等边三角形（B）平行四边形（C）等腰梯形（D）圆【答案】D。
【考点】中心对称图形，轴对称图形。
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。
因此，A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；C、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形；D、圆是轴对称图形，也是中心对称图形。
天津市2020年中考数学试题(Word版,含答案与解析)
天津市2020年中考数学试卷一、单选题（共12题；共24分）1.计算30+(−20)的结果等于（）A. 10B. -10C. 50D. -50【答案】A【考点】有理数的加法【解析】【解答】解：30+(−20)=30−20=10故答案为：A．【分析】根据有理数的加法运算法则计算即可．2.2sin45°的值等于（）A. 1B. √2C. √3D. 2【答案】B【考点】特殊角的三角函数值=√2.【解析】【解答】2sin45°=2× √22故答案为：B.【分析】把sin45°的三角函数值代入计算.3.据2020年6月24日《天津日报》报道，6月23日下午，第四届世界智能大会在天津开幕．本届大会采取“云上”办会的全新模式呈现，40家直播网站及平台同时在线观看云开幕式暨主题峰会的总人数最高约为58600000人．将58600000用科学记数法表示应为（）A. 0．586×108B. 5.86×107C. 58．6×106D. 586×105【答案】B【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】解：58600000=5.86×107，故答案为：B．【分析】把小数点向左移动7位，然后根据科学记数法的书写格式写出即可．4.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【考点】轴对称图形【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、是轴对称图形；D、不是轴对称图形；故答案为：C ．【分析】根据轴对称图形的概念求解．5.下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）A. B. C. D.【答案】 D【考点】简单几何体的三视图【解析】【解答】解：从正面看第一层有两个小正方形，第二层在右边有一个小正方形，第三层在右边有一个小正方形，即：故答案为：D ．【分析】从正面看所得到的图形是主视图，画出从正面看所得到的图形即可．6.估计 √22 的值在（ ）A. 3和4之间B. 4和5之间C. 5和6之间D. 6和7之间【答案】 B【考点】估算无理数的大小【解析】【解答】解：∵ 42<22<52 ，∴ 4<√22<5 ．故答案为：B【分析】因为 42<22<52 ，所以 √22 在4到5之间，由此可得出答案.7.方程组 {2x +y =4x −y =−1的解是（ ） A. {x =1y =2 B. {x =−3y =−2 C. {x =2y =0 D. {x =3y =−1【答案】 A【考点】解二元一次方程组【解析】【解答】解： {2x +y =4①x −y =−1②①+②得： 3x =3 ，解得： x =1 ，把 x =1 代入②中得： 1−y =−1 ，解得： y =2 ，∴方程组的解为： {x =1y =2； 故答案为：A ．【分析】利用加减消元法解出 x,y 的值即可．8.如图，四边形 OBCD 是正方形，O ， D 两点的坐标分别是 (0,0) ， (0,6) ，点C 在第一象限，则点C 的坐标是（ ）A. (6,3)B. (3,6)C. (0,6)D. (6,6)【答案】 D【考点】点的坐标，正方形的性质【解析】【解答】解：∵O ， D 两点的坐标分别是 (0,0) ， (0,6) ，∴OD ＝6，∵四边形 OBCD 是正方形，∴OB ⊥BC ， OB =BC =6∴C 点的坐标为： (6,6) ，故答案为：D ．【分析】利用O ， D 两点的坐标，求出OD 的长度，利用正方形的性质求出ＯB ， BC 的长度，进而得出C 点的坐标即可．9.计算 x (x+1)2+1(x+1)2 的结果是（ ）A. 1x+1B. 1(x+1)2C. 1D. x +1【答案】 A【考点】分式的混合运算【解析】【解答】 x (x+1)2+1(x+1)2 =x+1(x+1)2 ，因为 x +1≠0 ，故 x+1(x+1)2=1x+1 ．故答案为：A ．【分析】本题可先通分，继而进行因式约分求解本题．10.若点A(x1,−5),B(x2,2),C(x3,5)都在反比例函数y=10x的图象上，则x1,x2,x3的大小关系是（）A. x1<x2<x3 B. x2<x3<x1 C. x1<x3<x2 D. x3<x1<x2【答案】C【考点】反比例函数的性质【解析】【解答】将A，B，C三点分别代入y=10x，可求得x1=−2,x2=5,x3=2，比较其大小可得：x1<x3<x2．故答案为：C．【分析】因为A，B，C三点均在反比例函数上，故可将点代入函数，求解x1,x2,x3，然后直接比较大小即可．11.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是（）A. AC=DEB. BC=EFC. ∠AEF=∠DD. AB⊥DF【答案】 D【考点】全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】由已知得：△ABC ≅△DEC，则AC=DC，∠A=∠D，∠B=∠CED，故A选项不符合题意；∵∠A=∠A，∠B=∠CED=∠AEF，故△AEF ∼△ABC，则EFBC =AEAB，假设BC=EF，则有AE=AB，由图显然可知AE ≠AB，故假设BC=EF不成立，故B选项不符合题意；假设∠AEF=∠D，则∠CED=∠AEF=∠D，故△CED为等腰直角三角形，即△ABC为等腰直角三角形，因为题干信息△ABC未说明其三角形性质，故假设∠AEF=∠D不一定成立，故C选项不符合题意；∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°．又∵∠A=∠D，∴∠B+∠D=90°．故AB⊥DF，D选项符合题意．故答案为：D．【分析】本题可通过旋转的性质得出△ABC与△DEC全等，故可判断A选项；可利用相似的性质结合反证法判断B，C选项；最后根据角的互换，直角互余判断D选项．12.已知抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0,c>1）经过点(2,0)，其对称轴是直线x= 1．有下列结论：2① abc>0；②关于x的方程ax2+bx+c=a有两个不等的实数根；③ a<−1．其中，正确结论2的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax^2+bx+c的性质，利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况，【解析】【解答】∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(2,0)，对称轴是直线x=12∴抛物线经过点(−1,0)，b=-a当x= -1时，0=a-b+c，∴c=-2a;当x=2时，0=4a+2b+c，∴a+b=0，∴ab<0，∵c＞1，∴abc＜0，由此①是错误的，∵b2−4ac=a2−4a(−2a)=a2+8a2=9a2>0，而a≠0∴关于x的方程ax2+bx+c=a有两个不等的实数根，②符合题意；∵c>1，c=-2a>1，∴a<−1，③符合题意2故答案为：C.【分析】根据对称轴和抛物线与x轴的一个交点，得到另一个交点，然后根据图象确定答案即可判断①根据根的判别式b2−4ac>0，即可判断②；根据c>1以及c=-2a，即可判断③．二、填空题（共6题；共7分）13.计算x+7x−5x的结果等于________．【答案】3x【考点】合并同类项法则及应用【解析】【解答】解：原式= (1+7-5)x=3x故答案为：3x【分析】根据合并同类项法则化简即可．14.计算(√7+1)(√7−1)的结果等于________．【答案】6【考点】平方差公式及应用【解析】【解答】解：原式= (√7)2−12=7-1=6【分析】根据平方差公式计算即可．15.不透明袋子中装有8个球，其中有3个红球、5个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是________．【答案】38【考点】概率公式【解析】【解答】解：∵不透明袋子中装有8个球，其中有3个红球、5个黑球，∴从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为3，8．故答案为：38【分析】用红球的个数除以总球的个数即可得出取出红球的概率．16.将直线y=−2x向上平移1个单位长度，平移后直线的解析式为________．【答案】y=-2x+1【考点】一次函数图象与几何变换，两一次函数图象相交或平行问题【解析】【解答】解：∵直线的平移规律是“上加下减”，∴将直线y=−2x向上平移1个单位长度所得到的的直线的解析式为：y=−2x+1；故答案为：y=−2x+1．【分析】根据直线的平移规律是上加下减的原则进行解答即可．17.如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD=3，AB=CF=2，则CG的长为________．【答案】32【考点】等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质，三角形的中位线定理【解析】【解答】解：如下图所示，延长DC交EF于点M，AD=3，AB=CF=2，∵平行四边形ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，∴DM//AE，∴△CMF是等边三角形，∴AB=CF=CM=MF=2．在平行四边形ABCD中，AB=CD=2，AD=BC=3，又∵△BEF是等边三角形，∴BF=BE=EF=BC+CF=3+2=5，∴EM=EF−MF=5−2=3．∵ G为DE的中点，CD=CM=2，∴C是DM的中点，且CG是△DEM的中位线，∴CG =12EM =32． 故答案为： 32 ．【分析】延长DC 交EF 于点M （图见详解），根据平行四边形与等边三角形的性质，可证△CFM 是等边三角形，BF=BE=EF=BC+CF=5，可求出CF=CM=MF=2，可得C 、G 是DM 和DE 的中点，根据中位线的性质，可得出CG= 12EM ，代入数值即可得出答案．18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， △ABC 的顶点 A,C 均落在格点上，点B 在网格线上，且 AB =53 ．（1）线段 AC 的长等于________；（2）以 BC 为直径的半圆与边 AC 相交于点D ， 若 P,Q 分别为边 AC,BC 上的动点，当 BP +PQ 取得最小值时，请用无刻度．．．的直尺，在如图所示的网格中，画出点 P,Q ，并简要说明点 P,Q 的位置是如何找到的（不要求证明）________．【答案】 （1）√13（2）如图，取格点M ，N ，连接MN ，连接BD 并延长，与MN 相交于点 B ′ ；连接 B ′C ，与半圆相交于点E ，连接BE ，与AC 相交于点P ，连接 B ′P 并延长，与BC 相交于点Q ，则点P ，Q 即为所求．【考点】勾股定理，轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】（1）如图，在Rt △AEC 中，CE=3,AE=2,则由勾股定理，得AC= √CE 2+AE 2=√32+22 = √13【分析】（1）根据勾股定理，即可求出线段AC 的长；（2） 取格点M ，N ，连接MN ，连接BD 并延长，与MN 相交于点 B ′ ；连接 B ′C ，与半圆相交于点E ，连接BE ，与AC 相交于点P ，连接 B ′P 并延长，与BC 相交于点Q ， 即可求解.三、解答题（共7题；共56分）19.解不等式组 {3x ⩽2x +1, ①2x +5⩾−1. ② 请结合题意填空，完成本题的解答．（1）解不等式①，得________；（2）解不等式②，得________；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（4）原不等式组的解集为________．【答案】 （1）x ≤1（2）x ≥−3（3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（4）−3≤x ≤1【考点】在数轴上表示不等式组的解集，解一元一次不等式组【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．20.农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位： cm ）进行了测量．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次抽取的麦苗的株数为________，图①中m的值为________；（2）求统计的这组苗高数据的平均数、众数和中位数．【答案】（1）25；24（2）解：观察条形统计图，=15.6，这组麦苗得平均数为：x̅=13×2+14×3+15×4+16×10+17×62+3+4+10+6∵在这组数据中，16出现了10次，出现的次数最多，∴这组数据的众数为16．∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间位置的数是16，∴这组数据的中位数为16．故答案为：麦苗高的平均数是15.6，众数是16，中位数是16．【考点】总体、个体、样本、样本容量，平均数及其计算，中位数，众数【解析】【解答】解：(1)由图②可知：本次抽取的麦苗株数为：2+3+4+10+6=25(株)，其中17cm的麦苗株数为6株，故其所占的比为6÷25=0.24=24%，即m=24．故答案为：25,24．【分析】(1)由图②中条形统计图即可求出麦苗的株数；用17cm的麦苗株数6除以总株数24即可得到m 的值；(Ⅱ)根据平均数、众数、中位数的概念逐一求解即可．21.在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC=63°．（1）如图①，若∠APC=100°，求∠BAD和∠CDB的大小；（2）如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E的大小．【答案】（1）解：∵∠APC是△PBC的一个外角，∠ABC=63°，∠APC=100°，∴∠C=∠APC−∠PBC=37°．∵在⊙O中，∠BAD=∠C，∴∠BAD=37°．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵在⊙O中，∠ADC=∠ABC=63°，又∠CDB=∠ADB−∠ADC，∴∠CDB=27°．（2）如下图所示，连接OD，∵CD⊥AB，∴∠CPB=90°．∴∠PCB=90°−∠PBC=27°．在⊙O中，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：∠BOD=2∠BCD，∴∠BOD=2×27∘=54∘，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE．即∠ODE=90°，∴∠E=90°−∠BOD=90∘−54∘=36∘，∴∠E=36°．故答案为：∠E=36°．【考点】圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)先由△CPB中外角定理求出∠C的大小，再根据同弧所对的圆周角相等即可求出∠BAD 的值；且∠ADC=∠ABC，再由直径AB所对的圆周角等于90°求出∠ADB=90°，最后∠ADB-∠ADC即可得到∠CDB的值；(2)连接OD，由CD⊥AB先求出∠DCB，再由圆周角定理求出∠BOD，最后由切线的性质可知∠ODE=90°，进而求出∠E的度数．22.如图，A,B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC,BC．测得BC=221m，∠ACB=45°，∠ABC=58°．根据测得的数据，求AB的长（结果取整数）．参考数据：sin58°≈0．85，cos58°≈0．53，tan58°≈1．60．【答案】解：如图，过点A作AH⊥CB，垂足为H．根据题意，∠ACB=45°，∠ABC=58°，BC=221．在Rt△CAH中，tan∠ACH=AHCH，∴CH=AHtan45°=AH．在Rt△BAH中，tan∠ABH=AHBH ，sin∠ABH=AHAB，∴BH=AHtan58°，AB=AHsin58°．又CB=CH+BH，∴221=AH+AHtan58°．可得AH=221×tan58°1+tan58°．∴AB=221×tan58°(1+tan58°)⋅sin58°≈221×1.60(1+1.60)×0.85=160．答：AB的长约为160m．【考点】解直角三角形【解析】【分析】过点A作AH⊥BC于点H，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．23.在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍0.7km，图书馆离宿舍1km．周末，小亮从宿舍出发，匀速走了7min到食堂；在食堂停留16min吃早餐后，匀速走了5min到图书馆；在图书馆停留30min借书后，匀速走了10min返回宿舍，给出的图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离y km与离开宿舍的时间x min之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：（1）填表：（2）填空：①食堂到图书馆的距离为________ km．②小亮从食堂到图书馆的速度为________ km/min．③小亮从图书馆返回宿舍的速度为________ km/min．④当小亮离宿舍的距离为0.6km时，他离开宿舍的时间为________ min．（3）当0≤x≤28时，请直接写出y关于x的函数解析式．【答案】（1）0.5；0.7；1（2）0.3；0.06；0.1；6或62（3）解：当0≤x≤7时，y=0.1x；当7<x≤23时，y=0.7当23<x≤28时，设y=kx+b，将（23，0.7）（28，1）代入解析式{23k+b=0.728k+b=1，解得{k=0.06b=−0.68∴y=0.06x−0.68．【考点】函数自变量的取值范围，数学思想，通过函数图象获取信息并解决问题【解析】【解答】解：（1）从宿舍到食堂的速度为0.2 ÷2=0.1，0.1 ×5=0.5；离开宿舍的时间为23min时，小亮在食堂，故离宿舍的距离为0.7km；离开宿舍的时间为30min时，小亮在图书馆，故离宿舍的距离为1km故答案依次为：0.5，0.7，1，（2）①1-0.7=0.3，∴食堂到图书馆的距离为0.3 km；故答案为：0.3；②（1-0.7）÷（28-23）=0.06km/min,∴小亮从食堂到图书馆的速度为0.06 km/min故答案为：0.06；③1 ÷（68-58）=0.1km/min,∴小亮从图书馆返回宿舍的速度为0.1 km/min；故答案为：0.1；④当是小亮从宿舍去食堂的过程中离宿舍的距离为0．6km，则此时的时间为0.6 ÷0.1=6min.当是小亮从图书馆回宿舍，离宿舍的距离为0.6km,则从学校出发回宿舍已经走了1-0.6=0.4(km)，0.4 ÷0.1=4(min)58+4=62(min)故答案为：6或62．【分析】（1）根据函数图象分析计算即可；（2）①结合题意，从宿舍出发，根据图象分析即可；②结合图像确定路程与时间，然后根据速度等于路程除以时间进行计算即可；③据速度等于路程除以时间进行计算即可；④需要分两种情况进行分析，可能是从学校去食堂的过程，也有可能是从学校回宿舍；（3）分段根据函数图象，结合“路程=速度×时间”写出函数解析式.24.将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中，点O(0,0)，点A(2,0)，点B在第一象限，∠OAB=90°，∠B=30°，点P在边OB上（点P不与点O,B重合）．（1）如图①，当OP=1时，求点P的坐标；（2）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且OQ=OP，点O的对应点为O′，设OP=t．①如图②，若折叠后△O′PQ与△OAB重叠部分为四边形，O′P,O′Q分别与边AB相交于点C,D，试用含有t的式子表示O′D的长，并直接写出t的取值范围；②若折叠后△O′PQ与△OAB重叠部分的面积为S，当1≤t≤3时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】（1）解：如图，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，则∠OHP=90°．∵∠OAB=90°，∠B=30°∴∠BOA=90°−∠B=60°．∴∠OPH=90−∠POH=30°．在Rt△OHP中，OP=1，∴OH=12OP=12，HP=√OP2−OH2=√32．∴点P的坐标为(12,√32)．（2）解：①由折叠知，△O′PQ≌△OPQ，∴O′P=OP，O′Q=OQ．又OQ=OP=t，∴O′P=OP=OQ=O′Q=t．∴四边形OQO′P为菱形．∴QO′//OB．可得∠ADQ=∠B=30°．∵点A(2,0)，∴OA=2．有QA=OA−OQ=2−t．在Rt△QAD中，QD=2QA=4−2t．∵O′D=O′Q−QD，∴O′D=3t−4，其中t的取值范围是43<t<2．②由①知，△POQ′为等边三角形，∵四边形OQO′P为菱形，∴AB⊥PQ′,三角形DCQ为直角三角形，∠Q=60°，∴CQ=12DQ=12(3t−4)，CD=√32DQ=√32(3t−4),∴S=S△POQ′−S△CDQ′=√34t2−√38(3t−4)2=−7√38(t−127)2+4√37，∵1≤t≤3，∴√38≤S≤4√37．，【考点】菱形的性质，翻折变换（折叠问题），二次函数的实际应用-几何问题【解析】【分析】（1）过点P作PH⊥x轴，则∠OHP=90°，因为∠OAB=90°，∠B=30°，可得∠BOA=60°，进而得∠OPH=30°，由30°所对的直角边等于斜边的一半可得OH=12OP=1 2，进而用勾股定理可得HP=√OP2−OH2=√32，点P的坐标即求出；（2）①由折叠知，△O′PQ≌△OPQ，所以O′P=OP，O′Q=OQ；再根据OQ=OP，即可根据菱形的定义“四条边相等的四边形是菱形”可证四边形OQO′P为菱形，所以QO′//OB，可得∠ADQ=∠B=30°；根据点A的坐标可知OA=2，加之OP=t，从而有QA=OA−OQ=2−t；而在Rt△QAD中，QD=2QA=4−2t，又因为O′D=O′Q−QD，所以得O′D=3t−4，由O′D=3t−4和QA=2−t的取值范围可得t的范围是43<t<2；②由①知，△POQ′为等边三角形，由（1）四边形OQO′P为菱形，所以AB⊥PQ′,三角形DCQ为直角三角形，∠Q=60°，从而CQ=12DQ=12(3t−4)，CD=√3 2DQ=√32(3t−4),进而可得S=S△POQ′−S△CDQ′=√34t2−√38(3t−4)2=−7√38(t−127)2+4√37，又已知t的取值范围是1≤t≤3，即可得√38≤S≤4√37．25.已知点A(1,0)是抛物线y=ax2+bx+m（a,b,m为常数，a≠0,m<0）与x轴的一个交点．（1）当a=1,m=−3时，求该抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线与x轴的另一个交点为M(m,0)，与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E 是直线l上的动点，F是y轴上的动点，EF=2√2．①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且AE=EF时，求点F的坐标；②取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是√22？【答案】（1）解：当a=1，m=−3时，抛物线的解析式为y=x2+bx−3．∵抛物线经过点A(1,0)，∴0=1+b−3．解得b=2．∴抛物线的解析式为y=x2+2x−3．∵y=x2+2x−3=(x+1)2−4，∴抛物线的顶点坐标为(−1,−4)．（2）解：①∵抛物线y=ax2+bx+m经过点A(1,0)和M(m,0)，m<0，∴0=a+b+m，0=am2+bm+m，即am+b+1=0．∴a=1，b=−m−1．∴抛物线的解析式为y=x2−(m+1)x+m．根据题意，得点C(0,m)，点E(m+1,m)．过点A作AH⊥l于点H．由点A(1,0)，得点H(1,m)．在Rt △EAH中，EH=1−(m+1)=−m，HA=0−m=−m，∴AE=√EH2+HA2=−√2m．∵AE=EF=2√2，∴−√2m=2√2．解得m=−2．此时，点E(−1,−2)，点C(0,−2)，有EC=1．∵点F在y轴上，∴在Rt △EFC中，CF=√EF2−EC2=√7．∴点F的坐标为(0,−2−√7)或(0,−2+√7)．②由N是EF的中点，得CN=12EF=√2．根据题意，点N在以点C为圆心、√2为半径的圆上．由点M(m,0)，点C(0,m)，得MO=−m，CO=−m．∴在Rt△MCO中，MC=√MO2+CO2=−√2m．当MC≥√2，即m≤−1时，满足条件的点N落在线段MC上，MN的最小值为MC−NC=−√2m−√2=√22，解得m=−32；当MC<√2，−1<m<0时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上，MN的最小值为NC−MC=√2−(−√2m)=√22，解得m=−12．∴当m的值为−32或−12时，MN的最小值是√22．【考点】待定系数法求二次函数解析式，数学思想，二次函数y=ax^2+bx+c的性质，二次函数的其他应用【解析】【分析】（1）根据a=1,m=−3，则抛物线的解析式为y=x2+bx−3，再将点A（1，0）代入y=x2+bx−3，求出b的值，从而得到抛物线的解析式，进一步可求出抛物线的顶点坐标；（2）①首先用含有m的代数式表示出抛物线的解析式，求出C(0,m)，点E(m+1,m).过点A作AH⊥l于点H,在Rt △EAH中，利用勾股定理求出AE的值，再根据AE=EF，EF=2√2，可求出m的值，进一步求出F的坐标；②首先用含m的代数式表示出MC的长，然后分情况讨论MN什么时候有最值.。
2011年天津市高考数学试卷(理科)答案与解析
2011 年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分） 1．（ 5 分）（ 2011?天津） i 是虚数单位，复数 =（ ）A ． 2+iB ． 2﹣ iC ．﹣ 1+2iD ．﹣ 1﹣ 2i【考点】 复数代数形式的乘除运算．【专题】 数系的扩充和复数．【分析】 要求两个复数的除法运算， 分子和分母同乘以分母的共轭复数， 分子和分母上进行复数的乘法运算，最后结果要化简成最简形式．【解答】 解：复数 = ==2 ﹣ i故选 B ．【点评】 本题考查复数的代数形式的乘除运算，是一个基础题，这种题目运算量不大， 解题应用的原理也比较简单，是一个送分题目．2 2）2．（ 5 分）（ 2011?天津）设 x ， y ∈R ，则 “x ≥2 且 y ≥2”是 “x +y ≥4”的（ A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】 简易逻辑．2222【分析】 由“x ≥2 且 y ≥2”推出 “x +y ≥4”可证明充分性；由满足 “x +y ≥4”可举出反例推翻 “x ≥2且 y ≥2”，则证明不必要性，综合可得答案．2 2【解答】 解：若 x ≥2 且 y ≥2，则 x ≥4， y ≥4，所以若 x 2 +y 2≥4，则如（﹣ 2，﹣ 2）满足条件，但不满足所以 “x ≥2 且 y ≥2”是 “x 22+y ≥4”的充分而不必要条件． 故选 A ．【点评】 本题主要考查充分条件与必要条件的含义．2 2 2 2≥4；x +y ≥8，即 x +yx ≥2 且 y ≥2．3．（ 5 分）（ 2011?天津）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出 i 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【考点】 程序框图．【专题】 算法和程序框图．【分析】 通过程序框图的要求，写出前四次循环的结果得到输出的值． 【解答】 解：该程序框图是循环结构 经第一次循环得到 i=1 ， a=2； 经第二次循环得到 i=2 ， a=5； 经第三次循环得到 i=3 ， a=16；经第四次循环得到 i=4 ， a=65 满足判断框的条件，执行是，输出4故选 B【点评】 本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环结果，找规律．4．（ 5 分）（ 2011?天津）已知 n7 是 a 3 与 a 9 的等比中项，S n 为 {a n } 的前 n 项和， n ∈N *，则 S 10 的值为（）A ．﹣ 110B ．﹣ 90C ．90D ．110【考点】 等差数列的前 n 项和；等比数列的性质．【专题】 等差数列与等比数列．【分析】 通过 a 7 是 a 3 与 a 9 的等比中项，公差为﹣ 2，求出【解答】 解： a 7 是 a 3 与 a 9 的等比中项，公差为﹣ 2，所以 a 72=a 3?a 9， ∵{a n } 公差为﹣ 2，∴a 3=a 7﹣ 4d=a 7+8， a 9=a 7+2d=a 7﹣4，2所以 a 7 =（ a 7+8）（ a 7﹣ 4），所以 a 7=8，所以 a 1=20，所以 S 10= =110故选 D【点评】 本题是基础题，考查等差数列的前n 项和，等比数列的应用，考查计算能力，常考题型．5．（ 5 分）（ 2011?天津）在的二项展开式中， x2的系数为（）A ．B ．C ．D ．【考点】 二项式定理．【专题】 二项式定理．【分析】 利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令 x 的指数为 2，求出展开式中，x 2的系数，即得答案．r 2r ﹣6 r 3﹣ r【解答】 解：展开式的通项为T r+1=（﹣ 1） 2 C 6 x令 3﹣ r=2 得 r=1所以项展开式中， x 2的系数为﹣故选 C【点评】 本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．6．（5 分）（ 2011?天津）如图，在△ABC 中， D 是边 AC 上的点，且AB=AD ，2AB=BD ，BC=2BD ，则 sinC 的值为（）A．B．C．D．【考点】三角形中的几何计算．【专题】解三角形．【分析】根据题中条件，在△ABD 中先由余弦定理求出 cosA ，利用同角关系可求 sinA ，利用正弦定理可求 sin∠ BDC ，然后在△ BDC 中利用正弦定理求解 sinC 即可【解答】解：设 AB=x ，由题意可得AD=x ， BD=△ABD 中，由余弦定理可得∴s inA=△ABD 中，由正弦定理可得? sin∠ ADB=∴△BDC 中，由正弦定理可得故选： D．【点评】本题主要考查了在三角形中，综合运用正弦定理、余弦定理、同角基本关系式等知识解三角形的问题，反复运用正弦定理、余弦定理，要求考生熟练掌握基本知识，并能灵活选择基本工具解决问题．7．（ 5 分）（ 2011?天津）已知，则（）A ． a＞ b＞ cB ．b＞ a＞ c C． a＞ c＞b D ．c＞ a＞ b【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】函数的性质及应用．【分析】 比较大小的方法：找 1 或者 0 做中介判断大小， log 43.6＜ 1，log 23.4＞ 1，利用分数指数幂的运算法则和对数的运算法则对 c 进行化简，得到 ＞ 1＞b ，再借助于中间值 log 2 进行比较大小，从而得到结果． ，【解答】 解：∵ log 23.4＞1， log 43.6＜ 1，又 y=5 x是增函数，∴a ＞ b ，＞= =b而 log 23.4＞ log 2 ＞ log 3 ，∴a ＞ c故 a ＞ c ＞ b ． 故选 C ．【点评】 此题是个中档题．本题考查对数函数单调性、指数函数的单调性及比较大小， 以及中介值法，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．8．（ 5 分）（ 2011?天津）对实数 a 与 b ，定义新运算“? ”： ．设函数 f（x ）=（x 2﹣ 2）? （ x ﹣ x 2），x ∈R ．若函数 y=f （x ）﹣ c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】 函数与方程的综合运用．【专题】 函数的性质及应用．f （ x ） =（ x 2﹣2） ? （x ﹣ x 2）的解析式，并求出 f【分析】 根据定义的运算法则化简函数（x ）的取值范围，函数 y=f （ x ）﹣ c 的图象与 x 轴恰有两个公共点转化为 y=f （ x ），y=c 图象的交点问题，结合图象求得实数 c 的取值范围．【解答】 解：∵，∴函数 f （ x ）=（ x 2﹣ 2）? （ x ﹣ x 2） =，由图可知，当 c ∈∴c 的取值范围是，故选 B ．【点评】 本题考查二次函数的图象特征、 函数与方程的综合运用，及数形结合的思想． 属于基础题．二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分）9．（ 5 分）（2011?天津）一支田径队有男运动员 48 人，女运动员 36 人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为 21 的样本，则抽取男运动员的人数为12 ．【考点】 分层抽样方法． 【专题】 概率与统计．【分析】 根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目， 得到每个个体被抽到的概率，利用每个个体被抽到的概率乘以男运动员的数目，得到结果． 【解答】 解：∵田径队有男运动员 48 人，女运动员36 人，∴这支田径队共有48+36=84 人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为 21 的样本，∴每个个体被抽到的概率是 ，∵田径队有男运动员 48 人，∴男运动员要抽取48× =12 人，故答案为： 12．【点评】 本题考查分层抽样， 在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等， 这是解决这种问题的依据，本题是一个基础题．10．（ 5 分）（ 2011?天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则这个几何体的体积为 6+π m 3．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】由已知中的三视图，我们易判断已知中几何体的形状，然后根据已知的三视图分析出几何体的相关几何量，代入体积公式，即可求出该几何体的体积．【解答】解：由已知可得已知的几何体是一个圆锥和长方体的组合体其中上部的圆锥的底面直径为2，高为 3，下部的长方体长、宽高分别为：2，3，1则 V 圆锥 =?π?3= πV 长方体 =1 ×2×3=6则 V=6+ π故答案为： 6+π【点评】本题考查的知识是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图分析几何体的形状是解答本题的关键．11．（5 分）（ 2011?天津）已知抛物线C 的参数方程为（ t 为参数），若斜率为 1 的直线经过抛物线 C 的焦点，且与圆（222（ r＞ 0）相切，则 r=．x﹣ 4）+y =r【考点】直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质；直线的参数方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；坐标系和参数方程．【分析】由抛物线 C 的参数方程为我们易求出抛物线的标准方程，进而根据斜率222为 1 的直线经过抛物线 C 的焦点，且与圆（ x﹣ 4）+y =r （ r＞0）相切，我们根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程后，代入点到直线距离公式，构造关于 r 的方程，解方程即可得到答案．【解答】解：∵抛物线 C 的参数方程为2则抛物线的标准方程为：y =8x则抛物线 C 的焦点的坐标为（2， 0）又∵斜率为 1 的直线经过抛物线 C 的焦点则直线的方程为y=x﹣ 2，即经 x﹣ y﹣2=02 2 2由直线与圆（ x﹣ 4） +y =r ，则r==故答案为：【点评】本题考查的知识点是直线与的圆位置关系，抛物线的简单性质及抛物线的参数方程，其中根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程后，代入点到直线距离公式，构造关于 r 的方程，是解答本题的关键．12．（ 5 分）（ 2011?天津）如图，已知圆中两条弦AB 与 CD 相交于点F，E 是 AB 延长线上一点，且DF=CF=，AF：FB：BE=4：2：1．若CE与圆相切，则CE 的长为．【考点】圆的切线方程．【专题】直线与圆．【分析】设出 AF=4k ， BF=2k ， BE=k ，由 DF ?FC=AF ?BF 求出 k 的值，利用切割定理求出CE．【解答】解：设 AF=4k ，BF=2k ， BE=k ，由 DF?FC=AF ?BF，得 2=8k 2，即 k=，∴AF=2 ， BF=1 ， BE= ， AE=，2= ，由切割定理得 CE =BE ?EA=∴CE=．【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，基本知识掌握的情况，常考题型．13．（ 5 分）（ 2011?天津）已知集合A={x ∈R||x+3|+|x ﹣ 4|≤9} ，B=，则集合 A ∩B= {x| ﹣ 2≤x≤5}．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出集合 A ，求出集合B，然后利用集合的运算法则求出 A ∩B ．【解答】解：集合 A={x ∈R||x+3|+|x ﹣4|≤9} ，所以 A={x| ﹣4≤x≤5} ；集合，，当且仅当t=时取等号，所以B={x|x ≥﹣ 2} ，所以 A ∩B={x| ﹣ 4≤x≤5} ∩{x|x ≥﹣ 2}={x| ﹣ 2≤x≤5} ，故答案为： {x| ﹣ 2≤x≤5} ．【点评】本题是基础题，考查集合的基本运算，注意求出绝对值不等式的解集，基本不等式求出函数的值域，是本题解题是关键，考查计算能力．14．（ 5 分）（ 2011?天津）已知直角梯形ABCD 中， AD ∥ BC，∠ ADC=90 °，AD=2 ，BC=1 ，P 是腰 DC 上的动点，则的最小值为5．【考点】向量的模．【专题】平面向量及应用．【分析】根据题意，利用解析法求解，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则 A （ 2，0），B（ 1，a），C（ 0， a）， D（0， 0），设 P（ 0， b）（ 0≤b≤a），求出，根据向量模的计算公式，即可求得，利用完全平方式非负，即可求得其最小值．【解答】解：如图，以直线DA ， DC 分别为 x， y 轴建立平面直角坐标系，则A （ 2， 0）， B（ 1，a）， C（ 0， a）， D（ 0，0）设 P（ 0， b）（ 0≤b≤a）则=（2，﹣ b），=（ 1， a﹣ b），∴=（ 5，3a﹣ 4b）∴=≥5．故答案为5．【点评】此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．三、解答题（共 6 小题，满分80 分）15．（ 13 分）（ 2011?天津）已知函数f（ x） =tan（ 2x+），（1）求 f（ x）的定义域与最小正周期；（2）设α∈（ 0，），若f（）=2cos2α，求α的大小．【考点】正切函数的周期性；同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦；正切函数的定义域．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）利用正切函数的定义域求出函数的定义域，利用周期公式求出最小正周期；（Ⅱ）通过，化简表达式，结合α∈（0，），求出α的大小．【解答】解：（Ⅰ）由 2x+≠+k π， k∈Z．所以 x≠，k∈Z．所以f（x）的定义域为： f （x）的最小正周期为：．（Ⅱ）由得 tan（）=2cos2α，整理得因为α∈（ 0，），所以sinα+cosα≠0 因此（ cosα﹣ sinα）2 =即 sin2α= 因为α∈（ 0，），所以α=【点评】本题考查两角和的正弦函数、余弦函数、正切函数公式，同角三角函数的基本关系式，二倍角公式等基本知识，考查基本运算能力．16．（ 13 分）（ 2011?天津）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球、 2个黑球，乙箱子里装有 1 个白球、 2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球，若摸出的白球不少于 2 个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在 1 次游戏中，（i ）摸出 3个白球的概率；（ii）获奖的概率；（Ⅱ）求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E（ X ）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（ I ）（ i ）甲箱子里装有 3 个白球、 2 个黑球，乙箱子里装有 1 个白球、 2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出22 2 个球，事件数是 C5 C3，摸出 3 个白球事件数为211（ ii ）获奖包含摸出 2 个白球和摸出 3 个C3 C2 C2；由古典概型公式，代入数据得到结果，白球，且它们互斥，根据（i）求出摸出 2 个白球的概率，再相加即可求得结果，注意运算要正确，因为第二问要用本问的结果．（II）连在 2次游戏中获奖次数 X 的取值是0、 1、 2，根据上面的结果，代入公式得到结果，写出分布列，求出数学期望．【解答】解：（Ⅰ）（ i）设“在一次游戏中摸出i 个白球”为事件 A i（ i= ， 0，1， 2， 3），则P（A 3）=，（ii ）设“在一次游戏中获奖”为事件 B，则 B=A 2∪A 3，又P（A 2）=，且 A 2、A 3互斥，所以 P（ B ）=P（ A 2） +P（ A3）=；（Ⅱ）由题意可知X 的所有可能取值为 0， 1， 2．P（ X=0 ） =（ 1﹣）2=，1（1﹣） = ，P（ X=1 ） =C2P（ X=2 ） =（2，） =所以 X 的分布列是X012pX 的数学期望 E（ X ） =0×．【点评】此题是个中档题．本题考查古典概型及共概率计算公式，离散型随机变量的分布列数学期望、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．17．（ 13 分）（ 2011?天津）如图所示，在三棱柱ABC ﹣ A 1B 1C1中， H 是正方形 AA 1B1B 的中心， AA 1=21111．， C H⊥平面 AA B B，且 C H=（1）求异面直线 AC 与 A 1 B1所成角的余弦值；（2）求二面角 A ﹣ A 1C1﹣ B1的正弦值；（3）设 N 为棱 B 1C1的中点，点 M 在平面 AA 1B 1B 内，且 MN ⊥平面 A 1B1C1，求线段 BM 的长．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的性质．【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何．【分析】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点 B 为坐标原点．（Ⅰ）求出中的有关向量，然后求出异面直线AC 与 A1B1所成角的余弦值；（Ⅱ）利用求出平面AA 1C1的法向量，通过求出平面 A 1B1C1的法向量，然后利用求二面角 A ﹣A 1C1﹣ B1的正弦值；（Ⅲ）设 N 为棱 B 1C1的中点，设 M（ a，b，0），利用 MN ⊥平面 A 1B1C1，结合求出 a， b，然后求线段 BM 的长．方法二：（ I ）说明∠ C1A 1B1是异面直线 AC 与 A 1B1所成的角，通过解三角形C1A 1B1，利用余弦定理，．求出异面直线 AC 与 A 1B1所成角的余弦值为．（II ）连接 AC 1，过点 A 作 AR ⊥ A 1C1于点 R，连接 B1R，说明∠ ARB 1为二面角 A ﹣A 1C1﹣B 1的平面角．连接 AB 1，在△ARB 1中，通过，求出二面角 A ﹣A 1C1﹣ B1的正弦值为．（III ）首先说明MN ⊥ A1B 1．取 HB 1中点 D，连接 ND ，由于 N 是棱 B1C1中点，推出ND ⊥ A 1B1．证明 A 1B 1⊥平面 MND ，连接 MD 并延长交 A 1B1于点 E，延长 EM 交 AB 于点F，连接 NE．连接 BM ，在 Rt △ BFM 中，求出．【解答】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点 B 为坐标原点．依题意得（I ）解：易得，于是，所以异面直线AC 与 A 1B1所成角的余弦值为．（II ）解：易知．设平面 AA 1C1的法向量 =（ x， y， z），则即不妨令，可得，同样地，设平面A1B 1C1的法向量 =（ x， y，z），则即不妨令，可得．于是，从而．所以二面角 A ﹣A 1C1﹣ B 的正弦值为．（III ）解：由 N 为棱 B1C1的中点，得．设 M （ a， b， 0），则由MN ⊥平面 A 1B1C1，得即解得故．因此，所以线段BM 的长为．方法二：（I）解：由于AC ∥ A1C1，故∠ C1A 1B1是异面直线AC 与 A 1B 1所成的角．因为 C1H⊥平面 AA 1B1B ，又 H 为正方形 AA 1B 1B 的中心，，可得 A 1C1=B 1C1=3 ．因此．所以异面直线AC 与 A 1B1所成角的余弦值为．（I I ）解：连接 AC 1，易知 AC 1=B1C1，又由于 AA 1=B 1A 1， A 1C1=A 1C1，所以△ AC 1A 1≌△ B1C1A 1，过点 A 作 AR ⊥ A 1C1于点 R，连接 B 1R，于是 B1R⊥ A1C1，故∠ ARB 1为二面角 A ﹣ A 1C1﹣ B 1的平面角．在 Rt△ A 1RB 1中，．连接 AB 1，在△ARB 1中，=，从而．所以二面角 A ﹣A 1C1﹣ B1的正弦值为．（I II ）解：因为 MN ⊥平面 A 1B1C1，所以 MN ⊥ A1B 1．取HB 1中点 D，连接 ND ，由于 N 是棱 B1C1中点，所以 ND ∥C1H 且．又C1H⊥平面 AA 1B1B，所以 ND ⊥平面 AA 1B1B，故 ND ⊥ A 1B 1．又MN ∩ND=N ，所以 A 1B 1⊥平面 MND ，连接 MD 并延长交 A 1B1于点 E，则ME ⊥ A1B1，故 ME ∥AA 1．由，得，延长 EM 交 AB 于点 F，可得．连接 NE ．在 Rt△ ENM 中， ND ⊥ ME ，故2ND =DE ?DM ．所以．可得．连接 BM ，在 Rt△ BFM 中，．【点评】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．18．（ 13 分）（2011?天津）在平面直角坐标系xOy 中，点 P（a，b）（ a＞ b＞ 0）为动点， F1，F2分别为椭圆的左、右焦点．已知△ F1PF2为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e；（Ⅱ）设直线PF2与椭圆相交于A， B 两点， M 是直线 PF2上的点，满足，求点 M 的轨迹方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程；椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）直接利用 △ F 1PF 2 为等腰三角形得 |PF 2|=|F 1F 2 |，解其对应的方程即可求椭圆的离心率 e ；（Ⅱ）先把直线方程与椭圆方程联立，求得A ，B 两点的坐标，代入 ，即可求点 M 的轨迹方程．【解答】 解：（Ⅰ）设 F 1（﹣ c ，0）， F 2（ c ， 0）（ c ＞0）．由题得 |PF 2 |=|F 1F 2|，即=2c ，整理得 2 + ﹣ 1=0 ，得 =﹣ 1（舍），或 = ，所以 e= ．（Ⅱ）由（Ⅰ） 知 a=2c ，b= c ，可得椭圆方程为3x 2+4y 2 =12c 2，直线方程为 y=（x ﹣ c ）．A ，B 的坐标满足方程组，消 y 并整理得 5x 2﹣ 8xc=0 ，解得 x=0 ，x=，得方程组的解为 ， ，不妨设 A （ c ，c ）， B （ 0，﹣c ）．设点 M 的坐标为（ x ，y ），则=（ x ﹣ c ， y ﹣ c ）， =（x ， y+ c ）由 y=（ x ﹣ c ）得 c=x ﹣y① ，由=﹣ 2 即（ x ﹣ c ） x+ （y ﹣ c ）（ y+ c ）=﹣ 2．将① 代入化简得 18x 2﹣16xy ﹣ 15=0 ，? y= 代入 ① 化简得 c=＞ 0．所以 x ＞ 0，因此点 M 的轨迹方程为 18x 2﹣ 16xy ﹣15=0（ x ＞ 0）．【点评】 本题主要考查椭圆的方程和几何性质，直线的方程， 平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力．19．（ 14 分）（ 2011?天津）已知 a ＞0，函数 f （x ） =lnx ﹣ ax 2，x ＞ 0．（ f （ x ）的图象连续不断）（Ⅰ）求 f （ x ）的单调区间；（Ⅱ）当时，证明：存在 x 0∈（ 2，+∞），使 ；（Ⅲ）若存在均属于区间 [1，3]的 α，β，且 β﹣ α≥1，使 （f α）=f （β），证明．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点；不等式的证明．【专题】导数的综合应用．【分析】（ I ）求导数 fˊ（ x）；在函数的定义域内解不等式 fˊ（x）＞ 0 和 f ˊ（ x）＜ 0 确定函数的单调区间，若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．（II ）由（ I）知 f（ x）在（ 0， 2）内单调递增，在（2， +∞）内单调递减．令．利用函数f（ x）在（ 0， 2）内单调递增，得到．最后取．从而得到结论；（III ）先由 f （α） =f （β）及（ I）的结论知，从而f（x）在[α，β]上的最小值为 f（ a）．再依 1≤α≤2≤β≤3建立关于 a 的不等关系即可证得结论．【解答】解：（ I），令．当 x 变化时， f' （ x）， f （ x）的变化情况如下表：x（0，）（，+∞）f ′（ x） +0﹣f （ x）增极大值减所以，（f x）的单调递增区间是的单调递减区间是．（II ）证明：当．由（ I）知 f（ x）在（ 0， 2）内单调递增，在（ 2， +∞）内单调递减．令．由于 f（ x）在（ 0， 2）内单调递增，故．取．所以存在x0∈（ 2， x'），使 g（ x0） =0，即存在．（说明： x'的取法不唯一，只要满足x'＞ 2，且 g（ x' ）＜ 0 即可）（III ）证明：由 f （ α）=f （β）及（ I ）的结论知，从而 f （ x ）在 [ α，β]上的最小值为f （ a ）．又由 β﹣ α≥1， α，β∈[1，3] ，知 1≤α≤2≤β≤3．故从而．【点评】 本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法．20．（ 14 分）（ 2011?天津）已知数列{a n } 与 {b n } 满足：， n ∈N *，且 a 1=2， a 2=4 ．（Ⅰ）求 a 3，a 4， a 5 的值；（Ⅱ）设 c n2n ﹣1 2n+1， n ∈N *，证明： {c n=a+a} 是等比数列；（Ⅲ）设 S k =a 2+a 4+⋯+a 2k ， k ∈N *，证明：．【考点】 数列与不等式的综合；等比关系的确定．【专题】 等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）要求 a 3， a 4， a 5 的值；通过赋值方法，利用已知条件化简求解即可．（Ⅱ）化简出a 2n ﹣ 1+a 2n+1， a 2n+1+a 2n+3的关系，即： c n+1 与 c n 的关系，从而证明 {c n } 是等比数列；就是利用（Ⅰ）的，用 2n ﹣ 1， 2n ， 2n+1，替换中的 n ，化简出只含 “a n ”的关系式， 就是 a 2n﹣ 1+a 2n +2a 2n+1=0，① 2a 2n +a 2n+1+a 2n+2=0，② a 2n+1+a 2n+2+2a 2n+3=0，③ 然后推出 a 2n+1+a 2n+3=﹣（ a 2n ﹣ 1+a 2n+1），得到 c n+1=﹣c n （ n ∈N *），从而证明 {c n } 是等比数列；（Ⅲ）先研究通项公式a 2k ，推出 S k 的表达式，然后计算，结合证明的表达式，利用表达式的特征，通过裂项法以及放缩法证明即可；就是：根据 a 2k ﹣1+a 2k+1=（﹣ 1） k，对任意k ∈N * 且 k ≥2，列出 n 个表达式，利用累加法求出 a 2k =（﹣ 1） k+1（ k+3 ）．化简 S 2k =（ a 2+a 4）+（a 6+a 8）+⋯+（ a 4k ﹣ 2+a 4k ）=﹣ k ，k ∈N * ，，通过裂项法以及放缩法证明：．【解答】 20、满分 14 分．（I ）解：由，可得又 b n a n +a n+1+b n+1a n+2=0，（ I I ）证明：对任意 n ∈N *， a 2n ﹣1+a 2n +2a 2n+1=0， ①2a 2n +a 2n+1+a 2n+2=0， ② a 2n+1+a 2n+2+2a 2n+3=0， ③ ② ﹣③ ，得 a 2n =a 2n+3． ④将④ 代入 ① ，可得 a 2n+1+a 2n+3=﹣（ a 2n ﹣ 1+a 2n+1）即 c n+1=﹣ c n （ n ∈N *） 又 c 1=a 1+a 3=﹣ 1，故 c n ≠0，因此是等比数列．（ I II ）证明：由（ II ）可得 a 2k ﹣ 1+a 2k+1=（﹣ 1） k，于是，对任意 k ∈N *且 k ≥2，有将以上各式相加，得 a 1+（﹣ 1）ka 2k ﹣ 1=﹣（ k ﹣1），即 a 2k ﹣ 1=（﹣ 1）k+1（ k+1），此式当 k=1 时也成立．由 ④ 式得 a 2k =（﹣ 1） k+1（ k+3）．从而 S 2k =（ a 2+a 4） +（ a 6+a 8）+⋯+（ a 4k ﹣ 2+a 4k ）=﹣ k ， S 2k ﹣1=S 2k ﹣ a 4k =k+3 ．*所以，对任意 n ∈N ， n ≥2，== ==对于 n=1 ，不等式显然成立．【点评】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．赋值法是求数列前几项的常用方法，注意n=1 的验证，裂项法和放缩法的应用．。
精品 2011年天津九年级中考一模数学各区试题及答案
14. 如图 8 所示图象，可以表示一定条件下物理量之间的关系，则能表示下列各组中的 A．路程和时间之间的关系 B．压力和受力面积之间的关系 C．电流和电压之间的关系 D．电流与电阻之间的关系
图8
第Ⅱ卷（非选择题
三、填空题（本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分）
共 68 分）
注意事项：请用黑色墨水的钢笔（或签字笔）将答案直接写在答题卡上，写在试卷上无效。
图6
13．如图 7 所示电源电压不变，当开关 S2 闭合，S1 断开时，电流表示数为 0.3 A，电压表示数为 9 V； 若将两表互换位置，并同时闭合 S1 和 S2 时，电流表示数为 0.5 A，则下列说法中正确的是 A. 电压表示数仍为 9 V B．R1 的阻值为 18Ω C．R2 的阻值为 45Ω D. R2 消耗的功率为 6.75 W
注意事项：
共 32 分）
答案答在试卷上无效。每小题选出答案后，用 2B 铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点 涂黑。 一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） ：下列每小题给出的四个选项中，只有一 项最符合题意。 1．如图 1 是学校茶炉房为了方便学生而设计的电路。绿灯亮、红灯不亮时，表示水已烧开，此时温控 开关 S1、S2 的开、闭情况是 A．S1 断开、S2 闭合 B．S1 闭合、S2 断开 C．S1、S2 都断开 D．S1、S2 都闭合
图2
4. 下列关于运动和静止的说法中正确的是 A．“嫦娥一号”从地球奔向月球，以地面为参照物，“嫦娥一号”是静止的 B．飞机在空中加油，以受油机为参照物，加油机是静止的 C．汽车在马路上行驶，以路灯为参照物，汽车是静止的 D．小船顺流而下，以河岸为参照物，小船是静止的
2011年天津市高考数学试卷(理科)答案与解析
2011年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1 一1. --------------------------------------------------------------------- （5分）（2011?天津）i是虚数单位，复数-------------------------------------------------- =（）1_1A . 2+i B. 2 - i C.- 1+2i D . - 1 - 2i【考点】复数代数形式的乘除运算.【专题】数系的扩充和复数.【分析】要求两个复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母上进行复数的乘法运算，最后结果要化简成最简形式.【解答】解：复数= -：：'=2 - i1-i （1-i）（1+i） 2故选B .【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是一个基础题，这种题目运算量不大，解题应用的原理也比较简单，是一个送分题目.2 22. （5分）（2011?天津）设x, y€R，贝U X丝且y多堤x +y台”的（）A •充分而不必要条件B •必要而不充分条件C.充分必要条件D •既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【专题】简易逻辑.2 2 2 2【分析】由X支且y多”推出X +y台”可证明充分性；由满足X +y台”可举出反例推翻X多且y 支”，则证明不必要性，综合可得答案.【解答】解：若X》且y呈，则x2台,y2呂，所以x2+y2%，即x2+y2呂；2 2 右x +y台，则如（-2,- 2）满足条件，但不满足x支且y支.2 2 所以X呈且y支”是X +y绍”的充分而不必要条件.故选A .【点评】本题主要考查充分条件与必要条件的含义.3. （5分）（2011?天津）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）£7 = J X CT*1/输出］L/A . 3B . 4C . 5D . 6【考点】程序框图. 【专题】算法和程序框图.【分析】通过程序框图的要求，写出前四次循环的结果得到输出的值. 【解答】解：该程序框图是循环结构 经第一次循环得到 i=1 , a=2; 经第二次循环得到 i=2, a=5;经第三次循环得到 i=3, a=16;经第四次循环得到 i=4, a=65满足判断框的条件，执行是，输出4故选B【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环结果，找规律.4. （ 5分）（2011?天津）已知｛a n ｝为等差数列，其公差为- 2,且a 是a s 与a 9的等比中项, S n 为｛an ｝的前n 项和，n€N ，则S io 的值为（ ）A . - 110B . - 90C . 90D . 110【考点】等差数列的前n 项和；等比数列的性质. 【专题】等差数列与等比数列.【分析】 通过a 7是a 3与a 9的等比中项，公差为-2，求出【解答】解：a 7是a 3与a 9的等比中项，公差为-2，所以a 72=a 3?a 9,T ｛a n ｝公差为-2,二 a 3=a 7- 4d=a 7+8, a 9=a 7+2d=a 7 - 4,所以 a 7 = （a 7+8） （a 7 - 4）,所以 a 7=8，所以 a 1 =20, 所以 S 10=「「二亠八 ' 「-=110故选D【点评】本题是基础题，考查等差数列的前 n 项和，等比数列的应用，考查计算能力，常考题型.故选C【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题.【考点】二项式定理. 【专题】二项式定理.【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令 x 2的系数，即得答案.【解答】解：展开式的通项为 T r+1= （- 1） r 22r -6C 6r x 3-rx 的指数为2，求出展开式中,令 3 - r=2 得 r=1所以项展开式中,x 2的系数为-..\ '-° O5. （ 5分）（2011?天津）在x 2的系数为（2V5 r V6BD _ BC * c _ 3V6sinC sin-ZBDC 4逅兀 3故选：D .【点评】本题主要考查了在三角形中，综合运用正弦定理、余弦定理、 识解三角形的问题， 反复运用正弦定理、 余弦定理，要求考生熟练掌握基本知识, 选择基本工具解决问题.7. （ 5 分） （2011?天津）已知二:r 丄. 八］则（ ）5A . a > b > cB . b > a > cC . a > c >bD . c > a > b 【考点】指数函数的单调性与特殊点.【专题】函数的性质及应用.6. （5分）（2011?天津）如图，在 △ ABC 中，D 是边AC 上的点，且 AB=AD , 2AB= ■:BD ,BC=2BD ，则sinC 的值为（ A .匚3【考点】【专题】【分析】B .亘C .丄D .6 3三角形中的几何计算.解三角形.根据题中条件，在 △ ABD 中先由余弦定理求出 cosA ，利用同角关系可求 sinA ,利 用正弦定理可求 sin /BDC ，然后在△ BDC 中利用正弦定理求解 sinC 即可 【解答】解：设AB=x ，由题意可得 AD=x , BD=—■，.-V3 <3△ ABD 中，由余弦定理可得cosA=2 _ 4 X 2AB 2 + AD 2- BD 2 2x ~~_1••• sinA = _△ ABD 中，由正弦定理可得AB1? sin / ADB=sin^ADB sinA霁in 么孟X 竽暮V3BC △ BDC 中，由正弦定理可得同角基本关系式等知 并能灵活【分析】比较大小的方法：找1或者0做中介判断大小,指数幕的运算法则和对数的运算法则对 c 进行化简，得到b ,再借助于中间值log 2丄进行比较大小，从而得到结果.，3【解答】解:••Tog 23.4 > 1, Iog 43.6v 1, 又y=5x 是增函数，••• a > b ,沁)W5103T Y二5影>5】呃昇二51=5"隔4〉5"阴"归b而 ge |og J >IogJ'，• a > c故 a >c >b . 故选C .【点评】此题是个中档题.本题考查对数函数单调性、指数函数的单调性及比较大小， 以及中介值法，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力.自，a - b^l.设函数fb, a - bJ>l2 2(x ) = (x - 2) ? (X - x ), x €R .若函数y=f (x )- c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则 实数c 的取值范围是()A .| 一 •； 1. " 1 B. ' 一. . 二2 4C .-二「「D.'-卩：■-4444【考点】函数与方程的综合运用. 【专题】函数的性质及应用.【分析】根据定义的运算法则化简函数f (x ) = (x 2- 2) ? (x - x 2)的解析式，并求出 f(x )的取值范围，函数 y=f (x ) - c 的图象与x 轴恰有两个公共点转化为 y=f (x ), y=c 图 象的交点问题，结合图象求得实数c 的取值范围.£ a - b<l【解答】解：•••已毗二J|、■.，b, a ~ b^>l.X.由图可知，当 函数f (x )与y=c 的图象有两个公共点, ••• c 的取值范围是 -,｛•函数 f ( x ) = (x 2- 2)(x - x 2)Iog 43.6v 1, Iog 23.4> 1，利用分数- K £4【点评】本题考查二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用，及数形结合的思想.属于基础题.二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9. （5分）（2011?天津）一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为12 . 【考点】分层抽样方法.【专题】概率与统计.【分析】根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，得到每个个体被抽到的概率，利用每个个体被抽到的概率乘以男运动员的数目，得到结果.【解答】解：：•田径队有男运动员48人，女运动员36人，•••这支田径队共有48+36=84人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，•每个个体被抽到的概率是——84 4•••田径队有男运动员48人，•••男运动员要抽取48X =12人，4故答案为：12.【点评】本题考查分层抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解决这种问题的依据，本题是一个基础题.10. （5分）（2011?天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则这个几何体的体积为6+ n m3.正视圏犒视圏【考点】由三视图求面积、体积.【专题】立体几何.【分析】由已知中的三视图，我们易判断已知中几何体的形状，然后根据已知的三视图分析出几何体的相关几何量，代入体积公式，即可求出该几何体的体积.【解答】解：由已知可得已知的几何体是一个圆锥和长方体的组合体其中上部的圆锥的底面直径为2,高为3，下部的长方体长、宽高分别为：2，3, 1贝U V圆锥=* ? n?= nV长方体=1 >2X3=6则V=6+ n故答案为：6+ n【点评】本题考查的知识是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图分析几何体的形状是解答本题的关键.11. （5分）（2011?天津）已知抛物线C的参数方程为X=St（t为参数），若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆（x-4）2+y2=r2（r> 0）相切，则r=_ . ：_ .【考点】直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质；直线的参数方程.【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；坐标系和参数方程.f 2【分析】由抛物线C的参数方程为X"St我们易求出抛物线的标准方程，进而根据斜率L y=8t为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆（x- 4）2+y2=r2（r>0）相切，我们根据直线与圆相切，贝U 圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程后，代入点到直线距离公式，构造关于r的方程，解方程即可得到答案.【解答】解：•••抛物线C的参数方程为，x=St则抛物线的标准方程为：y2=8x则抛物线C的焦点的坐标为（2, 0）又•••斜率为1的直线经过抛物线C的焦点则直线的方程为 y=x - 2,即经x - y - 2=0 由直线与圆（x - 4） 2+y 2=r 2，则故答案为：-其中根据直线与圆相切， 则圆心到直线的距离等于半径， 求出直线方程后，代入点到直线距离公式，构造关于r 的方程，是解答本题的关键.12. （ 5分）（2011?天津）如图，已知圆中两条弦 AB 与CD 相交于点F , E 是AB 延长线上 一点，且 DF=CF= 二 AF : FB : BE=4 : 2: 1.若CE 与圆相切，则 CE 的长为.【考点】圆的切线方程. 【专题】直线与圆.【分析】 设出AF=4k , BF=2k , BE=k ，由DF?FC=AF?BF 求出k 的值，禾U 用切割定理求出 CE .2 1【解答】 解：设 AF=4k , BF=2k , BE=k ，由 DF?FC=AF ?BF ，得 2=8k ，即 k=,2••• AF=2 , BF=1 , BE= , AE=,2 22 17 7由切割定理得CE =BE?EA= =—，2 2 4• CE ==.2【点评】 本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，基本知识掌握的情况， 常考题型.13. （ 5 分）（2011?天津）已知集合 A={x €R||x+3|+|x - 4|电}, B= . T _ I ： — - |I ' ，则集合 A QB= _【考点】交集及其运算. 【专题】集合.【分析】 求出集合A ，求出集合B ,然后利用集合的运算法则求出 A AB .【解答】 解：集合A={x €R||x+3|+|x - 40}，所以A={x| - 4纟老}; 集合-.■' -'. ■ . ； .•-，--_ -■■■■. '| _ _ - - - ■-- ,当且仅当t=〔时取等号，所以 B={x|x A 2},2所以 A AB={x| - 4$W5} A{x|x A 2}={x| - 2$老}, 故答案为：{x| - 2<x<5}.r=4-2【点评】本题考查的知识点是直线与的圆位置关系,抛物线的简单性质及抛物线的参数方程,【点评】本题是基础题，考查集合的基本运算，注意求出绝对值不等式的解集，基本不等式求出函数的值域，是本题解题是关键，考查计算能力.14. (5 分)(2011?天津)已知直角梯形ABCD 中，AD // BC,/ ADC=90 ° AD=2 , BC=1 ,P是腰DC上的动点，则|的最小值为 5 .【考点】向量的模.【专题】平面向量及应用.【分析】根据题意，利用解析法求解，以直线DA , DC分别为x, y轴建立平面直角坐标系，则A (2, 0), B (1 , a) , C (0 , a) , D (0 , 0),设P (0 , b) (0电弟)，求出包+3瓦,根据向量模的计算公式，即可求得_ J : ：■.<■' | ,利用完全平方式非负，即可求得其最小值.【解答】解：如图，以直线DA, DC分别为x , y轴建立平面直角坐标系，则A (2 , 0), B (1 , a) , C ( 0 , a) , D (0 , 0)设P ( 0 , b) ( 04)毛)则」■■= (2 , - b), -1= (1, a- b),•••「'd「用=(5 , 3a- 4b)••• C「二* 「一二；l.. .「为.故答案为5.【点评】此题是个基础题•考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力.三、解答题(共6小题，满分80分)15. (13 分)(2011?天津)已知函数f (x) =tan (2x+——),(1 )求f (x)的定义域与最小正周期；(2)设a€ ( 0,——)，若f (二)=2cos2 a ,求a 的大小.4 2【考点】正切函数的周期性；同角三角函数基本关系的运用； 二倍角的余弦；正切函数的定义域.【专题】解三角形.【分析】(I)利用正切函数的定义域求出函数的定义域，利用周期公式求出最小正周期；(n)通过f (2) -2cos2Cl ，化简表达式，结合 a€ ( 0,丄L ),求出a 的大小.241解答,解：⑴由吩 即n 迪.所以x 专呼，k 厘.所以f (x )的定义域/. f (x )的最小正周期为:sin ( a +令)---------- 二2 (co s 2a - si cos ( □ +—)4整理得—L' ] 1 J _ 二 i -二二: cos a 一 sin Cl(cos a+sind )因为 a€ (0,匹)，所 4以 sin a +cos a 0 因此(COS a — sin a) 即 sin2 a —因为 a€ (0,二_),2 4所以a_—12【点评】本题考查两角和的正弦函数、余弦函数、 式，二倍角公式等基本知识，考查基本运算能力.16. (13分)(2011?天津)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3个白球、2 个黑球，乙箱子里装有 1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个 箱子里各随机摸出 2个球，若摸出的白球不少于 2个，则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)(I)求在1次游戏中，(i) 摸出3个白球的概率； (ii) 获奖的概率；(n)求在2次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E (X ).【考点】离散型随机变量的期望与方差； 互斥事件与对立事件； 古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列. 【专题】概率与统计.【分析】(1)( i )甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有 1个白球、2个黑球， 这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2个球，事件数是 C 52C 32,摸出3个白球事件数为C 32C 21C 21；由古典概型公式，代入数据得到结果，(ii )获奖包含摸出2个白球和摸出3个白球，且它们互斥，根据(i )求出摸出2个白球的概率，再相加即可求得结果，注意运算为:2_丄=:正切函数公式，同角三角函数的基本关系 - ■-.-：=：'得 tan (=2cos2 a,要正确，因为第二问要用本问的结果.(II )连在2次游戏中获奖次数 X 的取值是0、1、2,根据上面的结果，代入公式得到结果，写出分布列，求出数学期望.【点评】此题是个中档题. 本题考查古典概型及共概率计算公式， 离散型随机变量的分布列数学期望、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力.17. (13分)(2011?天津)如图所示，在三棱柱 ABC - A 1B 1C 1中，H 是正方形AA 伯伯 的 中心，AA 仁2*：「，C 1H 丄平面 AA 1B 1B ，且 C 1H=".(1) 求异面直线 AC 与A 1B 1所成角的余弦值； (2) 求二面角 A - A 1C 1 - B 1的正弦值；(3) 设N 为棱B 1C 1的中点，点 M 在平面AA 1B 1B 内，且MN 丄平面A 1B 1C 1,求线段BM【考点】 二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的性质. 【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何.【解答】解：(I) (i )设 在一次游戏中摸出i 个白球”为事件A i (i= , 0, 1, 2, 3),则2 1 C3 c 21P (A 3).(ii )设 在一次游戏中获奖2 2 11 C 电 C 9C C nP (A 2)=厂 丁- - - ■ c 5 c 3 c 5”为事件B , 1.一-3则 B=A 2U A 3,又且 A 2、A 3 互斥，所以 P ( B ) =P (A 2)(H)由题意可知 X 的所有可能取值为+P ( A 3)=:」］ 0, 1, 2.P (X=0 )==(1 - \ 2=,10 100P (X=2 )==(')「，10 10012.p910021 50 49 100X 的数学期望E (X ) =0X " . ■ 一100 50100^5P (X =1)"吒(1 甘疇，所以X 的分布列是【分析】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B 为坐标原点.(I)求出心中的有关向量，然后求出异面直线 AC 与A 1B 1所成角的余弦值；□二0T(H)利用,「: 求出平面AA i C i 的法向量IT ,通过*AA ［二 0 的法向量」然后利用MN-AiBi=O(川)设N 为棱B i C i 的中点，设M ( a, b, 0),利用MN 丄平面A i B i C i,结合［一 fHN-A^^O求出a , b ,然后求线段BM 的长.方法二：(I )说明/ C i A i B i 是异面直线AC 与A i B i 所成的角，通过解三角形 C i A i B i ,利 用余弦定理， cosZC l A l B l- 2A 1C 1-A 1B 1-3求出异面直线 AC 与A i B i 所成角的余弦值为士I3(II )连接AC i ,过点A 作AR 丄A i C i 于点R ，连接B i R ，说明/ ARB i 为二面角A - A i C iA "+E E - AB !-B i 的平面角.连接 AB i ,在厶ARB i 中，通过「 • •,1ZAK* D j K求出二面角A -A i C i - B i 的正弦值为 -7(III )首先说明MN 丄A i B i .取HB i 中点D ,连接ND ，由于N 是棱B i C i 中点，推出ND 丄A i B i .证明A i B i 丄平面MND ,连接MD 并延长交A i B i 于点E ,延长EM 交AB 于点F,_连接NE .连接BM ，在Rt △ BFM 中，求出【解答】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点 B 为坐标原点. 依题意得A (2^2. 0, 0) ,B (0, 0, 0),C (近，-伍，真)A t (2A /2 * 2^2* 0)，B ］ (CL 2品 0) , Cj (V2 * V2 * Vs )cos 疋，盘磴［B ；〉二,一.’, ----- .,1 1|人1匚1二Q求出平面 A I B I C I i 二0［一求二面角A - A i C i - B i 的正弦值；(I )解：易得-- 冷「 —.:—► -------►AC p A 1B 14 V?是， 所以异面直线AC 与A 1B1所成角的余弦值为匚.(H )解：易知.I .... ■--: =匸设平面AA 1C 1的法向量 =(x , y , z ),不妨令」二，可得.. - ■ 同样地，设平面 A i B i C i 的法向量-i=(x , y , z ),n p A t C t =0( -^/2x - V23^V5Z ~0、 厂则* f ______ * 即《 不妨令尸，n-A^^O l - 2V2K =0.可得-厂•「 ■■: 1所以二面角A - A 1C 1 - B 的正弦值为in* Ai Ci=O则-丄即(■后-品*12727=0.从而:j(III )解：由N 为棱B i C i 的中点,方法二：(I )解：由于AC // A 1C 1，故/ C i A i B i 是异面直线AC 与A I B I 所成的角. 因为CiH 丄平面AAlBlB ,又H 为正方形AAlBlB 的中心， 「.二-C . H--可得 A i C 仁B i C i =3 .因此-M--G 曲厶n 1 2打所以异面直线AC 与A i B i 所成角的余弦值为 1.3(II )解：连接 AC i ，易知 AC I =B I C I , 又由于 AA I =B I A I , A i C i =A i C i ,所以△ AC i A i ^A B i C i A i ,过点A 作AR 丄A i C i 于点R ,连接B i R ，于是B i R 丄A i C i ，故/ ARB i 为二面角A - A i C i - B i 的平面角.由MN 丄平面A I B I C I ，得、MN-B!=0连接 AB I ，在△ ARB I 中，上 「门-一 A7.:.-AR 2+B 1R 2 - ABj 2祁•石百=°c在Rt △ A IRBI中，•-…..-(I)求椭圆的离心率 e ;【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程；椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.所以二面角A - A i C i - B i 的正弦值为-7(III )解：因为 MN 丄平面A i B i C l ，所以MN 丄A i B i . 取HB i 中点D ,连接ND ，由于N 是棱B i C i 中点， 所以 ND // C i H 且、一-厂--.2 2又C i H 丄平面AA i B i B , 所以ND 丄平面AA i B i B ，故ND 丄A i B i . 又 MN AND=N ,所以A i B i 丄平面MND ，连接MD 并延长交A i B i 于点E , 则 ME 丄A iB i ，故 ME // AA i .得---：--，延长EM 交AB 于点F ,2可得-_ ：)2在 Rt △ ENM 中，ND 丄 ME ，故 ND 2=DE?DMD 厝晋 F 闻所以可得BM ，在 Rt △ BFM 中，：丫_ y 二］；一 . 【点评】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.连接 i8. (i3分)(20ii?天津)在平面直角坐标系2 2F2分别为椭圆1的左、右焦点.已知a 2b 2xOy 中，点 P (a , b ) (a > b > 0)为动点,△ F i PF 2为等腰三角形.F i ,(H)设直线PF 2与椭圆相交于 A , B 两点,M 是直线PF 2上的点，满足f ；：,.连接NE .点M 的轨迹方程.【分析】(I)直接利用△ F 1PF 2为等腰三角形得 离心率e ;将① 代入化简得18x 2- 16 7y - 15=0, ? y='代入① 化简得c=丄」>0.所1&V3X16x以 x >0 , 因此点M 的轨迹方程为18x 2- 16 ■:xy - 15=0 (x >0). 【点评】本题主要考查椭圆的方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力.219. (14分)(2011?天津)已知a >0，函数f (x ) =lnx - ax , x >0. (f (x )的图象连续不 断)(I)求f (x )的单调区间；(n)当 手g 时，证明：存在Xo € (2, + 8),使f (耳)=f (冷);(川)若存在均属于区间［1,3］的a 且B- a 丰,使(a)=f( B),证明 — ■ ■-：一匚一5 3|PF 2|=|F 1F 2|,解其对应的方程即可求椭圆的 (n)先把直线方程与椭圆方程联立，求得A ,B 两点的坐标， 代入二,即可求点M 的轨迹方程.【解答】解：(I)设 F i (- c , 0) , F 2 (c , 0)(C >0).由题得 |PF 2|=|F i F 2|，即:'=2c ，整理得 2a2+ :-仁0,得：=-1 (舍),或=,a 2所以e=.2(n)由(I)知a=2c , b= 7c ,可得椭圆方程为y 2=12c 2 Cx-d '消y 并整理得5x 2- 8xc=0 ,3x 2+4y 2=12c 2，直线方程为 y= '； (x - c ).解得x =0, x鲁得方程组的解为x=08c5v=—■—c不妨设 A ( c 二一c ), B (0, - 7 c )5 5*p设点M 的坐标为(x , y ),则AH = (x - — c , 5y -— c ) , M= (x , y+■:c )5由.「，丫 * f'= - 2 即(x -x+ (y --C) 5(y+* ?c ) =- 2.A ,B 的坐标满足方程组①，由 Y =W (x - c ) 得 c=x -【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点；不等式的证明.【专题】导数的综合应用.【分析】(I)求导数f/(x)；在函数的定义域内解不等式f/(x)> 0和f/(x)v 0确定函数的单调区间，若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论.(II )由(I)知f (x)在(0, 2)内单调递增，在(2, +8)内单调递减•令-二.■' I I .利用函数f (x)在(0, 2)内单调递增，得到2.■- ■ .- 「•最后取I:「「一「从而得到结论;(III )先由f (a) =f (份及( :1)的结论知P，从而f (x )在［a, 3上的最小值为f (a).再依1Wa2<B3建立关于a的不等关系即可证得结论.2【解答】解: (I) : :. - ・■X X令-:< ■.-11^ /'.za当x变化时，f (x), f (X)的变化情况如下表：x(0, ^^)2a 7 2刁2a(V^, + 8)2af' (x) +0—f ( x) 增极大值减所以，f( x)的单调递增区间是I I, --1 . ，:的单调递减区间是2a(II )证明：当-厂"「一丄' :, •s y由(I)知f (x)在(0, 2)内单调递增，在(2, + 8)内单调递减.令H ；■一•'':.由于f (x)在(0, 2)内单调递增，故..取:,'■■■■ ■' : - -J- -'r- 1.1所以存在x°€ (2, x'),使g (xo) =0,即存在- . . ' : 1■, -1 ,.(说明：x'的取法不唯一，只要满足x'> 2，且g (x')v 0即可)(Ill )证明：由f (a) =f (B)及(I )的结论知,, 2a 从而f (x )在［a B 上的最小值为f (a ). 又由 a 1 a, ^€［1 , 3］，知 1 Wa 2^B 3.,,ff (2) Af ( Ct ) >f (1) An fln2 -- af (2) CP) C3) . ^In2 - 4a^ln3 - 9a.【点评】本小题主要考查导数的运算、禾U 用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点 等基础知识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法.20. (14分)(2011?天津)已知数列｛a n ｝与｛b n ｝满足:(I)求 a 3, a 4, a 5 的值；(n)设 C n =a 2n -1+a 2n+1, n €N ，证明：｛c n ｝是等比数列;(川)设 S k =a 2+a 4+ --+a 2k , k€N ，证明:【考点】数列与不等式的综合；等比关系的确定. 【专题】等差数列与等比数列.【分析】(I)要求a 3, a 4, a 5的值；通过赋值方法，利用已知条件化简求解即可.(n)化简出a 2n - 1+a 2n+1, a 2n+1+a 2n+3的关系，即：C n+1与C n 的关系，从而证明｛C n ｝是等比 数列；就是利用(I)的 b 二'1" 吟覚豎，用2n — 1, 2n , 2n+1 ,替换n匕且为偶数1,.r -———中的n ,化简出只含a n'的关系式，就是a 2n-1+a 2n +2a 2n+1=0,① 2a 2n +a 2n+1+a 2n+2=0,② a 2n+1+a 2n+2+2a 2n+3=0,③ 然后推出 a 2n+1+a 2n+3= —(a 2n - 1+a 2n+1),得到5+1= — C n ( n €N ),从而证明｛C n ｝是等比数列； (川)先研究通项公式a 2k ,推出S k 的表达式，然后计算 '，结合证明的表达式，利用表达式的特征，通过裂项法以及放缩法证明即可；就是：根据a 2k -1+a 2k+1= (— 1) k ,对任意k+1k€N 且k 多，列出n 个表达式，利用累加法求出 a 2k = (— 1) (k+3).化简S 2k = ( a 2+a 4)、 / x . . <KI * 3 兀 JJ r 场m-3 ^4jn-2 1 】皿计+ (a 6+a 8)+ ••+ ( a 4k -2+a 4k ) = — k , k €N ，二k=l a k m=l两皿-？屯1 対皿加 S T , 7通过裂项法以及放缩法证明：::\'k=i a k 6【解答】20、满分14 分.b n a n +an+l + b n +l a n+2=°7''■'，n €N *，且 a 1=2,a 2=4.% Si, 7可得b =(lf n?Sn u，ii为偶数又b n a n+a n+1+b n+1a n+2=0,当n=l时，a1-l-a2+2a3=：0i由31~2, a2=4s可得a3= - 3；当口二£时，2a2 + a3+a4=0* 可得a4= - 5i当HF3时,&3+a4+2a5=0* 可得屯=4.(II)证明：对任意n€N , a2n-i+a2n+2a2n+仁0,①2a2n+a2n+1+a2n+2=0, ②a2n+l+a2n+2+2a2n+3=0,③②-③，得a2n=a2n+3-④将④ 代入①，可得a2n+1+a2n+3=-( a2n- 1+a2n+1)即C n+1= - c n ( n€N )又c1 =a1+a3= - 1,故C n M D,因此:. ■ ■I是等比数列.c n n（III ）证明：由（II）可得a2k- 1+a2k+1= （- 1）, 于是，对任意k €N*且k逖有aj + a^ - l t-（巧+叫）二巧+ a亍~1，(-1 ) k ( a2t-3+ a2k - 1^ = _ 1-将以上各式相加，得a1+ (- 1) k a2k-1= -( k - 1),即a2k-1= (- 1) k+1(k+1),k+1此式当k=1时也成立.由④ 式得a2k= (- 1) ( k+3).从而S2k= (a2+a4) + (a6+a8) + ••+ ( a4k-2+a4k) = - k, S2k-仁S2k- a4k=k+3.所以，对任意n €N*, n老芒( 3如「3 | S如_2 ] $仏「打5-机)(2nH~2 _ 加- 1 _ 2nrh3 十2m)k=l a k Jii=l 为m-3 ^-2 1 m=l 加2时2 2^1 2nr+3「： =... . =—(——+____________________ 3 _______ )2*3 ±2 加(2nri-l) (2时2) (2时3). =3急(2m-l) (2^1) (2^2) (2时3)孚订(1-1) + (1-1) +…+] ——-2 ------------- —3 2 3 5 5 7 2n- 1 2n+l (2n+2) (2n+3)^5.5 ] 3 _______飞陀2*2n+l (2n+2) (2n+3)对于n=1，不等式显然成立.【点评】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法. 赋值法是求数列前几项的常用方法，注意n=1的验证，裂项法和放缩法的应用.。
【天津市】2011年南开区初中毕业生学业水平质量调查数学试卷(一)答案
南开区2011年初中毕业生学业水平质量调查（一）数学参考答案及评分标准一、选择题: 本大题共10小题，每小题3分，共30分．二、填空题: 本大题共8小题，每小题3分，共24分． (11)（－5，3）； (12)11000； (13)30； (14)1； (15)0.63 (16)①④； (17) 94；(18)（12n -，0）．三、解答题：本大题共8小题，共66分． (19) (本小题满分6分)．解：（I ）如图，点P 的坐标为（1,5） 2分 （II ）如图 4分 （III ）③与图形②是中心对称 6分(20) (本小题满分8分)．证明：连接OD ,BC 2分 ∵AB 是直径 ∴90ACB ∠= 3分又∵CD DB = ∴OD BC ⊥ 5分 ∴OD AE ∥ 6分 ∵AE DE ⊥ ∴OD DE ⊥ 7分∴DE 是半圆的切线 8分 (21)(本小题满分8分)．解：∵∠C ＝∠E ，∠CAF ＝∠EBF∴△ACF ∽△BEF 2分∵AC 是⊙O 的直径∴∠ABC ＝90° 4分 在Rt △BF A 中，cos ∠BF A ＝32=AF BF 5分 ∴942=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆AF BF S S ACF BEF 6分又∵BEF S ∆＝8∴ACF S ∆＝18 8分(22) (本小题满分8分)． 解：（I ）树状图为：3分（II ）∵ 去甲超市购物摸一次奖获10元礼金券的概率是P （甲）82123==， 5分 去乙超市购物摸一次奖获10元礼金券的概率是P （乙）41123==， 7分 ∴ 我选择去甲超市购物． 8分 (23) (本小题满分8分)．解：（I ）∵1y 的图象与x 轴交于点(2,0)A -和点(4,0)B∴对称轴为1x =设 对称轴与x 轴的交点为N ，则N （1, 0） 3BN =∵5MB =∴ 顶点M 的坐标为（1, 4） 2分设所求解析式为21(1)4y a x =-+将(4,0)B 代入求得49a =- 即22144832(1)49999y x x x =--+=-++ 4分 （II ）224162999y x x =--+=242(444)99x x -++-+=24(2)29x -++ 6分 （III ）把将1y 的图象向下平移两个单位，再向左平移3个单位就能得到2y 的图象. 8分 (24) (本小题满分8分)． 解：在Rt AMN △中，tan tan 6030AN MN AMN MN =⨯∠=⨯== 2分在Rt BMN △中，tan tan 3030BN MN BMN MN =⨯∠=⨯== 4分AB AN BN ∴=-== 5分则A 到B 的平均速度为：172AB ==≈（米/秒）． 6分70千米/时1759=米/秒19≈米/秒17>米/秒， 7分 ∴此车没有超过限速． 8分(25) (本小题满分10分)．解：（I ）解：'BQ C ∆由△BQA ∆旋转得到，∴'1Q C QA ==，'2BQ BQ ==，'135BQ C BQA ∠=∠=，'Q BC ABQ ∠=∠， ∴'90QBQ ABC ∠=∠= 1分 连接'QQ ，则''45QQ B Q QB ∠=∠= 2分∴'QQ ==． 3分'1354590QQ C ∠=-= 4分在Rt 'QQ C ∆中，3QC === 5分 （II ）证明：过Q 点作QM AB ⊥于M ，QN BC ⊥于N 6分 设正方形的边长为a ，QM x =，QN y =，则AM a y =-，CN a x =- 7分 在Rt △QMA 中，22222()QA QM AM x a y =+=+- 在Rt △QNC 中，22222()QC QN CN y a x =+=+-•在Rt △QMB 中，22222QB QM BM x y =+=+ 8分 ∵2222QA QC QB +=∴222222()()2()x a y y a x x y +-++-=+得a x y =+• 9分 ∴AM QM = ∴45MAQ ∠=∴Q 点在对角线AC 上 10分 (26) (本小题满分10分)．解：（I ）设直线AC 的解析式为y kx b =+半径为1的⊙O 分别交x 轴、y 轴于A 、C ∴(1,0)A - (0,1)C - 1分 ∴01k b b =-+⎧⎨-=⎩ ∴11k b =-⎧⎨=-⎩ 2分故直线AC 的解析式为1y x =-- 3分 (II)∵抛物线过(0,1)C -点∴1c =- ∴21y x bx =+- 4分∵直线AC 与抛物线只有一个公共点C ，211y x bx y x ⎧=+-⎨=--⎩∴方程2(1)0x b x ++=有两个相等实数根， 即△=0 ∴121b b ==- 5分 ∴抛物线解析式为21y x x =-- 6分 (III)假设存在符合条件的点P设P 点坐标为2(,1)a a a --，则(,0)Q a 7分 ∵△ADB 为等腰Rt △，△POB ∽△ADB则△PQB 为等腰Rt △， 8分 又PQ ⊥QB∴PQ =QB 即211a a a --=- 9分10a = 22a = 3a 4a =∴存在符合条件的点P ，共有四个，分别为1(0,1)P -、2(2,1)P 、3P 、4(P 10分。
天津市2021年中考数学试卷 (Word版,含答案与解析)
天津市2021年中考数学试卷一、单选题1.（2021·天津）计算 (−5)×3 的结果等于（ ）A. -2B. 2C. -15D. 15【答案】 C【考点】有理数的乘法【解析】【解答】解：由题意可知： (−5)×3=−15 ，故答案为：C ．【分析】两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，据此计算即可.2.（2021·天津）tan30° 的值等于（ ）A. √33B. √22C. 1D. 2 【答案】 A【考点】特殊角的三角函数值【解析】【解答】解：由题意可知， tan30°=√33 ， 故答案为：A ．【分析】根据特殊角三角函数值解答即可.3.（2021·天津）据2021年5月12日《天津日报》报道，第七次全国人口普查数据公布，普查结果显示，全国人口共141178万人．将141178用科学记数法表示应为（ ）A. 0.141178×106B. 1.41178×105C. 14.1178×104D. 141.178×103【答案】 B【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】解：141178=1.41178×105 ，故答案为：B ．【分析】6科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数.确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数，据此解答即可.4.（2021·天津）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】 A【考点】轴对称图形【解析】【解答】A ．是轴对称图形，故本选项符合题意；B ．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C ．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D ．不是轴对称图形，故本选项不符合题意．故答案为：A ．【分析】轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此逐一判断即可.5.（2019·天津）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）A. B.C. D.【答案】 B【考点】简单几何体的三视图【解析】【解答】解：从正面看，共有3列，每列的小正方形的个数从左到右依次为1、1、2． 故答案为：B ．【分析】从正面看，共有3列，每列的小正方形的个数从左到右依次为1、1、2，即可求出这个立体图形的主视图为选项B.6.估算√17的值在（ ）A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间【答案】 C【考点】估算无理数的大小【解析】【分析】因为42＜（√17）＜52,所以√17的值在4和5之间.故选C ．7.（2021·天津）方程组 {x +y =23x +y =4的解是（ ） A. {x =0y =2 B. {x =1y =1 C. {x =2y =−2 D. {x =3y =−3【答案】 B【考点】解二元一次方程组【解析】【解答】{x+y=2⋯⋯①3x+y=4⋯⋯②，②-①得：3x+y−x−y=2，即2x=2，∴x=1．将x=1代入①得：1+y=2，∴y=1．故原二元一次方程组的解为{x=1y=1．故答案为：B．【分析】利用加减法解出方程组，再判断即可.8.（2021·天津）如图，▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(0,1),(−2,−2),(2,−2)，则顶点D的坐标是（）A. (−4,1)B. (4,−2)C. (4,1)D. (2,1)【答案】C【考点】平行四边形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，点B的坐标为(-2，-2)，点C的坐标为(2，-2)，∴点B到点C为水平向右移动4个单位长度，∴A到D也应向右移动4个单位长度，∵点A的坐标为(0，1)，则点D的坐标为(4，1)，故答案为：:C．【分析】根据B、C的坐标及平行四边形的性质，得出点B到点C为水平向右移动4个单位长度，即得A 到D也应向右移动4个单位长度，从而得出点D坐标.9.（2021·天津）计算3aa−b −3ba−b的结果是（）A. 3B. 3a+3bC. 1D. 6aa−b 【答案】A【考点】分式的加减法【解析】【解答】原式=3a−3ba−b，=3(a−b) a−b=3．故答案为：A．【分析】利用同分母分式的减法法则计算即可.10.（2021·天津）若点A(−5,y1),B(1,y2),C(5,y3)都在反比例函数y=−5x的图象上，则y1,y2,y3的大小关系是（）A. y1<y2<y3B. y2<y3<y1C. y1<y3<y2D. y3<y1<y2【答案】B【考点】反比例函数的性质【解析】【解答】分别将A、B、C三点坐标代入反比例函数解析式得：y1=−5−5=1、y2=−51=−5、y3=−55=−1．则y2<y3<y1．故答案为：B．【分析】将点ABC的横坐标分别代入反比例函数解析式中，求出y1,y2,y3的值，然后比较即可.11.（2021·天津）如图，在△ABC中，∠BAC=120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（）A. ∠ABC=∠ADCB. CB=CDC. DE+DC=BCD. AB∥CD【答案】 D【考点】旋转的性质【解析】【解答】由旋转可知∠EDC=∠BAC=120°，∵点A，D，E在同一条直线上，∴∠ADC=180°−∠EDC=60°，∵∠ABC<60°，∴∠ABC≠∠ADC，故A不符合题意；由旋转可知CB=CE，∵∠EDC=120°为钝角，∴CE>CD，∴CB>CD，故B不符合题意；∵DE+DC>CE，∴DE+DC>CB，故C不符合题意；由旋转可知DC=AC，∵∠ADC=60°，∴△ADC为等边三角形，∴∠ACD=60°．∴∠ACD+∠BAC=180°，∴AB//CD，故D符合题意；故答案为：D．【分析】由旋转可知∠EDC=∠BAC=120°，求出∠ADC=180°−∠EDC=60°，据此判断A；由旋转可知CB=CE，在△EDC中，∠EDC=120°，可得CE>CD，据此判断B；在△EDC中，由DE+DC>CE，可得DE+DC>CB，据此判断C；可证△ADC为等边三角形，可得∠ACD=60°，从而得出∠ACD+∠BAC=180°，可证AB//CD，据此判断D.12.（2021·天津）已知抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）经过点(−1,−1),(0,1)，当x=−2时，与其对应的函数值y>1．有下列结论：① abc>0；②关于x的方程ax2+bx+c−3=0有两个不等的实数根；③ a+b+c>7．其中，正确结论的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】 D【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与一元二次方程的综合应用【解析】【解答】∵抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）经过点(−1,−1),(0,1)，当x=−2时，与其对应的函数值y>1．∴c=1＞0，a-b+c= -1,4a-2b+c＞1，∴a-b= -2,2a-b＞0，∴2a-a-2＞0，∴a＞2＞0，∴b=a+2＞0，∴abc＞0，∵ax2+bx+c−3=0,∴△= b2−4a(c−3)= b2+8a＞0,∴ax2+bx+c−3=0有两个不等的实数根；∵b=a+2，a＞2，c=1，∴a+b+c=a+a+2+1=2a+3，∵a＞2，∴2a＞4，∴2a+3＞4+3＞7，故答案为：D．【分析】①当x=0时，c=1，由点（-1，-1）得a=b-2，由x=-2时，与其对应的函数值y＞1可得b＞4，进而得出abc＞0，据判断即可；②将a=b-2，c=1代入方程，根据根的判别式即可判断；③将a=b-2，c=1代入a+b+c，求解后即可判断.二、填空题13.（2021·天津）计算4a+2a−a的结果等于________．【答案】5a【考点】合并同类项法则及应用【解析】【解答】4a+2a−a=(4+2−1)a=5a故答案为：5a．【分析】利用合并同类项法则进行计算即可.14.（2021·天津）计算(√10+1)(√10−1)的结果等于________．【答案】9【考点】平方差公式及应用【解析】【解答】(√10+1)(√10−1)=(√10)2−1=9．故答案为9．【分析】利用平方差公式计算即可.15.（2020·通辽模拟）不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是________．【答案】37【考点】概率公式【解析】【解答】解：∵袋子中共有7个球，其中红球有3个，∴从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率是3，7．故答案为：37【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．16.（2021·天津）将直线y=−6x向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为________．【答案】y=−6x−2【考点】待定系数法求一次函数解析式，平移的性质【解析】【解答】将直线y=-6x向下平移2个单位长度，所得直线的解析式为y=-6x-2．故答案为y=-6x-2．【分析】一次函数上下平移，上加下减，据此解答即可.17.（2021·天津）如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC,BD相交于点O，点E，F分别在BC,CD的延长线上，且CE=2,DF=1，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长为________．【答案】 √132【考点】正方形的性质，四边形的综合【解析】【解答】解:如图,作OK ⊥BC ，垂足为点K ，∵正方形边长为4，∴OK=2，KC=2，∴KC=CE ，∴CH 是△OKE 的中位线∴ CH =12OK =1 ，作GM ⊥CD ，垂足为点M ，∵G 点为EF 中点，∴GM 是△FCE 的中位线，∴ GM =12CE =1 ， MC =12FC =12(CD +DF)=12×(4+1)=52 ， ∴ MH =MC −HC =52−1=32， 在Rt △MHG 中， GH =√MH 2+MG 2=√(32)2+12=√132， 故答案为： √132 ． 【分析】作OK ⊥BC ，垂足为点K ，根据正方形的性质得出OK=2，KC=2，利用三角形中位线定理可得CH =12OK =1 ，作GM ⊥CD ，垂足为点M ，利用三角形中位线定理可得GM =12CE =1 ， 从而求出MC =12FC =12(CD +DF)=52 ， 继而得出MH=MC-CH=32 ， 利用勾股定理求出GH 的长.18.（2021·天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， △ABC 的顶点A ，C 均落在格点上，点B 在网格线上．（Ⅰ）线段 AC 的长等于________； （Ⅱ）以 AB 为直径的半圆的圆心为O ，在线段 AB 上有一点P ，满足 AP =AC ，请用无刻度．．．的直尺，在如图所示的网格中，画出点P ，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明）________．【答案】 √5；如图，取 BC 与网格线的交点D ，则点D 为BC 中点，连接 OD 并延长，与半圆相交于点E ，连接 BE 并延长，与 AC 的延长线相交于点F ，则OE 为 △BFA 中位线，且 AB =AF ，连接 AE 交 BC 于点G ，连接 FG 并延长，与 AB 相交于点P ，因为 △FAP ≌△BAC ，则点P 即为所求．【考点】圆的综合题【解析】【解答】解：（Ⅰ）∵每个小正方形的边长为1，∴ AC =√12+22=√5 ，故答案为： √5 ；【分析】（1）利用勾股定理求出AC 的长；（2） 取 BC 与网格线的交点D ，则点D 为BC 中点，连接 OD 并延长，与半圆相交于点E ，连接 BE 并延长，与 AC 的延长线相交于点F ，连接 FG 并延长，与 AB 相交于点P ，则点P 即为所求.三、解答题19.（2021·天津）解不等式组{x+4≥3,①6x≤5x+3.②请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得________；（Ⅱ）解不等式②，得________；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：________；（Ⅳ）原不等式组的解集为________．【答案】x≥−1；x≤3；；−1≤x≤3．【考点】在数轴上表示不等式组的解集，解一元一次不等式组【解析】【解答】（Ⅰ）解不等式x+4≥3，得：x≥−1．故答案为：x≥−1；（Ⅱ）解不等式6x≤5x+3，得：x≤3．故答案为：x≤3；（Ⅲ）在数轴上表示为：；（Ⅳ）原不等式的解集为−1≤x≤3．故答案为：−1≤x≤3．【分析】分别求出两个不等式的解集，再将不等式的解集表示在数轴上，两解集的公共部分即为不等式组的解集.20.（2021·天津）某社区为了增强居民节约用水的意识，随机调查了部分家庭一年的月均用水量（单位：t）．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受调查的家庭个数为________，图①中m的值为________；（2）求统计的这组月均用水量数据的平均数、众数和中位数．【答案】（1）50；20（2）观察条形统计图，∵x̅=5×8+5.5×12+6×16+6.5×10+7×4=5.9，50∴这组数据的平均数是5.9．∵在这组数据中，6出现了16次，出现的次数最多，∴这组数据的众数为6．∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是6，=6，即有6+62∴这组数据的中位数为6．【考点】扇形统计图，条形统计图，加权平均数及其计算=50，【解析】【解答】（1）本次接受调查的家庭个数= 816%×100%=m%，由题意可知1050解得m=20．故答案为50，20．【分析】（1）利用日均用水量为5t的人数除以其百分比，即得抽查家庭的总个数；利用日均用水量为6.5t 的人数除以样本容量，即得m值；（2）根据众数、中位数、平均数的定义进行求解即可.21.（2021·天津）已知△ABC内接于⊙O,AB=AC,∠BAC=42°，点D是⊙O上一点．（Ⅰ）如图①，若BD为⊙O的直径，连接CD，求∠DBC和∠ACD的大小；（Ⅱ）如图②，若CD// BA，连接AD，过点D作⊙O的切线，与OC的延长线交于点E，求∠E 的大小．【答案】（Ⅰ）BD为⊙O的直径，∴∠BCD=90°．∵在⊙O中，∠BDC=∠BAC=42°，∴∠DBC=90°−∠BDC=48°；∵AB=AC，∠BAC=42°，∴∠ABC=∠ACB=1(180°−∠BAC)=69°．2∴∠ACD=∠BCD−∠ACB=21°．（Ⅱ）如图，连接OD．∵CD∥BA，∴∠ACD=∠BAC=42°．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ABC=69°，∴∠ADC=180°−∠ABC=111°．∴∠DAC=180°−∠ACD−∠ADC=27°．∴∠DOC=2∠DAC=54°．∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，即∠ODE=90°．∴∠E=90°−∠DOE=36°．【考点】圆的综合题【解析】【分析】（1）根据BD是圆O的直径，得出∠BCD=90°，根据同弧所对的圆周角相等可得∠BDC=∠BAC=42°，从而求出∠DBC=48°，利用等腰三角形及三角形内角和定理得出∠ABC=∠ACB=69°，由∠ACD=∠BCD-∠ACB计算即得结论；（2）连接OD，利用平行线的性质得出∠ACD=∠BAC=42°，根据圆内接四边形对角互补可得∠ADC=180°−∠ABC=111°，由三角形内角和得出∠DAC=180°−∠ACD−∠ADC=27°，根据圆周角定理得出∠DOC=2∠DAC=54°，根据切线的性质得出∠ODE=90°，利用∠E=90°-∠DOE计算即得结论．22.（2021·天津）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长（结果取整数）．参考数据：tan40°≈0.84，√3取1.73．【答案】如图，过点B作BH⊥CA，垂足为H．根据题意，∠BAC=60°,∠BCA=40°,CA=257．∵在Rt△BAH中，tan∠BAH=BHAH ，cos∠BAH=AHAB，∴BH=AH⋅tan60°=√3AH,AB=AHcos60°=2AH．∵在Rt△BCH中，tan∠BCH=BHCH，∴CH=BHtan40°=√3AHtan40°．又CA=CH+AH，∴257=√3AHtan40°+AH．可得AH=√3+tan40°．∴AB=°√3+tan40°≈2×257×0.841.73+0.84=168．答：AB的长约为168海里．【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题【解析】【分析】过点B作BH⊥CA，垂足为H．在Rt△BAH中，求出BH=AH⋅tan60°=√3AH,∴AB=AHcos60°=2AH，在Rt△BCH中，求出CH=BHtan40°=√3AHtan40°，根据CA=CH+AH=257 ，列出方程，求出AH，从而求出AB的长即可.23.（2021·天津）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校12km，陈列馆离学校20km．李华从学校出发，匀速骑行0.6h到达书店；在书店停留0.4h后，匀速骑行0.5h到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行0.5h后减速，继续匀速骑行回到学校．给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离y km与离开学校的时间x h之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：（1）填表（2）填空：①书店到陈列馆的距离为________ km；②李华在陈列馆参观学的时间为________h；③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为________ km/h；④当李华离学校的距离为4km时，他离开学校的时间为________h．（3）当0≤x≤1.5时，请直接写出y关于x的函数解析式．【答案】（1）10，12，20（2）8；3；28；15或316（3）当0≤x≤0.6时，y=20x；当0.6<x≤1时，y=12；当1<x≤1.5时，y=16x−4．【考点】待定系数法求一次函数解析式，通过函数图象获取信息并解决问题【解析】【解答】对函数图象进行分析：①当0≤x≤0.6时，设函数关系式为y=kx，由图象可知，当x=0.6时，y=12，则12=0.6k，解得k=20∴当0≤x≤0.6时，设函数关系式为y=20x②由图象可知，当0.6<x≤1时，y=12③当 1<x ≤1.5 时，设函数关系式为 y =kx +b ，由图象可知，当x=1时，y=12；当x=1.5时，y=20，则 {k +b =121.5k +b =20 ，解得 {k =16b =−4∴当 1<x ≤1.5 时，设函数关系式为 y =16x −4 ④由图象可知，当 1.5≤x ≤4.5 时， y =20⑤当 4.5<x ≤5 时，设函数关系式为 y =kx +b ，由图象可知，当x=4.5时，y=20；当x=5时，y=6， 则 {4.5k +b =205k +b =6 ，解得 {k =−28b =146∴当 4.5<x ≤5 时，设函数关系式为 y =−28x +146⑥当 5<x ≤5.5 时，设函数关系式为 y =kx +b ，由图象可知，当x=5时，y=6；当x=5.5时，y=0， 则 {5k +b =65.5k +b =0 ，解得 {k =−12b =66∴当 5<x ≤5.5 时，设函数关系式为 y =−12x +66 （1）∵当 0≤x ≤0.6 时，函数关系式为 y =20x ∴当x=0.5时， y =20×0.5=10 ．故第一空为10． 当 0.6<x ≤1 时， y =12 ．故第二空为12． 当 1.5<x ≤4.5 时， y =20 ．故第二空为20．（2）①李华从学校出发，匀速骑行 0.6h 到达书店；在书店停留 0.4h 后，匀速骑行 0.5h 到达陈列馆．由图象可知书店到陈列馆的距离 20−12=8 ；②李华在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校．由图象可知李华在陈列馆参观学的时间 4.5−1.5=3 ；③当 4.5<x ≤5 时，设函数关系式为 y =−28x +146 ，所以李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为28；④当李华离学校的距离为 4km 时， 0≤x ≤0.6 或 5<x ≤5.5 由上对图象的分析可知：当 0≤x ≤0.6 时，设函数关系式为 y =20x 令 y =4 ，解得 x =15当 5<x ≤5.5 时，设函数关系式为 y =−12x +66 令 y =4 ，解得 x =316∴当李华离学校的距离为 4km 时，他离开学校的时间为 15 或 316．（3）由上对图象的分析可知： 当 0≤x ≤0.6 时， y =20x ； 当 0.6<x ≤1 时， y =12 ； 当 1<x ≤1.5 时， y =16x −4 ．【分析】（1）根据函数图象，利用待定系数法分别求出每段函数解析式，根据表格中的x 值，代入相应的解析式，得到y 值即可；（2）①根据图象直接得出结论；②根据图象直接得出结论；③当根据4.5<x≤5时的函数解析式即可求出结论；④当李华离学校的距离为4km时，分0≤x≤0.6或5<x≤5.5两种情况：将y=4分别代入相应的解析式，分别求出x值即可；（3）利用待定系数法分别求出当0≤x≤0.6时，当0.6<x≤1时，当1<x≤1.5时的解析式即可.24.（2021·天津）在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA=90°,BO= BA，顶点A(4,0)，点B在第一象限，矩形OCDE的顶点E(−72,0)，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线DC经过点B．（Ⅰ）如图①，求点B的坐标；（Ⅱ）将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O′C′D′E′，点O，C，D，E的对应点分别为O′，C′，D′，E′，设OO′=t，矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分的面积为S．①如图②，当点E′在x轴正半轴上，且矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分为四边形时，D′E′与OB相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当52≤t≤92时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】解：(I)如图，过点B作BH⊥OA，垂足为H．由点A(4,0)，得OA=4．∵BO=BA,∠OBA=90°，∴OH=12OA=2．又∠BOH=45°，∴△OBH为等腰直角三角形，∴BH=OH=2．∴点B的坐标为(2,2)．(II)①由点E(−72,0)，得OE=72．由平移知，四边形O′C′D′E′是矩形，得∠O′E′D′=90°,O′E′=OE=72．∴OE′=OO′−O′E′=t−72，∠FE′O=90°．∵BO=BA，∠OBA=90°，∴∠BOA=∠BAO=45°．∴∠OFE′=90°−∠BOA=45°∴∠FOE′=∠OFE′．∴FE′=OE′=t−72．∴S△FOE′=12OE′⋅FE′=12(t−72)2．∴S=S△OAB−S△FOE′=12×4×2−12(t−72)2．整理后得到：S=−12t2+72t−178．当O′与A重合时，矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分刚开始为四边形，如下图(1)所示：此时OO′=t=4，当D′与B重合时，矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分为三角形，接下来往右平移时重叠部分一直为三角形直到E′与A点重合，如下图(2)所示：此时t=OO′=DD′=72+2=112，∴t的取值范围是4≤t<112，故答案为：S=−12t2+72t−178，其中：4≤t<112；②当52≤t≤72时，矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分的面积如下图3所示：此时AO′=4−t，∠BAO=45°，△AO′F为等腰直角三角形，∴AO′=FO′=4−t，∴S△AO′F =12AO′⋅FO′=12(4−t)2=12t2−4t+8，∴重叠部分面积S=S△AOB−S△AO′F =4−(12t2−4t+8)=−12t2+4t−4，∴S是关于t的二次函数，且对称轴为t=4，且开口向下，故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，故将t=72代入，得到最大值S=−12×(72)2+4×72−4=318，将t=52代入，得到最小值 S =−12×(52)2+4×52−4=238，当 72<t ≤92 时，矩形 O ′C ′D ′E ′ 与 △OAB 重叠部分的面积如下图4所示：此时 AO ′=OA −OO ′=4−t =FO ′ ， OE ′=EE ′−EO =t −72=ME ′ △AO ′F 和 △OE ′M 均为等腰直角三角形，∴ S △AO ′F =12AO ′⋅FO ′=12(4−t)2=12t 2−4t +8 ， S △OE ′M =12OE ′⋅ME ′=12(t −72)2=12t 2−72t +498，∴重叠部分面积 S =S △AOB −S △OE ′M −S △AO ′F =4−(12t 2−4t +8)−(12t 2−72t +498)=−t 2+152t −818，∴ S 是关于 t 的二次函数，且对称轴为 t =154，且开口向下，故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，故将 t =154 代入，得到最大值 S =−(154)2+152×154−818=6316，将 t =92 代入， 得到最小值 S =−(92)2+152×92−818=278，∵278>238， 6316>318，∴ S 的最小值为 238，最大值为 6316 ， 故答案为：238≤S ≤6316 ．【考点】二次函数-动态几何问题，动点问题的函数图象，二次函数的其他应用【解析】【分析】（1） 过点B 作 BH ⊥OA ， 垂足为H ． 根据等腰三角形的性质得出OH =12OA =2 ， 可求△OBH为等腰直角三角形，可得BH=OH=2，即得点B坐标；25.（2021·天津）已知抛物线y=ax2−2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C(0,−1)，顶点为D．（Ⅰ）当a=1时，求该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）当a>0时，点E(0,1+a)，若DE=2√2DC，求该抛物线的解析式；（Ⅲ）当a<−1时，点F(0,1−a)，过点C作直线l平行于x轴，M(m,0)是x轴上的动点，N(m+ 3,−1)是直线l上的动点．当a为何值时，FM+DN的最小值为2√10，并求此时点M，N的坐标．【答案】（Ⅰ）当a=1时，抛物线的解析式为y=x2−2x+c．∵抛物线经过点C(0,−1)∴0−0+c=−1解得：c=−1∴抛物线的解析式为y=x2−2x−1∵y=x2−2x−1=(x−1)2−2∴抛物线的顶点坐标为(1,−2)；（Ⅱ）当a>0时，由抛物线y=ax2−2ax+c经过点C(0,−1)，可知c=−1∴抛物线的解析式为y=ax2−2ax−1∴抛物线的对称轴为：x=1当x=1时，y=−a−1∴抛物线的顶点D的坐标为(1,−a−1)；过点D作DG⊥y轴于点G在Rt△DEG中，DG=1，EG=1+a−(−a−1)=2a+2，∴DE2=DG2+EG2=1+(2a+2)2在Rt△DCG中，DG=1，CG=−1−(−a−1)=a，∴DC2=DG2+CG2=1+a2．∵DE=2√2DC，即DE2=8DC2，∴1+(2a+2)2=8(1+a2)解得：a1=12，a2=32∴抛物线的解析式为y=12x2−x−1或y=32x2−3x−1．（Ⅲ）当a<−1时，将点D(1,−a−1)向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得D′(−2,−a)．作点F关于x轴的对称点F′，得点F′的坐标为(0,a−1)当满足条件的点M落在线段F′D′上时，FM+DN最小，此时，FM+DN=F′D′=2√10．过点D′作D′H⊥y轴于点H在Rt△FD′H中，D′H=2，F′H=−a−(a−1)=1−2a，∴F′D′2=F2H2+D′H2=(1−2a)2+4．又F′D′2=40，即(1−2a)2+4=40．解得：a1=−52，a2=72（舍）∴点F′的坐标为(0,−72)，点D′的坐标为(−2,52)．∴直线F′D′的解析式为y=−3x−72．当y=0时，x=−76．∴m=−76，m+3=116∴点M的坐标为(−76,0)，点N的坐标为(116,−1)．【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数-动态几何问题，二次函数的其他应用【解析】【分析】（Ⅰ）将a=1,C (0,-1)代入抛物线解析式中，可求出y=x2−2x−1=(x−1)2−2，即得顶点坐标；（Ⅱ）先求出抛物线的解析式为y=ax2−2ax−1，可得顶点D的坐标为(1,−a−1)，过点D作DG⊥y轴于点G，由于DE2=8DC2及勾股定理可得1+(2a+2)2=8(1+a2)，求出a值，即得结论；（Ⅲ）当a<−1时，将点D(1,−a−1)向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得D′(−2,−a)．作点F关于x轴的对称点F′，得点F′的坐标为(0,a−1)当满足条件的点M落在线段F′D′上时，FM+DN最小，此时，FM+DN=F′D′=2√10，过点D′作D′H⊥y轴于点H，利用勾股定理建立方程，求出a值，即得F′、D′的坐标，求出直线F′D′的解析式为y=−3x−7，将M的坐标代入可求出m值，即得点M、N的坐标.2。
2011年全国初中数学竞赛试题及答案
“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛 （天津赛区）试题参考答案及评分标准一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分） （1）设x =(1)(2)(3)x x x x +++的值为( ). （A ）0 （B ）1（C ）﹣1（D ）2【答】C ． 解：由已知得2310x x ++=， 于是2222(1)(2)(3)(3)(32)(31)1 1.x x x x x x x x x x +++=+++=++-=-（2）已知x y z ，，为实数，且满足253x y z +-=，25x y z --=-，则222x y z ++的最小值为( ).（A ）111（B ）0 （C ）5 （D ）5411【答】D ．解：由 25325x y z x y z +-=⎧⎨--=-⎩，， 可得 312.x z y z =-⎧⎨=+⎩，于是 22221125xy z z z ++=-+．因此，当111z =时，222x y z ++的最小值为5411． （3）若1x >，0y >，且满足3yy xxy x x y==，，则x y +的值为( ). （A ）1 （B ）2（C ）92（D ）112【答】C ．2解：由题设可知1y y x -=，于是 341y y x yx x -==，所以411y -=．故12y=，从而4=x ．于是92x y +=．（4）设333311111232011S =++++，则4S 的整数部分等于( ). （A ）4 （B ）5（C ）6（D ）7【答】A ．解：当2 3 2011k =，，，，因为()()()32111112111k k k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦， 所以333111111511123201122201120124S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭． 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．（5）点D E ，分别在△ABC 的边A BA C ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ∆∆∆====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为( ).（A ）1324S S S S < （B ）1324S S S S = （C ）1324S S S S > （D ）不能确定 【答】C ．解：如图，连接DE ，设1DEF S S ∆'=， 则1423S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S SS>． 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）（6）两条直角边长分别是整数a b ，（其中2011b <），斜边长是1b +的直角三角形的个数为 .【答】31．初中数学竞赛复赛试题答案第3页（共8页）解：由勾股定理,得 12)1(222+=-+=b b b a ．因为b 是整数，2011<b ，所以2a是1到4023之间的奇数，而且是完全平方数，这样的数共有31个，即2223 5 63，，，．因此a 一定是3，5，…，63，故满足条件的直角三角形的个数为31．（7）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数之和为7的概率是 .【答】16． 解： 在36对可能出现的结果中，有6对：（1，6）， （2，5）， （2，5）， （3，4），（3，4），（4，3）的和为7，所以朝上的面两数字之和为7的概率是61366=. （8）若y =a ，最小值为b ，则22a b +的值为 . 【答】32． 解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．21122y =+=+ 由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =． 当12x =或1时，2y 取到最小值12，故2b =．所以，2232a b +=． （9）如图，双曲线xy 2=（x ＞0）与矩形OABC 的边CB ， BA 分别交于点E ，F ，且AF=BF ，连接EF ，则△OEF 的面积为 .【答】32． 解：如图，设点B 的坐标为a b （,）,则点F 的坐标为2b a （，）.因为点F 在双曲线42y x=上，所以 4.ab = 又点E 在双曲线上，且纵坐标 为b ，所以点E 的坐标为2(,)b b .于是11212222221312.22OEF OEC FBEOFBC S S S S b b b a b a b b ab ∆∆∆=--=+-⨯⨯-⨯⨯-=+-=梯形（）（）（） （10）如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .【答】84．解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ， 则22235a b +=＝1225． ① 又Rt △AFE ∽Rt △ACB ， 所以FE AF CB AC =，即1212b a b-=， 故12()a b ab +=． ②由①②得 2222122524a b a b ab a b +=++=++（）（），解得a ＋b ＝49（另一个解－25舍去），所以 493584a b c ++=+=． 三、解答题（共4题，每题20分，共80分）（11）已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.解：设方程20x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得 ()()11a a αβαβ+=-++=，， ………………………………5分初中数学竞赛复赛试题答案第5页（共8页）两式相加，得2210αβαβ+++=，即 (2)(2)3αβ++=，所以，2123αβ+=⎧⎨+=⎩，； 或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，………………………………10分解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，； 或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），所以012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，， 故3a b c ++=-，或29. ………………………………………………20分 （12）如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ，连接 AH BD QB QC QH ，，，，. 因为AB 为⊙1O 的直径，所以∠ADB =∠90=︒BDQ ．…………5分 故BQ 为⊙2O 的直径.于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，.又因为点H 为△ABC 的垂心，所以AH BC BH AC ⊥⊥，所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形. ………………………………………………15分 所以点P 为CH 的中点. ………………………………………………20分6（13） 如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线223y x =于P ，Q 两点. （Ⅰ）求证：∠ABP =∠ABQ ； （Ⅱ）若点A 的坐标为（0，1）， 且∠PBQ =60º，试求所有满足条件的 直线PQ 的函数解析式.解：（Ⅰ）如图，分别过点P Q ， 作y设点A 的坐标为（0，t ），则点B 的坐标为（0，-t ）. 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,并设P Q ，的坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）. 由223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，， 得2203x kx t --=，于是 32P Q x x t =-，即 23P Q t x x =-.于是，222323P P Q Q x t y t BC BD y t x t ++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P Q Q P QQ Q P x x x x x x x x x x x x x x --===--- …………5分又因为P Qx PC QD x =-，所以BC PCBD QD =. 因为∠BCP =∠90BDQ =︒，所以△BCP ∽△BDQ .故∠ABP =∠ABQ . …………………………………………………………10分（Ⅱ）解法一 设PC a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，初中数学竞赛复赛试题答案第7页（共8页）由（Ⅰ）可知∠ABP =∠30ABQ =︒，BC，BD， 所以 AC2-，AD=2. 因为PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ .于是PC ACDQ AD =，即a b．所以a b +=． 由（Ⅰ）中32P Q x x t =-，即32ab -=-，所以322ab a b =+=，于是，可求得2==a b将2b =代入223y x =，得到点Q12）. …………………15分再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得3=-k 所以直线PQ的函数解析式为1y =+. 根据对称性知，所求直线PQ的函数解析式为1y =+，或1y +. ………………20分 解法二 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,其中1t =. 由（Ⅰ）可知，∠ABP =∠30ABQ =︒，所以2BQ DQ =. 故2Q x =.将223Q Q y x =代入上式，平方并整理得 4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.8所以2Q x =又由（Ⅰ），得3322P Q x x t =-=-，32P Q x x k +=.若2Q x =代入上式得P x = 从而2()3P Q k x x =+=.同理，若Q x =可得2P x =-从而2()3P Q k x x =+=. 所以，直线PQ 的函数解析式为1y =+，或1y x =+. ………………………………………20分 （14）已知0122011i a i >=，， ， ， ，且12201a a a <<<，证明：122011a a a ，，，中一定存在两个数i j a a i j<，（），使得(1)(1)2010i j j i a a a a ++-<．证明：令20101 2 20111i ix i a ==+，，，，， ……………………………………5分 则20112010102010x x x <<<<<. …………………………………10分故一定存在1≤k ≤2010， 使得11k k x x +-<，从而120102010111k k a a +-<++． …………………………………15分即 11(1)(1)2010k k k k a a a a ++++-<． …………………………………………20分。
2024年天津市中考真题数学试卷含答案解析
2024年天津市中考 数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．计算()33--的结果是（ ）A ．6B ．3C ．0D ．－6【答案】A【详解】试题解析：根据有理数减法法则计算，减去一个数等于加上这个数的相反数得：3-（-3）=3+3=6．故选A ．2．下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据主视图是指从正前方向看到的图形求解即可．【详解】解：由此从正面看，下面第一层是三个正方形，第二层是一个正方形（且在最右边），故选：B ．3．估算 的值在（ ）A ．1和2之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间【答案】C4．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】本题考查轴对称图形，掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿某一条直线对折,对折后的两部分是完全重合的,那么就称这样的图形为轴对称图形是解题的关键．【详解】解：A.不是轴对称图形；B.不是轴对称图形；C.是轴对称图形；D.不是轴对称图形；故选C ．5．据2024年4月18日《天津日报》报道，天津市组织开展了第43届“爱鸟周”大型主题宣传活动．据统计，今春过境我市候鸟总数已超过800000只．将数据800000用科学记数法表示应为（ ）A ．70.0810⨯B ．60.810⨯C ．5810⨯D ．48010⨯61- 的值等于（ ）A ．0B ．1C 1D 17．计算3311x x x ---的结果等于（ ）A ．3B ．xC ．1x x -D ．231x -8．若点()()()123,1,,1,,5A x B x C x -都在反比例函数5y x=的图象上，则123,,x x x 的大小关系是（ ）A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．321x x x <<D ．213x x x <<∴10x <，∴132x x x <<.故选：B ．9．《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x 尺，绳子长y 尺，则可以列出的方程组为（ ）A ． 4.50.51y x x y -=⎧⎨-=⎩B ． 4.50.51y x x y -=⎧⎨+=⎩C ． 4.51x y x y +=⎧⎨-=⎩D ． 4.51x y y x +=⎧⎨-=⎩【答案】A【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用.用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺可知：绳子比木条长5尺得： 4.5y x -=；绳子对折再量木条，木条剩余1尺可知：绳子对折后比木条短1尺得：0.51x y -=；从而可得答案.【详解】解：由题意可得方程组为：4.50.51y x x y -=⎧⎨-=⎩，故选：A.10．如图，Rt ABC △中，90,40C B ∠=︒∠=︒，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点E ，交AC 于点F ；再分别以点,E F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在BAC ∠的内部相交于点P ；画射线AP ，与BC 相交于点D ，则ADC ∠的大小为（ ）A ．60B ．65C ．70D ．75【答案】B11．如图，ABC 中，30B ∠= ，将ABC 绕点C 顺时针旋转60 得到DEC ，点,A B 的对应点分别为,D E ，延长BA 交DE 于点F ，下列结论一定正确的是（ ）A ．ACB ACD ∠=∠B ．AC DE ∥C ．AB EF =D ．BF CE⊥【答案】D【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得60BCE ACD ∠=∠=︒，结合30B ∠= ，即可得证BF CE ⊥，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析AC DE ∥不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A 和C 选项是错误的．【详解】解：记BF 与CE 相交于一点H ，如图所示：∵ABC 中，将ABC 绕点C 顺时针旋转60 得到DEC ，∴60BCE ACD ∠=∠=︒∵30B ∠=︒∴在BHC 中，18090BHC BCE B ∠=︒-∠-∠=︒∴BF CE⊥故D 选项是正确的，符合题意；设ACH x ∠=︒∴60ACB x ∠=︒-︒，∵30B ∠=︒∴()180306090EDC BAC x x ∠=∠=︒-︒-︒-︒=︒+︒∴9060150EDC ACD x x ∠+∠=︒+︒+︒=︒+︒∵x ︒不一定等于30︒∴EDC ACD ∠+∠不一定等于180︒∴AC DE ∥不一定成立，故B 选项不正确，不符合题意；∵6060ACB x ACD x ∠=︒-︒∠=︒︒，，不一定等于0︒∴ACB ACD ∠=∠不一定成立，故A 选项不正确，不符合题意；∵将ABC 绕点C 顺时针旋转60 得到DEC ，∴AB ED EF FD ==+∴BA EF>故C 选项不正确，不符合题意；故选：D12．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是()230506h t t t =-≤≤．有下列结论：①小球从抛出到落地需要6s ；②小球运动中的高度可以是30m ；③小球运动2s 时的高度小于运动5s 时的高度．其中，正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令0= 解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把2t =和5t =代入计算即可判断③．【详解】解：令0= ，则23050t t -=，解得：10t =，26t =，∴小球从抛出到落地需要6s ，故①正确；∵()223055345t t x =-=--+ ，∴最大高度为45m ，∴小球运动中的高度可以是30m ，故②正确；当2t =时，23025240=⨯-⨯= ；当5t =时，23055525=⨯-⨯= ；∴小球运动2s 时的高度大于运动5s 时的高度，故③错误；故选C ．二、填空题13．不透明袋子中装有10个球，其中有3个绿球、4个黑球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为 ．14．计算86x x ÷的结果为 ．【答案】2x 【分析】本题考查同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法，底数不变，指数相减是解题的关键．【详解】解：862x x x ÷=，故答案为：2x ．15．计算)11的结果为 ．【答案】10【分析】利用平方差公式计算后再加减即可．【详解】解：原式11110=-=．故答案为：10．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则及平方差公式是解题的关键．16．若正比例函数y kx =（k 是常数，0k ≠）的图象经过第一、第三象限，则k 的值可以是 （写出一个即可）．【答案】1（答案不唯一）【分析】根据正比例函数图象所经过的象限确定k 的符号．【详解】解： 正比例函数y kx =（k 是常数，0k ≠）的图象经过第一、三象限，0k ∴>．∴k 的值可以为1，故答案为：1（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查正比例函数图象在坐标平面内的位置与k 的关系．解答本题注意理解：直线y kx =所在的位置与k 的符号有直接的关系．0k >时，直线必经过一、三象限．0k <时，直线必经过二、四象限．17．如图，正方形ABCD 的边长为,AC BD 相交于点O ，点E 在CA 的延长线上，5OE =，连接DE ．（1）线段AE 的长为 ；（2）若F 为DE 的中点，则线段AF 的长为 ．∵F 为DE 的中点，A 为GD 的中点，∴AF 为DGE △的中位线，在Rt EAH △中，EAH DAC ∠=∠AH EH∴= 222AH EH AE +=，三、解答题18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点,,A F G 均在格点上．（1）线段AG 的长为 ；（2）点E 在水平网格线上，过点,,A E F 作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与,AE AF 的延长线相交于点,,B C ABC △中，点M 在边BC 上，点N 在边AB 上，点P 在边AC上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点,,M N P ，使MNP △的周长最短，并简要说明点,,M N P 的位置是如何找到的（不要求证明） ．19．解不等式组213317x x x +≤⎧⎨-≥-⎩①②请结合题意填空，完成本题的解答．(1)解不等式①，得______；(2)解不等式②，得______；(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：(4)原不等式组的解集为______．【答案】(1)1x ≤(2)3x ≥-(3)见解析(4)31x -≤≤【分析】本题考查的是解一元一次不等式，解一元一次不等式组；（1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案；（2）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案；（3）根据前两问的结果，在数轴上表示不等式的解集；（4）根据数轴上的解集取公共部分即可．【详解】（1）解：解不等式①得1x ≤，故答案为：1x ≤；（2）解：解不等式②得3x ≥-，故答案为：3x ≥-；（3）解：在数轴上表示如下：（4）解：由数轴可得原不等式组的解集为31x -≤≤，故答案为：31x -≤≤．20．为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h ），随机调查了该校八年级a 名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：(1)填空：a的值为______，图①中m的值为______，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______；(2)求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数；(3)根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是9h的人数约为多少？【答案】(1)50,34,8,8(2)8.36(3)150人【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体，众数、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．（1）根据6h的人数和百分比可以求得本次接受调查的学生人数，再由总人数和8h的人数即可求出m；根据条形统计图中的数据，可以得到这50个样本数据的众数、中位数；（2）根据平均数的定义进行解答即可；（3）在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是9h的学生占30%，用八年级共有学生数乘以30%即可得到答案．÷=（人)，【详解】（1）解：36%50m=÷⨯=，%1750100%34%∴=，34m在这组数据中，8出现了17次，次数最多，∴众数是8，将这组数据从小到大依次排列，处于最中间的第25，26名学生的分数都是8，+÷=，∴中位数是(88)2821．已知AOB 中，30,ABO AB ∠=︒为O 的弦，直线MN 与O 相切于点C ．(1)如图①，若AB MN ∥，直径CE 与AB 相交于点D ，求AOB ∠和BCE ∠的大小；(2)如图②，若,OB MN CG AB ⊥∥，垂足为,G CG 与OB 相交于点,3F OA =，求线段OF 的长．∴△AOB 中，A ABO ∠+∠又30ABO ∠=︒，1802AOB ABO ∴∠=︒-∠ 直线MN 与O 相切于点∵ 直线 MN 与 O ∴90OCM ∠=︒∵OC MN∴90OCM COB ∠=∠=22．综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB 的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点,,C D E 依次在同一条水平直线上，36m,DE EC AB =⊥，垂足为C ．在D 处测得桥塔顶部B 的仰角（CDB ∠）为45︒，测得桥塔底部A 的俯角（CDA ∠）为6︒，又在E 处测得桥塔顶部B 的仰角（CEB ∠）为31︒．(1)求线段CD 的长（结果取整数）；(2)求桥塔AB 的高度（结果取整数）．参考数据：tan310.6,tan60.1︒≈︒≈．23．已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家0.6km ，文化广场离家1.5km ．张华从家出发，先匀速骑行了4min 到画社，在画社停留了15min ，之后匀速骑行了6min 到文化广场，在文化广场停留6min 后，再匀速步行了20min 返回家．下面图中x 表示时间，y 表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题：(1)①填表：张华离开家的时间/min141330张华离家的距离/km 0.6②填空：张华从文化广场返回家的速度为______km /min ；③当025x ≤≤时，请直接写出张华离家的距离y 关于时间x 的函数解析式；(2)当张华离开家8min 时，他的爸爸也从家出发匀速步行了20min 直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中()0.6 1.5y <<两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）【答案】(1)①0.15,0.6,1.5；②0.075；③当04x ≤≤时，0.15y x =；当419x <≤时，0.6y =；当1925x <≤时，0.15 2.25y x =-(2)1.05km【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）①根据图象作答即可；②根据图象，由张华从文化广场返回家的距离除以时间求解即可；③分段求解，04x ≤≤，可得出0.15y x =，当419x <≤时，0.6y =；当1925x <≤时，设次数的函数解析式为：y kx b =+，把()19,0.6，()25,1.5代入y kx b =+，用待定系数法求解即可.（2）先求出张华爸爸的速度，设张华爸爸距家km y '，则0.0750.6y x '=-，当两人相遇书时有600.1.005 2..2575x x --=，列一元一次方程求解即可进一步得出答案．【详解】（1）解：①画社离家0.6km ，张华从家出发，先匀速骑行了4min 到画社，∴张华的骑行速度为()0.640.15km /min ÷=，∴张华离家1min 时，张华离家0.1510.15km ⨯=，张华离家13min 时，还在画社，故此时张华离家还是0.6km ，张华离家30min 时，在文化广场，故此时张华离家还是1.5km ．故答案为：0.15,0.6,1.5.②()1.5 5.1 3.10.075km /min ÷-=,故答案为：0.075．③当04x ≤≤时，张华的匀速骑行速度为()0.640.15km /min ÷=，∴0.15y x =；当419x <≤时，0.6y =；当1925x <≤时，设次数的函数解析式为：y kx b =+，把()19,0.6，()25,1.5代入y kx b =+，可得出：190.625 1.5k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：0.152.25k b =⎧⎨=-⎩，∴0.15 2.25y x =-，综上：当04x ≤≤时，0.15y x =，当419x <≤时，0.6y =，当1925x <≤时，0.15 2.25y x =-．（2）张华爸爸的速度为：()1.5200.075km /min ÷=，设张华爸爸距家km y '，则()0.07580.0750.6y x x =-=-'，当两人从画社到文化广场的途中()0.6 1.5y <<两人相遇时，有600.1.005 2..2575x x --=，解得：22x =，∴()0.07580.0750.60.075220.6 1.05km y x x =-=-=⨯-='，故从画社到文化广场的途中()0.6 1.5y <<两人相遇时离家的距离是1.05km ．24．将一个平行四边形纸片OABC 放置在平面直角坐标系中，点()0,0O ，点()3,0A ，点,B C 在第一象限，且2,60OC AOC ∠== ．(1)填空：如图①，点C 的坐标为______，点B 的坐标为______；(2)若P 为x 轴的正半轴上一动点，过点P 作直线l x ⊥轴，沿直线l 折叠该纸片，折叠后点O 的对应点O '落在x 轴的正半轴上，点C 的对应点为C '．设OP t =．①如图②，若直线l 与边CB 相交于点Q ，当折叠后四边形PO C Q ''与OABC 重叠部分为五边形时，O C ''与AB 相交于点E ．试用含有t 的式子表示线段BE 的长，并直接写出t 的取值范围；②设折叠后重叠部分的面积为S ，当21134t ≤≤时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．∵四边形OABC 是平行四边形，2,OC =∴23OC AB OA B AOC ====∠=∠，CB ，∵CH OA⊥∴30OCH ∠=︒此时AB与C O''的交点为E与A重合，OP 如图：当C'与点B重合时，此时AB与C O''的交点为E与B重合，OP=∴t的取值范围为35 22t<<；②如图：过点C作CH OA⊥由（1）得出()13C ，，60COA ∠=︒∴tan 60MP OP ︒=，3MP t =∴3MP t=当213t ≤<时，111222S O P OP MP t '==⨯=⨯()()1122S O P MC MP OP CM =+⨯''=+∴30>，S 随着t 的增大而增大∴在32t =时3333332222S =⨯-=-∵由①得出EO A ' 是等边三角形，EN AO⊥∴()11323222AN AO t t ==-=-'，∴tan 3EAO '∠=，3EN AN=∴332EN t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()31333222S t AO BC MP t =--⨯+⨯=-''∴30-<，S 随着t 的增大而减小∴在51124t ≤≤时，则把51124t t ==，分别代入得出57333S =-⨯+=，113S =-⨯+25．已知抛物线()20y ax bx c a b c a =++>，，为常数，的顶点为P ，且20a b +=，对称轴与x 轴相交于点D ，点(),1M m 在抛物线上，1m O >，为坐标原点．(1)当11a c ==-，时，求该抛物线顶点P 的坐标；(2)当OM OP ==a 的值；(3)若N 是抛物线上的点，且点N 在第四象限，90MDN DM DN ∠=︒=，，点E 在线段MN上，点F 在线段DN 上，NE NF +=，当DE MF +a 的值．则901MHO HM ∠=︒=，在Rt MOH 中，由2HM 221312m ⎛⎫∴+= ⎪ ⎪⎝⎭．解得123322m m ==-，（舍）90DNK NDK MDH ∠∠∠=︒-=NDK DMH ∴≌△△．∴1DK MH ==，NK DH ==∴点N 的坐标为()2,1m -．在Rt DMN △中，DMN DNM ∠=∠。
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. '. 2011年天津市初中毕业生学业考试试卷 一、选择题耳(本大题共l0小题．每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选顶中． 只有一项是符合题目要求的) （1）sin45°的值等于 B
（A) 12 (B) 22 (C) 32 (D) 1 (2)下列汽车标志中，可以看作是中心对称图形的是 A
（3）根据第六次全国人口普查的统计，截止到2010年11月1日零时，我国总人口约为1 370 000 000人，将1 370 000 000用科学记数法表示应为 B (A) 100.13710 (B) 91.3710 (C) 813.710 (D) 713710 (4) 估计10的值在 C (A) 1到2之问 (B) 2到3之间 (C) 3到4之问 (D) 4刊5之问 (5) 如图．将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为 C (A) 15° (B) 30° (C) 45° (D) 60°
考点：翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．
专题：计算题．
分析：利用翻折变换的不变量，可以得到∠EBF为直角的一半．
解答：解：∵将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，∴∠ABE=∠DBD=∠DBF=
∠FBC，∴∠EBF= 12∠ABC=45°，故选C． 点评：本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位
置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键 (6) 已知⊙1O与⊙2O的半径分别为3 cm和4 cm，若12OO=7 cm，则⊙1O与⊙2O的位置关系是 D (A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切 (7) 右图是一支架(一种小零件)，支架的两个台阶的高度和宽度都是同一长度．则它的三视图是 A
（8）下图是甲、乙两人l0次射击成绩（环数）的条形统计图．则下列说法正确的是 B .
'. (A) 甲比乙的成绩稔定 (B) 乙比甲的成绩稳定 (C) 甲、乙两人的成绩一样稳定 (D) 无法确定谁的成绩更稳定
方差；条形统计图．
专题：计算题；数形结合．
分析：根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数
据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定 解答：解：通过观察条形统计图可知：乙的成绩更整齐，也相对更稳定，故选B．
点评：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越
大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． （9）一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以每分0.1元的价格按上网所用时间计算；方式B除收月基费20元外．再以每分0．05元的价格按上网所用时间计费。若上网所用时问为x分．计费为y元，如图．是在同一直角坐标系中．分别描述两种计费方式的函救的图象，有下列结论： ① 图象甲描述的是方式A：② 图象乙描述的是方式B； ③ 当上网所用时间为500分时，选择方式B省钱． 其中，正确结论的个数是 A (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0
考点：函数的图象．专题：应用题；数形结合．
分析：根据函数图象的特点依次进行判断即可得出答案．
解答：解：根据一次函数图象特点：①图象甲描述的是方式A，正确，②图象乙描述的是方式B，正确，
③当上网所用时间为500分时，选择方式B省钱，正确，故选A． 点评：本题主要考查了一次函数图象的特点，需要学生根据实际问题进行分析，难度适中．
（10）若实数x、y、z满足2()4()()0xzxyyz．则下列式子一定成立的是 D (A)0xyz (B) 20xyz (C) 20yzx (D) 20zxy
考点：完全平方公式．专题：计算题．
分析：首先将原式变形，可得x2+z2+2xz-4xy+4y2-4yz=0，则可得（x+z-2y）2=0，则问题得解．
解答：解：∵（x-z）2-4（x-y）（y-z）=0，∴x2+z2-2xz-4xy+4xz+4y2-4yz=0，∴x2+z2+2xz-4xy+4y2-4yz=0，
∴（x+z-2y）2=0，∴z+x-2y=0．故选D． 点评：此题考查了完全平方公式的应用．解题的关键是掌握：x2+z2+2xz-4xy+4y2-4yz=（x+z-2y）2． . '. 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共8小题．每小题3分，共24分) (11) 6的相反教是______6____．
(12) 若分式211xx的值为0，则x的值等于____1 ______。 (13) 已知一次函数的图象经过点(0．1)．且满足y随x的增大而增大，则该一次函数的解析式可以为___1yx（答案不唯一，形如1(0)ykxk都可以）_______ (写出一一个即可)． (14) 如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB，BC、CA的中点，连接DE、EF、FD．则图中平行四边形的个数为___3_______。
(IS) 如图，AD，AC分别是⊙O的直径和弦．且∠CAD=30°．OB⊥AD，交AC于点B．若OB=5，则BC的长等于____5 _____。
考点：圆周角定理；解直角三角形．专题：计算题．
分析：在Rt△AOB中，已知了OB的长和∠A的度数，根据直角三角形的性质可求得OA的长，也就得到了直径AD的值，
连接CD，同理可在Rt△ACD中求出AC的长，由BC=AC-AB即可得解． 解答：解：连接CD；Rt△AOB中，∠A=30°，OB=5，则AB=10，OA=5 3 ；在Rt△ACD中，∠A=30°，AD=2OA=10
3 ，则AC=15；∴BC=AC-AB=15-10=5．故答案为5． 点评：此题主要考查了直角三角形的性质和圆周角定理的应用，难度不大．
(16) 同时掷两个质地均匀的骰子．观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率为____16 _____。 (17)如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等．若AB=1，BC=CD=3，DE=2，则这个六边形的周长等于____15_____。 解：15 分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P． 因为六边形ABCDEF的六个角都是120°， 所以六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°． 所以三角形APF、三角形BGC、三角形DHE、三角形GHP都是等边三角形． 所以GC=BC=3，DH=DE=2． 所以GH=3+3+2=8，FA=PA=PG-AB-BG=8-1-3=4，EF=PH-PF-EH=8-4-2=2． 所以六边形的周长为1+3+3+2+4+2=15． 故答案为15．
(18) 如图，有一张长为5宽为3的矩形纸片ABCD，要通过适当的剪拼，得到一个与之面积相等的正方形． .
'. (Ⅰ) 该正方形的边长为___15______。(结果保留根号) (Ⅱ) 现要求只能用两条裁剪线．请你设计一种裁剪的方法．在图中画出裁剪线， 并简要说明剪拼的过程：_如图．①作出BN=15 (BM=4，MN=1， ∠MNB=90°)： ②画出两条裁剪线AK，BE (AK=BE=15．BE⊥AK)： ③平移△ABE和△ADK． 此时，得到的四边形BEF'G即为所求．________。
作图—应用与设计作图．专题：作图题．
分析：（I）设正方形的边长为a，则a2=3×5，可解得正方形的边长；
（II）以BM=4为直径作半圆，在半圆上取一点N，使MN=1，连接BN，则∠MNB=90°，由勾股定理，得BN= 42-12= 15，由此构造正方形的边长，利用平移法画正方形． 解答：解：（I）设正方形的边长为a，则a2=3×5，解得a= 15；
（II）如图，
（1）以BM=4为直径作半圆，在半圆上取一点N，使MN=1，连接BN，由勾股定理，得BN= 15； （2）以A为圆心，BN长为半径画弧，交CD于K点，连接AK， （3）过B点作BE⊥AK，垂足为E， （4）平移△ABE，△ADK，得到四边形BEFG即为所求． 点评：本题考查了应用与设计作图．关键是理解题意，根据已知图形设计分割方案
三、解答题(本大题共8小题，共68分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) (19)(本小题6分)
解不等式组215432xxxx ∴不等式组的解集为：-6＜x≤2． (20)(本小题8分) 已知一次函数1yxb(b为常数)的图象与反比例函数2kyx（k为常数．且0k） 的图象相交于点P(3．1)． (I) 求这两个函数的解析式；(II) 当x>3时，试判断1y与2y的大小．井说明理由。 . '. 解 (I)一次函数的解析式为12yx． 反比例函数的解析式为23yx． (Ⅱ)12yy．理由如下： 当3x时，121yy． 又当3x时．一次函数1y随x的增大而增大．反比例函数2y随x的增大而减碡小， ∴当3x时12yy。 (21)(本小题8分) 在我市开展的“好书伴我成长”读书活动中，某中学为了解八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数．统计数据如下表所示： 册数 0 1 2 3 4 人数 3 13 16 17 1
(I) 求这50个样本数据的平均救，众数和中位数： (Ⅱ) 根据样本数据，估计该校八年级300名学生在本次活动中读书多于2册的人数。
解：(I) 观察表格．可知这组样本救据的平均数是 0311321631741250x ∴这组样本数据的平均数为2． ∵在这组样本数据中．3出现了17次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数为3． ∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列．其中处于中间的两个数都是2， ∴这组数据的中位数为2．
(Ⅱ) 在50名学生中，读书多于2本的学生有I 8名．有1830010850． ∴根据样本数据，可以估计该校八年级300名学生在本次活动中读书多于2册的约有108名． (22)(本小题8分) 已知AB与⊙O相切于点C，OA=OB．OA、OB与⊙O分别交于点D、E. (I) 如图①，若⊙O的直径为8AB=10，求OA的长(结果保留根号)；
(Ⅱ)如图②，连接CD、CE，-若四边形dODCE为菱形．求ODOA的值．
考点：切线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质．
专题：几何图形问题．
分析：（1）连接OC，根据切线的性质得出OC⊥AB，再由勾股定理求得OA即可；