我的高考数学错题本——第4章 导数及其应用易错题 Word版含解析
高三数学数学导数及其应用多选题的专项培优易错试卷练习题及解析
高三数学数学导数及其应用多选题的专项培优易错试卷练习题及解析一、导数及其应用多选题1．函数ln ()xf x x=，则下列说法正确的是（ ）A ．(2)(3)f f >B ．ln π>C ．若()f x m =有两个不相等的实根12x x 、，则212x x e <D ．若25,x y x y =、均为正数，则25x y < 【答案】BD 【分析】求出导函数，由导数确定函数日单调性，极值，函数的变化趋势，然后根据函数的性质判断各选项．由对数函数的单调性及指数函数单调性判断A ，由函数()f x 性质判断BC ，设25xyk ==，且,x y 均为正数，求得252ln ,5ln ln 2ln 5x k y k ==，再由函数()f x 性质判断D ． 【详解】由ln (),0x f x x x=>得：21ln ()xf x x -'=令()0f x '=得，x e =当x 变化时，(),()f x f x '变化如下表：故，()f x x=在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减，()f e e =是极大值也是最大值，x e >时，x →+∞时，()0f x →，且x e >时()0f x >，01x <<时，()0f x <，(1)0f =，A ．1132ln 2(2)ln 2,(3)ln 32f f ===66111133223232(3)(2)f f ⎛⎫⎛⎫>∴>∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错B ．e e π<，且()f x 在(0,)e 单调递增lnf fπ∴<<<∴>，故：B正确C．()f x m=有两个不相等的零点()()1212,x x f x f x m∴==不妨设120x e x<<<要证：212x x e<，即要证：221222,()e ex x e e f xx x<>∴<在(0,)e单调递增，∴只需证：()212ef x fx⎛⎫< ⎪⎝⎭即：()222ef x fx⎛⎫< ⎪⎝⎭只需证：()222ef x fx⎛⎫-<⎪⎝⎭……①令2()(),()eg x f x f x ex⎛⎫=->⎪⎝⎭，则2211()(ln1)g x xe x'⎛⎫=--⎪⎝⎭当x e>时，2211ln1,()0()x g x g xe x'>>∴>∴在(,)e+∞单调递增()22()0x e g x g e>∴>=，即：()222ef x fx⎛⎫->⎪⎝⎭这与①矛盾，故C错D．设25x y k==，且,x y均为正数，则25ln lnlog,logln2ln5k kx k y k====252ln,5lnln2ln5x k y k∴==1152ln2ln5ln2,ln525==且1010111153222525⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪>> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ln2ln52502525ln2ln5x y∴>>∴<∴<，故D正确．故选：BD．【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性、极值，函数零点等性质，解题关键是由导数确定函数()f x的性质．其中函数值的大小比较需利用单调性，函数的零点问题中有两个变量12,x x，关键是进行转化，利用零点的关系转化为一个变量，然后引入新函数进行证明．2．对于函数()2ln1f x x ax x a=+--+，其中a R∈，下列4个命题中正确命题有（）A．该函数定有2个极值B．该函数的极小值一定不大于2C．该函数一定存在零点D．存在实数a，使得该函数有2个零点【答案】BD【分析】求出导函数，利用导数确定极值，结合零点存在定理确定零点个数．【详解】函数定义域是(0,)+∞，由已知2121()2x ax f x x a x x+-'=+-=，280a ∆=+>，2210x ax +-=有两个不等实根12,x x ，但12102x x =-<，12,x x 一正一负．由于定义域是(0,)+∞，因此()0f x '=只有一个实根，()f x 只有一个极值，A 错； 不妨设120x x <<，则20x x <<时，()0f x '<，()f x 递减，2x x >时，()0f x '>，()f x 递增．所以2()f x 是函数的极小值．222210x ax +-=，22212x a x -=，22222()ln 1f x x ax x a =+--+＝222222222222212112ln 12ln 2x x x x x x x x x -+---+=-+--+，设21()2ln 2g x x x x x =-+--+，则22111()22(1)(2)g x x x x x x'=-+-+=-+， 01x <<时，()0g x '>，()g x 递增，1x >时，()0g x '<，()g x 递减，所以()g x 极大值＝(1)2g =，即()2g x ≤，所以2()2f x ≤，B 正确； 由上可知当()f x 的极小值为正时，()f x 无零点．C 错；()f x 的极小值也是最小值为2222221()2ln 2f x x x x x =-+--+， 例如当23x =时，173a =-，2()0f x <，0x →时，()f x →+∞，又2422217171714()21()03333f e e e e e =--++=-+>（217()3e >， 所以()f x 在(0,3)和(3,)+∞上各有一个零点，D 正确． 故选：BD ． 【点睛】思路点睛：本题考查用导数研究函数的极值，零点，解题方法是利用导数确定函数的单调性，极值，但要注意在函数定义域内求解，对零点个数问题，注意结合零点存在定理，否则不能确定零点的存在性．3．若存在常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”．已知函数()22x f x =（x ∈R ），()12g x x =（0x <），()ln h x e x =，（e 为自然对数的底数），则（ ）A ．()()()m x f x g x =-在0x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递减 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为2- C ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]2,1-D ．()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”，方程为2ey =-【答案】BD 【分析】对于A ：令()()()m x f x g x =-，利用导数可确定()m x 单调性，进而作出判断； 对于B 和C ：利用二次函数的性质以及不等式恒成立的知识求出b 、k 的范围，进而作出判断；对于选项D ：根据隔离直线过()f x 和()h x 的公共点，可假设隔离直线为2e y kx =-；可得到222x ekx ≥-，再利用恒成立得出k 的值，最后尝试利用导数证明()2eh x ≤-，进而作出判断. 【详解】对于A ，()()()2122x m x f x g x x =-=-， ()322121022x m x x x x+'∴=+=>， 当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x '>，()m x ∴单调递增，故A 错误； 对于B ，C ，设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，22x kx b ≥+对任意x ∈R 恒成立，即2220x kx b --≥对任意x ∈R 恒成立， 所以21480k b ∆=+≤，所以0b ≤，又12kx b x ≤+对任意(),0x ∈-∞恒成立，即22210kx bx +-≤对任意(),0x ∈-∞恒成立，因为0b ≤，所以0k ≤且21480b k ∆=+≤，所以22k b ≤-且22b k ≤-，4248k b b ≤≤-，解得20k -≤≤，同理20b -≤≤， 所以b 的最小值为2-，k 的取值范围是[]2,0-， 故B 正确，C 错误；对于D ，函数()f x 和()h x 的图象在x =∴若存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线方程为(2ey k x -=，即2e y kx =-，则222x ekx ≥-（x ∈R），得2220x kx e -+≥对x ∈R 恒成立，则()24420k e ∆=-≤，解得k =，此时隔离直线方程为：2ey =-，下面证明()2e h x ≤-， 令()()ln 22e e G x h x e x =--=--（0x >），则()x G x x'=，当x =()0G x '=；当0x <<()0G x '<；当x >()0G x '>；∴当x =()G x 取到极小值，也是最小值，即()0min G x G==，()()02e G x h x ∴=--≥在()0,∞+上恒成立，即()2eh x ≤-，∴函数()f x 和()h x存在唯一的隔离直线2ey =-，D 正确. 故选：BD . 【点睛】关键点睛：本题考查导数中的新定义问题的求解；解题关键是能够充分理解“隔离直线”的定义，将问题转化为根据不等式恒成立求解参数范围或参数值、或不等式的证明问题，属于难题.4．经研究发现：任意一个三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象都只有一个对称中心点()()00,x f x ，其中0x 是()0f x ''=的根，()'f x 是()f x 的导数，()f x ''是()'f x 的导数.若函数32()f x x ax x b =+++图象的对称点为(1,2)-，且不等式(ln 1)x e e mx x -+32()3ef x x x e x ⎡⎤≥--+⎣⎦对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则（ ）A ．3a =B ．1b =C ．m 的值可能是e -D ．m 的值可能是1e-【答案】ABC 【分析】求导得()62f x x a ''=+，故由题意得()1620f a ''=-+=-，()1112f a b -=-+-+=，即3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.进而将问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++<+，由于1x e x >+，故ln ln 1ee x x x x e e x e x --+=≥-+，进而得()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x ee x x --++--≥=-++，即m e ≤-，进而得ABC 满足条件.【详解】由题意可得()1112f a b -=-+-+=，因为()2321x ax f x =++'，所以()62f x x a ''=+，所以()1620f a ''=-+=-，解得3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.因为1x >，所以()()32ln []13xeee mx xf x x x e x -+≥--+等价于()1ln 1e x x e x e m x --++≤+. 设()()10xg x e x x =-->，则()10xg x e '=->，从而()g x 在()0,∞+上单调递增.因为()00g =，所以()0g x >，即1x e x >+， 则ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+（当且仅当x e =时，等号成立），从而()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x e e x x --++--≥=-++，故m e ≤-.故选：ABC. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得()3231f x x x x =+++，进而将不等式恒成立问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++≤+恒成立问题，再结合1x e x >+得ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+，进而得m e ≤-.考查运算求解能力与化归转化思想，是难题.5．（多选）已知函数()ln ()f x ax x a =-∈R ，则下列说法正确的是（ ） A ．若0a ≤，则函数()f x 没有极值 B ．若0a >，则函数()f x 有极值C ．若函数()f x 有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭【答案】ABD【分析】先对()f x 进行求导，再对a 进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断. 【详解】解：由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且11()ax f x a x x'-=-=， 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，此时()f x 单调递减，没有极值， 又当x 趋近于0时，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于-∞， ∴()f x 有且只有一个零点， 当0a >时，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减， 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x '>，()f x 单调递增， ∴当1x a=时，()f x 取得极小值，同时也是最小值， ∴min 1()1ln f x f a a ⎛⎫==+⎪⎝⎭， 当x 趋近于0时，ln x 趋近于-∞，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于+∞， 当1ln 0a +=，即1a e=时，()f x 有且只有一个零点； 当1ln 0a +<，即10a e<<时，()f x 有且仅有两个零点， 综上可知ABD 正确，C 错误． 故选：ABD ． 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()·0f a f b ＜，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．6．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2eln h x x =（e 为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ） A ．()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线，且b 的最小值为4 C ．()f x 和()g x 间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(]4,1-D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”e y =- 【答案】AD 【分析】求出()()()m x f x g x =-的导数，检验在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内的导数符号，即可判断选项A ；选项B 、C 可设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，20∆≤，0k ≤，0b ≤，根据不等式的性质，求出k 、b 的范围，即可判断选项B 、C ；存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k ，则隔离直线的方程为(y e k x -=，构造函数求出函数的导数，根据导数求出函数的最值.【详解】对于选项A ：()()()21m x f x g x x x =-=-，()212m x x x'=+， 当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2120m x x x '=+>， 所以函数()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增；故选项A 正确 对于选项BC ：设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，则2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，即240k b +≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，则210kx bx +-≤，即 20∆≤，240b k +≤，0k ≤，0b ≤，即有24k b ≤-且24b k ≤-，421664k b k ≤≤-，可得40k -≤≤，同理可得：40b -≤≤，故选项B 不正确，故选项C 不正确；对于选项D ：函数()f x 和()h x 的图象在x =()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k ，则隔离直线的方程为(y e k x -=，即y kx e =-，由()f x kx e ≥-，可得20x kx k e e -+-≥对于x ∈R 恒成立，则0∆≤，只有2k e =，此时直线方程为2y ex e =-，下面证明()2h x ex e ≤-，令()22n ()2l G x ex e h x ex e x e =--=--，()2()e x eG x x-'=，当x e =时，()0'=G x ，当0x e <<时，()0'<G x ，当x e >时，()0G x '>，则当x e =时，()G x 取到极小值，极小值是0，也是最小值.所以()2()0G x ex e h x =--≥，则()2h x ex e ≤-当0x >时恒成立.所以()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”2e e y x =-，故选项D 正确. 故选：AD 【点睛】本提以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的导数，利用导数求最值，属于难题.7．已知()2sin x f x x x π=--.（ ）A ．()f x 的零点个数为4B ．()f x 的极值点个数为3C ．x 轴为曲线()y f x =的切线D ．若()12()f x f x =，则12x x π+=【答案】BC 【分析】首先根据()0f x '=得到21cos xx π-=，分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，从而得到函数的单调性和极值，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】()21cos xf x x π'=--，令()0f x '=，得到21cos xx π-=.分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，如图所示：由图知：21cos xx π-=有三个解，即()0f x '=有三个解，分别为0，2π，π. 所以(),0x ∈-∞，()21cos 0xf x x π'=-->，()f x 为增函数，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=--<，()f x 为减函数，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=-->，()f x 为增函数，(),x π∈+∞，()21cos 0xf x x π'=--<，()f x 为减函数.所以当0x =时，()f x 取得极大值为0，当2x π=时，()f x 取得极小值为14π-，当x π=时，()f x 取得极大值为0，所以函数()f x 有两个零点，三个极值点，A 错误，B 正确.因为函数()f x 的极大值为0，所以x 轴为曲线()y f x =的切线，故C 正确. 因为()f x 在(),0-∞为增函数，0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数， 所以存在1x ，2x 满足1202x x π<<<，且()()12f x f x =，显然122x x π+<，故D 错误.故选：BC 【点睛】本题主要考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的零点，极值点和切线，属于难题.8．已知实数a ，b ，c ，d 满足2111a a e cb d --==-，其中e 是自然对数的底数，则()()22a cb d -+-的值可能是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】BCD 【分析】由题中所给的等式，分别构造函数()2xf x x e =-和()2g x x =-+，则()()22a cb d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),Ncd 的距离的平方，利用导数的几何意义可知当()01f x '=-时，切点到直线的距离最小，再比较选项.【详解】由212a a a e b a e b-=⇒=-，令()2x f x x e =-，()12x f x e '∴=- 由1121c d c d -=⇒=-+-，令()2g x x =-+ 则()()22a c b d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),N c d 的距离的平方，设()y f x =上与()y g x =平行的切线的切点为()000,M x y由()0001210xf x e x '=-=-⇒=，∴切点为()00,2M -所以切点为()00,2M -到()y g x =的距离的平方为28=的距离为(),M a b 与(),N c d 的距离的平方的最小值.故选：BCD.【点睛】本题考查构造函数，利用导数的几何意义求两点间距离的最小值，重点考查转化思想，构造函数，利用几何意义求最值，属于偏难题型.。
高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用高考解答题专项一第1课时利用导数证明不等式课件
在 x∈(0,2)时恒成立.
e -e
l'(x)= 2
e
=
1-
,
e
∴当 x<1 时,l'(x)>0,函数 l(x)在(0,1)内单调递增,
当 x>1 时,l'(x)<0,函数
令 t(x)=ln
1
l(x)在(1,2)内单调递减,∴l(x)≤l(1)= .
e
1
1-
x-(x-1),t'(x)= -1= ,
会得到f'(x)=ex+g'(x),导函数中仍然含有ex,这时方程f'(x)=0或不等式f'(x)>0
都是超越方程或不等式,求解将比较麻烦,甚至不能直接求解,需要采取“二
次求导”或“虚设零点”的办法解决问题.但如果将函数解析式转化为exf(x)
()
()
x
x
或 的形式,则其导数为[e f(x)]'=e [f(x)+f'(x)],
故只需证明 xln x+1-x+4e
=e
1
1
1
=
1
1
·2
1
e (-1)
.
=
1
(-1)(e +-e -1)
2
.
当 x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)在区间(0,1)内单调递减,
1
1
1
∴xe >e,即-xe <-e,-xe -1<-e-1.
设 h(x)=ex+x,显然 h(x)在区间(0,1)内单调递增,∴ex+x<e+1.
浙江2020版高考数学第四章导数及其应用4.2导数的应用(第1课时)讲义(含解析)
§4.2导数的应用1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③考查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．概念方法微思考1．“f(x)在区间(a，b)上是增函数，则f′(x)>0在(a，b)上恒成立”，这种说法是否正确？提示不正确，正确的说法是：可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对任意x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．2．对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的________条件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”)提示必要不充分题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．( √)(2)函数的极大值一定大于其极小值．( ×)(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( √)(4)开区间上的单调连续函数无最值．( √)题组二教材改编2．[P32A组T4]如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是( )A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数B．在区间(1,3)上f(x)是减函数C．在区间(4,5)上f(x)是增函数D．当x＝2时，f(x)取到极小值答案 C解析 在(4,5)上f ′(x )>0恒成立， ∴f (x )是增函数．3．[P29练习T2]设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点 答案 D解析 f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x2(x >0)，当0<x <2时，f ′(x )<0，当x >2时，f ′(x )>0，∴x ＝2为f (x )的极小值点．4．[P26练习T1]函数f (x )＝x 3－6x 2的单调递减区间为__________． 答案 (0,4)解析 f ′(x )＝3x 2－12x ＝3x (x －4)， 由f ′(x )<0，得0<x <4，∴函数f (x )的单调递减区间为(0,4)．5．[P32A 组T6]函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是__________．答案π6＋ 3 解析 ∵y ′＝1－2sin x ，∴当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6时，y ′>0；当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤π6，π2时，y ′<0.∴当x ＝π6时，y max＝π6＋ 3.6．[P30例5]函数f (x )＝13x 3－4x ＋4在[0,3]上的最大值与最小值分别为__________．答案 4，－43解析 由f (x )＝13x 3－4x ＋4，得f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)， 令f ′(x )>0，得x >2或x <－2；令f ′(x )<0，得－2<x <2.所以f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增； 在(－2,2)上单调递减，而f (2)＝－43，f (0)＝4，f (3)＝1，故f (x )在[0,3]上的最大值是4，最小值是－43.题组三 易错自纠7．(2007·浙江)设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )答案 D解析 当f (x )为增函数时，f ′(x )≥0； 当f (x )为减函数时，f ′(x )≤0.8．(2011·浙江)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )的图象是( )答案 D解析 设h (x )＝f (x )e x，则h ′(x )＝(2ax ＋b )e x ＋(ax 2＋bx ＋c )e x ＝(ax 2＋2ax ＋bx ＋b ＋c )e x. 由x ＝－1为函数h (x )的一个极值点，得当x ＝－1时，ax 2＋2ax ＋bx ＋b ＋c ＝c －a ＝0， ∴c ＝a .∴f (x )＝ax 2＋bx ＋a .若方程ax 2＋bx ＋a ＝0有两根x 1，x 2， 则x 1x 2＝a a＝1，D 中图象一定不满足该条件．第1课时 导数与函数的单调性题型一 不含参数的函数的单调性1．函数y ＝4x 2＋1x的单调增区间为( )A ．(0，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(－∞，－1) D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12答案 B解析 由y ＝4x 2＋1x ，得y ′＝8x －1x2，令y ′>0，即8x －1x 2>0，解得x >12，∴函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.故选B.2．已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A ．在(0，＋∞)上单调递增 B ．在(0，＋∞)上单调递减C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递增D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减 答案 D解析 因为函数f (x )＝x ln x 的定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)， 当f ′(x )>0时，解得x >1e，即函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞； 当f ′(x )<0时，解得0<x <1e，即函数的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ， 故选D.3．已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是_________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 解析 f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.思维升华确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f (x )的定义域． (2)求f ′(x )．(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间． (4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 题型二 含参数的函数的单调性例1已知函数f (x )＝x 2e－ax－1(a 是常数)，求函数y ＝f (x )的单调区间．解 根据题意可得，当a ＝0时，f (x )＝x 2－1，函数在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减．当a ≠0时，f ′(x )＝2x e －ax＋x 2(－a )e－ax＝e－ax(－ax 2＋2x )．因为e－ax>0，所以令g (x )＝－ax 2＋2x ＝0，解得x ＝0或x ＝2a.①当a >0时，函数g (x )＝－ax 2＋2x 在(－∞，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫2a，＋∞上有g (x )<0，即f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；函数g (x )＝－ax 2＋2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2a 上有g (x )≥0，即f ′(x )≥0，函数y ＝f (x )单调递增．②当a <0时，函数g (x )＝－ax 2＋2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a 和(0，＋∞)上有g (x )>0，即f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增；函数g (x )＝－ax 2＋2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a，0上有g (x )≤0，即f ′(x )≤0，函数y ＝f (x )单调递减．综上所述，当a ＝0时，函数y ＝f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)；当a >0时，函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2a，＋∞，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2a ；当a <0时，函数y ＝f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a ，(0，＋∞)，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，0.思维升华 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点． 跟踪训练1已知函数f (x )＝e x (ax 2－2x ＋2)(a >0)，试讨论f (x )的单调性． 解 由题意得f ′(x )＝e x[ax 2＋(2a －2)x ](a >0)， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2－2aa.①当0<a <1时，令f ′(x )>0，则x <0或x >2－2a a，令f ′(x )<0，则0<x <2－2a a；②当a ＝1时，f ′(x )≥0在R 上恒成立； ③当a >1时，令f ′(x )>0，则x >0或x <2－2a a，令f ′(x )<0，则2－2a a<x <0.综上所述，当0<a <1时，f (x )在(－∞，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a a ，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2－2a a 上单调递减；当a ＝1时，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a >1时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2－2a a 和(0，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a a ，0上单调递减．题型三 函数单调性的应用命题点1 比较大小或解不等式例2(1)已知定义域为R 的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，当x <0时，xf ′(x )－f (x )<0.若a ＝f (e )e，b ＝f (ln2)ln2，c ＝f (3)3，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b <a <cB ．a <c <bC ．a <b <cD ．c <a <b答案 D 解析 设g (x )＝f (x )x ，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2， 又当x <0时，xf ′(x )－f (x )<0，所以g ′(x )<0，即函数g (x )在区间(－∞，0)内单调递减．因为f (x )为R 上的偶函数，所以g (x )为(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，所以函数g (x )在区间(0，＋∞)内单调递减．由0<ln2<e<3，可得g (3)<g (e)<g (ln2)，即c <a <b ，故选D.(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f ′(x )>1，f (0)＝4，则不等式e xf (x )>e x＋3(其中e 为自然对数的底数)的解集为( ) A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(3，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0，＋∞)D ．(3，＋∞) 答案 A解析 令g (x )＝e xf (x )－e x， ∴g ′(x )＝e xf (x )＋e xf ′(x )－e x＝e x[f (x )＋f ′(x )－1]， ∵f (x )＋f ′(x )>1，∴g ′(x )>0， ∴y ＝g (x )在定义域上单调递增， ∵e xf (x )>e x＋3，∴g (x )>3，∵g (0)＝3，∴g (x )>g (0)，∴x >0，故选A.命题点2 根据函数单调性求参数例3已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)．(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围． 解 (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x－ax －2，由于h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间， 所以当x ∈(0，＋∞)时，1x－ax －2<0有解，即a >1x 2－2x有解．设G (x )＝1x 2－2x，所以只要a >G (x )min 即可．而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a >－1.又因为a ≠0，所以a 的取值范围为(－1,0)∪(0，＋∞)． (2)因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x－ax －2≤0恒成立，即a ≥1x －2x恒成立．所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1x－12－1，因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，0∪(0，＋∞)． 引申探究1．本例(2)中，若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递增，求a 的取值范围． 解 因为h (x )在[1,4]上单调递增，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )≥0恒成立， 所以当x ∈[1,4]时，a ≤1x 2－2x恒成立，又当x ∈[1,4]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2－2x min ＝－1(此时x ＝1)，所以a ≤－1，即a 的取值范围是(－∞，－1]．2．本例(2)中，若h (x )在[1,4]上存在单调递减区间，求a 的取值范围． 解 h (x )在[1,4]上存在单调递减区间， 则h ′(x )<0在[1,4]上有解， 所以当x ∈[1,4]时，a >1x 2－2x有解，又当x ∈[1,4]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2－2x min ＝－1，所以a >－1，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)． 思维升华根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解． (3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题．跟踪训练2 (1)(2018·宁波模拟)已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在(－∞，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是( ) A ．m <2或m >4 B ．－4<m <－2 C ．2<m <4 D ．以上皆不正确答案 D解析 由于函数在R 上递增，故导函数恒为非负数，即f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0恒成立，其判别式Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7)≤0，解得2≤m ≤4. (2)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x ＋1＋a 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3上单调递增，则实数a 的取值范围为________． 答案 [－1,1]解析 令t ＝2x，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，8，g (t )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t ＋a t .当a ＝0时，g (t )＝|2t |＝2t 单调递增，满足题意； 当a ＞0时，g (t )＝2t ＋a t 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫a2，＋∞上单调递增，所以a2≤22，解得0＜a ≤1； 当a ＜0时，需2t ＋a t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，8上非负，所以2×22＋a22≥0，解得－1≤a ＜0. 综上，实数a 的取值范围为[－1,1]．用分类讨论思想研究函数的单调性含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能： ①方程f ′(x )＝0是否有根；②若f ′(x )＝0有根，求出根后判断其是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法．例已知函数g (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ，若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性． 解 g ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x.∵函数g (x )的定义域为(0，＋∞)， ∴当a ＝0时，g ′(x )＝－x －1x. 由g ′(x )>0，得0<x <1，由g ′(x )<0，得x >1. 当a >0时，令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝12a ，若12a <1，即a >12， 由g ′(x )>0，得x >1或0<x <12a ，由g ′(x )<0，得12a <x <1；若12a >1，即0<a <12， 由g ′(x )>0，得x >12a 或0<x <1，由g ′(x )<0，得1<x <12a，若12a ＝1，即a ＝12，在(0，＋∞)上恒有g ′(x )≥0. 综上可得：当a ＝0时，函数g (x )在(0,1)上单调递增， 在(1，＋∞)上单调递减；当0<a <12时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞上单调递增； 当a ＝12时，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >12时，函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫12a ，1上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．1．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－1,1)答案 A解析 ∵f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x(x >0)，∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．2.已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d )答案 C解析 由题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0， 所以函数f (x )在(－∞，c )上是增函数， 因为a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )，故选C.3．(2018·台州调考)定义在R 上的可导函数f (x )，已知y ＝2f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的单调递增区间是( )A ．[0,1]B ．[1,2]C ．(－∞，1]D ．(－∞，2]答案 D解析 据函数y ＝2f ′(x )的图象可知，当x ≤2,2f ′(x )≥1⇒f ′(x )≥0，且使f ′(x )＝0的点为有限个，所以函数y ＝f (x )在(－∞，2]上单调递增，故选D.4．(2018·浙江台州中学质检)已知函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2＋x (a ∈R )，下列选项中不可能是函数f (x )图象的是( )答案 D解析 由题意得f ′(x )＝ax 2＋ax ＋1，若函数f (x )的图象如D 选项中的图象所示，则f ′(x )≤0在R 上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a 2－4a ≤0，此时不等式组无解，所以D 错误，故选D.5．定义在R 上的函数y ＝f (x )，满足f (3－x )＝f (x )，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32f ′(x )<0，若x 1<x 2，且x 1＋x 2>3，则有( ) A ．f (x 1)<f (x 2) B ．f (x 1)>f (x 2) C ．f (x 1)＝f (x 2) D ．不确定答案 B解析 据已知由f (x )＝f (3－x )，可得函数图象关于直线x ＝32对称，又由⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32f ′(x )<0，得当x >32时，f ′(x )<0；当x <32时，f ′(x )>0.又若x 1<x 2，x 1＋x 2>3，则有⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－32>⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－32，因此据函数的单调性可得f (x 1)>f (x 2)，故选B.6．(2018·浙江名校协作体模拟)已知函数f (x )＝(2x －1)·e x＋ax 2－3a (x >0)为增函数，则a 的取值范围是( )A ．[－2e ，＋∞) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，＋∞C ．(－∞，－2e] D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32e答案 A解析 ∵f (x )＝(2x －1)e x＋ax 2－3a 在(0，＋∞)上是增函数，∴f ′(x )＝(2x ＋1)e x＋2ax ≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，即－2a ≤⎝⎛⎭⎪⎫2＋1x e x .设g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1x e x ，则g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋1x ＋2e x ，由g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋1x ＋2e x ＝0和x >0得x ＝12，∵当x >12时，g ′(x )>0，当0<x <12时，g ′(x )<0，∴g (x )在x ＝12处取得最小值，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4e ，∴－2a ≤4e ，∴a ≥－2e ，故选A.7．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1,3)，则b ＋c ＝________. 答案 －12解析 f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知，－1<x <3是不等式3x 2＋2bx ＋c <0的解， ∴－1,3是f ′(x )＝0的两个根， ∴b ＝－3，c ＝－9，∴b ＋c ＝－12.8．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为____________． 答案 {x |x <－1或x >1}解析 设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减． ∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12，∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减，∴x 2>1，即不等式的解集为{x |x <－1或x >1}．9．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．答案 (0,1)∪(2,3)解析 由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－(x －1)(x －3)x，由f ′(x )＝0，得函数f (x )的两个极值点为1和3， 则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内， 函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调， 由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3.10．已知函数f (x )＝ln x ＋(x －b )2(b ∈R )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上存在单调递增区间，则实数b 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，94 解析 由题意得f ′(x )＝1x ＋2(x －b )＝1x ＋2x －2b ，因为函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上存在单调递增区间，所以f ′(x )＝1x ＋2x －2b >0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上有解，所以b <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋x max ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，由函数的性质易得当x ＝2时，12x ＋x 取得最大值，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋x max ＝12×2＋2＝94，所以b 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，94.11．(2018·湖州五中模拟)设函数f (x )＝x e kx(k ≠0)． (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )的单调区间；(3)若函数f (x )在区间(－1,1)上单调递增，求k 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝(1＋kx )e kx，f ′(0)＝1，f (0)＝0， 曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为x －y ＝0. (2)由f ′(x )＝(1＋kx )e kx＝0，得x ＝－1k(k ≠0)，若k >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k，＋∞时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；若k <0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k，＋∞时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．(3)由(2)知，若k >0，则当且仅当－1k≤－1，即k ≤1时，函数f (x )在(－1,1)上单调递增；若k <0，则当且仅当－1k≥1，即k ≥－1时，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．综上可知，当函数f (x )在区间(－1,1)上单调递增时，k 的取值范围是[－1,0)∪(0,1]．12．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′(x )＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围．解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝a (1－x )x， 当a >0时，f (x )的单调增区间为(0,1)， 单调减区间为(1，＋∞)；当a <0时，f (x )的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)；当a ＝0时，f (x )为常函数． (2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x.∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2＋2x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t ,3)上总不是单调函数， 即g ′(x )在区间(t ,3)上有变号零点． 由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′(t )<0，g ′(3)>0.当g ′(t )<0时，即3t 2＋(m ＋4)t －2<0对任意t ∈[1,2]恒成立， 由于g ′(0)<0，故只要g ′(1)<0且g ′(2)<0，即m <－5且m <－9，即m <－9； 由g ′(3)>0，即m >－373.∴－373<m <－9.即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.13．(2018·杭州高级中学模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，g (x )为f (x )的导函数．若f (x )在(0,1)上单调递减，则下列结论正确的是( )A ．a 2－3b 有最小值3 B ．a 2－3b 有最大值2 3 C ．f (0)·f (1)≤0 D ．g (0)·g (1)≥0答案 D解析 由题意可得g (x )＝f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .因为f (x )在(0,1)上单调递减，所以g (x )≤0在(0,1)上恒成立，即g (0)≤0，g (1)≤0，所以g (0)·g (1)≥0，故选D.14．(2019·杭州第二中学模拟)对于函数f (x )和g (x )，设α∈{x ∈R |f (x )＝0}，β∈{x ∈R |g (x )＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f (x )与g (x )互为“情侣函数”．若函数f (x )＝e x －2＋x －3与g (x )＝ax －ln x 互为“情侣函数”，则实数a 的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln33，1eB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，ln33C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1e D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1e 答案 C 解析 令f (x )＝ex －2＋x －3＝0，解得α＝x ＝2，根据条件可得|2－β|≤1，解得1≤β≤3，对于函数g (x )＝ax －ln x ，当a ＝0时，g (1)＝0，满足条件；当a <0时，此时y ＝ax 与y ＝ln x 的交点的横坐标在(0,1)之间，不满足条件；当a >0时，要使得β≤3，由y ＝ln x 可得y ′＝1x，设切点为(x 0，y 0)，则对应的切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)，若该切线过原点，则－y 0＝1x 0(－x 0)＝－1，即y 0＝1，则x 0＝e ，结合图象(图略)可知g (e)＝a e －lne≤0，解得a ≤1e ，即0<a ≤1e .综上，可得0≤a ≤1e，故选C.15．已知函数f (x )＝ax 2－ln x (其中a 为非零常数)，x 1，x 2为两不相等正数，且满足f (x 1)＝f (x 2)．若x 1，x 0，x 2为等差数列，则( )A ．f ′(x 0)>0B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)的正负与a 的正负有关答案 A解析 由f (x 1)＝f (x 2)得a (x 2－x 1)(x 2＋x 1)＝ln x 2x 1，即2ax 0＝lnx 2x 1x 2－x 1.另一方面f ′(x 0)＝2ax 0－1x 0＝lnx 2x 1x 2－x 1－2x 2＋x 1＝1x 2－x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x 2x1－2·x2x 1－1x 2x 1＋1. 设t ＝x 2x 1(t >0且t ≠1)，g (t )＝ln t －2·t －1t ＋1(t >0)， 则g ′(t )＝1t－4(t ＋1)2＝(t －1)2t (t ＋1)2≥0， 所以g (t )在(0，＋∞)上单调递增，而g (1)＝0， 所以当x 2>x 1时，t >1，所以g (t )>0，故f ′(x 0)>0； 当x 2<x 1时，0<t <1，所以g (t )<0，故f ′(x 0)>0. 综上可知，f ′(x 0)>0.16．已知f (x )＝x 3－ax －1，若f (x )在区间(－2,2)上不单调，求a 的取值范围． 解 ∵f (x )＝x 3－ax －1， ∴f ′(x )＝3x 2－a .由f (x )在区间(－2,2)上不单调，知f ′(x )存在零点，∴a ≥0. 由f ′(x )＝0，得x ＝±3a3(a ≥0)， ∵f (x )在区间(－2,2)上不单调， ∴0<3a3<2，即0<a <12.。
高考数学数学导数及其应用多选题的专项培优易错试卷练习题及答案
高考数学数学导数及其应用多选题的专项培优易错试卷练习题及答案一、导数及其应用多选题1．对于定义城为R 的函数()f x ，若满足：①(0)0f =；②当x ∈R ，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当120x x <<且12||||x x <时，都有12()()f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（ ） A ．()321f x x x =-+B ．()21xf x e x =--C ．()3ln 1,0()2,0x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩D ．4()sin f x x x =【答案】BC 【分析】运用新定义，分别讨论四个函数是否满足三个条件，结合奇偶性和单调性，以及对称性，即可得到所求结论． 【详解】解：经验证，1()f x ，2()f x ，3()f x ，4()f x 都满足条件①；0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨'>⎩，或0()0x f x <⎧⎨'<⎩；当120x x <<且12||||x x <时，等价于21120x x x x -<<<-<，即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增； A 中，()321f x x x =-+，()2132f x x x '=-+，则当0x ≠时，由()()321232230x x x x f x x =-+=-≤'，得23x ≥，不符合条件②，故1()f x 不是“偏对称函数”；B 中，()21xf x e x =--，()21xf x e '=-，当0x >时，e 1x >，()20f x '>，当0x <时，01x e <<，()20f x '<，则当0x ≠时，都有()20xf x '>，符合条件②， ∴函数()21xf x e x =--在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，由2()f x 的单调性知，当21120x x x x -<<<-<时，()2122()f x f x <-， ∴22212222222()()()()2x x f x f x f x f x e e x --<--=-++，令()2x x F x e e x -=-++，0x >，()220x x F x e e -'=--+≤-=， 当且仅当x x e e -=即0x =时，“=”成立，∴()F x 在[0，)+∞上是减函数，∴2()(0)0F x F <=，即2122()()f x f x <，符合条件③， 故2()f x 是“偏对称函数”；C 中，由函数()3ln 1,0()2,x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，当0x <时，31()01f x x =<-'，当0x >时，3()20f x '=>，符合条件②，∴函数3()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 有单调性知，当21120x x x x -<<<-<时，()3132()f x f x <-， 设()ln(1)2F x x x =+-，0x >，则1()201F x x '=-<+， ()F x 在(0,)+∞上是减函数，可得()(0)0F x F <=，∴1222()()()()f x f x f x f x -<--()()222ln 1()0F x x f x =+-=<， 即12()()f x f x <，符合条件③，故3()f x 是“偏对称函数”；D 中，4()sin f x x x =，则()44()sin ()f x x x f x -=--=，则4()f x 是偶函数， 而4()sin cos f x x x x '=+()x ϕ=+（tan x ϕ=），则根据三角函数的性质可知，当0x >时，4()f x '的符号有正有负，不符合条件②，故4()f x 不是“偏对称函数”； 故选：BC ． 【点睛】本题主要考查在新定义下利用导数研究函数的单调性与最值，考查计算能力，考查转化与划归思想，属于难题．2．对于函数2ln ()xf x x=，下列说法正确的有（ ） A ．()f x在x =12eB ．()f x 有两个不同的零点 C．(2)f f f <<D ．若21()f x k x>-在(0,)+∞上有解，则2e k <【答案】ACD 【分析】利用导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值可判断A ；利用函数的单调性和函数值的范围判断B ；利用函数的单调性比较出函数值的大小关系判断C ；利用不等式有解问题的应用判断D ． 【详解】函数2ln ()x f x x =，所以2431ln 212ln ()(0)x x xx x f x x x x⨯-⨯-'==>， 令()0f x '=，即2ln 1x =，解得x =当0x <<()0f x '>，故()f x 在上为单调递增函数．当x >()0f x '<，故()f x 在)+∞上为单调递减函数．所以()f x 在x =12f e=，故A 正确；当0x <<()0f x '>，()f x 在上为单调递增函数，因为()10f =，所以函数()f x 在上有唯一零点，当x ≥2ln ()0xf x x=>恒成立，即函数()f x 在)+∞上没有零点， 综上，()f x 有唯一零点，故B 错误．由于当x >()0f x '<，()f x 在)+∞上为单调递减函数，因为2>>>(2)f f f <<，故C 正确；由于21()f x k x>-在(0,)+∞上有解，故221ln 1()x k f x x x +<+=有解， 所以2ln 1()max x k x +<，设2ln 1()x g x x +=，则32ln 1()x g x x --'=，令()0g x '=，解得x=当x>()0f x '<，故()f x 在)+∞上为单调递减函数． 当0x<<时，()0f x '>，故()f x 在上为单调递增函数． 所以()22max e eg x g e ==-=． 故2ek <，故D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】方法点睛：本题通过对多个命题真假的判断，综合考查导数的应用，这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.3．已知：()f x 是奇函数，当0x >时，()'()1f x f x ->，(1)3f =，则（ ）A ．(4)(3)f ef >B ．2(4)(2)f e f ->-C ．3(4)41f e >-D ．2(4)41f e -<--【答案】ACD【分析】由已知构造得'()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，令()()+1x f x g x e =，判断出函数()g x 在0x >时单调递增，由此得()()4>3g g ，化简可判断A ；()()4>2g g ，化简并利用()f x 是奇函数，可判断B ；()()4>1g g ，化简可判断C ；由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，可判断D.【详解】 因为当0x >时，()'()1fx f x ->，所以()'()10f x f x -->，即()[]'()+10xf x f e x ->，所以'()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦， 令()()+1xf xg x e=，则当0x >时，()'>0g x ，函数()g x 单调递增， 所以()()4>3g g ，即43(4)+1(3)+1>f f e e，化简得(4)(3)1>(3)f f e e ef >+-，故A 正确；()()4>2g g ，即42(4)+1(2)+1>f f e e ，化简得222(4)(2)1>(2)f f e e e f >+-， 所以2(4)(2)e f f -<-，又()f x 是奇函数，所以2(4)(2)e f f -<-，故B 不正确；()()4>1g g ，即4(4)+1(1)+1>f f e e，又(1)3f =，化简得3(4)41f e >-，故C 正确； 由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，所以2(4)41f e -<--，又()f x 是奇函数，所以2(4)41f e -<--，故D 正确,故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解决本题中令有导函数的不等式，关键在于构造出某个函数的导函数，得出所构造的函数的单调性，从而可比较函数值的大小关系.4．已知函数()32f x x ax x c =+-+(x ∈R )，则下列结论正确的是（ ）．A ．函数()f x 一定存在极大值和极小值B ．若函数()f x 在1()x -∞，、2()x ，+∞上是增函数，则21x x -≥ C ．函数()f x 的图像是中心对称图形D ．函数()f x 的图像在点00())(x f x ，(0x R ∈)处的切线与()f x 的图像必有两个不同的公共点 【答案】ABC 【分析】首先求函数的导数2()3210f x x ax =+-='，再根据极值点与导数的关系，判断AB 选项；证明()()2()333a a af x f x f -++--=-，判断选项C ；令0a c ==，求切线与()f x 的交点个数，判断D 选项.【详解】A 选项，2()3210f x x ax =+-='的24120a ∆=+>恒成立，故()0f x '=必有两个不等实根，不妨设为1x 、2x ，且12x x <，令()0f x '>，得1x x <或2x x >，令()0f x '<，得12x x x <<，∴函数()f x 在12()x x ，上单调递减，在1()x -∞，和2()x ，+∞上单调递增， ∴当1x x =时，函数()f x 取得极大值，当2x x =时，函数()f x 取得极小值，A 对， B 选项，令2()3210f x x ax =+-='，则1223ax x +=-，1213x x ⋅=-，易知12x x <，∴21x x -==≥，B对， C 选项，易知两极值点的中点坐标为(())33a a f --，，又23()(1)()333a a a f x x x f -+=-+++-，∴()()2()333a a af x f x f -++--=-， ∴函数()f x 的图像关于点(())33aa f --，成中心对称，C 对，D 选项，令0a c ==得3()f x x x =-，()f x 在(0)0，处切线方程为y x =-， 且3y xy x x =-⎧⎨=-⎩有唯一实数解， 即()f x 在(0)0，处切线与()f x 图像有唯一公共点，D 错， 故选：ABC ． 【点睛】方法点睛：解决函数极值、最值综合问题的策略：1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.5．已知2()ln f x x x =，2()()f x g x x'=，()'f x 是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．B ．()g x 在(0,)+∞上两个零点C ．当120x x e <<< 时，221212()()()m x x f x f x -<-恒成立，则32m ≥D ．若函数()()h x f x ax =-只有一个极值点，则实数0a ≥ 【答案】ACD 【分析】求出导函数()'f x ，由()0f x '>确定增区间，判断A ，然后可得()g x ，再利用导数确定()g x 的单调性与极值，结合零点存在定理得零点个数，判断B ，构造函数2()()x f x mx ϕ=-，由()ϕx 在(0,)e 上递减，求得m 范围，判断C ，利用导数研究()h x 的单调性与极值点，得a 的范围，判断D ． 【详解】()(2ln 1)(0)f x x x x '=+>，令()0f x '>，得1212ln 10ln 2x x x e -+>⇒>-⇒>，故A 正确2ln 1()x g x x+=， 212ln ()x g x x -'=，令()0g x '>得121ln 2x x e <⇒<，()0g x '<得120x e <<， 故()g x 在120,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在12e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上为增函数． 当x →时，()g x →-∞；当x →+∞时，()0g x →且g()0x >()g x ∴的大致图象为()g x ∴只有一个零点，故B 错．记2()()x f x mx ϕ=-，则()ϕx 在(0,)e 上为减函数，()(2ln 1)20x x x mx ϕ'∴=+-≤对(0,)x e ∈恒成立22ln 1m x ∴≥+对(0,)x e ∈恒成立 23m ∴≥32m ∴≥． 故C 正确．2()()ln h x f x ax x x ax =-=-，()(2ln 1)h x x x a =+'-，设()(2ln 1)H x x x =+，()h x 只有一个极值点， ()h x '0=只有一个解，即直线y a =与()y H x =的图象只有一个交点．()2(ln 1)12ln 3H x x x '=++=+，()H x '在(0,)+∞上为增函数，令()0H x '=，得320x e -=，当0(0,)x x ∈时，()0H x '<；当0(,)x x ∈+∞时，()0H x '>．()H x ∴在0(0,)x 上为减函数，在0(,)x +∞上为增函数，332203()21202H x e e --⎡⎤⎛⎫=⨯-+=-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，0(0,)x x ∈时，322ln 12ln 120x e -+<+=-<，即()0H x <，且0x →时，()0H x →，又x →+∞时，()H x →+∞，因此()H x 的大致图象如下（不含原点）：直线y a =与它只有一个交点，则0a ≥．故D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的性质，解题关键是由导数确定函数的单调性，得出函数的极值，对于零点问题，需要结合零点存在定理才能确定零点个数．注意数形结合思想的应用．6．若存在常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”．已知函数()22x f x =（x ∈R ），()12g x x =（0x <），()ln h x e x =，（e 为自然对数的底数），则（ ）A ．()()()m x f x g x =-在0x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递减 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为2- C ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]2,1-D ．()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”，方程为2ey =-【答案】BD 【分析】对于A ：令()()()m x f x g x =-，利用导数可确定()m x 单调性，进而作出判断； 对于B 和C ：利用二次函数的性质以及不等式恒成立的知识求出b 、k 的范围，进而作出判断；对于选项D ：根据隔离直线过()f x 和()h x 的公共点，可假设隔离直线为2e y kx =-；可得到222x ekx ≥-，再利用恒成立得出k 的值，最后尝试利用导数证明()2eh x ≤-，进而作出判断. 【详解】对于A ，()()()2122x m x f x g x x =-=-， ()322121022x m x x x x+'∴=+=>，当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x '>，()m x ∴单调递增，故A 错误； 对于B ，C ，设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，22x kx b ≥+对任意x ∈R 恒成立，即2220x kx b --≥对任意x ∈R 恒成立， 所以21480k b ∆=+≤，所以0b ≤，又12kx b x ≤+对任意(),0x ∈-∞恒成立，即22210kx bx +-≤对任意(),0x ∈-∞恒成立，因为0b ≤，所以0k ≤且21480b k ∆=+≤，所以22k b ≤-且22b k ≤-，4248k b b ≤≤-，解得20k -≤≤，同理20b -≤≤， 所以b 的最小值为2-，k 的取值范围是[]2,0-， 故B 正确，C 错误； 对于D ，函数()f x 和()h x的图象在x =∴若存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线方程为(2e y k x -=，即2e y kx =-，则222x ekx ≥-（x ∈R），得2220x kx e -+≥对x ∈R 恒成立，则()24420k e ∆=-≤，解得k =，此时隔离直线方程为：2ey =-，下面证明()2e h x ≤-， 令()()ln 22e e G x h x e x =--=--（0x >），则()x G x x'=，当x =()0G x '=；当0x <<()0G x '<；当x >()0G x '>；∴当x =()G x 取到极小值，也是最小值，即()0min G x G==，()()02e G x h x ∴=--≥在()0,∞+上恒成立，即()2eh x ≤-，∴函数()f x 和()h x存在唯一的隔离直线2ey =-，D 正确. 故选：BD . 【点睛】关键点睛：本题考查导数中的新定义问题的求解；解题关键是能够充分理解“隔离直线”的定义，将问题转化为根据不等式恒成立求解参数范围或参数值、或不等式的证明问题，属于难题.7．已知函数()()2214sin 2xxe xf x e -=+，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =是偶函数，且在(),-∞+∞上不单调B ．函数()y f x '=是奇函数，且在(),-∞+∞上不单调递增C ．函数()y f x =在π,02⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D ．对任意m ∈R ，都有()()f m f m =，且()0f m ≥【答案】AD 【分析】由函数的奇偶性以及函数的单调性即可判断A 、B 、C 、D. 【详解】 解：对A ，()()222114sin =2cos 2xx xx e x e f x x e e-+=+-，定义域为R ，关于原点对称，()2211=2cos()2cos()()x x x xe ef x x x f x e e --++---=-=，()y f x ∴=是偶函数，其图像关于y 轴对称，()f x ∴在(),-∞+∞上不单调，故A 正确；对B ，1()2sin xx f x e x e'=-+， 11()2sin()=(2sin )()x xx x f x e x e x f x e e--''-=-+---+=-， ()f x '∴是奇函数，令1()2sin xxg x e x e =-+， 则1()+2cos 2+2cos 0x xg x e x x e '=+≥≥， ()f x '∴在(),-∞+∞上单调递增，故B 错误；对C ，1()2sin x x f x e x e'=-+，且()'f x 在(),-∞+∞上单调递增， 又(0)0f '=，π,02x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()y f x ∴=在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故C 错误； 对D ，()y f x =是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，()()f m f m ∴=，且()(0)0f m f ≥=，故D 正确.故选：AD.【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.8．对于定义在1D 上的函数()f x 和定义在2D 上的函数()g x ，若直线y kx b =+(),k b R ∈同时满足：①1x D ∀∈，()f x kx b ≤+，②2x D ∀∈，()g x kx b ≥+，则称直线y kx b =+为()f x 与()g x 的“隔离直线”.若()ln x f x x =，()1x g x e -=，则下列为()f x 与()g x 的隔离直线的是（ ）A ．y x =B ．12y x =-C ．3e x y =D ．1122y x =- 【答案】AB【分析】 根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，结合函数的图象和函数的单调性，以及直线的特征，逐项判定，即可求解.【详解】根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，由函数()ln x f x x =，可得()21ln x f x x-'=， 所以函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，因为()10f =，()11f '=，此时函数()f x 的点(1,0)处的切线方程为1y x =-， 且函数()f x 的图象在直线1y x =-的下方；又由函数()1x g x e -=，可得()1e 0x g x -'=>，()g x 单调递增，因为()()111g g '==，所以函数()g x 在点(1,1)处的切线方程为11y x -=-，即y x =，此时函数()g x 的图象在直线y x =的上方，根据上述特征可以画出()y f x =和()y g x =的大致图象，如图所示，直线1y x =-和y x =分别是两条曲线的切线，这两条切线以及它们之间与直线y x =平行的直线都满足隔离直线的条件，所以A ，B 都符合；设过原点的直线与函数()y f x =相切于点00(,)P x y ， 根据导数的几何意义，可得切线的斜率为0201ln x k x -=，又由斜002000ln 0y x k x x -==-，可得002100ln 1ln x x x x -=，解得0x e =， 所以21ln 12()e k e e -==，可得切线方程为2x y e =， 又由直线3x y e =与曲()y f x =相交，故C 不符合； 由直线1122y x =-过点()1,0，斜率为12，曲线()y f x =在点()1,0处的切线斜率为1， 明显不满足，排除D.故选：AB.【点睛】对于函数的新定义试题：（1）认真审题，正确理解函数的新定义，合理转化；（2）根据隔离直线的定义，转化为函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方.9．函数()ln f x x x =、()()f xg x x '=，下列命题中正确的是（ ）.A ．不等式()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减C ．若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则()0,1a ∈D ．若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，则m 1≥ 【答案】AD【分析】 对A ，根据()ln f x x x =，得到()()ln 1f x x g x x x'+==，然后用导数画出其图象判断；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<判断；对C ，将函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，()ln 120x a x+=+∞在，有两根判断；对D ，将问题转化为22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，再构造函数()2ln 2m g x x x x =-，用导数研究单调性.【详解】 对A ，因为()()()ln 1ln f x x f x x x g x x x'+===、， ()2ln x g x x -'=， 令()0g x '>，得()0,1x ∈，故()g x 在该区间上单调递增；令()0g x '<，得()1x ∈+∞，，故()g x 在该区间上单调递减. 又当1x >时，()0g x >，()10,11g g e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故()g x 的图象如下所示：数形结合可知，()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故正确； 对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增，错误；对C ，若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点， 即()2ln F x x x ax =-有两个极值点，又()ln 21F x x ax '=-+， 要满足题意，则需()ln 2100x ax -+=+∞在，有两根， 也即()ln 120x a x+=+∞在，有两根，也即直线()2y a y g x ==与的图象有两个交点. 数形结合则021a <<，解得102a <<. 故要满足题意，则102a <<，故错误； 对D ，若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立， 即22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立， 构造函数()2ln 2m g x x x x =-，()()12g x g x >，对任意的120x x >>恒成立， 故()g x ()0+∞，单调递增，则()ln 10g x mx x '=--≥()0+∞， 恒成立， 也即ln 1x m x+≤，在区间()0,∞+恒成立，则()max 1g x m =≤，故正确. 故选：AD.【点睛】 本题主要考查导数在函数图象和性质中的综合应用，还考查了数形结合的思想、转化化归思想和运算求解的能力，属于较难题.10．关于函数()sin x f x e a x =+，(),x π∈-+∞，下列结论正确的有（ ）A ．当1a =时，()f x 在()0,(0)f 处的切线方程为210x y -+=B ．当1a =时，()f x 存在惟一极小值点0xC ．对任意0a >，()f x 在(),π-+∞上均存在零点D ．存在0a <，()f x 在(),π-+∞有且只有一个零点【答案】ABD【分析】逐一验证，选项A ，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程；选项B ，通过导数求出函数极值并判断极值范围，选项C 、D ，通过构造函数，将零点问题转化判断函数的交点问题.【详解】对于A ：当1a =时，()sin xf x e x =+，(),x π∈-+∞， 所以(0)1f =，故切点为()0,1，()cos x f x e x '=+，所以切线斜(0)2k f '==，故直线方程为()120y x -=-，即切线方程为：210x y -+=，故选项A 正确；对于B ：当1a =时，()sin xf x e x =+，(),x π∈-+∞， ()cos x f x e x '=+，()()sin 0,,x f x e x x π''=->∈-+∞恒成立，所以()f x '单调递增，又202f π⎛⎫'=> ⎪⎝⎭，334433cos 0442f e e ππππ--⎛⎫⎛⎫'-=+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以存在03,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=， 即00cos 0x e x +=，则在()0,x π-上，()0f x '<，()f x 单调递减，在()0,x +∞上，()0f x '>，()f x 单调递增，所以存在惟一极小值点0x ，故选项B 正确；对于 C 、D ：()sin x f x e a x =+,(),x π∈-+∞，令()sin 0x f x e a x =+=得：1sin x x a e -=， 则令sin ()x x F x e=，(),x π∈-+∞，)cos sin 4()x xx x x F x e e π--'==，令()0F x '=， 得：4x k ππ=+，1k ≥-，k Z ∈，由函数)4y x π=-图象性质知： 52,244x k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭)04x π->，sin ()x x F x e =单调递减， 52,2244x k k πππππ⎛⎫∈+++ ⎪⎝⎭)04x π-<，sin ()x x F x e =单调递增，所以当524x k ππ=+，1k ≥-，k Z ∈时，()F x 取得极小值， 即当35,,44x ππ=-时，()F x 取得极小值， 又354435sin sin 44e eππππ-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<< ，即3544F F ππ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 又因为在3,4ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，sin ()x x F x e =单调递减，所以343()4F x F e ππ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭， 所以24x k ππ=+，0k ≥，k Z ∈时，()F x 取得极大值， 即当944x ππ=、， 时，()F x 取得极大值. 又9449sin sin 44e e ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<，即()442F x F e π⎛⎫≤= ⎪⎝⎭ 当(),x π∈-+∞时，344()2e F x e π≤≤，所以当3412e a π-<-，即34a e π>时， ()f x 在(),π-+∞上无零点，所以选项C 不正确；当341e a π-=时，即4a e π=时， 1=-y a 与sin x x y e=的图象只有一个交点， 即存在0a <，()f x 在(),π-+∞有且只有一个零点， 故选项D 正确.故选：ABD【点睛】本题考查函数的极值、切线、零点的问题，属于较难题.。
浙江省2021届高考数学一轮复习第四章导数及其应用第4节导数与函数的零点含解析
第4节 导数与函数的零点考试要求 能利用导数解决函数的零点、方程的根、曲线的交点等问题.知 识 梳 理函数的零点、方程的根、曲线的交点，这三个问题本质上同属一个问题，它们之间可相互转化，这类问题的考查通常有两类：(1)讨论函数零点或方程根的个数；(2)由函数零点或方程的根的情况求参数的取值范围. [常用结论与易错提醒] (1)注意构造函数；(2)注意转化思想、数形结合思想的应用.诊 断 自 测1.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3x，x ≤0，13x 3－4x ＋a3，x >0在其定义域上只有一个零点，则实数a 的取值范围是( ) A.(16，＋∞) B.[16，＋∞) C.(－∞，16)D.(－∞，16]解析 ①当x ≤0时，f (x )＝x ＋3x， ∵y ＝x 与y ＝3x在(－∞，0)上都单调递增，∴f (x )＝x ＋3x 在(－∞，0)上也单调递增，又f (－1)<0，f (0)>0，∴f (x )在(－1，0)内有一个零点.②当x >0时，f (x )＝13x 3－4x ＋a3，f ′(x )＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2).令f ′(x )＝0得x ＝2或x ＝－2(舍)， 当x ∈(0，2)时，f ′(x )<0，f (x )递减， 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )递增， ∴在x >0时，f (x )最小＝f (x )极小＝233－8＋a3，要使f (x )在(0，＋∞)上无零点，需233－8＋a3>0，∴a >16.答案 A2.已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1e B.(－∞，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，eD.⎝⎛⎭⎪⎫－e ，1e 解析 设点P (x 0，y 0)(x 0<0)在函数f (x )上，由题意可知，点P 关于y 轴的对称点P ′(－x 0，y 0)在函数g (x )上，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20＋e x 0－12，y 0＝（－x 0）2＋ln （－x 0＋a ），消y 0可得x 20＋e x 0－12＝(－x 0)2＋ln(－x 0＋a )，即e x 0－ln(a －x 0)－12＝0(x 0<0)，所以e x0－12＝ln(a －x 0)(x 0<0).令m (x )＝e x－12(x <0)，n (x )＝ln(a －x )(x <0)，它们的图象如图，当n (x )＝ln(a －x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时， 解得a ＝e ，由图可知，当a <e 时， 函数m (x )与函数n (x )在(－∞，0)上有交点. 答案 B3.(2018·江苏卷)若函数f (x )＝2x 3－ax 2＋1(a ∈R )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值的和为________.解析 f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )(a ∈R )，当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝1，所以此时f (x )在(0，＋∞)内无零点，不满足题意.当a >0时，由f ′(x )>0得x >a 3，由f ′(x )<0得0<x <a3，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞上单调递增，又f (x )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－a 327＋1＝0，得a ＝3，所以f (x )＝2x 3－3x 2＋1，则f ′(x )＝6x (x －1)，当x ∈(－1，0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，则f (x )max ＝f (0)＝1，f (－1)＝－4，f (1)＝0，则f (x )min ＝－4，所以f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值的和为－3.答案 －34.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ＋1x，x >1，2x 2－mx ＋m 2＋58，x ≤1，若g (x )＝f (x )－m 有三个零点，则实数m 的取值范围是________.解析 g (x )＝f (x )－m 有三个零点，根据题意可得x >1时，函数有一个零点；x ≤1时，函数有两个零点.当x >1时，f (x )＝ln x ＋1x ，f ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2>0恒成立，f (x )∈(1，＋∞)，故m >1；当x ≤1时，f (x )＝2x 2－mx ＋m 2＋58，要使得g (x )＝f (x )－m 有两个零点，需满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－8⎝ ⎛⎭⎪⎫58－m 2>0，m4<1，g （1）＝2－m －m 2＋58≥0，解得m <－5或1<m ≤74，综上可得⎝ ⎛⎦⎥⎤1，74. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤1，745.已知函数f (x )＝x ＋ln x －2e ，g (x )＝mx ，其中e 为自然对数的底数，若函数f (x )与g (x )的图象恰有一个公共点，则实数m 的取值范围是________.解析 因为f ′(x )＝1＋1x >0，所以函数在(0，＋∞)上为增函数且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1－1e <0，所以当m ≥0时，与g (x )＝m x 有一个公共点，当m <0时，令f (x )＝g (x )，∴x 2＋x ln x －2ex ＝m 有一解即可，设h (x )＝x 2＋x ln x －2e x ，令h ′(x )＝2x ＋ln x ＋1－2e ＝0得x ＝1e ，即当x ＝1e 时，h (x )有极小值－e ＋1e 2，故当m ＝－e ＋1e 2时有一公共点，故填m ≥0或m ＝－e ＋1e 2.答案 m ≥0或m ＝－e ＋1e2考点一 导数与函数的零点【例1】 (2018·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝e x－ax 2. (1)若a ＝1，证明：当x ≥0时，f (x )≥1；(2)若f (x )在(0，＋∞)只有一个零点，求a .(1)证明 当a ＝1时，f (x )≥1等价于(x 2＋1)e －x－1≤0. 设函数g (x )＝(x 2＋1)e －x－1，则g ′(x )＝－(x 2－2x ＋1)e －x＝－(x －1)2e －x.当x ≠1时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，＋∞)单调递减. 而g (0)＝0，故当x ≥0时，g (x )≤0，即f (x )≥1. (2)解 设函数h (x )＝1－ax 2e －x.f (x )在(0，＋∞)只有一个零点当且仅当h (x )在(0，＋∞)只有一个零点.①当a ≤0时，h (x )>0，h (x )没有零点； ②当a >0时，h ′(x )＝ax (x －2)e －x. 当x ∈(0，2)时，h ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )>0.所以h (x )在(0，2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增. 故h (2)＝1－4ae 2是h (x )在[0，＋∞)的最小值.(ⅰ)若h (2)>0，即a <e24，h (x )在(0，＋∞)没有零点；(ⅱ)若h (2)＝0，即a ＝e24，h (x )在(0，＋∞)只有一个零点；(ⅲ)若h (2)<0，即a >e24，由于h (0)＝1，所以h (x )在(0，2)有一个零点.由(1)知，当x >0时，e x >x 2，所以h (4a )＝1－16a 3e 4a ＝1－16a 3（e 2a ）2>1－16a 3（2a ）4＝1－1a>0.故h (x )在(2，4a )有一个零点.因此h (x )在(0，＋∞)有两个零点. 综上，f (x )在(0，＋∞)只有一个零点时，a ＝e24.规律方法 利用导数解决函数的零点问题的方法： (1)研究原函数的单调性、极值；(2)通过f (x )＝0变形，再构造函数并研究其性质； (3)注意零点判定定理的应用.【训练1】 (2020·镇海中学模拟)已知函数f (x )＝a e 2x＋(a －2)e x－x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围.解 (1)f ′(x )＝(2e x ＋1)(a e x－1)， 若a ≤0时，f ′(x )＝(2e x＋1)(a e x－1)<0. 所以f (x )在R 上为减函数；若a >0时，由f ′(x )＝(2e x＋1)(a e x－1)＝0，得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，则f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，ln 1a 上为减函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫ln 1a ，＋∞上为增函数.(2)由f (x )有两个零点及(1)得a >0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1a <0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋(a －2)1a －ln 1a ＝1－1a －ln 1a <0，令t ＝1a(t >0)，因为g (t )＝1－t －ln t 在(0，＋∞)上为减函数，且g (1)＝0，所以当t >1时，g (t )<0，所以1a>1，解得0<a <1，所以a 的取值范围为(0，1). 考点二 导数与方程的根 【例2】 设函数f (x )＝ln x ＋x .(1)令F (x )＝f (x )＋a x －x (0<x ≤3)，若F (x )的图象上任意一点P (x 0，y 0)处切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若方程2mf (x )＝x 2有唯一实数解，求正数m 的值. 解 (1)F (x )＝ln x ＋a x ，x ∈(0，3]，则k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12在x 0∈(0，3]上恒成立， 所以a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 20＋x 0max ，x 0∈(0，3]，当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12， 所以a ≥12.故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.(2)因为方程2mf (x )＝x 2有唯一实数解， 所以x 2－2m ln x －2mx ＝0有唯一实数解，设g (x )＝x 2－2m ln x －2mx ，则g ′(x )＝2x 2－2mx －2mx.令g ′(x )＝0，则x 2－mx －m ＝0. 因为m >0，所以Δ＝m 2＋4m >0， 又x >0，所以x 1＝m －m 2＋4m2<0(舍去)，x 2＝m ＋m 2＋4m2.当x ∈(0，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(0，x 2)上单调递减； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在(x 2，＋∞)上单调递增； 当x ＝x 2时，g ′(x 2)＝0，则g (x )取得最小值g (x 2). 因为g (x )＝0有唯一解，所以g (x 2)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧g （x 2）＝0，g ′（x 2）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 22－2m ln x 2－2mx 2＝0，x 22－mx 2－m ＝0， 所以2m ln x 2＋mx 2－m ＝0.因为m >0，所以2ln x 2＋x 2－1＝0. (*) 设函数h (x )＝2ln x ＋x －1，因为当x >0时，h (x )是增函数，所以h (x )＝0至多有一解. 因为h (1)＝0，所以方程(*)的解为x 2＝1， 即m ＋m 2＋4m2＝1，解得m ＝12.规律方法 (1)方程f (x )＝g (x )根的问题，常构造差函数解决；(2)对f (x )＝0，如果化为g (x )＝k (x )后，g (x )，k (x )图象容易画出，可数形结合求解. 【训练2】 (2020·北京通州区一模)已知函数f (x )＝x e x，g (x )＝a (e x－1).a ∈R . (1)当a ＝1时，求证：f (x )≥g (x )；(2)当a >1时，求关于x 的方程f (x )＝g (x )的实根个数. 解 设函数F (x )＝f (x )－g (x )＝x e x－a e x＋a .(1)证明 当a ＝1时，F (x )＝x e x－e x＋1，所以F ′(x )＝x e x. 所以x ∈(－∞，0)时，F ′(x )<0；x ∈(0，＋∞)时，F ′(x )>0. 所以F (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增. 所以当x ＝0时，F (x )取得最小值F (0)＝0. 所以F (x )≥0，即f (x )≥g (x ). (2)当a >1时，F ′(x )＝(x －a ＋1)e x ， 令F ′(x )>0，即(x －a ＋1)e x>0，解得x >a －1； 令F ′(x )<0，即(x －a ＋1)e x <0，解得x <a －1.所以F (x )在(－∞，a －1)上单调递减，在(a －1，＋∞)上单调递增. 所以当x ＝a －1时，F (x )取得极小值，即F (a －1)＝a －e a －1.令h (a )＝a －ea －1，则h ′(a )＝1－ea －1.因为a >1，所以h ′(a )<0.所以h (a )在(1，＋∞)上单调递减. 所以h (a )<h (1)＝0，所以F (a －1)<0.又因为F (a )＝a >0，所以F (x )在区间(a －1，a )上存在一个零点. 所以在[a －1，＋∞)上存在唯一的零点.又因为F (x )在区间(－∞，a －1)上单调递减，且F (0)＝0， 所以F (x )在区间(－∞，a －1)上存在唯一的零点0.所以函数F (x )有且仅有两个零点，即方程f (x )＝g (x )有两个实根. 考点三 两曲线的交点(公共点)【例3】 记f ′(x )，g ′(x )分别为函数f (x )，g (x )的导函数.若存在x 0∈R ，满足f (x 0)＝g (x 0)且f ′(x 0)＝g ′(x 0)，则称x 0为函数f (x )与g (x )的一个“S 点”. (1)证明：函数f (x )＝x 与g (x )＝x 2＋2x －2不存在“S 点”； (2)若函数f (x )＝ax 2－1与g (x )＝ln x 存在“S 点”，求实数a 的值. (1)证明 函数f (x )＝x ，g (x )＝x 2＋2x －2，则f ′(x )＝1，g ′(x )＝2x ＋2.由f (x )＝g (x )且f ′(x )＝g ′(x )，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2＋2x －2，1＝2x ＋2，此方程组无解，因此，f (x )与g (x )不存在“S 点”.(2)解 函数f (x )＝ax 2－1，g (x )＝ln x ，则f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝1x.设x 0为f (x )与g (x )的“S 点”，由f (x 0)＝g (x 0)且f ′(x 0)＝g ′(x 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧ax 20－1＝ln x 0，2ax 0＝1x 0，即⎩⎪⎨⎪⎧ax 20－1＝ln x 0，2ax 20＝1， (*) 得ln x 0＝－12，即x 0＝e －12，则a ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫e －122＝e 2. 当a ＝e 2时，x 0＝e －12满足方程组(*)，即x 0为f (x )与g (x )的“S 点”.因此，a 的值为e2.规律方法 (1)两曲线的交点是否存在，可通过方程(组)的解来判断； (2)两曲线的交点个数可转化为方程根或函数零点的个数来判定.【训练3】 设函数f (x )＝(x －t 1)(x －t 2)(x －t 3)，其中t 1，t 2，t 3∈R ，且t 1，t 2，t 3是公差为d 的等差数列.(1)若d ＝3，求f (x )的极值；(2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝－(x －t 2)－63有三个互异的公共点，求d 的取值范围. 解 (1)由已知可得f (x )＝(x －t 2＋3)(x －t 2)(x －t 2－3)＝(x －t 2)3－9(x －t 2)＝x 3－3t 2x 2＋(3t 22－9)x －t 32＋9t 2.故f ′(x )＝3x 2－6t 2x ＋3t 22－9. 令f ′(x )＝0，解得x ＝t 2－3，或x ＝t 2＋ 3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的极大值为f (t 2－3)＝(－3)3－9×(－3)＝63；函数f (x )的极小值为f (t 2＋3)＝(3)3－9×3＝－6 3.(2)曲线y ＝f (x )与直线y ＝－(x －t 2)－63有三个互异的公共点等价于关于x 的方程(x －t 2＋d )(x －t 2)(x －t 2－d )＋(x －t 2)＋63＝0有三个互异的实数解. 令u ＝x －t 2，可得u 3＋(1－d 2)u ＋63＝0.设函数g (x )＝x 3＋(1－d 2)x ＋63，则曲线y ＝f (x )与直线y ＝－(x －t 2)－63有三个互异的公共点等价于函数y ＝g (x )有三个零点.g ′(x )＝3x 2＋1－d 2.当d 2≤1时，g ′(x )≥0，这时g (x )在R 上单调递增，不合题意. 当d 2>1时，令g ′(x )＝0，解得x 1＝－d 2－13，x 2＝d 2－13.易得，g (x )在(－∞，x 1)上单调递增，在[x 1，x 2]上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增.g (x )的极大值g (x 1)＝g ⎝⎛⎭⎪⎫－d 2－13＝23（d 2－1）329＋63>0.g (x )的极小值g (x 2)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫d 2－13＝－23（d 2－1）329＋6 3.若g (x 2)≥0，由g (x )的单调性可知函数y ＝g (x )至多有两个零点，不合题意.若g (x 2)<0，即(d 2－1)32>27，也就是|d |>10，此时|d |>x 2，g (|d |)＝|d |＋63>0，且－2|d |<x 1，g (－2|d |)＝－6|d |3－2|d |＋63<－6210＋63<0，从而由g (x )的单调性，可知函数y ＝g (x )在区间(－2|d |，x 1)，(x 1，x 2)，(x 2，|d |)内各有一个零点，符合题意. 所以，d 的取值范围是(－∞，－10)∪(10，＋∞).基础巩固题组1.函数f (x )＝－x 2＋ax ＋ln x (a ∈R )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个零点，求实数a 的取值范围(其中e 是自然对数的底数).解 f (x )＝－x 2＋ax ＋ln x ＝0即a ＝x －ln x x，令g (x )＝x －ln x x ，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，则g ′(x )＝1－1x·x －ln x x 2＝x 2＋ln x －1x2. 显然y ＝x 2＋ln x －1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递增，又当x ＝1时，y ＝1＋ln 1－1＝0，∴当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1时，g ′(x )<0，当x ∈(1，e]时，g ′(x )>0， ∴g (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1，单调增区间为(1，e].∴g (x )min ＝g (1)＝1. 又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e ＋1e ，g (e)＝e －1e ，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个零点， 则a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤1，e －1e .2.设函数f (x )＝e 2x－a ln x .讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数. 解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x－ax(x ＞0). 当a ≤0时，f ′(x )＞0，f ′(x )没有零点. 当a ＞0时，设u (x )＝e 2x，v (x )＝－a x，因为u (x )＝e 2x在(0，＋∞)上单调递增，v (x )＝－a x在 (0，＋∞)上单调递增，所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增.又f ′(a )＞0，当b 满足0＜b ＜a 4且b ＜14时，f ′(b )＜0(讨论a ≥1或a ＜1来检验)，故当a ＞0时，f ′(x )存在唯一零点.3.(2019·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝(x －1)ln x －x －1. 证明：(1)f (x )存在唯一的极值点；(2)f (x )＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. 证明 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞).f ′(x )＝x －1x ＋ln x －1＝ln x －1x.因为y ＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，y ＝1x在(0，＋∞)上单调递减，所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增.又f ′(1)＝－1<0，f ′(2)＝ln 2－12＝ln 4－12>0，故存在唯一x 0∈(1，2)，使得f ′(x 0)＝0. 又当x <x 0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x >x 0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 因此，f (x )存在唯一的极值点.(2)由(1)知f (x 0)<f (1)＝－2，又f (e 2)＝e 2－3>0， 所以f (x )＝0在(x 0，＋∞)内存在唯一根x ＝α. 由α>x 0>1得1α<1<x 0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1α－1ln 1α－1α－1＝f （α）α＝0，故1α是f (x )＝0在(0，x 0)的唯一根.综上，f (x )＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.4.已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋x ＋2，证明：当k ＜1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点.证明 设g (x )＝f (x )－kx ＋2＝x 3－3x 2＋(1－k )x ＋4. 由题设知1－k ＞0.当x ≤0时，g ′(x )＝3x 2－6x ＋1－k ＞0， 故g (x )在(－∞，0]上单调递增， 又g (－1)＝k －1＜0，g (0)＝4， 所以g (x )＝0在(－∞，0]上有唯一实根. 当x ＞0时，令h (x )＝x 3－3x 2＋4， 则g (x )＝h (x )＋(1－k )x ＞h (x ).h ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，故h (x )在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以g (x )＞h (x )≥h (2)＝0.所以g (x )＝0在(0，＋∞)上没有实根.综上，g (x )＝0在R 上有唯一实根，即曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点.5.已知函数f (x )＝13x 3－ax 2＋3x ＋b (a ，b ∈R ).若对任意的b ，函数g (x )＝|f (x )|－23的零点不超过4个，求a 的取值范围.解 由题得f ′(x )＝x 2－2ax ＋3，Δ＝4a 2－12，①当Δ≤0，即a 2≤3时，f ′(x )≥0，f (x )在R 上单调递增，满足题意.②当Δ>0，即a 2>3时，方程f ′(x )＝0有两根，设两根为x 1，x 2，且x 1<x 2，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝3.所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减.由题意知|f (x 1)－f (x 2)|≤43， 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 31－x 323－a （x 21－x 22）＋3（x 1－x 2）≤43. 化简得43(a 2－3)32≤43，解得3<a 2≤4， 综合①②得a 2≤4，即－2≤a ≤2.故a 的取值范围是[－2，2].6.已知函数f (x )＝x sin x ＋a cos x ＋x ，a ∈R . (1)当a ＝2时，求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值； (2)当a >2时，若方程f (x )－3＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有唯一解，求a 的取值范围. 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x sin x ＋2cos x ＋x ，所以f ′(x )＝－sin x ＋x cos x ＋1.当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，1－sin x >0，x cos x >0，所以f ′(x )>0. 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增. 因此f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π，最小值为f (0)＝2. (2)当a >2时，f ′(x )＝(1－a )sin x ＋x cos x ＋1.设h (x )＝(1－a )sin x ＋x cos x ＋1，h ′(x )＝(2－a )cos x －x sin x ，因为a >2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以h ′(x )<0.所以h (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减. 因为h (0)＝1>0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1－a ＋1＝2－a <0， 所以存在唯一的x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使h (x 0)＝0，即f ′(x 0)＝0. 所以f (x )在区间[0，x 0]上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0，π2上单调递减. 因为f (0)＝a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π， 又因为方程f (x )－3＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有唯一解， 所以2<a ≤3.能力提升题组7.(2020·北京朝阳区期末)已知函数f (x )＝x e x －m 2(x ＋1)2(m ≥0). (1)当m ＝0时，求函数f (x )的极小值；(2)当m ＞0时，讨论f (x )的单调性；(3)若函数f (x )在区间(－∞，1)上有且只有一个零点，求m 的取值范围.解 (1)当m ＝0时，f ′(x )＝(x ＋1)e x ，令f ′(x )＝0解得x ＝－1，又因为当x ∈(－∞，－1)，f ′(x )＜0，函数f (x )为减函数；当x ∈(－1，＋∞)，f ′(x )＞0，函数f (x )为增函数，所以f (x )的极小值为f (－1)＝－1e. (2)f ′(x )＝(x ＋1)(e x －m )，当m ＞0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝ln m ，①若m ＝1e ，则f ′(x )＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫e x －1e ≥0，故f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增； ②若m ＞1e，则ln m ＞－1，故当f ′(x )＞0时，x ＜－1或x ＞ln m ； 当f ′(x )＜0时，－1＜x ＜ln m .所以f (x )在(－∞，－1)，(ln m ，＋∞)上单调递增，在(－1，ln m )上单调递减.③若0＜m ＜1e，则ln m ＜－1，故当f ′(x )＞0时，x ＜ln m 或x ＞－1； 当f ′(x )＜0时，ln m ＜x ＜－1.所以f (x )在(－∞，ln m )，(－1，＋∞)上单调递增，在(ln m ，－1)上单调递减.(3)①当m ＝0时，f (x )＝x e x ，令f (x )＝0，得x ＝0.因为当x ＜0时，f (x )＜0，当x ＞0时，f (x )＞0，所以此时f (x )在区间(－∞，1)上有且只有一个零点.②当m ＞0时：(ⅰ)当m ＝1e 时，由(2)可知f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，且f (－1)＝－1e＜0，f (1)＝e －2e＞0，此时f (x )在区间(－∞，1)上有且只有一个零点. (ⅱ)当m ＞1e时，由(2)的单调性结合f (－1)＜0，又f (ln m )＜f (－1)＜0， 只需讨论f (1)＝e －2m 的符号；当1e ＜m ＜e 2时，f (1)＞0，f (x )在区间(－∞，1)上有且只有一个零点； 当m ≥e 2时，f (1)≤0，函数f (x )在区间(－∞，1)上无零点. (ⅲ)当0＜m ＜1e 时，由(2)的单调性结合f (－1)＜0，f (1)＝e －2m ＞0，f (ln m )＝－m 2ln 2m －m 2＜0，此时f (x )在区间(－∞，1)上有且只有一个零点.综上所述，0≤m ＜e 2. 8.(2020·温州适应性测试)设函数f (x )＝ln x ＋ax 2－a ＋1，g (x )＝e x e x . (1)若g (x 1)＝g (x 2)＝t (其中x 1≠x 2).①求实数t 的取值范围；②(一题多解)证明：2x 1x 2＜x 1＋x 2；(2)(一题多解)是否存在实数a ，使得f (x )≤g (x )在区间(0，＋∞)内恒成立，且关于x 的方程f (x )＝g (x )在(0，＋∞)内有唯一解？请说明理由.解 (1)①∵g ′(x )＝e （1－x ）e x ， ∴g (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且g (x )max ＝g (1)＝1.又∵当x ≤0时，g (x )≤0；当x ＞0时，g (x )＞0，∴0＜t ＜1.②证明 法一 由(ⅰ)不妨令0＜x 1＜1＜x 2，∴x 22x 2－1＜1. 要证2x 1x 2＜x 1＋x 2成立，只需证x 1＜x 22x 2－1. ∵g (x )在(－∞，1)上单调递增，故只需证g (x 2)＝g (x 1)＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22x 2－1，即证e 12[(2x 2－1)－1（2x 2－1）]－(2x 2－1)＞0.令u ＝2x 2－1＞1，只需证e 12(u －1u )－u ＞0(u ＞1)，即证ln u －12⎝ ⎛⎭⎪⎫u －1u ＜0(u ＞1). 令φ(u )＝ln u －12⎝ ⎛⎭⎪⎫u －1u (u ＞1)， ∵φ′(u )＝－（u －1）22u 2＜0，∴φ(u )＜φ(1)＝0， 故2x 1x 2＜x 1＋x 2.法二 由①不妨令0＜x 1＜1＜x 2，由g (x 1)＝g (x 2)，得x 1e x 1＝x 2e x 2， 即x 2－x 1＝ln x 2－ln x 1，即x 2－x 1ln x 2－ln x 1＝1， 由于φ(u )＝ln u －12⎝⎛⎭⎪⎫u －1u (u ＞1)， ∵φ′(u )＝－（u －1）22u 2＜0，∴φ(u )＜φ(1)＝0. 令u ＝x 2x 1＞1，得ln x 2x 1＜x 2x 1－x 1x 2， 即x 1x 2＜x 2－x 1ln x 2－ln x 1＝1， ∴0＜x 1x 2＜1，又由于1x 1＋1x 2＞21x 1x 2＞2，∴2x 1x 2－(x 1＋x 2)＜0，故2x 1x 2＜x 1＋x 2.(2)法一 令h (x )＝g (x )－f (x )＝e x ex －ln x －ax 2＋a －1(x ＞0)， ∵h (1)＝0，且h (x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，则x ＝1是极小值点，∴h ′(1)＝0，可得a ＝－12， 事实上，当a ＝－12时，h (x )＝e x e x －ln x ＋12x 2－32， ∴h ′(x )＝1－x x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤e x e x －（x ＋1）， 易知e x ≥e x ，e x ex ≤1≤x ＋1(x ＞0)， ∴h (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，h (x )min ＝h (1)＝0.∴h (x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，即f (x )≤g (x )在(0，＋∞)上恒成立，且f (x )＝g (x )在(0，＋∞)内有唯一解.法二 事实上，h (x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，也可以由下式说明：h (x )＝e x e x －ln x ＋12x 2－32＝e 1－x ＋ln x －ln x ＋12x 2－32≥(1－x ＋ln x )＋1－ln x ＋12x 2－32＝12(x －1)2≥0.。
2020年高考数学(文)之纠错笔记专题03 导数及其应用(含解析)
专题03 导数及其应用易错点1 不能正确识别图象与平均变化率的关系A ，B 两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量()()12W t W t ,与时间t (天)的关系如图所示，则一定有A ．两机关单位节能效果一样好B ．A 机关单位比B 机关单位节能效果好C ．A 机关单位的用电量在0[0]t ,上的平均变化率比B 机关单位的用电量在0[0]t ,上的平均变化率大D ．A 机关单位与B 机关单位自节能以来用电量总是一样大 【错解】选C.因为在(0，t 0)上，()1W t 的图象比()2W t 的图象陡峭，所以在(0，t 0)上用电量的平均变化率，A 机关单位比B 机关单位大．【错因分析】识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长(减少)的快慢等要弄清．【试题解析】由题可知，A 机关单位所对应的图象比较陡峭，B 机关单位所对应的图象比较平缓，且用电量在0[0]t ,上的平均变化率都小于0，故一定有A 机关单位比B 机关单位节能效果好．故选B. 【参考答案】B1．平均变化率函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率为2121()()f x f x x x --，若21x x x ∆=-，2()y f x ∆=-1()f x ，则平均变化率可表示为y x∆∆.2．瞬时速度一般地，如果物体的运动规律可以用函数()s s t =来描述，那么，物体在时刻t 的瞬时速度v 就是物体在t 到t t +∆这段时间内，当t ∆无限趋近于0时，st∆∆无限趋近的常数.1．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？【答案】见解析.【解析】山路从A 到B 高度的平均变化率为h AB ＝10015005-=-，山路从B 到C 高度的平均变化率为h BC ＝1510170504-=-， ∴h BC >h AB ，∴山路从B 到C 比从A 到B 要陡峭的多．易错点2 求切线时混淆“某点处”和“过某点”若经过点P (2,8)作曲线3y x =的切线，则切线方程为A ．12160x y --=B ．320x y -+=C ．12160x y -+=或320x y --=D ．12160x y --=或320x y -+=【错解】设()3f x x =，由定义得f ′(2)=12，∴所求切线方程为()8122y x -=-，即12160x y --=.【错因分析】曲线过点P 的切线与在点P 处的切线不同．求曲线过点P 的切线时，应注意检验点P 是否在曲线上，若点P 在曲线上，应分P 为切点和P 不是切点讨论．【试题解析】①易知P 点在曲线3y x =上，当P 点为切点时，由上面解法知切线方程为12160x y --=.②当P 点不是切点时，设切点为A (x 0，y 0)，由定义可求得切线的斜率为203k x =.∵A 在曲线上，∴300y x =，∴32000832x x x -=-，∴3200340x x -+=， ∴()()200120x x +-=，解得01x =-或x 0=2(舍去)，∴01y =-，k =3，此时切线方程为y +1=3(x +1)，即320x y -+=.故经过点P 的曲线的切线有两条，方程为12160x y --=或320x y -+=. 【参考答案】D1．导数的几何意义函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率k . 2．曲线的切线的求法若已知曲线过点00(),P x y ，求曲线过点P 的切线，则需分点P (x 0，y 0)是切点和不是切点两种情况求解： （1）当点00(),P x y 是切点时，切线方程为()000()y y f x x x '-=-； （2）当点00(),P x y 不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步：写出过()11()P x f x '，的切线方程为()()()111 y f x f x x x -='-； 第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程()()()111 y f x f x x x -='-，可得过点00(),P x y 的切线方程．2．已知函数0()(2018ln ),()2019f x x x f 'x =+=，则0x = A ．2e B ．1C ．ln 2018D ．e【答案】B【解析】()(2018ln ),f x x x =+Q()2018ln 12019ln f 'x x x ∴=++=+，又因为0()2019f 'x =， 所以02019ln 2019x +=， 解得01x =，故选B.【名师点睛】本题主要考查导数的运算法则以及初等函数的求导公式，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.在求曲线()y f x =的切线方程时，要注意区分是求某点处的切线方程，还是求过某点（不在曲线()f x 上）的切线方程，前者的切线方程为()()()000y f x f x x x -='-，其中切点()()00,x f x ，后者一般先设出切点坐标，再求解.易错点3 不能准确把握导数公式和运算法则求下列函数的导数：（1）22()2f x a ax x =+-； （2）sin ()ln x xf x x=. 【错解】（1）22()(2)22f x a ax x a x ''=+-=+； （2）2sin (sin )sin cos ()()sin cos 1ln (ln )x x x x x x xf x x x x x x x x'+''====+'.【错因分析】（1）求导是对自变量求导，要分清表达式中的自变量.本题中的自变量是x ，a 是常量；（2）商的求导法则是：分母平方作分母，分子是差的形式，等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导数乘以分子的积.本题把分数的导数类同于分数的乘方运算了.【试题解析】（1）22()(2)22f x a ax x a x ''=+-=-； （2）22sin (sin )ln sin (ln )sin ln cos ln sin ()()ln (ln )ln x x x x x x x x x x x x x xf x x x x''⋅-⋅+-''===. 【参考答案】（1）()22f x a x '=-；（2）2sin ln cos ln sin ()ln x x x x x xf x x+-'=.1．导数计算的原则先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导． 2．导数计算的方法①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； ③对数形式：先化为和、差的形式，再求导； ④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；3．已知()f x =，则1()2f '= A ．2ln2--B ．2ln2-+C ．2ln2-D ．2ln2+【答案】D【解析】依题意有()()121122ln 22x x x f x x-⋅⋅⋅'=，故12ln22ln221f +⎛⎫=⎪⎭'=+ ⎝，所以选D. 【名师点睛】本小题主要考查基本初等函数的导数，考查复合函数的导数计算，考查函数除法的导数计算，属于中档题.易错点4 区分复合函数的构成特征求下列函数的导数：（1）()221y x =+； （2）22cos y x =. 【错解】（1）()221y x '=+； （2）2sin2xy =-.【错因分析】这是复合函数的导数，若()(),y f u u h x ==，则x u x y y u '='⋅'.如（1）中，22,1y u u x ==+，()()222221241x y u x x x x x '=⋅=+⋅=+，遇到这种类型的函数求导，可先整理再求导，或用复合函数求导公式求导．【试题解析】解法一：（1）∵()2242121y x x x =+=++，∴344y x x '=+.（2）∵221cos cos 2x y x +==，∴1sin 2y x '=-. 解法二：（1）()()()22221141y x x x x '=+⋅+'=+．（2）12coscos 2cos sin sin 2222()()(22)x x x x x y x '=⋅'=⋅-⋅'=-. 【参考答案】（1）()241y x x '=+；（2）1sin 2y x '=-.1．求复合函数的导数的关键环节： ①中间变量的选择应是基本函数结构； ②正确分析出复合过程；③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导； ④善于把一部分表达式作为一个整体； ⑤最后结果要把中间变量换成自变量的函数. 2．求复合函数的导数的方法步骤：①分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量； ②求每一层基本初等函数的导数；③每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数.4⎛ ⎝⎭处的切线方程是__________．【答案】20x y -+=【解析】πcos 3y x '⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以斜率为π1cos 032⎛⎫+= ⎪⎝⎭，切线方程为1,20.2y x x y =-+= 易错点5 审题不细致误设函数()2ln af x ax x x=--. （1）若()20f '=，求函数()f x 的单调区间；（2）若()f x 在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围． 【错解】（1）∵()22a f x a x x '=+-，∴()2104a f a '=+-=，∴45a =. ∴()()2224422252555f x x x x x x'=+-=-+， 令()0f x '>，得2x >或12x <，令()0f x '<，得122x <<，∴函数()f x 的单调递增区间为122()()-∞+∞U ，，，单调递减区间为1()22，．（2）∵()f x 在定义域上为增函数，∴()0f x '≥恒成立，∵()22222a ax x a f x a x x x-+'=+-=，∴220ax x a -+≥恒成立， ∴20440a a >⎧⎨∆=-≤⎩，∴1a ≥，即实数a 的取值范围是[1,)+∞.【错因分析】错解有多处错误：一是忽视了定义域的限制作用，研究函数一定要注意函数的定义域；二是将单调区间取并集，函数的单调区间不要随意取并集；三是对不等式恒成立处理不当，对于自变量取值有限制条件的恒成立问题要和自变量在R 上取值的恒成立问题加以区分．【试题解析】（1）由已知得x >0，故函数()f x 的定义域为(0，+∞)．∵()22a f x a x x '=+-， ∴()2104af a '=+-=，∴45a =.∴()()2224422252555f x x x x x x'=+-=-+，令()0f x '>，得2x >或12x <，令()0f x '<，得122x <<，∴函数()f x 的单调递增区间为()102)2(+∞,,,，单调递减区间为1()22，．（2）若()f x 在定义域上是增函数，则()0f x '≥对x >0恒成立，∵()22222a ax x af x a x x x-+'=+-=，∴需x >0时220ax x a -+≥恒成立，即221xa x ≥+对x >0恒成立． ∵222111x x x x=≤++，当且仅当x =1时取等号， ∴1a ≥，即实数a 的取值范围是[1,)+∞.【参考答案】（1）函数()f x 的单调递增区间为()102)2(+∞,,,，单调递减区间为1()22，；（2）[1,)+∞.用导数求函数()f x 的单调区间的“三个方法”： 1．当不等式()0f x '>(或()0f x '<)可解时， ①确定函数()y f x =的定义域； ②求导数()y f x '='；③解不等式()0f x '>，解集在定义域内的部分为单调递增区间； ④解不等式()0f x '<，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 2．当方程()0f x '=可解时， ①确定函数()y f x =的定义域；②求导数()y f x '='，令()0f x '=，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；③把函数()f x 的间断点(即()f x 的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义区间分成若干个小区间；④确定()f x '在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性． 3．当不等式()0f x '>(或()0f x '<)及方程()0f x '=均不可解时， ①确定函数()y f x =的定义域；②求导数并化简，根据()f x '的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定()f x '的符号； ③得单调区间．5．已知函数()322f x x ax b x =+-，其中,a b ∈R .（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线30y -=平行，求a 与b 满足的关系； （2）当0b =时，讨论()f x 的单调性；（3）当0,1a b ==时，对任意的()0,x ∈+∞，总有()()e xf x x k <+成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）2320a b +-=；（2）①当0a =时，()f x 在R 上单调递增；②当0a >时，()f x 在2,3a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭和()0,+∞上单调递增；在2,03a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减；当0a <时，函数()f x 在(),0-∞和2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；在20,3a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减；（3）[)2,-+∞. 【解析】（1）由题意，得22()32f 'x x ax b =+-.由函数()f x 在点()()1,1f 处的切线与30y -=平行，得(1)0f '=. 即2320a b +-=.（2）当0b =时，2()32f 'x x ax =+， 由()0f 'x =知240a ∆=≥.① 当0a =时，0∆=，()0f 'x ≥在R 恒成立， ∴函数()f x 在R 上单调递增.②当0a >时，由()0f 'x >，解得0x >或23x a <-； 由()0f 'x <，解得203a x -<<. 函数()f x 在2,3a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭和()0,+∞上单调递增；在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减. ③当0a <时，()0f 'x >，解得23x a >-或0x <； 由()0f 'x <，解得203x a <<-. 函数()f x 在(),0-∞和2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.（3）当0,1a b ==时，3()f x x x =-，由()()e xf x x k <+，得()3e xx x x k -<+对任意的()0,x ∈+∞恒成立.0x Q >，21e x x k ∴-<+，21e x k x ∴>--在()0,x ∈+∞恒成立.设()()21e ,0xg x x x =-->，则()2e xg'x x =-，令()2e xh x x =-，则()2e xh'x =-，由()0h'x =，解得ln2x =. 由()0h'x >，解得0ln2x <<； 由()0h'x <，解得ln2x >.∴导函数()g'x 在区间()0,ln2上单调递增；在区间()ln2,+∞上单调递减，()()ln22ln220g'x g'∴≤=-<，∴()g x 在()0,+∞上单调递减， ()()02g x g ∴<=-，2k ∴≥-.故所求实数k 的取值范围[)2,-+∞.本题主要考查导数的几何意义以及利用导数求函数的单调性、最值，考查了不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.易错点6 极值的概念理解不透彻已知()322f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则a b +=________.【错解】7-或0由题得，2()32f x x ax b '=++，由已知得2(1)10110,,(1)0230f a a b f a b =⎧+++=⎧∴⎨⎨'=++=⎩⎩解得411a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩，所以a b＋等于7-或0.【错因分析】极值点的导数值为0，但导数值为0的点不一定为极值点，错解忽视了“()101f x '=≠>=是f (x )的极值点”的情况．【试题解析】由题得，2()32f x x ax b '=++，由已知得2(1)10110,,(1)0230f a a b f a b =⎧+++=⎧∴⎨⎨'=++=⎩⎩解得411a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩，所以a b ＋等于7-或0. 当4,11a b ==-时，2()3811(311)(1)f x x x x x '=+-=+-在x =1两侧的符号相反，符合题意.当3,3a b =-=时，2()3(1)f x x '=-在x =1两侧的符号相同，所以3,3a b =-=不合题意，舍去. 综上可知，4,11a b ==-，所以7a b +=-. 【参考答案】7-对于给出函数极大(小)值的条件，一定既要考虑()00f x '＝，又要考虑在0x x =两侧的导数值符号不同，否则容易产生增根．1．函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号． 2．求函数()f x 极值的方法： ①确定函数()f x 的定义域． ②求导函数()f x '． ③求方程()0f x '=的根．④检查()f x '在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值，如果()f x '在这个根的左右两侧符号不变，则()f x 在这个根处没有极值．3．利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数()f x '，求方程()0f x '=的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.6．若1x =是函数()3221()(1)33f x x a x a a x =++-+-的极值点，则a 的值为 A ．−2B ．3C ．−2或3D ．−3或2【答案】B 【解析】()()()()23222()2(131)133f 'x f x x a x a a x a x x a a =++-+-⇒+-+=-+，由题意可知(1)0f '=，()2(1)12(1)303f 'a a a a ⇒+-+=-⇒+==或2a =-，当3a =时，()222389(9)(1)()2(1)f 'x x a x a a x x x x +-=++-=+-=+-，当1,9x x ><-时，()0f 'x >，函数单调递增；当91x -<<时，()0f 'x <，函数单调递减，显然1x =是函数()f x 的极值点；当2a =-时，()2222()232(111))(0a a f 'x x a x x x x +-=-++=-=+≥-，所以函数是R 上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去，故选B.【名师点睛】本题考查了已知函数的极值，求参数的问题.本题易错的地方是求出a 的值，没有通过单调性来验证1x =是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点.（1）()f x 在0x x =处有极值时，一定有()00f x '=，()0f x 可能为极大值，也可能为极小值，应检验()f x 在0x x =两侧的符号后才可下结论；（2）若()00f x '=，则()f x 未必在0x x =处取得极值，只有确认102x x x <<时，()()120f x f x ⋅<，才可确定()f x 在0x x =处取得极值．（3）在本题中，不要遗漏掉3a =-这种特殊情况.一、导数的概念及计算 1．导数的定义：00()()()limlimx x y f x+x f x f x x x∆→∆→∆∆-'==∆∆. 2．导数的几何意义：函数()y f x =在0x x =处的导数()0f x '就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率k ，即0()k f x '=.求曲线()y f x =的切线方程的类型及方法（1）已知切点()00,P x y ，求()y f x =过点P 的切线方程：求出切线的斜率f ′(x 0)，由点斜式写出方程； （2）已知切线的斜率为k ，求()y f x =的切线方程：设切点()00,P x y ，通过方程()0k f x ='解得x 0，再由点斜式写出方程；（3）已知切线上一点(非切点)，求()y f x =的切线方程：设切点()00,P x y ，利用导数求得切线斜率()0f x '，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x 0，最后由点斜式或两点式写出方程．（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由()0k f x ='求出切点坐标()00,x y ，最后写出切线方程．（5）①在点P 处的切线即是以P 为切点的切线，P 一定在曲线上.②过点P 的切线即切线过点P ，P 不一定是切点．因此在求过点P 的切线方程时，应首先检验点P 是 否在已知曲线上． 3．基本初等函数的导数公式4．导数的运算法则（1）()()()()u x v x u x v x ±'⎡⎦'⎤±⎣'＝.（2）()()()()()()·u x v x u x v x u x v x ⎡⎤⎣⎦'''＝＋. （3）2()()()()()[](()0)()()u x u x v x u x v x v x v x v x ''-'=≠. 5．复合函数的导数复合函数()()y f g x =的导数和函数()()y f u u g x ==,的导数间的关系为x u x y y u '='⋅'，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 二、导数的应用1．函数的单调性与导数的关系 一般地，在某个区间(a ,b )内：①如果()0f x '>，函数f (x )在这个区间内单调递增; ②如果()0f x '<，函数f (x )在这个区间内单调递减; ③如果()=0f x '，函数f (x )在这个区间内是常数函数．（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；（2）在某个区间内，()0f x '>(()0f x '<)是函数f (x )在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数3()f x x =在定义域(,)-∞+∞上是增函数，但2()30f x x '=≥.（3）函数()f x 在(a ,b )内单调递增(减)的充要条件是()0f x '≥(()0f x '≤)在(a ,b )内恒成立，且()f x '在(a ,b )的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有()0f x '=,不影响函数()f x 在区间内 的单调性.2．函数的极值与导数的关系 一般地，对于函数()y f x =，①若在点x = a 处有f ′(a )= 0，且在点x = a 附近的左侧()0f 'x <，右侧()0f 'x >，则称x= a 为f (x )的极小值点；()f a 叫做函数f (x )的极小值.②若在点x =b 处有()f 'b =0，且在点x=b 附近的左侧()0f 'x >，右侧()0f 'x <，则称x= b 为f (x )的极大值点，()f b 叫做函数f (x )的极大值．③极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 3．函数的最值与极值的关系①极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间[,]a b 的整体而言；②在函数的定义区间[,]a b 内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；③函数f (x )的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； ④对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.求函数()y f x =在[a ,b ]上的最大值与最小值的步骤 ①求函数()y f x =在(a ,b )内的极值；②将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【答案】D【解析】∵e ln 1,xy a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ．【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a ，b 的等式，从而求解，属于常考题型.2．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】设函数32()(1)f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =【答案】D【解析】因为函数f(x)是奇函数，所以a −1=0，解得a =1，所以f(x)=x 3+x ，f′(x)=3x 2+1， 所以f′(0)=1,f(0)=0，所以曲线y =f(x)在点(0,0)处的切线方程为y −f(0)=f′(0)x ，化简可得y =x . 故选D.【名师点睛】该题考查的是有关曲线y =f(x)在某个点(x 0,f(x 0))处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得f′(x)，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【答案】D【解析】∵e ln 1,xy a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ．【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a ，b 的等式，从而求解，属于常考题型.4．(),x y 处的切线斜率为()g x ，则函数()2y x g x =的部分图象可以为A ．B ．C ．D ．【答案】DB 、C 错误；又当πx =时，0y =，当0y <，选项A 错误； 本题选择D 选项.【名师点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势． (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．5．函数2l ()n f x x x =的最小值为A ．1e- B ．1e C ．12e-D ．12e【答案】C【解析】由题得(0,)x ∈+∞，()2ln (2ln 1)f x x x x x x '=+=+， 令2ln 10x +=，解得12ex -=，则当12(0,e )x -∈时，()f x 为减函数，当12(e ,)x -∈+∞时，()f x 为增函数， 所以12e x -=处的函数值为最小值，且121(e )2ef -=-. 故选C.【名师点睛】本题考查用导数求函数最值，解此类题首先确定函数的定义域，其次判断函数的单调性，确定最值点，最后代回原函数求得最值.6．定义在()0,+∞上的函数()f x 满足()21x f x '>，()522f =，则关于x 的不等式()1e 3ex x f <-的解集为 A ．()20,e B ．(),ln2-∞ C ．()0,ln2D ．()2e ,+∞【答案】B【解析】令()()1,0g x f x x x=+>，则()()()22211x f x g x f x x x -=-='''， ∵()21x f x '>，∴()()2210x f x g x x -='>'，∴函数()()1g x f x x=+在()0,+∞上单调递增． 又()522f =，∴()()12232g f =+=． 结合题意，不等式()1e 3e x x f <-可转化为()()11e 2e 2x x f f +<+，即()()e 2x g g <，∴0<e 2x <，解得ln2x <，原不等式的解集为(),ln2-∞． 故选B ．【名师点睛】对于含有导函数的不等式的问题，在求解过程中一般要根据不等式的形式构造出相应的函数，然后根据所给的不等式得到导函数的符号，进而得到构造的函数的单调性，再根据所构造的函数的单调性进行解题，其中根据题意构造符合题意的函数是解题的关键．由()21x f x '>构造函数()()1g x f x x=+，则有()()2210x f x g x x -='>'，从而得到函数()()1g x f x x =+在()0,+∞上单调递增．又()()12232g f =+=，所以不等式()1e 3e x x f <-可化为()()11e 2e 2xx f f +<+，根据函数()g x 的单调性可得0<e 2x <，于是可得所求结果．7．已知定义在()0,+∞上的函数()()2,6ln 4f x x m h x x x =-=-，设两曲线()y f x =与()y h x =在公共点处的切线相同，则m 值等于 A ．−3 B ．1 C ．3D ．5【答案】D【解析】设函数()()2,6ln 4f x x m h x x x =-=-在公共点（a ,b ）（a ＞0）处的切线相同，由题得()()62,4,f x x h x x =-'=所以26ln 4624b a m b a a a a ⎧⎪=-⎪=-⎨⎪⎪=-⎩，解之得a =1,b =−4,m =5.故答案为D.【名师点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义，考查曲线的切线问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是根据已知得到方程组26ln 4624b a m b a a a a ⎧⎪=-⎪=-⎨⎪⎪=-⎩.8．若函数()51ln 12f x x ax ax=+--在()1,2上为增函数，则a 的取值范围为 A ．()1,0,24⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦UB ．()1,0,12⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦U C ．[)11,00,4⎛⎤- ⎥⎝⎦UD ．[)11,0,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦U【答案】B【解析】依题意可得()25102f x a x ax =-'-≥对x ()1,2∈恒成立， 即25102ax x a-+≤对x ()1,2∈恒成立.设g (x )= a 2512x x a-+，x ()1,2∈.当a >0时，()()5110212450g a ag a a ⎧=-+≤⎪⎪⎨⎪=-+≤⎪⎩，解得112a ≤≤.当a <0时，g (0)=10a <，−522a -=504a<，()()01,2g x x ∴<∈对恒成立.综上，a 的取值范围为()1,0,12⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦U . 故选B.【名师点睛】本题主要考查利用导数法研究函数的单调性，是一道中档题，其基本解题思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知函数单调性求参数的范围问题往往转化为求相应函数的最值问题，体现了转化的数学思想，很好地考查了学生的计算能力． 9．若方程330x x m -+=在[0,2]上有解，则实数m 的取值范围是 A ．[]2,2- B ．[0,2]C ．[]2,0-D ．2()()2-∞-+∞U ，， 【答案】A【解析】由题意得，方程330x x m -+=在[0,2]上有解，则33m x x -=-，x ∈[0,2]，令33y x x =-，x ∈[0,2]，则233y x '=-，令0y '>，解得x >1，因此函数在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，又x =1时，2y =-；x =2时，y =2；x = 0，y = 0，∴函数33y x x =-，x ∈[0,2]的值域是[]2,2-，故[]2,2m -∈-，∴[]2,2m ∈-，故选A. 10．函数422y x x =-++的图像大致为【答案】D【解析】函数图象过定点(0,2)，排除A ，B ；令42()2y f x x x ==-++，则32()422(21)f x x x x x '=-+=--，由()0f x '>得22(21)0x x -<，得2x <-或02x <<，此时函数单调递增，由()0f x '<得22(21)0x x ->，得2x >或02x -<<，此时函数单调递减，排除C. 故选D.【名师点睛】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象过的定点及由导数判断函数的单调性是解决本题的关键. 11．已知函数()()()32211132132f x x a x a a x =+-+-+，若在区间()0,3内存在极值点，则实数a 的取值范围是 A ．()0,3B ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭ C ．()()0,11,3UD ．()1,11,22⎛⎫⎪⎝⎭U 【答案】C【解析】()()()()2213221,f x x a x a a x a x a ⎡⎤=+-+-=---⎣⎦' 令()0f x '=,则x =a 或x =2a −1.若1a =,则()21,0a a f x '=-≥R 在上恒成立,函数()f x 在R 上单调递增，所以()f x 没有极值点; 若1a >,则21a a <-, 由于f (x )在区间()0,3内存在极值点,所以3,13a a <∴<<； 若1a <,则21a a >-,由于f (x )在区间()0,3内存在极值点,所以0,01a a >∴<<. 综上所述,0113a a <<<<或, 故选C.【名师点睛】本题考查导数在求函数极值中的应用，比较21a a -与的大小，11a a ><分和进行讨论. 12．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．【答案】30x y -=【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,xxxy x x x x x '=+++=++ 所以切线的斜率0|3x k y ='==，则曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．13．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】曲线2ln y x =在点(1,0)处的切线方程为__________．【答案】y =2x –2【解析】由y =f(x)=2lnx ，得f ′(x)=2x .则曲线y =2lnx 在点(1,0)处的切线的斜率为k =f ′(1)=2， 则所求切线方程为y −0=2(x −1)，即y =2x −2.【名师点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理.14．已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．【答案】−3√32【解析】f′(x)=2cosx +2cos2x =4cos 2x +2cosx −2=4(cosx +1)(cosx −12)， 所以当cosx <12时函数单调递减，当cosx >12时函数单调递增， 从而得到函数的递减区间为()5ππ2π,2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ， 函数的递增区间为()ππ2π,2π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，所以当π2π,3x k k =-∈Z 时，函数f (x )取得最小值， 此时sinx =−√32,sin2x =−√32， 所以f (x )min =2×(−√32)−√32=−3√32， 故答案是−3√32. 【名师点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.15．已知函数22,0,()e ,0,x x x f x x ⎧≤=⎨>⎩若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______．【答案】3ln 22-【解析】作出函数()f x 的图象如图所示，由()2f x a =⎡⎤⎣⎦，可得()1f x =>， 即1a >，不妨设12x x < ，则2212e x x ==，(1)t t =>，则12ln x x t ==，12ln x x t ∴+=令()ln g t t =，则4()4g t t'=， ∴当18t <<时，()0g t '>，()g t 在()1,8上单调递增；当8t >时，()0g t '<，()g t 在()8,+∞上单调递减，∴当8t =时，()g t 取得最大值，为(8)ln823ln22g =-=-.故答案为3ln 22-.【名师点睛】本题主要考查方程的根与图象交点的关系，考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的极值与最值，属于难题.求函数()f x 的极值与最值的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数()f x '；（3）解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；（4）判断()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该点处取得极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点处的函数值与极值的大小.16．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数f （x ）=2sin x -x cos x -x ，f ′（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f ′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）(],0a ∈-∞.【解析】（1）设()()g x f x '=，则()cos sin 1,()cos g x x x x g x x x '=+-=. 当π(0,)2x ∈时，()0g x '>；当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以()g x 在π(0,)2单调递增，在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.又π(0)0,0,(π)22g g g ⎛⎫=>=-⎪⎝⎭，故()g x 在(0,π)存在唯一零点. 所以()f x '在(0,π)存在唯一零点.（2）由题设知(π)π,(π)0f a f =…，可得a ≤0.由（1）知，()f x '在(0,π)只有一个零点，设为0x ，且当()00,x x ∈时，()0f x '>；当()0,πx x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()00,x 单调递增，在()0,πx 单调递减. 又(0)0,(π)0f f ==，所以，当[0,π]x ∈时，()0f x …. 又当0,[0,π]a x ∈„时，ax ≤0，故()f x ax …. 因此，a 的取值范围是(,0]-∞.【名师点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.17．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数()(1)ln 1f x x x x =---．证明：（1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）()f x 的定义域为（0，+∞）.11()ln 1ln x f x x x x x-'=+-=-. 因为ln y x =单调递增，1y x=单调递减，所以()f x '单调递增，又(1)10f '=-<，1ln 41(2)ln 2022f -'=-=>，故存在唯一0(1,2)x ∈，使得()00f x '=. 又当0x x <时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当0x x >时，()0f x '>，()f x 单调递增. 因此，()f x 存在唯一的极值点.（2）由（1）知()0(1)2f x f <=-，又()22e e 30f =->，所以()0f x =在()0,x +∞内存在唯一根x α=. 由01x α>>得011x α<<.又1111()1ln 10f f αααααα⎛⎫⎛⎫=---== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故1α是()0f x =在()00,x 的唯一根.综上，()0f x =有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．【名师点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、极值，以及函数零点的问题，属于常考题型.18．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数32()22f x x ax =-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0<a <3时，记()f x 在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围． 【答案】（1）见详解；（2）8[,2)27. 【解析】（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，得x =0或3ax =． 若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增； 若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减． （2）当03a <<时，由（1）知，()f x 在0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在,13a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，所以()f x 在[0,1]的最小值为32327a a f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为(0)=2f 或(1)=4f a -.于是 3227a m =-+，4,02,2,2 3.a a M a -<<⎧=⎨≤<⎩所以332,02,27,2 3.27a a a M m a a ⎧-+<<⎪⎪-=⎨⎪≤<⎪⎩当02a <<时，可知3227a a -+单调递减，所以M m -的取值范围是8,227⎛⎫⎪⎝⎭．当23a ≤<时，327a 单调递增，所以M m -的取值范围是8[,1)27．综上，M m -的取值范围是8[,2)27． 【名师点睛】这是一道常规的导数题目，难度比往年降低了不少.考查函数的单调性，最大值、最小值的计算.19．已知函数()3213f x x bx cx c =+++. （1）当1x =时，()f x 有极小值196-，求实数,b c ；（2）设()()g x f x cx =-，当()0,1x ∈时，在()g x 图象上任意一点P 处的切线的斜率为k ，若1k <，求实数b 的取值范围． 【答案】（1）12b =，2c =-；（2）(],0-∞. 【解析】（1）()22f x x bx c '=++Q ，∴由()()101916f f '⎧=⎪⎨=-⎪⎩， 即2107202b c b c ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩，。
数学(文)知识清单-专题04 导数及其应用(原卷+解析版)
ex－1 x＞0 ， 20．已知奇函数 f(x)＝ x
h x x＜0 ，
则函数 h(x)的最大值为________．
3
高考押题专练 1．曲线 f(x)＝xlnx 在点(e，f(e))(e 为自然对数的底数)处的切线方程为( ) A．y＝ex－2 B．y＝2x＋e C．y＝ex＋2 D．y＝2x－e 【解析】本题考查导数的几何意义以及直线的方程．因为 f(x)＝xlnx，故 f′(x)＝lnx＋1，故切线的斜率 k ＝f′(e)＝2，因为 f(e)＝e，故切线方程为 y－e＝2(x－e)，即 y＝2x－e，故选 D. 【答案】D
D.
【答案】D
8．已知曲线 C1：y2＝tx(y>0，t>0)在点 M
4，2 t
处的切线与曲线
C2：y＝ex＋1＋1
也相切，则
t
的值为
()
A．4e2 B．4e
C.e2 D.e
4
4
【解析】由 y＝
tx，得
y′＝ 2
t ，则切线斜率为 tx
k＝4t ，所以切线方程为
y－2＝4t
x－4 t
，即
y＝4t x＋1.
－∞，－4 3
，(0，＋∞)，故选
C.
【答案】C
7．函数 f(x)＝ex－3x－1(e 为自然对数的底数)的图象大致是( )
5
【解析】由题意，知 f(0)＝0，且 f′(x)＝ex－3，当 x∈(－∞，ln3)时，f′(x)<0，当 x∈(ln3，＋∞)时，f′(x)>0，
所以函数 f(x)在(－∞，ln3)上单调递减，在(ln3，＋∞)上单调递增，结合图象知只有选项 D 符合题意，故选
3．曲线 y＝x3＋11 在点 P(1,12)处的切线与两坐标轴围成三角形的面积是( ) A．75 B.75
专题04 导数及其应用(解答题)-三年(2017-2019)高考真题数学(文)分项汇编(解析版)
x1
x0
1，故 ex1x0
x02 x1 1 x1 1
x02 ，两边取对数，得 ln ex1x0 ln x02 ，
于是
x1 x0 2 ln x0 2 x0 1 ，
整理得 3x0 x1 2 .
【名师点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法. 考查函数思想、化归与转化思想.考查综合分析问题和解决问题的能力.
f
(2)
ln
2
1 2
ln
4 1 2
0
，故存在唯一
x0
(1, 2)
，使得
f
x0
0.
又当 x x0 时， f (x) 0 ， f (x) 单调递减；当 x x0 时， f (x) 0 ， f (x) 单调递增.
因此， f (x) 存在唯一的极值点.
（2）由（1）知 f x0 f (1) 2 ，又 f e2 e2 3 0 ，所以 f (x) 0 在 x0, 内存在唯一根
6．【2019 年高考浙江】已知实数 a 0 ，设函数 f (x)=a ln x x 1, x 0.
（1）当 a 3 时，求函数 f (x) 的单调区间； 4
（2）对任意
x
[
1 e2
, ) 均有
f
(x)
x 2a
,
求 a 的取值范围．
注：e=2.71828…为自然对数的底数．
【解析】（Ⅰ）解：由已知， f (x) 的定义域为 (0, ) ，且
f (x)
1 x
2012年高考数学-备考冲刺之易错点点睛系列-专题04-导数及应用(学生版)
2012年高考数学-备考冲刺之易错点点睛系列-专题04-导数及应用(学生版)导数及应用-无答案一、高考预测从近几年考查的趋势看，本专题考查的重点是导数在研究函数的单调性和极值中的应用、导数在研究方程和不等式中的应用，考查的形式是解答题考查导数在研究函数问题中的综合运用，但常围绕一些交叉点设计一些新颖的试题，大部分函数和导数的基础试题难度也不大，但少数函数的基础试题难度较大，解答题中的函数导数试题也具有一定的难度．由于该专题的绝大多数内容(除定积分)都是传统的高中数学内容，在考查上已经基本稳定(难度稳定、考查重点稳定、考查的分值稳定)，预计2012年基本上还是这个考查趋势，具体为：以选择题或者填空题的方式考查导数的几何意义的应用，定积分的计算及其简单应用．以解答题的方式考查导数在函数问题中的综合应用，重点是使用导数的方法研究函数的单调性和极值以及能够转化为研究函数的单调性、极值、最值问题的不等式和方程等问题，考查函数建模和利用导数解模．导数及其应用：要掌握好导数的几何意义、导数的运算、导数和函数的单调性与极值的关系，由于函数的极值和最值的解决是以函数的单调性为前提的，因此要重点解决导数在研究函数单调性中的应用，特别是含有字母参数的函数的单调性(这是高考考查分类与整合思想的一个主要命题点)，在解决好上述问题后，要注意把不等式问题、方程问题转化为函数的单调性、极值、最值进行研究性训练，这是高考命制压轴题的一个重要考查点．二、知识导学要点1：利用导数研究曲线的切线1．导数的几何意义：函数()y f x =在0x 处的导数()f x '的几何意义是：曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数()s t 对时间t的导数）。
2．求曲线切线方程的步骤：（1）求出函数()y f x =在点0x x =的导数，即曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的斜率；（2）在已知切点坐标00(,())P x f x 和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y yf x x x '-=-。
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我的高考数学错题本
第章导数及其应用易错题
易错点．误解导函数与单调区间的关系
【例】是在区间的导函数，则“在区间内”是“在该区间内单调递增”的条件．
【错解】充要
【错因】一般地，由能推出为增函数，反之，则不一定．如函数在
区间上单调递增，但是，因此是函数为增函数的充分不必要条件．
【正解】充分不必要
【纠错训练】若函数在上为减函数，求实数的取值范围．
【解析】由在上恒成立，
∴当时，，满足题意；
当，，解得．
综上所述，．
易错点．误解“导数为”与“有极值”的逻辑关系
【例】函数在处有极值，求的值．
【错解】由解得．
【错因】对“导数为”与“有极值”逻辑关系分辨不清，错把为极值的必要条件当作充要条件．
【正解】，依题意得，解得或，
当时，，所以在处取得极值；
当时，，此时在无极值．
所以．
易错点．对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚
【例】已知函数（）的导函数的图像如左图所示，那么函数的图像最有可能的是
【错解】选
【剖析】概念不清，凭空乱猜
【正解】由导函数的图像，可得：当时，，当时，
，且开口向下；则在上递减，在上递增，在递减；故选．
【纠错训练】函数的导函数的图象如右图所示，则函数的图象可能是（）
【解析】试题分析：由图像可知导数值先正后负，所以原函数先增后减，只有符合．
易错点．遗忘复合函数求导公式
【例】函数的导数为．
【错解】。