1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质课件(共23张PPT)
合集下载
1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质说课课件
一：教材分析 二：目标分析 三：重点难点 四：过程分析 五：教法分析
一：教材分析
教材的地位及作用
本节课是普通高中课程标准实验教科书数学 选修2-3、第一章第3节、二项式定理第3课 时，前面已经学习了组合、组合数及二项式 定理。在此基础上继续学习杨辉三角，研究 二项式系数的性质。可以进一步深化认识组 合数，导出一些组合数的恒等式，进行组合 数的计算和变形。又与概率统计中的二项分 布有其内在联系。
设计意图：在例1的基础上及时巩固，目的在于 对赋值法领会及运用能力；
综合跃升
1、在(x＋y)n的展开式中，第四项与第八项的
系数相同，则展开式中系数最大的项是（ ）
A 第6项
B 第 5项
C 第5项和第6项 D 第6项和第7项
2、已知(1+2x)10=a0+ a1x+ a2x2+ …+a10x10
求(1) a0+ a1+ a2+… +a9+ a10的值；
质》
特征：
1 、 两端都是1
11 121
2 、 对称性
1331
3 、 中间数最大 1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
4 、 除1之外的每一个数都等于“肩上” 两个数的和
2021/1/7
质》
【设计意图 ： 】
由学生自己动手计算、填表、主动去发现 规律，可以培养学生观察、分析、比较、 归纳、猜想的积极探索能力
4、巩固新知
• 1、求 (a b)6展开式中的倒数第三项的二项 式系数。
• 2、(1 x)n 展开式中只有第十项二项式系数 最 大，求n的值.
设计意图：对性质1、2及时巩固应用
高中数学 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质课件 新人教A版选修2-3
(4)方法一：(1－2x)7 的展开式中，a0，a2，a4，a6 大于零， 而 a1，a3，a5，a7 不于零，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7| ＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7) ＝1 093＋1 094＝2 187. 方法二：∵|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|是(1＋2x)7 展开式中各项 的系数和． ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2 187.
＝
Ckn－1·n－kk＋1.
所以
C
k n
相
对
于
C
k－1 n
的
增
减
情
况
由
n－k＋1 k
决
定
，
故
当
n－kk＋1>1，即 k<n＋2 1时，二项式系数__增__大______．而当n－kk＋1
≤1(即 k≥n＋2 1)时，Cnk的值转化为____递__减____．又因为与首末 两端“等距离”的两项的二项式系数__相__等______，所以二项式
0 n
＋
C
2 n
＋
C
4 n
＋
…
＝
___C__1n＋__C_3n_＋__C_5n_＋__…__________
＝
___2_n_－_1____.
• 牛刀小试
• 1．(2015·陕西宝鸡市金台区高二期末)二项 式(x－1)n的奇数项二项式系数和是64，则n 等于( )
• A．5
B．6
• C．7
D．8
• [答案] C
二项式系数相等并且最大，最大为
.
(4)表中数字 1 以外的每个数字都等于上一行它肩上两个数 字的____和____，这又验证了组合数的性质：Cnr ＋1＝__C_rn_－_1 _______ ＋___C_nr______.
高中数学选修2(新课标)课件1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
解析：根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质 知：二项式系数之和为 2n，故 A 正确；当 n 为偶数时，二项式系数 最大的项是中间一项，故 B 正确，C 错误；D 也是正确的，因为展 开式中第 6 项的系数是负数，所以是系数中最小的．
答案：C
2．已知(a＋b)n 展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，则 n 等于( )
－1，可解出 a0＋a2＋a4＋…＋a12. (2)令 x＝1，由各项系数和先求出 n，再求常数项．
方法归纳
二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的 式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1 即可； 对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只 需令 x＝y＝1 即可． (2)一般地，若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式中 各项系数之和为 f(1)， 奇数项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f1＋2f－1， 偶数项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f1－2f－1.
解析：(1)令 x＝1，
得 a0＋a1＋a2＋…＋a2 018＝(－1)2 018＝1. (2)令 x＝－1，得
a0－a1＋a2－…－a2 017＋a2 018＝32 018. ①＋②得
2(a0＋a2＋a4＋…＋a2 018)＝1＋32 018，
所以
a0＋a22.
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
知识点一 杨辉三角的特点
(1)在同一行中，每行两端都是____1____，与这两个 1 等距离的 数___相__等___．
(2)在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两 个数的____和____，即 Cnr＋1＝Crn－1＋Crn.
答案：C
2．已知(a＋b)n 展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，则 n 等于( )
－1，可解出 a0＋a2＋a4＋…＋a12. (2)令 x＝1，由各项系数和先求出 n，再求常数项．
方法归纳
二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的 式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1 即可； 对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只 需令 x＝y＝1 即可． (2)一般地，若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式中 各项系数之和为 f(1)， 奇数项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f1＋2f－1， 偶数项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f1－2f－1.
解析：(1)令 x＝1，
得 a0＋a1＋a2＋…＋a2 018＝(－1)2 018＝1. (2)令 x＝－1，得
a0－a1＋a2－…－a2 017＋a2 018＝32 018. ①＋②得
2(a0＋a2＋a4＋…＋a2 018)＝1＋32 018，
所以
a0＋a22.
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
知识点一 杨辉三角的特点
(1)在同一行中，每行两端都是____1____，与这两个 1 等距离的 数___相__等___．
(2)在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两 个数的____和____，即 Cnr＋1＝Crn－1＋Crn.
人教A版高中数学选修23.2“杨辉三角”与二项式系数的性质PPT课件
人 教A版高 中数学 选修23 .2“杨 辉三角 ”与二 项式系 数的性 质PPT 课件
人 教A版高 中数学 选修23 .2“杨 辉三角 ”与二 项式系 数的性 质PPT 课件
《九章算术》
人 教A版高 中数学 选修23 .2“杨 辉三角 ”与二 项式系 数的性 质PPT 课件
人 教A版高 中数学 选修23 .2“杨 辉三角 ”与二 项式系 数的性 质PPT 课件 人 教A版高 中数学 选修23 .2“杨 辉三角 ”与二 项式系 数的性 质PPT 课件
解析：
∵(1-x3)(1+x)10 =(1-x3)(1+C101x+C102x2+C103x3+C104x4+…)，
∴x4的系数为C104+(-1) C101=200.
3. 若n∈N且n为奇数，则6n+6n-1+6n-2+…+61被8除所得的余数是( C ).
(A)0 (B)2 (C)5 (D)7
第3行中的数是 C03，C13，C32，C33 则第n行中的数是 Cn0，C1n，Cn2， ，Cnn 设第n行中从左到右第14与第15个数的比为2 : 3
则 C1n3·C1n4 = 2 : 3 ，解得 n = 34
2.(1-x3)•(1+x)10的展开式中含x4的项的系数 2为00_____(用数字作答).
在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为_C__17_1 .
2.选择
（1）( 2 3 3)100的展开式中，无理项的个
数是（ ）
√ A .83 B.84 C.85
D.86
（2）（x-2)9的展开式中，第6项的二项式系数
是（ ）
√ A.4032 B.-4032 C.126
人 教A版高 中数学 选修23 .2“杨 辉三角 ”与二 项式系 数的性 质PPT 课件
《九章算术》
人 教A版高 中数学 选修23 .2“杨 辉三角 ”与二 项式系 数的性 质PPT 课件
人 教A版高 中数学 选修23 .2“杨 辉三角 ”与二 项式系 数的性 质PPT 课件 人 教A版高 中数学 选修23 .2“杨 辉三角 ”与二 项式系 数的性 质PPT 课件
解析：
∵(1-x3)(1+x)10 =(1-x3)(1+C101x+C102x2+C103x3+C104x4+…)，
∴x4的系数为C104+(-1) C101=200.
3. 若n∈N且n为奇数，则6n+6n-1+6n-2+…+61被8除所得的余数是( C ).
(A)0 (B)2 (C)5 (D)7
第3行中的数是 C03，C13，C32，C33 则第n行中的数是 Cn0，C1n，Cn2， ，Cnn 设第n行中从左到右第14与第15个数的比为2 : 3
则 C1n3·C1n4 = 2 : 3 ，解得 n = 34
2.(1-x3)•(1+x)10的展开式中含x4的项的系数 2为00_____(用数字作答).
在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为_C__17_1 .
2.选择
（1）( 2 3 3)100的展开式中，无理项的个
数是（ ）
√ A .83 B.84 C.85
D.86
（2）（x-2)9的展开式中，第6项的二项式系数
是（ ）
√ A.4032 B.-4032 C.126
高中数学选修1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质 (2)人教版ppt课件
变式训练 1.如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第________行 中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.
1 解析:由杨辉三角知 ,第一行中的数是 C0 1、 C1;
第 2 行中的数是 C0 C1 C2 2、 2、 2 ;第 3 行中的数是
1 2 3 0 C0 3 、 C3 、 C3 、 C3 、…、第 n 行中的数是 Cn、 2 n C1 n、 Cn、…、 Cn .设第 n 行中从左到右第 14 13 14 与第 15 个数的比为 2∶ 3,则 Cn ∶ Cn ＝ 2∶ 3,
【思路点拨】
二项式定理是解决二项展开式的项与系数的
问题 , 应明确 :①项的系数 ;②项的系数的绝对值 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ③二项式系 数这三个不同的概念.
【解】
Tr＋ 1＝ Cr x)8 8· (
－r
(－
2 r 2) x
5r r ＝ (－ 1)r· Cr · 2 · x 4 － .2 分 8 2 (1)二项式系数最大的项为中间项 ,即为第 5 项 . 20 － 4 4 ∴ T5＝ C8· 2 · x4－ ＝ 1120x 6.4 2 分
(2)a8＋a6＋a4＋a2＋a0的值.
解:(1)令x＝1,
得(3－1)8＝a8＋a7＋…＋a1＋a0＝28＝256,①
令x＝0,得(－1)8＝a0,a0＝1. 所以a8＋a7＋…＋a1＝256－a0＝256－1＝255. (2)令x＝－1,
得(－3－1)8＝a8－a7＋…－a1＋a0＝48＝65536,②
【名师点评】
“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常
用的方法 , 根据题目要求 , 灵活赋给字母不同值 . 一般地 , 要使
展开式中项的关系变为系数的关系 , 令 x ＝ 0可得常数项 , 令 x ＝1可得所有项系数之和,令x＝－1可得偶次项系数之和与奇 次项系数之和的差.
《1.3.2 杨辉三角》PPT课件(云南省市级优课)
五、拓展探究
1.研究斜行规律：
第一条斜线上：
1+1+1+1+1+1=6 C 1 6 第二条斜线上：
1+2+3+4+5=15
C
2 6
第三条斜线上：1+3+6+10=20 C 3 6
第四条斜线上：1+4+10=15 C 4 6
猜想：在杨辉三角中，第m条斜线（从右上到左下） 上前n个数字的和，等于第m+1条斜线上的第n个数.
11 121 1 33 1 1 4641 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
教学基本流程
复习旧知，自然引出所探究的问题 学生动手写出二项式系数表，观察发现规律
观察、讨论、归纳二项式系数的性质 通过例题和练习，巩固对二项式系数的认识
一、复习引入
①二项式定理
a b n Cn0anb0 Cn1an1b Cn2an2b2
问题4：观察每一行中数字之和，有什么规律？
三、归纳总结
二项式系数的四个性质
1、对称性： Cnm Cnnm
2、递推性：
Cr-1 n
Crn
Cr n 1
3、增减性与最大值：二项式系数先增大后减小，
在最中间取到最大值 CCnnn2n，21 =当Cnnn2是1，偶当数n时是奇书时
4、各二项式系数和： C0n C1n C2n Cnn 2n
②二项展开式的通项
Cnna0bn
Tk 1 Cnk a nk bk
③二项展开式中的二项式系数是哪些？
Cn0 , Cn1 , Cn2 Cnn
二、引导探究、获得新知
探究 计算a bn 展开式的二项式系数并填入下表.
原创2 ：1.3.2杨辉三角
= 3060 4 .
4
18
18−4
4
1
3
题型:求展开式中的特
定项
理论迁移
例4.试判断在
2
1
−3
8
的展开式中有无常数项？ 如果有，求出此常数项；
如果没有，说明理由.
解：设展开式中的第r+1项为常数项，则：
Tr 1
r x
C8
2
8 r
r
1
r
3 1 C8r
（2）增减性与最大值
2
当n为偶数时，中间一项的二项式系数C 取得最大值；
−1
2
+1
2
当n为奇数时，中间两项的二项式系数C 、C 相等，且同时取得最大
值.
二项式系数的性质
（3）各二项式系数的和
在二项式定理中，令 = = 1，则：
C C C C 2
0
n
1
n
2
n
n
值时，二项式系数有什么特点？
合作探究
(a+b)1
(a+b)2
(a+b)3
(a+b)4
(a+b)5
(a+b)6
1）请看系数有没有明显的规律？
2）上下两行有什么关系吗？
3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?
(a+b)1
(a+b)2
(a+b)3
(a+b)4
(a+b)5
(a+b)6
+
+
+
+
4
18
18−4
4
1
3
题型:求展开式中的特
定项
理论迁移
例4.试判断在
2
1
−3
8
的展开式中有无常数项？ 如果有，求出此常数项；
如果没有，说明理由.
解：设展开式中的第r+1项为常数项，则：
Tr 1
r x
C8
2
8 r
r
1
r
3 1 C8r
（2）增减性与最大值
2
当n为偶数时，中间一项的二项式系数C 取得最大值；
−1
2
+1
2
当n为奇数时，中间两项的二项式系数C 、C 相等，且同时取得最大
值.
二项式系数的性质
（3）各二项式系数的和
在二项式定理中，令 = = 1，则：
C C C C 2
0
n
1
n
2
n
n
值时，二项式系数有什么特点？
合作探究
(a+b)1
(a+b)2
(a+b)3
(a+b)4
(a+b)5
(a+b)6
1）请看系数有没有明显的规律？
2）上下两行有什么关系吗？
3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?
(a+b)1
(a+b)2
(a+b)3
(a+b)4
(a+b)5
(a+b)6
+
+
+
+
数学：1.3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》课件(新人教A版选修2-3)
1 1
8
1 1 1 1 1 1 1 7
28 6 3
1 2
3 6
1 1 4 1
4
5 10
15 21 35 56
10 5 1 20 15 6 1 35 70
图2
21 7
56 28 8
1 1
除了这几个数的排列规 , 你还能再找出其他一些 律 数的 排列规律吗? 与同学交流一下 !
作业：P37(A组7—8和B组)
n 0 n n 1 n 1 n 2 n2 2 n
C C C , 1 3 5 偶数项二项式系数的和 Cn Cn Cn , 为
0 n 2 n 4 n
n n n
0 2 C b 中, 令a 1, b 1, 则得 1 1 Cn C1 Cn n 0 2 3 n n 3 即 0 Cn Cn C1 Cn , n Cn 1 Cn , n n n n
对于a b 展开式的二项
n
f r
20 15 10
式系数 C , C , C , , C , 我们还可以从函数角度 来
0 n 1 n 2 n n n r n
分析它们.C 可看成是以r 为自变量的函数f r , 其定 o 1 2 3 4 5 6 图1.3 2 义域是 0,1 2, , n .对于确 , 定的n, 我们还可以画出它的图 .例如n 6, 象 其图象是7个孤立点图1.3 2). (
1.3 二项式定理
1.3.2 " 杨辉三角 与二项式系数的性质 "
探究 用计算器计算 a b 展开式的二项 式系数并填入下表 .
n
n
1 2 3 4 5 6
8
1 1 1 1 1 1 1 7
28 6 3
1 2
3 6
1 1 4 1
4
5 10
15 21 35 56
10 5 1 20 15 6 1 35 70
图2
21 7
56 28 8
1 1
除了这几个数的排列规 , 你还能再找出其他一些 律 数的 排列规律吗? 与同学交流一下 !
作业：P37(A组7—8和B组)
n 0 n n 1 n 1 n 2 n2 2 n
C C C , 1 3 5 偶数项二项式系数的和 Cn Cn Cn , 为
0 n 2 n 4 n
n n n
0 2 C b 中, 令a 1, b 1, 则得 1 1 Cn C1 Cn n 0 2 3 n n 3 即 0 Cn Cn C1 Cn , n Cn 1 Cn , n n n n
对于a b 展开式的二项
n
f r
20 15 10
式系数 C , C , C , , C , 我们还可以从函数角度 来
0 n 1 n 2 n n n r n
分析它们.C 可看成是以r 为自变量的函数f r , 其定 o 1 2 3 4 5 6 图1.3 2 义域是 0,1 2, , n .对于确 , 定的n, 我们还可以画出它的图 .例如n 6, 象 其图象是7个孤立点图1.3 2). (
1.3 二项式定理
1.3.2 " 杨辉三角 与二项式系数的性质 "
探究 用计算器计算 a b 展开式的二项 式系数并填入下表 .
n
n
1 2 3 4 5 6
1.3.2杨辉三角及二项式系数的性质
如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？
从第三个数起，任一数都等于前两个数的和;
这就是著名的
第 0行 第 1行 第 2行 第 3行 第 4行
1
1 1
1 1 1 4 3
2 3 6
1 1 4 1
第 5行 1 5 10 10 5 1 第 6行 1 6 15 20 15 6 1 第 7行 1 7 21 35 35 21 7 1 第 8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1
(3) f (1) a0 a1 a2 a7 ① f (1) a0 a1a2 a3 a7 ②
总结：求奇次项系数之和与偶次项系数的和 可以先赋值，然后解方程组整体求解. 2 3 4 练习（ : 1 x x x ） 的展开式中奇次项
系数和是 ______
k n
n k 1 所以C 相对于C 的增减情况由 决定． k
k n
k 1 n
二项式系数的性质 （2）增减性与最大值 由：n k 1 1 k n 1
k 2
n 1 可知，当 k 时， 2
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可 知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取 得最大值。
m n m n 1
m 1 n
例题分析: 例1．证明： （1）(a + b)n 的展开式中,各二项式系数 0 1 2 r n 的和 Cn Cn Cn Cn Cn 2n
令a=b=1，则 2 C C C
n 0 n 1 n 2 n
C
r n
C
n n
启示：在二项式定理中a,b可以取任意实数，因此
0
…… …… 2 r n 2 r 1 1 … C n 1 C n 1 … C n 1 第n-1行 1 C n 1 C n 1 1 r n 1 2 1 … … C C 第 n行 1 C n C n 1 n n …… … … (a b)n
(vip免费)【数学】1.3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质(一)》课件(新人教A版选修2-3)
项的二项式系数最大，则n=
；
例1 证明在 (a b)n的展开式中，奇 数项的二项式系数的和等于偶数项的二 项式系数的和．
例2 已知 (3 x 2 )n 的展开式中，第
x
4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系 数的7倍，求展开式中x的一次项．
例3： (1 2x)n的展开式中第6项与第7项的系
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她 很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一 个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩 当中，心理素质非常好，是非常重要的。
上海 2006 高考 理科 状元-武亦 文
武亦文 格致中学理科班学生 班级职务：学习委员 高考志愿：复旦经济 高考成绩：语文127分 数学142分 英语144分
物理145分 综合27分 总分585分
“一分也不能少”
“我坚持做好每天的预习、复习，每 天放学回家看半小时报纸，晚上10： 30休息，感觉很轻松地度过了三年 高中学习。”当得知自己的高考成 绩后，格致中学的武亦文遗憾地说 道，“平时模拟考试时，自己总有 一门满分，这次高考却没有出现， 有些遗憾。”
二项式系数的性质
（2）增减性与最大值
由于： C kn
n(n
1)(n 2)(n k (k 1)!
k
1)
Ck 1 n
n
k k
1