最新中考专题复习——最短路径问题(有答案)

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C D A B

A B L

中考专题复习——路径最短问题 一、具体内容包括： 蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题； 线段（之和）最短问题； 二、原理： 两点之间，线段最短；垂线段最短。（构建“对称模型”实现转化） 三、例题： 例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A沿木块侧面爬到点B处，则它爬行的最短路径是 。 ②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。

例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。

②如图，直线L同侧有两点A、B，已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L上找一个点P，使PA+PB的和最小。请在图中找出点P的位置，并计算PA+PB的最小值。

③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km和3Km，张村与李庄的水平距离为3Km，则所用水管最短长度为 。

张村 李庄

张村 李庄 学习-----好资料

更多精品文档 A B C D 图(2)EBDACP图(3)DBAOCP四、练习题（巩固提高） （一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。 2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm，底面圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的最小值为 。 3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A点爬到点B处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm，底面圆的周长为24cm，则蚂蚁爬行的最短路径为 。 4、正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为 。 第4题 第5题 第6题 第7题 5、在菱形ABCD中，AB=2， ∠BAD=60°，点E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为 。 第2题 A A B A B

第1题 第3题 学习-----好资料

更多精品文档 6、如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，

则EC＋ED的最小值为____ ___。 7、AB是⊙O的直径，AB=2，OC是⊙O的半径，OC⊥AB，点D在AC上，AD = 2CD，点P是半径OC上的一个动点，则AP+PD的最小值为____ ___。

（二）8、如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若CD＝18cm，则△PMN的周长为________。

9、已知，如图DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E，且AC＝5，BC＝8，则△AEC的周长为__________。

10、已知，如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AC＝8，△ABE的周长为14，则AB的长 。

11、如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．

12、在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n = 时，AC + BC的值最小． CD

ABE

FP

⌒ ⌒ ⌒ 学习-----好资料 更多精品文档 第11题 第14题 第15题

13、△ABC中，∠C = 90°，AB = 10，AC=6,BC=8,过AB边上一点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于 F，E、F是垂足，则EF的最小值等于 ． 14、如图，菱形ABCD中，AB=2, ∠BAD=60°，点E、F、P分别是AB、BC、AC上的动点，则PE+PF的最小值为___________.

15、如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸

垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？ 16、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）． （1）求该函数的解析式； （2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．

（三）16、如图，已知∠AOB内有一点P，试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得△PEF的周长最小。试画出图形，并说明理由。

17、如图，直线l是第一、三象限的角平分线． 实验与探究： （1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（－2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′ 、学习-----好资料 更多精品文档 C′ ；

归纳与发现： （2）结合以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为 ； 运用与拓广： （3）已知两点D（1，－3）、E（－1，－4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标． 18、几何模型： 条件：如图，A、B是直线L同旁的两个定点．问题：在直线L上确定一点P，使PA+PB的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点A，连结AB交l于点P，则PAPBAB的值最小（不必证明）． 模型应用： （1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连结ED交AC于P，则PBPE的最小值是___________； （2）如图2，O⊙的半径为2，点ABC、、在O⊙上，OAOB，60AOC°，P是OB上一动点，求PAPC的最小值； （3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．

19、问题探究 （1）如图①，四边形ABCD是正方形， 10ABcm，E为边BC的中点，P为BD上的一个动点，求PCPE的最小值； （2）如图②，若四边形ABCD是菱形， 10ABcm，45ABC°，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PCPE的最小值； 问题解决（3）如图③，若四边形ABCD是矩形， 10ABcm，20BCcm，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PCPE的最小值；

O A

B P R

Q 图3

A

B E

C B

D 图1 O

A B C 图2 P

A B

AP l

A D B C A D

B C E P A C D

B 学习-----好资料 更多精品文档 20.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连结0A，将线段OA绕原点O顺时针旋转120。，得到线段OB. （1）求点B的坐标； （2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果均保留根号） 解：（1）过点B作BD⊥x轴于点D，由已知可得：OB=OA=2，∠BOD=60。.在Rt△OBD中，∠ODB=90。，∠OBD=30。. ∴OD=1，DB=3 ∴点B的坐标是（1，3）. （2）设所求抛物线的解析式为2yaxbxc，由已知可得： 03420cabcabc







解得：323,,0.33abc

∴所求抛物线解析式为2323.33yxx （3）存在. 由232333yxx配方后得：233133yx ∴抛物线的对称轴为x=－1. （也写用顶点坐标公式求出） 学习-----好资料 更多精品文档 ∵OB=2，要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小.

∵点O与点A关于直线x=－1对称，有CO=CA. △ BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA. ∴当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+CA最小，此时△BOC的周长最小. 设直线AB的解析式为3,:20kbykxbkb则有

解得：323,.33kb ∴直线AB的解析式为323.33yx 当x=－1时， 3.3y ∴所求点C的坐标为（－1，33）. 21、如图，抛物线2yaxbxc的顶点P的坐标为4313，，交x轴于A、B两点，交y轴于点(03)C，． （1）求抛物线的表达式． （2）把△ABC绕AB的中点E旋转180°，得到四边形ADBC． 判断四边形ADBC的形状，并说明理由． （3）试问在线段AC上是否存在一点F，使得△FBD的周长最小， 若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由题意知

解得33a，233b -------------3分 （列出方程组给1分，解出给2分） ∴抛物线的解析式为2323333yxx -----------4分

D O x y B E P A C