中考专题复习——最短路径问题

A B C DABABL A BCD图(2)EDA CP图(3)DO CP中考专题复习——路径最短问题一、具体内容包括：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；线段（之和）最短问题；二、原理：两点之间，线段最短；垂线段最短。

（构建“对称模型”实现转化）三、例题：例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A沿木块侧面爬到点B处，则它爬行的最短路径是。

②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。

例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。

②如图，直线L同侧有两点A、B，已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L上找一个点P，使PA+PB的和最小。

请在图中找出点P的位置，并计算PA+PB的最小值。

③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km和3Km，张村与李庄的水平距离为3Km，则所用水管最短长度为。

四、练习题（巩固提高）（一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。

2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm，底面圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的最小值为。

3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A点爬到点B处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm，底面圆的周长为24cm，则蚂蚁爬行的最短路径为。

4、正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为。

第4题第5题第6题第7题5、在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，点E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为。

6、如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为____ ___。

第2题张村李庄ABAB第1题第3题⌒⌒⌒7、AB是⊙O的直径，AB=2，OC是⊙O的半径，OC⊥AB，点D在AC上，AD = 2CD，点P是半径OC上的一个动点，则AP+PD的最小值为____ ___。

（二）8、如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若CD＝18cm，则△PMN的周长为________。

9、已知，如图DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E，且AC＝5，BC＝8，则△AEC的周长为__________。

10、已知，如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AC＝8，△ABE的周长为14，则AB的长。

11、如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．12、在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n = 时，AC + BC的值最小．CDFP第11题第14题第15题13、△ABC中，∠C = 90°，AB = 10，AC=6,BC=8,过AB边上一点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，E、F是垂足，则EF的最小值等于．14、如图，菱形ABCD中，AB=2, ∠BAD=60°，点E、F、P分别是AB、BC、AC上的动点，则PE+PF的最小值为___________.15、如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近16、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．（1）求该函数的解析式；（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．（三）16、如图，已知∠AOB内有一点P，试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得△PEF的周长最小。

试画出图形，并说明理由。

17、如图，直线l是第一、三象限的角平分线．实验与探究：（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（－2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′ 、C′ ；归纳与发现：（2）结合以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为；运用与拓广：（3）已知两点D（1，－3）、E（－1，－4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．18、几何模型：条件：如图，A、B是直线L同旁的两个定点．问题：在直线L上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点关于直线l的对称点，连结交l于点，则PA PB A B'+=的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD 的边长为2，为的中点，是上一动点．连结，由正方形对称性可知，与关于直线对称．连结交于，则PB PE +的最小值是___________；（2）如图2，的半径为2，点A B C 、、在上，OA OB ⊥，60AOC ∠=°，是上一动点，求PA PC +的最小值；（3）如图3，∠AOB=45°，P 是∠AOB 内一点，PO=10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值．19、问题探究（1）如图①，四边形ABCD 是正方形， 10AB cm =，为边的中点，为上的一个动点，求PC PE +的最小值；（2）如图②，若四边形ABCD 是菱形， 10AB cm =，45ABC ∠=°，为边上的一个动点，为上的一个动点，求PC PE +的最小值；问题解决（3）如图③，若四边形ABCD 是矩形， 10AB cm =，20BC cm =，为边上的一个动点，为上的一个动点，求PC PE +的最小值；20.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（-2，0），连结0A ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120。

，得到线段OB. （1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果均保留根号） 解：（1）过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，由已知可得：OB=OA=2，∠BOD=60。

.在Rt △OBD 中，∠ODB=90。

，∠OBD=30。

.∴OD=1，DB=3∴点B 的坐标是（1，3）.（2）设所求抛物线的解析式为2y ax bx c =++，由已知可得： 03420c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 解得：323,,0.a b c === ∴所求抛物线解析式为2323.33y x x =+ （3）存在. 由2323y x x =+配方后得：()2331y x =+- ∴抛物线的对称轴为x =－1.（也写用顶点坐标公式求出）∵OB=2，要使△BOC 的周长最小，必须BC+CO 最小. ∵点O 与点A 关于直线x =－1对称，有CO=CA. △ BOC 的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA.∴当A 、C 、B 三点共线，即点C 为直线AB 与抛物线对称轴的交点时，BC+CA 最小，此时△BOC 的周长最小.设直线AB 的解析式为3,:20k b y kx b k b ⎧+=⎪=+⎨-+=⎪⎩则有解得：323,.k b == ∴直线AB 的解析式为323.y x =+ 当x =－1时， 3.3y =∴所求点C 的坐标为（－1，33）. 21、如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点P 的坐标为431⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点(03)C -，． （1）求抛物线的表达式．（2）把△ABC 绕AB 的中点E 旋转180°，得到四边形ADBCO AB P R Q 图3 A B EC B D图1O AB C图2P A B A 'P lA DB C ADB C E PAC DB DOyBEPA C判断四边形ADBC 的形状，并说明理由．（3）试问在线段AC 上是否存在一点F ，使得△FBD 的周长最小，若存在，请写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）由题意知解得33a =，233b =- -------------3分（列出方程组给1分，解出给2分） ∴抛物线的解析式为23233y x =-----------4分 （2）设点A （1x ，0），B （2x ，0），则2333033x x -=， 解得1213x x =-=， -------------5分 ∴∣OA ∣＝1，∣OB ∣＝3．又∵tan ∠OCB ＝||3||OB OC = ∴∠OCB ＝60°，同理可求∠OCA ＝30°．∴∠ACB ＝90° ----------6分 由旋转性质可知AC ＝BD ，BC ＝AD ∴四边形ADBC 是平行四边形 ----------------------------7分 又∵∠ACB ＝90°．∴四边形ADBC 是矩形 --------------------------8分 （3）延长BC 至N ，使CN CB =．假设存在一点F ，使△FBD 的周长最小． 即FD FB DB ++最小．∵DB 固定长．∴只要FD +FB 最小．又∵CA ⊥BN ∴FD +FB ＝FD +FN ．∴当N 、F 、D 在一条直线上时，FD +FB 最小 ．---------------------10分又∵C 为BN 的中点， ∴12FC AC =（即F 为AC 的中点）． 又∵A （－1，0），C （0，－3） ∴ 点F 的坐标为F （12-，3∴ 存在这样的点F （12-，3，使得△FBD 的周长最小．---12分22. 已知：直线112y x =+与轴交于A ，与x 轴交于D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 （1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形且以P 为直角顶点时，求点P 的坐标．（3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使||AM MC -的值最大，求出点M 的坐标． 答案：（1）将A （0，1）、B （1，0）坐标代入212y x bx c =++得 1102c b c =⎧⎪⎨=++⎪⎩ 解得321b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴抛物线的解折式为213122y x x =-+． 3分 （2）设点E 的横坐标为m ，则它的纵坐标为213122m m -+，则E （，213122m m -+）．又∵点E 在直线112y x =+上，∴21311122m m m -+=+．yxO DEA BC解得10m =（舍去），24m =．∴E 的坐标为（4，3）． 4分 过E 作EF x ⊥轴于，设P(b,0)．由90OPA FPE ∠+∠=°，得OPA FEP ∠=∠． Rt Rt AOP PFE △∽△． 由AO OP PF EF =得143b b =-． 解得，23b =．∴此时的点P 的坐标为（1，0）或（3，0）． 6分（3）抛物线的对称轴为32x =． ∵B 、C 关于23对称，∴MC MB =．要使||AM MC -最大，即是使||AM MB -最大． 8分 由三角形两边之差小于第三边得，当A 、B 、M 在同一直线上时||AM MB -的值最大．易知直线AB 的解折式为1y x =-+．∴由132y x x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩ 得3212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴M （23，－21）． 10分。