中考专题：最短路径问题

中考压轴专题（三）：最短路线问题
考查知识点----“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

原型----“饮马问题”，“造桥选址问题”。

考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路----找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”
等变式问题考查。

以下主要对09中考“饮马问题”试题进行汇编，希望能对即将中考的同学们有所帮助。

1、（2009年达州）在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.
2、(2009年抚顺市)如图所示，正方形A B C D 的面积为12，A B E △是等边三角形，点E 在正方形A B C D 内，在对角线A C 上有一点P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为（ ）
A
． B
． C ．3 D
3、(2009年鄂州)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当PA +PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为（ ） A 、17
17
2
B 、
17
17
4
C 、 17
17
8
D 、3
（动点，作A 关于BC 的对称点A ＇，连A ＇D 交BC 于P ，涉及勾股定理，相似） 4、（2007南通）已知等腰三角形ABC 的两个顶点分别是A(0，1)、B(0，3)，第三个顶点C
在x 轴的正半轴上．关于y 轴对称的抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 经过A 、D(3，－2)、P 三点，且点P 关于直线AC 的对称点在x 轴上．
(1)求直线BC 的解析式；
(2)求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式及点P 的坐标；
(3)设M 是y 轴上的一个动点，求PM ＋CM 的取值范围．
A D E
P
B
C
C
5、（09年新疆乌鲁木齐市）如图，在矩形O A B C 中，已知A 、C 两点的坐标分别为
(40)(02)A C ，、，，D 为O A 的中点．设点P 是A O C ∠平分线上的一个动点（不与点O 重
合）．
（1）试证明：无论点P 运动到何处，P C 总造桥与P D 相等；
（2）当点P 运动到与点B 的距离最小时，试确定过O P D 、、三点的抛物线的解析式； （3）设点E 是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P 运动到何处时，P D E △的周长最小？求出此时点P 的坐标和P D E △的周长；
（4）设点N 是矩形O A B C 的对称中心，是否存在点P ，使90C P N ∠=°？若存在，请直接写出点P 的坐标．
6、（09湖北荆门）一次函数y kx b =+的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）． （1）求该函数的解析式；
（2）O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点，求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标．
7、（2009年济南）已知：抛物线的对称轴为与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中
()30A -，、()02C -，．
（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得P B C △的周长最小．请求出点P 的坐标． （3）若点D 是线段O C 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作D E P C ∥交x 轴于点E ．连接P D 、P E ．设C D 的长为m ，P D E △的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
8、、（2009年衢州市）
如图，已知点A (-4，8)和点B (2，n )在抛物线2
y ax =上．
(1) 求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得AQ +QB 最短，求出点Q 的坐
标；
(2) 平移抛物线2y ax =，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，点C (-2，0)和点D (-4，0)是x 轴上的两个定点．
① 当抛物线向左平移到某个位置时，A ′C +CB ′ 最
短，求此时抛物线的函数解析式； ② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短？若存
在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由． 提示：
第（2）问，是“饮马问题”的变式运用，涉及到抛物线左移。

答案见参考图。

① 方法一，A ′关于x 轴对称点A 〞，要使 A ′C+CB ′最短，点C 应在直线A 〞B ′上；
方法二，由（1）知，此时事实上，点Q 移到点C 位置，求CQ=14／5， 即抛物线左移14／5单位；
② 设抛物线左移b 个单位，则A ＇（-4-b,8）、B ＇（2-b,2）。

∵
CD=2,∴B ＇左移③ 2个单位得到B ″（-b,2）位置，要使A ′D+C B ＇最短，只要A ′D+DB ″最短。

则只有点D 在直线A ″B ″上。

9、（2009年北京市）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 三个顶点的坐标分别为
()6,0A -，()6,0B ，(0,C ，延长AC 到点D,使CD=
12
A C ,过点D 作DE ∥A
B 交
BC 的延长线于点E. （1）求D 点的坐标；
（2）作C 点关于直线DE 的对称点F,分别连结DF 、EF ，若过B 点的直线y kx b =+将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；
（3）设G 为y 轴上一点，点P 从直线y kx b =+与y 轴的交点出发，先沿y 轴到达G 点，再沿GA 到达A 点，若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍，试确定G 点的位置，使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短。

（要求：简述确定G 点位置的方法，但不要求证明）
提示：第（２）问，平分周长时，直线过菱形的中心； 第（３）问，“确定G 点的位置，使P 点按照上述要求
到达A 点所用的时间最短”转化为点Ｇ到Ａ的距离加Ｇ到（２）中直线的距离和最小是“饮马问题”的变式运用；发现（２）中直线与ｘ轴夹角为６０°很关键. 10、（2009恩施市）
恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷()A 和世界级自然保护区星斗山()B 位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，50km A B A =，、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（A P 与直线X 垂直，垂足为P ），P 到A 、B 的距离之和1S PA PB =+，图（2）是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A '，连接B A '交直线X 于点P ），P 到A 、B 的距离之和
2S PA PB =+．
（1）求1S 、2S ，并比较它们的大小； （2）请你说明2S PA PB =+的值为最小；
（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、
B 、Q 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．
提示：涉及勾股定理、点对称、设计方案。

第（3）问是“三折线”转“直”问题 。

再思考-------设计路线要根据需要设计，是P 处分别往A 、B 两处送呢，还是可以先送到A 接着送到B 。

本题是对所给方案进行分析，似乎还容易一些，若要你设计方案，还需考虑一个方案路线，P →A →B 。

11、(09陕西) 如图，在锐角△ABC 中，AB ＝4
2
，∠BAC ＝45°，∠BAC
的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是____．
12、（2009年浙江省绍兴市）定义一种变换：平移抛物线1F 得到抛物线2F ，使2F 经过1F 的顶点A ．设2F 的对称轴分别交12F F ，于点D B ，，点C 是点A 关于直线B D 的对称点． （1）如图1，若1F ：2y x =，经过变换后，得到2F ：2
y x bx =+，点C 的坐标为(20)，，则①b 的值等于______________；
②四边形A B C D 为（ ） A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形 （2）如图2，若1F ：2
y ax c =+，经过变换后，点B 的坐标为(21)c -，，求ABD △的面积；
（3）如图3，若1F ：2
12733
3
y x x =
-
+
，经过变换后，AC =P 是直线A C 上
P
图（1）
图（3）
图（2）
的动点，求点P到点D的距离和到直线A D的距离之和的最小值．。