高中数学易错点与应试技巧总结：函数3

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概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 函 数 十二．函数的对称性。 1．满足条件fxafbx的函数的图象关于直线2abx对称。如 已知二次函数)0()(2abxaxxf满足条件)3()5(xfxf且方程xxf)(有等根，则)(xf＝_____ (答：212xx) 2．点(,)xy关于y轴的对称点为(,)xy；函数xfy关于y轴的对称曲线方程为xfy；

3．点(,)xy关于x轴的对称点为(,)xy；函数xfy关于x轴的对称曲线方程为xfy；

4．点(,)xy关于原点的对称点为(,)xy；函数xfy关于原点的对称曲线方程为xfy；

5．点(,)xy关于直线yxa的对称点为((),)yaxa；曲线(,)0fxy关于直线yxa的对称曲线的方程为((),)0fyaxa。特别地，点(,)xy关于直线yx

的对称点为(,)yx；曲线(,)0fxy关于直线yx的对称曲线的方程为(,)fyx 0；点(,)xy关于直线yx的对称点为(,)yx；曲线(,)0fxy关于直线yx的对称曲线的方程为(,)0fyx。如 己知函数33(),()232xfxxx,若)1(xfy的图像是1C,它关于直线yx对称图像是22,CC关于原点对称的图像为33,CC则对应的函数解析式是___________ （答：221xyx） 6．曲线(,)0fxy关于点(,)ab的对称曲线的方程为(2,2)0faxby。如 若函数xxy2与)(xgy的图象关于点（-2，3）对称，则)(xg＝______ 高考资源网（ks5u.com） 您身边的高考专家 www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 - 2 -

（答：276xx） 7．形如(0,)axbycadbccxd的图像是双曲线，其两渐近线分别直线dxc(由分母为零确定)和直线ayc(由分子、分母中x的系数确定)，对称中心是点(,)dacc。如 已知函数图象C与2:(1)1Cyxaaxa关于直线yx对称，且图象C关于点（2，－3）对称，则a的值为______ （答：2） 8．|()|fx的图象先保留()fx原来在x轴上方的图象，作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形，然后擦去x轴下方的图象得到；(||)fx的图象先保留()fx在y轴右方的图象，擦去y轴左方的图象，然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称图形得到。如 （1）作出函数2|log(1)|yx及2log|1|yx的图象； （2）若函数)(xf是定义在R上的奇函数，则函数)()()(xfxfxF的图象关于____对称 （答：y轴） 提醒：（1）从结论②③④⑤⑥可看出，求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；（2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3）证明图像1C与2C的对称性，需证两方面：①证明1C上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在2C上；②证明2C上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在1C上。如 （1）已知函数)(1)(Raxaaxxf。求证：函数)(xf的图像关于点(,1)Ma成中心对称图形； （2）设曲线C的方程是xxy3,将C沿x轴, y轴正方向分别平行移动,ts单位长度后得曲线1C。①写出曲线1C的方程

（答：3()()yxtxts）；②证明曲线C与1C关于点2,2stA对称。 十三．函数的周期性 高考资源网（ks5u.com） 您身边的高考专家 www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 - 3 -

1．类比“三角函数图像”得： ①若()yfx图像有两条对称轴,()xaxbab，则()yfx必是周期函数，且一周期为2||Tab； ②若()yfx图像有两个对称中心(,0),(,0)()AaBbab，则()yfx是周期函数，且一周期为2||Tab； ③如果函数()yfx的图像有一个对称中心(,0)Aa和一条对称轴()xbab，则函数()yfx必是周期函数，且一周期为4||Tab； 如已知定义在R上的函数()fx是以2为周期的奇函数，则方程()0fx在[2,2]上至少有__________个实数根（答：5） 2．由周期函数的定义“函数()fx满足xafxf(0)a，则()fx是周期为a的周期函数”得： ①函数()fx满足xafxf，则()fx是周期为2a的周期函数；

②若1()(0)()fxaafx恒成立，则2Ta；

③若1()(0)()fxaafx恒成立，则2Ta. 如(1) 设)(xf是),(上的奇函数，)()2(xfxf，当10x时，xxf)(，则)5.47(f等于_____ (答：5.0) (2)定义在R上的偶函数()fx满足(2)()fxfx，且在[3,2]上是减函数，若,

是锐角三角形的两个内角，则(sin),(cos)ff的大小关系为________ _(答：(sin)(cos)ff) （3）已知()fx是偶函数，且(1)f=993，()gx=(1)fx是奇函数，求(2005)f的值 (答：993) （4）设fx是定义域为R的函数，且21fxfx1fx，又高考资源网（ks5u.com） 您身边的高考专家 www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 - 4 -

222f，则2006f=

(答：222) 十四．指数式、对数式： mnm

naa

，1mnmnaa，01a，log10a，log1aa，lg2lg51，loglnexx，

log(0,1,0)baaNNbaaN，logaNaN，logloglogcacbba， loglogmnaanbbm。如 （1）235log25log4log9的值为________ (答：8) （2）2log81()2的值为________ (答：164) 十五．指数、对数值的大小比较： （1）化同底后利用函数的单调性； （2）作差或作商法； （3）利用中间量（0或1）； （4）化同指数（或同真数）后利用图象比较。 十六．函数的应用。（1）求解数学应用题的一般步骤：①审题――认真读题，确切理解题意，明确问题的实际背景，寻找各量之间的内存联系；②建模――通过抽象概括，将实际问题转化为相应的数学问题，别忘了注上符合实际意义的定义域；③解模――求解所得的数学问题；④回归――将所解得的数学结果，回归到实际问题中去。（2）常见的函数模型有：①建立一次函数或二次函数模型；②建立分段函数模型；③建立指数函数模型；④建立byaxx型。 十七．抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是： 1．借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 ： 高考资源网（ks5u.com） 您身边的高考专家 www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 - 5 -

①正比例函数型：()(0)fxkxk ---------------()()()fxyfxfy； ②幂函数型：2()fxx --------------()()()fxyfxfy，()()()xfxfyfy；

③指数函数型：()xfxa ------------()()()fxyfxfy，()()()fxfxyfy； ④对数函数型：()logafxx -----()()()fxyfxfy，()()()xffxfyy； ⑤三角函数型：()tanfxx ----- ()()()1()()fxfyfxyfxfy。 如已知)(xf是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则)2(Tf____ （答：0） 2．利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：如 （1）设函数()()fxxN表示x除以3的余数，则对任意的,xyN，都有 A、(3)()fxfx B、()()()fxyfxfy C、(3)3()fxfx D、()()()fxyfxfy （答：A）； （2）设)(xf是定义在实数集R上的函数，且满足)()1()2(xfxfxf，如果

23lg)1(f，15lg)2(f，求)2001(f

（答：1）； （3）如设)(xf是定义在R上的奇函数，且)()2(xfxf，证明：直线1x是函数

)(xf图象的一条对称轴； （4）已知定义域为R的函数)(xf满足)4()(xfxf，且当2x时，)(xf单调递增。如果421xx，且0)2)(2(21xx，则)()(21xfxf的值的符号是____ （答：负数）