四川省天府教育大联考2013届高三毕业班综合滚动测(六)数学理试题
四川省2013年联测促改理科数学测试题答案
四川省2013年“联测促改”活动数学（理工类）测试题答案及评分参考一、选择题：本题考查基本概念和基本运算. 每小题5分，满分50分.(1) B (2) D (3) D (4) A (5) A (6) D (7) A (8) C (9) C (10)B 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算. 每小题5分，满分25分.(11) 1e + (12) 5- (13) 2- (14) 16 (15) 12 三、解答题16. (Ⅰ)当=1n 时，12a =，当2n ≥时,221424(1)2(1)86n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-. 综上*86,n a n n =-∈N .···················································································································5分 (Ⅱ)由22log n n a b =得432n n b -=.所以12b =,4(+1)3414322162n n n nb b -+-===,即{}n b 是等比数列.所以数列{}n b 的前n 项和2(116)2(161)11615nnn T -==--. ····························12分 17．(Ⅰ)由已知得3b a =, 又21sin 244ABC S ab C ∆===所以1a =. ······························································································· 4分 (Ⅱ)因为3b a =，由正弦定理得sin 3sin B A=.所以2sin()4sinsin 2C A CA--=sin()2(1cos )sin C A C A---sin()2sin cos 2sin C A A CA-+=-sin cos cos sin 2sin C A C AA+=-=sin()sin 22321sin sin C A BA A+-=-=-=.·················12分18. (Ⅰ)ξ的取值为0，1，2．21123322222555331(0),(1),(2),10510C C CC P P P C C C ξξξ⨯=========所以ξ的分布列为故012.105105E ξξ=⨯+⨯+⨯+=的均值为···················································································································7分(Ⅱ)由题设可知987,573514=⨯=，即乙厂生产的产品数量为35件．易见只有编号为2，5的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的优等品率为2,5故乙厂生产有大约235145⨯=（件）优等品．················································································································12分19. 解法一：(Ⅰ)直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,B 1B ⊥AB , BC ⊥AB ,又B 1B BC =B ， ∴AB ⊥平面BB 1C 1C .又Ｎ、Ｆ分别为A 1 C 1、B 1 C 1的中点 ∴AB ∥A 1B 1∥NF . ∴NF ⊥平面BB 1C 1C .因为FC ⊂平面BB 1C 1C . 所以NF ⊥FC .取BC 中点G ，有BG =GF =GC .∴BF ⊥FC ，又 NF FB =F ， ∴FC ⊥平面NFB . ··················································································· 5分 (Ⅱ)∵平面ABC ⊥平面ACC 1A 1, 平面ABC ∩平面ACC 1A 1=AC .过B 作BH ⊥AC 于H , 则BH ⊥平面ACC 1A 1. 所以 BH ⊥NC .过H 作HE ⊥NC 于E , 连结BE , 所以NC ⊥平面BEH ，所以NC ⊥BE . 则∠BEH 是二面角B -NC -A 的平面角.在Rt △ABC 中, BH ·AC =AB ·BC . 不妨设AB =a ， 则BH =ACBC AB ⋅=552 a.∵BF =CF ,∴在△BNC 中NC =BN =23a , BE ·CN =BC ·NG .又∵在Rt △BNG 中，NG 2.∴BE =CNNG B ⋅C =352a .∴在Rt △BEH 中sin ∠BEH =BE BH =53，则 cos ∠BEH =45.∴二面角B -NC -A 的余弦值为45. ····························································12分解法二 ：(Ⅰ)以B 1为坐标原点，B 1B ，B 1C 1，B 1A 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角系.不妨设AB =a ，则B 1(0,0,0), B (a ,0,0), F (0,a ,0) , A 1(0,0,a ),C 1(0,2a ,0)， N (0,a ,2a ) , C (a ,2a ,0).∴BF =(-a ,a ,0) , FN =(0,0, 2a ).CF =(-a ,-a ,0).CF ·BF =a 2-a 2=0 ,CF ·FN =0·(-a )+ 0·(-a )+ 0·2a=0. ∴CF ⊥BF , CF ⊥FN , 又BF FN =F ， ∴ CF ⊥平面NFB . ····················································································· 5分(Ⅱ)由(Ⅰ)可得1CC =(-a ,0,0),11C A =(0,2a ,-a ),BC =(0,2a ,0), BN = (-a ,a ,2a).设平面ACC 1A 1的一个法向量为1n =（x 1,y 1,z 1）,则有11111=0=0.C C A C ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，n n ∴111=02=0.ax ay az -⎧⎨-⎩，取y 1=1, z 1=2, 则1n =（0,1,2）.设平面BNC 的一个法向量2n =（x 2,y 2,z 2）,则22=0=0.B C B N ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，n n ∴22222=0=0.2ay aax ay z ⎧⎪⎨-++⎪⎩， 取x 2=1 , z 2=2.∴2n =(1,0,2).设所求二面角的大小为θ, 则cos θ=1212⋅⋅n n n n =55400⋅++=54.∴二面角B -NC -A 的余弦值为54． ·····························································12分20. (Ⅰ)设动点M 的坐标为(x ,y )．当=x -x AM 或BM 的斜率不存在．当x ≠x ≠12=-，化简得，22220x y +-=.所以轨迹C 的方程为22220x y +-=（其中，x ≠x ≠．·················································································································4分 (Ⅱ)设直线l 的方程为y x m =+，联立直线方程与椭圆方程得22,220,y x m x y x =+⎧⎪⎨+-=≠⎪⎩且 化简得 2234(22)0x mx m ++-=．22(4)43(22)0m m ∆=-⨯⨯->，解得m <0m ≠，且m ≠）．（当m =0时，点R 在直线l 上）设11(,)P x y 、22(,)Q x y ，则1243x x m +=-，2122(1)3x x m =-，所以||PQ ===点R 到直线PQ的距离为|2d m ==，所以S △PQR ＝1||2PQ d⋅=223322m m-+≤=（当m=2±时，等号成立）．故△PQR2．················································································································13分21．(Ⅰ) 当1>x 时，必有sin <x x .当01<≤x 时，设函数()()F x x f x =-，则()1()1cos 0''=-=->F x f x x .所以函数()F x 在区间[0,1]上是单调递增的.又因为(0)0F =，所以当01<≤x 时，()(0)0F x F >=，即()<f x x .综上，当0x >时，()f x x <成立. ····························································· 3分 (Ⅱ)22()()1cos 122xxg x f x x ''=-+=+-，令2()cos 12xx x ϕ=+-，则()sin x x x ϕ'=-+.由(Ⅰ)得到：当(0,1)x ∈时，有()0x ϕ'>， 即()g x '在区间(0,1)上单调递增.而(0)g '=0，所以在区间(0,1)上函数()0g x '>成立. 因此，在区间(0,1)上函数()g x 是单调递增的. 又因为(0)0g =，5(1)sin 16g =-，所以，在区间[0, 1]上函数()g x 的值域50,sin 16⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. ···································· 8分(Ⅲ)由(Ⅱ)可得，31116f k kk⎛⎫>-⎪⎝⎭，则311242112111111666212666162nnk k nnk k nk k f k k k k kk k k kn k=====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫->-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-+>- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=-∑∑∑∑∑当1n =时，213361261110⨯-⨯>⨯-；当2n =时，221133622621210⎛⎫⨯-⨯+>⨯-⎪⎝⎭；当3n ≥时，21162nk n k=-∑223116212124nk n k =⎛⎫>-+- ⎪⎝⎭-∑35116211222543366.2510nk n k k n n =⎛⎫ ⎪=---⎪ ⎪-+⎝⎭>--=-∑·············································································································14分。
2013年四川省高考数学试卷及答案 word版(理)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
满分150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项;必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、设集合}02|{=+=x x A ，集合}04|{2=-=x x B ，则=⋂B A（A ）}2{- (B){ 2 } (C) {-2，2} （D ）φ2、如图在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（A ） A （B ） B (C) C （D ） D3、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是4、设则：是偶数集，若命题是奇数集，集合集合,2,p B A ,B x A x Z x ∈∈∀∈（A ）B x A x p ∉∈∀⌝2,: （B ）B x A x p ∉∉∀⌝2:，(C) B x A x p ∈∉∀⌝2:，（D ）B x A x p ∉∈∀⌝2:，5、函数)220)(sin(2)(πϕπωϕω<<->+=，x x f 的部分图像如图所示，则ϕω、的值分别是（A ） 2，3-π （B ） 2，6-π(C) 4，6-π （D ）4，3π6、抛物线x y42=的焦点到双曲线1322=-yx的渐近线的距离是（A ）21 （B ）23(C) 1 （D ）37、函数133-=x xy 的图像大致是8、从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a 、b ，共可得到b a lg lg -的不同值的个数是（A ） 9 （B ） 10 (C) 18 （D ） 209、节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（A ）41 （B ）21 (C)43 （D ）8710、设函数为自然对数的底数），e R a a x x f x∈-+=(e)(若曲线x y sin =上存在点)(00y x ，使得00))((y y f f =，则a 的取值范围是（A ） ]e ,1[ （B ）]11e[1，-- (C) [] （D ） [1-]第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。
2013年高考真题——理科数学(四川卷) 含答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理工类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡上一并交回．第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设集合{|20}A x x =+=，集合2{|40}B x x =-=，则A B =（ ）（A ）{2}- （B ）{2} （C ）{2,2}- （D ）∅2．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（ ）（A ）A （B ）B （C ）C （D ）D3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）4．设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则（ ）（A ）:,2p x A x B ⌝∃∈∉ （B ）:,2p x A x B ⌝∀∉∉（C ）:,2p x A x B ⌝∃∉∈ （D ）:,2p x A x B ⌝∃∈∈ 5．函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ）（A ）2,3π- （B ）2,6π- （C ）4,6π-（D ）4,3π 6．抛物线24y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是（ ）（A ）12（B （C ）1 （D 7．函数231x x y =-的图象大致是（ ）8．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为,a b ，共可得到lg lg a b -的不同值的个数是（ ）（A ）9 （B ）10 （C ）18 （D ）209．节日 家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（ ）（A ）14 （B ）12 （C ）34 （D ）7810．设函数()f x =（a R ∈，e 为自然对数的底数）．若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =，则a 的取值范围是（ ）（A ）[1,]e （B ）1[,1]e - （C ）[1,1]e + （D ）1[,1]e e -+ 第二部分 （非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．答在试题卷上无效．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．二项式5()x y +的展开式中，含23x y 的项的系数是____________．（用数字作答）12．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=，则λ=____________．13．设sin 2sin αα=-，(,)2παπ∈，则tan 2α的值是____________．14．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，2()4f x x x =-，那么，不等式(2)5f x +<的解集是____________．15．设12,,,n P P P 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到12,,,n P P P 点的距离之和最小，则称点P 为12,,,n P P P 点的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点,A B 的中位点．则有下列命题：①若,,A B C 三个点共线，C 在线段上，则C 是,,A B C 的中位点；②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点,,,A B C D 共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是____________．（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本小题满分12分) 在等差数列{}n a 中，218a a -=，且4a 为2a 和3a 的等比中项，求数列{}n a 的首项、公差及前n 项和．17．(本小题满分12分) 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且232c o s c o s s i n ()s i n 25A B B A B B ---=-． （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）若a =，5b =，求向量BA 在BC 方向上的投影．18．(本小题满分12分) 某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3,,24⋅⋅⋅这24个整数中等可能随机产生．（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率(1,2,3)iP i=；（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为(1,2,3)i i=的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表（部分）乙的频数统计表（部分）当2100n=时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为(1,2,3)i i=的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；（Ⅲ）按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．19．(本小题满分12分) 如图，在三棱柱11ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，12AB AC AA ==，120BAC ∠=，1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点，P 是线段AD 的中点．（Ⅰ）在平面ABC 内，试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面11ADD A ；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 交AB 于点M ，交AC 于点N ，求二面角1A A M N --的余弦值．20．(本小题满分13分) 已知椭圆C ：22221,(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，且椭圆C 经过点41(,)33P ． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且222211||||||AQ AM AN =+，求点Q 的轨迹方程．21．(本小题满分14分)已知函数22,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩，其中a 是实数．设11(,())A x f x ，22(,())B x f x 为该函数图象上的两点，且12x x <．（Ⅰ）指出函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直，且20x <，求21x x -的最小值； （Ⅲ）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合，求a 的取值范围．1C。
2013年高考理科数学四川卷试题与答案word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(四川卷)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．(2013四川，理1)设集合A ＝{x |x ＋2＝0}，集合B ＝{x |x 2－4＝0}，则A ∩B ＝( )．A ．{－2}B ．{2}C ．{－2,2}D ．∅2．(2013四川，理2)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )．A ．AB ．BC ．CD ．D3．(2013四川，理3)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )．4．(2013四川，理4)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )．A ．⌝p ：∀x ∈A,2x ∉B B ．⌝p ：∀x ∉A,2x ∉BC ．⌝p ：∃x ∉A,2x ∈BD ．⌝p ：∃x ∈A,2x ∉B 5．(2013四川，理5)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)ππ0,22ωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )．A ．2，π3-B ．2，π6-C ．4，π6-D ．4，π36．(2013四川，理6)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－23y ＝1的渐近线的距离是( )．A ．12 B． C ．1 D7．(2013四川，理7)函数331x x y =-的图象大致是( )．8．(2013四川，理8)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是( )．A．9 B．10 C．18 D．209．(2013四川，理9)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )．A．14 B．12 C．34 D．7810．(2013四川，理10)设函数f(x)(a∈R，e为自然对数的底数)，若曲线y＝sin x上存在点(x0，y0)使得f(f(y0))＝y0，则a的取值范围是( )．A．[1，e] B．[e－1－1,1]C．[1，e＋1] D．[e－1－1，e＋1]第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．(2013四川，理11)二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是__________．(用数字作答) 12．(2013四川，理12)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＋AD＝λAO，则λ＝__________.13．(2013四川，理13)设sin 2α＝－sin α，α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，则tan 2α的值是__________．14．(2013四川，理14)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)＜5的解集是__________．15．(2013四川，理15)设P1，P2，…，P n为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，…，P n的距离之和最小，则称点P为点P1，P2，…，P n的一个“中位点”，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点，现有下列命题：①若三个点A，B，C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是__________．(写出所有真命题的序号)三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(2013四川，理16)(本小题满分12分)在等差数列{a n}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{a n}的首项、公差及前n项和．17．(2013四川，理17)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos 2A B-cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝35-，(1)求cos A 的值；(2)若a =b ＝5，求向量BA 在BC 方向上的投影．18．(2013四川，理18)(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率P i (i ＝1,2,3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．当n＝2 100的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．19．(2013四川，理19)(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC ＝2AA1，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；(2)设(1)中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A－A1M－N的余弦值．20．(2013四川，理20)(本小题满分13分)已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且椭圆C 经过点P 41,33⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设过点A (0,2)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且222211||||||AQ AM AN =+，求点Q 的轨迹方程．21．(2013四川，理21)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝22,0,ln,0,x x a xx x⎧++<⎨>⎩其中a是实数．设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图象上的两点，且x1＜x2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2－x1的最小值；(3)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(四川卷)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．答案：A解析：由题意可得，A＝{－2}，B＝{－2,2}，∴A∩B＝{－2}．故选A．2．答案：B解析：复数z表示的点与其共轭复数表示的点关于实轴对称．3．答案：D解析：由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体，故选D．4．答案：D5．答案：A解析：由图象可得，35ππ3π41234T⎛⎫=--=⎪⎝⎭，∴T＝π，则ω＝2ππ＝2，再将点5π,212⎛⎫⎪⎝⎭代入f(x)＝2sin(2x＋φ)中得，5πsin16ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，令5π6＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，解得，φ＝2kπ－π3，k∈Z，又∵φ∈ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则取k＝0，∴φ＝π3-.故选A．6．答案：B解析：由题意可得，抛物线的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线方程为y=，即－y＝0，由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离d==.7．答案：C解析：由函数解析式可得，该函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除A；取x＝－1，y＝1113--＝32＞0，故再排除B；当x→＋∞时，3x－1远远大于x3的值且都为正，故331xx-→0且大于0，故排除D，选C．8．答案：C解析：记基本事件为(a，b)，则基本事件空间Ω＝{(1,3)，(1,5)，(1,7)，(1,9)，(3,1)，(3,5)，(3,7)，(3,9)，(5,1)，(5,3)，(5,7)，(5,9)，(7,1)，(7,3)，(7,5)，(7,9)，(9,1)，(9,3)，(9,5)，(9,7)}共有20个基本事件，而lg a －lg b ＝lga b ，其中基本事件(1,3)，(3,9)和(3,1)，(9,3)使lg ab的值相等，则不同值的个数为20－2＝18(个)，故选C ．9． 答案：C解析：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x ，y ，则由题意可得，0≤x ≤4,0≤y ≤4；而所求事件“两串彩灯同时通电后，第一次闪亮相差不超过2秒”＝{(x ，y )||x －y |≤2}，由图示得，该事件概率1643164S P S -===阴影正方形.10． 答案：A解析：由题意可得，y 0＝sin x 0∈[－1,1]，而由f (x )可知y 0∈[0,1]，当a ＝0时，f (x )∴y 0∈[0,1]时，f (y 0)∈[1．∴f (f (y 0 1.∴不存在y 0∈[0,1]使f (f (y 0))＝y 0成立，故B ，D 错；当a ＝e ＋1时，f (x )y 0∈[0,1]时，只有y 0＝1时f (x )才有意义，而f (1)＝0， ∴f (f (1))＝f (0)，显然无意义，故C 错．故选A ．第Ⅱ卷(非选择题 共100分)注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．答案：10解析：由二项式展开系数可得，x 2y 3的系数为35C ＝25C ＝10.12．答案：2解析：如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＋AD ＝AC ＝2AO ，∴λ＝2.13．解析：∵sin 2α＝－sin α， ∴2sin αcos α＝－sin α.又∵α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，∴cos α＝12-.∴sin α2=.∴sin 2α＝2-，cos 2α＝2cos 2α－1＝12-.∴tan 2α＝sin2cos2αα14．答案：(－7,3)解析：当x ≥0时，令x 2－4x ＜5，解得，0≤x ＜5.又因为f (x )为定义域为R 的偶函数，则不等式f (x ＋2)＜5等价于－5＜x ＋2＜5，即－7＜x ＜3；故解集为(－7,3)． 15．答案：①④解析：由“中位点”可知，若C 在线段AB 上，则线段AB 上任一点都为“中位点”，C 也不例外，故①正确；对于②假设在等腰Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，如图所示，点P 为斜边AB 中点，设腰长为2，则|PA |＋|PB |＋|PC |＝32|AB |＝C 为“中位点”，则|CB |＋|CA |＝4＜ 对于③，若B ，C 三等分AD ，若设|AB |＝|BC |＝|CD |＝1，则|BA |＋|BC |＋|BD |＝4＝|CA |＋|CB |＋|CD |，故③错；对于④，在梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 的交点为O ，在梯形ABCD 内任取不同于点O 的一点M ，则在△MAC 中，|MA |＋|MC |＞|AC |＝|OA |＋|OC |，同理在△MBD 中，|MB |＋|MD |＞|BD |＝|OB |＋|OD |， 则得，|MA |＋|MB |＋|MC |＋|MD |＞|OA |＋|OB |＋|OC |＋|OD |， 故O 为梯形内唯一中位点是正确的．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．解：设该数列公差为d ，前n 项和为S n .由已知，可得2a 1＋2d ＝8，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )．所以，a 1＋d ＝4，d (d －3a 1)＝0，解得a 1＝4，d ＝0，或a 1＝1，d ＝3，即数列{a n }的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以，数列的前n 项和S n ＝4n 或S n ＝232n n-.17．解：(1)由22cos 2A B -cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝35-，得[cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝35-，即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝35-.则cos(A －B ＋B )＝35-，即cos A ＝35-.(2)由cos A ＝35-，0＜A ＜π，得sin A ＝45，由正弦定理，有sin a bA =，所以，sin B ＝sin 2b A a =由题知a ＞b ，则A ＞B ，故π4B =.根据余弦定理，有2＝52＋c 2－2×5c ×35⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．故向量BA 在BC 方向上的投影为|BA |cos B .18．解：(1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能． 当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12； 当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13； 当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16. 所以，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16. (2)当n ＝2 100(3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝0303128C 3327⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，P (ξ＝1)＝1213124C 339⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，P (ξ＝2)＝2123122C 339⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，P (ξ＝3)＝3033121C 3327⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故ξ的分布列为所以，E ξ＝0×827＋1×49＋2×9＋3×27＝1.即ξ的数学期望为1.19．解：(1)如图，在平面ABC 内，过点P 作直线l ∥BC ，因为l 在平面A 1BC 外，BC 在平面A 1BC 内，由直线与平面平行的判定定理可知，l ∥平面A 1BC ． 由已知，AB ＝AC ，D 是BC 的中点， 所以，BC ⊥AD ，则直线l ⊥AD ． 因为AA 1⊥平面ABC ， 所以AA 1⊥直线l .又因为AD ，AA 1在平面ADD 1A 1内，且AD 与AA 1相交， 所以直线l ⊥平面ADD 1A 1. (2)解法一：连接A 1P ，过A 作AE ⊥A 1P 于E ，过E 作EF ⊥A 1M 于F ，连接AF . 由(1)知，MN ⊥平面AEA 1， 所以平面AEA 1⊥平面A 1MN .所以AE ⊥平面A 1MN ，则A 1M ⊥AE . 所以A 1M ⊥平面AEF ，则A 1M ⊥AF .故∠AFE 为二面角A －A 1M －N 的平面角(设为θ)．设AA 1＝1，则由AB ＝AC ＝2AA 1，∠BAC ＝120°，有∠BAD ＝60°，AB ＝2，AD ＝1. 又P 为AD 的中点，所以M 为AB 中点，且AP＝12，AM ＝1， 所以，在Rt △AA 1P 中，A 1PRt △A 1AM 中，A 1M.从而11AAAP AE A P ⋅==， 11AA AM AF A M ⋅==.所以sin θ＝AE AF =所以cos θ5==.解法二：设A 1A ＝1.如图，过A 1作A 1E 平行于B 1C 1，以A 1为坐标原点，分别以1A E ，11A D ，1A A 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz (点O 与点A 1重合)．则A 1(0,0,0)，A (0,0,1)． 因为P 为AD 的中点，所以M ，N 分别为AB ，AC 的中点．故M 1,,122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，N 1,122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.所以1AM＝1,122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，1A A ＝(0,0,1)，NM ＝0,0)． 设平面AA 1M 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则1111,,A M A A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 即11110,0,A M A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n故有1111111,,,10,22,,0,0,10,x y z x y z ⎧⎛⎫()⋅=⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪()⋅()=⎩从而111110,20.x y z z ++=⎪=⎩ 取x 1＝1，则y 1＝ 所以n 1＝(1，，0)．设平面A 1MN 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则212,,A M NM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 即2120,0,A M NM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n故有2222221,,,10,2,,0,x y z x y z ⎧⎫()⋅=⎪⎪⎪⎨⎝⎭⎪()=⎩从而222210,220.x y z ++=⎪= 取y 2＝2，则z 2＝－1，所以n 2＝(0,2，－1)． 设二面角A －A 1M －N 的平面角为θ， 又θ为锐角， 则cos θ＝1212||||⋅⋅n n n n5=20．解：(1)由椭圆定义知，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|=所以a =又由已知，c ＝1.所以椭圆C的离心率2c e a ===. (2)由(1)知，椭圆C 的方程为22x ＋y 2＝1.设点Q 的坐标为(x ，y )．(1)当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆C 交于(0,1)，(0，－1)两点，此时点Q的坐标为0,2⎛ ⎝⎭. (2)当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2.因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1＋2)，(x 2，kx 2＋2)，则|AM |2＝(1＋k 2)x 12，|AN |2＝(1＋k 2)x 22.又|AQ |2＝x 2＋(y －2)2＝(1＋k 2)x 2. 由222211||||||AQ AM AN =+，得22222212211111k x k x k x =+(+)(+)(+)， 即212122222212122211x x x x x x x x x (+)-=+=.① 将y ＝kx ＋2代入22x ＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0.②由Δ＝(8k )2－4×(2k 2＋1)×6＞0，得k 2＞32. 由②可知，x 1＋x 2＝2821k k -+，x 1x 2＝2621k +， 代入①中并化简，得2218103x k =-.③ 因为点Q 在直线y ＝kx ＋2上，所以2y k x-=，代入③中并化简，得10(y －2)2－3x 2＝18. 由③及k 2＞32，可知0＜x 2＜32，即x∈2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∪0,2⎛ ⎝⎭.又0,25⎛- ⎝⎭满足10(y －2)2－3x 2＝18， 故x∈,22⎛- ⎝⎭.由题意，Q (x ，y )在椭圆C 内， 所以－1≤y ≤1.又由10(y －2)2＝18＋3x 2有(y －2)2∈99,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭且－1≤y ≤1， 则y∈1,22⎛⎝⎦. 所以，点Q 的轨迹方程为10(y －2)2－3x 2＝18，其中x∈⎛⎝⎭，y∈1,22⎛- ⎝⎦. 21．解：(1)函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1,0)，(0，＋∞)． (2)由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为f ′(x 1)，点B 处的切线斜率为f ′(x 2)， 故当点A 处的切线与点B 处的切线垂直时，有f ′(x 1)f ′(x 2)＝－1. 当x ＜0时，对函数f (x )求导，得f ′(x )＝2x ＋2. 因为x 1＜x 2＜0，所以，(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1. 所以2x 1＋2＜0,2x 2＋2＞0.因此x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋2x 2＝1，当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即132x =-且212x =-时等号成立．所以，函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直时，x 2－x 1的最小值为1.(3)当x 1＜x 2＜0或x 2＞x 1＞0时，f ′(x 1)≠f ′(x 2)，故x 1＜0＜x 2.当x 1＜0时，函数f (x )的图象在点(x 1，f (x 1))处的切线方程为y －(x 12＋2x 1＋a )＝(2x 1＋2)(x －x 1)，即y＝(2x 1＋2)x －x 12＋a .当x 2＞0时，函数f (x )的图象在点(x 2，f (x 2))处的切线方程为y －ln x 2＝21x (x －x 2)，即y ＝21x·x ＋ln x 2－1.两切线重合的充要条件是12221122,ln 1.x xx x a ⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩①②由①及x 1＜0＜x 2知，－1＜x 1＜0. 由①②得，a ＝x 12＋11ln22x +－1＝x 12－ln(2x 1＋2)－1.设h (x 1)＝x 12－ln(2x 1＋2)－1(－1＜x 1＜0)， 则h ′(x 1)＝2x 1－111x +＜0. 所以，h (x 1)(－1＜x 1＜0)是减函数． 则h (x 1)＞h (0)＝－ln 2－1， 所以a ＞－ln 2－1.又当x 1∈(－1,0)且趋近于－1时，h (x 1)无限增大， 所以a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．故当函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线重合时，a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．。
2013年四川省高考数学试卷(理科)答案与解析
2013年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本答题共有10小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．22．（5分）（2013•四川）如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（）3．（5分）（2013•四川）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）B4．（5分）（2013•四川）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，5．（5分）（2013•四川）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）BT=时取得最大值，得到+．由此即可得到本题的答案．时取得最大值，x==﹣==x=+，可得+=﹣6．（5分）（2013•四川）抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）B±，化成一般式得：，可得=1又∵双曲线的方程为b=±±x．d=7．（5分）（2013•四川）函数的图象大致是（）B8．（5分）（2013•四川）从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，，所以从，种排法，，9．（5分）（2013•四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔B=10．（5分）（2013•四川）设函数（a∈R，e为自然对数的底数），若曲时，，此是一个增函数，且函数值恒非负，故只研究是一个增函数，可得出＞时，此函数是一个增函数，=0二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2013•四川）二项式（x+y）5的展开式中，含x2y3的项的系数是10（用数字作答）．x的项的系数是=1012．（5分）（2013•四川）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，，则λ=2．依题意，+，而=2，从而可得答案．+==2+=2+λ，13．（5分）（2013•四川）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是．，，=，，=故答案为：14．（5分）（2013•四川）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．15．（5分）（2013•四川）设P1，P2，…P n为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，…P n的距离之和最小，则称点P为P1，P2，…P n的一个“中位点”，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点，现有下列命题：①若三个点A、B、C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是①④（写出所有真命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（12分）（2013•四川）在等差数列{a n}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{a n}的首项，公差及前n项和．=17．（12分）（2013•四川）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB ﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．，，（Ⅱ）由正弦定理，，所以，B=在方向上的投影：．18．（12分）（2013•四川）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生（I）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率p i（i=1，2，3）；（II）甲乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编程写出程序重复运行n次后，统计记录输出y的值为i（i=1，2，3）的频数，以下是甲乙所作频数统计表的部分数据．当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能系较大；（III）将按程序摆图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．=；===的概率为的概率为，输出的；输出y值为1的频率输出y值为2的频率输出====，，0 2 3=19．（12分）（2013•四川）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．（Ⅰ）在平面ABC内，试做出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）设（I）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A﹣A1M﹣N的余弦值．AP=，====，可得=的余弦值等于20．（13分）（2013•四川）已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率：（Ⅱ）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程．的坐标表示出：（．=2e==…的方程为，设点）=…①中，得（＞=，＞＜（﹣，[，（﹣，（21．（14分）（2013•四川）已知函数，其中a是实数，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的点，且x1＜x2．（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2﹣x1的最小值；（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．时，∵，即时，∵，即．处的切线重合的充要条件是得．∵函数在。
2013年全国各地高考数学试题汇编理科数学(四川卷) 试题及答案
2012年全国各地高考数学试题汇编汇总(四川卷)数 学(理工类)本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)．第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页,共4页．考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上大题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后,将本试题卷和答题卡上一并交回．第Ⅰ卷 (选择题 共50分)注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的．1．设集合{|20}A x x =+=,集合2{|40}B x x =-=,则A B =( )(A){2}- (B){2} (C){2,2}- (D)∅2．如图,在复平面内,点A 表示复数z ,则图中表示z 的共轭复数的点是( ) (A)A (B)B (C)C (D)D 3．一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是()4．设x Z ∈,集合A 是奇数集,集合B 是偶数集．若命题:,2p x A x B ∀∈∈,则( ) (A):,2p x A x B ⌝∃∈∉ (B):,2p x A x B ⌝∀∉∉ (C):,2p x A x B ⌝∃∉∈ (D):,2p x A x B ⌝∃∈∈ 5．函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是()(A)2,3π-(B)2,6π-(C)4,6π-(D)4,3π6．抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是( )(A)12 (C)1 7．函数231x x y =-的图象大致是( )8．从135,79这五个数中,每次取出两个不同的数分别为,a b ,共可得到lg lg a b -的不同值的个数是( )(A)9 (B)10 (C)18 (D)209．节日 家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) (A)14 (B)12 (C)34 (D)7810．设函数()f x =a R ∈,e 为自然对数的底数)．若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =,则a 的取值范围是( )(A)[1,]e (B)1[,1]e - (C)[1,1]e + (D)1[,1]e e -+第二部分 (非选择题 共100分)注意事项：必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．答在试题卷上无效． 二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分．11．二项式5()x y +的展开式中,含23x y 的项的系数是____________．(用数字作答)12．在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,AB AD AO λ+=,则λ=____________．13．设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是____________．14．已知()f x 是定义域为R 的偶函数,当x ≥0时,2()4f x x x =-,那么,不等式(2)5f x +<的解集是____________． 15．设12,,,n P P P 为平面α内的n 个点,在平面α内的所有点中,若点P 到12,,,n P P P 点的距离之和最小,则称点P 为12,,,n P P P 点的一个“中位点”．例如,线段AB 上的任意点都是端点,A B 的中位点．则有下列命题：①若,,A B C 三个点共线,C 在线段上,则C 是,,A B C 的中位点； ②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点,,,A B C D 共线,则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是____________．(写出所有真命题的序号)三、解答题：本大题共6小题,共75分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分) 在等差数列{}n a 中,218a a -=,且4a 为2a 和3a 的等比中项,求数列{}n a 的首项、公差及前n 项和．17．(本小题满分12分) 在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且232cos cos sin()sin 25A B B A B B ---=-． (Ⅰ)求cos A 的值；(Ⅱ)若a =5b =,求向量BA 在BC 方向上的投影．18．(本小题满分12分) 某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,,24⋅⋅⋅这24个整数中等可能随机产生．(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率(1,2,3)iP i=；(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出y的值为(1,2,3)i i=的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表(部分) 乙的频数统计表(部分)当2100n=时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为(1,2,3)i i=的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；(Ⅲ)按程序框图正确编写的程序运行3次,求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．19．(本小题满分12分) 如图,在三棱柱11ABC A B C -中,侧棱1AA ⊥底面ABC ,12AB AC AA ==,120BAC ∠=,1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点,P 是线段AD 的中点．(Ⅰ)在平面ABC 内,试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ,说明理由,并证明直线l ⊥平面11ADD A ；(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l 交AB 于点M ,交AC 于点N ,求二面角1A A M N --的余弦值．20．(本小题满分13分) 已知椭圆C ：22221,(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆C 经过点41(,)33P ．(Ⅰ)求椭圆C 的离心率；(Ⅱ)设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,点Q 是线段MN 上的点,且222211||||||AQ AM AN =+,求点Q 的轨迹方程．21．(本小题满分14分)已知函数22,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩,其中a 是实数．设11(,())A x f x ,22(,())B x f x 为该函数图象上的两点,且12x x <．(Ⅰ)指出函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直,且20x <,求21x x -的最小值； (Ⅲ)若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合,求a 的取值范围．1C。
2013年四川高考数学理科试卷(带详解)
意点都是端点 A, B 的中位点．则有下列命题：
①若 A, B,C 三个点共线，C 在线 AB 上，则C 是 A, B,C 的中位点；
②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点 A, B,C, D 共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是____________．（写出所有真命题的序号） 【测量目标】考查新定义.
(0) 1, (1) e, (x) [1,e],即 a [1,e].
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25分．
11．二项式 (x y)5
xy
【测量目标】二项式的展展开开式式. 中，含
2
3
的项的系数是_________．（用数字作答）
【考查方式】求二项式展开式中的某一项.
【难易程度】简单.
3． 一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 几 何 体 的 直 观 图 可 以 是
（）
第 3 题图
A
B
C
D
第 3 题图 【测量目标】平图形的直观图和三视图. 【考查方式】给出三视图判断其直观图. 【难易程度】容易.
【参考答案】D 【试题解析】由俯视图的圆环可排除 A,B,进一步将已知三视图还原为几何体，故选 D.
【试题解析】由向量加法的平行四边形法则，得 AB AD AC. 又 O 是 AC 的中点，
AC 2AO, AC 2AO, AB AD AO,
2.
13．设sin 2
sin ， ( π, π) ，则 tan 2 2
【测量目标】二倍角公式.
【考查方式】给出关系式求特殊角的正切值.
【难易程度】中等.
2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(四川卷带解析)答案解析
2013年全国普通高等学校招生统一考试理科（四川卷）数学答案解析1、【答案】A【解析】由A中的方程x+2=0，解得x=﹣2，即A={﹣2}；由B中的方程x2﹣4=0，解得x=2或﹣2，即B={﹣2，2}，则A∩B={﹣2}．2、【答案】B【解析】两个复数是共轭复数，两个复数的实部相同，下部相反，对应的点关于x轴对称．所以点A表示复数z的共轭复数的点是B．3、【答案】D【解析】由俯视图可知，原几何体的上底面应该是圆面，由此排除选项A和选项C．而俯视图内部只有一个虚圆，所以排除B．故选D．4、【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A，2x∈B，则￢p：?x∈A，2x?B．【答案】A【解析】∵在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，∴函数的周期T满足=﹣=，由此可得T==π，解得ω=2，得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ）又∵当x=时取得最大值2，∴2sin（2?+φ）=2，可得+φ=+2kπ（k∈Z）∵，∴取k=0，得φ=﹣6、【答案】B【解析】∵抛物线方程为y2=4x∴2p=4，可得=1，抛物线的焦点F（1，0）又∵双曲线的方程为∴a2=1且b2=3，可得a=1且b=，双曲线的渐近线方程为y=±，即y=±x，化成一般式得：．因此，抛物线y2=4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d==【答案】A【解析】当x＜0时，x3＜0，3x﹣1＜0，∴，故排除B；对于C，由于函数值不可能为0，故可以排除C；∵y=3x﹣1与y=x3相比，指数函数比幂函数，随着x的增大，增长速度越大，∴x→+∞，→0，∴D不正确，A正确，8、【答案】C【解析】首先从1，3，5，7，9这五个数中任取两个不同的数排列，共有种排法，因为，，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是：20﹣2=18．9、【答案】C【解析】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|x﹣y|≤2，由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，由图可知所求的概率为：=10、【答案】A【解析】曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则y0∈[﹣1，1]考查四个选项，B，D两个选项中参数值都可取0，C，D两个选项中参数都可取e+1，A，B，C，D四个选项参数都可取1，由此可先验证参数为0与e+1时是否符合题意，即可得出正确选项当a=0时，，此是一个增函数，且函数值恒非负，故只研究y0∈[0，1]时f（f（y0））=y0是否成立由于是一个增函数，可得出f（y0）≥f（0）=1，而f（1）=＞1，故a=0不合题意，由此知B，D两个选项不正确当a=e+1时，此函数是一个增函数，=0，而f（0）没有意义，故a=e+1不合题意，故C，D两个选项不正确综上讨论知，可确定B，C，D三个选项不正确，故A选项正确11、【答案】10【解析】设二项式（x+y）5的展开式的通项公式为T r+1，则T r+1=x5﹣r?y r，令r=3，则含x2y3的项的系数是=10．12、【答案】2【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴+=，又O为AC的中点，∴=2，∴+=2，∵+=λ，∴λ=2．13、【答案】【解析】∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，α∈（，π），∴cosα=﹣，sinα==，∴tanα=﹣，则tan2α===．14、【答案】（﹣7，3）【解析】因为f（x）为偶函数，所以f（|x+2|）=f（x+2），则f（x+2）＜5可化为f（|x+2|）＜5，即|x+2|2﹣4|x+2|＜5，（|x+2|+1）（|x+2|﹣5）＜0，所以|x+2|＜5，解得﹣7＜x＜3，所以不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．15、【答案】①④【解析】①若三个点A、B、C共线，C在线段AB上，根据两点之间线段最短，则C是A，B，C的中位点，正确；②举一个反例，如边长为3，4，5的直角三角形ABC，此直角三角形的斜边的中点到三个顶点的距离之和为5+2.5=7.5，而直角顶点到三个顶点的距离之和为7，∴直角三角形斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点；故错误；③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点，故它们的中位点存在但不唯一；故错误；④如图，在梯形ABCD中，对角线的交点O，P是任意一点，则根据三角形两边之和大于第三边得PA+PB+PC+PD≥AC+BD=OA+OB+OC+OD，∴梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．正确．故答案为：①④．16、【答案】S n=【解析】设该数列的公差为d，前n项和为S n，则∵a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，∴2a1+2d=8，（a1+3d）2=（a1+d）（a1+8d）解得a1=4，d=0或a1=1，d=3∴前n项和为S n=4n或S n=．17、【答案】（1）（2）=ccosB=【解析】（Ⅰ）由，可得，即，即，（Ⅱ）由正弦定理，，所以=，由题意可知a＞b，即A＞B，所以B=，由余弦定理可知．解得c=1，c=﹣7（舍去）．向量在方向上的投影：=ccosB=．18、【答案】（I）输出的y值为1的概率为，输出的y值为2的概率为，输出的y值为3的概率为（II）乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大（III）1【解析】（I）变量x是在1，2，3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能，当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出的y 值为1，故P1==；当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出的y值为2，故P2==；当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出的y值为3，故P3==；故输出的y值为1的概率为，输出的y值为2的概率为，输出的y值为3的概率为；（II）当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出的y值为i（i=1，2，3）的频率如下：输出y值为1的频率输出y值为2的频率输出y值为3的频率甲乙比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大；（III）随机变量ξ的可能取值为：0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，故ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3P所以所求的数学期望Eξ==119、【答案】（I）见解析（II）【解析】（I）在平面ABC内，过点P作直线l∥BC∵直线l?平面A1BC，BC?平面A1BC，∴直线l∥平面A1BC，∵△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，结合l∥BC得AD⊥l∵AA1⊥平面ABC，l?平面ABC，∴AA1⊥l∵AD、AA1是平面ADD1A1内的相交直线∴直线l⊥平面ADD1A1；（II）连接A1P，过点A作AE⊥A1P于E，过E点作EF⊥A1M于F，连接AF由（I）知MN⊥平面A1AE，结合MN?平面A1MN得平面A1MN⊥平面A1AE，∵平面A1MN∩平面A1AE=A1P，AE⊥A1P，∴AE⊥平面A1MN，∵EF⊥A1M，EF是AF在平面A1MN内的射影，∴AF⊥A1M，可得∠AFE就是二面角A﹣A1M﹣N的平面角设AA1=1，则由AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，可得∠BAD=60°，AB=2且AD=1又∵P为AD的中点，∴M是AB的中点，得AP=，AM=1Rt△A1AP中，A1P==；Rt△A1AM中，A1M=∴AE==，AF==∴Rt△AEF中，sin∠AFE==，可得cos∠AFE==即二面角A﹣A1M﹣N的余弦值等于．20、【答案】（I）（II）点Q的轨迹方程为10（y﹣2）2﹣3x2=18，其中x∈（﹣，），y∈（，2﹣）【解析】（I）∵椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点．∴c=1，2a=PF1+PF2==2，即a=∴椭圆的离心率e===…4分（II）由（I）知，椭圆C的方程为，设点Q的坐标为（x，y）（1）当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于（0，1）、（0，﹣1）两点，此时点Q 的坐标为（0，2﹣）（2）当直线l与x轴不垂直时，可设其方程为y=kx+2，因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为（x1，kx1+2），（x2，kx2+2），则，，又|AQ|2=（1+k2）x2，∴，即=…①将y=kx+2代入中，得（2k2+1）x2+8kx+6=0…②由△=（8k）2﹣24（2k2+1）＞0，得k2＞由②知x1+x2=，x1x2=，代入①中化简得x2=…③因为点Q在直线y=kx+2上，所以k=，代入③中并化简得10（y﹣2）2﹣3x2=18由③及k2＞可知0＜x＜，即x∈（﹣，0）∪（0，）由题意，Q（x，y）在椭圆C内，所以﹣1≤y≤1，又由10（y﹣2）2﹣3x2=18得（y﹣2）2∈[，）且﹣1≤y≤1，则y∈（，2﹣）所以，点Q的轨迹方程为10（y﹣2）2﹣3x2=18，其中x∈（﹣，），y∈（，2﹣）…13分21、【答案】（I）f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增（II）1（III）（﹣1﹣ln2，+∞）【解析】（I）当x＜0时，f（x）=（x+1）2+a，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增；当x＞0时，f（x）=lnx，在（0，+∞）单调递增．（II）∵x1＜x2＜0，∴f（x）=x2+2x+a，∴f′（x）=2x+2，∴函数f（x）在点A，B处的切线的斜率分别为f′（x1），f′（x2），∵函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，∴，∴（2x1+2）（2x2+2）=﹣1．∴2x1+2＜0，2x2+2＞0，∴=1，当且仅当﹣（2x1+2）=2x2+2=1，即，时等号成立．∴函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2﹣x1的最小值为1．（III）当x1＜x2＜0或0＜x1＜x2时，∵，故不成立，∴x1＜0＜x2．当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1）），处的切线方程为，即．当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为，即．函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合的充要条件是，由①及x1＜0＜x2可得﹣1＜x1＜0，由①②得=．∵函数，y=﹣ln（2x1+2）在区间（﹣1，0）上单调递减，∴a（x1）=在（﹣1，0）上单调递减，且x1→﹣1时，ln（2x1+2）→﹣∞，即﹣ln（2x1+2）→+∞，也即a（x1）→+∞．x1→0，a（x1）→﹣1﹣ln2．∴a的取值范围是（﹣1﹣ln2，+∞）．。
四川省2013届高中毕业班天府大联考12数学(理工农医类)试题及解析
4.执行如下图所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为 A. 105 B. 16 C. 15 D. 15.设直线1l ：(m+2)x+my+1=0；2l ：(m-2)x+(m+2)y-3=0，若21l l ，则实数m 为 A. 1 B.-2 C.1或-2 D. 1或27.右图茎叶图表示甲乙两人在5次综合测评中的成绩（成绩为整数）；则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是第II 卷（非选择题；共100分）注意事项：1.请用0.5mm 黑色签字笔在第II 卷答题卡上作答，不能答在此卷上。
2.试卷中横线及框内标有“△”的地方，是需要你在第II 卷答题卡上作答的内容或问题。
二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11.复数=-+ii i 21)2(____.12.若向量)1,(sin ),2,(cos αα=-=b a ，且b a ∥，则=-）π4tan(α_______.13.设O 为坐标原点，点N ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-00122034),x y x y x y x 满足不等式组（，则3的最大值为y x +14.双曲线)0,0.(1222>>=-b a by ax 的两个焦点为21,F F ,若P 为其上一点，且212PF PF =,则双曲线的离心率e 的取值范围是_____________.15.数列{}n a 前n 项和为n S ，如数列{}n a 的各项按如下规律排列：21，31，32，41，4243，51，52，53,54………n1…n2.....nn 1-,有如下运算结论：① 8324=a ；② 数列12345678910,,,,a a a a a a a a a a ++++++ 是等比数列；③ 数列12345678910,,,,a a a a a a a a a a ++++++ 的前n 项和为2;4n n n T +=④ 若存在正整数k ，使1510,10,.7k k k S S a +<≥=则其中正确的结论有 .三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-44π，π上的最小值和最大值．△17.(本题满分12分) 某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年 级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座。
2013年高考真题——数学理(四川卷)word版解析.doc
2013年普通高等学校招生全国统一考试四川卷理数第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设集合{|20}A x x=+=，集合2{|40}B x x=-=，则A B=（）（A）{2}-（B）{2}（C）{2,2}-（D）∅【答案】A．【解析】∵{2}A=-，{2,2}B=-，∴A∩B = {-2}，选A．2．如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是（）（A）A（B）B（C）C（D）D【答案】B．【解析】若z x yi=+（0,0x y<>），则z x yi=-，选B．3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）【答案】D．【解析】由俯视图可排除A 、B，由正视图可排除C，选D．4．设x Z∈，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题:,2p x A x B∀∈∈，则（）（A）:,2p x A x B⌝∃∈∉（B）:,2p x A x B⌝∀∉∉（C）:,2p x A x B⌝∃∉∈（D）:,2p x A x B⌝∃∈∈【答案】D．yxDBAOC【解析】本题考查命题的否定，将∀改为∃，将2x B ∈改为2x B ∉，选D ． 5．函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ） （A ）2,3π-（B ）2,6π-（C ）4,6π-（D ）4,3π【答案】A ． 【解析】由图可知，115212122T πππ=-=，2,2T T ππω===，又点5(,2)12π在图像上， 则5262k ππϕπ=++，又22ππϕ-<<，则3ϕπ=-，选A ．6．抛物线24y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是（ ）（A ）12 （B 3 （C ）1 （D 3【答案】B ．【解析】抛物线24y x =的焦点为(1,0)，则(1,0)30x y ±=的距离2||3(3103)d ±==+-B ． 7．函数331x x y =-的图象大致是（ ）【答案】C ．【解析】函数的定义域为{|0}x x ≠，排除A ；当0x <时，3031xx y =>-，排除B ； 11π125π122-2O yxyxy xy x。
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天府教育大联考6 2012年12月I 卷高中 2013 届毕业班综合滚动测试(三)数学（理工农医类）供题：高三数学命题研究小组 2012.11.12***一路风雨兼程磨砺意志，一载苦乐同享铸就辉煌。
愿高考中的你心随所愿！*** 注意事项：1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟． 2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上、考试结束，试题和答题卡一并收回．3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD ）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第Ⅰ卷（选择题，共60分）参考公式：球的表面积公式：S ＝4πR 2，其中R 是球的半径.如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率：P n （k ）＝C kn p k (1-p )n-k （k ＝0，1，2，…，n ）.如果事件A ．B 互斥，那么P （A +B ）＝P （A ）+P （B ）. 如果事件A ．B 相互独立，那么P （AB ）＝P （A ）·P （B ）.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．己知全集}5,4,3,2,1{=U ，}3,2,1{=A ，}4,3{=B ，则()U C A B ⋃=（ ）(A)}3{ (B)}5{ (C)}5,4,2,1{ (D) }4,3,2,1{3． 设函数3y x =与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是（ ）A ．(01)，B ．(12)，C ．(23)，D ．(34)，4．若等差数列{}n a 满足234a S +=，3512a S +=，则47a S +的值是 （ ）A ．20B ．36C ．24D ．729．若关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式02ax bx +>-的解集是（ ）A ．(,1)(2,)-∞-+∞B ．(1,2)-C ．(1,2)-D ．(,1)(2,)-∞+∞10．已知两点(3,0),(3,0)M N -，点P 为坐标平面内的动点，满足⋅+⋅||||＝0，则动点(,)P x y 到点(3,0)A -的距离的最小值为 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．611． 半径为4的球面上有A 、B 、C 、D 四点，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，则△ABC 、△ACD 、△ADB 面积之和ADB ACD ABC S S S ∆∆∆++的最大值为 （ ）A ．8B ．16C ．32D ．6412．在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意b a R b a *,,∈为唯一确定的实数，且具有性质： （1）对任意;**,,a b b a R b a =∈（2）对任意;0*,a a R a =∈（3）对任意.2)*()*()(**)*(,,c b c c a ab c c b a R b a -++=∈关于函数xx x f 21*)2()(=的性质，有如下说法：①函数)(x f 的最小值为3；②函数)(x f 为奇函数；③函数)(x f 的单调递增区间为),21(),21,(+∞--∞。
其中所有正确说法的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 15．如图，四边形ABCD 为矩形，3=AB ，1=BC ，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是 16．设函数c bx x x x f ++=)(，给出下列4个命题：①0,0>=c b 时，方程0)(=x f 只有一个实数根； ②0=c 时，)(x f y =是奇函数； ③)(x f y =的图象关于点),0(c 对称； ④函数()f x 至多有2个零点。
上述命题中的所有正确命题的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．———————————————————————————————18.（本小题共12分）在等差数列{}n a 中，31=a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11=b ，公比为q ，且1222=+S b ， 22b S q =． （Ⅰ）求n a 与n b ；（Ⅱ）设数列{}n c 满足nn S c 1=，求{}n c 的前n 项和n T19.（本小题满分12分）在一次国际比赛中，中国女排与俄罗斯女排以“五局三胜”制进行决赛，根据以往战况，中国排在每一局中赢的概率都是 0.6已知比赛中，俄罗斯女排先赢了第一局，求： （Ⅰ）中国女排在这种情况下取胜的概率；（Ⅱ）设比赛局数为ξ，求ξ的分布列及Eξ（均用分数作答）．20.（本小题满分12分）如图：正在海上A 处执行任务的渔政船甲和在B 处执行任务的渔政船乙，同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号，此时渔船丙在渔政船甲的南偏东40°方向距渔政船甲70km 的C 处，渔政船乙在渔政船甲的南偏西20°方向的B 处，两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置C 处沿直线AC 航行前去救援，渔政船乙仍留在B 处执行任务，渔政船甲航行30km 到达D 处时，收到新的指令另有重要任务必须执行，于是立即通知在B 处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙（渔政船乙沿直线BC 航行前去救援渔船丙），此时B 、D 两处相距2km ，问渔政船乙要航行多少距离才能到达渔船丙所在的位置C 处实施营救．21.（本小题共12分）已知函数)(x f y =的图象经过坐标原点，且}{,12)(n a x x f 数列-='的前).)((*N ∈=n n f S n n 项和（I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足33log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和。
（Ⅲ）设14732n n P a a a a -=++++，10121428n n Q a a a a +=++++，其中*n N ∈，试比较n P 与n Q 的大小，并证明你的结论.22．（本小题满分14分）已知函数2()(1)x f x x ax e =-+（a 为常数，e 为自然对数的底） （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若a ＝0，且经过点()()0,1P t t ≠有且只有一条直线与曲线()f x 相切，求t 的取值范围——————————————————————————————————————————天府教育大联考6 2012年12月I 卷高中 2013 届毕业班综合滚动测试(三)数学（理工农医类）参考答案供题：高三数学命题研究小组 2012.11.12 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只11．解析：C 。
根据题意可知，设AB =a ，AC =b ，AD =c ，则可知AB ，AC ，AD 为球的内接长方体的一个角。
故22264a b c ++=，而1()2ABC ACD ADB S S S ab ac bc ∆∆∆++=++ 2222222223242a b a c b c a b c +++++++≤==.评析：本题考查了利用构造法求球的直径、利用基本不等式求最值问题，考查了同学们综合解决交汇性问题的能力。
12． 解析：B 。
在（3）中，令c=0，则1()12,2a b ab a b f x x x*=++⇒=++容易知道①、②不正确，而211()20,22f x x x '=-=⇒=±易知函数)(x f 的单调递增区间为),21(),21,(+∞--∞，选B ．命题意图：本题是一个新定义运算型问题，考查了函数的最值、奇偶性、单调性等有关性质以及同学们类比运算解决问题的能力。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填写在题中相应的横线上．13、（－1,0〕U （1,＋∞）； 14、1/2； 15、5π/12； 16、①⑤15．解析：填31。
本题考查了几何摡型知识，如图， 连结AC 交弧DE 于P ，则tan 3CAB ∠==，所以030CAB ∠=，当直线AP 在CAB ∠内时AP 与BC 相交，所以概率P=00301903=16．解析：①②③。
本题考查了函数的零点、对称性、奇偶性等知识点，当0b =时,()0f x x x c =+=,，结合图形知0)(=x f 只有一个实数根，故①正确; 当0c =时，()f x x x bx =+,()()f x f x -=-,故()y f x =是奇函数，故 ②正确； ()y f x =的图象可由奇函数()f x x x bx =+向上或向下平移c 而得到，()y f x =的图像与y 轴交点为(0,)c ，故函数()y f x =的图像关于点(0,)c 对称，故③正确；；方程560x x x -+=有三个解6-、2、3，即三个零点，故④错误。
三、解答题：本大题共6小题，满分74分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17、解（1）由22sin cos 12622tan cot 225sin cos sin cos 2222B B B B B B B B ++===⋅⋅，得5sin 13B =34cos ,sin sin ,55A A B B =∴=>∴为锐角 12cos 13B ∴=， 5t a n12B ∴= （2）4123563sin sin()sin cos cos sin 51351365C A B A B A B =+=+=⨯+⨯=又529,,sin sin 7a c c a A C =∴==得 1152590sin 9227137ABC S ac B ∆∴==⨯⨯⨯=18.解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，因为⎪⎩⎪⎨⎧==+,,122222b S q S b 所以⎪⎩⎪⎨⎧+==++．，q d q d q 6126 解得 3=q 或4-=q （舍），3=d ．故b n =3n-133(1)3n a n n =+-=（Ⅱ）因为2)33(n n S n +=， 以n c =)111(32)33(21+-=+=n n n n S n ．北40°20°D渔船丙渔政船乙渔政船甲C BA 故=n T 211111212(1)()()(1)32231313(1)nn n n n ⎡⎤-+-++-=-=⎢⎥+++⎣⎦．19. 解：（1）中国女排取胜的情况有两种：一是中国女排连胜三局；二是中国女排在2到4局中赢两局，再赢第五局.所以中国女排取胜的概率为6252975352)53()53(2233=⋅⋅+C （2）254)52()3(2===ξP 12551)53(525352)4(312=+⋅⋅⋅==C P ξ 6252705352)53(52)53(52)5(223213=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==C C P ξ的分布列为：所以ξE =12562551254253=⨯+⨯+⨯。