双变量回归与相关
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第八讲 双变量相关与回归
32
第三节 直线回归——直线回归模型的检验
SS总 SS回归 SS剩余
总 回归 剩余
总 n 1
回归 1
剩余 n 2
F
MS回归 MS剩余
33
第三节 直线回归——直线回归模型的检验
（二）回归系数的假设检验 ：由于抽样误差的原 因，即使x、y的总体回归系数β 为零，其样本 回归系数b也不一定为零，因此需要进行是否为 零的假设检验。回归系数的假设检验常采用t检 验.
24
第三节 直线回归——应用条件
资料不满足这四个条件时，常用的处理方法有：修改 模型或者采用曲线拟合，也可变量转换。常用的变量 转换有对数转换、平方根转换、倒数转换等。变量转 换对自变量或（和）因变量均适宜；如果方差不齐， 可采用加权最小二乘法估计回归系数。
25
第三节 直线回归——一般步骤
1．绘制散点图，看有无直线趋势，有无异常点 有直线趋势无异常点方可考虑直线回归分析， 否则，查找异常点的缘故，剔除过失误差所致 的异常点，保留客观存在的异常点进行曲线回 归。 2．考察资料是否满足直线回归分析的条件 除线 性外，可通过残差分析结果来考察资料是否满 足其应用条件。 3．求回归系数b和常数项a ˆ a bX 4．写出回归方程,Y
23
第三节 直线回归——应用条件
3. 正态是指因变量值服从正态分布 即要求线性 模型的随机误差项ε服从正态分布。如果该条件 不成立，在正态分布假设下对总体回归系数的 假设检验和可信区间估计的结论均无效。可通 过专业知识、对变量进行正态性检验或利用残 差分析来考察这一条件是否满足。 4．等方差性是指对任意一组自变量x1、x2、„、xm 值，因变量y具有相同方差 如果该条件不成立， 总体回归系数的估计有偏性，可信区间估计及 假设检验的结论均无效。通常可利用（xi,yi） 散点图或残差分析判断等方差性。
第十章 两变量之间的关系的分析相关与回归
在统计方法中常用简单线性相关与简单线性回 归的方法来研究两变量之间的相互依存和互
为消长的线性关系。
例子
一、基本概念与计算
为直观地判断两个变量之间的关系，可在 直角坐标系中把每对（Xi,Yi）值所代表的 点绘出来，形成散点图。例如21名肝癌患 者血清胆固醇与三酰甘油关系的散点图如 下图所示：
(二) 等级相关系数的计算
例10.6 为了研究肝癌病人分期与血清甲 胎蛋白水平(AFP)之间的相关关系,某研 究人员收集了10例肝癌病人的数据,结果 见表10.9(数据集:例10 06.save)。问:肝癌 病人分期与血清AFP是否有相关关系?
二、SPSS软件实现
三、注意事项
1. 在判断两变量之间是否有线性相关关系时, 按照理论要求,当资料满足双变量正态分布时, 用Pearson相关系数r 表示两变量相关的方向 和密切程度。但在实际应用的过程中,资料满 足的要求有所降低,只要X 和Y 分别满足正态 分布,也可求Pearson相关系数。否则就用 Spearman等级相关系数进行分析,但后者是非 参统计,对数据信息有一定的损失。
一、区别
二、联系
1. 对一组数据若同时计算r 和b,它们的正负号 是一致的,r 为正,说明两变量间的相互关系是 同向变化的。b 为正,说明X 增加一个单位,Y 平均增加b 个单位。
2.r 和b 的假设检验是等价的,即对同一样本,二 者的t值相等。由于r 的假设检验既可直接查 表,计算又比较方便,而b 的假设检验计算较繁, 故在实际应用中常以r 的假设检验代替对II 型 回归模型中b 的假设检验。
第三节 秩 相 关
一、基本概念与计算 (一) 基本概念 两变量间的线性相关分析一般要求两变
量满足双变量正态分布。但实际资料有 时不能满足这些条件,如两变量:①不服从 双变量正态分布;
为消长的线性关系。
例子
一、基本概念与计算
为直观地判断两个变量之间的关系，可在 直角坐标系中把每对（Xi,Yi）值所代表的 点绘出来，形成散点图。例如21名肝癌患 者血清胆固醇与三酰甘油关系的散点图如 下图所示：
(二) 等级相关系数的计算
例10.6 为了研究肝癌病人分期与血清甲 胎蛋白水平(AFP)之间的相关关系,某研 究人员收集了10例肝癌病人的数据,结果 见表10.9(数据集:例10 06.save)。问:肝癌 病人分期与血清AFP是否有相关关系?
二、SPSS软件实现
三、注意事项
1. 在判断两变量之间是否有线性相关关系时, 按照理论要求,当资料满足双变量正态分布时, 用Pearson相关系数r 表示两变量相关的方向 和密切程度。但在实际应用的过程中,资料满 足的要求有所降低,只要X 和Y 分别满足正态 分布,也可求Pearson相关系数。否则就用 Spearman等级相关系数进行分析,但后者是非 参统计,对数据信息有一定的损失。
一、区别
二、联系
1. 对一组数据若同时计算r 和b,它们的正负号 是一致的,r 为正,说明两变量间的相互关系是 同向变化的。b 为正,说明X 增加一个单位,Y 平均增加b 个单位。
2.r 和b 的假设检验是等价的,即对同一样本,二 者的t值相等。由于r 的假设检验既可直接查 表,计算又比较方便,而b 的假设检验计算较繁, 故在实际应用中常以r 的假设检验代替对II 型 回归模型中b 的假设检验。
第三节 秩 相 关
一、基本概念与计算 (一) 基本概念 两变量间的线性相关分析一般要求两变
量满足双变量正态分布。但实际资料有 时不能满足这些条件,如两变量:①不服从 双变量正态分布;
中国医科大学研究生医学统计学 第七讲 双变量回归与相关2
2. 相关系数的计算
r rXY
2
( X X )(Y Y ) ( X X ) (Y Y )
i i
2
l XY l XX .lYY
( X )( Y ) n
其中
l XY
( X X )(Y Y ) XY
2 ( X X ) 2 X
五、相关分析应用中应注意的问题 1.相关分析要求两个变量是服从双变量正 态分布的资料。 2.进行相关分析前应先绘制散点图，散点 图呈现出直线趋势时，再作分析。
3. 满足应用条件的同一份双变量资料 ，回归系数与相关系数的正负号一 致，假设检验等价。 4. 相关分析时，小样本资料经 t-test 只能推断两变量间有无直线关系， 而不能推断其相关的密切程度。要 推断其相关的密切程度样本含量必 须足够大。
l XX
( X ) 2 n
(n 1)S x
2
lYY (Y Y ) Y
2 2
( Y ) n
2
(n 1) S
2 y
3.相关系数的性质 相关系数r没有测量单位，其数值为 -1≤r≤+1。 r值为正，表示正相关； r值为负，表示负相关； r值为0，则称零相关即无直线关系。 当r值的绝对值为1时，称完全相关。
y 33.73 0.516x
X 68
Y 69
E (Y 72) Y X 72 71
E (Y 64) Y X 64 67
二、线性回归基本概念 当一个变量X 改变时，另一个变量Y 也 相应地改变，此时称X为自变量 (independent variable), Y 为应变量 (dependent variable)。 自变量X：可随机变动亦可人为取值。 因（应）变量Y：被视为依赖于X 而变化的 反应变量。在X 的数值确定时按某种规律 随机变动。
spss 双变量回归与相关ppt课件
Independent Method
Selection Variable
Case Labels WLS Weight
定义回归分析的应变量，只能选一个。在左侧框内单击应变量 名，其前面的小三角符号变成黑色（即被激活），单击选入 定义回归分析的自变量。用法同上 选择自变量的入选方式，默认的是 Enter(即强行进入法)。本 章自变量只有一个，就选择 Enter 法 当只分析某变量符合一定条件的记录时，选入该变量，并用右 侧的 Rule 键建立选择条件。它和我们在分析前利用 Data 菜单中 Select Case 选择记录的功能是一样的 选择一个变量，它的取值将作为每条记录的标签 进行加权最小二乘法的回归分析
Unstandardized
原始残差
Standardized
标准化后的残差，均数为 0，标准差为 1
Studentized Delected
Studentized Delected Prediction Intervals Mean Individual Confidence Interval:
SPSS双变量回归与相关
河北医科大学公共卫生学院 卫生统计学教研组
内容
1
直线回归
2
直线相关与秩相关
3
曲线拟合
2020年6月1日星期一1时20分50秒
（一）直线回归
例1 某地方病研究所调查了8名正常儿童的尿肌酐含量（mmol/24h）如表
1。估计尿肌酐含量（Y）对其年龄（X）的回归方程。
表1 8名正常儿童的年龄（岁）与尿肌酐含量（mmol/24h）
列出 7 个变量名 因变量 标准化残差 调节预测值 学生化剔除残差 标准化预测值 剔除残差 学生化残差 绘制散点图 上一组坐标的变量名 下一组坐标的变量名 输入变量名，作为图形的 X 轴 输入变量名，作为图形的 Y 轴 绘制标准残差图 直方图 正态 P-P 图 绘制出模型中每一个自变量与应变量残差的散点图
Selection Variable
Case Labels WLS Weight
定义回归分析的应变量，只能选一个。在左侧框内单击应变量 名，其前面的小三角符号变成黑色（即被激活），单击选入 定义回归分析的自变量。用法同上 选择自变量的入选方式，默认的是 Enter(即强行进入法)。本 章自变量只有一个，就选择 Enter 法 当只分析某变量符合一定条件的记录时，选入该变量，并用右 侧的 Rule 键建立选择条件。它和我们在分析前利用 Data 菜单中 Select Case 选择记录的功能是一样的 选择一个变量，它的取值将作为每条记录的标签 进行加权最小二乘法的回归分析
Unstandardized
原始残差
Standardized
标准化后的残差，均数为 0，标准差为 1
Studentized Delected
Studentized Delected Prediction Intervals Mean Individual Confidence Interval:
SPSS双变量回归与相关
河北医科大学公共卫生学院 卫生统计学教研组
内容
1
直线回归
2
直线相关与秩相关
3
曲线拟合
2020年6月1日星期一1时20分50秒
（一）直线回归
例1 某地方病研究所调查了8名正常儿童的尿肌酐含量（mmol/24h）如表
1。估计尿肌酐含量（Y）对其年龄（X）的回归方程。
表1 8名正常儿童的年龄（岁）与尿肌酐含量（mmol/24h）
列出 7 个变量名 因变量 标准化残差 调节预测值 学生化剔除残差 标准化预测值 剔除残差 学生化残差 绘制散点图 上一组坐标的变量名 下一组坐标的变量名 输入变量名，作为图形的 X 轴 输入变量名，作为图形的 Y 轴 绘制标准残差图 直方图 正态 P-P 图 绘制出模型中每一个自变量与应变量残差的散点图
第11章 两变量间相关与回归分析
=n-2=10-2=8，查附表 2,得 P<0.01，按α = 0.05 水准拒绝 H0，
接受 H1，可认为三岁儿童体表面积与体重间存在直线相关关系。
四、相关分析中应注意的问题
（1） 进行相关分析的资料应有实际意义。 （2）相关系数的计算适用双变量正态分布资料 （3） 进行相关分析前应先绘制散点图。
SStotal
计算公式
r
X x Y y X x Y y
2
2
lXYΒιβλιοθήκη lXX lYY2lXX = X－x =
2
X X－
2
2
lYY = Y－y =
2
Y Y－
2
n
lXY = X－x Y－y = XY－
第十一章 两变量间相关与回归分析
对一个变量的每个可能取值，另一个变量 都有完全确定的值与之对应，则称这两个变量 之间的关系呈现函数关系，称确定性关系。若 两变量之间确实存在着某种关系，但这种关系 不是一一对应的函数关系，称非确定性关系。
第一节 直线相关
一、直线相关的概念 描述两个变量相互关系最简单的统计方法 就是直线相关分析：两个变量是否有直线相关 关系?如果有直线相关关系，那么它们之间的 关系是正相关还是负相关? 相关程度如何？
计算步骤如下：
1、绘制散点图：
0.66 0.64 0.62 0.60 0.58 0.56 0.54 0.52 11 12 13 14 15 16
Y
X
2、相关系数的计算
lXX ( X x )2 X 2 ( X ) 2 n 134.42 1831.24 24.904 10
散点图
图11-1 两变量相关关系示意图
双变量回归与相关48页PPT
ENDΒιβλιοθήκη 双变量回归与相关41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
第7章双变量相关与回归
υ = n -2
相关关系密切程度的判断
一般说来，当样本量较大（n>100），并对r
进行假设检验，有统计学意义时（即 P < α ） ，
r 绝对值越大，说明两个变量之间关联程度越强。
低度相关 r < 0.4
中度相关 0.4 ≤ r < 0.7
高度相关 r ≥0.7
【例1】11名糖尿病患者的血清总胆固醇含量 ( minol/L)与空腹血糖(mmol/L)的测量值如下， 试进行直线相关分析。
➢ 假设检验方法:
❖ t 检验 ❖ 方差分析 ❖ r 检验代替
❖ t 检验
b -0 t=
Sb
Sb
=
SY .X l XX
∑ SY .X =
(Y -Yˆ )2 =
SS 残
n -2
n -2
,υ = n - 2
Байду номын сангаас
其中: Sb 为回归系数 b 的标准误 SY.X 为剩余标准差，反映扣除了X 的影响后Y 的变异
正相关 负相关 无关（零相关） 非线性相关
正相关：一种现象的数值伴随另一种现象的数值的 增加而递增。 若X 、Y呈正比，那么散点基本上在一直线 上，称为完全正相关。
负相关： 一种现象的数值伴随另一种现象的数值的增 加而递减。 若X、Y呈反比，那么散点基本上在一直线 上，称为完全负相关。
像样本均数不一定恰好等于总体均数一样，求 得样本回归系数 b 以后，利用上述对回归系数 t 检验的公式，可以较为容易的得到总体回归系数 β的 1-α 双侧可信区间为：
其中: Sb 为回归系数 b 的标准误
【例3】11名糖尿病患者的血清总胆固醇含量 ( minol/L)与空腹血糖(mmol/L)的测量值如下， 试进行直线回归分析。
spss双变量回归与相关.ppt
制作：王立芹 2020年4月21日星期二10时44分14秒
制作：王立芹 2020年4月21日星期二10时44分14秒
制作：王立芹 2020年4月21日星期二10时44分14秒
制作：王立芹
Model Summ aryb
结果如下：
Model 1
R
R Square
.864a
.746
a. Predictors : (Constant), 身 高
b. Dependent Variable: 体 重
A djuste d R Square
.732
Std. Error of the Estimate
3.Regression
Sum of Squares 697.146
Residual
236.854
Total
934.000
2020年4月21日星期二10时44分15秒
制作：王立芹 2020年4月21日星期二10时44分15秒
制作：王立芹
hCBF
60 50 40 30 20
0
10
20
30
40
50
P TBF
2020年4月21日星期二10时44分15秒
制作：王立芹 2020年4月21日星期二10时44分15秒
制作：王立芹
制作：王立芹 2020年4月21日星期二10时44分15秒
制作：王立芹
（二）直线相关与秩相关
17.00
16.00
凝 血
15.00
时 间
14.00
13.00 0.80
0.90
1.00
1.10
1.20
凝血酶浓度
2020年4月21日星期二10时44分15秒
第9章 双变量回归与相关 PPT课件
n
8
Y Y 23.87 2.9838
n
8
lXX
X2 (
X )2
(76)2
764
42
n
8
lYY
Y 2 ( Y )2 72.2683 (23.87)2 1.0462
n
8
lXY XY
( X )(Y ) n
232 .61 (76)(23.87) 8
5.8450
2.求回归系数b和截距a
0.8134
SS总 SS回 SS残
SS残 SS总 SS回 1.0462 0.8134 0.2328
列出方差分析表如表9 2。
变异来源
自由度 SS
MS
F
P
总变异
7
回归
1
残差
6
1.0462 0.8134 0.2328
0.8134 0.0388
20.97 <0.01
假设检验2
t 检验：H0 : β = 0 , H1 : β ≠ 0
例 9-3 根据例9-1中所得b=0.1392，估计 其总体回归系数的双侧95%可信区间。
由例9 2已算得Sb 0.0304 ,按自由度 6,查t界值表, 得到t0.05/2,6 2.447 ,按公式(9 13)计算的95%可信区间 依b t / 2, Sb有 :
(0.1392 2.4470.0304,0.1392 2.4470.0304)
年龄X
13 11 9 6 8 10 12 7
尿肌酐含量Y 3.54 3.01 3.09 2.48 2.56 3.36 3.18 2.65
由原始数据及散点图的观察，两变量间呈直线趋势，故 作下列计算：
1.计算X、Y的均数X、Y，离均差平方和 lXX、lYY与离均差积和 lXY
spss双变量回归和相关课件-PPT精选文档
*
制作：王立芹
*
制作：王立芹
操作提示 左侧列表框 DEPENDNT ZRESID ADJPRED SDRESID ZPRED DRESID SRESID Scatter Previous Next X Y Standardized Residual Plots Histogram Normal probability Produces all partial plots 列出 7 个变量名 因变量 标准化残差 调节预测值 学生化剔除残差 标准化预测值 剔除残差 学生化残差 绘制散点图 上一组坐标的变量名 下一组坐标的变量名 输入变量名，作为图形的 X 轴 输入变量名，作为图形的 Y 轴 绘制标准残差图 直方图 正态 P-P 图 绘制出模型中每一个自变量与应变量残差的散点图
SPSS双变量回归与相关
Hale Waihona Puke 河北医科大学公共卫生学院 流行病与卫生统计教研室
制作：王立芹
内容
1 2
直线回归
直线相关与秩相关
曲线拟合
3
*
制作：王立芹
（一）直线回归
例9-1 某地方病研究所调查了8名正常儿童的尿肌酐含量 （mmol/24h）如表9-1。估计尿肌酐含量（Y）对其年龄 （X）的回归方程。
表9-1 8名正常儿童的年龄（岁）与尿肌酐含量（mmol/24h） 编号 1 2 3 4 5 年龄X 13 11 9 6 8 尿肌酐含量 3.5 3.0 3.0 2.4 2.5 Y 4 1 9 8 6 1.建立数据文件 取两个变量：X变量（本例为“年龄”）、 Y变量（本例为“尿肌酐含量”） 6 10 3.3 6 7 12 3.1 8 8 7 2.6 5
*
制作：王立芹
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a Y bX
因为直线一定经过“均数” 点
2018年5月7日10时12分
散点图
3.8 3.6 3.4 3.2 3 2.8 2.6 2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5
X
¨mmol/24h)Y ¿ £ ¬ Á û º ¡ ô ò ¼ Ä
2018年5月7日10时12分
再看公式：
2 2 2 ˆ ˆ ( Y Y ) ＝ ( Y Y ) － ( Y Y )
SS剩 SS总＝lYY
SS总
－
SS回
2 l XY SS回＝ bl XY b 2l XX l XX
SS剩
l ˆ Y Y ＝lYY l XX
可以用 X 解释的部分。SS 回越大，回归效果越好。
1
2018年5月7日10时12分
F
SS回 回 SS 剩 剩
MS回 MS 剩
；回
1， 剩 n 2
统计量 F 服从自由度为 回、 剩 的 F 分布。 例 9-2 检验例 9-1 数据得到的直线回归方程是否成立?
ˆ ) 2 (Y Y ˆ ) 2 Y a bX 2 Q (Y Y i i i i
i 1 i 1
n
n
( X X )(Y Y ) XY X Y / n l XY b 2 2 2 ( X X ) l XX X X / n
第九章
双变量回归与相关
2 0 0 8 级 研究生
2018年5月7日10时12分
2018年5月7日10时12分
变量间关系问题：年龄 - 血压、肺活量 - 体 重、糖尿病人血糖与胰岛素水平等。
两个关系： 依存关系：应变量(dependent variable)Y随 自变量(independent variable)X变化而变 化。—— 回归分析 互依关系：应变量Y与自变量X间的彼此关 系——相关分析
2018年5月7日10时12分
主要内容
第一节 第二节 直线回归 直线相关
第三节
第六节
秩相关
曲线拟合
2018年5月7日10时12分
实 例
例9-1 某地方病研究所调查了8名正常儿童的尿肌酐含量（mmol/24h）如 表9-1。估计尿肌酐含量（Y）对其年龄（X）的回归方程。 表9-1 8名正常儿童的年龄（岁）与尿肌酐含量（mmol/24h） 编 号 1 2 3 4 5 6 7 8 年 龄X 13 11 9 6 8 10 12 7 尿肌酐含量Y 3.54 3.01 3.09 2.48 2.56 3.36 3.18 2.65 X: 自 变 量 (independent variable) ； 通 常 也 称 为 “ 解 释 变 量”(explanatory variable) 如果只有一个自变量，称简单回归（simple regression）； 如果有多个自变量，称多元回归(multiple regression) Y: 因变量(dependent variable)；通常也称为“反应变量”(response variabl
ˆ )剩余部分 (Y Y
总情况(Y Y )
ˆ Y )回归部分 (Y
Y
ˆ Y ˆ Y Y Y Y Y
X
2018年5月7日10时12分
Y的离均差平方和的分解
ˆ ) (Y ˆ Y ) (Y Y ) (Y Y ˆ )(Y ˆ Y ) 0, 等式两边平方后再求和,因为2(Y Y 所以有 : 2 2 2 ˆ ˆ ( Y Y ) ( Y Y ) ( Y Y ) 即SS总 SS剩 SS回 同样有： 总＝ 剩＋ 回
2
2018年5月7日10时12分
2 XY
SS剩＝
编号 年龄X
ˆ Y Y
2
SS总 SS回 lYY b2l XX
Y2
169 12.5316
尿肌酐Y
X2
121
81 36
XY
46.02
SS总 lYY 72.2683 23.872 / 8 1.0462
1
13
3.54
b
l XY XY X Y / n 2 l XX X 2 X / n
X2
169 121 81 36 64 100 144 49 764
Y2
12.5316 9.0601 9.5481 6.1504 6.5536 11.2896 10.1124 7.0225 72.2683 Y 2
Y
X
¼ 9-1¡ Í ¡ 8Ã û ¶ ù Í ¯ µ Ä Ä ê Á ä Ó ë Æ ä Ä ò ¼ ¡ ô û º ¬ Á ¿ É ¢ µ ã Í ¼
6 7 8 ê Á Ä ä £ ¨Ë ê © £ X
9
10 11 12
13 14
2018年5月7日10时12分
回归参数的计算
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 合计 X 年龄X 13 11 9 6 8 10 12 7 76 尿肌酐Y 3.54 3.01 3.09 2.48 2.56 3.36 3.18 2.65 23.87 Y X2
2018年5月7日10时12分
散点图
3.6
¨mmol/24h)Y ¿ £ ¬ Á û º ¡ ô ò ¼ Ä
3.4 3.2 3 2.8 2.6 2.4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ê Á Ä ä £ ¨ê Ë £ © X
¼ 9-1¡ Í ¡ 8Ã û ¶ ù Í ¯ µ Ä Ä ê Á ä Ó ë Æ ä Ä ò ¼ ¡ ô û º ¬ Á ¿ É ¢ µ ã Í ¼
2018年5月7日10时12分
3.6
3.4
尿肌酐含量（mmol/24h)Y
3.2
3
2.8
2.6
2.4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
年龄（岁）X
图9-1 8名儿童的年龄与其尿肌酐含量散点图
2018年5月7日10时12分
3.6
3.4
尿肌酐含量（mmol/24h)Y
3.2
3
2.8
2.6
ˆ 1.6617 0.1392 X 例9 1资料的回归方程：Y
2018年5月7日10时12分
直线回归的条件(LINE)
1.散点图呈直线趋势(Linear) 2.各次观察相互独立(Independent) 3.每个X对应的Y的总体为正态分布(Normal distribution) 4.各个正态分布的总体方差相等(Equal Variance)
2
2
2 X X b lXX 2
2018年5月7日10时12分
几个平方和的意义
Y 的离均差平方和(total sum of squares)， SS 总＝ (Y Y )2 ，
Y 的回归关系时 Y 的总变异。 未考虑 X 与
n 1
ˆ)2 ，为剩余平方和(residual sum of squares)， SS 剩＝ (Y Y
X 对Y 的线性影响之外的一切因素对 Y 的变异，即总变异中，
无法用 X 解释的部分。SS 剩越小，回归效果越好。 n 2
ˆ Y )2 ，为回归平方和(regression sum of squares)， SS 回＝ (Y
Y 变异减小的部分,即总变异中， 由于 X 与Y 的直线关系而使
2
3 4
11
9 6
3.01
3.09 2.48
9.0601
9.5481 6.1504
33.11
27.81 14.88
5
6 7
8
10 12
2.56
3.36 3.18
64
100 144
6.5536
11.2896 10.1124
20.48
年龄和血压的关系，年龄与尿肌酐的关系. 目的：建立直线回归方程 ( linear regression equation)
2018年5月7日10时12分
直线回归方程一般表达式：
ˆ a bX Y
a：截距(intercept)，直线与Y轴交点的纵坐标。
b：斜率(slope)，回归系数(regression coefficient)。 意义：X每改变一个单位，Y平均改变的单位数。 b>0，Y随X的增大而增大（减少而减少）—— 斜上； b<0，Y随X的增大而减小（减少而增加）—— 斜下； —— 水平。 b=0，Y与X无直线关系 ｜b｜越大，表示Y随X变化越快，直线越陡峭。
2.4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
年龄（岁）X
图9-1 8名儿童的年龄与其尿肌酐含量散点图
2018年5月7日10时12分
二、直线回归方程的求法
最小二乘法原则 (least square method) ：使各散点到直线 ˆ 2最小。 的纵向距离（残差或剩余值）的平方和最小。即使 Y Y
α ＝0.05 解：1. 建立假设并确定检验水准。 H0:β＝0；H1:β≠0；
2. 计算检验统计量 F 方差分析表 变异来源 总变异 回归 剩余
SS
DF MS
F
P值
1.0462 7 0.8134 1 0.2328 6
0.8134 20.97 <0.01 0.0388
α ＝0.05 水准拒绝 Ho，… 3. 确定 P 值下结论。本例 P<0.01，按
b≠0原因：① 由于抽样误差引起，总体回归系数β=0
② 存在回归关系，总体回归系数β ≠0
2018年5月7日10时12分
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