双变量回归与相关分析;
双变量线性回归分析结果的报告以及案例
数据清洗
处理缺失值、异常值和重复数据，确保数据质 量。
数据探索
初步分析数据，了解变量之间的关系和分布情况。
模型建立
确定变量
选择与响应变量相关的预测变量，并考虑变量的 多重共线性。
建立模型
使用最小二乘法或其他优化算法拟合线性回归模 型。
模型诊断
检查模型的残差图、散点图等，确保模型满足线 性回归的前提假设。
卧室数量与房价之间存 在正相关关系，但影响 较小。
地理位置对房价有显著 影响，靠近市中心的房 屋价格更高。
周边设施对房价有积极 影响，特别是学校和公 园等设施。
05 双变量线性回归分析的未 来研究方向
深度学习与线性回归的结合
01
深度学习技术可以用于特征提 取，将原始数据转化为更高级 别的特征表示，然后利用线性 回归模型进行预测。
双变量线性回归分析结果的报告以 及案例
目录
• 双变量线性回归分析概述 • 线性回归分析的步骤 • 双变量线性回归分析的案例 • 线性回归分析的局限性 • 双变量线性回归分析的未来研究方向
01 双变量线性回归分析概述
定义与原理
双变量线性回归分析是一种统计学方法，用于研究两个变量之间的线性关系。通 过最小二乘法等数学手段，找到一条最佳拟合直线，使得因变量能够根据自变量 进行预测。
线性回归分析假设因变量和自变 量之间存在线性关系，但在实际 应用中，非线性关系可能更为常 见。
独立性假设
自变量之间应相互独立，但在实 际数据中，自变量之间可能存在 多重共线性，影响回归结果的准 确性。
无异常值和缺失值
假设
数据集中不应含有异常值和缺失 值，否则会影响回归模型的稳定 性和准确性。
模型泛化能力
资料的统计分析——双变量及多变量分析
资料的统计分析——双变量及多变量分析双变量及多变量分析是指在统计分析中，同时考察两个或多个变量之间的关系。
通过对多个变量进行综合分析，可以更全面地了解变量之间的相互作用和影响。
双变量分析是指考察两个变量之间的关系，常用的方法包括相关分析和回归分析。
相关分析是用来评价两个变量之间的线性关系的强度和方向。
常用的相关系数有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
皮尔逊相关系数适用于两个变量都为连续型变量的情况，而斯皮尔曼相关系数适用于至少一个变量为有序分类变量或者两个变量都为有序分类变量的情况。
回归分析是用来探究一个变量（因变量）与一个或多个变量（自变量）之间的关系的强度和方向。
常用的回归分析方法有简单线性回归分析和多元线性回归分析。
简单线性回归分析是用来研究一个自变量与一个因变量之间的线性关系的情况，而多元线性回归分析则可以同时研究多个自变量与一个因变量之间的关系。
在进行双变量分析之前，需要先进行数据的描述性分析。
描述性分析是对数据的基本特征进行总结和描述，包括样本数量、均值、方差、最小值、最大值等。
多变量分析是指同时考虑多个变量之间的关系。
常用的方法包括多元方差分析、聚类分析和因子分析。
多元方差分析是用来比较多个因素对于一个或多个因变量的影响的强度和方向。
聚类分析是用来将样本按照其中一种相似度划分为不同的群组，从而研究变量之间的内部关系。
因子分析是用来探究多个变量之间的潜在结构，从而找出变量之间的共性和差异。
除了以上方法，还可以采用交叉表分析、卡方检验和回归分析等方法来研究多个变量之间的关系。
在进行双变量及多变量分析时，需要注意以下几个问题：首先，需要选择合适的统计方法，根据变量的类型和变量之间的关系特点来选择合适的分析方法。
其次，需要注意变量之间的相关性，避免多重共线性的问题。
此外，还需要注意样本的选择和样本量的大小，以及结果的解释和推断的注意事项。
总之，双变量及多变量分析是一种重要的统计方法，可以帮助我们更全面地了解变量之间的相互作用和影响。
中国医科大学研究生医学统计学 第七讲 双变量回归与相关2
2. 相关系数的计算
r rXY
2
( X X )(Y Y ) ( X X ) (Y Y )
i i
2
l XY l XX .lYY
( X )( Y ) n
其中
l XY
( X X )(Y Y ) XY
2 ( X X ) 2 X
五、相关分析应用中应注意的问题 1.相关分析要求两个变量是服从双变量正 态分布的资料。 2.进行相关分析前应先绘制散点图，散点 图呈现出直线趋势时，再作分析。
3. 满足应用条件的同一份双变量资料 ，回归系数与相关系数的正负号一 致，假设检验等价。 4. 相关分析时，小样本资料经 t-test 只能推断两变量间有无直线关系， 而不能推断其相关的密切程度。要 推断其相关的密切程度样本含量必 须足够大。
l XX
( X ) 2 n
(n 1)S x
2
lYY (Y Y ) Y
2 2
( Y ) n
2
(n 1) S
2 y
3.相关系数的性质 相关系数r没有测量单位，其数值为 -1≤r≤+1。 r值为正，表示正相关； r值为负，表示负相关； r值为0，则称零相关即无直线关系。 当r值的绝对值为1时，称完全相关。
y 33.73 0.516x
X 68
Y 69
E (Y 72) Y X 72 71
E (Y 64) Y X 64 67
二、线性回归基本概念 当一个变量X 改变时，另一个变量Y 也 相应地改变，此时称X为自变量 (independent variable), Y 为应变量 (dependent variable)。 自变量X：可随机变动亦可人为取值。 因（应）变量Y：被视为依赖于X 而变化的 反应变量。在X 的数值确定时按某种规律 随机变动。
9 第九章 回归与相关
估计。
一）、加权最小二乘估计 假定各观测值的权重为Wi，求解回归方 程就要使得以下加权后的残差平方和最小
ss残W Wi Yi aw bw X
2
bw
aW
WX WY WXY W l l WX WX W WY b WX Y b W
二、直线回归方程的求法 直线方程为： a为Y轴上的截距；b为斜率，表示X 每改变一个单位，Y的变化的值，称为回 归系数； 表示在X值处Y的总体均数 估计值。为求a和b两系数，根据数学上 的最小二乘法原理，可导出a和b的算式 如下：
例9-1 某地方病研究所调查了8名正常 儿童的尿肌酐含量（mmol/24h）如表91。估计尿肌酐含量（Y）对其年龄（X） 的关系。
表14，rs界值表，P<0.01,故可认为当地居 民死因的构成和各种死因导致的潜在工作损 失年数WYPLL的构成呈正相关。 二、相同秩次较多时rs的校正 当X及Y中，相同秩次个数多时，宜用下式校 正
第四节
加权直线回归
在一些情况下，根据专业知识考虑 并结合实际数据，某些观察值对于估计 回归方程显得更“重要”，而有些不 “重要”，此时可以采用加权最小二乘
lYY的分析 如图9－4，p点的纵坐标被回归直线与均数 截成三个线段：
图9－4
平方和划分示意图
第一段 第二段
第三段
上述三段代数和为：
移项：
p点是散点图中任取一点，将所有的点子都
按上法处理，并将等式两端平方后再求和，
则有：
它们各自的自由度分别为： 可计算统计量F：
SS回 SS 残
2
F
回 残
表9-3某省1995年到1999年居民死因构成与WYPLL构成
4- 09双变量回归与相关-直线相关
直线相关一、直线相关的概念直线相关(linear correlation)又称简单相关(simple correlation)，用于双变量正态分布(bivariate normal distribution)资料。
其性质可由图9-6散点图直观的说明。
研究两个变量X,Y数量上的相关关系。
目的1. 意义：相关系数（correlation coefficient）又称Pearson积差相关系数，用来说明具有直线关系的两变量间相关的密切程度与相关方向。
以符号r表示样本相关系数，符号 表示其总体相关系数。
相关系数没有单位，其值为-1≤r≤1。
r值为正表示正相关，r值为负表示负相关，r的绝对值等于1为完全相关，r=0为零相关。
图9-6直线相关示意图2. 计算：样本相关系数的计算公式为22()()()()XY XX YY X X Y Y l r l l X X Y Y --==--∑∑∑（9-18）例9-5 对例9-1数据（见表9-1），计算8名儿童的尿肌酐含量与其年龄的相关系数。
由例9-1算得，42XX l =， 1.046YY l =， 5.845XY l =按公式（9-18）5.8450.881842 1.046r ==（一）相关系数的假设检验20, 212r r r t n S rn ν-===---（9-19）例9-6 对例9-5所得r 值，检验尿肌酐含量与年龄是否有直线相关关系？检验步骤0H : 0ρ=，1H : 0ρ≠，α=0.05本例n =8，r =0.8818，按公式（9-19）20.88184.57910.881882t ==--按ν＝6，查t 界值表，得0.0020.005P <<。
按0.05α=水准拒绝0H ，接受1H ，可以认为尿肌酐含量与年龄之间有正的直线相关关系。
若直接查r 界值表(附表13)，结论相同。
（二）总体相关系数的可信区间由于相关系数的抽样分布在ρ不等于零时呈偏态分布（大样本情况下亦如此），所以ρ的可信区间需要先将其进行某种变量变换，使之服从正态分布，然后再估计其可信区间。
第6讲相关分析与回归分析
第6讲 相关分析与回归分析
一、引 言
在很多研究领域中，往往需要研 究事物间的关系。如收入与受教育程 度，子女身高与父母身高，商品销售 额与广告费用支出，农作物产量与施 肥量，上述两者间有关系吗？如果有 关系，又是怎么样的关系呢？如何来 度量这种关系的强弱？
解决上述问题的统计方法是相关
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分析和回归分析。 相关分析和回归分析的共同点是
都可推断两个变量间的统计相关性。 但两者的区别是明显的，主要表现在: 1. 变量地位
在相关分析中，两个变量地位是 对等的；但在回归分析中，一个变量 是因变量，其余的变量均为自变量。
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2. 变量类型 相关分析中的两个变量均为随机
Galton称这种现象为“回归”。 为了纪念Galton，后人将研究两变量 间统计关系的方法称为回归分析。
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回归分析包括的内容甚广。本讲 仅介绍下列基本内容：
线性回归多一元元线线性性回回归归
回归分析 回归诊断 回假归设效合果理的性检的验判断
回归变量的选择
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验。 同理，若将应聘者分数做为指标,
5个考官打分可视为5次重复试验(这 需要假设考官的打分客观，基本无偏 差)，则第3问也可使用方差分析。
考虑到题目和问题的特点，本题 用距离分析更为合理。因为方差分析 比较的是均值，而两组很不一致的分
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数的均值却可能相差不大。 分别对5个变量(列)做相似性分
由于相关系数是用样本计算得到 的，带有一定的随机性，所以用样本 相关性估计总体相关性的可信度需要 检验。
第九章双变量线性回归与相关
1 ( X X )2 SYˆ SY .X n ( X X )2
当X
X时，SYˆ
SY X n
Syˆ 是 Yˆ 的标准误。
例 计算当X0=150时， yˆ 95%可信区间。 yˆ 的95%可信区间为：
（46.52, 51.75）Kg
其含义是：当身高为150cm时，15岁男童的体重
的总体均数为49.135kg（点值估计），95%可信区 间为：（46.52, 51.75）Kg （区间估计）。
男性：身高(cm)-105＝标准体重(kg) 女性：身高(cm)-100＝标准体重(kg)
北方人理想体重＝(身高cm-150)×0.6+50(kg) 南方人理想体重＝(身高cm-150)×0.6+48(kg)
回归与相关是研究变量之间相互关系的统计分 析方法，它是一类双变量或多变量统计分析方法 （本章主要介绍双变量分析方法），在实际之中有 着广泛的应用。
如年龄与体重、年龄与血压、身高与体重、体 重与肺活量、体重与体表面积、毒物剂量与动物死 亡率、污染物浓度与污染源距离等都要运用回归与 相关方法对资料进行统计分析。
变量之间的关系： （１）直线关系（线性 关系）； （２）曲线关系（非线 性关系）。 在回归与相关分析中， 直线回归与相关是最简单 的一种，是本章主要内容。
变量间的关系 函数关系： 确定的关系。 例如园周长与半径：y=2πr 。
回归关系：不确定的关系（随机的关系）。 例如血压和年龄的关系，称为直线 回归 (linear regression)。
北方人理想体重＝(身高cm-150)×0.6+50(kg)
变量间的回归关系 由于生物间存在变异，故两相关变量之间的关 系具有某种不确定性，如同性别、同年龄的人，其 肺活量与体重有关，肺活量随体重的增加而增加， 但体重相同的人其肺活量并不一定相等。因此，散 点呈直线趋势，但并不是所有的散点均在同一条直 线上，肺活量与体重的关系与严格对应的函数关系 不同，它们之间是一种回归关系，称直线回归。这 种关系是用直线回归方程来定量描述。
双变量相关性分析方法
双变量相关性分析方法
双变量相关性分析方法是一种通过检验两个变量之间的相关性，来研究它们之间是否存在某种关联关系的统计方法。
它可以帮助我们了解两个变量之间的关系密切程度，从而对变量进行评估和预测。
双变量相关性分析的常用方法有：
1. 相关系数：相关系数是衡量变量之间关系强弱的指标，它是一个介于-1到+1之间的数字，当相关系数等于0时表明两个变量之间没有任何相关性，当相关系数大于0时表明两个变量之间存在正相关，当相关系数小于0时表明两个变量之间存在负相关。
2. 回归分析：回归分析是一种用来预测一个变量随另一变量变化情况的方法，它可以用来研究变量之间的关系及影响程度。
3. 卡方检验：卡方检验是一种用来检验两个变量之间关系的方法，它可以用来比较不同变量之间的关联情况，从而得出两个变量之间的相关度。
4. t检验：t检验是一种用来检验某一组数据是否服从正态分布的方法，它可以用来比较两组数据之间的差异情况，从而得出它们之间的相关性。
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相关和回归分析
散点图分析(scatterplot) 相关分析(correlation analysis) 一元线性回归分析(univariate linear
regression)
曲线拟合(curve estimation)不讲
绘制散点图
目的
将相互关联的变量数据对(X,Y)作为二维平 面的座标点，构建直角座标图，即散点图， 以探究两变量间数量变化的趋势，为相关或ห้องสมุดไป่ตู้回归分析提供初步的思路。
双变量回归和相关分析
相关和回归分析
相关分析和回归分析的任务
研究对象：统计关系 相关分析旨在反映变量相互之间线性关系的 强弱程度，无方向性，不考虑因果关系。 回归分析侧重于考察一个或几个变量（自变 量）的变化对另一个变量（应变量）的影响 程度，并通过一定的数学表达式来描述这种 关系。具方向性，通常包含因果关系。
对分类变量的数据或变量值分布明显非正态或分布 不明时，计算时先对离散数据进行排序或对定距变 量值排（求）秩 --秩相关。
实例-相关分析(数据同上)
步骤一： Analyze
Correlate
Bivariate 步骤二： 选择要分析的
变量
选择相关系数 计算方法 （默认
Pearson法）
实例-相关分析(结果输出)
先作散点图观察
实例-绘制散点图
步骤一： Graphs
Interactive Scatterplot
实例-绘制散点图
步骤二： 确定横、纵
座标
输出散点图
相关分析
作用:
用相关系数(r)体现两个变量间的线性关系程度。
r SXY SXX SYY
r:[-1,+1]；r=1:完全正相关； r=-1:完全负相关； r=0:无线性相关。
说明:
相关系数只是较好地度量了两变量间的线性相关程 度，不能描述非线性关系。 数据中的极端值对相关系数影响较大。
步骤
Analyze→Correlate→ Bivariate
相关分析
相关系数的计算:
Pearson 相关系数：对一般连续性、正态性数据
适用。
r SXY
SXX SYY
Spearman和Kendall相关系数：
方法
Graphs→Interactives→ Scatterplot
实例
用已知浓度X的免疫球蛋白A(IgA, μg/ml)作火箭免 疫电泳，由于抗体抗原反应受扩散浓度梯度影响，形 成的反应带呈火箭状。测得火箭高度Y(mm)如下表 所示，试分析抗体浓度与火箭高度的相互关系。
X(μg/ml) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 Y(mm) 7.6 12.3 15.7 18.2 18.7 21.4 22.6 23.8
步骤
Analyze→Correlate→ Partial…
实例-偏相关分析
某地29名13岁男童身高（cm）、体重（kg）和肺活量（ml）的数据如下 表，试对三变量作相关分析
一般讲，体重大的人肺活量也大，是否身高也与肺活量直接相关呢？由 于体重与身高也存在关联，这三个变量彼此影响，问题相对复杂。
实例-偏相关分析
若分别作身高、体重和肺活量两两相关，结果如下
身高、体重正相关(r=0.719**)，体重、肺活量正相关(r=0.613**)， 身高、肺活量(r=0.588**)正相关。
相关系数
r=0.969 对零假设（ r=0）的检验 结果显示：
P=0.000 <0.01
否定零假设即 X和Y极显著相
关
相关分析列联表
相关分析
偏相关:
在分析两个变量间线性关系时，往往因为第三个变 量的作用,使相关系数不能真正反映两个变量间的 线性程度。因此，有必要在控制住其他变量的影响 下计算两个变量的相关关系，即所谓“偏相关”。