双变量相关与回归
合集下载
spss中相关与回归分析
定义变量：血红蛋白，贫血体征→Variables
20:41
16
建立数据文件：血红蛋 白的等级相关分析.sav.
定义变量 输入数据
开始分析
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
analyze →Correlate →Bivariate
定义变量：血 红蛋白，贫血 体征 →Variables
选择统计量： Correlation Coefficients →Spearman
20:41
34
主要结果
b Model Summary
Model 1
R .930a
R Sq uare .865
Adjusted R Sq uare .848
Std. Error of the Estimate 1.8528
a. Predictors: (Constant), 身 高 （ cm） b. Dependent Variable: 体 重 （ kg ）
表 4 慢性支气管炎患者各年龄组疗效观察结果 疗效 年龄(岁) 11～ 20～ 30～ 40～ 50～ 合计 治愈 35 32 17 15 10 109 显效 1 8 13 10 11 43 好转 1 9 12 8 23 53 无效 3 2 2 2 5 14 合计 40 51 44 35 49 219
17
20:41
主要结果
Correlations 血 红 蛋 白 含 量 （ g/dl） 1.000 . 10 -.741* .014 10 贫 血 体 征 -.741* .014 10 1.000 . 10
Spearman's rho
血 红 蛋 白 含 量 （ g/dl）
中国医科大学研究生医学统计学 第七讲 双变量回归与相关2
2. 相关系数的计算
r rXY
2
( X X )(Y Y ) ( X X ) (Y Y )
i i
2
l XY l XX .lYY
( X )( Y ) n
其中
l XY
( X X )(Y Y ) XY
2 ( X X ) 2 X
五、相关分析应用中应注意的问题 1.相关分析要求两个变量是服从双变量正 态分布的资料。 2.进行相关分析前应先绘制散点图，散点 图呈现出直线趋势时，再作分析。
3. 满足应用条件的同一份双变量资料 ，回归系数与相关系数的正负号一 致，假设检验等价。 4. 相关分析时，小样本资料经 t-test 只能推断两变量间有无直线关系， 而不能推断其相关的密切程度。要 推断其相关的密切程度样本含量必 须足够大。
l XX
( X ) 2 n
(n 1)S x
2
lYY (Y Y ) Y
2 2
( Y ) n
2
(n 1) S
2 y
3.相关系数的性质 相关系数r没有测量单位，其数值为 -1≤r≤+1。 r值为正，表示正相关； r值为负，表示负相关； r值为0，则称零相关即无直线关系。 当r值的绝对值为1时，称完全相关。
y 33.73 0.516x
X 68
Y 69
E (Y 72) Y X 72 71
E (Y 64) Y X 64 67
二、线性回归基本概念 当一个变量X 改变时，另一个变量Y 也 相应地改变，此时称X为自变量 (independent variable), Y 为应变量 (dependent variable)。 自变量X：可随机变动亦可人为取值。 因（应）变量Y：被视为依赖于X 而变化的 反应变量。在X 的数值确定时按某种规律 随机变动。
9 第九章 回归与相关
估计。
一）、加权最小二乘估计 假定各观测值的权重为Wi，求解回归方 程就要使得以下加权后的残差平方和最小
ss残W Wi Yi aw bw X
2
bw
aW
WX WY WXY W l l WX WX W WY b WX Y b W
二、直线回归方程的求法 直线方程为： a为Y轴上的截距；b为斜率，表示X 每改变一个单位，Y的变化的值，称为回 归系数； 表示在X值处Y的总体均数 估计值。为求a和b两系数，根据数学上 的最小二乘法原理，可导出a和b的算式 如下：
例9-1 某地方病研究所调查了8名正常 儿童的尿肌酐含量（mmol/24h）如表91。估计尿肌酐含量（Y）对其年龄（X） 的关系。
表14，rs界值表，P<0.01,故可认为当地居 民死因的构成和各种死因导致的潜在工作损 失年数WYPLL的构成呈正相关。 二、相同秩次较多时rs的校正 当X及Y中，相同秩次个数多时，宜用下式校 正
第四节
加权直线回归
在一些情况下，根据专业知识考虑 并结合实际数据，某些观察值对于估计 回归方程显得更“重要”，而有些不 “重要”，此时可以采用加权最小二乘
lYY的分析 如图9－4，p点的纵坐标被回归直线与均数 截成三个线段：
图9－4
平方和划分示意图
第一段 第二段
第三段
上述三段代数和为：
移项：
p点是散点图中任取一点，将所有的点子都
按上法处理，并将等式两端平方后再求和，
则有：
它们各自的自由度分别为： 可计算统计量F：
SS回 SS 残
2
F
回 残
表9-3某省1995年到1999年居民死因构成与WYPLL构成
4- 09双变量回归与相关-直线相关
直线相关一、直线相关的概念直线相关(linear correlation)又称简单相关(simple correlation)，用于双变量正态分布(bivariate normal distribution)资料。
其性质可由图9-6散点图直观的说明。
研究两个变量X,Y数量上的相关关系。
目的1. 意义：相关系数（correlation coefficient）又称Pearson积差相关系数，用来说明具有直线关系的两变量间相关的密切程度与相关方向。
以符号r表示样本相关系数，符号 表示其总体相关系数。
相关系数没有单位，其值为-1≤r≤1。
r值为正表示正相关，r值为负表示负相关，r的绝对值等于1为完全相关，r=0为零相关。
图9-6直线相关示意图2. 计算：样本相关系数的计算公式为22()()()()XY XX YY X X Y Y l r l l X X Y Y --==--∑∑∑（9-18）例9-5 对例9-1数据（见表9-1），计算8名儿童的尿肌酐含量与其年龄的相关系数。
由例9-1算得，42XX l =， 1.046YY l =， 5.845XY l =按公式（9-18）5.8450.881842 1.046r ==（一）相关系数的假设检验20, 212r r r t n S rn ν-===---（9-19）例9-6 对例9-5所得r 值，检验尿肌酐含量与年龄是否有直线相关关系？检验步骤0H : 0ρ=，1H : 0ρ≠，α=0.05本例n =8，r =0.8818，按公式（9-19）20.88184.57910.881882t ==--按ν＝6，查t 界值表，得0.0020.005P <<。
按0.05α=水准拒绝0H ，接受1H ，可以认为尿肌酐含量与年龄之间有正的直线相关关系。
若直接查r 界值表(附表13)，结论相同。
（二）总体相关系数的可信区间由于相关系数的抽样分布在ρ不等于零时呈偏态分布（大样本情况下亦如此），所以ρ的可信区间需要先将其进行某种变量变换，使之服从正态分布，然后再估计其可信区间。
第6讲相关分析与回归分析
2019数学建模培训
第6讲 相关分析与回归分析
一、引 言
在很多研究领域中，往往需要研 究事物间的关系。如收入与受教育程 度，子女身高与父母身高，商品销售 额与广告费用支出，农作物产量与施 肥量，上述两者间有关系吗？如果有 关系，又是怎么样的关系呢？如何来 度量这种关系的强弱？
解决上述问题的统计方法是相关
2019/11/18
4
分析和回归分析。 相关分析和回归分析的共同点是
都可推断两个变量间的统计相关性。 但两者的区别是明显的，主要表现在: 1. 变量地位
在相关分析中，两个变量地位是 对等的；但在回归分析中，一个变量 是因变量，其余的变量均为自变量。
2019/11/18
5
2. 变量类型 相关分析中的两个变量均为随机
Galton称这种现象为“回归”。 为了纪念Galton，后人将研究两变量 间统计关系的方法称为回归分析。
2019/11/18
39
回归分析包括的内容甚广。本讲 仅介绍下列基本内容：
线性回归多一元元线线性性回回归归
回归分析 回归诊断 回假归设效合果理的性检的验判断
回归变量的选择
2019/11/18
32
验。 同理，若将应聘者分数做为指标,
5个考官打分可视为5次重复试验(这 需要假设考官的打分客观，基本无偏 差)，则第3问也可使用方差分析。
考虑到题目和问题的特点，本题 用距离分析更为合理。因为方差分析 比较的是均值，而两组很不一致的分
2019/11/18
33
数的均值却可能相差不大。 分别对5个变量(列)做相似性分
由于相关系数是用样本计算得到 的，带有一定的随机性，所以用样本 相关性估计总体相关性的可信度需要 检验。
第6讲 相关分析与回归分析
一、引 言
在很多研究领域中，往往需要研 究事物间的关系。如收入与受教育程 度，子女身高与父母身高，商品销售 额与广告费用支出，农作物产量与施 肥量，上述两者间有关系吗？如果有 关系，又是怎么样的关系呢？如何来 度量这种关系的强弱？
解决上述问题的统计方法是相关
2019/11/18
4
分析和回归分析。 相关分析和回归分析的共同点是
都可推断两个变量间的统计相关性。 但两者的区别是明显的，主要表现在: 1. 变量地位
在相关分析中，两个变量地位是 对等的；但在回归分析中，一个变量 是因变量，其余的变量均为自变量。
2019/11/18
5
2. 变量类型 相关分析中的两个变量均为随机
Galton称这种现象为“回归”。 为了纪念Galton，后人将研究两变量 间统计关系的方法称为回归分析。
2019/11/18
39
回归分析包括的内容甚广。本讲 仅介绍下列基本内容：
线性回归多一元元线线性性回回归归
回归分析 回归诊断 回假归设效合果理的性检的验判断
回归变量的选择
2019/11/18
32
验。 同理，若将应聘者分数做为指标,
5个考官打分可视为5次重复试验(这 需要假设考官的打分客观，基本无偏 差)，则第3问也可使用方差分析。
考虑到题目和问题的特点，本题 用距离分析更为合理。因为方差分析 比较的是均值，而两组很不一致的分
2019/11/18
33
数的均值却可能相差不大。 分别对5个变量(列)做相似性分
由于相关系数是用样本计算得到 的，带有一定的随机性，所以用样本 相关性估计总体相关性的可信度需要 检验。
第九章双变量线性回归与相关
1 ( X X )2 SYˆ SY .X n ( X X )2
当X
X时，SYˆ
SY X n
Syˆ 是 Yˆ 的标准误。
例 计算当X0=150时， yˆ 95%可信区间。 yˆ 的95%可信区间为：
（46.52, 51.75）Kg
其含义是：当身高为150cm时，15岁男童的体重
的总体均数为49.135kg（点值估计），95%可信区 间为：（46.52, 51.75）Kg （区间估计）。
男性：身高(cm)-105＝标准体重(kg) 女性：身高(cm)-100＝标准体重(kg)
北方人理想体重＝(身高cm-150)×0.6+50(kg) 南方人理想体重＝(身高cm-150)×0.6+48(kg)
回归与相关是研究变量之间相互关系的统计分 析方法，它是一类双变量或多变量统计分析方法 （本章主要介绍双变量分析方法），在实际之中有 着广泛的应用。
如年龄与体重、年龄与血压、身高与体重、体 重与肺活量、体重与体表面积、毒物剂量与动物死 亡率、污染物浓度与污染源距离等都要运用回归与 相关方法对资料进行统计分析。
变量之间的关系： （１）直线关系（线性 关系）； （２）曲线关系（非线 性关系）。 在回归与相关分析中， 直线回归与相关是最简单 的一种，是本章主要内容。
变量间的关系 函数关系： 确定的关系。 例如园周长与半径：y=2πr 。
回归关系：不确定的关系（随机的关系）。 例如血压和年龄的关系，称为直线 回归 (linear regression)。
北方人理想体重＝(身高cm-150)×0.6+50(kg)
变量间的回归关系 由于生物间存在变异，故两相关变量之间的关 系具有某种不确定性，如同性别、同年龄的人，其 肺活量与体重有关，肺活量随体重的增加而增加， 但体重相同的人其肺活量并不一定相等。因此，散 点呈直线趋势，但并不是所有的散点均在同一条直 线上，肺活量与体重的关系与严格对应的函数关系 不同，它们之间是一种回归关系，称直线回归。这 种关系是用直线回归方程来定量描述。
双变量相关性分析方法
双变量相关性分析方法
双变量相关性分析方法是一种通过检验两个变量之间的相关性，来研究它们之间是否存在某种关联关系的统计方法。
它可以帮助我们了解两个变量之间的关系密切程度，从而对变量进行评估和预测。
双变量相关性分析的常用方法有：
1. 相关系数：相关系数是衡量变量之间关系强弱的指标，它是一个介于-1到+1之间的数字，当相关系数等于0时表明两个变量之间没有任何相关性，当相关系数大于0时表明两个变量之间存在正相关，当相关系数小于0时表明两个变量之间存在负相关。
2. 回归分析：回归分析是一种用来预测一个变量随另一变量变化情况的方法，它可以用来研究变量之间的关系及影响程度。
3. 卡方检验：卡方检验是一种用来检验两个变量之间关系的方法，它可以用来比较不同变量之间的关联情况，从而得出两个变量之间的相关度。
4. t检验：t检验是一种用来检验某一组数据是否服从正态分布的方法，它可以用来比较两组数据之间的差异情况，从而得出它们之间的相关性。
双变量回归与相关分析
步骤
Analyze→Correlate→ Partial…
实例-偏相关分析
某地29名13岁男童身高（cm）、体重（kg）和肺活量（ml）的数据如下 表，试对三变量作相关分析
一般讲，体重大的人肺活量也大，是否身高也与肺活量直接相关呢？由 于体重与身高也存在关联，这三个变量彼此影响，问题相对复杂。
实例-偏相关分析
若分别作身高、体重和肺活量两两相关，结果如下
身高、体重正相关(r=0.719**)，体重、肺活量正相关(r=0.613**)， 身高、肺活量(r=0.588**)正相关。
方法
Graphs→Interactives→ Scatterplot
实例
用已知浓度X的免疫球蛋白A(IgA, μg/ml)作火箭免 疫电泳，由于抗体抗原反应受扩散浓度梯度影响，形 成的反应带呈火箭状。测得火箭高度Y(mm)如下表 所示，试分析抗体浓度与火箭高度的相互关系。
X(μg/ml) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 Y(mm) 7.6 12.3 15.7 18.2 18.7 21.4 22.6 23.8
双变量回归和相关分析
相关和回归分析
相关分析和回归分析的任务
研究对象：统计关系 相关分析旨在反映变量相互之间线性关系的 强弱程度，无方向性，不考虑因果关系。 回归分析侧重于考察一个或几个变量（自变 量）的变化对另一个变量（应变量）的影响 程度，并通过一定的数学表达式来描述这种 关系。具方向性，通常包含因果关系。
相关和回归分析
散点图分析(scatterplot) 相关分析(correlation analysis) 一元线性回归分析(univariate linear
regression)
Analyze→Correlate→ Partial…
实例-偏相关分析
某地29名13岁男童身高（cm）、体重（kg）和肺活量（ml）的数据如下 表，试对三变量作相关分析
一般讲，体重大的人肺活量也大，是否身高也与肺活量直接相关呢？由 于体重与身高也存在关联，这三个变量彼此影响，问题相对复杂。
实例-偏相关分析
若分别作身高、体重和肺活量两两相关，结果如下
身高、体重正相关(r=0.719**)，体重、肺活量正相关(r=0.613**)， 身高、肺活量(r=0.588**)正相关。
方法
Graphs→Interactives→ Scatterplot
实例
用已知浓度X的免疫球蛋白A(IgA, μg/ml)作火箭免 疫电泳，由于抗体抗原反应受扩散浓度梯度影响，形 成的反应带呈火箭状。测得火箭高度Y(mm)如下表 所示，试分析抗体浓度与火箭高度的相互关系。
X(μg/ml) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 Y(mm) 7.6 12.3 15.7 18.2 18.7 21.4 22.6 23.8
双变量回归和相关分析
相关和回归分析
相关分析和回归分析的任务
研究对象：统计关系 相关分析旨在反映变量相互之间线性关系的 强弱程度，无方向性，不考虑因果关系。 回归分析侧重于考察一个或几个变量（自变 量）的变化对另一个变量（应变量）的影响 程度，并通过一定的数学表达式来描述这种 关系。具方向性，通常包含因果关系。
相关和回归分析
散点图分析(scatterplot) 相关分析(correlation analysis) 一元线性回归分析(univariate linear
regression)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
tb
b0 Sb
残 n2
Sb
SY .X lXX
MS SY.X
SS残差 n2
残差
注意：在简单线性回归模型中，由于只有一个自变量，
回归模型的方差分析等价于对回归系数的检验，且
计
t＝ 。F
另外，对回归系数的假设检验还有一种方法，即对相
学
关系数作假设检验，在第二节讲到！
一、简单线性回归
拟合优度检验与决定系数
医
线性（linear）
独立性（independence）
学
正态性（normality）
统
等方差（equal variance） 简单线性回归分析应用（预测与控制）
计
利用回归方程进行预测预报 X Y 注意：均数的可信区间与个体值容许区间的意义
学
不同。
利用回归方程进行统计控制 Y
X
不论预测或控制，都不能超出给出数据的范围！
R2表示。
R2 SS回归lX2Y lXX
SS总
lYY
因SS回归≤SS总，所以取值在0到1之间。它的大小反
学
映了自变量对回归的贡献，说明在的总变异中用、
回归关系所能解释的比重。决定系数越趋近于1，
回归方程的拟合效果越好，因此，常把它作为评价
回归方程效果，反映拟合优度的指标。
一、简单线性回归
回归分析的前提条件（LINE）
医
实际应用中采用简单线性回归模型来定量描述应 变量与自变量之间的数量关系。
总体线性回归方程记作
学
Y|X X
β为总体回归系数（regression coefficient），即直
统
线的斜率，其统计学意义是X每增加（或减少）一
个单位，Y平均改变β个单位（即Y的均数改变β个
计
单位）。表示Y随X改变的平均变化量，β>0，表明 Y随X的增加而增加；β<0，表明Y随X的增加而减
学
少；β=0，表明Y与X无线性回归关系。 α为回归直线在轴上的截距（intercept），其统计
学意义为X取值为0时，方程所估计值Y的平均水平。
截距的解释一定要符合专业实际 。
一、简单线性回归
医
设a和b是α和β的估计值，则可拟合得到样本 线性回归方程
学
Yˆ abX Yˆ表示x取某定值时相应总体均数Y的点估计
二、简单线性相关
医
简单线性回归分析可以告诉我们应变量Y随自变量X变
化而变化的情况，研究的是变量之间的依存关系；
学
但并未告诉我们二者间关系的密切程度。若要了解 两随机变量间线性关系的程度与方向，就需进行简
统
值，b称为样本回归系数，也是有单位，有 符号的。
计
其回归方程满足三个基本性质：① (YYˆ)2
为最小；② (YYˆ)0；③回归直线必然通过
学
中心点 X，。Y其中（Y Yˆ ）称为残差
（residual）。
一、简单线性回归
回归方程的估计：最小二乘法（保证回归方
医
程满足三个基本性质）
保证各实测点至直线的纵向距离（ Y Yˆ ）
6、如何由身高预测该地15岁男童的体重？
一、简单线性回归
医
散点图 在做回归或者相关分析以前，对数据必
学
须要做散点图！
• 为了确定相关变量之间的关系，首先
统
应该收集一些数据，这些数据应该是
计
成对的。例如，每人的身高和体重。 然后在直角坐标系上描述这些点，这
学
一组点集称为散点图。
医 学 统 计 学
一、简单线性回归
医
回归系数大小和两个变量的单位及大小有关，回
归系数越大，说明Y随X的变化越快，但并不表明
学
影响越大。为描述这种影响的大小以及回归方程拟 合效果的好坏，引入决定系数（coefficient of
统
determination）的概念。决定系数是简单线性回归 与多重线性回归分析中一个重要的统计量，通常用
计
增长，按专业知识，描述两个变量的数量变化关
统
系，宜将体重作为应变量（dependent variable）， 身高作为自变量（independent variable）。
计
依存关系
学
简单线性回归（simple linear regression） 一个X 多重线性回归（multiple linear regression） 多个X
一、简单线性回归
医
采用线性回归分析可以解决以下几方面的问题： 1、探讨体重是否随身高的增长而增加？
学
2、体重与身高的关系呈直线还是曲线关系？
3、如何采用回归方程定量地描述两者间的关
统
系？
4、该地15岁男童身高每增加1厘米，体重平均
计
增加多少公斤？
5、所建回归方程是否成立？即两变量间线性
学
依存关系是否存在？
计
后果，乙肝病毒和乙肝之间是因果关系；但是，有 的现象之间因果不清，只是伴随关系，例如丈夫的
学
身高和妻子的身高之间，就不能说有因果关系。
相关与回归就是用于研究和解释两个变量之间相
互关系的。
一、简单线性回归
医
回归分析是研究一个变量（Y）和另外一个或一些 变量（X）间线性依存关系的统计分析方法。
学
如在青少年生长发育研究中体重随着身高的增长而)2 最小 。
统 计
b (XX)Y (Y)lXY
(XX)2
lXX
lX Y (X X )Y ( Y ) X ( Y X n ) (Y ) aYbX
考查回归直线是否正确的方法：
学
1、回归直线必然通过中心点 2，将回归直 线左端延长与Y轴相交，交点纵坐标为截距
由图9-1可见，体重随身高的增加而递增，并呈直线增长趋势。但身高相同者未 必有相同的体重，说明体重除了受身高的影响之外，还可能受到一些未知的， 诸如营养、生活方式、遗传等因素的影响。因此，回归分析所描述的两个变量 间的关系，不全是一一对应的函数关系（确定性关系），而是一种非确定性关 系。
一、简单线性回归
3，要注意，直线只能在实测范围内应用，
不能随意延长！
一、简单线性回归
回归分析的统计推断
医
Y变异的分解
学 统
P（X，Y） Y
Y Y
Y Yˆ
Yˆ Y
计
Y
X
学
( Y Y ) 2 ( Y ˆ Y ) 2 ( Y Y ˆ ) 2
S总 SS回 S 归 S残 S 差
一、简单线性回归
医 学 统
总体回归系数的假设检验——t检验
双变量相关与回归
医学上，许多现象之间也都有相互联系，例如：
身高与体重、体温与脉搏、产前检查与婴儿体重、
乙肝病毒与乙肝等。在这些有关系的现象中，它们
医
之间联系的程度和性质也各不相同。
学
这里，体温和脉搏的关系就比产前检查与婴儿体 重之间的关系密切得多，而体重和身高的关系则介
统
与二者之间。
另外，可以说乙肝病毒感染是前因，得了乙肝是