双变量回归与相关分析

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社会统计学第十二章相关与回归分析

2. 相关方向：正相关和负相关所谓正相关关系是指一个变量的值增加时，另一变
量的值也增加。例如，受教育水平越高找到高薪水工作的机会也越大。而负相关关系是指一个变量的值增加时，另一变量的值却减少。例如，受教育水平越高，理想子女数目越少。要强调的是，只有定序以上测量层次的变量才分析相关方向，因为只有这些变量的值有高低或多少之分。至于定类变量，由于变量的值并无大小、高低之分，故定类变量与其他变量相关时就没有正负方向了。
父母智力组合
优＋优
优＋劣一般＋一般
劣＋劣
子女智力子女智力
优秀
一般
71.6 25.4
33.6 42.7
18.6 66.9
5.4 34.4
子女智力低下
3.0 23.7 14.5 60.2
通过列联表研究定类变量之间的关联性，这实际上是通过相对频数条件分布的比较进行的。如果对不同的X，Y的相对频数条件分布不同，且和Y的相对频数边际分布不同，则两变量之间是相关的。而如果变量间是相互独立的话，必然存在着Y的相对频数条件分布相同，且和它的相对频数边际分布相同。后者用数学式表示就是
r×c相对频数联合分布列联表
控制X，Y相对频数条件分布列联表
控制Y，X相对频数条件分布列联表
[例A1]试把下表所示的频数分布列联表，转化为自变量受到控制的相对频数条件分布列联表，并加以相关分析。
投票行为
受教育程度X
Y
大学以大学以
FY
上
下
投票
160
129
289
弃权
7
61
68
合计：FX 167
r×c相对频数分布列联表的一般形式
在相对频数分布列联表中，各数据为各分类

双变量线性回归分析结果的报告以及案例

数据清洗
处理缺失值、异常值和重复数据，确保数据质量。
数据探索
初步分析数据，了解变量之间的关系和分布情况。
模型建立
确定变量
选择与响应变量相关的预测变量，并考虑变量的多重共线性。
建立模型
使用最小二乘法或其他优化算法拟合线性回归模型。
模型诊断
检查模型的残差图、散点图等，确保模型满足线性回归的前提假设。
卧室数量与房价之间存在正相关关系，但影响较小。
地理位置对房价有显著影响，靠近市中心的房屋价格更高。
周边设施对房价有积极影响，特别是学校和公园等设施。
05 双变量线性回归分析的未来研究方向
深度学习与线性回归的结合
01
深度学习技术可以用于特征提取，将原始数据转化为更高级别的特征表示，然后利用线性回归模型进行预测。
双变量线性回归分析结果的报告以及案例
目录
• 双变量线性回归分析概述 • 线性回归分析的步骤 • 双变量线性回归分析的案例 • 线性回归分析的局限性 • 双变量线性回归分析的未来研究方向
01 双变量线性回归分析概述
定义与原理
双变量线性回归分析是一种统计学方法，用于研究两个变量之间的线性关系。通过最小二乘法等数学手段，找到一条最佳拟合直线，使得因变量能够根据自变量进行预测。
线性回归分析假设因变量和自变量之间存在线性关系，但在实际应用中，非线性关系可能更为常见。
独立性假设
自变量之间应相互独立，但在实际数据中，自变量之间可能存在多重共线性，影响回归结果的准确性。
无异常值和缺失值
假设
数据集中不应含有异常值和缺失值，否则会影响回归模型的稳定性和准确性。
模型泛化能力

资料的统计分析——双变量及多变量分析

资料的统计分析——双变量及多变量分析双变量及多变量分析是指在统计分析中，同时考察两个或多个变量之间的关系。

通过对多个变量进行综合分析，可以更全面地了解变量之间的相互作用和影响。

双变量分析是指考察两个变量之间的关系，常用的方法包括相关分析和回归分析。

相关分析是用来评价两个变量之间的线性关系的强度和方向。

常用的相关系数有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。

皮尔逊相关系数适用于两个变量都为连续型变量的情况，而斯皮尔曼相关系数适用于至少一个变量为有序分类变量或者两个变量都为有序分类变量的情况。

回归分析是用来探究一个变量（因变量）与一个或多个变量（自变量）之间的关系的强度和方向。

常用的回归分析方法有简单线性回归分析和多元线性回归分析。

简单线性回归分析是用来研究一个自变量与一个因变量之间的线性关系的情况，而多元线性回归分析则可以同时研究多个自变量与一个因变量之间的关系。

在进行双变量分析之前，需要先进行数据的描述性分析。

描述性分析是对数据的基本特征进行总结和描述，包括样本数量、均值、方差、最小值、最大值等。

多变量分析是指同时考虑多个变量之间的关系。

常用的方法包括多元方差分析、聚类分析和因子分析。

多元方差分析是用来比较多个因素对于一个或多个因变量的影响的强度和方向。

聚类分析是用来将样本按照其中一种相似度划分为不同的群组，从而研究变量之间的内部关系。

因子分析是用来探究多个变量之间的潜在结构，从而找出变量之间的共性和差异。

除了以上方法，还可以采用交叉表分析、卡方检验和回归分析等方法来研究多个变量之间的关系。

在进行双变量及多变量分析时，需要注意以下几个问题：首先，需要选择合适的统计方法，根据变量的类型和变量之间的关系特点来选择合适的分析方法。

其次，需要注意变量之间的相关性，避免多重共线性的问题。

此外，还需要注意样本的选择和样本量的大小，以及结果的解释和推断的注意事项。

总之，双变量及多变量分析是一种重要的统计方法，可以帮助我们更全面地了解变量之间的相互作用和影响。

中国医科大学研究生医学统计学第七讲双变量回归与相关2

2. 相关系数的计算
r rXY
2
( X X )(Y Y ) ( X X ) (Y Y )
i i
2
l XY l XX .lYY
( X )( Y ) n
其中
l XY
( X X )(Y Y ) XY
2 ( X X ) 2 X
五、相关分析应用中应注意的问题 1.相关分析要求两个变量是服从双变量正态分布的资料。 2.进行相关分析前应先绘制散点图，散点图呈现出直线趋势时，再作分析。
3. 满足应用条件的同一份双变量资料，回归系数与相关系数的正负号一致，假设检验等价。 4. 相关分析时，小样本资料经 t-test 只能推断两变量间有无直线关系，而不能推断其相关的密切程度。要推断其相关的密切程度样本含量必须足够大。
l XX
( X ) 2 n
(n 1)S x
2
lYY (Y Y ) Y
2 2
( Y ) n
2
(n 1) S
2 y
3.相关系数的性质相关系数r没有测量单位，其数值为 -1≤r≤+1。 r值为正，表示正相关； r值为负，表示负相关； r值为0，则称零相关即无直线关系。当r值的绝对值为1时，称完全相关。

y 33.73 0.516x
X 68
Y 69
E (Y 72) Y X 72 71
E (Y 64) Y X 64 67
二、线性回归基本概念当一个变量X 改变时，另一个变量Y 也相应地改变，此时称X为自变量 (independent variable), Y 为应变量 (dependent variable)。自变量X：可随机变动亦可人为取值。因（应）变量Y：被视为依赖于X 而变化的反应变量。在X 的数值确定时按某种规律随机变动。

双变量问题处理技巧

双变量问题处理技巧双变量问题处理技巧双变量问题是指涉及两个变量之间的关系或相互影响的问题。

在许多领域中，如统计学、经济学和社会科学等，研究人员经常遇到需要处理双变量问题的情况。

下面将介绍一些处理双变量问题的技巧。

1. 散点图分析：散点图是一种常用的数据可视化方法，可以用来展示两个变量之间的关系。

通过绘制散点图，可以观察到变量之间的相关性，包括线性关系、非线性关系或者无关系。

根据散点图的形状和趋势，可以判断变量之间的关系类型，并进一步分析相关性的强度。

2. 相关性分析：相关性分析用于度量两个变量之间的相关性程度。

常用的相关性系数包括皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。

皮尔逊相关系数适用于线性关系的变量，而斯皮尔曼相关系数适用于非线性关系的变量。

相关性分析可以帮助我们了解两个变量之间的关系强度和方向。

3. 线性回归分析：线性回归分析是一种用于建立两个变量之间线性关系的模型。

通过拟合数据点到一条直线或曲线上，可以建立一个数学模型来预测或解释一个变量对另一个变量的影响。

线性回归分析可以帮助我们确定两个变量之间的因果关系，并进行预测和解释。

4. 多元回归分析：多元回归分析是一种用于处理多个自变量和一个因变量之间关系的方法。

当我们需要控制其他变量的影响，以及确定多个自变量对因变量的独立贡献时，可以使用多元回归分析。

通过多元回归分析，我们可以建立一个多变量的模型，更全面地理解变量之间的关系。

5. 因果推断：在处理双变量问题时，我们常常需要确定两个变量之间的因果关系。

因果推断是一种从相关性到因果关系的推断方法，可以帮助我们确定一个变量对另一个变量的影响。

在进行因果推断时，需要注意排除混淆变量的干扰，并使用实验证据或因果分析方法来支持因果关系的存在。

总之，处理双变量问题需要运用适当的技巧和方法来分析和解释两个变量之间的关系。

通过散点图分析、相关性分析、线性回归分析、多元回归分析和因果推断等方法，我们可以更好地理解和解释双变量问题，并得出有意义的结论。

第九章双变量线性回归与相关

1 ( X X )2 SYˆ SY .X n ( X X )2
当X
X时，SYˆ
SY X n
Syˆ 是 Yˆ 的标准误。
例计算当X0=150时， yˆ 95%可信区间。 yˆ 的95%可信区间为：
（46.52, 51.75）Kg
其含义是：当身高为150cm时，15岁男童的体重
的总体均数为49.135kg（点值估计），95%可信区间为：（46.52, 51.75）Kg （区间估计）。
男性：身高(cm)-105＝标准体重(kg) 女性：身高(cm)-100＝标准体重(kg)
北方人理想体重＝(身高cm-150)×0.6+50(kg) 南方人理想体重＝(身高cm-150)×0.6+48(kg)
回归与相关是研究变量之间相互关系的统计分析方法，它是一类双变量或多变量统计分析方法（本章主要介绍双变量分析方法），在实际之中有着广泛的应用。
如年龄与体重、年龄与血压、身高与体重、体重与肺活量、体重与体表面积、毒物剂量与动物死亡率、污染物浓度与污染源距离等都要运用回归与相关方法对资料进行统计分析。
变量之间的关系：（１）直线关系（线性关系）；（２）曲线关系（非线性关系）。在回归与相关分析中，直线回归与相关是最简单的一种，是本章主要内容。
变量间的关系函数关系：确定的关系。例如园周长与半径：y=2πr 。
回归关系：不确定的关系（随机的关系）。例如血压和年龄的关系，称为直线回归 (linear regression)。
北方人理想体重＝(身高cm-150)×0.6+50(kg)
变量间的回归关系由于生物间存在变异，故两相关变量之间的关系具有某种不确定性，如同性别、同年龄的人，其肺活量与体重有关，肺活量随体重的增加而增加，但体重相同的人其肺活量并不一定相等。因此，散点呈直线趋势，但并不是所有的散点均在同一条直线上，肺活量与体重的关系与严格对应的函数关系不同，它们之间是一种回归关系，称直线回归。这种关系是用直线回归方程来定量描述。

双变量相关性分析方法

双变量相关性分析方法
双变量相关性分析方法是一种通过检验两个变量之间的相关性，来研究它们之间是否存在某种关联关系的统计方法。

它可以帮助我们了解两个变量之间的关系密切程度，从而对变量进行评估和预测。

双变量相关性分析的常用方法有：
1. 相关系数：相关系数是衡量变量之间关系强弱的指标，它是一个介于-1到+1之间的数字，当相关系数等于0时表明两个变量之间没有任何相关性，当相关系数大于0时表明两个变量之间存在正相关，当相关系数小于0时表明两个变量之间存在负相关。

2. 回归分析：回归分析是一种用来预测一个变量随另一变量变化情况的方法，它可以用来研究变量之间的关系及影响程度。

3. 卡方检验：卡方检验是一种用来检验两个变量之间关系的方法，它可以用来比较不同变量之间的关联情况，从而得出两个变量之间的相关度。

4. t检验：t检验是一种用来检验某一组数据是否服从正态分布的方法，它可以用来比较两组数据之间的差异情况，从而得出它们之间的相关性。

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说明:
相关系数只是较好地度量了两变量间的线性相关程度，不能描述非线性关系。数据中的极端值对相关系数影响较大。
步骤
Analyze→Correlate→ Bivariate
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8
相关分析
相关系数的计算:
Pearson 相关系数：对一般连续性、正态性数据
适用。
r SXY
S XX SYY
Spearman和Kendall相关系数：
步骤
Analyze→Correlate→ Partial…
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12
实例-偏相关分析
某地29名13岁男童身高（cm）、体重（kg）和肺活量（ml）的数据如下表，试对三变量作相关分析
一般讲，体重大的人肺活量也大，是否身高也与肺活量直接相关呢？由于体重与身高也存在关联，这三个变量彼此影响，问题相对复杂。
对分类变量的数据或变量值分布明显非正态或分布不明时，计算时先对离散数据进行排序或对定距变量值排（求）秩 --秩相关。
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9
实例-相关分析(数据同上)
步骤一： Analyze
Correlate
Bivariate 步骤二：选择要分析的
变量
选择相关系数计算方法（默认
Pearson法）
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双变量回归和相关分析
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1
相关和回归分析
相关分析和回归分析的任务
研究对象：统计关系相关分析旨在反映变量相互之间线性关系的强弱程度，无方向性，不考虑因果关系。回归分析侧重于考察一个或几个变量（自变量）的变化对另一个变量（应变量）的影响程度，并通过一定的数学表达式来描述这种关系。具方向性，通常包含因果关系。
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13
实例-偏相关分析
若分别作身高、体重和肺活量两两相关，结果如下
身高、体重正相关(r=0.719**)，体重、肺活量正相关(r=0.613**)，身高、肺活量(r=0.588**)正相关。
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14
先作散点图观察
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5
实例-绘制散点图
步骤一： Graphs
Interactive Scatterplot
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6
实例-绘制散点图
步骤二：确定横、纵
座标
输出散点图
可编辑ppt
7
相关分析
作用:
用相关系数(r)体现两个变量间的线性关系程度。
r SXY S XX SYY
r:[-1,+1]；r=1:完全正相关； r=-1:完全负相关； r=0:无线性相关。
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2
相关和回归分析
散点图分析(scatterplot) 相关分析(correlation analysis) 一元线性回归分析(univariate linear
regression)
曲线拟合(curve estimation)不讲
可编辑ppt3ຫໍສະໝຸດ 绘制散点图目的将相互关联的变量数据对(X,Y)作为二维平面的座标点，构建直角座标图，即散点图，以探究两变量间数量变化的趋势，为相关或回归分析提供初步的思路。
方法
Graphs→Interactives→ Scatterplot
可编辑ppt
4
实例
用已知浓度X的免疫球蛋白A(IgA, μg/ml)作火箭免疫电泳，由于抗体抗原反应受扩散浓度梯度影响，形成的反应带呈火箭状。测得火箭高度Y(mm)如下表所示，试分析抗体浓度与火箭高度的相互关系。
X(μg/ml) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 Y(mm) 7.6 12.3 15.7 18.2 18.7 21.4 22.6 23.8
10
实例-相关分析(结果输出)
相关系数
r=0.969 对零假设（ r=0）的检验结果显示：
P=0.000 <0.01
否定零假设即 X和Y极显著相
关
相关分析列联表
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11
相关分析
偏相关:
在分析两个变量间线性关系时，往往因为第三个变量的作用,使相关系数不能真正反映两个变量间的线性程度。因此，有必要在控制住其他变量的影响下计算两个变量的相关关系，即所谓“偏相关”。