2019高考数学备考研究
高考一模数学试题分析及备考建议-2019年学习文档
2019年高考一模数学试题分析及备考建议：为了帮助考生们了解自主招生信息，查字典数学网分享了2019年高考一模数学试题，供您参考!此次模考试题参考了近几年高考数学试题，延续了历年高考数学命题经验，立足于新课标的教材，以2009年到2019年的考试大纲为依据。
这套题当中大部分试题还是跟往年一样，有一个主要特点就是重双基，抓主干。
同时，也体现了新课标的一些要求，而且注重学科之间的内在联系和知识的综合运用，对能力的考察强调探究性，应用性，多层次的考察了学生学习数学所具备的潜力和素养。
这种命题思路既有利于正确地引导高中数学教学的方向，揭示数学的本质，并且可以引导我们教学工作的进行，让各位老师能在教学的过程当中很有利的去掌握咱们高考的动向，也为咱们高校选拔人才提供了一个很好的参考。
另外，给大家说一下咱们这套数学模拟题的主要特点。
第一特点，就是注重对传统主干知识的考察。
我们落脚点在于对数学思维品质的考察，对于数学本质认识程度的检验。
我举一个例子，比如第二题，第三题，还有第九题等等的，其实它都有体现，但是在这些题当中我们很明显的看到，咱们在看题的时候有一个简单的概念性问题。
比如说第二题，讲到的是在下列函数当中既是奇函数又是假函数的东西是什么。
大家看到这个东西，非常简单，会考一些数学思想，比如说我们在转化过程当中，还可能会用到一些正弦和余弦之间的转化。
还有第九题，这个东西我们都知道，每年实际上在我们高考试题当中都会有一道，这个东西非常简单，我们知道它就是一个简单的概念，I的平方等于负1。
你眨眼一看还是很简单，但是深入进去的时候，你如果把它当成一个简单的分式转化的时候就会觉得比较困难，因为你无法把它得到一个I平方的简化。
我们怎么去做，这个时候还要加入到一个平方加公式的考察，这个当我们应用进去之后会发现，这个东西完了之后它还会有一个考点，那就是代定系数。
这个时候我们就发现高考并不像我们想象那么简单，它可能是我们多方面的数学素养和思维品质的考察，有一个灵活运用知识的技巧。
2019高考数学二轮复习专题七选考内容学案理
专题七 选考内容第一讲 选修4－4 坐标系与参数方程[考情分析]1．坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是曲线的参数方程与极坐标方程的综合应用．2．全国卷对此部分的考查以解答题的形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用．考点一 极坐标方程及其应用[典例感悟][典例] (2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．[解] (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. (2)由(1)知C 2是圆心为A (－1,0)，半径为2的圆． 由题设知，C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线． 记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于点B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，点A 到l 1所在直线的距离为2， 所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．当l 2与C 2只有一个公共点时，点A 到l 2所在直线的距离为2， 所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点．综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.[方法技巧]1．求曲线的极坐标方程的一般思路曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互换公式即可转化为极坐标方程．熟练掌握互换公式是解决问题的关键．2．解决极坐标交点问题的一般思路(1)将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其转化为极坐标； (2)将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出交点的极坐标．[演练冲关](2018·太原模拟)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解：(1)∵ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，∴ρcos θ·co s π3＋ρsin θ·sin π3＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴12x ＋32y ＝1， 即曲线C 的直角坐标方程为x ＋3y －2＝0， 令y ＝0，则x ＝2；令x ＝0，则y ＝233.∴M (2,0)，N ⎝⎛⎭⎪⎫0，233.∴M 的极坐标为(2,0)，N 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫233，π2. (2)∵M ，N 连线的中点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，33， ∴P 的极角为θ＝π6，∴直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．考点二 参数方程及其应用[典例感悟][典例] (2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． [解] (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α， 当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内， 所以①有两个解， 设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0. 又由①得t 1＋t 2＝－42cos α＋sin α1＋3cos 2α， 故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.[方法技巧]参数方程化为普通方程的方法及参数方程的应用(1)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．(2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．[演练冲关](2018·广东广州花都区二模)已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB |；(2)若把曲线C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标缩短到原来的32倍，得到曲线C 2，设P 是曲线C 2上的一个动点，求它到直线l 距离的最小值．解：(1)直线l 的普通方程为y ＝3(x －1)，曲线C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，由⎩⎨⎧y ＝3x －1，x 2＋y 2＝1，解得l 与C 1的交点坐标分别为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，故|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋322＝1. (2)由题意得，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12cos θ，y ＝32sin θ(θ为参数)，则点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ，32sin θ，所以点P 到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32cos θ－32sin θ－32＝64⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋2， 故当sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－1时，d 取得最小值，最小值为23－64.考点三 极坐标方程与参数方程的综合应用[典例感悟][典例] (2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt(t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝mk (m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．[解] (1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k(x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，y ＝1kx ＋2.消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．联立⎩⎨⎧ρ2cos 2θ－sin 2θ＝4，ρcos θ＋sin θ－2＝0，得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M的极径为 5.[方法技巧]极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略(1)求交点坐标、距离、线段长．可先求出直角坐标系方程，然后求解． (2)判断位置关系．先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断．(3)求参数方程与极坐标方程综合的问题．一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题．[演练冲关](2018·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝1＋sin t(t 为参数)，曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4.以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θ＝α，0<α<π.(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)设A ，B 分别为射线l 与曲线C 1，C 2除原点之外的交点，求|AB |的最大值． 解：(1)由曲线C 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝1＋sin t(t 为参数)，消去参数t 得x 2＋(y －1)2＝1，即x 2＋y 2－2y ＝0，∴曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2sin θ.由曲线C 2的直角坐标方程x 2＋(y －2)2＝4，得x 2＋y 2－4y ＝0，∴曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧θ＝α，ρ＝2sin θ，得A (2sin α，α)，∴|OA |＝2sin α，联立⎩⎪⎨⎪⎧θ＝α，ρ＝4sin θ，得B (4sin α，α)，∴|OB |＝4sin α，∴|AB |＝|OB |－|OA |＝2sin α，∵0<α<π，∴当α＝π2时，|AB |有最大值，最大值为2.[课时跟踪检测]1．(2018·石家庄模拟)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＋2ρsin θ－3＝0.(1)求直线l 的极坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB |.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t 消去t 得，y ＝2x ，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y ＝2x ，得ρsin θ＝2ρcos θ，所以直线l 的极坐标方程为sin θ＝2cos θ. (2)因为ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4. 圆C 的圆心C (0，－1)到直线l 的距离d ＝55， 所以|AB |＝24－d 2＝2955. 2．(2018·益阳、湘潭模拟)在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝12.直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．(1)求直线l 的直角坐标方程； (2)设点P (1,0)，求|PA |·|PB |的值．解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝12得ρcos θcos π3－ρsin θsin π3＝12，即12ρcos θ－32ρsin θ＝12，又ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，∴直线l 的直角坐标方程为x －3y －1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)得曲线C 的普通方程为x 2＋4y 2＝4，∵P (1,0)在直线l 上，故可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t ＋1，y ＝12t (t 为参数)，将其代入x 2＋4y 2＝4得7t 2＋43t －12＝0， ∴t 1·t 2＝－127，故|PA |·|PB |＝|t 1|·|t 2|＝|t 1·t 2|＝127.3．(2018·南昌模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，直线C 2的方程为y ＝33x ，以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于P ，Q 两点，求|OP |·|OQ |的值． 解：(1)曲线C 1的普通方程为(x －3)2＋(y －2)2＝4，即x 2＋y 2－23x －4y ＋3＝0，则曲线C 1的极坐标方程为ρ2－23ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0.∵直线C 2的方程为y ＝33x ，∴直线C 2的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)． (2)设P (ρ1，θ1)，Q (ρ2，θ2)，将θ＝π6(ρ∈R)代入ρ2－23ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0得，ρ2－5ρ＋3＝0，∴ρ1ρ2＝3，∴|OP |·|OQ |＝ρ1ρ2＝3.4．(2018·福州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝sin α(α为参数，t >0)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l ：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2.(1)若l 与曲线C 没有公共点，求t 的取值范围； (2)若曲线C 上存在点到l 的距离的最大值为62＋2，求t 的值． 解：(1)因为直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2， 即ρcos θ＋ρsin θ＝2，所以直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝sin α(α为参数，t >0)，所以曲线C 的普通方程为x 2t 2＋y 2＝1(t >0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x 2t2＋y 2＝1，消去x 得，(1＋t 2)y 2－4y ＋4－t 2＝0，所以Δ＝16－4(1＋t 2)(4－t 2)<0，又t >0， 解得0<t <3，故t 的取值范围为(0，3)． (2)由(1)知直线l 的方程为x ＋y －2＝0，故曲线C 上的点(t cos α，sin α)到l 的距离d ＝|t cos α＋sin α－2|2，故d max ＝t 2＋1＋22＝62＋2，解得t ＝± 2. 又t >0，∴t ＝ 2.5．(2018·重庆模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝3 2. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若点M 在曲线C 1上，点N 在曲线C 2上，求|MN |的最小值及此时点M 的直角坐标． 解：(1)由曲线C 1的参数方程可得曲线C 1的普通方程为x 29＋y 23＝1，由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝32，得ρcos θ－ρsin θ＝6，∴曲线C 2的直角坐标方程为x －y －6＝0.(2)设点M 的坐标为(3cos β，3sin β)，点M 到直线x －y －6＝0的距离d ＝|3cos β－3sin β－6|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＋62＝6＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π32，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝－1时，|MN |有最小值，最小值为32－6，此时点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫332，－32.6．(2018·昆明模拟)在直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 过点A (2,1)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，直线l 与曲线C 分别交于P ，Q 两点．(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若|PQ |2＝|AP |·|AQ |，求直线l 的斜率k .解：(1)由题意知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，因为ρ＝2sin θ，所以ρ2＝2ρsin θ， 把y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2代入得x 2＋y 2＝2y ， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y .(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程，得t 2＋(4cos α)t ＋3＝0， 由Δ＝(4cos α)2－4×3>0，得cos 2α>34，由根与系数的关系，得t 1＋t 2＝－4cos α，t 1t 2＝3. 不妨令|AP |＝|t 1|，|AQ |＝|t 2|，所以|PQ |＝|t 1－t 2|， 因为|PQ |2＝|AP |·|AQ |，所以(t 1－t 2)2＝|t 1|·|t 2|， 则(t 1＋t 2)2＝5t 1t 2，得(－4cos α)2＝5×3， 解得cos 2α＝1516，满足cos 2α>34，所以sin 2α＝116，tan 2α＝115，所以k ＝tan α＝±1515. 7．(2019届高三·湘东五校联考)平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过点M (－2，－4)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2cos θ.(1)写出直线l 的参数方程(α为常数)和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且|MA |·|MB |＝40，求倾斜角α的值．解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝－4＋t sin α(t 为参数)，ρsin 2θ＝2cos θ，即ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x .(2)把直线l 的参数方程代入y 2＝2x ， 得t 2sin 2α－(2cos α＋8sin α)t ＋20＝0， 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，由一元二次方程根与系数的关系得，t 1＋t 2＝2cos α＋8sin αsin 2α，t 1t 2＝20sin 2α， 根据直线的参数方程中参数的几何意义，得|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝20sin 2α＝40，得α＝π4或α＝3π4.又Δ＝(2cos α＋8sin α)2－80sin 2α>0，所以α＝π4.8．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 解：(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点需满足21＋k2<1，解得k <－1或k >1，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝⎛⎭⎪⎫t 为参数，π4<α<3π4.设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎪⎫α为参数，π4<α<3π4.第二讲 选修4－5 不等式选讲[考情分析]1．不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是绝对值不等式的解法以及不等式的证明，其中绝对值不等式的解法以及绝对值不等式与函数综合问题的求解是命题的热点．2．该部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考时应注意分类讨论思想的应用．考点一 绝对值不等式的解法[典例感悟][典例] (2018·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； (2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x <－1，2，－1≤x ≤2，－2x ＋6，x >2.当x <－1时，由2x ＋4≥0，解得－2≤x <－1；当－1≤x ≤2时，显然满足题意；当x >2时，由－2x ＋6≥0，解得2<x ≤3，故f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}．(2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4.由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．[方法技巧]绝对值不等式的5种常用解法(1)基本性质法：对a ∈R ＋，|x |<a ⇔－a <x <a ，|x |>a ⇔x <－a 或x >a . (2)平方法：两边平方去掉绝对值符号．(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．[演练冲关](2019届高三·沈阳模拟)已知函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a ∈R. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋|2x ＋1|的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＋3x ， 由f (x )≥3x ＋|2x ＋1|，得|x －1|－|2x ＋1|≥0， 当x >1时，x －1－(2x ＋1)≥0，得x ≤－2，无解； 当－12≤x ≤1时，1－x －(2x ＋1)≥0，得－12≤x ≤0；当x <－12时，1－x ＋(2x ＋1)≥0，得－2≤x <－12.∴不等式的解集为{x |－2≤x ≤0}． (2)法一：由|x －a |＋3x ≤0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，4x －a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，2x ＋a ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2.由－a2＝－1，得a ＝2.当a ＝0时，不等式的解集为{}x |x ≤0，不合题意． 当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤a 4.由a4＝－1，得a ＝－4.综上，a ＝2或a ＝－4.法二：当x ≥a 时，f (x )＝4x －a ，函数f (x )为增函数， 由不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}得，f (－1)＝4×(－1)－a ＝0，得a ＝－4.当x <a 时，f (x )＝2x ＋a ，函数f (x )为增函数， 由不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}得，f (－1)＝2×(－1)＋a ＝0，得a ＝2.经检验，a ＝2或a ＝－4都符合题意， 故a 的值为2或4.考点二 不等式的证明[典例感悟][典例] (2017·全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.[证明] (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4，当且仅当a ＝b ＝1时取等号．(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3a ＋b24(a ＋b )＝2＋3a ＋b34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号．[方法技巧] 证明不等式的常用方法不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、反证法等． (1)如果已知条件与待证结论直接联系不明显，则考虑用分析法．(2)如果待证的是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的问题，则考虑用反证法．[演练冲关]设不等式||x ＋1|－|x －1||<2的解集为A . (1)求集合A ；(2)若a ，b ，c ∈A ，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1.解：(1)由已知，令f (x )＝|x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ≥1，2x ，－1<x <1，－2，x ≤－1，由|f (x )|<2得－1<x <1，即A ＝{x |－1<x <1}．(2)证明：要证⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1，只需证|1－abc |>|ab －c |，只需证1＋a 2b 2c 2>a 2b 2＋c 2，只需证1－a 2b 2>c 2(1－a 2b 2)，只需证(1－a 2b 2)(1－c 2)>0，由a ，b ，c ∈A ，得－1<ab <1，c 2<1，所以(1－a 2b 2)(1－c 2)>0恒成立．综上，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1.考点三 含绝对值不等式的恒成立问题[典例感悟][典例] (2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1<x <1，2，x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >12. (2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|<1成立．若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1；若a >0，则|ax －1|<1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x <2a ，所以2a ≥1，故0<a ≤2.综上，a 的取值范围为(0,2]．[方法技巧]已知不等式恒成立求参数范围问题的3种解法 分离 参数法 运用“f (x )≤a 恒成立⇔f (x )max ≤a ，f (x )≥a 恒成立⇔f (x )min ≥a ”可解决恒成立中的参数取值范围问题更换 主元法 对于一些含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决问题时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法 数形 结合法 在研究曲线交点的恒成立问题时数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维的优势，可直接解决问题[演练冲关]已知函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －3|，g (x )＝|x ＋1|＋|x －a |. (1)求f (x )≥1的解集；(2)若对任意的t ∈R ，s ∈R ，都有g (s )≥f (t )．求a 的取值范围．解：(1)因为函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －3|，故f (x )≥1，等价于|2x ＋1|－|2x －3|≥1， 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－2x －1－3－2x ≥1，①或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤32，2x ＋1－3－2x ≥1，②或⎩⎪⎨⎪⎧x >32，2x ＋1－2x －3≥1.③①无解，解②得32≥x ≥34，解③得x >32.综上可得，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥34.(2)若对任意的t ∈R ，s ∈R ，都有g (s )≥f (t )，可得g (x )min ≥f (x )max . ∵函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －3|≤|2x ＋1－(2x －3)|＝4，∴f (x )max ＝4. ∵g (x )＝|x ＋1|＋|x －a |≥|x ＋1－(x －a )|＝|a ＋1|，故g (x )min ＝|a ＋1|. ∴|a ＋1|≥4，解得a ≥3或a ≤－5. 故a 的取值范围为{a |a ≥3或a ≤－5}．[课时跟踪检测]1．(2018·广州模拟)已知定义在R 上的函数f (x )＝|x －m |＋|x |，m ∈N *，存在实数x 使f (x )<2成立．(1)求实数m 的值；(2)若α≥1，β≥1，f (α)＋f (β)＝4，求证：4α＋1β≥3.解：(1)因为|x －m |＋|x |≥|(x －m )－x |＝|m |. 所以要使不等式|x －m |＋|x |<2有解，则|m |<2， 解得－2<m <2.因为m ∈N *，所以m ＝1. (2)证明：因为α≥1，β≥1，所以f (α)＋f (β)＝2α－1＋2β－1＝4， 即α＋β＝3，所以4α＋1β＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋1β(α＋β)＝13⎝⎛⎭⎪⎫5＋4βα＋αβ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋24βα·αβ＝3.当且仅当4βα＝αβ，即α＝2，β＝1时等号成立，故4α＋1β≥3.2．(2018·唐山模拟)设f (x )＝|x |＋2|x －a |(a >0)． (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≤4； (2)若f (x )≥4，求实数a 的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x|＋2|x－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2－3x，x<0，2－x，0≤x≤1，3x－2，x>1.当x<0时，由2－3x≤4，得－23≤x<0；当0≤x≤1时，由2－x≤4，得0≤x≤1；当x>1时，由3x－2≤4，得1<x≤2.综上，不等式f(x)≤4的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，2.(2)f(x)＝|x|＋2|x－a|＝⎩⎪⎨⎪⎧2a－3x，x<0，2a－x，0≤x≤a，3x－2a，x>a.可见，f(x)在(－∞，a]上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．当x＝a时，f(x)取得最小值a.若f(x)≥4恒成立，则应a≥4.所以a的取值范围为[4，＋∞)．3．(2018·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．解：(1)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x，x<－12，x＋2，－12≤x<1，3x，x≥1.y＝f(x)的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5.4．(2018·开封模拟)已知函数f (x )＝|x －m |，m <0. (1)当m ＝－1时，求解不等式f (x )＋f (－x )≥2－x ； (2)若不等式f (x )＋f (2x )<1的解集非空，求m 的取值范围． 解：(1)设F (x )＝f (x )＋f (－x )＝|x －1|＋|x ＋1| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <－1，2，－1≤x <1，G x ＝2－x ，2x ，x ≥1，由F (x )≥G (x )解得{x |x ≤－2或x ≥0}． (2)f (x )＋f (2x )＝|x －m |＋|2x －m |，m <0. 设g (x )＝f (x )＋f (2x )，当x ≤m 时，g (x )＝m －x ＋m －2x ＝2m －3x ，则g (x )≥－m ； 当m <x <m2时，g (x )＝x －m ＋m －2x ＝－x ，则－m2<g (x )<－m ；当x ≥m2时，g (x )＝x －m ＋2x －m ＝3x －2m ，则g (x )≥－m2.则g (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－m2，＋∞，不等式f (x )＋f (2x )<1的解集非空， 即1>－m2，解得m >－2，由于m <0，则m 的取值范围是(－2,0)．5．(2018·昆明模拟)设函数f (x )＝|x －a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋2a (a ≠0，a ∈R)．(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≤5；(2)记f (x )的最小值为g (a )，求g (a )的最小值． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋2|， 故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x >1，3，－2≤x ≤1，－2x －1，x <－2.①当x >1时，由2x ＋1≤5，得x ≤2，故1<x ≤2； ②当－2≤x ≤1时，由3≤5，得x ∈R ，故－2≤x ≤1； ③当x <－2时，由－2x －1≤5，得x ≥－3，故－3≤x <－2. 综上，不等式的解集为[－3,2]． (2)f (x )＝|x－a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋2a ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a －⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2a ≤0时等号成立，所以g (a )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋2a ，因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋2a ＝|a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a ≥2|a |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a＝22，当且仅当|a |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a， 即a ＝±2时等号成立， 所以g (a )min ＝2 2.6．(2018·陕西模拟)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|. (1)解不等式f (x )≤3；(2)记函数g (x )＝f (x )＋|x ＋1|的值域为M ，若t ∈M ，证明：t 2＋1≥3t＋3t .解：(1)依题意，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1，2－x ，－1<x <12，3x ，x ≥12，于是f (x )≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－3x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <12，2－x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x ≤3，解得－1≤x ≤1.故不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤1}．(2)证明：g (x )＝f (x )＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|2x －1－2x －2|＝3，当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0时取等号， ∴M ＝[3，＋∞)．t 2＋1≥3t ＋3t 等价于t 2－3t ＋1－3t≥0，t 2－3t ＋1－3t ＝t 3－3t 2＋t －3t＝t －3t 2＋1t.∵t ∈M ，∴t －3≥0，t 2＋1>0， ∴t －3t 2＋1t ≥0，∴t 2＋1≥3t＋3t .7．(2018·福州模拟)设函数f (x )＝|x －1|. (1)求不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集；(2)已知关于x 的不等式f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |的解集为M ，若⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32⊆M ，求实数a 的取值范围．解：(1)因为f (x )≤3－f (x －1)， 所以|x －1|≤3－|x －2|， 即|x －1|＋|x －2|≤3，则⎩⎪⎨⎪⎧x <1，3－2x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤2，1≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，2x －3≤3，解得0≤x <1或1≤x ≤2或2<x ≤3， 所以0≤x ≤3，故不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集为[0,3]．(2) 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32⊆M ，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32时，f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |恒成立，而f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |⇔|x －1|－|x |＋|x －a |≤0⇔|x －a |≤|x |－|x －1|，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，所以|x －a |≤1， 即x －1≤a ≤x ＋1，由题意，知x －1≤a ≤x ＋1对于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32恒成立， 所以12≤a ≤2，故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 8．(2018·郑州模拟)已知f (x )＝|2x －1|＋|ax －5|(0<a <5)． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥9的解集； (2)若函数y ＝f (x )的最小值为4，求实数a 的值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ，x <12，x ＋4，12≤x <5，3x －6，x ≥5，∴f (x )≥9⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <12，6－3x ≥9或⎩⎪⎨⎪⎧12≤x <5，x ＋4≥9或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥5，3x －6≥9.解得x ≤－1或x ≥5，即所求不等式的解集为(－∞，－1]∪[5，＋∞)． (2)∵0<a <5，∴5a>1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2x ＋6，x <12，2－a x ＋4，12≤x ≤5a，a ＋2x －6，x >5a.∵当x <12时，f (x )单调递减，当x >5a时，f (x )单调递增，∴f (x )的最小值在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5a 上取得，∵在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5a 上，当0<a ≤2时，f (x )单调递增，当2<a ≤5时，f (x )单调递减， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤2，f x min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4或⎩⎪⎨⎪⎧2<a ≤5，f x min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5a ＝4.解得a ＝2.。
对一道高考数学压轴题的几点思考——以2019年江苏数学高考卷第19题为例
为
犕 ，求证：犕
４ ≤２７．
不难发现，前两 问 比 较 常 规，所 以 下 面 我 们 重 点
谈谈对于第 （３）问 的 思 考．分 析 问 题，我 们 发 现：目 标
是要证明 “犕
≤
４”，要 ２７
达
到
目
标，必
须
先
研
究
函
数
犳（狓）的极大值；要研究函数犳（狓）的极大值，必须知 道函数犳（狓）的单调性；要知道函数犳（狓）的单调性， 必须先研究犳（狓）的导函数的零点．接着，我们就执行 这个分析思路．
３
．
因为犳（狓１）＝狓３ １ － （犫＋１）狓２ １ ＋犫狓１，所以犳（狓１）
（ ） ＝狓３ １
－
（犫
＋ １）狓２ １
＋犫狓１
＝犳′（狓１）狓３１
犫＋１ －９
－
２（犫２ －９犫＋１）狓１
＋
犫（犫＋１） 犫（犫＋１）
９
＝
２７
－
２（犫－１２）７２（犫＋１）＋２２７（槡犫（犫－１）＋１）．
因为０＜犫≤１，所以犳（狓１）≤２２７＋０＋２２７≤２４７．
解：因为犳（狓）＝狓（狓 －犫）（狓 －１）＝狓３ － （犫＋ １）狓２ ＋犫狓，所以犳′（狓）＝３狓２ －２（犫＋１）狓＋犫．
因 为Δ ＝４（犫＋１）２ －１２犫＝（２犫－１）２ ＋３＞０，所 以犳′（狓）有２个不同的零点，设为狓１，狓２，不妨令狓１ ＜
狓２． 当狓 ＜狓１ 时，犳′（狓）＞０，当狓１ ＜狓 ＜狓２ 时，
（ ） （２）要证ｌｎ狓＋狓犪－１＞１犪 ≥ １ ２，狓 ＞１ 成立，
（含有狓 和犪两个未知量，考虑消元）即证ｌｎ狓＋狓犪－１ ≥ｌｎ狓＋２（狓１－１）＞１．（利用不等关系消犪）即证２（狓 －１）ｌｎ狓＋１＞２（狓－１）当狓 ＞１时成立．
全国II卷理科数学2013-2018年高考分析及2019年备考策略
全国Ⅱ卷理科数学2013-2018年高考分析及2019年高考预测2019年高考，除北京、天津、上海、江苏、浙江等5省市自主命题外，其他26个省市区全部使用全国卷．研究发现，全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和连续性．每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等相对固定．掌握了全国卷的各种题型，就把握住了全国卷命题的灵魂．基于此，笔者潜心研究近6年全国高考文科数学Ⅱ卷和高考数学考试说明，精心分类汇总了全国卷近6年所有题型．为了便于读者使用，所有题目分类（共21类）列于表格之中，按年份排序．高考题的小题（填空和选择）的答案都列在表格的第三列，便于同学们及时解答对照答案，所有解答题的答案直接列在题目之后，方便查看．一、集合与常用逻辑用语小题：1．集合小题：6年6考，每年1题，都是交并补子运算为主，多与不等式交汇，新定义运算也有较小的可能，但是难度较低；基本上是每年的送分题，相信命题小组对集合题进行大幅变动的 2. 设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{1}A B = ，则B =（） ）已知集合，则2．常用逻辑用语小题：6年0考．这个考点一般与其他知识交汇出题，单独出题可能性小。
二、复数小题：6年6考，每年1题，以四则运算为主，偶尔与其他知识交汇，难度较小．一般涉及考查概念：1.31ii+=+（））已知）6年6考，每年1题，向量题考的比较基本，突出向量的几何运算或代数运算，不侧重于与其它）已知向量，且）设向量不平行，向量平行，则实数6年5考，2016年没有考，全国2卷线性规划题考的比较基本，一般不与其它知识结合，不2330x y+-≤⎧满足约束条件的最大值为70310y y +--+≤≤，则z 6年11考．题目难度较小，主要考察公式熟练运用，平移，由图像性质、化简求值、解三角形等问题（含应用题），基本属于“送分题”．三角不考大题时，考3个小题，三角函数的图象=6年12考，每年2题，一般考三视图和球，主要计算体积和表面积．2018年一反常态，没有考三视图和球，这是一个信号。
高考数学二轮有效复习策略
2019年7月高中高三二轮复习是每个高考学科都必须经历的一场硬战，同时是学生提分的黄金时段，数学学科更是如此.二轮复习无论是对知识的综合运用还是解题中数学思想的体现，对学生来说都是一种考验.为了快速且有效地赢得这场“硬战”，笔者结合教学实践作出了以下几点思考.一、重研《考试说明》,精讲高考试题,回归课本高考命题依托于《考试说明》，而《考试说明》是高考命题的罗盘.尤其是实施新课改后新增的知识，必定是考试的热点，因此只有重新认真研读《考试说明》，分析近几年高考试题稳中求变的趋势，才能加深对它的理解，并缩短平时教学的维度与命题专家对《考试说明》的理解维度之间的差距，从而尽可能地减少复习的盲目性，增加针对性，做到有的放矢.数学课本是高考数学试卷的知识载体，二轮复习中教师应引导学生重新研读课本，教师则需针对最近三五年的高考试题及学生的实际情况，选择性地回归课本.针对课本中重要的定理和公式的运用、易混淆的概念、典型例题等进行分析改编，这在某种程度上不仅可以提高教师创新问题、分析问题的能力，同时还可以使学生在实际解题中透过现象发现本质.但在整编课本资源时回归课本是前提，超越课本是基础.二、精心备课,有效使用复习资料在高三二轮复习中进行章节复习时，教师在课堂上普遍存在这样一个现象：先网罗本省、江苏、上海等省市的“优秀”试题，合成一张卷子，分发给学生练习，再统计学生的出错率，最后在错题上主攻.虽然网罗的试卷是“优秀”试卷，但希望通过一张试卷就能快速地体现出知识的重难点和必考点，迅速提高教学效果，在某种程度上显然没有注意到试题的结构层次和学生的认知水平结构.数学问题有简单和复杂，特殊和一般的区分，重点研读课本中的例题、习题、复习题，基本体现出一定的层次结构性、难度梯度性及典型性.再者，由于在二轮复习阶段，考试、练习次数比较多，真正用于上课的时间会大幅度减少，因此精心备课、优化课题、有效使用复习资料显得尤为重要.在备课方面，需做到一备《考试说明》，熟悉本章高考应该会考什么，考试题型的类别.二备学情，上课前摸清学生的起点水平，通过一轮复习，结合本班学生的实际情况，做到哪些需要讲，哪些可以简化，哪些需要强化，如果强化，需要到什么程度.三备教材、教法，教师在重新认真研读《考试说明》的基础上，用心设计教学内容，回归课本，灵活运用教法，让每节复习课做到行而有效.在复习资料方面，由于二轮复习时间紧，学生各科任务重，精力有限，故而挑选复习资料要精，克服夹一本复习资料进课堂，照搬照抄.如果盲目搬用，不仅会导致题目重复出现，针对性不强，还会限制复习的宽度.因此教师应该根据本班学生的实际情况，自己最好能编排一些资料，对分发的资料应做适当筛选后再发给学生，或有选择性地指定学生做哪些题.在此环节，一要遵循“四个必须”的原则，即学生易错的知识考点必选，学生常错、缺漏的考题必选，高考必考的内容必选，高考的热点内容必选；二要把握典型性、梯度性、新颖性、针对性这“四性”.三、教师讲评和学生动手保持平衡二轮复习中教学进度快、题目相对难，难免使课堂变成教师的演讲课，从而就题论题，缺少变换，“一讲到底”.讲解过程中，教师如果直接告诉学生结论，难免使学生参与的机会少，缺少自我探究，导致学生动手能力、运算能力提升速度慢，只是被动接受教师的讲解，难以形成自己独立的解题思维.对正确率高的问题，直接跳过，在某种层面上，造成学困生依然学困.因此，教师讲解和学生动手应保持在相对平衡的状态下.具体可以从高考数学二轮有效复习策略筅浙江省天台县天台苍山中学施倩考试研究备考指南302019年7月高中以下几个方面着手.在教师层面上，讲评必须做到精准到位，分析透彻，带领学生一起研读试题，推敲题意，讲后对症再练.基本做到“三讲”和“三不讲”原则，容易知识出错和运算出错的要讲，易混淆的知识点要讲，必考题和难点题要讲；学生已经学会的不讲，教师看了答案都只是勉强会的不讲，学生怎么学都难以入门的不讲.抛弃学生难以掌握的非常规解法，将课本中实实在在的通性通法展现给学生.在学生层面上，教师讲评过程中应留部分时间让学生自己动手，主要培养学生良好的解题习惯并锻炼学生的应试技巧.具体做到：一要指导学生审题要清，学会挖掘题目的隐含条件，例如，讨论函数f （x ）=ln x-2e x 的单调区间时，一定要考虑x 的取值范围.二要指导学生算法要合理，解题步骤跨度不要太大.三要指导学生长期反复的动手运算，期望几次训练就想提高运算能力是不切实际的，特别是解析几何的运算，往往庞大而复杂，这时需要靠平时训练过程中过硬的运算能力和技巧.四要指导学生要有得分意识，卷面要干净利落，因为卷面是学生与阅卷老师之间的桥梁，所以答案表达要全，术语表达要准确，逻辑性要强，避免会而不对，对而不全.难的解答题要突出得分点，关键步骤要对，并将题目中一些隐形的条件挖掘出来.四、师生共同总结解题经验目前高考强调对基础知识、运算能力、审题、思想方法、学生心态等各方面的考查，师生共同总结解题经验往往会有事半功倍的效果.基础知识的考查往往体现数学思想方法，师生应一起总结体会，例如分类讨论、数形结合、函数与方程、化归与转化等.审题方面，要强调审题要清，往往因一字之差，谬以千里，例如y=log 2ax 2+2ax+1的值域是一切实数，求a 的取值范围，改为y=log 2ax 2+2ax+1定义域是一切实数，求a 的取值范围，题中只因两个字的改变导致整个解题的思路发生了完全不同的变化.当审题清晰且思路无误后，运算最容易出现错误.一种是笔误，上一行的减号到下一行变成了加号，上一行x 的平方到了下一行变成了三次方.另一种是运算错误，这种错误往往难以发现，错得“理直气壮”，这种错误时常夹带着知识错误，例如解不等式|x-3x|约x 时，很多学生喜欢直接平方，从而导致出现错误.五、关爱学生,辅助学生修炼平常心高考时，保持一颗平常心是关键.如果能做到用平常的心态去迎接考试，往往能考出超常的分数.有一些学生从小惧怕数学，总担心考不好，考试的时候，瞻前顾后，患得患失，在这样的心态施压下很难考出理想的数学成绩，而且越到关键的时刻，发挥得越不好.其实，数学及其他的学科，没什么可怕的，只要考出真实水平，就能做到问心无愧.保持一颗平常心，就是要把会的题做对，不会做的题尽量多得分，这样，往往能出奇制胜，考出令自己、令家长、令老师满意的成绩.所谓的平常心，无非就是我易人亦易，我难人更难，全力以赴，结果自然不会太差.高考关乎每位考生的命运，说不紧张那是不可能的，随着二轮复习的不断深入，距离高考的时间越来越近，考生的心理会发生复杂的变化，压力也会越来越大.在教学效果达成层面上要使学生获得成就感和满足感，切忌给予学生反复失败的刺激，这种反复刺激会在很大程度上挫伤学生的积极性.因此，学生出现的各种心理问题教师应及时给予针对性的疏导.平时，教师应主动联系学生，了解他们的学习、生活、思想等状况，及时点拨其心理困扰，帮助他们修炼一颗平常心来对待高考，提高他们面对高考的心理适应能力.教师还可以在课后与学生一起互动，例如，跑步、饭后散步等活动，在这些轻松舒畅的活动中教给学生一些应试技巧及经验，从而拉近与学生之间的距离，并成为其在高考路上的引路人.总之，高考二轮复习是围绕着《考试说明》的核心，将知识、方法和技能在平常心下有机地整合在一起，建立一个个专题网，应该能达到良好、有效的复习效果.同时，高考二轮复习不是一个人的战斗，而是与教师同仁以及学生一起努力，合作共享，二轮复习一定会为打赢高考这场“硬战”埋下铺垫.F备考指南考试研究31。
2019年高考数学全国卷和北京卷试题对比分析及2020届高三复习策略
备考建议
1. 重视基础知识、基本技能和基本思想方法的复习
概念的理解要准确而且深刻 基本解题技巧的掌握要精确而且熟练 基本思想方法的渗透要立足于课堂
2. 突出重点，抓住知识之间的相互联系
函数内容仍然占据主体地位 函数与方程、数列与不等式、向量与立体几何等内容的结合
①函数内容占比最高 ②线性规划、三视图等内容删去
学生得分情况分析-本科
理科 要求：80分
选择题：40分 填空题：10分
17题: 12分 18题: 8分 19题: 6分 解答题 20题: 2分 21题: 1分 选做题：3分 容错分：2分
文科 要求：90分
选择题：45分 填空题：10分
17题: 12分 18题: 12分 19题: 6分 解答题 20题: 2分 21题: 1分体几何：圆柱
圆锥曲线：双曲线
6
统计：系统抽样
函数与导数：切线方程 立体几何：点线面关系
7
三角函数
向量：向量的线性运算 不等式：线性规划
8
向量的数量积
三角函数图像的性质
函数：函数的图像
9
程序框图
立体几何：三视图
函数：函数的性质
10
圆锥曲线：双曲线
立体几何：线面夹角
程序框图
11
解三角形
三角函数的定义
题序 1-12 13-16
题型
选择题 填空题
分值
单题：5分 一共60分
单题：5分 一共20分
17-21
解答题（必做）
单题：12分 一共60分
22-23
解答题（选做）
单题：10分 一共10分
难度设置
基础题×6 中档题×5 高档题×1 基础题×1 中档题×2 高档题×1
广西高考数学学科2019年试题分析及2020年备考建议
全国范围内逐步推进的取消文理分科、文理数学同卷
的改革相呼应.
（三）试题解题思路点拨
1.常考常新的主干知识
三角函数与解三角、数列与不等式、概率与统计、
立体几何与空间向量、解析几何、函数与导数这六大模
块是高中数学的主干知识和核心内容，是高考考查的
重点.
（1）《普通高中数学课程标准（2017 版）》（以下简称
特值思想的应用，解法四体现了几何法与代数法的综
合应用.
第（1）问解法一：由题设及正弦定理sina
A
=
b sin
B得
sinA
sin A
+C 2
=
sin
B
sin
A.由于sin
A ≠ 0，所以sin
A+ 2
C
=
sin
B. 又A
+
B
+
C=180°，即sin
A
+ 2
C
=
cos
B 2
，所 以 cos
B 2
=
2
sin
专题
—广西高考数学学科 2019 年试题分析及 2020 年备考建议
□南宁市第二中学 文尚平 徐 华
在国家推行新一轮课程改革及各地陆续进入新高 考的背景下，2019 年广西高考所采用的全国Ⅲ卷文、理 科数学试题的命制，既严格遵循《普通高中数学课程标 准（实验）》的要求，又紧扣《2019 年普通高等学校招生 全国统一考试大纲（数学）》（以下简称《2019 年考纲》）， 试卷结构稳中有变、变中求新，试题设计在立足基础知 识、基本技能、基本思想方法和基本活动经验的同时， 坚持以立德树人、服务高校人才选拔为导向，多角度、 多层次地考查考生的学科素养，不仅考查了逻辑推理、 数学运算、创新意识与中国传统数学文化，更突出了数 学的基础性和应用性.深入分析试题的这些特点和变 化，能够为 2020 年的高考备考提供一些启示.
高考二轮复习数学备考要点
2019年高考二轮复习数学备考要点有人形象地把高考第二轮复习比喻战争的相持阶段，这个阶段也是同学们学习水平的分水岭，成绩在这个时候就开始逐渐拉开差距。
要赢得这个阶段的胜利，关键是心中有目标，解题有方法，坚持不懈地努力。
数学：优化知识体系提升数学思想一、明确模拟练习的目的，不但检测知识的全面性，方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
二、查漏补缺，以"错"纠错，每过一段时间，就把"错题笔记"或标记错题的试卷有侧重地看一下。
查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
三、严格有规律地进行限时训练。
特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考（微博），严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
这个工作可让学生分组负责收集整理，登在小黑板上，每周一换。
要求学生抽空抄录并且阅读成诵。
其目的在于扩大学生的知识面，引导学生关注社会，热爱生活，所以内容要尽量广泛一些，可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。
如此下去，除假期外，一年便可以积累40多则材料。
如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料，写起文章来还用乱翻参考书吗?四、保证常规题型的坚持训练，做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
这个工作可让学生分组负责收集整理，登在小黑板上，每周一换。
要求学生抽空抄录并且阅读成诵。
其目的在于扩大学生的知识面，引导学生关注社会，热爱生活，所以内容要尽量广泛一些，可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。
如此下去，除假期外，一年便可以积累40多则材料。
如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料，写起文章来还用乱翻参考书吗?要练说，得练听。
听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。
我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。
高考数学压轴题背景溯源分析及其备考教学研究
!高考数学压轴题背景溯源分析及其备考教学研究#山东省烟台第三中学!杨新萍新课标背景下!数学高考试卷压轴题命题的视角愈发多元!其难易程度以及能力考查位于中等与高等之间!整合了竞赛类数学题目中典型知识点)问题)数学思想!而竞赛数学为高等数学的基础!其在高考试卷压轴题中的渗透是高中数学课改的最新尝试!以加大能力考查力度!对学生智力以及综合能力展开更精准的衡量!从而更好地发挥高考的选拔功能!因此!在高中阶段!溯源高考数学压轴题背景!是把控高考数学热点与方向的重要手段!本文基于此!从知识背景与方法背景两个层面展开高考数学压轴题溯源!并提出针对性备考教学设计方法!以为高中生数学复习提供有益参考!!高考数学压轴题背景溯源!1!知识背景目前高考数学压轴题的难度以及考查的主要内容介于中等与高等数学之间!与竞赛数学在思想)方法方面存在诸多融合之处!其中两者知识点的重合部分有'代数方程)三角函数)平面几何)初等数论等!而高考作为一次选拔性考试!其命题过程中始终遵循以能力意志为基础的原则-且课程标准提倡尊重学生个性差异!从不同角度学习数学!而在高考命题中也充分体现这一特点!压轴题的出现则是加深试卷整体深度!对学生思维品质与综合能力展开更高标准的考查!其中借鉴了诸多竞赛数学题目)思想)理念!因此!从知识背景溯源应考虑高考命题与竞赛数学结合后题型)考点的创新!以函数问题为例'高考试题 %#((%年广东卷&设函数-%"&在%&K !$K &上满足-%#&"&%-%#$"&!-%'&"&%%'$"&!且在闭区间5(!'6上!只有-%!&%-%$&%(!问题'%!&试判断函数#%-%"&的奇偶性-%#&试求方程-%"&%(在闭区间5&#((%!#((%6上的根的个数!并证明结论!竞赛试题 %!3&"年第二节美国数学邀请赛&函数-定义在实数域上!且满足如下条件'对任何实数"!-%#$"&%-%#&"&!-%'$"&%-%'&"&!如果"%(是-%"&%(的一个根!那么-%"&%(在区间&!(((&"&!(((中至少应有几个根$两个题目的条件以及问题都具有相似性!高考试题仅在试题的问题上以及已知条件中做了简单改动!考查学生对函数单调性)周期性等知识点的掌握!主要测试学生的运算能力与思维能力!!1"方法背景除了考查知识点)命题思想等知识层面与竞赛数学试题的关联!在数学方法上也存在直接的联系!例如!对极端原理的考查!通过已知条件对研究对象极端情况的约束!研究数学题目中的某种极端性质!用于解题的思想)方法及研究都被称作极端原理!利用该原理解决数学问题过程中!重点应放在全面讨论问题的极端情况上!如果已知条件发现矛盾或特殊性质!极端情况往往隐藏其中!这是竞赛数学中频繁出现的数学问题解决方法!如最小)最大原理!最短)最长原理等都是竞赛数学的高频考点!而在高考中极端原理题目也经常出现!如'高考试题 %#((%年辽宁卷&已知#%-%"&是定义在*上的单调函数!实数"!5"#!&5!!!%"!$&"#!$&!'%"#$&"!!$&!若-%"!&(-%"#&$-%!&(-%'&!则%!!&!4!&$(J !&%()!($&$!!?!&+!"高考数学压轴题备考教学设计方法高考为一场选拔性考试!其侧重基础知识考查兼能力测试!因此!在试卷的命题上其多以基础数学知识)基础数学思想)基础数学技能为主!主要考查的能力有空间想象能力)运算能力)思维能力等!在保持命题方向基本不变的情况下!借鉴竞赛数学的基础问题提高试卷难度!从更多元的视角考查学生能力!因此!在备考环节可广泛借鉴数学竞赛试题的思想与方法!#"#(##年$月上半月备考指南复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.!具体策略如下'"1!借鉴法即将竞赛数学中的基础思想)命题直接移植到备考习题当中'或摘取竞赛数学试题当中的某些设问方法)已知条件)结论片段运用到备考习题设计当中!以上述高考试题!为例!其仅对竞赛试题的已知条件与设问方法做出了简单的调整!更多直接借鉴其条件与结论!但从借鉴问题的具体过程来看!虽然条件做出了改变!但是方法基本不变!而这种大范围借鉴的情况并不多见!小范围借鉴案例颇多!高考试题 %#((&年江西卷&如图!所示!正三棱锥="678的三条侧棱=6)=7)=8两两垂直!且长度均为#!<)3)L分别为67)68)<3的中点!过<3作平面与侧棱=6)=7)=8或其延长线分别交于6!)7!)8!!已知=6!%$#!求证7!8!1平面=6L!求二面角="6!7!"8!的大小!图!图#竞赛试题 %!33%年全国联赛&如图#所示!设=为正三棱锥+"678的底面正@678的中心!过点=的动平面与三条侧棱或其延长线的交点分别是C)A)>!求'!+C$!+A$!+>是定值!(%(为侧棱长&!两道试题在条件上具有相同性!高考试题将设问转变!但仍为相同问题的两种不同表述方式!且所给图形仍然具有一致性!"1"改造法简单理解借鉴法多为直接移用竞赛原试题!容易引发对考试公平性的争议!因此!高考数学压轴题也利用改造法!更改竞赛试题原来的面貌!以竞赛试题为骨架或模型!经过加工与改编使试题重新回到备考试题当中!采用改造法由高考不得不面对的诸多现实问题决定!如新课改背景下!要求高考进行试题创新!不得使用陈题!为确保题目的新颖性!改造法成本最低)效果最佳-且竞赛试题是经由数学专家)学者苦心设计的!其集中反馈出数学研究兴趣!目前常用的改造方法如下'%!&数据变换!高考试题 %#((%年江西卷&已知数列,(1的各项都是正数!且((%!!(0$!%!#(0%"&(0&!0--!证明(0$(0$!$#!0---求解数列,(01的通项公式(0!竞赛试题 %!3&%年加拿大数学奥林匹克竞赛&设!$"!$#!对于0%!!#!$!00!定义"0$!%!$"0&!#"#0!求证对于0+$!有"0&槡#$#&0!%#&化繁为简!高考试题 %#((&年全国卷!&如图$所示!环形花坛被分成四块!有"种花供本次选种!要求每块里种一种花!且相邻两种种类不同!问'共多少种种法$竞赛试题 %#((!年全国高中数学联合竞赛&在正六边形的6)7)8);)<)3六个区域种植观察植物!如图"所示!要求每块种一种植物!相邻两块植物种类不同!现有"种植物可供选择!栽种方案有多少种$图$图""1#渗透法即选择竞赛试题中的定理进行加工)改造!渗透原题目的思想!使试题焕然一新!高考试题 %!330年全国卷&已知(!)!5为实数!函数-%"&%("#$)"$5!G%"&%("$)!当&!&"&!时!-%"&&!!求'%!&5&!-%#&当&!&"&!时!G%"&&#-%$&(,(!当&!&"&!时!G%"&的最大值为#!求-%"&!竞赛试题 %美国第六届普特南竞赛&设()))5-*!-%"&%("#$)"$5!当"&!时!-%"&&!!证明当"&!时!#("$)&"!通过对高考数学压轴题的溯源!了解命题人的意图)命题思维!在备考阶段可逐步渗透所涉及的数学思想)方法!使学生提前了解)适应试题思路!形成应对策略体系!参考文献*!+犹广江!立足教材$全面构思$注重导向!!!命制一道中考模拟压轴题的心路历程*,+!中学数学&下($#(!3&"(!*#+张宁!关注倍角模型$破解中考压轴题!!!等腰三角形中的两个倍角关系模型在解题中的应用*,+!中学数学&下($#(!&&!((!$$"复习备考备考指南#(##年$月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
如何研究高考数学真题
如何研究高考数学真题高考数学真题一直以来都是考生备战高考的重要素材，通过研究高考数学真题，考生可以更好地了解考试趋势、题型分布，从而有针对性地进行复习。
那么，如何有效地研究高考数学真题呢？首先，要系统地梳理历年高考数学真题。
考生可以按照年份、题型、知识点等分类，将历年高考数学真题进行整理，建立起一个清晰的档案。
通过系统地梳理真题，可以更好地把握数学考试的命题规律和出题规律，有针对性地进行备考。
其次，要注重实战演练。
光看真题是不够的，考生还需要通过大量的实战演练来检验自己的掌握程度。
可以结合历年真题和模拟题，进行针对性的练习，不断提高解题速度和准确率。
通过实战演练，考生可以更好地发现自身存在的问题，并及时进行调整和补充。
再次，要重视错题的整理和总结。
在做真题和模拟题的过程中，很可能会出现错误，这些错误不要被忽视，而是应该进行总结和整理。
将错题进行分类，找出错误的原因，总结规律，可以帮助考生更深入地理解知识点，避免类似错误在考试中再次发生。
最后，要灵活运用解题技巧和方法。
在研究高考数学真题的过程中，考生应该积累各种解题技巧和方法，建立起自己的解题思维框架。
不同类型的题目可能需要不同的解题思路，考生要善于灵活运用各种解题技巧，找到最适合自己的解题方法，提高解题效率。
总的来说，研究高考数学真题是备战高考的重要一环，考生要有计划地进行系统研究，注重实战演练，重视错题总结，并灵活运用解题技巧和方法。
只有通过持续不断地研究真题，考生才能更好地适应考试的节奏，做到临场应变，取得理想的成绩。
希望各位考生能够在高考数学备考中取得好成绩，顺利实现自己的高考目标！。