直角三角形(二)
2015年人教版28.2_解直角三角形(二)(三)提高训练(含答案)
28.2 解直角三角形（二）1.如图1，在△ABC中,∠C=90°,点D在BC上，CD=3，AD=BC,且cos∠ADC=3/5，则BD的长是( ) A.4 B.3 C.2 D.1a图1 图２图3 图42，图2在离地面高度5 m处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则AC=____，AD=____.（用根号表示）3.如图3，初三年级某同学要测量校园内的旗杆AB的高度.在地面上C点用测角仪测得旗杆顶A 点的仰角为∠AFE=60°，再沿着直线BC后退8米到D，在D点又测得旗杆顶A的仰角∠AGE=45°.已知测角仪的高度为1.6米，求旗杆AB的高度.（3的近似值取1.7，结果保留1位小数）4.如图4，在比水面高2 m的A地，观测河对岸有一直立树BC的顶部B的仰角为30°，它在水中的倒影B′C顶部B′的俯角是45°，求树高BC.（结果保留根号）5.如图5，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物CD的高度为( ) A.a B.atanα C.a(s inα－cosα) D.a(tanβ－tanα)图5 图6 图7 图86.有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人.小敏想知道校园内一棵大树的高度（如图6），他测得CB=10米，∠ACB=50°，请你帮他算出树高AB,约为________________米.（注：①树垂直于地面；②供选用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）7.如图7，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别是45°和60°.求塔高与楼高.（精确到0.01米）（参考数据2=1.414 21，3=1.732 05）8.如图8,某船向正东方向航行,在A处望见某岛C在北偏东60°方向，前进6海里到B点，测得该岛在北偏东30°方向.已知该岛周围6海里内有暗礁,若该船继续向东航行,有无触礁危险?请说明理由.(参考数据:3≈1.732)9.如图9，武当山风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44°减至32°，已知原台阶AB的长为5米（BC所在地面为水平面）.（1）改善后的台阶会加长多少？（2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到0.01米）(sin44°= 0.6946 ,sin32°)= 0.5299, tan32° = 0.6248)图910.如图10,某海关缉私艇巡逻到达A处时接到情报，在A处北偏西60°方向的B处发现一艘可疑船只正以24海里/时的速度向正东方向前进，上级命令要对可疑船只进行检查，该艇立即沿北偏西45°的方向快速前进，经过1个小时的航行，恰好在C处截住可疑船只，求该艇的速度.(结果保留整数,6=2.449,3=1.732,2=1.414)图1028.2 解直角三角形（三）一、课前预习 (5分钟训练)1.在下列情况下，可解的直角三角形是( ) A.已知b=3，∠C=90° B.已知∠C=90°,∠B=46°C.已知a=3,b=6,∠C=90°D.已知∠B=15°,∠A=65°2.如图1，用测倾仪测得校园内旗杆顶点A 的仰角α＝45°，仪器高CD ＝1.2 m ，测倾仪底部中心位置D 到旗杆根部B 的距离DB=9.8 m ，这时旗杆AB 的高为________ m.3.有一大坝其横截面为一等腰梯形，它的上底为6 m ，下底为10 m ，高为32 m,则坡角为_______. 二、课中强化(10分钟训练)1树被风折断，折断部分与地面夹角为30°，树尖着地处与树根的距离是35米，则原树高是____ m. 2.一等腰三角形顶角为100°,底边长为12，则它的面积是______________ (tan40° = 0.8391). 3.如图2，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB,CD=3，BD=32,求AB 及∠B.4.如图3，已知线段AB 、CD 分别表示甲、乙两幢楼的高，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，从甲楼顶部A 处测得乙楼顶部C 的仰角α=30°，测得乙楼底部D 的俯角β=60°，已知甲楼高AB=24 m ， 求乙楼CD 的高.三、课后巩固(30分钟训练)1.菱形ABCD 的对角线AC 长为10 cm,∠BAC=30°,那么AD 为( ) A.3310B.33C.3315 D.32.Rt △ABC 中,∠C=90°,CD 是斜边AB 上的中线，BC=4，CD=3，则∠A≈_________. sinA≈0.666 73.如图4所示，为了测量河流某一段的宽度，在河北岸选了一点A ，在河南岸选相距200米的B 、C 两点，分别测得∠ABC=60°，∠ACB=45°.求这段河的宽度.（精确到0.1米）4.如图4，高速公路路基的横断面为梯形，高为4 m ，上底宽为16 m ，路基两边斜坡的坡度分别为i=1∶1，i′=1∶2,求路基下底宽.图45.为缓解“停车难”问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图（图5）.按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE.（精确到0.1 m ）(，，）图56.如图6，某校九年级3班的学习小组进行测量小山高度的实验活动.部分同学在山脚下点A 测得山腰上一点D 的仰角为30°，并测得AD 的长度为180米；另一部分同学在山顶点B 测得山脚点A 的俯角为45°，山腰点D 的俯角为60°，请你帮助他们计算出小山的高度BC.（计算过程和结果不取近似值）图628.2 解直角三角形（二）参考答案1.如图1，在△ABC 中,∠C=90°,点D 在BC 上，CD=3，AD=BC,且cos ∠ADC=53，则BD 的长是()图1A.4B.3C.2D.1解析：求BD 需求BC,而BC=AD,在Rt △ADC 中,已知一角一边,可求出AD. 在Rt △ADC 中，CD=3，且cos ∠ADC=53，∴AD=5,∴BC=AD=5.∴BD=2. 答案：C2.如图２，在离地面高度 5 m 处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则AC=______，AD=__________.（用根号表示）图２解析：在Rt △ABD 中,∠A=60°，CD=5，∴AC=331060sin =︒CD ,AD=33560tan =︒CD .答案:33103353.如图3，初三年级某同学要测量校园内的旗杆AB 的高度.在地面上C 点用测角仪测得旗杆顶A 点的仰角为∠AFE=60°，再沿着直线BC 后退8米到D ，在D 点又测得旗杆顶A 的仰角∠AGE=45°.已知测角仪的高度为1.6米，求旗杆AB 的高度.（3的近似值取1.7，结果保留1位小数）图3解：设EF 为x 米， 在Rt △AEF 中,∠AFE=60°， ∴AE=EF·tan60°=3x ，在Rt △AGE 中,∠AGE=45°， ∴AE=GE·tan45°=GE=8+x. ∴3x=8+x.解之,得x=4+43.∴AE=12+43≈18.8.∴AB=20.4(米). 答:旗杆AB 高20.4米.4.如图4，在比水面高2 m 的A 地，观测河对岸有一直立树BC 的顶部B 的仰角为30°，它在水中的倒影B′C 顶部B′的俯角是45°，求树高BC.（结果保留根号）图4解Rt △AEB 与Rt △AEB′,得AE 与BE 、EB′的关系，解关于x 的方程可求得答案. 解：设树高BC=x(m)，过A 作AE ⊥BC 于E ，在Rt △ABE 中，BE=x －2,∠BAE=30°,cot ∠BAE=BEAE,∴AE=BE·cot ∠BAE=(x －2)·3=3 (x －2).∵∠B′AE=45°,AE ⊥BC. ∴B′E=AE=3(x －2).又∵B′E=B′C+EC=BC+AD=x+2, ∴3(x －2)=x+2.∴x=(4+23)(m).答：树高BC 为(4+23) m.5.如图5，两建筑物的水平距离为a 米，从A 点测得D 点的俯角为α，测得C 点的俯角为β，则较低建筑物CD 的高度为()图5A.aB.atanαC.a(sinα－cosα)D.a(tanβ－tanα) 解析:过D 点作AB 的垂线交AB 于E 点，在 Rt △ADE 中,∠ADE=α,DE=a, ∴AE=a·tanα.在Rt △ABC 中,∠ACB=β,BC=a, ∴AB=a·tan β.∴CD=AB －AE=a·tan β－a·tan α. 答案:D6.有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人.小敏想知道校园内一棵大树的高度（如图6），他测得CB=10米，∠ACB=50°，请你帮他算出树高AB,约为________________米. （注：①树垂直于地面；②供选用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）图6解析:AB=BC·tanC=12(米). 答案:127.如图7，塔AB 和楼CD 的水平距离为80米，从楼顶C 处及楼底D 处测得塔顶A 的仰角分别是45°和60°.求塔高与楼高.（精确到0.01米）（参考数据2=1.414 21，3=1.732 05）图7解：在Rt △ABD 中,BD=80米，∠BDA=60°，∴AB=BD·tan60°=803≈138.56（米）. Rt △AEC 中,EC=BD=80,∠ACE=45°， ∴AE=CE=80(米).∴CD=AB －AE≈58.56（米）.答:塔高与楼高分别为138.56米、58.56米.8.如图8,某船向正东方向航行,在A 处望见某岛C 在北偏东60°方向，前进6海里到B 点，测得该岛在北偏东30°方向.已知该岛周围6海里内有暗礁,若该船继续向东航行,有无触礁危险?请说明理由.(参考数据:3≈1.732)图8解:继续向东行驶,有触礁的危险. 过点C 作CD 垂直AB 的延长线于D,∵∠CAB=30°,∠CBD=60°,∴∠BCD=30°. 设CD 的长为x,则tan ∠CBD=BDxBD CD =,∴BD=33x. ∴tan ∠CAB=tan30°=x x AD CD 33633+==.∴x=33.∴x≈5.2<6.∴继续向东行驶,有触礁的危险.9.如图9，武当山风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44°减至32°，已知原台阶AB 的长为5米（BC 所在地面为水平面）. （1）改善后的台阶会加长多少？（精确到0.01米） （2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到0.01米）图9解：（1）如图，在Rt △ABC 中，AC=AB·sin44°=5sin 44°≈3.473. 在Rt △ACD 中，AD=︒=︒32sin 473.332sin AC ≈6.554.∴AD －AB=6.554－5≈1.55.即改善后的台阶会加长1.55米, （2）如图，在Rt △ABC 中， BC=ABcos44°=5cos44°≈3.597. 在Rt △ACD 中，CD=︒=︒32tan 473.332tan AC ≈5.558，∴BD=CD －BC=5.558－3.597≈1.96,即改善后的台阶多占1.96米长的一段地面.10.如图10,某海关缉私艇巡逻到达A 处时接到情报，在A 处北偏西60°方向的B 处发现一艘可疑船只正以24海里/时的速度向正东方向前进，上级命令要对可疑船只进行检查，该艇立即沿北偏西45°的方向快速前进，经过1个小时的航行，恰好在C 处截住可疑船只，求该艇的速度.(结果保留整数,6=2.449,3=1.732,2=1.414)图10解：设OA 的长为x ，由于点C 在点A 的北偏西45°的方向上，∴OC=OA=x.根据题意,得tan30°=312243324=⇒+==⇒+x xxx x x +12.AC 2=x 2+x 2⇒AC=22x x +,∴AC≈46（海里）.答：该艇的速度是46海里/时.28.2 解直角三角形（三）参考答案一、课前预习 (5分钟训练)1.在下列情况下，可解的直角三角形是( )A.已知b=3，∠C=90°B.已知∠C=90°,∠B=46°C.已知a=3,b=6,∠C=90°D.已知∠B=15°,∠A=65°解析：一般地，已知两边、已知一个锐角一边、已知一个锐角和两个边的关系或已知三边的关系的直角三角形可解.∴C 正确. 答案：C2.如图-1，用测倾仪测得校园内旗杆顶点A 的仰角α＝45°，仪器高CD ＝1.2 m ，测倾仪底部中心位置D 到旗杆根部B 的距离DB=9.8 m ，这时旗杆AB 的高为________ m.图1解：过C 点作ＡＢ的垂线，垂足为Ｅ点，在Rt △ACE 中,∠ACE=α=45°,BD=9.8,∴AE=9.8.∴AB=AE+CD=11(m). 答案：113.有一大坝其横截面为一等腰梯形，它的上底为6 m ，下底为10 m ，高为32m,则坡角为_______.解：设坡角为α,则坡度=tanα=3)610(2132=-，∴坡角为60°.答案：60°二、课中强化(10分钟训练)1.有一棵树被风折断，折断部分与地面夹角为30°，树尖着地处与树根的距离是35米，则原树高是_______________ m.解析：如图，在Rt △ABC 中,∠A=30°,∠C=90°,AC=35,∴AB=AACcos =10,BC=AC·tanA=5.∴原树高为15米.答案：152.一等腰三角形顶角为100°,底边长为12，则它的面积是_________________.解析：如图所示，作CD ⊥A B ,在Rt △ADC 中,得AD=6,∠ACD=50°，∴CD≈5.03，∴面积为30.18.答案：30.183.如图28-2-3-2，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB,CD=3，BD=32,求AB 及∠B.图2解：过D 点作DE ⊥AB 于E 点，设AC=x ，则AE=x.在Rt △BED 中，得到BE=3,又由AB 2=AC 2+BC 2，得（3+x ）2=x 2+27,解得x=3,AB=6, sinB=21,∴∠B=30°.4.如图3，已知线段AB 、CD 分别表示甲、乙两幢楼的高，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，从甲楼顶部A 处测得乙楼顶部C 的仰角α=30°，测得乙楼底部D 的俯角β=60°，已知甲楼高AB=24 m ，求乙楼CD 的高.图3解：过点A 作AE ⊥CD ，在Rt △ABD 中，∠ADB=β，AB=24,∴BD=38.在Rt △AEC中,∠CAE=α,BD=38,∴CE=8.∴CD=CE+AB=32(米).三、课后巩固(30分钟训练)1.菱形ABCD 的对角线AC 长为10 cm,∠BAC=30°,那么AD 为( )A.3310 B.33 C.3315 D.3解析:如图，∵AC ⊥BD,∴AD=331030cos 5=︒. 答案：A2.在Rt △ABC 中,∠C=90°,CD 是斜边AB 上的中线，BC=4，CD=3，则∠A≈_________.解析:由CD=3,得AB=6,∴sinA≈0.666 7.∴∠A≈41.8°. 答案：41.8°3.如图4所示，为了测量河流某一段的宽度，在河北岸选了一点A ，在河南岸选相距200米的B 、C 两点，分别测得∠ABC=60°，∠ACB=45°.求这段河的宽度.（精确到0.1米） 解：过A 作BC 的垂线，垂足为D. 在Rt △ADB 中，∠B=60°， ∴∠BAD=30°.∴BD=AD·tan30°=33AD. 在Rt △ADC 中，∠C=45°，∴CD=AD. 又∵BC=200，∴BD+CD=33AD+AD=200. ∴AD=331200≈126.8(米).答：这段河宽约为126.8米.4.如图4，高速公路路基的横断面为梯形，高为4 m ，上底宽为16 m ，路基两边斜坡的坡度分别为i=1∶1，i′=1∶2,求路基下底宽.图4解：作高AE 、DF ，则BE=4,CF=8. ∴CB=28（米）.5.为缓解“停车难”问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图（图5）.按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE.（精确到0.1 m ）图5解：在Rt △ABD 中,AB=9,∠BAD=18°， ∴BD≈2.9.∴CD=2.4.在Rt △CDE 中,∠DCE=18°, ∴CE≈2.3(米). 答：略.6.如图6，某校九年级3班的学习小组进行测量小山高度的实验活动.部分同学在山脚下点A 测得山腰上一点D 的仰角为30°，并测得AD 的长度为180米；另一部分同学在山顶点B 测得山脚点A 的俯角为45°，山腰点D 的俯角为60°，请你帮助他们计算出小山的高度BC.（计算过程和结果不取近似值）图6解：如图，作DE ⊥AC 于E,DF ⊥BC 于F,设山高为x 米，在Rt △ADE 中，DE=90，AE=390,∴DF=x-390,BF=x-90.在Rt △BFD 中，DF ∶BF=tan30°, ∴x=90+390（米）.。
直角三角形勾股定理公式(二)
直角三角形勾股定理公式(二)直角三角形勾股定理公式一、直角三角形的定义直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角是直角（90度角）。
直角三角形是几何学中最基本的三角形之一，具有许多重要的性质。
二、勾股定理公式直角三角形勾股定理是描述了直角三角形中三边之间的关系。
它可以用一个简单的公式来表示，即：a² + b² = c²，其中a、b分别表示直角三角形的两个边的长度，c表示直角三角形的斜边的长度。
三、勾股定理公式的推导勾股定理公式可以通过几何图形、平面几何和代数方法进行推导。
这里我们不对其进行推导，只介绍和应用。
四、勾股定理公式的应用勾股定理公式在解决直角三角形中未知边长和角度等问题时非常有用。
以下是几个常见的应用场景：•求解直角三角形的斜边长度对于一个直角三角形，如果已知两个边的长度，可以通过勾股定理公式求解第三边的长度。
例如，如果已知直角三角形的一条直角边为3，另一条直角边为4，可以使用公式a² + b² = c²，代入3和4计算得出斜边的长度。
•判断三条边是否为直角三角形的边根据勾股定理公式，如果一个三边满足a² + b² = c²，那么这三条边组成的三角形就是一个直角三角形。
可以通过将边长代入公式，如果等式成立，则可以判断这三条边组成的三角形是直角三角形。
•寻找满足条件的直角三角形边长在一些问题中，可能需要找到满足一定条件的直角三角形边长。
通过勾股定理公式，可以通过代入一条边的长度和斜边的长度，求解另一条边的长度。
•解决实际问题中的应用直角三角形勾股定理在实际问题中也有广泛的应用。
例如，在建筑、测量、导航等领域，可以使用勾股定理来计算角度、距离和高度等。
具体的应用案例可以根据实际情况进行讨论和探索。
五、总结直角三角形勾股定理公式是解决直角三角形问题的基础，通过代入已知的边长和斜边长度，可以用来计算未知的边长和解决实际问题。
解直角三角形应用(2)
A
N
60˚ B
D
C
“云娜”台风中心从我县 （看成点 A）的正东方向 300km 的B 处以 每小时 25km 的速度正面袭击我县，距 台风中心 250km 的范围内均受台风的影 响 . 我县遭到了严重的影响，那么影响 北 时间有多长？
怎样解答
东
“云娜” 台风中心从我县的正东方 60 30 度方向移动， 向300km处向北偏西 其他数据不变，请问此时，我县会受 到台风影响吗？若受影响，则影响的 时间有多长？ C 30° A B E
30
20m
A
D
北
南
?m
B C
小华又想:如果要使北楼实验室内的 同学在室内也能惬意地享受阳光,已 知窗台距地面1米,那么两楼应至少 相距多少米?
30
20m
A
D
南 F
B
北 E
?m
C
如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一艘 货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60˚方 向，航行24海里到C处，见岛A在北偏西30˚方向， 货轮继续向西航行，有无触礁的危险？
M
A
F
C E
240 30°
B
如图所示，A、B两城市相距100km. 现计划在这两座城市间修 筑一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P 在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上. 已 知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形 区域内. 请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区 . 为什么？ P
C · D ·
60°
A
B
例2.由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙
尘暴侵袭。近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正南方向 240km的B处，以每小时12km的速度向北偏东30°方向移动，距沙 尘暴中心150km的范围为受影响区域。 （1）A城是否受到这次沙尘暴的影响，为什么？ （2）若A城受这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？
九年级数学直角三角形全等的判定2
A D
P
O
EB
“如果一个点到角的两边的距离不相等， 那么这个点不在这个角的平分线上。” 你认为这个结论正确吗？ 如果正确，你能证明吗？
了解一下 反证法
如图，△ABC的角平分线AD、BE相 交于点O，点O到△ABC各边的距离 相等吗？点O在∠C的平分线上吗？
A
OE
B
D
C
如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE 的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上
1.2.2直角三角形全等的判定（二）
回忆：直角三角形全等的判定方法。
证明：角平分线上的点到这个角两边的 距离相等。
A
思考与表达：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
怎么想 要证PD=PE
怎么写
O
只需证△POD≌△POE
已知∠POD==∠POE
OP=OP
只要证∠PDO==∠PEO
D C
P
EB
2、证明：在一个角的内部，且到角 的两边距离相等的点，在这个角的平 分线上。
如图，在△ABC中，∠C=90度，点D 在BC上，DE垂直平分AB，且DE=DC。 求∠B的度数。
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她の手艺嫁到国外会很可怜,那种因为伙食不对胃口而引起の思乡滋味她在梦里领教过.两人边吃边聊,一个问得似是无心,一个答得仿佛随意,孰真孰假,难以琢磨.“...等配送点建好,你家要安装一个信箱.”信件老插在门口不像话.“什么时候能建好？”如果她还没搬走の话,装一个也无 妨.“大概一两个月吧...”夜里清凉,哪怕没电照样能睡得舒爽安稳.云岭村の桥头今早就杵着一块牌子,上边写着今天餐厅只营业到下午三点,很多客人被挡了回去.也有人不以为然,像云非雪她们那样坚持进村看个究竟.结果发现除了路灯,周围の房屋一片漆黑.村里停电了,天气热爆表, 必须错峰用电而产生の后果,等到了明天就能恢复用电,这对于家有发电机の人来说不足为虑.养生馆の活动搞到十一点才散,而休闲居里の两人十点半就散了.柏少华说话算话,陆羽最后还吃了一杯水果冰淇淋,才与那小吉心满意足地回家安歇.休闲居の德力就没那种运气了,自从来到华夏, 他爱上了这种祥和宁静の夜晚,经常要上楼顶吹风,边吃边看夜景.今晚也不例外,养生馆散席后他哼着小曲回到餐厅の厨房,顿时惊得跳起.“嘿,我の宵夜呢？我の宵夜哪儿去了？！”回到餐厅调酒喝の陆易往厨房方向瞅了一眼,“宵夜？他还吃宵夜？少华吃了吧？”柏少君满不在乎地撇 撇嘴,“可能是.”接过陆易递来の一杯冰得透心凉の酒.除了少华,要不就是昌叔,只有这两人最不讲道义,行事还肆无忌惮...第二天清早,做完晨运,趁天气不算太晒赶紧出去菜地摘一把薯叶回来做凉拌,她今天一天の伙食全靠它了.婷玉不在,家里凡事要她亲力亲为.对于工作认真の人来 讲,中途停顿煮饭是十分痛苦の事.所以她打算一大早就摘够一天所需の分量,一顿做好,然后盖在厨房里免得她一天要做三次饭.至于小寿小吉它们,这些小家伙们有专用口粮比她幸福多了.叫外卖也不行,天天吃太破费,得省省.“陆陆！”一个身影从村路边三两下蹦了进来,稳稳地避开到 处乱爬の薯藤.“啊？”蹲在菜地里,头戴一顶草帽の村姑抬头看了来人一眼,手里继续摘着叶子,“干嘛？”“你昨晚去哪儿了？怎么不去养生馆？”柏少君蹲在另一条垄沟里,双手齐下速度如飞,几分钟时间已经摘了一大把嫩叶放进她の竹篮里.“昨晚停电我才出门,太晚了没去,又忘了 问少华要他们の电筒.”那晚食物太美味,害得她把什么都忘了,现在被他一提才想起来,“怎么,他们说什么了吗？”陆羽停了手,心塞塞の,摘菜の闲情逸致瞬即减少一半,要么等会儿去一趟？柏少君倒是心境很好,双手继续忙活,“他们知道你の性格没说什么,反而德力昨晚嚎了一 夜.”“为嘛呢？”关德力什么事？“不知道,”说到这里,柏少君瞅着她笑容坏坏の,那双碧绿の眼眸似乎散发着光芒,“陆陆,你老实交代...”“交代什么？”她不去养生馆关德力什么事？当然,不说也没关系,反正她没心思管别人の闲事.“你跟少华在交往？”噗,陆羽惊愕抬头,特么这 话又是谁说の？！第154部分“别否认,昨晚の监控已经出卖你们の关系.”柏少君笑得异常欢快与暧.昧.监控？陆羽一愣,随即明白了.貌似谁说过柏少君の工作是每天查看历史监控吧？忘了,不过那不重要.“大惊小怪,我就跟他吃了两次饭.跟你可不止一次两次,你还曾经在我家过夜呢, 我岂不是一脚踏两船？”陆羽恢复从容淡定,继续采摘修长青嫩の叶子.原来是内部误会,不是外传就好.“那不一样...”“有什么不一样？你和我同岁,相处の模式是玩伴.少华年长我几岁,我视他为兄长,他视我为邻家小妹.这两种情感の确有些区别,可你们也不能搞混了以为那是爱情.” 陆羽白他一眼,分析道.呵,平时看起来挺聪明の一群人原来也有犯萌の时候.柏少君仔细端详她,发现她既没有华夏传统式の少女の羞涩,也不像他以前接触过の那些女性,她们如果爱上谁一般都会坦率承认,不由得挠头.“我也小他几岁,他对我跟对你の态度完全不一样,他从来不会无缘无 故请我们吃饭.”是请,不是做,能叫外卖の情况下他绝对不动手.“他没有无缘无故请我吃饭呀！我猜他是替德力做人情,想让我平时在亭飞面前美言几句.当然,那是不可能の.”陆羽不忘表明自己の立场,“再说,我是女の,对妹妹和对弟弟の态度能一样吗？”与文人舌辩,柏少君哪里说得 过她？两片薄唇抿得死紧,活像一只气鼓鼓の青蛙王子特别不甘心地瞪着她.“你瞪我也没用,事实就是这样.”打击了别人,陆羽看不见似の继续摘自己の菜.一天の分量,还要挑好看の摘,不容易.不得不承认,她讲の有几分道理.柏少君心底有些失望,更多の是疑惑.如果是他一个人看错还 说得过去,不可能大家都看错吧？陆羽见他闷闷不乐,不由道：“其实少华の条件那么好不怕找不到老婆,我劝你们不如多操心自己.”少华の脚是小问题,他自身の优点完全能将之掩盖.比如厨艺,比如财势.虽然没人提过,如果一个人没有几分财力,会来这种深山老村落户定居那么清闲吗？ 又不像她,她是曾经沧海难为水才躲到这儿避世,而且身上有几毛钱傍身.男人天生怀有雄心壮志,能定得下心回乡当农民？除非他也是曾经沧海,要么目前の生活只是暂时の.前提是,他得有几分财力支撑这一切.人都是现实の,不管男女,长得帅又有财の男人不缺女人.“既然他 条件这么好,你为什么不喜欢他？或许喜欢了你自己不知道.”不肯接受现实の青蛙王子固执道.陆羽听罢呵呵一笑,“少华外表条件好,可我见过情商比他高の男人...”比如狄景涛,他对心仪女生の细心呵护无微不至,可惜他找错了对象,她和陈悦然都不是他の良配.一个对情冷感,一个在 情感里添了心机.所以,她们这三个女人中只有陈丽雅最幸福.她单纯地爱着他,让他体会到被人依赖和崇拜の愉悦.“哈？你有男朋友了？”柏少君略讶.咦？不对,他跟她认识这么久从未听她提起情感之事,怎么可能有男票？肯定是骗人の,目の是为了打消大家对她与少华之间の猜测.“没 有,我只是见过...”狄景涛与陈丽雅之间の互动才是正常夫妻の相处模式.不知为何,想起这些让她心生落寞,有些感触,不禁抬眸远观,却看见话题中の主角正在村道边散步.陆羽眼睛一亮,忙起来挥手,“嘿,少华！”什么沧海,什么桑田,皆已化为乌有.她要让柏少君认清一个残忍の事实— —拄着拐杖,外表依旧完美得足以秒叩一切普通男人の大帅哥闻声望来,看见两个小年轻在蕃薯地里眼巴巴地看过来,男俊女俏,分外夺目.柏少华神色淡淡の看着她,不发一语,一双幽深の眼眸看不出情绪.“少华,中午到我家吃饭.”陆羽扬声道.卟,柏少君一脸惊吓地看着她,目瞪口呆地跌 坐在垄沟里四肢僵硬一时爬不起来.柏少华：“...”他刚刚好像听到一个冷笑话？“谢谢.”尽管如此,笔直地站在田边の柏少华礼貌地向她道了谢.身上の休闲装束让他看起来气宇轩昂,脸上露出一丝微笑,身前那根拐杖丝毫无损他の气质与魅力.“但我今晚要做视频,让少君代我赴约 吧.”反正这俩玩得来,不拘束.啊？！柏少君不敢置信地看着他,这么陷害兄弟不好吧？！“那好,改天我再请你.”不等柏少君反应过来,陆羽已经欢快地向少华挥起小手绢道别.然后,那位身材高挑,出类拔萃,侧颜也帅得没朋友の冰美男继续他の日常散步之旅.损友の离开,让柏少君回过 味来,迅速找了一个借口,“sorry,陆陆,我今晚也有事,不约,不如你攒着以后约少华吧？”适当地露出一脸の遗憾.“你想什么呢？”陆羽瞥他一眼,“这点自知之明我还是有の,看见没？他刚才对我の态度像是对待意中人吗？”哪个男人会放任自己心仪の女生在家吃方便面或者几根清水 拌薯藤？若真有,看上他の女人肯定脑进水了.柏少君顿时恍然大悟,原来这是在测试柏少华对她の态度？可是...“你呢？你对他总有感觉？”他犹不死心.“我？有啊,”陆羽指指自己の鼻尖,老实道,“我喜欢少华就像喜欢你一样.若站在恋爱の角度来看,少华那种情商有点儿注孤生,这 种人基本上与我绝缘.”她也是注孤生の情商,但不代表她看不出少华の异常.不管昨晚两人の关系有多么温馨,第二天重遇,他对她の态度依旧透出疏离感,就像刚才那样.要相处至少十几分钟以上,两人才能找回之前の熟稔感.这种性格无法维持一段感情,更无法促使情感の诞生.所以她很 放心地与他接触,将他们所有人当成普通邻居一般对待.目前来说,世上只有狄景涛那种死缠烂打の男人勉强能够挑起她の情绪,虽然是负面の.她超反感强塞给她の情感,真心希望狄这种人离她远远の,在她の生命里永远消失...第155部分云岭村の夏夜,打开窗户,迎面吹来の风清清凉凉.淡 淡の栀子花香若隐若现,深深一呼吸,那股清淡の花香仿佛从皮肤渗入心灵,如此の素净,如此の安宁.这份宁静来之不易.现在才九点多,往日这个时候周家新屋还在轰轰轰地进行工程,起码得一两点才结束.由于他们家那块地在养生馆那边,貌似遭到养生馆客人们の强烈抗议.当然,周家人, 不,准确来说何玲不是容易妥协の人.休闲居这边也曾口头抗议,加上之前有过几次集体交钱买标牌啥の,他们家不交也没见这些老外有什么手段治他们,于是胆量越来越大.这回若不是警察忽然找上门来吓了众人一跳,估计何玲也不把养生馆の抗议当回事.见识到养生馆の人是真狠,她心生 顾忌终于消停了.周家被人告了一次不敢再接待客人,外边两个村子の客栈生怕游客在松溪河水受罪连累自家,因此对云岭村の风景三缄其口,不再极力推荐与宣传,让云岭村の村民得以享受安宁.待周家の三合院盖好,办了营业执照,以后大家估计又有得烦恼.还好,她不用长久呆在这里.静 谧の书房里,穿着丝质无袖睡衣の陆羽正在电脑前奋笔疾书.窗开着,凉风吹进来,挂在墙边の沉重帘子晃了晃,让两端の穗子随之而动.这本末世小说,是以女主一路打怪赶往目の地为主线.女主是陈悦然の女儿,她赋予其一个重生の机会得以保护自己,保护女儿,远离小姨陈丽雅孩子の毒手. 在灾难面前,个人恩怨已经不算事,能够唤醒大家仅存の一点人性更重要.陆羽对陈悦然之前有多反感,此刻对笔下女主の情感就越复杂,剧情の发展描写得有血有肉,有恨有怨,反而更加生动容易引起人们の共鸣.乱世期间,单纯の男女无数,随着时间の推移逐渐减少罢了.凡在那种时候遇上 爱情,相信爱情の,不是殉情就是死不瞑目,或者生不如死.把这种惨剧套在陈悦然女儿の身上,让她历尽人生艰险,在各种阴暗の人性中
直角三角形练习题二(含答案)
17.下列三角形①三边之比为1∶2∶4②三角之比为2∶3∶5③三边之比为2∶3∶4④三边之比为9∶40∶41⑤三边长分别为 、 、2⑥三边长分别为32、42、52
其中是直角三角形的有（填序号）。
18.△ABC中，AB=AC=5，BC=6，将△ABC沿直线BC折叠后，落在△BCA’位置，则AA’=。
21.一只蚂蚁从短路线的长。
22.如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上一点.
求证：⑴△ACE≌△BCD；⑵AD2+AE2=DE2
23.如图，△ABC中，∠BAC=∠ABC，点P在AB上，若AD⊥CP，BE⊥PC，垂足分别为D、E，且BE=CD，
⑴试探求这个图形中还有哪些相等的线段？并证明；⑵试判断AD、DE、BE间的关系，并证明。
24.如图，∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求BC和AD的长。
25.如图，是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边长分别为a、b,斜边长为c，另一个以c为直角边的等腰直角三角形，请开动脑筋将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。
19.长方体盒子的长、宽、高分别为4、3、12，在这个长方体内放入一根木棒（木棒的粗细不计），这个木棒最长为。
20.如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=15km,CB =10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E占应建在离A多少km处？答：
7.如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=8，沿直线CE折叠，使点D落在点F处，则BF=，AF=，AE=。
1.2直角三角形的性质和判定(II)同步习题含答案
- 1 -1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)第1课时 勾股定理要点感知 直角三角形的性质定理(勾股定理)：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于__________的平方.即a 2+b 2=c 2.预习练习 △ABC 中,∠C ＝90°,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边.(1)若a ＝5,b ＝12,则c ＝__________；(2)若c ＝41,a ＝40,则b ＝__________.知识点 勾股定理1.在△ABC 中，∠C=90°，如果AB=10，BC ∶AC=3∶4，那么BC=( )A.6B.8C.10D.以上都不对2.一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，则它的斜边长为( )A.6B.8C.10D.123.已知一个三角形三个内角的比是1∶2∶1,则它的三条边的比是( )A.11 B.1∶2∶1 C.1∶4∶14.如图,长方形OABC 的边OA 长为2,边AB 长为1,OA 在数轴上,以原点O 为圆心,对角线OB 的长为半径画弧,交正半轴于一点,则这个点表示的实数是( )5.如图，点D 在△ABC 的边AC 上，将△ABC 沿BD 翻折后，点A 恰好与点C 重合.若BC ＝5，CD ＝3，则BD 的长为( )A.1B.2C.3D.46.在△ABC 中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC 的长为__________.7.等腰△ABC 中，AB=AC=10 cm ，BC=12 cm ，则BC 边上的高是__________cm.8.一个直角三角形的斜边长比直角长边大2，另一直角边长为6，则斜边长为__________.9.如图，△ABC 中，AB=AC=20，BC=32，D 是BC 上一点，AD=15，且AD ⊥AC ，求BD 长.- 2 -10.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=10 cm ，BC=6 cm ，CD ⊥AB 交AB 于点D.求：(1)AC 的长；(2)△ABC 的面积；(3)CD 的长.11.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A 、B 都是格点，则线段AB 的长度为( )A.5B.6C.7D.2512.如图，△ABC 和△DCE 都是边长为4的等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连接BD ，则BD 的长为( )。
直角三角形2
直角三角形2一．解答题（共40小题）1．如图，∠A=∠D=90°，AB=DE，BF=EC．求证：Rt△ABC≌Rt△DEF．2．如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．3．如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD=AF，AC=AE．求证：BC=BE．4．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE=BD，BD的延长线与AE交于点F．试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性．5．如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2．（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；（2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由．6．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACB交AB于E，EF ⊥AB交CB于F．（1）求证：CD∥EF；（2）若∠A=70°，求∠FEC的度数．7．如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=12cm，BC=5cm，AB=13cm，过点C作CD⊥AB于点D．（1）找出图中相等的锐角，并说明理由．（2）求出点A到直线BC的距离以及点C到直线AB的距离．解：（1）∵CD⊥AB（已知），∴∠CDA=90°，∴∠A+∠1=90°，∵∠1+ =90°，∴∠A=（）．同理可证，∴∠1=．（2）点A到直线BC的距离=cm．C到直线AB的距离为线段的长度．S△ABC=×=×（填线段名称）．∵AC=12，BC=5，AB=13，代入上式，解得CD=cm．8．（1）完成下面的填空：已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB交CD于E，交BC于F，求证：∠CEF=∠CFE证明：∵∠ACB=90°（已知），∴∠CAF+∠=90°（）．∵CD⊥AB（已知），∴∠FAB+∠=90°（）∵AF平分∠CAB（），∴∠CAF=∠FAB（）∴∠=∠（），∵∠CEF=∠（），∴∠CEF=∠CFE（）（2）请用不同于（1）的方法给予证明．9．已知，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．（1）如图1，求证：CD⊥AB；（2）将△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边所在直线上，记为A′点．①如图2，若∠B=34°，求∠A′CB的度数；②若∠B=n°，请直接写出∠A′CB的度数（用含n的代数式表示）．10．已知：如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线AD、BE交于F，求∠AFB的度数．11．如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．12．如图，由一副三角尺拼成的图形，写出∠C，∠EAD，∠CBE的度数．13．如图，已知：BD，CE是△ABC的两条高．（1）求证：∠ABD=∠ACE；（2）若AB=AC，求证：DE∥BC．14．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交AC于D，垂足为E，若∠A=30°，CD=2．（1）求∠BDC的度数；（2）求AC的长度．15．证明命题：直角三角形30°角所对的边是斜边的一半，请写已知，求证，并证明．已知：；求证：；证明过程：．16．如图，已知等边△ABC，点D是AB的中点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若等边△ABC的边长为4，求BH的长．17．同学们知道：“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．”（1）请写出它的逆命题；该逆命题是一个命题（填“真”或“假”）（2）若你的判断是真命题请写出证明过程（要求画图，并写出已知，求证）．若是假命题，请说明理由．18．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，求：（1）此时轮船与小岛P的距离BP是多少海里．（2）小岛点P方圆3海里内有暗礁，如果轮船继续向东行使，请问轮船有没有触礁的危险？请说明理由．19．如图，一艘轮船以每小时40海里的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏西30°方向上，轮船航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西60°方向上．当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，又航行了多少海里．20．一艘轮船自西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，若小岛周围3.8海里内有暗礁，问该船一直向东航行，有无触礁的危险？并说明原因．21．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，边AB的垂直平分线交边BC 于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，联结DF．求证：AC=DF．（说明：此题的证明过程需要批注理由）22．已知：如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，点M是BC的中点，且MN⊥DE，垂足为点N（1）求证：ME=MD；（2）如果BD平分∠ABC，求证：AC=4EN．23．已知，如图，∠ABC=∠ADC=90°，点E、F分别是AC、BD的中点，AC=10，BD=6．（1）求证：EF⊥BD；（2）求EF的长．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠ACD=3∠BCD，E是斜边AB的中点．（1）∠BCD的大小=（度）；（2）∠A的大小=（度）；（3）求∠ECD的大小．25．已知：如图，∠ACB=∠ADB=90°，点E、F分别是线段AB、CD的中点．求证：EF⊥CD．26．如图，四边形ABCD中，∠C=90°，AD⊥DB，点E为AB的中点，DE∥BC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）连接EC，若∠A=30°，DC=，求EC的长．27．如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，E为AB的中点，（1）如图1，求证：△ECD是等腰三角形；（2）如图2，CD与AB交点为F，若AD=BD，EF=3，DE=4，求CD的长．28．如图1，已知∠ABC=90°，△ABC是等腰三角形，点D为斜边AC的中点，连接DB，过点A作∠BAC的平分线，分别与DB，BC相交于点E，F．（1）求证：BE=BF；（2）如图2，连接CE，在不添加任何辅助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形．29．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABD=2∠EBC，AD∥BC，求证：DE=2AB．30．如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE于点G．求证：（1）G是CE的中点；（2）∠B=2∠BCE．31．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC的中点，点F是BD的中点．（1）求证：EF⊥BD；（2）若∠BED=90°，求∠BCD的度数．（3）若∠BED=α，直接写出∠BCD的度数．（用含α的代数式表示）32．如图，在△ABC中，点D在边AC上，DB=BC，E是CD的中点，F是AB的中点，求证：EF=AB．33．如图，在四边形ABCD中，∠BCD=∠BAD=90°，AC，BD相交于点E，G，H 分别是AC，BD的中点．如果∠BEC=80°，求∠GHE的度数为？34．如图，∠ACB=∠ADB=90°，M、N分别为AB、CD的中点．求证：MN⊥CD．35．如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD⊥BC于过点D，作AB的平行线交AC于E．求证：DE=EC=AE．36．已知：如图，∠ABC=∠ADC=90°，E、F分别是AC、BD的中点．求证：EF⊥BD．37．如图1，点P是∠AOB的内部任意一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，D是OP的中点．求证：∠MDN=2∠MON．小尧同学思路如下：因为PM⊥OA，垂足是M，D是OP的中点．由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，得到MD=OD，…课后，小尧同学发现上题中，当“点P是∠AOB的外部任意一点”结论也成立，请你证明其正确．如图2，P是∠AOB的外部任意一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，D 是OP的中点．求证：∠MDN=2∠MON．38．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD为高，且CD，CE三等分∠ACB．（1）求∠B的度数；（2）求证：CE是AB边上的中线，且CE=AB．39．如图所示，一根长2.5米的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，此时OB的距离为0.7米，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．（1）如果木棍的顶端A沿墙下滑0.4米，那么木棍的底端B向外移动多少距离？（2）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由．40．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点．（1）若EF=3，BC=8，求△EFM的周长；（2）若∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠EMF的度数．直角三角形2参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．如图，∠A=∠D=90°，AB=DE，BF=EC．求证：Rt△ABC≌Rt△DEF．【分析】先由BF=EC得到BC=EF，再根据“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DEF．【解答】证明：∵BF=EC，∴BF+FC=FC+EC，即BC=EF，∵∠A=∠D=90°，∴△ABC和△DEF都是直角三角形，在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．【点评】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．2．如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．【分析】（1）根据已知条件，用HL公理证：Rt△ABC≌Rt△DCB；（2）利用Rt△ABC≌Rt△DCB的对应角相等，即可证明△OBC是等腰三角形．【解答】证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°AC=BD，BC为公共边，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；（2）△OBC是等腰三角形∵Rt△ABC≌Rt△DCB∴∠ACB=∠DCB∴OB=OC∴△OBC是等腰三角形【点评】此题主要考查学生对直角三角形全等的判定和等腰三角形的判定与性质的理解和掌握．3．如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD=AF，AC=AE．求证：BC=BE．【分析】根据“HL”证Rt△ADC≌Rt△AFE，∴CD=EF，再根据“HL”证Rt△ABD≌Rt △ABF，∴BD=BF，∴BD﹣CD=BF﹣EF，即BC=BE．【解答】证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD=AF，AC=AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）．∴CD=EF．∵AD=AF，AB=AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）．∴BD=BF．∴BD﹣CD=BF﹣EF．即BC=BE．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．利用三角形全等提供的条件证明三角形全等是常见的方法，注意掌握．4．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE=BD，BD的延长线与AE交于点F．试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性．【分析】猜想：BF⊥AE先证明△BDC≌△AEC得出∠CBD=∠CAE，从而得出∠BFE=90°，即BF⊥AE．【解答】解：猜想：BF⊥AE．理由：∵∠ACB=90°，∴∠ACE=∠BCD=90°．又BC=AC，BD=AE，∴△BDC≌△AEC（HL）．∴∠CBD=∠CAE．又∴∠CAE+∠E=90°．∴∠EBF+∠E=90°．∴∠BFE=90°，即BF⊥AE．【点评】主要考查全等三角形的判定方法，以及全等三角形的性质．猜想问题一定要认真观察图形，根据图形先猜后证．5．如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2．（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；（2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由．【分析】（1）根据∠1=∠2，得DE=CE，利用“HL”可证明Rt△ADE≌Rt△BEC；（2）是直角三角形，由Rt△ADE≌Rt△BEC得，∠3=∠4，从而得出∠4+∠5=90°，则△CDE是直角三角形．【解答】解：（1）全等，理由是：∵∠1=∠2，∴DE=CE，∵∠A=∠B=90°，AE=BC，∴Rt△ADE≌Rt△BEC；（2）是直角三角形，理由是：∵Rt△ADE≌Rt△BEC，∴∠3=∠4，∵∠3+∠5=90°，∴∠4+∠5=90°，∴∠DEC=90°，∴△CDE是直角三角形．【点评】考查了直角三角形的判定，全等三角形的性质，做题时要结合图形，在图形上找条件．6．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACB交AB于E，EF ⊥AB交CB于F．（1）求证：CD∥EF；（2）若∠A=70°，求∠FEC的度数．【分析】（1）根据垂直于同一条直线的两直线平行证明；（2）根据直角三角形的性质求出∠ACD，根据角平分线的定义求出∠ACE，结合图形求出∠DCE，根据平行线的性质解答即可．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF；（2）解：∵CD⊥AB，∴∠ACD=90°﹣70°=20°，∵∠ACB=90°，CE平分∠ACB，∴∠ACE=45°，∴∠DCE=45°﹣20°=25°，∵CD∥EF，∴∠FEC=∠DCE=25°．【点评】本题考查的是平行线的判定和性质、直角三角形的性质，掌握两直线平行、内错角相等、直角三角形的两锐角互余是解题的关键．7．如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=12cm，BC=5cm，AB=13cm，过点C作CD⊥AB于点D．（1）找出图中相等的锐角，并说明理由．（2）求出点A到直线BC的距离以及点C到直线AB的距离．解：（1）∵CD⊥AB（已知），∴∠CDA=90°，∴∠A+∠1=90°，∵∠1+ ∠2=90°，∴∠A=∠2（同角的余角相等）．同理可证，∴∠1=∠B．（2）点A到直线BC的距离=5cm．C到直线AB的距离为线段CD的长度．S△ABC=AC×BC=AB×CD（填线段名称）．∵AC=12，BC=5，AB=13，代入上式，解得CD=cm．【分析】（1）由于在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，故得出有关相等的角；（2）根据直角三角形的面积计算CD的长．【解答】解：（1）∵CD⊥AB（已知），∴∠CDA=90°，∴∠A+∠1=90°，∵∠1+∠2=90°，∴∠A=∠2（同角的余角相等）．同理可证，∴∠1=∠B．故答案为：∠2；∠2；同角的余角相等；∠B；（2）点A到直线BC的距离=5cm．C到直线AB的距离为线段CD的长度．S△ABC=AC×BC=AB×CD．∵AC=12，BC=5，AB=13，代入上式，解得CD=cm．故答案为：5；CD；AC；BC；AB；CD；．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质及其面积公式解答．8．（1）完成下面的填空：已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB交CD于E，交BC于F，求证：∠CEF=∠CFE证明：∵∠ACB=90°（已知），∴∠CAF+∠CFA=90°（直角三角形的两个锐角互余）．∵CD⊥AB（已知），∴∠FAB+∠AED=90°（直角三角形的两个锐角互余）∵AF平分∠CAB（已知），∴∠CAF=∠FAB（角平分线定义）∴∠CFA=∠AED（等角的余角相等），∵∠CEF=∠AED（对顶角相等），∴∠CEF=∠CFE（等量代换）（2）请用不同于（1）的方法给予证明．【分析】（1）根据给定证明过程，标注理论依据即可得出结论；（2）由直角三角形的两个锐角互补可得出∠CAB+∠B=90°、∠CAB+∠ACD=90°，由等角的余角相等可得出∠ACD=∠B，根据角平分线的定义结合三角形外角的性质可证出∠CEF=∠CFE．【解答】证明：（1）∵∠ACB=90°（已知），∴∠CAF+∠CFA=90°（直角三角形的两个锐角互余）．∵CD⊥AB（已知），∴∠FAB+∠AED=90°（直角三角形的两个锐角互余）∵AF平分∠CAB（已知），∴∠CAF=∠FAB（角平分线定义）∴∠CFA=∠AED（等角的余角相等），∵∠CEF=∠AED（对顶角相等），∴∠CEF=∠CFE（等量代换）．答案为：CFA；直角三角形的两个锐角互余；AED；直角三角形的两个锐角互余；已知；角平分线定义；CFA；AED；等角的余角相等；AED；对顶角相等；等量代换．（2）∵∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°．∵CD⊥AB，∴∠CAB+∠ACD=90°，∴∠ACD=∠B．∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAB．∵∠CEF=∠CAF+∠ACD，∠CFE=∠FAB+∠B，∴∠CEF=∠CFE．【点评】本题考查了直角三角形的性质、角平分线定义、对顶角以及三角形外角的性质，解题的关键是：（1）根据给定证明过程，标注解题的依据；（2）利用三角形外角的性质找出∠CEF=∠CAF+∠ACD、∠CFE=∠FAB+∠B．9．已知，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．（1）如图1，求证：CD⊥AB；（2）将△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边所在直线上，记为A′点．①如图2，若∠B=34°，求∠A′CB的度数；②若∠B=n°，请直接写出∠A′CB的度数（用含n的代数式表示）．【分析】（1）先判断出∠ACD+∠BCD=90°，进而得出∠B+∠BCD=90°，即可得出结论；（2）先求出∠ACD，进而利用折叠得出∠A'CD，再利用直角三角形的性质得出∠BCD，即可得出结论．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∵∠ACD=∠B，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠BDC=90°，∴CD⊥AB；（2）①当∠B=34°时，∵∠ACD=∠B，∴∠ACD=34°，由（1）知，∠BCD+∠B=90°，∴∠BCD=56°，由折叠知，∠A'CD=∠ACD=34°，∴∠A'CB=∠BCD﹣∠A'CD=56°﹣34°=22°；②当∠B=n°时，同①的方法得，∠A'CD=n°，∠BCD=90°﹣n°，∴∠A'CB=∠BCD﹣∠A'CD=90°﹣n°﹣n°=90°﹣2n°．【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，折叠的直线，等式的性质，判判断出CD⊥AB是解本题的关键．10．已知：如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线AD、BE交于F，求∠AFB的度数．【分析】先根据∠C=90°，求得∠CAB+∠CBA=90°，再根据AD、BE平分∠CAB、∠CBA，即可得到∠FAB+∠FBA=45°，最后根据三角形内角和定理即可得到∠AFB=135°．【解答】解：∵∠C=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∵AD、BE平分∠CAB、∠CBA，∴∠FAB+∠FBA=45°，∴∠AFB=135°．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．11．如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．【分析】（1）由于∠ACD与∠B都是∠BCD的余角，根据同角的余角相等即可得证；（2）根据直角三角形两锐角互余得出∠CFA=90°﹣∠CAF，∠AED=90°﹣∠DAE，再根据角平分线的定义得出∠CAF=∠DAE，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明∠CEF=∠CFE．【解答】证明：（1）∵∠ACB=90゜，CD⊥AB于D，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠B；（2）在Rt△AFC中，∠CFA=90°﹣∠CAF，同理在Rt△AED中，∠AED=90°﹣∠DAE．又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠DAE，∴∠AED=∠CFE，又∵∠CEF=∠AED，∴∠CEF=∠CFE．【点评】本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，难度适中．12．如图，由一副三角尺拼成的图形，写出∠C，∠EAD，∠CBE的度数．【分析】根据三角形内角和定理求出∠EAD，根据三角形外角性质求出∠CBE即可．【解答】解：∠C=90°，∠EAD=90°﹣30°=60°，∠CBE=180°﹣45°=135°．【点评】本题考查了三角形外角性质和三角形内角和定理的应用，能求出∠EAD 和∠CBE的度数是解此题的关键．13．如图，已知：BD，CE是△ABC的两条高．（1）求证：∠ABD=∠ACE；（2）若AB=AC，求证：DE∥BC．【分析】（1）先根据BD，CE是△ABC的两条高得出∠AEC=∠ADB=90°，再由直角三角形的性质即可得出结论；（2）根据AB=AC可知∠ABC=∠ACB，由SAS定理可得出△BDC≌△CEB，故可得出BE=CD，由此可得出结论．【解答】证明：（1）∵BD，CE是△ABC的两条高，∴∠AEC=∠ADB=90°，∴∠A+∠ACE=90°，∠A+∠ABD=90°，∴∠ABD=∠ACE；（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．在△BDC与△CEB中，，∴△BDC≌△CEB（AAS），∴BE=CD，∵AB=AC，∴AE=AD，∴∠AED=∠ADE，∵∠A+∠AED+∠ADE=180°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠AED=∠ABC，∴DE∥BC．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，熟知直角三角形两角互补的性质是解答此题的关键．14．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交AC于D，垂足为E，若∠A=30°，CD=2．（1）求∠BDC的度数；（2）求AC的长度．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质求出AD=BD，求出∠DBA=∠A=30°，根据三角形外角的性质求出即可；（2）求出∠CBD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出BD，即可求出AC．【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，∴BD=AD，∴∠DBA=∠A=30°，∴∠BDC=∠DBA+∠A=60°；（2）∵∠C=90°，∠BDC=60°，∴∠CBD=90°﹣∠BDC=30°，∴BD=2CD=4，∴AD=BD=4．∴AC=AD+DC=6．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质等知识点，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．15．证明命题：直角三角形30°角所对的边是斜边的一半，请写已知，求证，并证明．已知：△ABC中，∠C=90°，∠A=30°；求证：BC=AB；证明过程：延长BC到D，使CD=BC，连接AD，∵∠C=90°，∴AC⊥BD，∴AD=AB，∵∠ACB=90°，∠C=30°，∴∠B=60°，∴△ADB是等边三角形，∴BD=AB，∵BC=CD=BD，∴BC=AB．．【分析】延长BC到D，使CD=BC，连接AD，求出△ADB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出BD=AB，即可得出答案．【解答】已知：△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，求证：BC=AB，证明：延长BC到D，使CD=BC，连接AD，∵∠ACB=90°，∴AC⊥BD，∴AD=AB，∵∠ACB=90°，∠C=30°，∴∠B=60°，∴△ADB是等边三角形，∴BD=AB，∵BC=CD=BD，∴BC=AB，故答案为：△ABC中，∠C=90°，∠A=30°；BC=AB；延长BC到D，使CD=BC，∵∠ACB=90°，∴AC⊥BD，∴AD=AB，∵∠ACB=90°，∠C=30°，∴∠B=60°，∴△ADB是等边三角形，∴BD=AB，∵BC=CD=BD，∴BC=AB．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质和等边三角形的性质和判定，能正确作出辅助线是解此题的关键．16．如图，已知等边△ABC，点D是AB的中点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若等边△ABC的边长为4，求BH的长．【分析】根据直角三角形的性质解答即可．【解答】解：在Rt△ADF中，∵∠A=60°，∠DFA=90°，∴∠ADF=30°，∵D是AB的中点，∴AD=，∴AF=，∴CF=AC﹣AF=4﹣1=3，在Rt△FHC中，∵∠C=60°，∠FHC=90°，∴∠HFC=30°，∴HC=，∴BH=BC﹣HC=4﹣1.5=2.5．【点评】此题考查含30°的直角三角形的性质，关键是根据30°对的边是斜边的一半解答．17．同学们知道：“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．”（1）请写出它的逆命题在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半；该逆命题是一个真命题（填“真”或“假”）（2）若你的判断是真命题请写出证明过程（要求画图，并写出已知，求证）．若是假命题，请说明理由．【分析】（1）写出逆命题，并判断是真命题；（2）首先写出已知、求证，画出图形，借助等边三角形的判定和性质证明或借助三角形的外接圆证明．【解答】解：（1）原命题的逆命题为：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半，该逆命题是一个真命题；故答案为：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半，真；（2）已知，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°．求证：BC=AB．证明：证法一：如图1所示，延长BC到D，使CD=BC，连接AD，易证AD=AB，∠BAD=60°．∴△ABD为等边三角形，∴AB=BD，∴BC=CD=AB，即BC=AB．证法二：如图2所示，取AB的中点D，连接DC，有CD=AB=AD=DB，∴∠DCA=∠A=30°，∠BDC=∠DCA+∠A=60°．∴△DBC为等边三角形，∴BC=DB=AB，即BC=AB．证法三：如图3所示，在AB上取一点D，使BD=BC，∵∠B=60°，∴△BDC为等边三角形，∴∠DCB=60°，∠ACD=90°﹣∠DCB=90°﹣60°=30°=∠A．∴DC=DA，即有BC=BD=DA=AB，∴BC=AB．证法四：如图3所示，作△ABC的外接圆⊙D，∠C=90°，AB为⊙O的直径，连DC，有DB=DC，∠BDC=2∠A=2×30°=60°，∴△DBC为等边三角形，∴BC=DB=DA=AB，即BC=AB．【点评】本题考查的是直角三角形30度角的性质和等边三角形的判定、互逆命题的定义，熟练掌握直角三角形30度角的性质的证明是关键．18．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，求：（1）此时轮船与小岛P的距离BP是多少海里．（2）小岛点P方圆3海里内有暗礁，如果轮船继续向东行使，请问轮船有没有触礁的危险？请说明理由．【分析】（1）先过P作AB的垂线PD，在直角△BPD中可以求得∠PAD的度数是30°，即可证明△APB是等腰三角形，即可求解；（2）作PD⊥AB，利用直角三角形性质求出PD长，和3海里比较即可看出船不改变航向是否会触礁．【解答】解：（1）过P作PD⊥AB于点D，∵∠PBD=90°﹣60°=30°且∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PAB=90﹣75=15°∴∠PAB=∠APB，∴BP=AB=7（海里）．（2）作PD⊥AB于D，∵A处测得小岛P在北偏东75°方向，∴∠PAB=15°，∵在B处测得小岛P在北偏东60°方向，∴∠APB=15°，∴AB=PB=7海里，∵∠PBD=30°，∴PD=PB=3.5＞3，∴该船继续向东航行，没有触礁的危险．【点评】此题考查的是解直角三角形的应用，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．正确证明△APB是等腰三角形是解决本题的关键．19．如图，一艘轮船以每小时40海里的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏西30°方向上，轮船航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西60°方向上．当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，又航行了多少海里．【分析】根据三角形外角和定理可求得BC的值，然后放到直角三角形BCD中，借助60°角的余弦值即可解答．【解答】解：∵CD⊥DB，∠CBD=60°，∴∠DCB=30°∴DB=BC，∴BC=2DB，又∵∠BCA=60°﹣30°=30°，∴BC=BA，∴BC=2×40=80（海里），∴DB=40海里，答：当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，又航行了40海里【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，将已知条件和所求结论转化到同一个直角三角形中求解是解直角三角形的常规思路．20．一艘轮船自西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，若小岛周围3.8海里内有暗礁，问该船一直向东航行，有无触礁的危险？并说明原因．【分析】作PD⊥AB，利用直角三角形性质求出PD长，和3.8海里比较即可看出船不改变航向是否会触礁．【解答】解：有触礁危险．理由如下：解：作PD⊥AB于D，∵A处测得小岛P在北偏东75°方向，∴∠PAB=15°，∵在B处测得小岛P在北偏东60°方向，∴∠APB=15°，∴AB=PB=7海里，∵∠PBD=30°，∴PD=PB=3.5＜3.8，∴该船继续向东航行，有触礁的危险．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，关键找出题中的等腰三角形，然后再根据直角三角形性质求解．21．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，边AB的垂直平分线交边BC 于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，联结DF．求证：AC=DF．（说明：此题的证明过程需要批注理由）【分析】先根据线段垂直平分线的性质得：AE=BE，再利用直角三角形斜边中线的性质得：DF与BE的关系，最后根据直角三角形30度的性质得AC和AE的关系，从而得出结论．【解答】证明：连接AE，∵DE是AB的垂直平分线（已知），∴AE=BE，∠EDB=90°（线段垂直平分线的性质），∴∠EAB=∠EBA=15°（等边对等角），∴∠AEC=30°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），Rt△EDB中，∵F是BE的中点（已知），∴DF=BE（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），Rt△ACE中，∵∠AEC=30°（已知），∴AC=AE（直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半），∴AC=DF（等量代换）．【点评】本题考查了直角三角形含30度角的性质、直角三角形斜边中线及线段垂直平分线的性质，熟练掌握性质是关键，属于基础题．22．已知：如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，点M是BC 的中点，且MN⊥DE，垂足为点N（1）求证：ME=MD；（2）如果BD平分∠ABC，求证：AC=4EN．【分析】（1）根据直角三角形的性质得到DM=BC，EM=BC，等量代换即可证明；（2）证明△ABD≌△CBD，根据全等三角形的性质得到AD=CD，根据直角三角形的性质，等腰三角形的性质证明．【解答】证明：（1）∵BD是边AC上的高，∴∠BDC=90°，∵点M是BC的中点，∴DM=BC，同理，EM=BC，∴ME=MD；（2）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，．∵BD是边AC上的高，∴∠ADB=∠CDB=90°．在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（ASA），∴AD=CD，∵CE是边AB上的高，∴∠CEA=90°，∴AC=2ED，∵ME=MD，MN⊥DE，∴DE=2EN，∴AC=4EN．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．23．已知，如图，∠ABC=∠ADC=90°，点E、F分别是AC、BD的中点，AC=10，BD=6．（1）求证：EF⊥BD；（2）求EF的长．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求BE=DE，根据等腰三角形的性质，可得结论；（2）根据题意可得BE=5，BF=3，根据勾股定理可求EF的长【解答】证明：（1）连接BE，DE∵∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC的中点，∴BE=AC，DE=AC∴BE=DE∵点F是BD的中点，BE=DE∴EF⊥BD（2）∵BE=AC∴BE=5∵点F是BD的中点∴BF=DF=3在Rt△BEF中，EF===4【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是本题的关键．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠ACD=3∠BCD，E是斜边AB的中点．（1）∠BCD的大小=22.5（度）；（2）∠A的大小=22.5（度）；（3）求∠ECD的大小．【分析】（1）求出∠ACD=67.5°，∠BCD=22.5°，（2）根据等角的余角相等求得∠A的大小；（3）根据三角形内角和定理求出∠B=67.5°，根据直角三角形斜边上中线性质求出BE=CE，推出∠BCE=∠B=67.5°，代入∠ECD=∠BCE﹣∠BCD求出即可．【解答】解：（1）∵∠ACD=3∠BCD，∠ACB=90°，∴∠ACD=67.5°，∠BCD=22.5°，故答案是：22.5°；（2）∵∠A+∠ACD=∠BCD+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCD=22.5°，故答案是：22.5；（3）∵∠ACD=3∠BCD，∠ACB=90°，∴∠ACD=67.5°，∠BCD=22.5°，∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∴∠B=180°﹣90°﹣22.5°=67.5°，∵∠ACB=90°，E是斜边AB的中点，∴BE=CE，∴∠BCE=∠B=67.5°，∴∠ECD=∠BCE﹣∠BCD=67.5°﹣22.5°=45°．【点评】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质的应用，解此题的关键是求出∠BCE和∠BCD 的度数，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．25．已知：如图，∠ACB=∠ADB=90°，点E、F分别是线段AB、CD的中点．求证：EF⊥CD．【分析】根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可以求得DE=CE，再根据等腰三角形的性质可以得到EF⊥CD，从而可以证明结论成立．【解答】证明：连接DE、CE，∵△ABC中，∠ACB=90°，E是AB中点，∴CE=AB，同理可得，DE=AB，∴DE=CE．∵△CDE中，F是CD中点，∴EF⊥CD．【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．26．如图，四边形ABCD中，∠C=90°，AD⊥DB，点E为AB的中点，DE∥BC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）连接EC，若∠A=30°，DC=，求EC的长．【分析】（1）直接利用直角三角形的性质得出DE=BE=AB，再利用DE∥BC，得出∠2=∠3，进而得出答案；（2）利用已知得出在Rt△BCD中，∠3=60°，DC=，得出DB的长，进而得出EC的长．【解答】（1）证明：∵AD⊥DB，点E为AB的中点，∴DE=BE=AB．∴∠1=∠2．∵DE∥BC，∴∠2=∠3．∴∠1=∠3．∴BD平分∠ABC．（2）解：∵AD⊥DB，∠A=30°，∴∠1=60°．∴∠3=∠2=60°．∵∠BCD=90°，∴∠4=30°．∴∠CDE=∠2+∠4=90°．在Rt△BCD中，∠3=60°，DC=，∴DB=2．∵DE=BE，∠1=60°，∴DE=DB=2．∴EC===．【点评】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线与斜边的关系，正确得出DB，DE的长是解题关键．27．如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，E为AB的中点，（1）如图1，求证：△ECD是等腰三角形；（2）如图2，CD与AB交点为F，若AD=BD，EF=3，DE=4，求CD的长．【分析】（1）根据直角三角形的性质得到CE=AB，DE=AB，得到CE=DE，证明结论；（2）过点E作EH⊥CD，根据三角形的面积公式求出EH，根据勾股定理求出DH，根据等腰三角形的性质计算即可．【解答】（1）证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠ACB=90°，∠ADB=90°，又∵E为AB的中点，∴CE=AB，DE=AB∴CE=DE，即△ECD是等腰三角形；（2）∵AD=BD，E为AB的中点，∴DE⊥AB，已知DE=4，EF=3，∴DF=5，过点E作EH⊥CD，∵∠FED=90°，EH⊥DF，∴EH==，∴DH==，∵△ECD是等腰三角形，∴CD=2DH=．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．28．如图1，已知∠ABC=90°，△ABC是等腰三角形，点D为斜边AC的中点，连接DB，过点A作∠BAC的平分线，分别与DB，BC相交于点E，F．。
【小初高学习】九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系专题训练(二)解直角三角形应用中的六种基本模型
专题训练(二) 解直角三角形应用中的六种基本模型►模型一“独立”型1．如图2－ZT－1，一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行.20分钟后，救援船在海岛C处恰好遇见渔船，那么救援船航行的速度为( )图2－ZT－1A．10 3海里/时B．30海里/时C．20 3海里/时D．30 3海里/时2．2017·台州如图2－ZT－2是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB 为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)图2－ZT－2►模型二“背靠背”型3．如图2－ZT－3，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为( )图2－ZT－3A．160 3 m B．120 3 mC．300 m D．160 2 m4．如图2－ZT－4，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部有一点A，某人在岸边的点B处测得点A在点B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4千米到达点C处，再次测得点A在点C的北偏西45°的方向上(其中点A，B，C在同一平面上)．求这个标志性建筑物底部上的点A到岸边BC的最短距离．图2－ZT－4►模型三“母抱子”型5．如图2－ZT－5，某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在点C 处仰望建筑物顶端A处，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达点D处，测得建筑物顶端A的仰角为64°，求建筑物的高度．(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：sin48°≈710，tan48°≈1110，sin64°≈910，tan64°≈2)图2－ZT－56．2017·内江如图2－ZT－6，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A 处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60 m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．(结果保留根号)图2－ZT－6►模型四“拥抱”型7．如图2－ZT－7，梯子斜靠在与地面垂直(垂足为O)的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO＝60°；当梯子底端向右滑动1 m(即BD＝1 m)到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO＝51°18′，求梯子的长．(参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248)图2－ZT－7►模型五梯形类8．如图2－ZT－8，梯形ABCD是拦水坝的横断面示意图，图中i＝1∶3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比，∠B＝60°，AB＝6，AD＝4，求拦水坝的横断面ABCD的面积．(结果精确到0.1.参考数据：3≈►模型六“斜截”型9．“蘑菇石”是贵州省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚点B处先乘坐缆车到达与BC平行的观景平台DE处观景，然后再沿着坡角为29°的斜坡由点E步行到达“蘑菇石”点A处，“蘑菇石”点A到水平面BC的垂直距离为1790 m．如图2－ZT－9，DE∥BC，BD＝1700 m，∠DBC＝80°，求斜坡AE的长度．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin80°≈0.9848，sin29°≈0.4848)详解详析1．[解析] D 由“B 在海岛A 的南偏东20°方向”和“海岛C 在海岛A 的南偏西10°方向”得∠BAC ＝30°，同理得∠ABC ＝60°，∴∠ACB ＝90°.∵AB ＝20海里，∴BC ＝10海里，AC ＝10 3海里，再由“救援船由海岛A 开往海岛C 用时20分钟”可求得救援船航行的速度为30 3海里/时．故选D.2．解：车门不会碰到墙．理由如下：如图，过点A 作AC ⊥OB ，垂足为C .在Rt △ACO 中，∵∠AOC ＝40°，AO ∴AC ＝AO ·sin∠AOC ≈1.2×0.64＝0.768(米)．∵汽车靠墙一侧OB 与墙MN 平行且距离为0.8米，0.8>0.768， ∴车门不会碰到墙．3．[解析] A 过点A 作AD ⊥BC 于点D ， 则∠BAD ＝30°，∠CAD ＝60°，AD ＝120 m. 在Rt △ABD 中，BD ＝AD ·tan30°＝120×33＝40 3(m)． 在Rt △ACD 中，CD ＝AD ·tan60°＝120×3＝120 3(m)， ∴BC ＝BD ＋CD ＝40 3＋120 3＝160 3(m)．4．解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则AD 的长度就是点A 到岸边BC 的最短距离．在Rt △ACD 中，∠ACD ＝45°，设AD ＝x 千米，则CD ＝AD ＝x 千米． 在Rt △ABD 中，∠ABD ＝60°， 因为tan ∠ABD ＝AD BD ，即tan60°＝x BD，所以BD ＝x tan60°＝33x 千米．又因为BC ＝4千米， 所以BD ＋CD ＝4千米，即33x ＋x ＝4， 解得x ＝6－2 3，所以这个标志性建筑物底部上的点A 到岸边BC 的最短距离为(6－2 3)千米． 5．解：根据题意，得∠ADB ＝64°，∠ACB ＝48°. 在Rt △ADB 中，tan64°＝AB BD ，则BD ＝AB tan64°≈12AB ，在Rt △ACB 中，tan48°＝AB CB，则CB ＝ABtan48°≈1011AB ，∴CD ＝CB －BD ，即6＝1011AB －12AB ，解得AB ＝1329≈14.7(米)，∴建筑物的高度约为14.7米．6．[解析] 先求出∠DBE ＝30°，∠BDE ＝30°，得出BE ＝DE ，设EC ＝x ，则BE ＝2x ，DE ＝2x ，DC ＝3x ，BC ＝3x ，再根据∠DAC ＝45°，可得AC ＝DC ，列出方程求出x 的值，即可求出塔DE 的高度．解：由题意知，∠DBC ＝60°，∠EBC ＝30°， ∴∠DBE ＝∠DBC －∠EBC ＝60°－30°＝30°. 又∵∠BCD ＝90°，∴∠BDC ＝90°－∠DBC ＝90°－60°＝30°， ∴∠DBE ＝∠BDE ，∴BE ＝DE .设EC ＝x m ，则DE ＝BE ＝2EC ＝2x m ，DC ＝EC ＋DE ＝3x m ， BC ＝BE 2－EC 2＝3x m.由题意可知，∠DAC ＝45°，∠DCA ＝90°，AB ＝60 m ， ∴△ACD 为等腰直角三角形，∴AC ＝DC ， ∴3x ＋60＝3x . 解得x ＝30＋10 3.答：塔ED 的高度为(30＋10 3)m. 7．解：设梯子的长为x m.在Rt △ABO 中，cos ∠ABO ＝OBAB，∴OB ＝AB ·cos∠ABO ＝x ·cos60°＝12x m.在Rt △CDO 中，cos ∠CDO ＝OD CD， ∴OD ＝CD ·cos∠CDO ＝x ·cos51°18′≈0.625x m. ∵BD ＝OD －OB ，∴0.625x －12x ＝1，解得x ＝8.答：梯子的长约为8 m.8．解：过点A 作AF ⊥BC ，垂足为F . 在Rt △ABF 中，∠B ＝60°，AB ＝6， ∴AF ＝AB sin B ＝6sin60°＝3 3， BF ＝AB cos B ＝6cos60°＝3. ∵AD ∥BC ，AF ⊥BC ，DE ⊥BC ， ∴四边形AFED 是矩形，∴DE ＝AF ＝3 3，FE ＝AD ＝4.在Rt △CDE 中，i ＝DE CE ＝13，∴CE ＝3DE ＝3×3 3＝9，∴BC ＝BF ＋FE ＋CE ＝3＋4＋9＝16， ∴S 梯形ABCD ＝12(AD ＋BC )·DE＝12×(4＋16)×3 3 ≈52.0.答：拦水坝的横断面ABCD 的面积约为52.0.9．解：过点D 作DF ⊥BC 于点F ，延长DE 交AC 于点M ，由题意，得EM ⊥AC ， ∴四边形DMCF 为矩形， ∴DF ＝MC .在Rt △DFB 中，sin80°＝DF BD ，则DF ＝BD ·sin80°＝1700×sin80°(m)， ∴AM ＝AC －MC ＝AC －DF ＝(1790－1700×sin80°)m. 在Rt △AME 中，sin29°＝AM AE， 则AE ＝AMsin29°＝1790－1700×sin80°sin29°≈238.9(m)．答：斜坡AE 的长度约为238.9 m.。
§1.2 直角三角形全等的判定 (2)
A D C PB E O A D P BE O学习过程一.【预习指导】1. 直角三角形全等的判定方法：________________________________。
2. 角平分线的性质定理：______________________________________。
3. 角平分线的性质定理：______________________________________。
4. 你能用什么方法作出∠AOB 的平分线OC ？二.【效果检测】1证明：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
已知： 求证：证明：思考：上述定理用符号语言如何让表示？2、证明：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
已知： 求证： 证明：感悟栏O E D CB A 思考：上述定理用符号语言如何让表示？三.【小组检查】小组内成员就上述习题进行讨论、修正。
四.【布置任务】师生互动探究 问题1. “如果一个点到角的两边的距离不相等，那么这个点不在这个角 的平分线上。
” 你认为这个结论正确吗？如果正确，你能证明吗？ 点拨：假设该点在角的平分线上，则它到这个角的两边的距离______， 这与已知条件“这个点到角的两边的距离不相等”矛盾。
所以_______ _____________________________________________________________。
链接：这种证题模式称为反证法，应用反证法证明的主要三步是： 否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。
实施的具体步骤是： 第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，由此通过正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
牛顿曾经说：“反证法是数学家最精当的武器之一”。
一般来讲， 反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或 “至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题。
问题2. 如图，△ABC 的角平分线AD 、BE 相交于点O ，点O 到△ABC 各边的距离相等吗？点O 在∠C 的平分线上吗？为什么？点拨：先运用角平分线性质定理，然后应用其逆定理。
人教版九年级下册数学作业课件 第28章解直角三角形 (2)
(2)∠A＝22°，AB＝10.(sin22°≈0.37，cos22°≈0.93， tan22°≈0.40，其中结果精确到 0.1) 解：在 Rt△ABC 中，∠B＝90°－∠A＝90°－22°＝68°. ∵∠A＝22°，AB＝10， ∴AC＝cosA·AB＝cos22°·10≈0.93×10＝9.3， BC＝AB·sinA＝10·sin22°≈0.37×10＝3.7.
又∵∠CDE＝90°，CD＝4，sinE＝CD，∠E＝30°， CE
∴CE＝sCinDE＝sin430°＝41＝8. 2
∴BC＝BE－CE＝6 3－8.
(2)若 sinA＝45，求 AD 的长． 解：∵∠ABE＝90°，AB＝6，sinA＝45＝BAEE， ∴设 BE＝4x，AE＝5x，则 AB＝3x. ∴3x＝6，得 x＝2. ∴BE＝8，AE＝10.
10．如图，在四边形 ABCD 中，AB＝2，BC＝CD＝ 2 3 ， ∠B ＝ 90°， ∠C ＝ 120°， 则 线 段 AD 的 长 为 7. 解析：如图，连接 AC. 在 Rt△ABC 中， ∵∠B＝90°，AB＝2，BC＝2 3， ∴tan∠ACB＝BACB＝223＝ 33.
∴∠ACB＝30°. ∴AC＝2AB＝4. ∵∠BCD＝120°. ∴∠ACD＝∠BCD－∠ACB＝120°－30°＝90°. 在 Rt△ADC 中， ∵∠ACD＝90°，AC＝4，CD＝2 3， ∴AD＝ AC2＋CD2＝ 42＋（2 3）2＝2 7.
解：在
Rt△ABC
中，∠C＝90°，tanA＝
3， 3
∴∠A＝30°，∠ABC＝60°.
∵BD 是∠ABC 的平分线，
∴∠CBD＝∠ABD＝30°.
又∵CD＝ 3， ∴BC＝taCn3D0°＝3. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°， ∴AB＝siBn3C0°＝6.
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1.2直角三角形（二）
主备人：周颖
复备人：
检查人：
教学目标：1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。
2、能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理既解决实际问题。
重点：能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理。并且用纸解决问题。
难点：证明“HL”定理的思路的探究和分析。-
教学过程：
一、 复习提问
1、判断两个三角形全等的方法有哪几种？
2、有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中
一个角是直角呢？请证明你的结论。
（思考交流引导学生分析证明思路，写出证明过程）
二、 探究
两边及其一个角对应相等的两个三角形全等吗？如果相等说明理由。
如果不相等，应如何改变条件？用自己的语言清楚地说明，并写出证明
过程。
问题1，此定理适用于什么样的三角形？（适用于直角三角形）
2、判定直角三角形的方法有哪些，分别说出？
（HL,SAS,ASA,AAS,SSS.先考虑HL,在考虑另外四种方法。）
三、 做一做
利用尺规作图
已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形。
（设计做一做的目的为了让学生体会数学
结论在实际中的应用，教学中就要求学生能用数学的语言清楚地表达自
己的想法，并能按要求将推理证明过程写出来。）
通过作图，得出直角三角形的判定定理
斜边和一条直角边相等的两个直角三角形全等
四、练习 随堂练习P23--1
判断命题的真假，并说明理由
1、 锐角对应相等的两个直角三角形全等。
2、 斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等。
3、 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、 一条直角边和另一条直角边上的中线队以相等的两个直角三角形全
等。
（对于假的命题要举出反例，真命题要说明理由。教师分析讲解。）
五、巩固提升
例 如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方
向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？
六、 小结
1、本节课学习了哪些知识？
2、还有那一些方面的收获？
七、作业：
习题1.6 1、2题
八、教学反思