二次函数与直角三角形
(完整版)二次函数与三角形的存在性问题的解法
二次函数与三角形的存在性问题一、预备知识1、坐标系中或抛物线上有两个点为P （x1，y ），Q （x2，y ）(1)线段对称轴是直线2x 21x x +=(2)AB 两点之间距离公式：221221)()(y y x x PQ -+-=中点公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为⎪⎭⎫ ⎝⎛++222121y y ,x x 。
2、两直线的解析式为11b x k y +=与 22b x k y +=如果这两天两直线互相垂直，则有121-=⋅k k3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2（1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2（2）当k1≠k2， ，L1与L2相交（3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直二、三角形的存在性问题探究：三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形（一）三角形的性质和判定：1、等腰三角形性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。
判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。
2、直角三角形性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。
判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。
3、等腰直角三角形性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。
判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形4、等边三角形性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。
判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
总结：（1）已知A 、B 两点，通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求的点（不与A 、B 点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上（2）已知A 、B 两点，通过“两线一圆”可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点（不与A 、B 点重合）即在圆上以及在两条与直径AB 垂直的直线上。
二次函数与直角三角形
二次函数与直角三角形1．（10分）（2006河南22题）二次函数218y x =的图象如图所示，过y 轴上一点()02M ，的直线与抛物线交于A ，B 两点，过点A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ． （1）当点A 的横坐标为2-时，求点B 的坐标；（2）在（1）的情况下，分别过点A ，B 作AE x ⊥轴于E ，BF x ⊥轴于F ，在EF 上是否存在点P ，使APB ∠为直角．若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当点A 在抛物线上运动时（点A 与点O 不重合），求AC BD 的值．解：（1）根据题意，设点B 的坐标为218x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，其中0x >．点A 的横坐标为2-，122A ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，． ······································································ 2分AC y ⊥轴，BD y ⊥轴，()02M ，， AC BD ∴∥，32MC =，2128MD x =-． Rt Rt BDM ACM ∴△∽△． BD MD AC MC∴=． 即212822x x -=．解得12x =-（舍去），28x =．()88B ∴，． ··················································································································· 5分 （2）存在． ··················································································································· 6分 连结AP ，BP ．由（1），12AE =，8BF =，10EF =． 设EP a =，则10PF a =-．AE x ⊥轴，BF x ⊥轴，90APB =∠，yDBMA C OxAEP PFB ∴△∽△． AE EP PF BF ∴=． 12108aa ∴=-．解得5a =5a =∴点P的坐标为()3+或()3． ···························································· 8分 （3）根据题意，设218A m m ⎛⎫⎪⎝⎭，，218B n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，不妨设0m <，0n >．由（1）知BD MDAC MC =， 则22128128n n m m -=--或22128128n n m m -=--． 化简，得()()160mn m n +-=．0m n -≠，16mn ∴=-．16AC BD ∴=． ········································································································· 10分2.如图17，(2010辽宁大连26题)抛物线F ：2(0)y ax bx c a =++>与y 轴相交于点C ，直线1L 经过点C 且平行于x 轴，将1L 向上平移t 个单位得到直线2L ，设1L 与抛物线F 的交点为C 、D ，2L 与抛物线F 的交点为A 、B ，连接AC 、BC （1）当12a =，32b =-，1c =，2t =时，探究△ABC 的形状，并说明理由； （2）若△ABC 为直角三角形，求t 的值（用含a 的式子表示）；（3）在（2）的条件下，若点A 关于y 轴的对称点A ’恰好在抛物线F 的对称轴上，连接A ’C ，BD ，求四边形A ’CDB 的面积（用含a 的式子表示）（1）213122y x x =-+，∴C 的坐标为（0，1），当t=2时，y=3，所以有2133122x x =-+，解得121; 4.x x =-=(A B∴-,5,CA CB AB ∴===222AB CB AC ∴=+,则△ABC 是直角三角形。
二次函数中求直角三角形的方法
求直角三角形的方法中的特定函数在二次函数中求直角三角形的方法中，可以使用特定的函数来计算直角三角形的各个属性，例如边长、角度、面积等。
这些函数可以帮助我们快速准确地解决直角三角形相关的问题。
本文将详细介绍几个常用的函数，包括函数的定义、用途和工作方式等。
1. 求斜边长的函数求斜边长的函数是用来计算直角三角形斜边的长度的。
根据勾股定理，直角三角形的斜边长度可以通过已知的两个直角边的长度来计算。
函数的定义如下：def hypotenuse(a, b):"""计算直角三角形的斜边长:param a: 直角三角形的直角边a的长度:param b: 直角三角形的直角边b的长度:return: 直角三角形的斜边长"""c = math.sqrt(a**2 + b**2)return c该函数接受两个参数a和b，分别表示直角三角形的直角边a和直角边b的长度。
函数内部使用勾股定理来计算斜边的长度，并返回结果。
2. 求角度的函数求角度的函数是用来计算直角三角形中某个角度的大小的。
根据三角函数的定义，我们可以通过已知的两个直角边的长度来计算角度的大小。
函数的定义如下：def angle(a, b):"""计算直角三角形中的角度:param a: 直角三角形的直角边a的长度:param b: 直角三角形的直角边b的长度:return: 直角三角形中的角度（弧度制）"""radians = math.atan(a / b)return radians该函数接受两个参数a和b，分别表示直角三角形的直角边a和直角边b的长度。
函数内部使用反正切函数来计算角度的大小，并返回结果（以弧度制表示）。
3. 求面积的函数求面积的函数是用来计算直角三角形的面积的。
根据直角三角形的面积公式，我们可以通过已知的两个直角边的长度来计算面积。
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自学指导4（4分钟）
在抛物线y=x2-x-2上是否存在点P ，使△PAC是以AC为
直角边的三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的
坐标；
情况 ：当 一 PC 9A 00 时
y=x2-x-2
P1
(
3 2
,
7 2
)
情况 ：当 二 PA 9 C00 时
P2
(
5 2
,
7 4
)
（-1，0）A O
④在抛物线上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的 直角三角形．
yx2 2xk
精选ppt课件 yx2 2xk
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4.如图，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点B的坐 标为（1，3），把矩形绕点B旋转一定的角度，使它的 顶点O落在x轴的点D处，已知M是第四象限内纵坐标为-1 的点，以M为顶点的抛物线正好过O、D两点． （1）求点D的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否存在点N，使以O、M、N为顶点的 三角形为直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点 N的坐标；若不存在，请说明理由．
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14
当堂训练（6分钟）
（2012•赤峰改编）如图，抛物线y=x2-bx-5与x轴交于A、 B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点C与点F 关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|： |OA|=5：1． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线AF的解析式； （3）在直线AF上是否存在 点P，使△CFP是直角三角形？ 若存在，求出P点坐标；若不 存在，说明理由．
（4）在抛物线上是否存在点M，
使△ACM是以AC为直角边的三
二次函数13---直角三角形问题
二次函数与直角三角形的探究问题“某函数图象（或对称轴）上是否存在一点，使之与另两个定点构成直角三角形或”的问题”(1)：利用坐标系中两点距离公式,得到所求三角形三边平方的关系式（勾股定理）；确定三角形中的直角顶点，若无法确定则分情况讨论；根据勾股定理得到方程,然后解方程，若方程有解，此点存在；否则不存在；(2)：利用两直线垂直，k 值互为负倒数（121-=k k ），先确定点所在的直线表达式,将直线与抛物线的表达式联立方程组，若求出交点坐标，此点存在；否则不存在；注：若夹直角的两边中有一边与y 轴平行，此时不能使用斜率公式。
补救措施是：过余下的那一个点（没在平行于y 轴的那条直线上的点）直接向平行于y 的直线作垂线或过直角点作平行于y 轴的直线的垂线与另一相关图象相交，则相关点的坐标可轻松搞定。
如图，已知抛物线()02≠++=a c bx ax y 的对称轴为直线1-=x ,且经过()0,1A ，()3,0C 两点，与x 轴的另一个交点为B 。
（1）若直线n mx y +=经过C B ,两点，求抛物线和直线BC 的解析式；（2）设点P 为抛物线的对称轴1-=x 上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.如图，直线3+=x y 与两坐标轴交于A ，B 两点，抛物线c bx x y ++-=2过点B A 、，且交x 轴的正半轴于点C 。
（1）直接写出B A 、两点的坐标；（2）求该抛物线的解析式和顶点D 的坐标；（3）在抛物线上是否存在动点P ，使得PAB △是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
如图，直线2+=x y 与抛物线)0(62≠++=a bx ax y 相交于)25,21(A ，),4(cB 两点，点P 是线段AB 上异于B A 、的动点，过点P 作x PC ⊥轴于点D ，交抛物线于点C 。
（1）求该抛物线的解析式；（2）求PAC △为直角三角形时点P的坐标。
二次函数直角三角形问题
1、已知抛物线与x轴交于A、 B两点，与y轴交于点C．是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．由，解得，．∴点A、B的坐标分别为（-3，0），（，0）．∴，，．∴，，．〈ⅰ〉当时，∠ACB＝90°．由，得．解得．∴当时，点B的坐标为（，0），，，．于是．∴当时，△A BC为直角三角形．〈ⅱ〉当时，∠ABC＝90°．2：如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D。
交Y轴于C，在抛物线第二象限图象上是否存在一点M，使△MBC是以∠BCM为直角的直角三角形，若存在，求出点P的坐标。
若没有，请说明理由抛物线y=-x^2+bx+c与x轴交予A(1,0),B(-3,0)两点,得-1+b+c=0-9-3b+c=0得b=-2,c=3该抛物线的解析式y=-x^2-2x+3点C为（0.3）△ABC的面积为1/2AB*OC=6设在抛物线第二象限图象上存在点M(x0,y0)使△MBC是以∠BCM为直角的直角三角形则x0<0,y0>0y0=-x0^2-2x0+3(1)再由MB^2=MC^2+BC^2得(x0+3)^2+(y0-0)^2=(x0-0)^2+(y0-3)^2+(0+3)^2+(3-0)^2(2)(3)由（1）和（2）可解得y0=3,x0=0或者y0=4，x0=-1又x0<0,y0>0所以y0=4，x0=-1在抛物线第二象限图象上存在点M(-1,4)使△MBC是以∠BCM为直角的直角三角形.3：（2012云南）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点P，交y轴于点A．抛物线的图象过点E（-1，0），并与直线相交于A、B两点（1）求抛物线的解析式（关系式）；（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）直线解析式为y=x+2，令x=0，则y=2，∴A（0，2），∵抛物线y=x2+bx+c的图象过点A（0，2），E（﹣1，0），∴，解得．∴抛物线的解析式为：y=x2+x+2．（2）∵直线y=x+2分别交x轴、y轴于点P、点A，∴P（6，0），A（0，2），∴OP=6，OA=2．∵AC⊥AB，OA⊥OP，∴Rt△OCA∽Rt△OPA，∴，∴OC=，又C点在x轴负半轴上，∴点C的坐标为C（，0）．（3）抛物线y=x2+x+2与直线y=x+2交于A、B两点，令x2+x+2=x+2，解得x1=0，x2=，∴B（，）．如答图①所示，过点B作BD⊥x轴于点D，则D（，0），BD=，DP=6﹣=．点M在坐标轴上，且△MAB是直角三角形，有以下几种情况：①当点M在x轴上，且BM⊥AB，如答图①所示．设M（m，0），则MD=﹣m．∵BM⊥AB，BD⊥x轴，∴，即，解得m=，∴此时M点坐标为（，0）；②当点M在x轴上，且BM⊥AM，如答图①所示．设M（m，0），则MD=﹣m．∵BM⊥AM，易知Rt△AOM∽Rt△MDB，∴，即，化简得：m2﹣m+=0，解得：x1=，x2=，∴此时M点坐标为（，0），（，0）；（说明：此时的M点相当于以AB为直径的圆与x轴的两个交点）③当点M在y轴上，且BM⊥AM，如答图②所示．此时M点坐标为（0，）；④当点M在y轴上，且BM′⊥AB，如答图②所示．设M′（0，m），则AM=2﹣=，BM=，MM′=﹣m．易知Rt△ABM∽Rt△MBM′，∴，即，解得m=，∴此时M点坐标为（0，）．综上所述，除点C外，在坐标轴上存在点M，使得△MAB是直角三角形．符合条件的点M有5个，其坐标分别为：（，0）、（，0）、（，0）、（0，）或（0，）．4：（2012?河池）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线经过A、B两点．（1）写出点A、点B的坐标；（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连接PA、PB．设直线l移动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得△PAM是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）抛物线y=﹣x2+x+4中：令x=0，y=4，则 B（0，4）；令y=0，0=﹣x2+x+4，解得 x1=﹣1、x2=8，则 A（8，0）；∴A（8，0）、B（0，4）．△ABC中，AB=AC，AO⊥BC，则OB=OC=4，∴C（0，﹣4）．由A（8，0）、B（0，4），得：直线AC：y=﹣x+4；依题意，知：OE=2t，即 E（2t，0）；∴P（2t，﹣2t2+7t+4）、Q（2t，﹣t+4），PQ=（﹣2t2+7t+4）﹣（﹣t+4）=﹣2t2+8t；S=S△ABC+S△PAB=×8×8+×（﹣2t2+8t）×8=﹣8t2+32t+32=﹣8（t﹣2）2+64；∴当t=2时，S有最大值，且最大值为64．（3）∵PM∥y轴，∴∠AMP=∠ACO＜90°；而∠APM是锐角，所以△PAM若是直角三角形，只能是∠PAM=90°；由A（8，0）、C（0，﹣4），得：直线AC：y=x﹣4；所以，直线AP可设为：y=﹣2x+h，代入A（8，0），得：﹣16+h=0，h=16∴直线AP：y=﹣2x+16，联立抛物线的解析式，得：，解得、∴存在符合条件的点P，且坐标为（3，10）．5：（2012?海南）如图，顶点为P（4，-4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON，（1）求该二次函数的关系式；（2）若点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：①证明：∠ANM=∠ONM；②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标；如果不能，请说明理由．1）∵二次函数图象的顶点为P（4，－4），∴设二次函数的关系式为。
二次函数顶点与x轴两交点为等腰直角三角形
二次函数顶点与x轴两交点为等腰直角三角形题目中的问题是关于二次函数顶点和x轴两交点构成等腰直角三角形的情况。
在这篇文章中，我们将一步一步解答这个问题，并对相关的数学概念进行详细解释。
接下来，我们来开始探索这个问题。
第一部分：二次函数基础知识在讨论题目之前，我们先来回顾一下二次函数的基本知识。
二次函数是指形式为f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中a, b, c 是实数且a \neq 0。
二次函数的图像呈现出抛物线的形态，可以开口向上、向下。
其中，a 控制了图像的开口方向：当a > 0 时，抛物线开口向上，这种函数称为上凹函数；当a < 0 时，抛物线开口向下，这种函数称为下凹函数。
第二部分：顶点坐标与x轴交点现在，我们考虑一个二次函数的顶点坐标和与x轴的交点。
顶点坐标可以通过计算二次函数的极值点得出，而与x轴的交点可以通过令二次函数等于零求解。
我们假设该二次函数的顶点坐标为(h, k)，与x轴的两个交点分别为x1 和x2。
根据题目要求，我们知道这两个交点构成了一个等腰直角三角形。
首先，我们可以通过求导数来找到二次函数的极值点，即顶点坐标。
对f(x) 求导可以得到f'(x) = 2ax + b。
极值点的横坐标可以通过求解方程f'(x) = 0 来得到，即2ah + b = 0，解得h = -\frac{b}{2a}。
接下来，我们来计算与x轴的交点。
我们令f(x) = ax^2 + bx + c 等于零，即ax^2 + bx + c = 0。
通过求解这个二次方程，我们可以得到与x轴的交点的横坐标：x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} 和x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}。
根据题目的要求，我们知道这两个交点构成了一个等腰直角三角形。
我们可以通过计算两个交点之间的距离和两个交点到顶点的距离，来验证这一点。
二次函数 直角三角形
二次函数直角三角形二次函数是一种常见的数学模型，其图像呈现出连续的曲线，可以用于描述许多实际问题，如物体的运动轨迹、物体的抛射运动、电子电路等。
而直角三角形是一个三角形中的一种特殊情况，其中一个角为90度。
在这篇文章中，我们将讨论二次函数与直角三角形之间的关系，以及如何利用二次函数和三角函数求解直角三角形问题。
一、二次函数二次函数是一种以自变量x的二次多项式的形式表示的函数，其一般式为：y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
二次函数的图像通常呈现出抛物线状，其开口向上或向下取决于系数a的正负性。
当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
二、二次函数与直角三角形之间的关系二次函数可以用于描述许多物理问题，如自由落体运动、抛体运动等。
这些物理问题中通常包含有物体的高度、速度、加速度等数值。
而这些数值往往与直角三角形有直接关系。
例如，在自由落体运动中，当一个物体从高度h自由落下时，其高度与时间的关系可以表示为二次函数y=-gt²/2 + h，其中g为重力加速度，t为时间。
同时，当物体与地面碰撞时，其速度可以表示为v=gt，即与时间t存在线性关系。
这些物理问题中的二次函数常常与直角三角形有关，我们可以将物体高度与时间关系中的高度看作直角三角形中的斜边，将时间看作直角三角形中的一条直角边，将落地时的高度看作直角三角形中的另一条直角边。
这样，我们就可以将二次函数转化为三角函数的形式，利用三角函数求解直角三角形的问题。
三、利用三角函数求解直角三角形的问题在直角三角形中，我们通常会用三角函数来计算三角形的各边和角度的大小。
其中最常用的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
通过利用三角函数可以快速地求解直角三角形的各项参数，如角度、斜边、直角边以及三角形的面积等。
下面是利用三角函数求解直角三角形的常用公式：1.正弦定理：a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)。
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我们先看三个问题：
1.已知线段AB，以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？
2.已知线段AB，以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？
3.已知点A（4,0），如果△OAB是等腰直角三角形，求符合条件的点B的坐标。
如图1，点C在垂线上，垂足除外。
如图2，点C在以AB为直径的圆上，A,B两点除外
如图3，以OA为边画两个正方形，除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点B 共6个。
解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。
一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或者勾股定理列方程。
有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简单。
解直角三角形的问题，常常和相似三角形和相似比的问题联系在一起。
如果直角边和坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个相似直角三角形，这样列比例方程比较简单。
（K字形）
1.(潍坊倒一)如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B（-1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，与抛物线交于另一点F．点P在直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；
（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
第（2）题表面上是抛物线问题，但认真审题后发现，抛物线只是作为背景，实际上就是有关直角三角形的动点问题。
遇直角三角形要养成分三种情况讨论的习惯，包括①，我们必须要讨论后给予排除。
3.（永州倒一）如图，已知抛物线y=ax2+bx+1经过A(-1，0)，B(1，1)两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)阅读理解：
在同一平面直角坐标系中，直线l1：y=k1x+b1(k1，b1为常数，且k1≠0)，直线l2：y=k2x+b2(k2，b2为常数，且k
≠0)，若l1⊥l2，则k1〃k2=-1．
2
解决问题：
①若直线y=3x-1与直线y=mx+2互相垂直，求m的值；
②是否存在点P，使得△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)M是抛物线上一动点，且在直线AB的上方(不与A，B重合)，求点M到直线AB的距离的最大值．
4.（孝感倒一）在平面直角坐标系xoy中，规定：抛物线y=a(x-h)2+k的伴随直线为y=a(x-h)+k.例如：抛物线y=2(x+1)2-3的伴随直线为y=2(x+1)-3，即y=2x-1.
（1）在上面规定下，抛物线y=(x+1)2-4的顶点为 .伴随直线为；抛物线y=(x+1)2-4与其伴随直线的交点坐标为和；
（2）如图，顶点在第一象限的抛物线y=m(x-1)2-4m与其伴随直线相交于点A,B (点A在点B的左侧)与x轴交于点C,D.
①若∠CAB=90°，求m的值；
②如果点是直线BC上方抛物线的一个动点，△PBC的面积记为S，当S取得最大值27/4时，求m的值.
5.（徐州倒一）如图，已知二次函数y=4/9x2﹣4的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，⊙C的半径为根号5，P为⊙C上一动点．
（1）点B，C的坐标分别为B（，），C（，）；
（2）是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值=_____．
6.（内江倒一）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，关系，并求S的最大值；
（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
7.如图，在矩形ABCD中，点O为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A、C在坐标轴上，点P在BC边上，直线l1：y=2x+3，直线l2：y=2x﹣3．
（1）分别求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；
（2）已知点M在第一象限，且是直线l2上的点，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标；
（3）我们把直线l1和直线l2上的点所组成的图形为图形F．已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请直接写出x的取值范围（不用说明理由）．
8.（贵州黔南州倒一）如图，已知直角坐标系中，A、B、D三点的坐标分别为A（8，0），B（0，4），D（﹣1，0），点C与点B关于x轴对称，连接AB、AC．
（1）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（2）有一动点E从原点O出发，以每秒2个单位的速度向右运动，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点P，交线段CA于点M，连接PA、PB，设点E运动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S与t的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；
（3）抛物线的对称轴上是否存在一点H，使得△ABH是直角三角形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．。