二次函数与直角三角形
压轴题05二次函数与三角形存在性问题(与等腰、直角、等腰直角三角形、相似)-2023年中考
2023年中考数学压轴题专项训练压轴题05二次函数与三角形存在性问题（与等腰、直角、等腰直角三角形、相似三角形）题型一：二次函数与等腰三角形存在性问题例1．（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠BOF＝∠BDF；（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．题型二：二次函数与直角三角形存在性问题例2．（2022•滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A在点B 的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．（1）求线段AC的长；（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当P A＝PC时，求点P的坐标；（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．题型三：二次函数与等腰直角三角形存在性问题例3．（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．题型四：二次函数与相似三角形存在性问题例4．（2023•宜兴市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接BC、AC．（1）求二次函数的函数表达式；（2）设二次函数的图象的顶点为D，求直线BD的函数表达式以及sin∠CBD的值；（3）若点M在线段AB上（不与A、B重合），点N在线段BC上（不与B、C重合），是否存在△CMN 与△AOC相似，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．一．解答题（共20小题）1．（2023•绥宁县模拟）如图，一次函数y=12x+2与x轴，y轴分别交于A、C两点，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A、C两点，与x轴交于另一点B，其对称轴为直线x=−3 2．（1）求该二次函数表达式；（2）在y轴的正半轴上是否存在一点M，使以点M、O、B为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在对称轴上是否存在点P，使△P AC为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2023•泗阳县校级一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C．（1）求函数表达式及顶点坐标；（2）连接AC，点P为线段AC上方抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AC于点H，当PH ＝2HQ时，求点P的坐标；（3）是否存在点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，使得△BMN是以BN为斜边的等腰直角三角形，若存在，直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．3．（2023•碑林区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．4．（2023•崂山区开学）如图1，已知二次函数y＝ax2+32x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4）．与x轴交于点B，C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y＝ax2+32x+c（a≠0）的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标；（4）若点N在x轴上运动，当以点A，N，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标．5．（2023•泰山区校级一模）已知二次函数y＝ax2+32x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）求出二次函数表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，求出此时点N的坐标，并说明理由；（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．6．（2023•灞桥区校级二模）如图，二次函数y=−12x2−x+4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B、C的坐标；（2）若点P在抛物线对称轴上，且在x轴上方，当△PBC为等腰三角形时，求出所有符合条件的点P 的坐标．7．（2023春•仓山区校级期中）如图抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）过定点（1，3）的直线l：y＝kx+b与二次函数的图象相交于M，N两点．①若S△PMN＝2，求k的值；②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形．8．（2023春•兴化市月考）已知：二次函数y＝ax2+2ax﹣8a（a为常数，且a＞0）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．（1）分别求点A、B的坐标；（2）若△ABC是直角三角形，求该二次函数相应的表达式；（3）当a=12时，一次函数y=12x+b的图象过B点，与二次函数的对称轴交于Q点，N为一次函数图象上一点，过N点作y的平行线交二次函数图象于M点，当D、M、N、Q四点组成的四边形是平行四边形时，求N点的坐标．9．（2023•广水市模拟）二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣1，0）和点B（﹣3，0），交y轴于点C（0，﹣3）．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，点E为抛物线的顶点，点T（0，t）为y轴负半轴上的一点，将抛物线绕点T旋转180°，得到新的抛物线，其中B，E旋转后的对应点分别记为B'，E'，当四边形BEB'E'的面积为12时，求t的值；（3）如图2，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D．点M是直线CD上的一个动点，过点M作x 轴的垂线，交抛物线于点P．是否存在点M使△PBC为直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．10．（2023•江油市模拟）抛物线y=ax2+114x−6与x轴交于A（t，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝kx﹣6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；（3）如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQ+12PQ的最大值．11．如图，已知一次函数y＝0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y＝ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC＝2．（1）求二次函数的表达式；（2）点M为一次函数下方抛物线上的点，△ABM的面积最大时，求点M的坐标；（3）设一次函数y＝0.5x+2的图象与二次函数的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．12．（2023•儋州一模）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，A（0，3），B（﹣1，0），将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝ax2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点．①若S△PMN＝2，求k的值；②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．13．（2023•保亭县一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+5的图象经过点（1，8），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A（﹣1，0），M为抛物线的顶点．（1）求二次函数的解析式；（2）求△MCB的面积；（3）在坐标轴上是否存在点N，使得△BCN为直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2022秋•蔡甸区期末）如图，一次函数y=12x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y=12x2+bx+c的图象与一次函数y=12x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且D点坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点P，使|PB﹣PC|最大，求出点P的坐标；（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．15．（2023•二道区校级一模）已知一次函数y＝x+4的图象与二次函数y＝ax（x﹣2）的图象相交于A（﹣1，b）和B，点P是线段AB上的动点（不与A、B重合），过点P作PC⊥x轴，与二次函数y＝ax（x﹣2）的图象交于点C．（1）求a、b的值；（2）如图1，M为∠APC内一点，且PM＝1，E，F分别为边P A和PC上两个动点，求△MEF周长的最小值；（3）若△P AC是直角三角形，求点C的坐标．16．（2023•靖江市一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点（0，−32），顶点为C（﹣1，﹣2）．（Ⅰ）求该二次函数的解析式；（Ⅱ）过A、C两点作直线，并将线段AC沿该直线向上平移，记点A、C分别平移到点D、E处．若点F在这个二次函数的图象上，且△DEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；（Ⅲ）当p+q≥﹣2时，试确定实数p，q的值，使得当p≤x≤q时，p≤y≤q．17．（2023•泰山区一模）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点A（﹣1，0），点B（4，0）两点，交y 轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）连接BD，当t=32时，求△DNB的面积；（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．18．（2023•东营区一模）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A（1，0）和B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），直线y＝﹣2x+m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点M在AE下方的抛物线上运动，求△AME的面积最大值；（3）如图2，在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．19．（2023•铁西区模拟）如图①，已知抛物线y＝mx2﹣3mx﹣4m（m＜0）的图象与x轴交于A、B两点（A 在B的左侧），与y的正半轴交于点C，连结BC，二次函数的对称轴与x轴交于点E，且OC＝2OE．（1）求出抛物线的解析式；（2）如图②Q（t，0）是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，若△MCN与△BQM相似，请求出Q的坐标；（3）如图②Q（t，0）是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M'，是否存在点Q，使得M'恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2023•东胜区模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣2，0），B（4，0），C（0，8）三点，点P是直线BC上方抛物线上的一个动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）动点P运动到什么位置时，△PBC的面积最大，求此时P点坐标及△PBC面积的最大值；（3）在y轴上是否存在点Q，使以O，B，Q为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．。
(完整版)二次函数与三角形的存在性问题的解法
二次函数与三角形的存在性问题一、预备知识1、坐标系中或抛物线上有两个点为P （x1，y ），Q （x2，y ）(1)线段对称轴是直线2x 21x x +=(2)AB 两点之间距离公式：221221)()(y y x x PQ -+-=中点公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为⎪⎭⎫ ⎝⎛++222121y y ,x x 。
2、两直线的解析式为11b x k y +=与 22b x k y +=如果这两天两直线互相垂直，则有121-=⋅k k3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2（1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2（2）当k1≠k2， ，L1与L2相交（3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直二、三角形的存在性问题探究：三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形（一）三角形的性质和判定：1、等腰三角形性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。
判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。
2、直角三角形性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。
判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。
3、等腰直角三角形性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。
判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形4、等边三角形性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。
判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
总结：（1）已知A 、B 两点，通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求的点（不与A 、B 点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上（2）已知A 、B 两点，通过“两线一圆”可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点（不与A 、B 点重合）即在圆上以及在两条与直径AB 垂直的直线上。
二次函数中求直角三角形的方法
求直角三角形的方法中的特定函数在二次函数中求直角三角形的方法中，可以使用特定的函数来计算直角三角形的各个属性，例如边长、角度、面积等。
这些函数可以帮助我们快速准确地解决直角三角形相关的问题。
本文将详细介绍几个常用的函数，包括函数的定义、用途和工作方式等。
1. 求斜边长的函数求斜边长的函数是用来计算直角三角形斜边的长度的。
根据勾股定理，直角三角形的斜边长度可以通过已知的两个直角边的长度来计算。
函数的定义如下：def hypotenuse(a, b):"""计算直角三角形的斜边长:param a: 直角三角形的直角边a的长度:param b: 直角三角形的直角边b的长度:return: 直角三角形的斜边长"""c = math.sqrt(a**2 + b**2)return c该函数接受两个参数a和b，分别表示直角三角形的直角边a和直角边b的长度。
函数内部使用勾股定理来计算斜边的长度，并返回结果。
2. 求角度的函数求角度的函数是用来计算直角三角形中某个角度的大小的。
根据三角函数的定义，我们可以通过已知的两个直角边的长度来计算角度的大小。
函数的定义如下：def angle(a, b):"""计算直角三角形中的角度:param a: 直角三角形的直角边a的长度:param b: 直角三角形的直角边b的长度:return: 直角三角形中的角度（弧度制）"""radians = math.atan(a / b)return radians该函数接受两个参数a和b，分别表示直角三角形的直角边a和直角边b的长度。
函数内部使用反正切函数来计算角度的大小，并返回结果（以弧度制表示）。
3. 求面积的函数求面积的函数是用来计算直角三角形的面积的。
根据直角三角形的面积公式，我们可以通过已知的两个直角边的长度来计算面积。
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自学指导4（4分钟）
在抛物线y=x2-x-2上是否存在点P ，使△PAC是以AC为
直角边的三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的
坐标；
情况 ：当 一 PC 9A 00 时
y=x2-x-2
P1
(
3 2
,
7 2
)
情况 ：当 二 PA 9 C00 时
P2
(
5 2
,
7 4
)
（-1，0）A O
④在抛物线上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的 直角三角形．
yx2 2xk
精选ppt课件 yx2 2xk
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4.如图，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点B的坐 标为（1，3），把矩形绕点B旋转一定的角度，使它的 顶点O落在x轴的点D处，已知M是第四象限内纵坐标为-1 的点，以M为顶点的抛物线正好过O、D两点． （1）求点D的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否存在点N，使以O、M、N为顶点的 三角形为直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点 N的坐标；若不存在，请说明理由．
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当堂训练（6分钟）
（2012•赤峰改编）如图，抛物线y=x2-bx-5与x轴交于A、 B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点C与点F 关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|： |OA|=5：1． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线AF的解析式； （3）在直线AF上是否存在 点P，使△CFP是直角三角形？ 若存在，求出P点坐标；若不 存在，说明理由．
（4）在抛物线上是否存在点M，
使△ACM是以AC为直角边的三
二次函数13---直角三角形问题
二次函数与直角三角形的探究问题“某函数图象（或对称轴）上是否存在一点，使之与另两个定点构成直角三角形或”的问题”(1)：利用坐标系中两点距离公式,得到所求三角形三边平方的关系式（勾股定理）；确定三角形中的直角顶点，若无法确定则分情况讨论；根据勾股定理得到方程,然后解方程，若方程有解，此点存在；否则不存在；(2)：利用两直线垂直，k 值互为负倒数（121-=k k ），先确定点所在的直线表达式,将直线与抛物线的表达式联立方程组，若求出交点坐标，此点存在；否则不存在；注：若夹直角的两边中有一边与y 轴平行，此时不能使用斜率公式。
补救措施是：过余下的那一个点（没在平行于y 轴的那条直线上的点）直接向平行于y 的直线作垂线或过直角点作平行于y 轴的直线的垂线与另一相关图象相交，则相关点的坐标可轻松搞定。
如图，已知抛物线()02≠++=a c bx ax y 的对称轴为直线1-=x ,且经过()0,1A ，()3,0C 两点，与x 轴的另一个交点为B 。
（1）若直线n mx y +=经过C B ,两点，求抛物线和直线BC 的解析式；（2）设点P 为抛物线的对称轴1-=x 上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.如图，直线3+=x y 与两坐标轴交于A ，B 两点，抛物线c bx x y ++-=2过点B A 、，且交x 轴的正半轴于点C 。
（1）直接写出B A 、两点的坐标；（2）求该抛物线的解析式和顶点D 的坐标；（3）在抛物线上是否存在动点P ，使得PAB △是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
如图，直线2+=x y 与抛物线)0(62≠++=a bx ax y 相交于)25,21(A ，),4(cB 两点，点P 是线段AB 上异于B A 、的动点，过点P 作x PC ⊥轴于点D ，交抛物线于点C 。
（1）求该抛物线的解析式；（2）求PAC △为直角三角形时点P的坐标。
中考复习专题2二次函数与直角三角形问题(含解析)
专题2二次函数与直角三角形问题我们先看三个问题：1．已知线段AB，以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．已知线段AB，以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？3．已知点A(4,0)，如果△OAB是等腰直角三角形，求符合条件的点B的坐标．图1图2图3如图1，点C在垂线上，垂足除外．如图2，点C在以AB为直径的圆上，A、B两点除外．如图3，以OA为边画两个正方形，除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点B，共6个．如图4，已知A(3,0)，B(1,－4)，如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上，求点C的坐标．我们可以用几何的方法，作AB为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C．如果作BD⊥y轴于D，那么△AOC∽△CDB．设OC＝m，那么341m m-=．这个方程有两个解，分别对应图中圆与y轴的两个交点．对于代数法，可以采用两条直线的斜率之积来解决.【例1】．（2022•滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A 在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．（1）求线段AC的长；（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA＝PC时，求点P的坐标；（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．【分析】（1）根据坐标轴上点的特点求出点A，C的坐标，即可求出答案；（2）设出点P的坐标，利用PA＝PC建立方程求解，即可求出答案；（3）分三种情况，利用等腰直角三角形的性质求出前两种情况，利用三垂线构造出相似三角形，得出比例式，建立方程求解，即可求出答案．【解析】（1）针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3）；令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝3或x＝﹣1，∵点A在点B的左侧，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AC＝＝；（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣＝1，∵点P为该抛物线对称轴上，∴设P（1，p），∴PA＝＝，PC＝＝，∵PA＝PC，∴＝，∴p＝﹣1，∴P（1，﹣1）；（3）由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，设M（m，m2﹣2m﹣3），∵△BCM为直角三角形，∴①当∠BCM＝90°时，如图1，过点M作MH⊥y轴于H，则HM＝m，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠HCM＝90°﹣∠OCB＝45°，∴∠HMC＝45°＝∠HCM，∴CH＝MH，∵CH＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，∴﹣m2+2m＝m，∴m＝0（不符合题意，舍去）或m＝1，∴M（1，﹣4）；②当∠CBM＝90°时，过点M作M'H'⊥x轴，同①的方法得，M'（﹣2，5）；③当∠BMC＝90°时，如图2，Ⅰ、当点M在第四象限时，过点M作MD⊥y轴于D，过点B作BE⊥DM，交DM的延长线于E，∴∠CDM＝∠E＝90°，∴∠DCM+∠DMC＝90°，∵∠DMC+∠EMB＝90°，∴∠DCM＝∠EMB，∴△CDM∽△MEB，∴，∵M（m，m2﹣2m﹣3），B（3，0），C（0，﹣3），∴DM＝m，CD＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，ME＝3﹣m，BE＝﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m+3，∴，∴m＝0（舍去）或m＝3（点B的横坐标，不符合题意，舍去）或m＝（不符合题意，舍去）或m＝，∴M（，﹣），Ⅱ、当点M在第三象限时，M（，﹣），即满足条件的M的坐标为（1，﹣4）或（﹣2，5）或（，﹣），或（，﹣）．【例2】．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．【分析】（1）将点A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，即可求解；（2）过点D作DG⊥AB交于G，交AC于点H，设D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），由DH∥OC，可得＝＝，求出D（﹣1，6）或（﹣3，4）；（3）设F（t，t+4），当∠FDO＝45°时，过点D作MN⊥y轴交于点N，过点F作FM⊥MN交于点M，证明△MDF≌△NOD（AAS），可得D点纵坐标为2，求出D点坐标为（，2）或（，2）；当∠DFO＝90°时，过点F作KL⊥x轴交于L点，过点D作DK⊥KL交于点K，证明△KDF≌△LFO（AAS），得到D点纵坐标为4，求得D（0，4）或（﹣3，4）．【解析】（1）将点A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣3x+4；（2）过点D作DG⊥AB交于G，交AC于点H，设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+4，设D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），∴DH＝﹣n2﹣4n，∵DH∥OC，∴＝＝，∵OC＝4，∴DH＝3，∴﹣n2﹣4n＝3，解得n＝﹣1或n＝﹣3，∴D（﹣1，6）或（﹣3，4）；（3）设F（t，t+4），当∠FDO＝45°时，过点D作MN⊥y轴交于点N，过点F作FM⊥MN交于点M，∵∠DOF＝45°，∴DF＝DO，∵∠MDF+∠NDO＝90°，∠MDF+∠MFD＝90°，∴∠NDO＝∠MFD，∴△MDF≌△NOD（AAS），∴DM＝ON，MF＝DN，∴DN+ON＝﹣t，DN＝ON+（﹣t﹣4），∴DN＝﹣t﹣2，ON＝2，∴D点纵坐标为2，∴﹣x2﹣3x+4＝2，解得x＝或x＝，∴D点坐标为（，2）或（，2）；当∠DFO＝90°时，过点F作KL⊥x轴交于L点，过点D作DK⊥KL交于点K，∵∠KFD+∠LFO＝90°，∠KFD+∠KDF＝90°，∴∠LFO＝∠KDF，∵DF＝FO，∴△KDF≌△LFO（AAS），∴KD＝FL，KF＝LO，∴KL＝t+4﹣t＝4，∴D点纵坐标为4，∴﹣x2﹣3x+4＝4，解得x＝0或x＝﹣3，∴D（0，4）或（﹣3，4）；综上所述：D点坐标为（，2）或（，2）或（0，4）或（﹣3，4）．【例3】（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C坐标为（2，0）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．【分析】（1）把点B，C两点坐标代入抛物线的解析式，解方程组，可得结论；（2）存在．如图1中，设D（t，t2+t﹣4），连接OD．构建二次函数，利用二次函数的性质，解决问题；（3）如图2中，设抛物线的对称轴交x轴于点N，过点B作BM⊥抛物线的对称轴于点M．则N（﹣1.0）．M （﹣1，﹣4），分三种情形：∠PAB＝90°，∠PBA＝90°，∠APB＝90°，分别求解可得结论．【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过点B（0，﹣4），点C（2，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；（2）存在．理由：如图1中，设D（t，t2+t﹣4），连接OD．令y＝0，则x2+x﹣4＝0，解得x＝﹣4或2，∴A（﹣4，0），C（2，0），∵B（0，﹣4），∴OA＝OB＝4，＝S△AOD+S△OBD﹣S△AOB＝×4×（﹣﹣t+4）+×4×（﹣t）﹣×4×4＝﹣t2﹣4t＝﹣∵S△ABD（t+2）2+4，∵﹣1＜0，∴t＝﹣2时，△ABD的面积最大，最大值为4，此时D（﹣2，﹣4）；（3）如图2中，设抛物线的对称轴交x轴于点N，过点B作BM⊥抛物线的对称轴于点M．则N（﹣1.0）．M （﹣1，﹣4）；∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，当∠P1AB＝90°时，△ANP1是等腰直角三角形，∴AN＝NP1＝3，∴P1（﹣1，3），当∠ABP2＝90°时，△BMP2是等腰直角三角形，可得P2（﹣1，﹣5），当∠APB＝90°时，设P（﹣1，n），设AB的中点为J，连接PJ，则J（﹣2，﹣2），∴PJ＝AB＝2，∴12+（n+2）2＝（2）2，解得n＝﹣2或﹣﹣2，∴P3（﹣1，﹣2），P4（﹣1，﹣﹣2），综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣5）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣﹣2）．【例4】．（2022•柳州）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．（1）求b，c，m的值；（2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG 的周长最大时，求点D的坐标；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．【分析】（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，解二元一次方程组即可得b，c的值，令y ＝0即可得m的值；（2）设D（x，﹣x2+4x+5），则E（4﹣x，﹣x2+4x+5），表示出四边形DEFG的周长，根据二次函数的最值即可求解；（3）过点C作CH⊥对称轴于H，过点N作NK⊥y轴于K，证明△MCH≌△NCK，根据全等三角形的性质得NK＝MH＝4，CK＝CH＝2，则N（﹣4，3），利用待定系数法可得直线BN的解析式为y＝﹣x+，可得Q（0，），设P（2，p），利用勾股定理表示出PQ2、BP2、BQ2，分两种情况：①当∠BQP＝90°时，②当∠QBP＝90°时，利用勾股定理即可求解．【解析】（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，得，解得．∴这个抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5，令y＝0，则﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，∴B（5，0），∴m＝5；（2）∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴对称轴为x＝2，设D（x，﹣x2+4x+5），∵DE∥x轴，∴E（4﹣x，﹣x2+4x+5），∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，∴四边形DEFG是矩形，∴四边形DEFG的周长＝2（﹣x2+4x+5）+2（x﹣4+x）＝﹣2x2+12x+2＝﹣2（x﹣3）2+20，∴当x＝3时，四边形DEFG的周长最大，∴当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为（3，8）；（3）过点C作CH⊥对称轴于H，过点N作NK⊥y轴于K，∴∠NKC＝∠MHC＝90°，由翻折得CN＝CM，∠BCN＝∠BCM，∵B（5，0），C（0，5）．∴OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵CH⊥对称轴于H，∴CH∥x轴，∴∠BCH＝45°，∴∠BCH＝∠OCB，∴∠NCK＝∠MCH，∴△MCH≌△NCK（AAS），∴NK＝MH，CK＝CH，∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴对称轴为x＝2，M（2，9），∴MH＝9﹣5＝4，CH＝2，∴NK＝MH＝4，CK＝CH＝2，∴N（﹣4，3），设直线BN的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴直线BN的解析式为y＝﹣x+，∴Q（0，），设P（2，p），∴PQ2＝22+（p﹣）2＝p2﹣p+，BP2＝（5﹣2）2p2＝9+p2，BQ2＝52+（）2＝25+，分两种情况：①当∠BQP＝90°时，BP2＝PQ2+BQ2，∴9+p2＝p2﹣p++25+，解得p＝，∴点P的坐标为（2，）；②当∠QBP＝90°时，P′Q2＝BP′2+BQ2，∴p2﹣p+＝9+p2+25+，解得p＝﹣9，∴点P′的坐标为（2，﹣9）．综上，所有符合条件的点P的坐标为（2，），（2，﹣9）．1．（2022•公安县模拟）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（﹣1，0），C（2，0），AC＝BC．（1）求抛物线的解析式；的最大值以及此时E点的坐标；（2）点E是抛物线AB之间的一个动点（不与A，B重合），求S△ABE（3）根据问题（2）的条件，判断是否存在点E使得△ABE为直角三角形，如果存在，求出E点的坐标，如果不存在，说明理由．【分析】（1）先求得点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可得到关于b、c的方程组，从而可求得b、c的值；（2）过点E作EF∥y轴交线段AB于点F，设点E（t，﹣t2+2t+3），则F（t，t+1），则可得到EF与x 的函数关系式，利用配方法可求得EF的最大值以及点E的坐标，最后根据EF的最大值可得△ABE的面积；（3）存在，设E（m，﹣m2+2m+3），分三种情况：分别以A，B，E为直角顶点，作出辅助线，构造相似列出方程，解方程即可．【解析】（1）∵点A（﹣1，0），C（2，0），∴AC＝3，OC＝2，∵AC＝BC＝3，∴B（2，3），把A（﹣1，0）和B（2，3）代入二次函数y＝x2+bx+c中得：，解得：，∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（2，3），设直线AB的解析式为y＝kx+b′，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝x+1，如图，过点E作EF∥y轴交线段AB于点F，∴设点E（t，﹣t2+2t+3），则F（t，t+1），∴EF＝﹣t2+2t+3﹣（t+1）＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，EF的最大值为，∴点E的坐标为（，），最大，S△ABE＝•EF•（x B−x A）＝××（2+1）＝．∴此时S△ABE（3）在问题（2）的条件下，存在点E使得△ABE为直角三角形；设E（m，﹣m2+2m+3），①当点A为直角顶点，过点A作AB的垂线，与AB之间的抛物线无交点，故不可能存在点E使得△ABE为以点A为直角顶点的直角三角形，②当点B为直角顶点，如下图，此时∠EBA＝90°，过点E作EG⊥CB，交CB延长线于点G，∵BC⊥x轴于点C，且AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝45°，∴∠EBG＝45°，∴△BEG是等腰直角三角形，EG＝BG，∵EG的长为点E与直线BC的距离，即2﹣m，且BG＝CG﹣BC＝﹣m2+2m+3﹣3＝﹣m2+2m，∴2﹣m＝＝﹣m2+2m，解得m＝1或m＝2（舍），∴E（1，4）；③如下图，此时∠AEB＝90°，作EM∥x轴，交CB的延长线于点M，过点A作AN⊥x轴交ME的延长线于点N，∴∠BEM+∠AEN＝90°，∵在Rt△AEN中，∠EAN+∠AEN＝90°，∴∠BEM＝∠EAN，∴△AEN∽△BEM，∴BM：EN＝EM：AN，∴（﹣m2+2m）：（m+1）＝（2﹣m）：（﹣m2+2m+3），即﹣m（2﹣m）（m+1）（m﹣3）＝（2﹣m）（m+1），∵2﹣m≠0，m+1≠0，∴m2﹣3m+1＝0，解得m＝或m＝（舍）．∴E（，）综上，根据问题（2）的条件，存在点E（1，4）或（，）使得△ABE为直角三角形．2．（2022•高邮市模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0），与y轴交于点C，过点C作BC∥x 轴，交抛物线于点B，连接AC、AB，AB交y轴于点D，若．（1）求点B的坐标；（2）点P为抛物线对称轴上一点，且位于x轴上方，连接PA、PC，若△PAC是以AC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．【分析】（1）根据A（﹣1，0），得到OA＝l，对于y＝ax2+bx﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，得到C（0，﹣3），OC＝3，根据BC∥x轴，得到△AOD∽△BCD，推出，得到BC＝2，即可得B（2，﹣3）；（2）把A（﹣1，0），B（2，﹣3）代入y＝ax2+bx﹣3，求得a＝1，b＝﹣2，得到抛物线解析式并配方为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，得到抛物线的对称轴是直线x＝1，设P（1，m），写出PA2＝m2+22＝m2+4．PC2＝（m+3）2+12＝（m+3）2+1．AC2＝12+32＝10．根据△PAC是以AC为直角边的直角三角形，当∠PAC＝90°时，PA2+AC2＝PC2．得到m2+4+10＝（m+3）2+1，求得m＝；当∠PCA＝90°时，PC2+AC2＝AP2，得到（m+3）2+1+10＝m2+4，求出m＝﹣；即可得点P的坐标．【解析】∵A（﹣1，0），∴OA＝l，在y＝ax2+bx﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∴OC＝3，∵BC∥x轴，∴△AOD∽△BCD，∴，∴BC＝2，∴B（2，﹣3）；（2）把A（﹣1，0），B（2，﹣3）代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴是直线x＝1，设P（1，m），∴PA2＝m2+22＝m2+4．PC2＝（m+3）2+12＝（m+3）2+1．AC2＝12+32＝10．∵△PAC是以AC为直角边的直角三角形，当∠PAC＝90°时，PA2+AC2＝PC2．∴m2+4+10＝（m+3）2+1，解得m＝；当∠PCA＝90°时，PC2+AC2＝AP2，∴（m+3）2+1+10＝m2+4，解得m＝﹣（不符合题意，舍去）．∴P（1，）．3．（2022•碑林区校级模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点．（1）求b，c的值；（2）点E为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一点，且点E在x轴上方，连接BE，以点E为直角顶点，BE为直角边，作等直角△BED，使得点D恰好落在直线y＝x上，求出满足条件的所有点E的坐标．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）设D（m，m），E（n，﹣n2+2n+8），分两种情况：当点E1在点D左侧，∠DE1B＝90°，BE1＝D1E1时，当点E2在点D2右侧，∠D2E2B＝90°，BE2＝D2E2时，利用等腰直角三角形性质，添加辅助线构造全等三角形，再利用全等三角形的性质建立方程求解即可得出答案．【解析】（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，∴，解得：，∴b＝2，c＝8；（2）∵点D在直线y＝x上，点E在抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+8上，∴设D（m，m），E（n，﹣n2+2n+8），当点E1在点D左侧，∠DE1B＝90°，BE1＝D1E1时，如图，过点E1作E1G∥x轴，过点B作BF⊥EG 于点F，过点D1作D1G⊥E1G于点G，则∠BFE1＝∠E1GD1＝90°，BF＝﹣n2+2n+8，E1F＝4﹣n，E1G＝m﹣n，D1G＝m﹣（﹣n2+2n+8）＝n2﹣2n﹣8+m，∴∠E1BF+∠BE1F＝90°，∵∠D1E1G+∠BE1F＝90°，∴∠E1BF＝∠D1E1G，在△BE1F和△E1D1G中，，∴△BE1F≌△E1D1G（AAS），∴E1F＝D1G，BF＝E1G，∴，解得：，当n＝2时，﹣n2+2n+8＝﹣22+2×2+8＝8，∴E1（2，8）；当点E2在点D2右侧，∠D2E2B＝90°，BE2＝D2E2时，如图，过点E2作E2H⊥x轴于点H，过点D2作D2K⊥E2H于点K，则∠BHE2＝∠E2KD2＝90°，BH＝4﹣n，E2H＝﹣n2+2n+8，E2K＝﹣n2+2n+8﹣m，D2K＝n﹣m，同理可得△BE2H≌△E2D2K（AAS），∴E2H＝D2K，BH＝E2K，∴，解得：或，∴E（1+，2）或（1﹣，2）；综上所述，满足条件的所有点E的坐标为（2，8）或（1+，2）或（1﹣，2）．4．（2022•雁峰区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝x+1与x轴交于点E，与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线上的点，连接OP交直线DE于Q，当Q是OP中点时，求点P的坐标；（3）M在直线DE上，当△CDM为直角三角形时，求出点M的坐标．【分析】（1）根据抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，列方程组，于是得到答案；（2）令x＝0，则y＝x+1＝1，求得OD＝1，作PH⊥OB，垂足为H，得到∠COA＝∠PHO＝90°，根据平行线的性质得到∠P＝∠DOQ，∠PFQ＝∠ODQ，根据全等三角形的性质得到PF＝OD＝1，设P点横坐标为x，得到方程﹣x2+2x+3﹣（x+1）＝1，求得x1＝2，x2＝﹣，当x＝2时，y＝3，当x＝﹣时，y＝，于是得到答案；（3）求得CD＝OC﹣OD＝2，设M（a，a+1），分两种情况①当∠CMD＝90°时，②当∠DCM＝90°时，根据勾股定理即可得到结论．【解析】（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式是y＝﹣x2+2x+3；（2）令x＝0，则y＝x+1＝1，∴OD＝1，如图，作PH⊥OB，垂足为H，交ED于F，则∠COA＝∠PHO＝90°，∴PH∥OC，∴∠OPF＝∠DOQ，∠PFQ＝∠ODQ，又Q是OP中点，∴PQ＝OQ，∴△PFQ≌△ODQ（AAS），∴PF＝OD＝1设P点横坐标为x，则﹣x2+2x+3﹣（x+1）＝1，解得：x1＝2，x2＝﹣，当x＝2时，y＝3，当x＝﹣时，y＝，∴点P的坐标是（2，3）或（﹣，）；（3）令x＝0，则y＝﹣x2+2x+3＝3，∴OC＝3，∴CD＝OC﹣OD＝2，设M（a，a+1），∴CM2＝a2+（3﹣a﹣1）2＝a2﹣2a+4，DM2＝a2+（a+1﹣1）2＝a2，①当∠CMD＝90°时，∴CD2＝CM2+DM2，∴22＝a2﹣2a+4+a2，解得：a1＝，a2＝0（舍去），当a＝时，a+1＝，∴M（，）；②当∠DCM＝90°时，∴CD2+CM2＝DM2，∴22+a2﹣2a+4＝a2，解得：a＝4，当a＝4时，a+1＝3，∴M（4，3）；解法二：∵∠DCM＝90°，∴CM∥x轴，∴a+1＝3，解得a＝4，∴M（4，3）；综上所述：点M的坐标为（，）或（4，3）．5．（2022•平南县二模）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且A （﹣1，0），对称轴为直线x＝2．（1）求该抛物线的表达式；（2）直线l过点A与抛物线交于点P，当∠PAB＝45°时，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△BCQ是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设y＝（x﹣2）2+k，用待定系数法可得抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣5；（2）过点P作PM⊥x轴于点M，设P（m，m2﹣4m﹣5），根据∠PAB＝45°知AM＝PM，即|m2﹣4m﹣5|＝m+1，解得m的值，即可得P的坐标是（6，7）或P（4，﹣5）；（3）由y＝x2﹣4x﹣5求出B（5，0），C（0，﹣5），设Q（2，t），有BC2＝50，BQ2＝9+t2，CQ2＝4+（t+5）2，分三种情况：当BC为斜边时，9+t2+4+（t+5）2＝50，当BQ为斜边时，50+4+（t+5）2＝9+t2，当CQ为斜边时，50+9+t2＝4+（t+5）2，分别解得t的值，即可求出相应Q的坐标．【解析】（1）设y＝（x﹣2）2+k，把A（﹣1，0）代入得：（﹣1﹣2）2+k＝0，解得：k＝﹣9，∴y＝（x﹣2）2﹣9＝x2﹣4x﹣5，答：抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣5；（2）过点P作PM⊥x轴于点M，如图：设P（m，m2﹣4m﹣5），则PM＝|m2﹣4m﹣5|，∵A（﹣1，0），∴AM＝m+1∵∠PAB＝45°∴AM＝PM，∴|m2﹣4m﹣5|＝m+1，即m2﹣4m﹣5＝m+1或m2﹣4m﹣5＝﹣（m+1），当m2﹣4m﹣5＝m+1时，解得：m1＝6，m2＝﹣1（不合题意，舍去），当m2﹣4m﹣5＝﹣（m+1），解得m3＝4，m4＝﹣1（不合题意，舍去），∴P的坐标是（6，7）或P（4，﹣5）；（3）在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得△BCQ是直角三角形，理由如下：在y＝x2﹣4x﹣5中，令x＝0得y＝﹣5，令y＝0得x＝﹣1或x＝5，∴B（5，0），C（0，﹣5），由抛物线y＝x2﹣4x﹣5的对称轴为直线x＝2，设Q（2，t），∴BC2＝50，BQ2＝9+t2，CQ2＝4+（t+5）2，当BC为斜边时，BQ2+CQ2＝BC2，∴9+t2+4+（t+5）2＝50，解得t＝﹣6或t＝1，∴此时Q坐标为（2，﹣6）或（2，1）；当BQ为斜边时，BC2+CQ2＝BQ2，∴50+4+（t+5）2＝9+t2，解得t＝﹣7，∴此时Q坐标为（2，﹣7）；当CQ为斜边时，BC2+BQ2＝CQ2，∴50+9+t2＝4+（t+5）2，解得t＝3，∴此时Q坐标为（2，3）；综上所述，Q的坐标为（2，3）或（2，﹣7）或（2，1）或（2，﹣6）．6．（2022•太原一模）综合与实践如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点D在直线AC 下方的抛物线上运动，过点D y轴的平行线交AC于点E．（1）求直线AC的函数表达式；（2）求线段DE的最大值；（3）当点F在抛物线的对称轴上运动，以点A，C，F为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出点F的坐标．【分析】（1）分别令x＝0，y＝0，求得点C、A的坐标，再运用待定系数法即可求得答案；（2）设D（m，m2+2m﹣8），则E（m，﹣2m﹣8），可得DE＝﹣2m﹣8﹣（m2+2m﹣8）＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，运用二次函数的性质即可求得线段DE的最大值；（3）设F（﹣1，n），根据两点间距离公式可得：AF2＝32+n2＝n2+9，AC2＝42+82＝80，CF2＝12+（n+8）2＝n2+16n+65，分三种情况：①当∠AFC＝90°时，②当∠CAF＝90°时，③当∠ACF＝90°时，分别建立方程求解即可．【解析】（1）在y＝x2+2x﹣8中，令x＝0，得y＝﹣8，∴C（0，﹣8），令y＝0，得x2+2x﹣8＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝2，∴A（﹣4，0），B（2，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8；（2）设D（m，m2+2m﹣8），则E（m，﹣2m﹣8），∵点D在点E的下方，∴DE＝﹣2m﹣8﹣（m2+2m﹣8）＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，∵﹣1＜0，∴当m＝﹣2时，线段DE最大值为4；（3）∵y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，设F（﹣1，n），又A（﹣4，0），C（0，﹣8），∴AF2＝32+n2＝n2+9，AC2＝42+82＝80，CF2＝12+（n+8）2＝n2+16n+65，①当∠AFC＝90°时，∵AF2+CF2＝AC2，∴n2+9+n2+16n+65＝80，解得：n1＝﹣4﹣，n2＝﹣4+，∴F（﹣1，﹣4﹣）或（﹣1，﹣4+）；②当∠CAF＝90°时，∵AF2+AC2＝CF2，∴n2+9+80＝n2+16n+65，解得：n＝，∴F（﹣1，）；③当∠ACF＝90°时，∵CF2+AC2＝AF2，∴n2+16n+65+80＝n2+9，解得：n＝﹣，∴F（﹣1，﹣）；综上所述，点F的坐标为（﹣1，﹣4﹣）或（﹣1，﹣4+）或（﹣1，）或（﹣1，﹣）．7．（2022•桐梓县模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点D，直线L经过C，D两点，连接AC．（1）求A，B两点的坐标及直线L的函数表达式；（2）探索直线L上是否存在点E，使△ACE为直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）令x＝0，y＝0，可分别求出A、B、C三点坐标，在求出函数的对称轴即可求D点坐标，利用待定系数法求直线解析式即可；（2）设E（t，﹣t+2），分三种情况讨论：①当∠CAE＝90°时，AC2+AE2＝CE2，②当∠ACE ＝90°时，AC2+CE2＝AE2，③当∠AEC＝90°时，AE2+CE2＝AC2，分别利用勾股定理求解即可．【解析】（1）令y＝0，则﹣＝0，解得x＝﹣2或x＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），令x＝0，则y＝2，∴C（0，2），∵y＝﹣＝﹣（x﹣2）2+，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∴D（2，0），设直线CD的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+2；（2）在点E，使△ACE为直角三角形，理由如下：设E（t，﹣t+2），∴AC2＝16，AE2＝4t2﹣8t+16，CE2＝4t2，①当∠CAE＝90°时，AC2+2CE2，∴16+4t2﹣8t+16＝4t2，∴t＝4，∴E（4，2）；②当∠ACE＝90°时，AC2+CE2＝AE2，∴16+4t2＝4t2﹣8t+16，∴t＝0（舍）；③当∠AEC＝90°时，AE2+CE2＝AC2，∴4t2﹣8t+16+4t2＝16，∴t＝0（舍）或t＝1，∴E（1，）；综上所述：E点坐标为（4，2）或（1，）．8．（2022•沈阳模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式．（2）若点M是抛物线上B，C之间的一个动点，线段MA绕点M逆时针旋转90°得到MN，当点N恰好落在y轴上时，求点M，点N的坐标．（3）如图2，若点E坐标为（2，0），EF⊥x轴交直线BC于点F，将△BEF沿直线BC平移得到△B'E'F'，在△B'E'F'移动过程中，是否存在使△ACE'为直角三角形的情况？若存在，请直接写出所有符合条件的点E′的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，即可求解；（2）过点M作HG∥y轴，交H，过点N作NG⊥HG交于点G，证明△AMH≌△MNG（AAS），设M（t，t2﹣2t﹣3），由HM＝NG，可求t＝即可求M、N点的坐标；（3）设△BEF沿x轴方向平移t个单位长，则沿y轴方向平移t个单位长，则E'（2+t，t），分三种情况讨论：①当∠ACE'＝90°时，过点E'作E'H⊥y轴交于点H，可得△ACO∽△CE'H，利用相似比可求E'（﹣，﹣）；当N点与E'重合时，也符合题意；②当∠CAE'＝90°时，过点A作MN⊥x轴，过点C作CN⊥MN交于N点，过点E'作E'M⊥MN交于M点，可得△AME'∽△CNA，利用相似比可求E'（，）；③当∠AE'C＝90°时，过点E'作ST⊥x轴交于S点，过点C作CT⊥ST交于T点，可得△ASE'∽△E'TC，利用相似比可求E'（1，﹣1）．【解析】（1）将A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，∴，∴，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）过点M作HG∥y轴，交x轴于点H，过点N作NG⊥HG交于点G，∴∠AMH+∠NMG＝90°，∵∠AMH+∠MAH＝90°，∴∠NMG＝∠MAH，∵AM＝MN，∴△AMH≌△MNG（AAS），∴AH＝MG，HM＝NG，设M（t，t2﹣2t﹣3），∴HM＝﹣t2+2t+3，NG＝t，∴﹣t2+2t+3＝t，∴t＝，∵点M是抛物线上B，C之间，∴0＜t＜3，∴t＝，∴M（，﹣），∴AH＝1+＝，∴HG＝+＝2+，∴N（0，﹣2﹣）；（3）存在使△ACE'为直角三角形，理由如下：∵OB＝OC，∴∠OBC＝45°，设△BEF沿x轴方向平移t个单位长，则沿y轴方向平移t个单位长，∵E（2，0），∴E'（2+t，t），①如图2，当∠ACE'＝90°时，过点E'作E'H⊥y轴交于点H，∴∠ACO+∠E'CH＝90°，∵∠ACO+∠CAO＝90°，∴∠E'CH＝∠CAO，∴△ACO∽△CE'H，∴＝，∵AO＝1，CO＝3，CH＝﹣3﹣t，E'H＝﹣2﹣t，∴＝，解得t＝﹣，∴E'（﹣，﹣）；②如图3，当∠CAE'＝90°时，过点A作MN⊥x轴，过点C作CN⊥MN交于N点，过点E'作E'M⊥MN交于M点，∴∠MAE'+∠NAC＝90°，∵∠MAE'+∠ME'A＝90°，∴∠NAC＝∠ME'A，∴△AME'∽△CNA，∴＝，∵NC＝1，AN＝3，AM＝t，ME'＝3+t，∴＝，解得t＝，∴E'（，）；当E'点与N重合时，△ACE'为直角三角形，∴E'（﹣1，﹣3）；③如图3，当∠AE'C＝90°时，过点E'作ST⊥x轴交于S点，过点C作CT⊥ST交于T点，∴∠AE'S+∠CE'T＝90°，∵∠AE'S+∠E'AS＝90°，∴∠CE'T＝∠E'AS，∴△ASE'∽△E'TC，∴＝，∵AS＝3+t，SE'＝﹣t，CT＝2+t，E'T＝t+3，∴＝，解得t＝﹣1，∴E'（1，﹣1）；综上所述：E'的坐标为（﹣，﹣）或（，）或（1，﹣1）或（﹣1，﹣3）．9．（2022•东坡区校级模拟）如图，抛物线y＝x2﹣（m+2）x+4的顶点C在x轴的正半轴上，直线y＝x+2与抛物线交于A，B两点，且点A在点B的左侧．（1）求m的值；（2）点P是抛物线y＝x2﹣（m+2）x+4上一点，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求点P的坐标；（3）将直线AB向下平移k（k＞0）个单位长度，平移后的直线与抛物线交于D，E两点（点D在点E 的左侧），当△DEC为直角三角形时，求k的值．【分析】（1）令y＝0得x2﹣（m+2）x+4＝0，由Δ＝0求得；（2）作CD∥AB交y轴于D，求得CD的函数表达式是y＝x﹣2，在DF的延长线上截取EF＝2DF＝8，过点E作EG∥AB，求得EG的函数表达式，与抛物线函数表达式联立求得；（3）当∠CDE＝90°时，可得直线CD的函数表达式是：y＝﹣x+2，求出它与抛物线的交点即可，当∠DCE＝90°时，设平移后的表达式是y＝x+b，与抛物线的表达式联立求得D和E的坐标，再求出DE中点坐标，根据DE＝2CI，进而求得b，根据平移的距离得出k值．【解析】（1）令y＝0，∴x2﹣（m+2）x+4＝0，∵Δ＝（m+2）2﹣4×1×4＝0，∴m＝2或m＝﹣6，又﹣，∴m＞﹣2，∴m＝2；（2）当m＝2时，y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，如图1，作CD∥AB交y轴于D，∴CD的函数表达式是y＝x﹣2，∴D（0，﹣2），∵y＝x+＝2与y轴交点F（0，2），∴DF ＝4，在DF 的延长线上截取EF ＝2DF ＝8，过点E 作EG ∥AB ，∴EG 的函数表达式是：y ＝x +10，由x 2﹣4x +4＝x +10得，x ＝﹣1或x ＝6，当x ＝﹣1时，y ＝﹣1+10＝9，当x ＝6时，y ＝6+10＝16，∴P （﹣1，9）或P （6，16）；作CM ⊥AB 于M 交EG 于N ，∵CD ∥AB ∥EG ，∴＝＝，∴点P 到AB 的距离是点C 到AB 距离的2倍，∴△PAB 的面积是△ABC 面积的2倍．（3）当∠CDE ＝90°时，∴直线CD 的函数表达式是：y ＝﹣x +2，由x 2﹣4x +4＝﹣x +2得，x ＝1或x ＝2（舍去），当x ＝1时，y ＝﹣1+2＝1，∴y ＝x +（2﹣k ）过（1，1），∴1+（2﹣k ）＝1，∴k ＝2，当∠DCE ＝90°时，设平移后的表达式是y ＝x +b ，由x 2﹣4x +4＝x +b 得，化简得，x 2﹣5x +（4﹣b ）＝0，∴x 1＝，x 2＝，∴x1+x2＝5，y1+y2＝5+2b，∴DE的中点I（，），∴x1﹣x2＝，∴y1﹣y2＝x1+b﹣（x2+b）＝x1﹣x2＝，∵DE2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2＝（）2+（）2＝2（9+4b），CI2＝（﹣2）2+（）2＝，由DE＝2CI得，2（9+4b）＝16+4b2+20b，∴b＝﹣1或b＝﹣2（舍去），∴k＝3，综上所述，k＝2或3．10．（2022•海沧区二模）抛物线y1＝ax2﹣2ax+c（a＜2且a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，点M（m，n）在该抛物线上，点P是抛物线的最低点．（1）若m＝2，n＝﹣3，求a的值；（2）记△PMB面积为S，证明：当1＜m＜3时，S＜2；（3）将直线BP向上平移t个单位长度得直线y2＝kx+b（k≠0），与y轴交于点C，与抛物线交于点E，当x＜﹣1时，总有y1＞y2．当﹣1＜x＜1时，总有y1＜y2．是否存在t≥4，使得△CDE是直角三角形，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A（﹣1，0）代入抛物线y1＝ax2﹣2ax+c中，可得c＝﹣3a，所以抛物线y1＝ax2﹣2ax ﹣3a．当m＝2，n＝﹣3时，M（2，﹣3），将点M的坐标代入函数解析式，求解即可；（2）过点M作x轴的垂线，交直线BP于点Q，根据题意可知，P（a，﹣4a），B（3，0），所以直线BP 的解析式为：y＝2ax﹣6a，设M（m，am2﹣2am﹣3a），则Q（m，2am﹣6a），根据三角形的面积公式可得出S和a的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可；（3）由平移可知，y2＝2ax+2a，点C（0，2a），联立可得E（5，12a）．根据题意当△ECD是直角三角形时，需要分三种情况讨论：①当∠ECD＝90°时，过点E作y轴的垂线交y轴于点F，②当∠CDE ＝90°时，过点E作x轴的垂线于点F，③当∠CED＝90°时，分别求解即可．【解答】（1）解：将点A（﹣1，0）代入抛物线y1＝ax2﹣2ax+c中，∴a+2a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴抛物线y1＝ax2﹣2ax﹣3a．当m＝2，n＝﹣3时，M（2，﹣3），∴4a﹣4a﹣3a＝﹣3，解得a＝1；（2）证明：过点M作x轴的垂线，交直线BP于点Q，∵点P为y1＝ax2﹣2ax﹣3a的最低点，∴P（a，﹣4a），令y1＝ax2﹣2ax﹣3a＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴B（3，0），∴直线BP的解析式为：y＝2ax﹣6a，设M（m，am2﹣2am﹣3a），∴Q（m，2am﹣6a），∴QM＝2am﹣6a﹣（am2﹣2am﹣3a）＝﹣am2+4am﹣3a，∴S＝|x B﹣x P|•QM＝﹣am2+4am﹣3a＝﹣a（m﹣2）2+a，∵﹣a＜0，开口向下，∴当m＝2时，S的最大值为a，∵a＜2，∴当1＜m＜3时，S＝a＜2．（3）解：∵当x＜﹣1时，总有y1＜y2，∴直线l必经过点A（﹣1，0），将点A代入直线l：y2＝kx+b，∴﹣k+b＝0，∵直线l：y2＝kx+b由直线PB：y＝2ax﹣6a向上平移t个单位长度得到，∴k＝b＝2a，b＝﹣6a+t＝2a，∴t＝8a，∴y2＝2ax+2a，点C（0，2a），令2ax+2a＝ax2﹣2ax﹣3a，解得x＝﹣1或x＝5，∴E（5，12a）．①当∠ECD＝90°时，过点E作y轴的垂线交y轴于点F，∴△FEC∽△OCD，∴EF：OC＝CF：OD，即5：2a＝10a：1，∴a＝或a＝﹣（舍）；∴t＝8a＝4≥4，符合题意；②当∠CDE＝90°时，过点E作x轴的垂线于点F，∴△OCD∽△FDE，∴EF：OD＝DF：OC，即12a：1＝4：2a，解得a＝或a＝﹣（舍），∴t＝8a＝＜＝4，不符合题意；③当∠CED＝90°时，显然不存在．综上，存在，且t的值为．11．（2021•葫芦岛模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，点A在y轴上，点C在x轴上，其中B （﹣2，3），已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A和点B．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，点D（﹣2，﹣1）在直线BC上，点E为y轴右侧抛物线上一点，连接BE、AE，DE，若S△BDE＝4S△ABE，求E点坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，P为射线DB上一点，作PQ⊥直线DE于点Q，连接AP，AQ，PQ，若△APQ为直角三角形，请直接写出P点坐标．【分析】（1）求出A点坐标，将A、B点坐标代入y＝﹣x2+bx+c即可求解；＝＝2（m+2），S△ABE＝m2+m，再由已知得到方程2（m+2）（2）设E（m，﹣m2﹣m+3），求得S△BDE＝4（m2+m），求出m的值即可求E点坐标；（3）先求出直线DE的解析式为y＝x+1，分三种情况讨论：①当P点与B点重合，此时△APQ为等腰直角三角形，则P（﹣2，3）；②过点Q作QM⊥AB交BA的延长线于点M，证明△PAB∽△AQM，设P（﹣2，t），则Q（，），分别求出PB＝t﹣3，AB＝2，AM＝，QM＝﹣3＝，再由三角形相似可得＝，求出t即可求P点坐标；当PQ⊥AP时，AP∥DE，则直线AP的解析式为y＝x+3，即可求P点坐标．【解答】解：（1）∵B（﹣2，3），矩形OABC，∴A（0，3），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A和点B，∴，∴，∴y＝﹣x2﹣x+3；（2）∵D（﹣2，﹣1），∴BD＝4，设E（m，﹣m2﹣m+3），＝×4×（m+2）＝2（m+2），∴S△BDE∵AB＝2，＝×2×（3+m2+m﹣3）＝m2+m，∴S△ABE＝4S△ABE，∵S△BDE∴2（m+2）＝4（m2+m），解得m＝﹣2或m＝，∵E点在y轴由侧，∴m＝，∴E（，）；（3）∵E（，），D（﹣2，﹣1），设直线DE的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x+1，∴直线与y轴的交点为（0，1），如图1，当P点与B点重合，Q点为（0，1），此时△APQ为等腰直角三角形，∴P（﹣2，3）；如图2，过点Q作QM⊥AB交BA的延长线于点M，∵∠PAQ＝90°，∠PBA＝90°，∠QME＝90°，∴∠PAB＝∠AQM，∴△PAB∽△AQM，∴＝，设P（﹣2，t），∵直线DE的解析式为y＝x+1，PQ⊥DE，∴∠PDQ＝45°，∴Q（，），∴PB＝t﹣3，AB＝2，AM＝，QM＝﹣3＝，∴＝，∴t＝9，∴P（﹣2，9）；如图3，当PQ⊥AP时，∵∠PAQ+∠AQP＝90°，∠∠AQE＝90°，∴∠APQ＝∠AQE，∴AP∥DE，∴直线AP的解析式为y＝x+3，∴P（﹣2，1）；综上所述：P点的坐标为（﹣2，1）或（﹣2，3）或（﹣2，9）．12．（2021•和平区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣，交y轴于点A，交x轴于B（﹣1，0），C（5，0）两点，抛物线的顶点为D，连接AC，CD．（1）求直线AC的函数表达式；（2）求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；（3）过点D作x轴的垂线交AC于点G，点H为线段CD上一动点，连接GH，将△DGH沿GH翻折到△GHR（点R，点G分别位于直线CD的两侧），GR交CD于点K，当△GHK为直角三角形时．①请直接写出线段HK的长为；②将此Rt△GHK绕点H逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△MHN，若直线MN分别与直线CD，直线DG交于点P，Q，当△DPQ是以PQ为腰的等腰三角形时，请直接写出点P的纵坐标为﹣或﹣．【分析】（1）先根据抛物线y＝ax2+bx﹣，交y轴于点A，求出点A坐标，再运用待定系数法求直线AC的函数表达式即可；（2）将B（﹣1，0），C（5，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣求出a，b，即可得抛物线解析式，运用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可得出顶点坐标；（3）①根据△GHK为直角三角形，且点R，点G分别位于直线CD的两侧，可分三种情况：∠GHK＝90°或∠HGK＝90°或∠GKH＝90°，经分析仅有∠GKH＝90°符合题意，过点H作HL⊥DG于点L，则HL＝HK，先证明△GDK∽△CDF，再运用面积法即可求出答案；②由△DPQ是以PQ为腰的等腰三角形，可分两种情况：PQ＝DQ或PQ＝DP，分别求出点P的纵坐标即可．【解答】解：（1）设直线AC的函数表达式为：y＝kx+c，∵抛物线y＝ax2+bx﹣，交y轴于点A，∴A（0，﹣），将A（0，﹣），C（5，0）分别代入y＝kx+c，得：，解得：，∴直线AC的函数表达式为：y＝x﹣，（2）∵抛物线y＝ax2+bx﹣经过B（﹣1，0），C（5，0）两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣，∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣2）2﹣4，∴顶点D的坐标为（2，﹣4）；（3）①如图1，∵△GHK为直角三角形，且点R，点G分别位于直线CD的两侧，∴∠GHK＝90°或∠HGK＝90°或∠GKH＝90°，当∠GHK＝90°时，∠GHD＝90°，点R落在直线DC上，不符合题意，当∠HGK＝90°时，∠DGH＝∠HGK＝90°，点R，点G位于直线CD的同侧，不符合题意，当∠GKH＝90°时，点R，点G分别位于直线CD的两侧，符合题意，∴∠GKH＝90°，∠DGH＝∠RGH，过点H作HL⊥DG于点L，则HL＝HK，∵D（2，﹣4），DG⊥x轴，∴G （2，﹣），F （2，0），∴DG ＝﹣﹣（﹣4）＝，CF ＝5﹣2＝3，DF ＝4，∴CD ＝＝＝5，∵∠DFC ＝∠GKH ＝90°，∠GDK ＝∠CDF ，∴△GDK ∽△CDF ，∴＝＝，即＝＝，∴GK ＝，DK ＝，∵S △GKH +S △GDH ＝S △GDK ，∴××HK +××HL ＝××，故答案为：；②∵△DPQ 是以PQ 为腰的等腰三角形，∴PQ ＝DQ 或PQ ＝DP ，当PQ ＝DQ 时，如图2，由旋转知：点H 到PQ 、DQ 的距离相等，∴QH ⊥DP ，DH ＝HP ，由①知HL ＝HK ＝，∵HL ∥CF ，∴＝，即＝，∴DL ＝，∴L 的纵坐标为﹣4＝﹣，即H 的纵坐标为﹣，∵H 为D 、P 的中点，∴P 的纵坐标为﹣，当PQ ＝DP 时，如图3，点P 为DQ 的垂直平分线与CD 的交点，∵H （，﹣），∴经过点H平行MN的直线为y＝﹣x+，∵点H到直线MN的距离为，∴直线MN的解析式为y＝﹣x﹣，∵直线CD的解析式为y＝x﹣，∴P（，﹣）；综上所述，点P的纵坐标为﹣或﹣．13．（2021•莱芜区三模）二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣1，0）和点B（﹣3，0），交y轴于点C（0，﹣3）．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，点E为抛物线的顶点，点T（0，t）为y轴负半轴上的一点，将抛物线绕点T旋转180°，得到新的抛物线，其中B，E旋转后的对应点分别记为B′，E′，当四边形BEB'E'的面积为12时，求t 的值；（3）如图2，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D．点M是直线CD上的一个动点，过点M作x 轴的垂线，交抛物线于点P．当以点B、C、P为顶点的三角形是直角三角形时，求所有满足条件的点M 的坐标．【分析】（1）根据抛物线与x轴的交点坐标，设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x+3），将C（0，﹣3）代（2）如图1，连接EE′、BB′，延长BE，交y轴于点Q．利用待定系数法求出直线BE的解析式，根据抛物线y＝﹣x2﹣4x﹣3绕点T（0，t）旋转180°，可得四边形BEB′E′是平行四边形，运用平行四边形性质即可求得答案；（3）设P（x，﹣x2﹣4x﹣3），根据以点B、C、P为顶点的三角形是直角三角形，分三种情况分别讨论即可：①当∠BP1C＝90°时，③当∠P3BC＝90°时，③当∠P3BC＝90°时，④当∠BCP4＝90°时．【解答】解：（1）∵二次函数过点A（﹣1，0），B（﹣3，0），∴设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x+3），将C（0，﹣3）代入，得：3a＝3，解得：a＝﹣1，∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣4x﹣3；（2）如图1，连接EE′、BB′，延长BE，交y轴于点Q．由（1）得y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣（x+2）2+1，。
初三数学专题——二次函数与直角三角形存在性问题
二次函数中直角三角形存在性问题 姓名____________学号__________ 知识储备：一、“k ”型图解决问题：如图，当︒=∠90ACB 时，可作辅助线构造直角三角形利用勾股定理把AC 、BC 、AB 的三边分别表示出来，再利用222AB BC AC =+求解。
解：222CD AD AC +=222OB OC BC +=222AE BE AB +=且有222AB BC AC =+二、利用121-=⋅k k 解决定问题定理：若直线11b x k y +=与直线22b x k y +=互相垂直，则121-=⋅k k例：若B 的坐标为（3，0），C 的坐标为（0，6），直线l 为直线1=x ，问在直线l 上是否存在一点P ，使︒=∠90BCP .解：设直线BC 的解析式为11b x k y +=，把（3，0）和（0，6）代入可得：直线BC 的解析式为62+-=x y设直线CP 的解析式为22b x k y +=直线BC 与直线CP 垂直∴122-=⋅-k ∴212=k 把点C （0，6）代入221b x y +=中得， CP 的解析式为621+=x y 当1=x 时，2136121=+⨯=y ∴点P 的坐标为（1，213）三、分类讨论在直线l 上找一点使PAB ∆为直角三角形有下列几种情况。
练习1：如图，已知抛物线的对称轴为直线1-=x ，且抛物线经过点A （1，0），C （0，3）两点，与x 轴交于B 点 （1）求抛物线的解析式和直线BC 的解析式； （2）设点P 为抛物线对称轴上的一个动点，求BPC ∆为直角三角形时的点P 的坐标。
练习2：如图，抛物线n mx x y ++-=2与x 轴分别交于点A （4，0），B （2-，0），与y 轴交于点C（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P ，使得PAC ∆为直角三角形？若存在，请求出所有可能点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
二次函数顶点与x轴两交点为等腰直角三角形
二次函数顶点与x轴两交点为等腰直角三角形题目中的问题是关于二次函数顶点和x轴两交点构成等腰直角三角形的情况。
在这篇文章中，我们将一步一步解答这个问题，并对相关的数学概念进行详细解释。
接下来，我们来开始探索这个问题。
第一部分：二次函数基础知识在讨论题目之前，我们先来回顾一下二次函数的基本知识。
二次函数是指形式为f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中a, b, c 是实数且a \neq 0。
二次函数的图像呈现出抛物线的形态，可以开口向上、向下。
其中，a 控制了图像的开口方向：当a > 0 时，抛物线开口向上，这种函数称为上凹函数；当a < 0 时，抛物线开口向下，这种函数称为下凹函数。
第二部分：顶点坐标与x轴交点现在，我们考虑一个二次函数的顶点坐标和与x轴的交点。
顶点坐标可以通过计算二次函数的极值点得出，而与x轴的交点可以通过令二次函数等于零求解。
我们假设该二次函数的顶点坐标为(h, k)，与x轴的两个交点分别为x1 和x2。
根据题目要求，我们知道这两个交点构成了一个等腰直角三角形。
首先，我们可以通过求导数来找到二次函数的极值点，即顶点坐标。
对f(x) 求导可以得到f'(x) = 2ax + b。
极值点的横坐标可以通过求解方程f'(x) = 0 来得到，即2ah + b = 0，解得h = -\frac{b}{2a}。
接下来，我们来计算与x轴的交点。
我们令f(x) = ax^2 + bx + c 等于零，即ax^2 + bx + c = 0。
通过求解这个二次方程，我们可以得到与x轴的交点的横坐标：x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} 和x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}。
根据题目的要求，我们知道这两个交点构成了一个等腰直角三角形。
我们可以通过计算两个交点之间的距离和两个交点到顶点的距离，来验证这一点。
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（第3课时）二次函数中构建特殊三角形的存在性问题（构建直角三角形）
例1、已知：如图一次函数y＝1
2
x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y
＝1
2x2＋bx＋c的图象与一次函数y＝1
2
x＋1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点
且D点坐标为(1，0)
(1)求二次函数的解析式；
(2)求四边形BDEC的面积S；
(3)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．
2、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，
点C为(－1，0) ．如图17所示，B点在抛物线y＝1
2x
2＋
1
2x－2图象上，过点B作BD
⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为－3．
（1）求证：△BDC≌△COA；
（2）求BC所在直线的函数关系式；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3、如图，已知二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点P ，顶点为C （12-，）。
（1）求此函数的关系式；
（2）作点C 关于x 轴的对称点D ，顺次连接A 、C 、B 、D 。
若在抛物线上存在点E ，使直线PE 将四边形ACBD 分成面积相等的两个四边形，求点E 的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F ，使得△PEF 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出P 的坐标及△PEF 的面积；若不存在，请说明理由。
x
4、如图，抛物线25y x bx =--与x 轴交于A ．B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点C 与点F
关于抛物线的对称轴对称，直线AF 交y 轴于点E ，|OC|：|OA|=5：1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线AF 的解析式；
（3）在直线AF 上是否存在点P ，使△CFP 是直角三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．。