高中数学高考复习：第八章第6讲分层演练直击高考
2018高考数学(理)一轮复习课件 第八章 平面解析几何 第10讲分层演练直击高考
[解 ]
(1)设 P(x，y)，则 x2＋（y－2）2＝(y＋1)＋1⇒x2＝8y.
所以 E 的方程为 x2＝8y. (2)证明：易知直线 AB 的斜率存在，设直线 AB：y＝kx＋b， A(x1，y1)，B(x2，y2)． 将直线 AB 的方程代入 x2＝8y 中，得 x2－8kx－8b＝0， 所以 x1＋x2＝8k，x1x2＝－8b.
64k4＋28k2－36 4 2 化简得 2 2 ＝0⇒64k ＋28k －36＝0， （ 3＋ 4 k ） 3 解得 k＝± . 4 故
2 2 P0，7或0，－7.
4． (2016· 高考全国卷乙)设圆 x2＋y2＋2x－15＝0 的圆心为 A， 直线 l 过点 B(1， 0)且与 x 轴不重合， l 交圆 A 于 C， D 两点， 过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. (1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点 E 的轨迹方程； (2)设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M，N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P， Q 两点， 求四边形 MPNQ 面积的取值范围．
8k2－6 －12k 8k2－6 16k2 ， 所以 2＋x1＝ ⇒ x ＝ ，则 D 2 2， 2 2 1 3＋ 4 k 3＋4k 3＋4k 3＋4k
所以 BD
8k2 －6k ， 中点的坐标为 2 2， 3＋4k 3＋4k
则线段 BD 的垂直平分线方程为
(2)当 l 与 x 轴不垂直时， 设 l 的方程为 y＝k(x－1)(k≠0)， M(x1， y1)，N(x2，y2)． y＝k（x－1）， 2 2 由x y 得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0， ＋ ＝1 4 3 4k2－12 8k2 则 x1＋x2＝ 2 ，x1x2＝ 2 ， 4k ＋ 3 4k ＋3
第8讲分层演练直击高考
第8讲 分层演练直击高考 A．(0，1) B．(2，3) C．(3，4) D．(4，＋∞) 解析：选C．易知f(x)是单调函数，f(3)＝2－log23>0， f(4)＝32－log24＝32－2＝－12<0， 故f(x)的零点所在的区间是(3，4)． 2．已知函数f(x)＝12x－cos x，则f(x)在[0，2π]上的零点个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C．作出g(x)＝12x与h(x)＝cos x的图象如图所示，能够看到其在[0，2π]上的交点个数为3，因此函数f(x)在[0，2π]上的零点个数为3，故选C． 3．已知实数a>1，0( ) A．(－2，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，2) 解析：选B．因为a>1，0f(－1)＝1a－1－b<0，f(0)＝1－b>0，则由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1，0)上存在零点． 4．函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范畴是( ) A．(1，3) B．(1，2) C．(0，3) D．(0，2) 解析：选C．因为函数f(x)＝2x－2x－a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)<0，因此(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0.因此05．已知函数f(x)＝ex＋a，x≤0，3x－1，x>0(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范畴是( ) A．(－∞，－1) B．(－∞，0) C．(－1，0) D．[－1，0) 解析：选D.当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝13，因此只需要当x≤0时，ex＋a＝0有一个根即可，即ex＝－a.当x≤0时，ex∈(0，1]，因此－a∈(0，1]， 即a∈[－1，0)，故选D. 6．已知函数f(x)＝－2，x>0，－x2＋bx＋c，x≤0，若f(0)＝－2，f(－1)＝1，则函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为________． 解析：依题意得c＝－2，－1－b＋c＝1，解得
高考数学(文科)1轮复习练习：第8章 平面解析几何 2 第2讲 分层演练直击高考 含解析
1．已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．[解析]由题意得，点到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5. 又|15－3a |5≤3， 即|15－3a |≤15，解得，0≤a ≤10，所以a ∈[0，10]．[答案][0，10]2．若直线l 1：ax ＋2y ＝0和直线l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0垂直，则实数a 的值为________．[解析]由2a ＋2(a ＋1)＝0得a ＝－12. [答案]－123．直线l 经过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且过点(5，1)，则l 的方程是________．[解析]设l 的方程为7x ＋5y －24＋λ(x －y )＝0，即(7＋λ)x ＋(5－λ)y －24＝0，则(7＋λ)×5＋5－λ－24＝0.解得λ＝－4.故l 的方程为x ＋3y －8＝0.[答案]x ＋3y －8＝04．已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos ⎝⎛⎭⎫2 015π2－2α的值为________．[解析]由题意可知tan α＝2，所以cos ⎝⎛⎭⎫2 015π2－2α＝cos ⎝⎛⎭⎫1 006π＋3π2－2α＝－sin2α＝－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝－2tan α1＋tan 2α＝－45. [答案]－455．已知两条直线l 1：ax ＋by ＋c ＝0直线l 2：mx ＋ny ＋p ＝0，则“an ＝bm ”是“直线l 1∥l 2”的________条件．[解析]l 1∥l 2⇒an －bm ＝0且ap －cm ≠0⇒l 1∥l 2.[答案]必要不充分6．已知点P (3，2)与点Q (1，4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为________．[解析]由题意知直线l 与直线PQ 垂直，直线PQ 的斜率k PQ ＝－1，所以直线l 的斜率k ＝－1k PQ＝1.又直线l 经过PQ 的中点(2，3)，所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.[答案]x －y ＋1＝07．点A (1，1)到直线x cos θ＋y sin θ－2＝0的距离的最大值为________．[解析]由点到直线的距离公式，得d ＝|cos θ＋sin θ－2|cos 2θ＋sin 2θ＝2－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4， 又θ∈R ，所以d max ＝2＋ 2.[答案]2＋ 28．已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且AB 线段的中点为P ⎝⎛⎭⎫0，10a ，则线段AB 的长为________． [解析]依题意，a ＝2，P (0，5)，设A (x ，2x )，B (－2y ，y )，故⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x ＋y ＝10，则A (4，8)，B (－4，2)，所以AB ＝（4＋4）2＋（8－2）2＝10. [答案]109．点P 到点A (1，0)和直线x ＝－1的距离相等，且点P 到直线y ＝x 的距离为22，这样的点P 的个数是________．[解析]因为点P 到点A 和定直线距离相等，所以P 点轨迹为抛物线，方程为y 2＝4x .设P (t 2，2t )，则22＝|t 2－2t |2，解得t 1＝1，t 2＝1＋2，t 3＝1－2，故P 点有三个． [答案]310．在直角坐标系中，A (4，0)，B (0，4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后，再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是________．[解析]如图，设点P 关于直线AB ，y 轴的对称点分别为D ，C ，易求得D (4，2)，C (－2，0)，由对称性知，D ，M ，N ，C 共线，则△PMN 的周长＝PM ＋MN ＋PN ＝DM ＋MN ＋NC ＝CD ＝40＝210，210即为光线所经过的路程．[答案]21011．已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求：(1)点P (4，5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．[解]设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)．因为k PP ′·k l ＝－1，即y ′－y x ′－x×3＝－1.① 又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上，所以3×x ′＋x 2－y ′＋y 2＋3＝0.② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－4x ＋3y －95，③y ′＝3x ＋4y ＋35.④ (1)把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7，所以P (4，5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2，7)．(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y 得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0，化简得7x ＋y ＋22＝0. 12．在直线l ：3x －y －1＝0上求点P 和Q ，使得：(1)P 到A (4，1)和B (0，4)的距离之差最大；(2)Q 到A (4，1)和C (3，4)的距离之和最小．[解](1)如图所示，设点B 关于l 的对称点B ′的坐标为(a ，b )，则k BB ′·k l ＝－1，即3·b －4a＝－1. 所以a ＋3b －12＝0.①又由于线段BB ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b ＋42，且在直线l 上，所以3×a 2－b ＋42－1＝0，即3a －b －6＝0.②解①②得a ＝3，b ＝3，所以B ′(3，3)．于是AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0. 解⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5.即l 与AB ′的交点坐标为P (2，5)． (2)如图所示，设C 关于l 的对称点为C ′，求出C ′的坐标为⎝⎛⎫35，245.所以AC ′所在直线的方程为19x ＋17y －93＝0，AC ′和l 交点坐标为⎝⎛⎭⎫117，267，故Q 点坐标为⎝⎛⎭⎫117，267.1．已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为________．[解析]因为l 1，l 2关于直线y ＝－x 对称，所以l 2的方程为－x ＝－2y ＋3，即y ＝12x ＋32，即直线l 2的斜率为12. [答案]122．已知l 1，l 2是分别经过A (1，1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是________．[解析]当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大．因为A (1，1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k ＝－12， 所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0. [答案]x ＋2y －3＝03．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为3，且P A ＝PB ，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是________．[解析]由P A ＝PB 知点P 在AB 的垂直平分线上．由点P 的横坐标为3，且P A 的方程为x －y ＋1＝0，得P (3，4)．直线P A ，PB 关于直线x ＝3对称，直线P A 上的点(0，1)关于直线x ＝3的对称点(6，1)在直线PB 上，所以直线PB 的方程为x ＋y －7＝0.[答案]x ＋y －7＝04.如图，已知A (－2，0)，B (2，0)，C (0，2)，E (－1，0)，F (1，0)，一束光线从F 点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上(不含端点)，则直线FD 的斜率的取值范围为________．[解析]从特殊位置考虑．如图，因为点A (－2，0)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为A 1(2，4)，所以kA 1F ＝4.又点E (－1，0)关于直线AC ：y ＝x ＋2的对称点为E 1(－2，1)，点E 1(－2，1)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为E 2(1，4)，此时直线E 2F 的斜率不存在，所以k FD >kA 1F ，即k FD ∈(4，＋∞)．[答案](4，＋∞)5．已知点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．[解](1)过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0. 由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34. 此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2. 由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线， 最大距离为|－5|5＝ 5. (3)由(2)可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．6．已知n 条直线l 1：x －y ＋C 1＝0，C 1＝2，l 2：x －y ＋C 2＝0，l 3：x －y ＋C 3＝0，…，l n ：x －y ＋C n ＝0(其中C 1<C 2<C 3<…<C n )，已知原点O 到直线l 1的距离为1，在这n 条平行直线中，每相邻两条直线之间的距离顺次为2、3、4、…、n .(1)求C n ；(2)求x －y ＋C n ＝0与x 轴、y 轴围成图形的面积；(3)求x －y ＋C n －1＝0与x －y ＋C n ＝0及x 轴、y 轴围成的图形的面积．[解](1)原点O 到l 1的距离d 1为1，原点O 到l 2的距离d 2为1＋2，…，原点O 到l n 的距离d n 为1＋2＋…＋n ＝n （n ＋1）2.因为C n ＝2d n ，所以C n ＝2n （n ＋1）2. (2)设直线l n ：x －y ＋C n ＝0交x 轴于M ，交y 轴于N ，则S △OMN ＝12|OM |·|ON |＝12C 2n ＝n 2（n ＋1）24. (3)所围成的图形是等腰梯形，由(2)知S n ＝n 2（n ＋1）24，则有S n －1＝（n －1）2·n 24. 所以S n －S n －1＝n 2（n ＋1）24－（n －1）2·n 24＝n 3， 所以所求面积为n 3.。
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第1讲 直线斜
第1讲 直线斜率与直线方程1．直线x ＝π3的倾斜角为________． [解析] 由直线x ＝π3，知倾斜角为π2. [答案] π22．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率等于________．[解析] 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33. [答案] 333．过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14的直线方程为________． [解析] 设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)， 即3x ＋4y ＋15＝0.[答案] 3x ＋4y ＋15＝04．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值为________．[解析] 由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2.当y ＝0时，x ＝a ＋2a . 所以a ＋2a＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1. [答案] －2或15．若点A (4，3)，B (5，a )，C (6，5)三点共线，则a 的值为________．[解析] 因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3. 由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4.[答案] 46．经过点P (－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是________．[解析] 由题意设所求方程为y ＋4＝k (x ＋5)，即kx －y ＋5k －4＝0.由12·|5k －4|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k －5＝5得，k ＝85或k ＝25，故所求直线方程为8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0. [答案] 8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝07．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为________．[解析] 将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13. [答案] y ＝－13x ＋138．若ab ＜0，则过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1b 与Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0的直线PQ 的倾斜角的取值范围是________． [解析] k PQ ＝－1b －00－1a＝a b ＜0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ 的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π 9．(2018·南通模拟)过点M (－1，－2)作一条直线l ，使得l 夹在两坐标轴之间的线段被点M 平分，则直线l 的方程为________．[解析] 由题意，可设所求直线l 的方程为y ＋2＝k (x ＋1)(k ≠0)，直线l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1，0，B (0，k －2)．因为AB 的中点为M ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2＝2k －1，－4＝k －2，解得k ＝－2.所以所求直线l 的方程为2x ＋y ＋4＝0.[答案] 2x ＋y ＋4＝010．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，a ＝________．[解析] 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，当a ＝12时，面积最小．[答案] 1211．已知两点A (－1，2)，B (m ，3)．(1)求直线AB 的方程；(2)已知实数m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． [解] (1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1；当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)． (2)①当m ＝－1时，α＝π2； ②当m ≠－1时，m ＋1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪(0, 3]， 所以k ＝1m ＋1∈(－∞，－3]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞， 所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3. 综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3. 12．已知直线l 过点M (1，1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求：(1)当OA ＋OB 取得最小值时，直线l 的方程；(2)当MA 2＋MB 2取得最小值时，直线l 的方程．[解] (1)设A (a ，0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)． 设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，则1a ＋1b＝1， 所以OA ＋OB ＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a≥2＋2a b ·b a ＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.(2)设直线l 的斜率为k ，则k ＜0，直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ，0，B (0，1－k ), 所以MA 2＋MB 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k 2≥2＋2k 2·1k 2＝4，当且仅当k 2＝1k 2，即k ＝－1时，MA 2＋MB 2取得最小值4，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.。
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系分层演练直击高考 文
第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系1．圆(x －1)2＋y 2＝1与直线y ＝33x 的位置关系是________． [解析] 因为圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1，0)，半径r ＝1， 所以圆心到直线y ＝33x 的距离为|3|3＋9＝12＜1＝r ，故圆与直线相交． [答案] 相交2. 圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是________．[解析] 圆O 1的圆心坐标为(1，0)，半径为r 1＝1，圆O 2的圆心坐标为(0，2)，半径r 2＝2，故两圆的圆心距O 1O 2＝5，而r 2－r 1＝1，r 1＋r 2＝3，则有r 2－r 1<O 1O 2<r 1＋r 2，故两圆相交．[答案] 相交3．平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是________． [解析] 因为所求直线与直线2x ＋y ＋1＝0平行， 所以设所求的直线方程为2x ＋y ＋m ＝0. 因为所求直线与圆x 2＋y 2＝5相切， 所以|m |1＋4＝5， 所以m ＝±5.即所求的直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0. [答案] 2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝04．(2018·徐州月考)若经过点P (－3，0)的直线与圆x 2＋y 2＋4x －2y ＋3＝0相切，则圆心坐标是________；半径为________；切线在y 轴上的截距是________．[解析] (x ＋2)2＋(y －1)2＝2，所以圆心坐标为(－2，1)，半径为2；经过点P 的切线方程为y ＝－x －3，所以在y 轴上的截距为－3.[答案] (－2，1)2 －35．(2018·石家庄质检改编)圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为________．[解析] 由题意知，直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )恒过点(1，－2)，而12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0，所以点(1，－2)在圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0内，所以圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为相交．[答案] 相交6．在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆C ：(x －1)2＋y 2＝4上的任意一点，点Q (2a ，a －3)(a ∈R )，则线段PQ 长度的最小值为________．[解析] 因点Q 坐标满足方程x －2y －6＝0，故可转化为圆上的点到直线的距离，因圆心C 到此直线的距离为d ＝|1－6|5＝5，又知半径为2，故所求最小值为5－2. [答案] 5－27．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是________． 解析：由y ＝3－4x －x 2，得(x －2)2＋(y －3)2＝4(1≤y ≤3)． 所以曲线y ＝3－4x －x 2是半圆，如图所示．当直线y ＝x ＋b 与圆相切时， |2－3＋b |2＝2.所以b ＝1±2 2. 由图可知b ＝1－2 2.所以b 的取值范围是[]1－22，3. 答案：[1－22，3]8．(2018·苏锡常镇四市高三调研)已知直线l ：mx ＋y －2m －1＝0，圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0，当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时，实数m ＝________．解析：直线l 被圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝5所截得的弦长最短，即圆心C 到直线l 的距离最大，d ＝|1－m |m 2＋1＝（1－m ）2m 2＋1＝1－2mm 2＋1，当d 取最大值时，m ＜0，此时d ＝1＋2（－m ）＋1－m ≤2，当且仅当－m ＝1，即m ＝－1 时取等号，即d 取得最大值，弦长最短．答案：－19．(2018·南京四校第一学期联考)已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，若直线l ：3x ＋4y ＋m ＝0上存在点P ，过点P 作圆C 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，∠APB ＝60°，则实数m 的取值范围是________．解析：圆C 的圆心C (1，－2)，半径r ＝2.连接PC ，AC ，则在Rt △PCA 中，∠APC ＝30°，AC ＝2，所以PC ＝4，这样就转化为直线l 上存在点P ，且点P 到圆心C 的距离为4，也就是直线l 与以C 为圆心，4为半径的圆有公共点，所以|3×1＋4×（－2）＋m |32＋42≤4，解得－15≤m ≤25，因此实数m 的取值范围是[－15，25]．答案：[－15，25]10．已知直线y ＝ax ＋3与圆x 2＋y 2＋2x －8＝0相交于A ，B 两点，点P (x 0，y 0)在直线y ＝2x 上，且PA ＝PB ，则x 0的取值范围为________．解析：由条件得圆心C (－1，0)，它到直线l ：y ＝ax ＋3的距离为d ＝|3－a |1＋a2<3，解得a >0或a <－34.由PA ＝PB ，CA ＝CB ，得PC ⊥l ，于是k PC ＝－1a ，即2x 0x 0＋1＝－1a .从而由2x 0x 0＋1<0或0<2x 0x 0＋1<43得－1<x 0<0或0<x 0<2. 答案：(－1，0)∪(0，2)11．(2018·天津南开中学模拟)在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0与直线x －3y ＋3－2＝0相切．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且MN ＝23，求直线MN 的方程． 解：(1)将圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0化为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5－m ， 因为圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0与直线x －3y ＋3－2＝0相切， 所以圆心(－2，1)到直线x －3y ＋3－2＝0的距离d ＝41＋3＝2＝r ， 所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝4.(2)若圆C 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，则可设直线MN 的方程为 2x －y ＋c ＝0，因为MN ＝23，半径r ＝2，所以圆心(－2，1)到直线MN 的距离为22－（3）2＝1， 即|－4－1＋c |5＝1， 所以c ＝5±5，所以直线MN 的方程为2x －y ＋5±5＝0.12．(2018·江苏省高考名校联考(三))如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O ：x 2＋y 2＝4，F (0，2)，点A ，B 是圆O 上的动点，且FA ·FB ＝4.(1)若FB ＝1，且点B 在第二象限，求直线AB 的方程；(2)是否存在与动直线AB 恒相切的定圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)显然直线FB 的斜率存在，故可设直线FB 的方程为y ＝kx ＋2(k ＞0)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2x 2＋y 2＝4，消去y 得，(k 2＋1)x 2＋4kx ＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x B＝－4k k 2＋1y B ＝2－2k 2k 2＋1，故FB ＝1＋k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k k 2＋1＝4|k |k 2＋1＝1，得k ＝1515，点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154，74. 因为FB ＝1，且FA ·FB ＝4，所以FA ＝4， 又圆O 的半径为2，所以A (0，－2)， 故直线AB 的方程为y ＝－15x －2.(2)由(1)的求解方法易知，若FB ＝1，且点B 在第一象限， 则直线AB 的方程为y ＝15x －2， 故若存在符合题意的圆，则圆心在y 轴上．设圆心坐标为(0，m )，易知当AB ∥x 轴时，直线AB 的方程为y ＝1， 故|m －1|＝|m ＋2|15＋1＝|m ＋2|4，解得m ＝25或m ＝2.若直线FB ，FA 的斜率存在，不妨设直线FB ，FA 的方程分别为y ＝k 1x ＋2，y ＝k 2x ＋2(k 1≠k 2)，由(1)的求解方法易知，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1k 21＋1，2－2k 21k 21＋1，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2k 22＋1，2－2k 22k 22＋1，FB ＝4|k 1|k 21＋1，FA ＝4|k 2|k 22＋1. 又FA ·FB ＝4，所以4|k 1|k 21＋1·4|k 2|k 22＋1＝4，化简得15k 21k 22＝k 21＋k 22＋1(*)． 当直线AB 的斜率存在且不等于0时，直线AB 的方程为x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1k 21＋1－4k 2k 22＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1k 21＋1＝y －2－2k 21k 21＋12－2k 22k 22＋1－2－2k 21k 21＋1， 化简得(k 1＋k 2)x ＋(k 1k 2－1)y ＋2(k 1k 2＋1)＝0， 则点(0，2)到直线AB 的距离d ＝|4k 1k 2|（k 1＋k 2）2＋（k 1k 2－1）2＝|4k 1k 2|k 21k 22＋k 21＋k 22＋1，把(*)代入上式得d ＝1.又|m －1|＝1＝d ，故存在定圆x 2＋(y －2)2＝1与动直线AB 恒相切．同理点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25到直线AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪125k 1k 2＋85（k 1＋k 2）2＋（k 1k 2－1）2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪125k 1k 2＋85|4k 1k 2|，显然不是定值，故不符合题意．当直线AB 的斜率不存在时，易知可取A (1，3)，B (1，－3)，或A (－1，3)，B (－1，－3)，显然直线AB 与圆x 2＋(y －2)2＝1相切．综上所述，存在定圆：x 2＋(y －2)2＝1与动直线AB 恒相切．1．过点M (1，2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是________．[解析] 依题意得知，当∠ACB 最小时，圆心C 到直线l 的距离达到最大，此时直线l 与直线CM 垂直，又直线CM 的斜率为1，因此所求的直线l 的方程是y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.[答案] x ＋y －3＝02．已知直线x ＋y －k ＝0(k ＞0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，那么k 的取值范围是________．[解析] 当|OA →＋OB →|＝33|AB →|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k ＞0)的距离为1，此时k ＝2；当k ＞2时|OA →＋OB →|＞33|AB →|，又直线与圆x 2＋y 2＝4存在两交点，故k ＜22，综上，k 的取值范围为[2，22)．[答案] [2，22)3．从直线3x ＋4y ＋8＝0上一点P 向圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0引切线PA ，PB ，A ，B 为切点，则四边形PACB 的周长的最小值为________．[解析] 连结CP .问题可以转化为关于圆心C 到直线上任意一点P 的距离d 的函数．圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1.PA ＝PB ＝d 2－1(PC ＝d ≥3×1＋4×1＋85＝3)，所以四边形PACB 的周长＝2d 2－1＋2r ＝2d 2－1＋2≥29－1＋2＝42＋2.[答案] 42＋24．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2＋y 2＝4分别交x 轴正半轴及y 轴负半轴于M ，N 两点，点P 为圆C 上任意一点，则PM →·PN →的最大值为________．[解析] 法一：由图形可得PM →·PN →＝(PO →＋OM →)·(PO →＋ON →)＝|PO →|2＋PO →·(OM →＋ON →)＝4＋PO →·(OM →＋ON →)≤4＋|PO →|·|OM →＋ON →|＝4＋42，当且仅当P 为直线y ＝－x 与圆在第二象限交点处取得等号．法二：设P (x ，y )，又M (2，0)，N (0，－2)，所以PM →·PN →＝(2－x ，－y )·(－x ，－2－y )＝x 2－2x ＋y 2＋2y ＝4－2(x －y )，设x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，所以PM →·PN →＝4＋4(sin θ－cos θ)＝4＋42sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4≤4＋4 2. [答案] 4＋4 25．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴正半轴上，直线3x －4y ＋4＝0与圆C 相切． (1)求圆C 的方程；(2)若过点(0，－3)的直线l 与圆C 交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1x 2＋y 1y 2＝3，求三角形AOB 的面积．[解] (1)设圆心C 的坐标为(a ，0)(a >0)， 则圆C 的方程为(x －a )2＋y 2＝4. 因为圆C 与直线3x －4y ＋4＝0相切， 所以|3a ＋4|32＋（－4）2＝2，解得a ＝2或a ＝－143(舍)，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4. (2)依题意设直线l 的方程为y ＝kx －3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3，（x －2）2＋y 2＝4得(1＋k 2)x 2－(4＋6k )x ＋9＝0， 因为l 与圆C 相交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以Δ＝[－(4＋6k )]2－4(1＋k 2)×9>0，且x 1＋x 2＝4＋6k 1＋k 2，x 1x 2＝91＋k 2，所以y 1y 2＝(kx 1－3)(kx 2－3) ＝k 2x 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋9 ＝9k 21＋k 2－12k ＋18k21＋k 2＋9， 又因为x 1x 2＋y 1y 2＝3，所以91＋k 2＋9k 21＋k 2－12k ＋18k 21＋k2＋9＝3， 整理得k 2＋4k －5＝0，解得k ＝1或k ＝－5(不满足Δ>0，舍去)． 所以直线l 的方程为y ＝x －3.所以圆心C 到l 的距离为d ＝|2－3|2＝22，则AB ＝2·22－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝14，又△AOB 的底边AB 上的高h ＝32＝322.所以S △AOB ＝12AB ·h ＝12×14×322＝372.6．(2018·江苏省苏北四市期中)已知直线x －2y ＋2＝0与圆C ：x 2＋y 2－4y ＋m ＝0相交，截得的弦长为255.(1)求圆C 的方程；(2)过原点O 作圆C 的两条切线，与抛物线y ＝x 2相交于M 、N 两点(异于原点)．证明：直线MN 与圆C 相切；(3)若抛物线y ＝x 2上任意三个不同的点P 、Q 、R ，且满足直线PQ 和PR 都与圆C 相切，判断直线QR 与圆C 的位置关系，并加以证明．[解] (1)因为C (0，2)，所以圆心C 到直线x －2y ＋2＝0的距离为d ＝|0－4＋2|5＝25，因为截得的弦长为255，所以r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫252＋⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝1，所以圆C 的方程为：x 2＋(y －2)2＝1.(2)证明：设过原点的切线方程为：y ＝kx ，即kx －y ＝0， 所以|0－2|k 2＋1＝1，解得k ＝±3，所以过原点的切线方程为：y ＝±3x ，不妨设y ＝3x 与抛物线的交点为M ，则⎩⎨⎧y ＝3xy ＝x2，解得M (3，3)，同理可求：N (－3，3)，所以直线MN ：y ＝3.因为圆心C (0，2)到直线MN 的距离为1且r ＝1，所以直线MN 与圆C 相切． (3)直线QR 与圆C 相切．证明如下：设P (a ，a 2)，Q (b ，b 2)，R (c ，c 2)，则直线PQ 、PR 、QR 的方程分别为：PQ ：(a ＋b )x －y －ab ＝0，PR ：(a ＋c )x －y －ac ＝0，QR ：(b ＋c )x －y －bc ＝0.因为PQ 是圆C 的切线，所以|－2－ab |（a ＋b ）2＋1＝1，化简得：(a 2－1)b 2＋2ab ＋3－a 2＝0，①因为PR 是圆C 的切线，同理可得：(a 2－1)c 2＋2ac ＋3－a 2＝0，②则b ，c 为方程(a 2－1)x 2＋2ax ＋3－a 2＝0的两个实根，所以b ＋c ＝－2a a 2－1，bc ＝3－a2a 2－1.因为圆心到直线QR 的距离为d ＝|－2－bc |（b ＋c ）2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋3－a 2a 2－14a2（a 2－1）2＋1＝a 2＋1a 4＋2a 2＋1＝1＝r ，所以直线QR 与圆C 相切．。
近年高考数学复习 第8章 平面解析几何 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程课时分层训练(202
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课时分层训练（四十三）直线的倾斜角与斜率、直线的方程A组基础达标(建议用时:30分钟）一、选择题1．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是( )A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0D[直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0。
] 2．设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α,且sin α＋cos α＝0，则a，b满足（）A．a＋b＝1 B．a－b＝1C．a＋b＝0 D．a－b＝0D[由sin α＋cos α＝0，得错误!＝－1，即tan α＝－1.又因为tan α＝－ab，所以－错误!＝－1，则a＝b.]3．若方程（2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则参数m满足的条件是（）【导学号:51062259】A．m≠－错误!B．m≠0C．m≠0且m≠1D．m≠1D[由错误!解得m＝1，故m≠1时方程表示一条直线．］4．在等腰三角形AOB中,OA＝AB,点O（0,0），A（1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为( )A．y－1＝3（x－3) B．y－1＝－3(x－3）C．y－3＝3(x－1）D．y－3＝－3（x－1)D[设点B的坐标为(a,0）(a＞0），由OA＝AB，得12＋32＝（1－a)2＋（3－0)2，则a＝2，∴点B（2,0),易得k AB＝－3，由两点式，得AB的方程为y－3＝－3（x－1)．]5．过点(2,1)，且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小π4的直线方程是（)A．x＝2 B．y＝1C．x＝1 D．y＝2A[∵直线y＝－x－1的斜率为－1，则倾斜角为错误!π.依题意，所求直线的倾斜角为错误!－错误!＝错误!，斜率不存在，∴过点(2，1)的所求直线方程为x＝2.]二、填空题6．直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P，Q两点，线段PQ中点是(1,－1)，则l 的斜率是________。
高考数学第8讲 分层演练 直击高考
[学生用书P323(单独成册)]1．设直线y ＝kx 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，分别过A ，B 向x 轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k 等于( )A ．±32B.±23C ．±12D ．±2解析：选A .将直线与椭圆方程联立， ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ， x 24＋y 23＝1，化简整理得(3＋4k 2)x 2＝12，(*)因为分别过A ，B 向x 轴作垂线，垂足恰为椭圆的两个焦点， 故方程的两个根为±1，代入方程(*)，得k ＝±32，故选A .2．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的交点个数是( )A ．1 B.2 C ．1或2D ．0解析：选A .因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝ba x 平行，所以它与双曲线只有1个交点．3．已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a 等于( ) A .12 B.13 C .14D ．4解析：选C .由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，y ＝ax 2，消去y 得ax 2－x ＋1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，1－4a ＝0，解得a ＝14.4．已知直线y ＝22(x －1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，点M (－1，m )，若MA →·MB →＝0，则m 等于( )A . 2 B.22C .12D ．0解析：选B .由题意可得⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝22（x －1），8x 2－20x ＋8＝0， 解得x ＝2或x ＝12，则A (2，22)，B (12，－2)．点M (－1，m )， 由MA →·MB →＝0，可得(3，22－m )·⎝⎛⎭⎫32，－2－m ＝0. 化简2m 2－22m ＋1＝0， 解得m ＝22.故选B . 5．抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (1，1)为线段AB 的中点，则抛物线C 的方程为( )A ．y ＝2x 2 B.y 2＝2x C ．x 2＝2yD ．y 2＝－2x解析：选B .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程为y 2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2两式相减可得2p ＝y 1－y 2x 1－x 2×(y 1＋y 2)＝k AB ×2＝2，即可得p ＝1，所以抛物线C 的方程为y 2＝2x .6．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →＝________．解析：依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝⎛⎭⎫43，13，所以OA →·OB →＝－13，同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →＝－13.答案：－137．如图，过抛物线y ＝14x 2的焦点F 的直线l 与抛物线和圆x 2＋(y －1)2＝1交于A ，B ，C ，D 四点，则AB →·DC →＝________．解析：不妨设直线AB 的方程为y ＝1，联立 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1， y ＝14x 2，解得x ＝±2，则A (－2，1)，D (2，1)，因为B (－1，1)，C (1，1)，所以AB →＝(1，0)，DC →＝(－1，0)，所以AB →·DC →＝－1. 答案：－18．若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为________________．解析：因为椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，则a 2－b 2＝4，所以可设椭圆方程为y 2b 2＋4＋x 2b2＝1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋7， y 2b 2＋4＋x 2b2＝1，得(10b 2＋4)y 2－14(b 2＋4)y －9b 4＋13b 2＋196＝0，设直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的端点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 由一元二次方程根与系数的关系得： y 1＋y 2＝14（b 2＋4）10b 2＋4＝2.解得：b 2＝8.所以a 2＝12. 则椭圆方程为x 28＋y 212＝1.答案：x 28＋y 212＝19．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线y 22－x 2＝1的焦点重合，过点P (4，0)且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的方程； (2)求OA →·OB →的取值范围． 解：(1)由题意知e ＝c a ＝12，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，所以a 2＝43b 2.因为双曲线y 22－x 2＝1的焦点坐标为(0，±3)，所以b ＝3，所以a 2＝4， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 的倾斜角为0°时，不妨令A (－2，0)，B (2，0)，则OA →·OB →＝－4； 当直线l 的倾斜角不为0°时，设其方程为x ＝my ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋4，3x 2＋4y 2＝12⇒(3m 2＋4)y 2＋24my ＋36＝0， 由Δ>0⇒(24m )2－4×(3m 2＋4)×36>0⇒m 2>4， 设A (my 1＋4，y 1)，B (my 2＋4，y 2)． 因为y 1＋y 2＝－24m 3m 2＋4，y 1y 2＝363m 2＋4，所以OA →·OB →＝(my 1＋4)(my 2＋4)＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋4m (y 1＋y 2)＋16＋y 1y 2＝1163m 2＋4－4，因为m 2>4，所以OA →·OB →∈⎝⎛⎭⎫－4，134. 综上所述，OA →·OB →的取值范围为⎣⎡⎭⎫－4，134. 10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点⎝⎛⎭⎫1，32，离心率为12，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)当△F 2AB 的面积为1227时，求直线的方程．解：(1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点⎝⎛⎭⎫1，32， 所以1a 2＋94b2＝1.①又因为离心率为12，所以c a ＝12，所以b 2a 2＝34.②解①②得a 2＝4，b 2＝3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线的倾斜角为π2时，不妨取A ⎝⎛⎭⎫－1，32，B ⎝⎛⎭⎫－1，－32， S △ABF 2＝12|AB |·|F 1F 2|＝12×3×2＝3≠1227.当直线的倾斜角不为π2时，设直线方程为y ＝k (x ＋1)，代入x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以S △ABF 2＝12|y 1－y 2|×|F 1F 2|＝|k |（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝|k |⎝⎛⎭⎫－8k 24k 2＋32－4·4k 2－124k 2＋3＝12|k |k 2＋14k 2＋3＝1227，所以17k 4＋k 2－18＝0， 解得k 2＝1⎝⎛⎭⎫k 2＝－1817舍去， 所以k ＝±1，所以所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.1．过抛物线y 2＝4x 的焦点作两条互相垂直的弦AB ，CD ，则1|AB |＋1|CD |等于( )A ．2 B.4 C .12D ．14解析：选D .抛物线y 2＝4x ，可知2p ＝4，设直线l 1的倾斜角为θ(θ为锐角)，则l 2的倾斜角为π2＋θ，AB ，CD 为过焦点的弦，|AB |＝2psin 2θ，|CD |＝2p sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝2pcos 2θ， 所以1|AB |＋1|CD |＝sin 2θ2p ＋cos 2θ2p ＝12p ＝14.故选D .2．(2018·石家庄第一次模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)过点A ⎝⎛⎭⎫12，2，其准线与x 轴交于点B ，直线AB 与抛物线的另一个交点为M ，若MB →＝λAB →，则实数λ＝( )A .13 B.12 C ．2D ．3解析：选C .把点A (12，2)代入抛物线的方程，得2＝2p ×12，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，则B (－1，0)，设M (y 2M 4，y M )，则AB →＝(－32，－2)，MB →＝(－1－y 2M4，－y M )．由MB →＝λAB →，得⎩⎪⎨⎪⎧－1－y 2M 4＝－32λ－y M ＝－2λ，解得λ＝2或λ＝1(舍去)，故选C .3．已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为________．解析：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 213＝1，①x 22－y 223＝1，②x 1＋x 2＝2x 0，③ y 1＋y 2＝2y 0，④由②－①得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)＝13(y 2－y 1)(y 2＋y 1)，显然x 1≠x 2.所以y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝3，即k MN ·y 0x 0＝3，因为M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称， 所以k MN ＝－1， 因为y 0＝－3x 0. 又因为y 0＝x 0＋m ， 所以P ⎝⎛⎭⎫－m 4，3m4， 代入抛物线方程得916m 2＝18·⎝⎛⎭⎫－m 4， 解得m ＝0或－8，经检验都符合． 答案：0或－84．过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若使得|AB |＝λ的直线l 恰有三条，则λ＝________．解析：因为使得|AB |＝λ的直线l 恰有三条． 所以根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直．此时A ，B 的横坐标为3，代入双曲线方程，可得y ＝±2，故|AB |＝4. 因为双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，所以过双曲线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4， 综上可知，|AB |＝4时，有三条直线满足题意． 所以λ＝4. 答案：45．(2017·高考北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1，1)．过点(0，12)作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．解：(1)由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1，1)，得p ＝12.所以抛物线C 的方程为y 2＝x .抛物线C 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫14，0，准线方程为x ＝－14. (2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0. 则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k2.因为点P 的坐标为(1，1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)． 直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1，y 2x 1x 2. 因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝⎝⎛⎭⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎫kx 2＋12x 1－2x 1x 2x 2＝（2k －2）x 1x 2＋12（x 2＋x 1）x 2＝（2k －2）×14k 2＋1－k2k2x 2＝0，所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1.故A 为线段BM 的中点．6．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；(2)设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B (B 异于点A )，直线BQ 与x 轴相交于点D .若△APD 的面积为62，求直线AP 的方程． 解：(1)设F 的坐标为(－c ，0)． 依题意，c a ＝12，p 2＝a ，a －c ＝12，解得a ＝1，c ＝12，p ＝2，于是b 2＝a 2－c 2＝34.所以，椭圆的方程为x 2＋4y 23＝1，抛物线的方程为y 2＝4x .(2)设直线AP 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，与直线l 的方程x ＝－1联立，可得点P ⎝⎛⎭⎫－1，－2m ， 故Q ⎝⎛⎭⎫－1，2m .将x ＝my ＋1与x 2＋4y23＝1联立， 消去x ，整理得(3m 2＋4)y 2＋6my ＝0， 解得y ＝0或y ＝－6m3m 2＋4.由点B 异于点A ，可得点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3m 2＋43m 2＋4，－6m 3m 2＋4.由Q ⎝⎛⎭⎫－1，2m ，可得直线BQ 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 3m 2＋4－2m (x ＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3m 2＋43m 2＋4＋1⎝⎛⎭⎫y －2m ＝0，令y ＝0，解得x ＝2－3m 23m 2＋2，故D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3m 23m 2＋2，0. 所以|AD |＝1－2－3m 23m 2＋2＝6m 23m 2＋2.又因为△APD 的面积为62，故12×6m 23m 2＋2×2|m |＝62，整理得3m 2－26|m |＋2＝0，解得|m |＝63，所以m ＝±63. 所以，直线AP 的方程为3x ＋6y －3＝0或3x －6y －3＝0.。
高中数学高考复习：第八章第10讲分层演练直击高考
第八章 平面解析几何
即2，－3＋2k4k2·83k＋2－4k62，3－＋144kk2＝0， 化简得64（k43＋＋248kk22）－236＝0⇒64k4＋28k2－36＝0， 解得 k＝±34. 故 P0，27或0，－27.
第八章 平面解析几何
第八章 平面解析几何
(2)根据已知得 P(0，m)，由A→P＝λP→B， 得O→P－O→A＝λ(O→B－O→P)． 所以O→A＋λO→B＝(1＋λ)O→P. 因为O→A＋λO→B＝4O→P，所以(1＋λ)O→P＝4O→P. 若 m＝0，由椭圆的对称性得A→P＝P→B，即O→A＋O→B＝0. 所以 m＝0 能使O→A＋λO→B＝4O→P成立． 若 m≠0，则 1＋λ＝4，解得 λ＝3.
可得当 l 与 x 轴不垂直时，四边形 MPNQ 面积的取值范围为
(12，8 3)．
当 l 与 x 轴垂直时，其方程为 x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四
边形 MPNQ 的面积为 12.
综上，四边形 MPNQ 面积的取值范围为[12，8 3)．
第八章 平面解析几何
5．(2017·云南省第一次统一检测)已知焦点在 y 轴上的椭圆 E 的中心是原点 O，离心率等于 23，以椭圆 E 的长轴和短轴为 对角线的四边形的周长为 4 5.直线 l：y＝kx＋m 与 y 轴交于 点 P，与椭圆 E 交于 A，B 两个相异点，且A→P＝λP→B. (1)求椭圆 E 的方程； (2)是否存在 m，使O→A＋λO→B＝4O→P？若存在，求 m 的取值范 围；若不存在，请说明理由．
第八章 平面解析几何
[解] (1)由题意可知 e＝ac＝12，12×2ab＝2 3，a2＝b2＋c2，解 得 a＝2，b＝ 3， 所以椭圆方程是x42＋y32＝1. (2)由(1)知 B(2，0)，设线段 BD 的方程为 y＝k(x－2)，D(x1， y1)，把 y＝k(x－2)代入椭圆方程x42＋y32＝1，整理得 (3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0，
高考数学重难点第6讲 抽象函数及其性质8大题型(解析版)(全国通用)(老师专用)(新高考专用)
重难点第6讲抽象函数及其性质8大题型——每天30分钟7天掌握抽象函数及其性质8大题型问题【命题趋势】抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题。
抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表现形式的抽象性和多变性，学生往往无从下手，这类问题是高考的一个难点，也是近几年高考的热点之一。
第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种：1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解；2、通过()()12-f x f x 的变换判定单调性；3、令式子中出现()f x 及()-f x 判定抽象函数的奇偶性；4、换x 为+x T 确定周期性.二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ，判断符号时要变形为：()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-或()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ，判断符号时要变形为：()()()112112x f x x x f x f x f -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-或()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-212212x x x f x f x f x f .三、常见的抽象函数模型1、()()()+=+f x y f x f y 可看做()=f x kx 的抽象表达式；2、()()()+=f x y f x f y 可看做()=x f x a 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；3、()()()=+f xy f x f y 可看做()log =a f x x 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；4、()()()=f xy f x f y 可看做()=a f x x 的抽象表达式.四、抽象函数中的小技巧1、很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同特征而设计出来的，在解决问题时，可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质；2、解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用，通过特殊赋值法可以找到函数的不变性质，这个不变性质往往是解决问题的突破口；3、抽象函数性质的证明是一种代数推理，和几何推理一样，要注意推理的严谨性，每一步推理都要有充分的条件，不可漏掉一些条件，更不要臆造条件，推理过程要层次分明，书写规范。
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 分层限时跟踪
分层限时跟踪练(四十七)(限时40分钟) [基 础 练]扣教材 练双基一、选择题1．(2015·兰州双基考试)抛物线y 2＝2px (p ＞0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10，则该抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．4B ．8C ．16D ．32 【解析】 设抛物线的准线方程为x ＝－p2(p ＞0)，所以p2＋6＝10，解得p ＝8，所以抛物线的焦点到准线的距离为8.【答案】 B2．(2015·四川绵阳二诊)抛物线y 2＝2x 上一点M 到它的焦点F 的距离为32，O 为坐标原点，则△MFO 的面积为( )A.22 B.24 C.12 D.14【解析】 ∵抛物线y 2＝2x 上一点M (x ，y )到它的焦点F 的距离为32，∴x ＋12＝32，∴x＝1.当x ＝1时，y ＝±2，∴△OFM 的面积为12×12×2＝24.故选B.【答案】 B3．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y【解析】 双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，由于e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，所以b a＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，由题意p22＝2，则p ＝8，所以C 2的方程为x 2＝16y .【答案】 D4．(2015·洛阳统考)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝5，则|BF |＝( )A.14 B ．1 C.54D ．2【解析】 由题意，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋1＝5，解得x 1＝4，y 21＝4x 1＝16，由对称性，不妨取y 1＝4，所以直线AB ：y ＝43x －43，代入抛物线方程得4x 2－17x ＋4＝0，∴x 1＝4，x 2＝14，∴|BF |＝x 2＋1＝54.【答案】 C5．(2015·九江一模)过抛物线y 2＝8x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交抛物线的准线于C ，若|AF |＝6，BC →＝λFB →，则λ的值为( )A.34B.32C. 3 D ．3 【解析】 设A (x 1，y 1)(y 1＞0)，B (x 2，y 2)，C (－2，y 3)，则x 1＋2＝6，解得x 1＝4，y 1＝42，直线AB 的方程为y ＝22(x －2)，令x ＝－2，得C (－2，－82)，联立方程⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝22x －2，解得B (1，－22)，∴|BF |＝1＋2＝3，|BC |＝9，∴λ＝3.【答案】 D 二、填空题6．(2015·陕西高考)若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝__________.【解析】 抛物线的准线方程为x ＝－p2，p >0，双曲线的焦点为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，所以－p2＝－2，p ＝2 2.【答案】 2 27．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，若点A 到抛物线的准线的距离为4，则|AB |＝________.【解析】 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，∵y 2＝4x ，∴抛物线的准线为x ＝－1.焦点F (1,0)，又A 到准线的距离为4，∴x A ＋1＝4，∴x A ＝3.∵x A x B ＝p 24＝1，∴x B ＝13，∴|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝3＋13＋2＝163.【答案】1638．(2015·邢台模拟)已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是________．【解析】 由题意，从点M 向抛物线x 2＝4y 的准线l ：y ＝－1引垂线，垂足为M 1，则有|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MM 1|，结合图形知|MA |＋|MM 1|的最小值为圆心C (－1,5)到y ＝－1的距离再减去圆C 的半径，即等于5.因此|MA |＋|MF |的最小值为5.【答案】 5 三、解答题9．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值． 【解】 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0， 所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，∴p ＝4， 从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4知4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0， 从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42) ＝(4λ＋1,42λ－22)，又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.图87410．(2015·福建高考)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．【解】 (1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上， 所以m ＝±2 2.由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝22x －1，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－－1＝223，k GB ＝－2－012－－1＝－223，所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．[能 力 练]扫盲区 提素能1．(2015·成都模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，若点A (－1,0)，则|PF ||PA |的最小值是( )A.12B.22C.32D.223【解析】 抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，如图，过P 作PN 垂直x ＝－1于N ，由抛物线的定义可知|PF |＝|PN |，连接PA ， 在Rt △PAN 中，sin ∠PAN ＝|PN ||PA |，当|PN ||PA |＝|PF ||PA |最小时，sin ∠PAN 最小，即∠PAN 最小，即∠PAF 最大，此时，PA 为抛物线的切线，设PA 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，所以Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝0，解得k ＝±1，所以∠PAF ＝∠NPA ＝45°，|PF ||PA |＝|PN ||PA |＝cos ∠NPA ＝22， 故选B. 【答案】 B2．已知F 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，过点R (2,1)的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，且|RA |＝|RB |，|FA |＋|FB |＝5，则直线l 的斜率为( )A.32 B ．1 C ．2 D.12【解析】 依题意知|FA |＋|FB |＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫p2＋2＝5，解得p ＝1，设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减并整理得y 2－y 1x 2－x 1＝2y 2＋y 1＝21×2＝1，∴k AB＝1.【答案】 B3．已知P 、Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P 、Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．【解析】 由于P 、Q 为抛物线x 2＝2y 上的点，且横坐标分别为4，－2，则P (4,8)，Q (－2,2)，从而在点P 处的切线斜率k 1＝4，由点斜式得曲线在点P 处的切线方程为y －8＝4(x －4)，同理在点Q 处的切线方程为y －2＝－2(x ＋2)．联立这两个直线方程，可解得交点A 的纵坐标为－4.【答案】 －44．(2015·绵阳诊断)已知A 是抛物线y 2＝4x 上一点，F 是抛物线的焦点，直线FA 交抛物线的准线于点B (点B 在x 轴上方)，若|AB |＝2|AF |，则点A 的坐标为___________________________________________________________________．【解析】 依题意，①若点A 位于x 轴上方，过点A 作抛物线的准线的垂线，垂足记为A 1，则有|AB |＝2|AF |＝2|AA 1|，∠BAA 1＝60°，直线AF 的倾斜角为120°.又点F (1,0)，因此直线AF 的方程为y ＝－3(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝－3x －1，y 2＝4x y ＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝233.此时点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233.②若点A 位于x 轴下方，则此时点F (1,0)是线段AB 的中点，又点B 的横坐标是－1，故点A 的横坐标是2×1－(－1)＝3，相应的纵坐标是y ＝－4×3＝－23，点A 的坐标是(3，－23)．综上所述，点A 的坐标是(3，－23)或⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233.【答案】 (3，－23)或⎝ ⎛⎭⎪⎫13，2335．如图875，已知直线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)相交于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，OD ⊥AB 交AB 于D ，且点D 的坐标为(3，3)．图875(1)求p 的值；(2)若F 为抛物线的焦点，M 为抛物线上任一点，求|MD |＋|MF |的最小值．【解】 (1)设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222p ，y 2，k OD ＝33，则k AB ＝－3，直线AB 的方程为y －3＝－3(x －3)，即3x ＋y －43＝0，将x ＝y 22p代入上式，整理得3y 2＋2py －83p ＝0，∴y 1y 2＝－8p ，由OA ⊥OB 得y 21y 224p2＋y 1y 2＝0，即y 1y 2＋4p 2＝0，∴－8p ＋4p 2＝0，又p ＞0，则p＝2.(2)由抛物线定义知|MD |＋|MF |的最小值为D 点到抛物线y 2＝4x 准线的距离，又准线方程为x ＝－1，因此|MD |＋|MF |的最小值为4.6．(2015·湖南高考)已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向．(1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．【解】 (1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0,1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ， 由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.②联立①②，得a 2＝9，b 2＝8. 故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．因AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0.而x 1，x 2是这个方程的两根， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 29＋x28＝1，得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0.而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2.⑤将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k29＋8k22＋4×649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝162×9k 2＋19＋8k22，所以(9＋8k 2)2＝16×9， 解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.。