2022届中考数学压轴难题含答案解析
2022年中考数学压轴题(含答案)
一、解答题1．如图，四边形ABCD 和四边形GHIJ 都是正方形，点E 同时是边BC 和HI 的中点，点F 是边AD 的中点，点K 是边GJ 的中点，连接BH ，FK ．(1)如图1，当HI 与BC 在同一条直线上时，直接写出BH 与FK 的数量关系和位置关系；(2)正方形ABCD 固定不动，将图1中的正方形GHIJ 绕点E 顺时针旋转角，如图2所示，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明：若不成立，说明理由；(3)正方形ABCD 固定不动，将图1中的正方形GHIJ 绕点E 旋转角，作于点L .设，线段AB ，BH ，HG ，GK ，KF ，FA 所围成的图形面积为S .当6AB =，时，求S 关于x 的函数关系式，并写出相应的x 的取值范围． 2．问题发现如图1，在Rt ABC △和Rt CDE △中，90ACB DCE ∠=∠=︒，45CAB CDE ∠=∠=︒，点D 是线段AB 上一动点，连接BE ．（1）填空： ①BE AD的值为______； ②DBE ∠的度数为______．（2）类比探究如图2，在Rt ABC △和Rt CDE △中，90ACB DCE ∠=∠=︒，60CAB CDE ∠=∠=︒，点D 是线段AB 上一动点，连接BE ．请求出BE AD 的值及DBE ∠的度数，并说明理由； （3）拓展延伸如图3，在Rt ABC △和Rt CDE △中，90ACB DCE ∠=∠=︒，CAB CDE ∠=∠，点D 是线段AB 上一动点，连接BE ，M 为DE 中点．若4BC =，3AC =，在点D 从A 点运动到B 点的过程中，请直接写出M 点经过的路径长．3．如图1，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点B 作BE CD ⊥，交AC 于点H ，交CD 于点E ．过点C 作//CF BD ，交BE 的延长线于点F ，过点F 作//FG BC ，交BD 的延长线于点G ．（1）若8AC =，6BD =，求BE 的长；（2）如图2，连接AF ，交BG 于点K ，若GFA BFC ∠=∠，求证：2BF BC CD -．（3）如图3，当点D 与点G 重合时，若9AB =，将BOH 沿射线BC 方向平移，当点B 到达点C 时停止平移．当平移结束后（即点B 到达点C 时），将BOH 绕点B 顺时针旋转一个角度()0360αα<<︒，O 的对应点'O ，H 的对应点'H ，直线'CH 与直线BF 的交点为M ，直线''O H 与直线BF 的交点为N ，在旋转过程中，当'MNH △是直角三角形，且'90MNH ∠=︒时，直接写出'MNH △的面积．4．已知：抛物线l 1：y =—x 2+bx +3交x 轴于点A 、B ，（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ，其对称轴为直线x =1，抛物线l 2经过点A ，与x 轴的另一个交点为E （5，0），交y轴于点D （0，5—2） （1）求抛物线2l 的函数表达式；（2）P 为直线1x =上一动点，连接PA ，PC ，当PA PC =时，求点P 的坐标；（3）M 为抛物线2l 上一动点，过点M 作直线//MN y 轴，交抛物线1l 于点N ，求点M 自点A 运动至点E 的过程中，线段MN 长度的最大值．5．在△ABC中，AB＝BC＝5，AD⊥BC于D，AD＝4．动点P从点B出发，沿折线BA→AC运动（点P不与B、C重合），点P在边BA上运动的速度为2.5个单位长度，在个单位长度，过P作PQ⊥BC于点Q，以PQ为边向右作矩形边AC上的运动速度为52PQFE，使PQ＝2PE，点F在线段BC上，设点P运动的时间为t．（1）点P在BA上时，则PQ＝；（用含t代数式表示）（2）点P在AC上时，则PQ＝；（用含t代数式表示）（3）连结DE，当△DEF与△ADC相似时，求t的值．（4）设矩形PQFE的对角线相交于点O，当点O在△ACD边上时，直接写出t的取值范围．6．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(a,0)、B(0,b)分别为x轴和y轴上一点，且a,b满足22260+-+=，过点B作BE⊥AC于点E，延长BE至点D，使得BD=AC，连a b ab b接OC、OD．（1）A点的坐标为；∠OAB的度数为．（2）如图1，若点C在第四象限，试判断OC与OD的数量关系与位置关系，并说明理由．（3）如图2，连接CD，若点C的坐标为(4，3)，CE平分∠OCD，AC与OD交于点F．①求D点的坐标；②试判断DE与CF的数量关系，并说明理由．7．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋8与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的另一条直线483y x=-+交x轴正半轴于点C．（1）写出C点坐标；（2）若M为线段BC上一点，且满足S△AMB＝S△AOB，请求出点M的坐标；（3）如图2，设点F为线段AB中点，点G为y轴正半轴上一动点，连接FG，以FG为边向FG右侧作正方形FGQP，在G点的运动过程中，当顶点Q落在直线BC上时，求出点G 的坐标．8．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+154x+c与x轴负半轴相交于点A（﹣20，0），与y轴相交于点B（0，﹣15）．（1）求抛物线的函数表达式及直线AB的函数表达式；（2）如图2，点C是第三象限内抛物线上的一个动点，连接AC、BC，直线OC与直线AB 相交于点D，当△ABC的面积最大时，求此时△ABC面积的最大值及点C的坐标；（3）在（2）的条件下，点E为线段OD上的一个动点，点E从点O开始沿OD以每秒10D运动（运动到点D时停止），以OE为边，在OD的左侧做正方形OEFG，设正方形OEFG与△OAD重叠的面积为S，运动时间为t秒．当t＞3时，请直接写出S 与t 之间的函数关系式为 （不必写出t 的取值范围）．9．二次函数y ＝ax 2﹣4ax +2的图象与y 轴交于点A ，且过点B （3，6）．（1）试求二次函数的解析式及点A 的坐标；（2）若点B 关于二次函数对称轴的对称点为点C ，设点D 在直线AB 上方的抛物线上，当∠CBD ＝∠ABC 时，求出点D 的坐标；（3）若在抛物线的对称轴上有一点P ，使得△ABP 是以AB 为腰的等腰三角形，试直接写出符合题意的所有的点P 的坐标．10．如图，已知抛物线23y ax bx =++（a 、b 为常数，且a ≠0）与x 轴交于点A （-1，0）和点B ，与y 轴交于点C ，其对称轴是直线x =1，顶点为P ，连接BP ，CP ．(1)求抛物线的表达式；(2)判断△BCP 的形状，并说明理由；(3)该抛物线上是否存在点Q ，使得∠QBC=∠ACO ？若存在，请直接写出满足条件的所有点Q 是坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（ 点A 在点B 的左侧），点B 坐标()3,0，抛物线与y 轴交于点()0,3C -，点D 为抛物线顶点，对称轴1x =与x 轴交于点E ，连接BC 、EC ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是BC 下方异于点D 的抛物线上一动点，若PBC EBC SS =，求此时点P 的坐标； (3)点Q 是抛物线上一动点，点M 是平面上一点，若以点B 、C 、Q 、M 为顶点的四边形为矩形，直接写出满足条件的点Q 的横坐标．12．如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点(0,3)C ，顶点为点D ．(1)求抛物线的解析式；(2)若过点C 的直线交线段AB 于点E ，且，求的正切值； (3)若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点D 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点P 的坐标．13．如图1，在平面直角坐标系中，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，B (4，0)，C (8，0)，tan∠ACB ＝2，抛物线y ＝ax 2+bx 经过A ，C 两点．(1)求点A 的坐标及抛物线的解析式；(2)如图2，过点A 作AD ⊥AB 交BC 的垂线于点D ，动点P 从点A 出发，沿线段AB 向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，过点P作PE⊥AB交AC于点E．①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG取得最大值？最大值是多少？②连接EQ，在点P，Q运动过程中，t为何值时，使得△CEQ与△ABC相似？14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋2与直线y＝x﹣2交于点A（m，0）和点B（﹣2，n），与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)若向下平移抛物线，使顶点D落在x轴上，原来的抛物线上的点P平移后的对应点为P'，若，求点P的坐标；(3)在抛物线上是否存在点Q，使△QAB的面积是△ABC面积的一半？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，OB＝4，OA＝3，F是BC边上一个动点（不与B、C重合），过点F的反比例函数y＝kx（k＞0）的图象与边AC交于点E．(1)当BF＝13BC时，求点E的坐标；(2)连接EF，求∠EFC的正切值；(3)将△EFC沿EF折叠，得到△EFG，当点G恰好落在矩形AOBC的对角线上时，求k的值．16．如图，在长方形ABCD中，10AB=，9BC=，点E在AB上，点G在AD上，AEFG 为正方形．点M，N分别为BC，CD上的动点，MO BC⊥，NO CD⊥，且点O始终在正方形AEFG的内部，MO交EF于点P，NO交FG于点Q．(1)设CM AE a ==，①用含a 的代数式表示四边形EBMP 的周长；②若四边形OPFQ ，GQND 的周长之和恰好为四边形EBMP 周长的两倍，求a 的值．(2)设3CM x =，2CN x =，AE n CN =，是否存在正整数x ，n ，使得EBMP GQND S S =四边形四边形若存在，求出x ，n 的值；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，AC BC =，1OA =，4OC =，抛物线，2y x bx c =++经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ．(1)求抛物线的解析式；(2)点E 是Rt ABC 斜边AB 上一动点（点A 、B 除外），过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标；(3)若在抛物线的对称轴上恰好存在唯一的点P ，使EFP △是以EF 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；请确定此时点E 的坐标．18．如图1，在直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 在y 轴正半轴上，二次函数y =ax 2+16x +c 的图象F 交x 轴于B 、C 两点，交y 轴于M 点，其中B （﹣3，0），M （0，﹣1）．已知AM =BC ．(1)求二次函数的解析式；(2)证明：在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式；(3)在（2）的条件下，设直线l过D且l⊥BD，分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N，求11BP BQ+的值；19．如图1，过点C（0，5）的抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝21033x-+相交于B（5，0）、D（﹣1，4）两点，点E为线段BD上一动点（不与点B、D重合），连接AE并将其延长交抛物线于点F，过点F作FG∥y轴，交BD于点G．(1)求抛物线的表达式；(2)求线段FG的最大值，并求出此时点E的坐标；(3)在（2）的条件下，把抛物线y＝ax2+bx+c先向左平移1个单位，再向下平移53个单位得到新抛物线，点P是新抛物线与原抛物线的交点，点Q为射线BA上一动点，连接CQ，将△CQB沿直线BC翻折到△CNB，连接NQ，交直线BC于点M，R为平面直角坐标系中一点，直接写出所有使得以M、P、F、R为顶点的四边形是菱形的点R的坐标，并把求其中一个点R的坐标的过程写出来．20．如图①，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（4，0）、B（0，3），连结AB．抛物线经过点B，且对称轴是直线．（1）求抛物线的函数关系式．（2）将图①中的△ABO沿x轴向左平移得到△DCE（如图②），当四边形ABCD是菱形时，说明点C和点D都在该抛物线上．（3）在（2）中，若点M是抛物线上的一个动点（点M不与点C、D重合），过点M作MN∥y轴交直线CD于点N．设点M的横坐标为m，线段MN的长为l．求l与m之间的函数关系式．（4）在（3）的条件下，直接写出m为何值时，以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形．【参考答案】**科目模拟测试一、解答题1．(1)BH与FK的数量关系为FK=2BH，位置关系为FK⊥BH(2)仍然成立，BH与FK的数量关系不变，FK=2BH，位置关系不变FK⊥BH，证明见解析(3)，变量x的取值范围是【解析】【分析】（1），根据正方形的性质和中点定义，可知AB=BC，GH=HI，BE=EC，EH=EI，进而得出BH=IC，再根据FK=AB-GH，可得答案.（2），先连接FE，KE，再根据两边成比例且夹角相等的两个三角形形似，得，进而得出，即可得出数量关系.再延长FK，交BC于M，延长BH，交FM于N，由①可得∠HBE=∠KFE，进而得出∠BNM=90°，即可得出位置关系.（3），分两种情况：第一：当正方形GHIJ绕点E顺时针旋转α时，表示EL，再求出，，表示，再根据，得出，最后根据列出关系式，并求出取值范围.第二：当正方形GHIJ绕点E逆时针旋转α时，与第一类似，再根据列出关系式，并求出自变量取值范围，最后确定答案即可.(1)解：BH与FK的数量关系为FK=2BH，位置关系为FK⊥BH.根据题意可知AB=BC，GH=HI，BE=EC，EH=EI，∴BH=BE-HE，IC=EC-EI，即BH=IC.∴FK=AB-GH=BC-HI=BH+IC=2BH.(2)当正方形GHIJ绕点E旋转α（）角时，其数量和位置关系不变先证FK=2BH连接FE，KE由题意可得到，∠FEB=∠KEH=90°可得∠HEB+∠FEH=∠KEF+∠FEH∴∠HEB=∠KEF∴∴即FK=2BH②再证FK⊥BH延长FK，交BC于M，延长BH，交FM于N由①可得∠HBE=∠KFE∴∠HBE+∠FMB=∠KFE+∠FMB=90°∴∠BNM=90°即FK⊥BH∴BH与FK的数量关系不变，FK=2BH，位置关系不变FK⊥BH (3)正方形GHIJ绕点E旋转α（0°≤α≤90°），有以下两种情况:当正方形GHIJ绕点E顺时针旋转α时，EL=x-3.如图，，∵，∴∴又∵因此自变量x的取值范围是当正方形GHIJ绕点E逆时针旋转α时，EL=3-x.如图，， ∵， ∴∴又∵因此自变量x 的取值范围是. 综上所述，.【点睛】 这是一道关于正方形的综合问题，考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，旋转的性质，求一次函数的关系式及自变量取值范围等.2．（1）①1；②90°；（2）3BE AD =90DBE ∠=︒，理由见解析；（3）256 【解析】【分析】（1）①证明ACD △≌BCE 即可求得BE AD的值；②由①的结论，可得DBE ABC CBE ∠=∠+∠，进而可得DBE ∠的度数； （2）由已知条件证明Rt ACB △∽Rt DCE ，可得AC CD BC CE =，又ACD BCE ∠=∠，可得ACD △∽BCE ，进而根据3AC BC =3BE BC AD AC ==1）可得DBE ABC CBE ∠=∠+∠，进而可得DBE ∠的度数；（3）设AB 的中点为P ，BE 的中点为Q ，由题意M 的路径长为PQ 的长，根据（2）的结论可得ACD △∽BCE ，进而求得CE 的长，根据中位线定理即可求得PQ ，即M 点经过的路径长．【详解】（1）∵90ACB DCE ∠=∠=︒，45CAB CDE ∠=∠=︒，∴45ABC CAB CDE CED ∠=∠=︒=∠=∠，∴AC BC =，CD CE =，∵90ACB DCE ∠=∠=︒，∴ACD BCE ∠=∠，在ACD △和BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ACD △≌BCE （S A S ），∴BE AD =，45CAB CBE ∠=∠=︒，∴90DBE ABC CBE ∠=∠+∠=︒，1BE AD=． 故答案为：1，90°．（2）BE AD =90DBE ∠=︒． 理由如下：∵90ACB DCE ∠=∠=︒，60CAB CDE ∠=∠=︒，∴30CED ABC ∠=∠=︒，ACB DCB DCE DCB ∴∠-∠=∠-∠，即ACD BCE ∠=∠，∴tan tan 30AC ABC BC ∠=︒== ∵90ACB DCE ∠=∠=︒，60CAB CDE ∠=∠=︒，∴Rt ACB △∽Rt DCE ， ∴AC CD BC CE =， ∴AC BC CD CE=，且ACD BCE ∠=∠， ∴ACD △∽BCE ，∴BE BC AD AC =60CBE CAD ∠=∠=︒， ∴90DBE ABC CBE ∠=∠+∠=︒．（3）如图，设AB 的中点为P ，BE 的中点为Q ，点D 是线段AB 上一动点， M 为DE 中点,在点D 从A 点运动到B 点的过程中，M 点从AB 的中点P 运动到BE 的中点Q ，当D 点与B 点重合时，M 点与Q 点重合，此时如图，则M 点的运动路径长为PQ 的长，由（2）可得ACD △∽BCE ，4BC =，3AC =，90ACB ∠=︒,∴43BE BC EC AD AC CD ===，225AB AC BC +=， 4CD BC ==，163EC ∴=， 1625333AE AC EC ∴=+=+=， ,P Q 分别为,AD BE 的中点，则256PQ =， ∴M 点的运动路径长为256． 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键．3．（1）245；（2）见解析；（3）815434+或543814- 【解析】【分析】（1）由菱形的对角线互相垂直平分，得到直角三角形及其两条直角边的长，再由勾股定理求出边CD 的长，利用菱形的面积列方程即可求解；（2）延长AD 交BF 于点L ，根据平行四边形的判定和性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、菱形的每条对角线平分一组对角等，可得：45BLA BAL ∠=∠=︒，进而得出2BF BC CD -=；（3）在0360α<<︒范围内，O H BF ''⊥即90MNH ∠='︒的情况有两种，准确的画出相应图形进行求解即可．【详解】解：（1）如图1，∵四边形ABCD 是菱形，∴90COD ∠=︒，118422OC AC ==⨯=，116322OD BD ==⨯=， ∴22435CD =+=，∴15862BE =⨯⨯， 解得245BE =．（2）如图2，延长AD 交BF 于点L ．∵//CF BD ，//FG BC ，∴四边形BCFG 是平行四边形，∵90ABF DEF ∠=∠=︒，90AOB ∠=︒，∴90GBF ABO BAC DAC ∠=︒-∠=∠=∠，∵////FG BC AD ，GFA BFC ∠=∠，∴LAF GFA BFC ∠=∠=∠，∵BFC GBF ∠=∠，∴GFA BFC LAF BAC DAC ∠=∠=∠=∠=∠，设GFA BFC LAF BAC DAC β∠=∠=∠=∠=∠=，∵AKD FKG ∠=∠，DAK GFK ∠=∠，FG AD =，∴()AKD FKG AAS ≅△△，∴AK FK =， ∴12BK AF AK ==， ∴3KAB KBA GBC GFC β∠=∠=∠=∠=，∴LFA LAF β∠==∠，∵90LFA LAF BAC DAC ∠+∠+∠+∠=︒， ∴45LFA LAF BAC DAC ∠=∠=∠=∠=︒，∴LF LA =，45BLA BAL ∠=∠=︒，∴22LA AB LB ==，∵BC AB BL ==，∴2BF BC BF BL LF LA AB -=-===，∵AB CD =，∴2BF BC CD -=．（3）当点D 与点G 重合时，则四边形ABCD 和四边形BCFD 都是菱形，∴60ADB BDC CDF ∠=∠=∠=︒，30DAO ∠=︒，∵9AD AB ==，∴1922BO DO AD ===，933AO CO DO ===． 当0180α<≤︒，且'90MNH ∠=︒时，如图3，∵9'2EN CO BO ===，932ME CO ==， ∴993993222MN +=+=， ∵'30NMH ∠=︒，∴9933339'tan 30232NH MN ++=⋅︒=⨯=， ∴'1993339815432224MNH S +++=⨯⨯=△．当180360α︒<<︒，且'90MNH ∠=︒时，如图4，则939939222MN -=-=， 9393933'tan 30232NH MN --=⋅︒=⨯=， ∴'1939933543812224MNH S ---=⨯⨯=△．综上所述，'MNH △．【点睛】 题目主要考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及全等三角形的性质和判定、二次根式和化简等知识点，综合运用这些知识点是解题关键．4．（1）215222y x x =--；（2）(1,1)；（3）12 【解析】【分析】（1）由对称轴可求得b ，可求得1l 的解析式，令0y =可求得A 点坐标，再利用待定系数法可求得2l 的表达式；（2）设P 点坐标为(1,)y ，由勾股定理可表示出2PC 和2PA ，由条件可得到关于y 的方程可求得y ，可求得P 点坐标；（3）可分别设出M 、N 的坐标，可表示出MN ，再根据函数的性质可求得MN 的最大值．【详解】解：（1）抛物线21:3l y x bx =-++的对称轴为1x =，12b ∴-=-，解得2b =， ∴抛物线1l 的解析式为2y x 2x 3=-++，令0y =，可得2230x x -++=，解得1x =-或3x =，A ∴点坐标为(1,0)-，抛物线2l 经过点A 、E 两点，∴可设抛物线2l 解析式为(1)(5)y a x x =+-， 又抛物线2l 交y 轴于点(20,5)D -， 552a ∴-=-，解得12a =， 2115(1)(5)2222y x x x x ∴=+-=--， ∴抛物线2l 的函数表达式为215222y x x =--； （2）设P 点坐标为(1,)y ，由（1）可得C 点坐标为(0,3)，22221(3)610PC y y y ∴=+-=-+，2222[1(1)]4PA y y =--+=+，PC PA =，226104y y y ∴-+=+，解得1y =，P ∴点坐标为(1,1)；（3）由题意可设215(,2)22M x x x --， //MN y 轴，2(,23)N x x x ∴-++， 令221523222x x x x -++=--，可解得1x =-或113x =， ①当1113x -<时，2222153113449(23)(2)4()2222236MN x x x x x x x =-++---=-++=--+， 显然411133-<，∴当43x =时，MN 有最大值496； ②当1153x <时，2222153113449(2)(23)4()2222236MN x x x x x x x =----++=--=--， 显然当43x >时，MN 随x 的增大而增大， ∴当5x =时，MN 有最大值，23449(5)12236⨯--=； 综上可知在点M 自点A 运动至点E 的过程中，线段MN 长度的最大值为12．【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理等知识点，在（1）中求得A 点的坐标是解题的关键，在（2）中用P 点的坐标分别表示出PA 、PC 是解题的关键，在（3）中用M 、N 的坐标分别表示出MN 的长是解题的关键，注意分类讨论．5．（1）2t ；（2）6﹣t ；（3）67或613或2或5；（4）t ＝32或2≤t ＜6 【解析】【分析】（1）由四边形PQFE 是矩形，可得PQ ⊥QF ，进而推出PQ ∥AD ，可得△BPQ ∽△BAD ，得出BP PQ AB AD=，即可求出PQ 的长； （2）由勾股定理得出BD 、AC 的长度，表示出AP 的长，CP 的长，利用△CPQ ∽△CAD ，得出PQ CP AD AC=，即可求出PQ 的长； （3）分两种情况：①当点P 在边BA 上运动时，由四边形PQFE 是矩形，可得QF ＝PE ＝t ，EF ＝PQ ＝2t ，当△EFD ∽△ADC 时，DF CD EF DA = ， 求得t ＝67，当△DFE ∽△ADC 时， DF AD EF CD =，求得t ＝613，②如图4，当点P 在边AC 上运动时，当△EFD ∽△ADC 时，则DF DC EF AD =，求得t ＝2，当△DFE ∽△ADC 时，DF AD EF CD =，求得t ＝5，综上所述，t 的值为67或613或2或5； （4）分三种情况讨论：①当矩形PQFE 的对角线交点O 在AD 上，②当矩形PQFE 的对角线交点O 在AC 上，③当矩形PQFE 的对角线交点O 在CD 上，即可得到t 的取值范围．【详解】解：（1）点P 在BA 上时，点P 在边BA 上运动的速度为2.5个单位长度，BP =2.5t , ∵四边形PQFE 是矩形，∴PQ ⊥QF ，∵点F 在线段BC 上，∴PQ ⊥BC ，∵AD ⊥BC ，∴PQ ∥AD ，∴∠BPQ ＝∠BAD ，∵∠B ＝∠B ，∴△BPQ ∽△BAD ，∴BP PQ AB AD=， ∵BP ＝2.5t ，AB ＝5，AD ＝4， ∴2.554t PQ =， ∴PQ ＝2t ，故答案为：2t ；（2）如图2，点P 在AC 5个单位长度， 由题意得：AP 5（t ﹣2）， ∵AD ⊥BC ，AB ＝5，AD ＝4，∴BD 2222543AB AD -=-=，∴CD ＝BC ﹣BD ＝5﹣3＝2，∴AC 22224225AD CD ++∴CP ＝AC ﹣AP ＝)5525235t -=，∵PQ∥AD，∴∠QPC=∠DAC，∠PQC=∠ADC，∴△CPQ∽△CAD，∴PQ CPAD AC=，即5352425tPQ-=，∴PQ＝6﹣t，故答案为：6﹣t；（3）分两种情况：①如图3，当点P在边BA上运动时，∵四边形PQFE是矩形，∴QF＝PE＝t，EF＝PQ＝2t，在Rt△BPQ中，BQ＝BP•cos∠B＝BP×32.5 1.55BDt t AB=⨯=，∴DF＝3﹣2.5t，当△EFD∽△ADC时，DF CD EF DA=∴3 2.52 24tt-=，∴t＝67，经检验符合题意，当△DFE∽△ADC时，DF AD EF CD=，∴3 2.54 22tt-=，∴t＝6 13，经检验符合题意，②如图4，当点P在边AC上运动时，∵四边形PQFE是矩形，∴QF＝PE＝t，EF＝PQ＝6﹣t，∴DF＝DC＝2，当△EFD∽△ADC时，则DF DC EF AD=，即22 64t=-，∴t＝2，经检验符合题意，当△DFE∽△ADC时，DF AD EF CD=，∴24 62t=-，∴t＝5，经检验符合题意，综上所述，t的值为67或613或2或5；（4）分三种情况讨论：①当矩形PQFE的对角线交点O在AD上时，如图5，∴QD＝12QF＝0.5t，∵BQ ＝1.5t ，BQ +QD ＝BD ＝3，∴1.5t +0.5t ＝3，∴t ＝32， ②当矩形PQFE 的对角线交点O 在AC 上时，∵点F 始终与点C 重合，点P 从点A 运动到点C ，4AC = ∴点P 在AC 上运动时间为2≤t ＜6，∴当2≤t ＜6时，矩形PQFE 的对角线交点O 在AC 上；③由题意知，矩形PQFE 的对角线交点O 不可能在CD 上；综上所述，t 的取值范围t ＝32或2≤t ＜6． 【点睛】本题考查锐角三角函数，勾股定理，等腰三角形性质，三角形相似判定与性质，可化为一元一次方程的分式方程，矩形性质，动点动图形问题，分类讨思想的运用，掌握锐角三角函数，勾股定理，等腰三角形性质，三角形相似判定与性质，可化为一元一次方程的分式方程，矩形性质，动点动图形问题，分类讨思想的运用，本题难度大，涉及知识多，是中考压轴题．6．（1）(6,0)-，45︒；（2）OC OD =，OC OD ⊥；理由见解析；（3）①(3,4)D -；②12DE CF = 【解析】【分析】（1）直接根据完全平方式的非负性，二次根式有意义的条件得出,a b 的值即可得出答案；（2）根据题意证明()OAC OBD SAS △≌△，根据全等三角形的性质以及三角形内角和定理可得结论；（3）①作DG x ⊥轴交x 轴于点G ，⊥CH x 轴交x 轴于点H ，证明()OGD CHO AAS ≌，即可得到答案；②延长CO 交BD 于点M ，根据题意证明COF DOM ≌，然后证明DCE MCE ≌，可得结论．【详解】解：（1）∵2220a b ab +-=，即2()0a b -+，∴6b =-，6a b ==-，∴A 点的坐标为(6,0)-，点(0,6)B -∴6OA OB ,∵90AOB ∠=︒，∴45OAB ∠=︒,故答案为：(6,0)-，45︒；（2）设AC 与y 轴交于点F ,BD 与OC 交于点G ，∵BE ⊥AC ，∴90BEF ∠=︒，在AOF 和BEF 中，90AOF BEF ∠=∠=︒，AFO BFE =∠∠，∴FAO FBE ∠=∠，即OAC OBD ∠=∠，在OAC 和OBD 中，OA OB OAC OBD AC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()OAC OBD SAS △≌△，∴OC OD =，C D ∠=∠，在OGD 和EGC 中，C D ∠=∠，OGD EGC ∠=∠，∴90DOC GEC ∠=∠=︒，∴OC OD ⊥，∴OC OD =，OC OD ⊥；（3）①作DG x ⊥轴交x 轴于点G ，⊥CH x 轴交x 轴于点H ，∵点C的坐标为(4，3)，∴4,3OH CH==，由(2)知,90OC OD COD=∠=︒，∵90DOG COH∠+∠=︒，90COH OCH∠+∠=︒，∴DOG OCH∠=∠，∵90OGD CHO∠=∠=︒，∴()OGD CHO AAS≌，∴3OG CH==,4GD HO==，∴(3,4)D-；②延长CO交BD于点M，∵ODB OCA∠=∠，90COD DOM∠=∠=︒，OC OD=，∴COF DOM≌，∴CF DM=，∵CE平分∠OCD，∴DCA OCA∠=∠，∵,90CE CE DEC MEC=∠=∠=︒，∴DCE MCE≌，∴12DE ME DM==，∴12DE CF=．【点睛】本题考查了完全平方式的非负性，二次根式有意义的条件，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．7．（1）点C （6，0）；（2）点1224(,)55M ；（3）满足条件的点G 坐标为34(0,)7或(0,-2)．【解析】【分析】（1）直接利用直线483y x =-+，令y=0，解方程即可； （2）结合图形，由S △AMB ＝S △AOB 分析出直线OM 平行于直线AB ，再利用两直线相交建立方程组2483y x y x =⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解方程组求得交点M 的坐标； （3）分两种情形：①当n ＞4时，如图2-1中，点Q 落在BC 上时，点Q 落在BC 上时，过G 作MN 平行于x 轴，过点F ，Q 作该直线的垂线，分别交于M ，N ．求出Q （n-4，n-2）．②当n ＜4时，如图2-2中，同法可得Q （4-n ，n +2），代入直线BC 的解析式解方程即可解决问题．【详解】解：（1）∵直线483y x =-+交x 轴正半轴于点C ． ∴当y =0时，48=03x -+， 解得x =6∴点C （6，0）故答案为（6，0）；（2）连接OM 并双向延长，∵S △AMB ＝S △AOB ，∴点O 到AB 与点M 到AB 的距离相等，∴直线OM 平行于直线AB ，∵AB 解析式为y ＝2x ＋8，故设直线OM 解析式为：2y x =，将直线OM 的解析式与直线BC 的解析式联立得方程组得：2483y x y x =⎧⎪⎨=-+⎪⎩， 解得：125245x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故点1224(,)55M ； （3）∵直线y ＝2x ＋8与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，∴令y=0，2x ＋8=0，解得x =-4，∴A （-4，0），令x =0，则y ＝8∴B （0，8），∵点F 为AB 中点，点F 横坐标为()1-4+0=-22，纵坐标为()10+8=42∴F （-2，4），设G （0，n ），①当n ＞4时，如图2-1中，点Q 落在BC 上时，过G 作MN 平行于x 轴，过点F ，Q 作该直线的垂线，分别交于M ，N ．∵四边形FGQP 是正方形，∴FG =QG ，∠FGQ =90°，∴∠MGF +∠NGQ =180°-∠FGQ=180°-90°=90°，∵FM ⊥MN ，QN ⊥MN ，∴∠M =∠N =90°，∴∠MFG +∠MGF =90°，∴∠MFG =∠NGQ ，在△FMG 和△GNQ 中，M N MFG NGQ FG GQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△FMG ≌△GNQ ，∴MG =NQ =2，FM =GN =n -4，∴Q （n -4，n -2），∵点Q 在直线483y x =-+上， ∴42(4)43n n -=--+， ∴34=7n , ∴34(0,)7G ． ②当n ＜4时，如图2-2中，点Q 落在BC 上时，过G 作MN 平行于x 轴，过点F ，Q 作该直线的垂线，分别交于M ，N ．∵四边形FGQP 是正方形，∴FG =QG ，∠FGQ =90°，∴∠MGF +∠NGQ =180°-∠FGQ=180°-90°=90°，∵FM ⊥MN ，QN ⊥MN ，∴∠M =∠N =90°，∴∠MFG +∠MGF =90°，∴∠MFG =∠NGQ ，在△FMG 和△GNQ 中，M N MFG NGQ FG GQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△FMG ≌△GNQ ，∴MG =NQ =2，FM =GN = 4-n ，∴Q （4- n ， n +2），∵点Q 在直线483y x =-+上， ∴42(4)83n n +=--+，∴n =-2，∴(0,-2)G ．综上所述，满足条件的点G 坐标为34(0,)7或(0,-2)． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，平行线性质，两直线联立解方程组，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．8．（1）291515404y x x =+-，y ＝﹣34x ﹣15；（2）面积最大值225，C （﹣10，﹣30）；（3）S ＝﹣2553t +160t ﹣240． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法将点A （﹣20，0），B （0，﹣15）代入抛物线y ＝ax 2+154x +c 即可求出抛物线的函数表达式；设AB 的函数表达式是y ＝kx +b ，然后利用待定系数法将点A （﹣20，0），B （0，﹣15）代入y ＝kx +b 即可求出直线AB 的函数表达式；（2）作CE ⊥OA 于E ，交AB 于F ，设C （a ，940a 2+154a ﹣15），F （a ，﹣34a ﹣15），根据题意表示出CF 的长度，进而表示出ABC S ∆，然后利用二次函数的性质求解即可；（3）作AN ⊥OD 于N ，AD 与FG 交于点I ，首先根据题意求出OC 的解析式，然后联立33154y x y x =⎧⎪⎨=--⎪⎩求出点D 的坐标，然后求出AD OD =，利用等腰三角形三线合一性质求出ON 的长度，进而利用勾股定理求出AN 的长度，表示出S △AON ，然后证明出△GFI ∽△OGH ∽△ANO ，利用相似三角形的性质表示出S △IJF ＝803（t ﹣3）2，S △GOH ＝253t ，最后利用面积之间的关系即可求出S 与t 之间的函数关系式．【详解】解：（1）由题意得，将点A （﹣20，0），B （0，﹣15）代入抛物线y ＝ax 2+154x +c 得， 21515(20)(20)04c a c =-⎧⎪⎨-+⨯-+=⎪⎩， ∴15940c a =-⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴291515404y x x =+-， 设AB 的函数表达式是y ＝kx +b ，将点A （﹣20，0），B （0，﹣15）代入y ＝kx +b 得，∴15200b k b =-⎧⎨-+=⎩， ∴1534b k =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴y ＝﹣34x ﹣15； （2）如图1，作CE ⊥OA 于E ，交AB 于F ，设C （a ，940a 2+154a ﹣15），F （a ，﹣34a ﹣15）， ∴FC ＝（﹣315)4a -﹣（2940a +154a ﹣15）＝﹣2940a ﹣92a ， ∴ABC S ∆＝12CF •AO ＝12（﹣2940a ﹣92a ）×20＝﹣94（a +10）2+225， ∴当a ＝﹣10时，ABC S ∆＝225，当a ＝﹣10时，y ＝29(10)40⨯-+()15104⨯-﹣15＝﹣30， ∴C （﹣10，﹣30）； （3）如图2，作AN ⊥OD 于N ，∵C （﹣10，﹣30），∴OC 的解析式是：y ＝3x ，由33154y x y x =⎧⎪⎨=--⎪⎩得， 412x y =-⎧⎨=-⎩， ∴D （﹣4，﹣12），∵A （﹣20，0），OD 22412+10 ∴AD ()2220412-++=20， ∴AD OD =，又∵AN ⊥OD ，∴ON ＝12OD =1022610AN AO ON -= S △AON ＝116102106022AN ON =⨯=， ∵OE 10，OD ＝10， ∴DE ＝1010，∴JE ＝3（1010），∴FJ ＝EF ﹣JE 10t ﹣3（1010t ）＝10（t ﹣3），∵OG AN FJ ∥∥， ∴GOH OAN DAN AJF ∠=∠=∠=∠，又∵90G ANO F ∠=∠=∠=︒，∴△GFI ∽△OGH ∽△ANO ， ∴IJF AON S S ∆∆＝（FJ AN ）2＝410(3)610t -2，GOH AON S S ∆∆＝（OG AN ）210610t ）2，∴S △IJF ＝803（t ﹣3）2，S △GOH ＝253t ， ∴S ＝S 正方形OEFG ﹣S △IJF ﹣S △GOH＝10t 2﹣53t 2﹣803（t ﹣3）2 ＝﹣2553t +160t ﹣240， 故答案是：S ＝﹣2553t +160t ﹣240． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数和一次函数表达式，二次函数与一次函数综合问题，相似三角形的性质和判定，二次函数中最大面积问题等知识，解题的关键是正确分析题目中的条件，设出点的坐标，根据相似三角形的性质以及勾股定理表示出相应的线段和面积．9．（1）二次函数的解析式为2416233y x x =-++；A （0，2）；（2）D （2，223）；（3）点P 的坐标为（2，22，22，6-2，6+【解析】【分析】（1）把B （3，6）代入y ＝ax 2﹣4ax +2，列方程求a 的值，求出二次函数的解析式，再令x ＝0，求出点A 的纵坐标；（2）先作点A 关于直线BC 的对称点E ，交抛物线于点D ，得到∠CBD ＝∠ABC ，求直线BD 的解析式且与二次函数的解析式组成方程组，解方程组求出点D 的坐标；（3）以AB 为腰的等腰三角形PAB ，可按以BP 为底边或以AP 为底边两种情况分类讨论，由AP 2＝AB 2或PB 2＝AB 2列方程，分别求出相应的点P 的坐标．【详解】解：（1）把B （3，6）代入y ＝ax 2﹣4ax +2，得9a ﹣12a +2＝6，解得，a ＝43-， ∴二次函数的解析式为2416233y x x =-++； 当x ＝0时，24162233y x x =-++=， ∴A （0，2）．（2）如图1，∵()22416422223333y x x x =-++=--+， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝2，∵点C 与点B （3，6）关于直线x ＝2对称，∴C （1，6），∴BC ∥x 轴，作点A （0，2）关于直线BC 的对称点E ，交抛物线于点D ，则E （0，10）， ∵BC 垂直平分AE ，∴AB ＝AE ，∴∠CBD ＝∠ABC ，设直线BD 的解析式为y ＝kx +10，则3k +10＝6， 解得，43k =-， ∴y ＝43-x +10， 由24103416233y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩， 得112223x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，2336x y =⎧⎨=⎩， ∴D （2，223）； （3）设P （2，m ），∵A （0，2），B （3，6），∴AB 2＝32+（6﹣2）2＝25，当AP ＝AB 时，如图2，由AP2＝AB2得，22+（m﹣2）2＝25，整理得，m2﹣4m﹣17＝0，解得，m1＝221-，+，m2＝221∴P（2，221-），+）或P′（2，221当PB＝AB时，如图3，由PB2＝AB2，得（3﹣2）2+（6﹣m）2＝25，整理得，m2﹣12m+12＝0，解得，m1＝66+-m2＝66∴P（2，626-P′（2，626+综上所述，点P的坐标为（2，2212，221-2，-2，626626+【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质、解一元二次方程、二次根式的化简及分类讨论数学思想的运用等知识与方法，熟练掌握相关知识是解题关键10．(1)2y x2x3=-++(2)直角三角形，理由见解析(3)Q (1,4)或Q【解析】【分析】 (1)将A (-1，0)代入解析式得到，结合对称轴12b x a=-=解出,a b 即可； (2)求出顶点P 坐标，分别计算出CP 、BC 、BP 的长度，得到CP 2+BC 2=BP 2，进而得到△BCP 为直角三角形；(3)分Q 点在直线BC 上方和下方结合相似三角形分类讨论即可．(1)解：∵抛物线23y ax bx =++经过A (-1，0)，其对称轴是直线x =1，∴，解出12a b =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为：2y x 2x 3=-++．(2)解：当x =1时代入抛物线解析式中得， ∴抛物线的顶点坐标P (1，4)，令2y x 2x 3=-++中0y =得到C (0，3)，令2y x 2x 3=-++中0x =得到B (3，0)，∴PC 2=(1-0)2+(4-3)2=2，PB 2=(1-3)2+(4-0)2=20，BC 2=(3-0)2+(0-3)2=18，∵PC 2+BC 2=2+18=20=PB 2，∴△PBC 为直角三角形，且∠PCB =90°．(3)解：分类讨论：情况一：当Q 点在直线BC 上方时，如下图所示：，由(2)中可知，△PBC为直角三角形，∴，∴，此时只要Q点与P点重合，必有，故Q点坐标为(1，4)；情况二：当Q点在直线BC下方时，如下图所示：由情况一可知，∠CBQ=∠ACO，故只要将直线BQ沿BC对折，Q点落在M处，此时∠CBM=∠CBQ=∠ACO，且△CBQ≌△CBM，CQ=CM，分别过Q、M作QE⊥y轴于E，作MF⊥y轴于F，∵CQ=CM，∠QEC=∠MFC=90°，∠MCF=∠QCE，∴△QCE≌△MCF(AAS)，∴MF=QE=1，CF=EC=4-3=1，∴M(-1,2)，设直线MB解析式为：y=mx+n，代入B(3,0)和M(-1,2)，得到，解出，∴MB解析式为：，与抛物线联立，即，解得：(为上述图中Q 1点坐标，符合题意)，(为B 点坐标，舍去)， 综上所述， Q 坐标存在，为(1,4)或．【点睛】 本题考查二次函数综合知识，准确把握二次函数相关性质，学会数形结合，分类讨论思想在抛物线中的应用是解题关键，本题属于中考常考压轴题型．11．(1)223y x x =---(2)点P 的坐标为()2,3-(3)点Q 的横坐标为1m =或2-【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）在x 轴上取点H ，使BH ＝BE ＝2，过点H （5，0）作BC 的平行线交抛物线于点P ，则点P 为所求点，进而求解；（3）分BC 是边、BC 是对角线两种情况，利用图形平移、中点公式和矩形的性质，分别求解即可．(1) 解：由题意得：123930b x a c a b c ⎧=-=⎪⎪=-⎨⎪++=⎪⎩， 解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩， 故抛物线的表达式为223y x x =---①；(2)解：在x 轴上取点H ，使2BH BE ==，过点()5,0H 作BC 的平行线交抛物线于点P ，则点P 为所求点，。
2022年中考数学压轴难题附答案
2022年中考数学压轴题1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过原点，与x轴交于另一点A，对称轴x＝﹣2交x轴于点C，直线l过点N（0，﹣2），且与x轴平行，过点P作PM⊥l 于点M，△AOB的面积为2．（1）求抛物线的解析式；（2）当∠MPN＝∠BAC时，求P点坐标；（3）①求证PM＝PC；②若点Q坐标为（0，2），直接写出PQ+PC的最小值．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过原点，且对称轴为x＝﹣2，∴c＝0，OA＝4，又△AOB的面积为2，∴BC＝1，即顶点B的坐标为（﹣2，﹣1），∴−b2a=−2，−b24a=−1，解得a=14，b＝1，∴抛物线的解析式为y=14x2+x；（2）∵BC＝1，AC＝2，∴tan∠BAC=12，设P点坐标为（x，14x2+x），如图1，当点P在y轴右侧，PM=14x2+x−（﹣2）=14x2+x+2，MN＝x，∴tan∠MPN=MNPM=x14x2+x+2=12，即x2﹣4x+8＝0，此方程无解；如图2，当点P在y轴左侧，此时PM=14x2+x+2，MN＝﹣x，∴tan∠MPN=MNPM=−x14x2+x+2=12，即x2+12x+8＝0，解得x1=−6+2√7，x2=−6−2√7，则y1=10−4√7，y2=10+4√7，∴点P坐标为（−6+2√7，10−4√7）或（−6−2√7，10+4√7）；（3）①如图3，过点P作PD⊥BC于点D，则PD＝x+2，DC=14x2+x，由（2）知PM =14x 2+x +2， 在Rt △PCD 中，PC 2=(x +2)2+(14x 2+x)2=116x 4+12x 3+2x 2+4x +4=PM 2， ∴PM ＝PC ；②由①知，PM ＝PC ，∴PQ +PC 的最小值为PQ +PM 的最小值，当Q 、P 、M 三点共线时，PQ +PM 有最小值为4．∴PQ +PC 的最小值为4．2．如图，抛物线y =−√33x 2−√3x +4√33与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接AC ．（1）求顶点D 的坐标及直线AC 的解析式；（2）如图，P 为直线AC 上方抛物线上的一动点，连接PC 、P A ，当△P AC 面积最大时，过P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，M 为抛物线对称轴上的一动点，过M 作y 轴的垂线，垂足为点N ．连接PM ，NQ ，求PM +MN +NQ 的最小值．解：（1）y =−√33x 2−√3x +4√33，令y =−√33x 2−√3x +4√33=0，解得：x ＝﹣4或1， 故点A 、B 的坐标分别为：（﹣4，1）、（1，0），点C （0，4√33），由抛物线的表达式知，顶点D （−32，25√312）； 将点A 、C 的坐标代入一次函数：y ＝kx +b 得：{−4k +b =0b =4√33，解得{k =√33b =4√33， 则直线AC 的表达式为：y =√33x +4√33；（2）设直线PQ 交AC 于点H ，设点P （x ，−√33x 2−√3x +4√33），则点H （x ，√33x +4√33）， 则△P AC 面积＝S △PHC +S △PHA =12×PH ×OA ＝2×[−√33x 2−√3x +4√33−（√33x +4√33）]=−√36（x 2+4x ），∵−√36＜0，故△P AC 面积存在最大值，此时x ＝﹣2，故点P （﹣2，2√3），则点Q （﹣2，0）；将点P 向右平移32个单位得到点P ′（−12，2√3），作点P ′关于y 轴的对称点P ″（12，2√3），连接P ″Q 交y 轴于点N ，过点N 作NM 垂直于函数的对称轴于点M ，则点M 、N 为所求点，理由：连接PM 、P ′N ，∵PP′∥MN，PP′＝MN=32，故四边形PPNM为平行四边形，故PM＝P′C＝P″C，则PM+MN+NQ＝P″C+MN+NQ＝MN+P″Q为最小，∴PM+MN+NQ最小值＝MN+P″Q=32+√(12+2)2+(2√3)2=3+√732．3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=−√33x2+2√33x+√3与x轴交于A、B两点（A 在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求△BCD的周长；（2）如图2，点P是第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，过P作PM∥y轴交BC于M，交x轴于E，过D作DN∥y轴交BC于N，当PM+MN最大时，将线段PM绕P点旋转得线段PM′，连接BM′，取BM′的中点F，求EF的最小值及PM+MN的最大值；（3）如图3，在（2）的条件下，当PM+MN最大时，将△BME沿射线BC方向平移(10−5√3)个单位得△B′M′E′，作射线OE′，点G是射线OE′上一动点，连接BG，将△BOG 沿直线BG翻折得△BO′G，在y轴上有一点T（0，2），连接TO′、OO′，△TOO′能否构成等腰三角形？若能，求出点G的坐标；若不能，请说明理由．解：（1）如图1，过D作DS⊥x轴于S，过C作CT⊥DS于T，令x＝0，得y=√3，∴C（0，√3）令y ＝0，−√33x 2+2√33x +√3=0，解得：x 1＝﹣1，x 2＝3，∴A （﹣1，0），B （3，0）， ∵y =−√33x 2+2√33x +√3=−√33（x ﹣1）2+4√33，∴D （1，4√33）有勾股定理可得：BC =√OB 2+OC 2=√32+(√3)2=2√3，BD =(4√33)2+22=2√213，CD =12+(4√33−√3)2=2√33 ∴△BCD 的周长＝BC +BD +CD ＝2√3+2√213+2√33=2√21+8√33； （2）设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，将B （3，0），C （0，√3）分别代入并解方程组得：y =−√33x +√3，∴N （1，2√33） 设P （m ，−√33m 2+2√33m +√3），则M （m ，−√33m +√3），过M 作MK ⊥DN 于K ， ∴PM =−√33m 2+2√33m +√3−（−√33m +√3）=−√33m 2+√3m ， ∵MK ⊥DN ，DS ⊥OB ，∴MK ∥OB ，∠MKN ＝∠BOC ＝90° ∴∠NMK ＝∠CBO ， ∴△MKN ∽△BOC ∴MN MK=BC OB，即：MN •OB ＝BC •MK ，3MN ＝2√3（m ﹣1）∴MN =2√3(m−1)3， ∴PM +MN =−√33m 2+√3m +2√3(m−1)3=−√33(m −52)2+17√312， ∵−√33＜0∴当x =52时，PM +MN 的最大值=17√312，PM =5√312， ∴P （52，7√312），以P 为圆心，PM 为半径作⊙P ，作点B 关于直线PE 的对称点B ′，连接PB ′交⊙P 于点M ′，连接BM ′，F 为BM ′中点，连接EF ， ∵BE ＝B ′E ，BF ＝M ′F ∴EF =12BM ′，∵PB ′＝PB =(3−52)2+(7√312)2=√18312， ∵P 、M ′、B ′三点共线时，B ′M ′最小值=√183−5√312，∴此时，EF 最小，且EF 的最小值=12B ′M ′=√183−5√324．（3）△TOO ′能构成等腰三角形．如图3，∵E （52，0），将△BME 沿射线BC 方向平移(10−5√3)个单位得△B ′M ′E ′， 连接EE ′，过E ′作E ′N ⊥OB 于N ， ∴E ′E ∥BC∴∠E ′EN ＝∠CBO ，∠E ′NE ＝∠COB ＝90° ∴△E ′EN ∽△CBO ∴E′N OC=EN OB=EE′BC，即：√3=EN 3=√32√3∴E ′N =10−5√32，EN =10√3−152∴ON ＝OE ﹣EN =52−10√3−152=10﹣5√3， ∴E ′（10﹣5√3，10−5√32） ∴直线OE ′的解析式为y =12x ， ∵△TOO ′为等腰三角形，∴TO ＝TO ′＝2或OO ′＝OT ＝2或O ′T ＝O ′O ①若TO ＝TO ′＝2时，由翻折得：BO ′＝BO ∴BT 垂直平分OO ′，即B 、G 、T 三点共线 易求得直线BT 解析式为：y =−23x +2 解方程组{y =−23x +2y =12x 得：{x =127y =67∴G （127，67）；②若OO ′＝OT ＝2时，∵BO ′＝BO ，∠OBG ＝∠O ′BG ∴BG 垂直平分OO ′，设BG 交OO ′于点Q ，则易求得Q （13，2√23）， ∴待定系数法可求得直线BG 的解析式为：y =−√24x +3√24∴G （3√2−3，3√2−32）；易求得点O ′（3﹣2√2，1），直线BQ 解析式为：y ＝（2√2−3）x +9﹣6√2∴G （30−12√217，15−6√217）； 综上所述，点G 的坐标为：G （127，67）或G （3√2−3，3√2−32）或G （30−12√217，15−6√217）．4．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点（与点A ，B 不重合），过点C 作直线PQ ，使得∠ACQ ＝∠ABC ．（1）求证：直线PQ 是⊙O 的切线．（2）过点A 作AD ⊥PQ 于点D ，交⊙O 于点E ，若⊙O 的半径为2，sin ∠DAC =12，求图中阴影部分的面积．解：（1）证明：如图，连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OA＝OC，∴∠CAB＝∠ACO．∵∠ACQ＝∠ABC，∴∠CAB+∠ABC＝∠ACO+∠ACQ＝∠OCQ＝90°，即OC⊥PQ，∴直线PQ是⊙O的切线．（2）连接OE，∵sin∠DAC=12，AD⊥PQ，∴∠DAC＝30°，∠ACD＝60°．∴∠ABC＝∠ACD＝60°，∴∠CAB＝90°﹣60°＝30°，∴∠EAO＝∠DAC+∠CAB＝60°，又∵OA＝OE，∴△AEO为等边三角形，∴∠AOE＝60°．∴S阴影＝S扇形﹣S△AEO＝S 扇形−12OA •OE •sin60° =60π360×22−12×2×2×√32 =2π3−√3．∴图中阴影部分的面积为2π3−√3．5．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 沿直线AB 翻折得到△ABD ，连接CD 交AB 于点M ．E 是线段CM 上的点，连接BE ．F 是△BDE 的外接圆与AD 的另一个交点，连接EF ，BF ．（1）求证：△BEF 是直角三角形； （2）求证：△BEF ∽△BCA ；（3）当AB ＝6，BC ＝m 时，在线段CM 上存在点E ，使得EF 和AB 互相平分，求m 的值．（1）证明：∵∠ACB ＝90°，将△ABC 沿直线AB 翻折得到△ABD ， ∴∠ADB ＝∠ACB ＝90°，∵∠EFB ＝∠EDB ，∠EBF ＝∠EDF ，∴∠EFB +∠EBF ＝∠EDB +∠EDF ＝∠ADB ＝90°， ∴∠BEF ＝90°， ∴△BEF 是直角三角形．（2）证明：∵BC ＝BD ， ∴∠BDC ＝∠BCD ， ∵∠EFB ＝∠EDB ， ∴∠EFB ＝∠BCD ，∵AC ＝AD ，BC ＝BD ， ∴AB ⊥CD ， ∴∠AMC ＝90°，∵∠BCD +∠ACD ＝∠ACD +∠CAB ＝90°， ∴∠BCD ＝∠CAB ， ∴∠BFE ＝∠CAB ， ∵∠ACB ＝∠FEB ＝90°， ∴△BEF ∽△BCA ．（3）解：设EF 交AB 于J ．连接AE ． ∵EF 与AB 互相平分， ∴四边形AFBE 是平行四边形， ∴∠EF A ＝∠FEB ＝90°，即EF ⊥AD ， ∵BD ⊥AD ， ∴EF ∥BD ， ∵AJ ＝JB ， ∴AF ＝DF ， ∴FJ =12BD =m 2， ∴EF ＝m ，∵△ABC ∽△CBM ， ∴BC ：MB ＝AB ：BC ，∴BM =m 26，∵△BEJ ∽△BME ， ∴BE ：BM ＝BJ ：BE ， ∴BE =m √2， ∵△BEF ∽△BCA ， ∴AC EF=BC BE，第 11 页 共 11 页 即√36−m 2m =m m √2，解得m ＝2√3（负根已经舍弃）．。
2022届中考数学压轴大题押题含答案解析
2022年中考数学压轴题1．定义：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，△ABC 的边AB 平行于x 轴．若△ABC 的三个顶点都在二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象上，则称△ABC 为该二次函数图象的“伴随三角形”．△ABC 为抛物y =−12x 2+x +52的“伴随三角形”．（1）若点A 是抛物线与y 轴的交点，求点B 的坐标．（2）若点C 在该抛物线的对称轴上，且到边AB 的距离为2，求△ABC 的面积．（3）设A 、C 两点的坐标分别为（m ，y 1）、（2m ，y 2），比较y 1与y 2的大小，并求m 的取值范围．（4）△ABC 是抛物线y =−12x 2+nx −12n 2+2n ﹣3的“伴随三角形”，点A 在点B 的左侧，且AB ＝2，点C 的横坐标是点A 的横坐标的2倍，设该抛物线在n ﹣1≤x ≤2n ﹣2上最高点的纵坐标为y 0，当12≤y 0≤6时，直接写出n 的取值范围和△ABC 面积的最大值． 解：（1）当x ＝0时，y =52，∴A(0，52)，函数的对称轴：x =−12×(−12)=1， 故点B 的坐标为：（2，52）；（2）当x ＝1时，y =−12+1+52=3， ∴C （1，3），∴y A ＝y B ＝3﹣2＝1，∴当y ＝1时，即−12x 2+x +52=1，解得：x 1＝﹣1，x 2＝3，∴A （﹣1，1），B （3，1），∴AB ＝3﹣（﹣1）＝4，S △ABC =12×4×2＝4；（3）点A （m ，−12m 2+m +52），点C （2m ，﹣2m 2+2m +52），当m ＝1时，△ABC 不成立，当−12m 2+m +52=−2m 2+2m +52时， 解得：m 1＝0，m 2=23，此时，△ABC 不成立；①当0＜m ＜23时，y 1＜y 2，②当m ＞23且m ≠1时，y 1＞y 2，③当m ＜0时，y 1＞y 2，综上：当0＜m ＜23时，y 1＜y 2；当m ＜0或m ＞23且m ≠1时，y 1＞y 2；（4）y =−12x 2+nx −12n 2+2n ﹣3=−12（x ﹣n ）2+2n ﹣3，故函数的顶点为（n ，2n ﹣3），①当2n ﹣2≤n 时，即n ≤2，当x ＝2n ﹣2时，y 0=−12(2n −2−n)2+2n −3=−12n 2+4n −5，∵12≤y 0≤6，则12≤−12n 2+4n ﹣5≤6， 解得：4−√5≤n ≤2；②当2n ﹣2＞n 时，即n ＞2，y 0＝2n ﹣3，则12≤2n ﹣3≤6， ∴74≤n ≤92； 综上，n 的取值范围为：4−√5≤n ≤92；当n =92时，y =−12(x −92)2+6，当x B =112时，y =−12+6=12，当x A =72时，x C ＝7时，y =−12(7−92)2+6=238，∴n =112−238=218，△ABC面积的最大值=12×2×218=218．故n的取值范围为：4−√5≤n≤92，△ABC面积的最大值为218．2．如图所示：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点P为边AC上一点（点P不与A、C重合）．CD⊥BP交BP延长线于点D，点E在BP上且AE⊥AD．（1）求证：∠BAE＝∠DAC；（2）点P在边AC上运动的过程中，∠DAC+∠ABE的大小是否发生变化？若不变，求出该值，若变化，请说明理由．（3）记△BCP的面积为S，若点P为AC中点且SPD=5，求PE的长．解：（1）证明∵AE⊥AD，故∠EAD＝90°＝∠EAC+∠CAD，∵∠BAC＝∠BAE+∠EAC，∴∠BAE＝∠DAC；（2）不变，理由：∵∠ABP+∠APB＝90°，∠DPC+∠DCP＝90°，又∵∠APB＝∠DPC，∴∠ABE＝∠DPC，∴在△AEB和△ADC中，∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠ACD，AB＝AC，∴△AEB≌△ADC（AAS），∴BE＝CD，AE＝AD，∴△AED为等腰直角三角形，∴∠BAE+∠ABE＝∠DAC+∠ABE＝∠AED＝45°，即∠DAC+∠ABE的大小不变，为45°；（3）由（2）知△ADE 为等腰直角三角形，过点A 作AH ⊥BD 于点H ，设CD ＝d ，∵∠AHP ＝∠CDP ＝90°，∠APH ＝∠CPD ，AP ＝PC ，∴△AHP ≌△CDP （AAS ），∴AH ＝CD ＝d ，HP ＝PD ，在等腰Rt △ABD 中，EH ＝AH ＝d ＝HD ，则HP ＝DP =12d ，在△BPC 中，BP ＝BE +EH +HP ＝CD +EH +HP ＝2d +12d =52d ，则S =12×BP •CD =12×52d •d =54d 2， ∵S PD =5，∴54d 212d =52d ＝5，解得：d ＝2，PE ＝PH +EH =32d ＝3．3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以斜边AB 上的中线CD 为直径作⊙O ，与BC 交于点M ，与AB 的另一个交点为E ，过M 作MN ⊥AB ，垂足为N ．（1）求证：MN 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的直径为5，sin B =35，求ED 的长．【解答】（1）证明：连接OM，如图1，∵OC＝OM，∴∠OCM＝∠OMC，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∴CD=12AB＝BD，∴∠DCB＝∠DBC，∴∠OMC＝∠DBC，∴OM∥BD，∵MN⊥BD，∴OM⊥MN，∵OM过O，∴MN是⊙O的切线；（2）解：连接DM，CE，∵CD是⊙O的直径，∴∠CED＝90°，∠DMC＝90°，即DM⊥BC，CE⊥AB，由（1）知：BD＝CD＝5，∴M为BC的中点，∵sin B=3 5，∴cos B=4 5，在Rt△BMD中，BM＝BD•cos B＝4，∴BC＝2BM＝8，在Rt△CEB中，BE＝BC•cos B=32 5，∴ED＝BE﹣BD=325−5=75．4．已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r．（1）如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN＝80°，求∠ACB的度数；（2）如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？请说明理由；（3）若PC交⊙O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）．【解答】解：（1）如图1，连接OA，OB，∵P A，PB为⊙O的切线，∴∠P AO＝∠PBO＝90°，∵∠APB+∠P AO+∠PBO+∠AOB＝360°，∴∠APB+∠AOB＝180°，∵∠APB＝80°，∴∠AOB＝100°，∴∠ACB＝50°；（2）如图2，当∠APB ＝60°时，四边形APBC 是菱形， 连接OA ，OB ，由（1）可知，∠AOB +∠APB ＝180°，∵∠APB ＝60°，∴∠AOB ＝120°，∴∠ACB ＝60°＝∠APB ，∵点C 运动到PC 距离最大，∴PC 经过圆心，∵P A ，PB 为⊙O 的切线，∴P A ＝PB ，∠APC ＝∠BPC ＝30°，又∵PC ＝PC ，∴△APC ≌△BPC （SAS ），∴∠ACP ＝∠BCP ＝30°，AC ＝BC ，∴∠APC ＝∠ACP ＝30°，∴AP ＝AC ，∴AP ＝AC ＝PB ＝BC ，∴四边形APBC 是菱形；（3）∵⊙O 的半径为r ，∴OA ＝r ，OP ＝2r ，∴AP =√3r ，PD ＝r ，∵∠AOP ＝90°﹣∠APO ＝60°，∴AD ̂的长度=60°π⋅r 180°=π3r ， ∴阴影部分的周长＝P A +PD +AD ̂=√3r +r +π3r ＝（√3+1+π3）r ．。
2022届中考数学压轴题押题含答案解析
2022年中考数学压轴题1．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形． （1）已知△ABC 是比例三角形，AB ＝2，BC ＝3，请直接写出所有满足AC 条件的长； （2）如图，点A 在以BC 为直径的圆上，BD 平分∠ABC ，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°． ①求证：△ABC 为比例三角形； ②求BD AC的值．（3）若以点C 为顶点的抛物线y ＝mx 2﹣4mx ﹣12m （m ＜0）与x 轴交于A 、B 两点，△ABC 是比例三角形，若点M （x 0，y 0）为该抛物线上任意一点，总有n −√3≤−16√33my 02﹣40√3y 0+298成立，求实数n 的最大值．解：（1）∵AB ＝2，BC ＝3 ∴1＜AC ＜5①若AB 2＝BC •AC ，则AC =AB 2BC =43②若BC 2＝AB •AC ，则AC =BC 2AB =92③若AC 2＝AB •BC ＝6，则AC =√6综上所述，满足条件的AC 的长为43，92，√6．（2）①证明：∵AD ∥BC∴∠DAC ＝∠ACB ，∠ADB ＝∠DBC ∵BD 平分∠ABC ∴∠ABD ＝∠DBC ∴∠ABD ＝∠ADB ∴AB ＝AD∵点A 在以BC 为直径的圆上 ∴∠BAC ＝90°∵∠BAC ＝∠CDA ＝90°，∠ACB ＝∠DAC ∴△ABC ∽△DCA ∴BC AC=AC DA∴AC 2＝BC •DA ＝BC •AB ∴△ABC 为比例三角形②∵∠BAC ＝∠CDA ＝90°，AB ＝AD ∴BC 2＝AB 2+AC 2，AC 2＝AD 2+CD 2＝AB 2+CD 2 ∵AD ∥BC∴∠BCD ＝180°﹣∠ADC ＝90°∴BD 2＝BC 2+CD 2＝AB 2+AC 2+AC 2﹣AB 2＝2AC 2 ∴BD =√2AC ∴BD AC=√2（3）∵y ＝mx 2﹣4mx ﹣12m ＝m （x ﹣2）2﹣16m （m ＜0） ∴抛物线开口向下，顶点C （2，﹣16m ） ∵y ＝0时，mx 2﹣4mx ﹣12m ＝0 解得：x 1＝﹣2，x 2＝6∴A （﹣2，0），B （6，0），AB ＝8∴AC ＝BC =√(2+2)2+(−16m)2=4√1+16m 2 ∵△ABC 是比例三角形 ∴AB 2＝BC •AC 或AC 2＝AB •BC ∴AB ＝AC ∴4√1+16m 2=8解得：m 1=√34（舍去），m 2=−√34∴抛物线解析式为y =−√34x 2+√3x +3√3=−√34（x ﹣2）2+4√3 ∵M （x 0，y 0）在抛物线上 ∴y 0≤4√3设z =−16√33my 02﹣40√3y 0+298＝4y 02﹣40√3y 0+298＝4（y 0﹣5√3）2﹣2∴当y0≤4√3时，z随x的增大而减小∴y0＝4√3时，z最小值＝4×（4√3−5√3）2﹣2＝4×3﹣2＝10∵n−√3≤z恒成立，即n−√3≤10∴n的最大值为10+√32．抛物线y=−29x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D，点P为抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C，D重合）．过点C作直线PB的垂线交PB于点E，交x轴于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）当△PCF的面积为5时，求点P的坐标；（3）当△PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．解：（1）函数的表达式为：y=−29（x+1）（x﹣5）=−29x2+89x+109；（2）抛物线的对称轴为x＝2，则点C（2，2），设点P（2，m），将点P、B的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：函数PB的表达式为：y=−13mx+5m3，∵CE⊥PB，故直线CE表达式中的k值为3m，将点C的坐标代入一次函数表达式，同理可得直线CE的表达式为：y=3mx+(2−6m)，解得：x＝2−2m 3，故点F （2−2m3，0）， S △PCF =12×PC ×DF =12（2﹣m ）（2−2m 3−2）＝5， 解得：m ＝5或﹣3，故点P （2，﹣3）或（2，5）； （3）由（2）确定的点F 的坐标得： CP 2＝（2﹣m ）2，CF 2＝（2m 3）2+4，PF 2＝（2m 3）2+m 2，①当CP ＝CF 时，即：（2﹣m ）2＝（2m 3）2+4，解得：m ＝0或365（0舍去），②当CP ＝PF 时，同理可得：m =−9±3√132， ③当CF ＝PF 时，同理可得：m ＝±2（舍去2）， 故点P （2，365）或（2，﹣2）或（2，−9−3√132）或（2，−9+3√132） 3．如图，直线y =−23x +4与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线y ＝ax 2+103x +c 经过B 、C 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，当△BEC 面积最大时，请求出点E 的坐标；（3）在（2）的结论下，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，连接AM ，点Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得以P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）当x ＝0时，y ＝4， ∴B （0，4），当y ＝0时，−23x +4＝0， x ＝6， ∴C （6，0），把B （0，4）和C （6，0）代入抛物线y ＝ax 2+103x +c 中得： {c =436a +103×6+c =0， 解得：{a =−23c =4，∴抛物线的解析式为：y =−23x 2+103x +4； （2）如图1，过E 作EG ∥y 轴，交直线BC 于G ， 设E （m ，−23m 2+103m +4），则G （m ，−23m +4）， ∴EG ＝（−23m 2+103m +4）﹣（−23m +4）=−23m 2+4m ， ∴S △BEC =12EG •OC =12×6（−23m 2+4m ）＝﹣2（m ﹣3）2+18， ∵﹣2＜0，∴S 有最大值，此时E （3，8）；（3）y =−23x 2+103x +4=−23（x 2﹣5x +254−254）+4=−23（x −52）2+496； 对称轴是：x =52， ∴A （﹣1，0）∵点Q 是抛物线对称轴上的动点， ∴Q 的横坐标为52，在抛物线上存在点P ，使得以P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形； ①如图2，以AM 为边时，由（2），可得点M 的横坐标是3， ∵点M 在直线y =−23x +4上， ∴点M 的坐标是（3，2），又∵点A 的坐标是（﹣1，0），点Q 的横坐标为52，根据M 到Q 的平移规律：可知：P 的横坐标为−32， ∴P （−32，−52）；②如图3，以AM 为边时，四边形AMPQ 是平行四边形， 由（2），可得点M 的横坐标是3， ∵A （﹣1，0），且Q 的横坐标为52，∴P 的横坐标为132，∴P （132，−52）；③以AM 为对角线时，如图4，∵M 到Q 的平移规律可得P 到A 的平移规律， ∴点P 的坐标是（−12，136），综上所述，在抛物线上存在点P ，使得以P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形， 点P 的坐标是（−32，−52）或（132，−52）或（−12，136）．4．如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，连接AC ，CE ⊥AB 于点E ，D 是直径AB 延长线上一点，且∠BCE ＝∠BCD ． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若AD ＝8，BE CE=12，求CD 的长．（1）证明：连接OC ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵CE ⊥AB ，∴∠CEB ＝90°，∴∠ECB +∠ABC ＝∠ABC +∠CAB ＝90°， ∴∠A ＝∠ECB ， ∵∠BCE ＝∠BCD ， ∴∠A ＝∠BCD ， ∵OC ＝OA ， ∴∠A ＝∠ACO ， ∴∠ACO ＝∠BCD ，∴∠ACO +∠BCO ＝∠BCO +∠BCD ＝90°， ∴∠DCO ＝90°， ∴CD 是⊙O 的切线； （2）解：∵∠A ＝∠BCE ， ∴tan A =BC AC =tan ∠BCE =BE CE =12， 设BC ＝k ，AC ＝2k ， ∵∠D ＝∠D ，∠A ＝∠BCD ， ∴△ACD ∽△CBD ， ∴BC AC=CD AD=12，∵AD ＝8， ∴CD ＝4．5．如图，C ，D 为⊙O 上两点，且在直径AB 两侧，连结CD 交AB 于点E ，G 是AC ̂上一点，∠ADC ＝∠G ． （1）求证：∠1＝∠2．（2）点C 关于DG 的对称点为F ，连结CF ．当点F 落在直径AB 上时，CF ＝10，tan ∠1=25，求⊙O 的半径．解：（1）∵∠ADC＝∠G，∴AĈ=AD̂，∵AB为⊙O的直径，∴BĈ=BD̂，∴∠1＝∠2；（2）如图，连接DF，∵AĈ=AD̂，AB是⊙O的直径，∴AB⊥CD，CE＝DE，∴FD＝FC＝10，∵点C，F关于DG对称，∴DC＝DF＝10，∴DE＝5，∵tan∠1=2 5，∴EB＝DE•tan∠1＝2，∵∠1＝∠2，∴tan∠2=2 5，∴AE=DEtan∠2=252，∴AB＝AE+EB=29 2，29 4．∴⊙O的半径为。
2022届中考数学压轴题押题附答案解析
2022年中考数学压轴题1．已知：抛物线y ＝2ax 2﹣ax ﹣3（a +1）与x 轴交于点AB （点A 在点B 的左侧）．（1）不论a 取何值，抛物线总经过第三象限内的一个定点C ，请直接写出点C 的坐标；（2）如图，当AC ⊥BC 时，求a 的值和AB 的长；（3）在（2）的条件下，若点P 为抛物线在第四象限内的一个动点，点P 的横坐标为h ，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，交BC 于点D ，作PE ∥AC 交BC 于点E ，设△ADE 的面积为S ，请求出S 与h 的函数关系式，并求出S 取得最大值时点P 的坐标．解：（1）y ＝2ax 2﹣ax ﹣3（a +1）＝a （2x 2﹣x ﹣3）﹣3，令2x 2﹣x ﹣3＝0，解得：x =32或﹣1，故第三象限内的一个定点C 为（﹣1，﹣3）；（2）函数的对称轴为：x =−−a 2×2a =14，设函数对称轴与x 轴交点为M ，则其坐标为：（14，0）， 则CM =√(14−1)2+(0+3)2=134， 则AB ＝2CM =132， 则点A 、B 的坐标分别为：（﹣3，0）、（72，0）； 将点A 的坐标代入函数表达式得：18a +3a ﹣3a ﹣3＝0，解得：a =16．（3）过点E 作EF ⊥PH ，设：∠ABC ＝α，则∠ACB ＝∠HPE ＝∠DEF ＝α，将点B 、C 坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC 的表达式为：y =23x −73，抛物线的表达式为：y =13x 2−16x −72，设点P （h ，13h 2−16h −72），则点D （h ，23h −73）， 故tan ∠ACB ＝tan α=23，则sin α=√13， y D ﹣y E ＝DE sin α＝PD sin α•sin α，S ＝S △ABE ﹣S △ABD =12×AB ×（y D ﹣y E ）=12×132×413（23h −73−13h 2+16h +72）=−13h 2+56h +76=−13（h −54）2+8148， ∵−13＜0， ∴S 有最大值，当h =54时，S 的最大值为8148，此时点P （54，−5116）． 2．如图，抛物线y ＝mx 2−52mx ﹣4与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，与y 轴交于点C ，且x 2﹣x 1=112．（1）求抛物线的解析式；（2）若P （x 3，y 3），Q （x 4，y 4）是抛物线上的两点，当a ≤x 3≤a +2，x 4≥92时，均有y 3≤y 4，求a 的取值范围；（3）抛物线上一点D （1，﹣5），直线BD 与y 轴交于点E ，动点M 在线段BD 上，当∠BDC ＝∠MCE 时，求点M 的坐标．解：（1）函数的对称轴为：x=−b2a=54=x1+x22，而且x2﹣x1=112，将上述两式联立并解得：x1=−32，x2＝4，则函数的表达式为：y＝m（x+32）（x﹣4）＝m（x2﹣4x+32x﹣6），即：﹣6m＝﹣4，解得：m=2 3，故抛物线的表达式为：y=23x2−53x﹣4；（2）由（1）知，函数的对称轴为：x=5 4，则x=92和x＝﹣2关于对称轴对称，故其函数值相等，又a≤x3≤a+2，x4≥92时，均有y3≤y4，结合函数图象可得：{a≥−2a+2≤92，解得：﹣2≤a≤52；（3）如图，连接BC、CM，过点D作DG⊥OE于点G，而点B、C、D的坐标分别为：（4，0）、（0，﹣4）、（1，﹣5），则OB＝OC＝4，CG＝GD＝1，BC＝4√2，CD=√2，故△BOC 、△CDG 均为等腰直角三角形，∴∠BCD ＝180°﹣∠OCB ﹣∠GCD ＝90°，在Rt △BCD 中，tan ∠BDC =BC CD =√2√2=4， ∠BDC ＝∠MCE ，则tan ∠MCE ＝4，将点B 、D 坐标代入一次函数表达式：y ＝mx +n 并解得： 直线BD 的表达式为：y =53x −203，故点E （0，−203）， 设点M （n ，53n −203），过点M 作MF ⊥CE 于点F ， 则MF ＝n ，CF ＝OF ﹣OC =83−5n3，tan ∠MCE =MF CF =n 83−5n 3=4， 解得：n =3223，故点M （3223，−10023）． 3．在平面直角坐标系中，抛物线y =−12x 2+bx +c ，经过点A （1，3）、B （0，1），过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点C（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）如图1，点G 是BC 上方抛物线上的一个动点，分别过点G 作GH ⊥BC 于点H 、作GE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点F ，在点G 运动的过程中，△GFH 的周长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，过A 点的直线垂直x 轴于点M ，点N 为直线AM 上任意一点，当△BCN 为直角三角形时，请直接写出点N 的坐标．解：（1）∵抛物线y=−12x2+bx+c，经过点A（1，3）、B（0，1），∴{−12+b+c=0c=1解得：b=52，c＝1∴抛物线的表达式为：y=−12x2+52x+1∵−b2a=52，4ac−b24a=338∴顶点坐标为：(52，338)；（2）∵A（1，3），∴把y＝3代入y=−12x2+52x+1，可得x1＝1，x，2＝4∴C（4，3）由B（0，1）、C（4，3）得直线BC的表达式为y=12x+1，BC=2√5延长CA与y轴交于点I，则I（0，3）∵点G是BC上方抛物线上的一个动点，分别过点G作GH⊥BC于点H、作GE⊥x轴于点E，交BC于点F，∴△BCI∽△FGH∴∠BCI＝∠FGH∵tan∠BCI=BICI=24=12，∴tan∠FGH=1 2设G(x ，−12x 2+52x +1)，则F(x ，12x +1)∴GF =(−12x 2+52x +1)−(12x +1)=−12x 2+2x =−12(x −2)2+2∴当x ＝2时，GF 最长，此时△GFH 周长最大．∴GF ＝2∵BC FG =BI FH∴FH =FG⋅BI BC =2×22√5=2√55 ∴GH =4√55△GFH 的周长为：GF +FH +GH ＝2+2√55+4√55=6√55+2； （3）如图2，由题意，设N （1，n ）∵B （0，1）、C （4，3）∴BN 2＝12+（n ﹣1）2＝n 2﹣2n +2，CN 2＝32+（n ﹣3）2＝n 2﹣6n +18，BC 2＝42+22＝20当∠BNC ＝90°时，BN 2+CN 2＝BC 2，即（n 2﹣2n +2）+（n 2﹣6n +18）＝20得n 1＝0，n 2＝4；当∠CBN ＝90°时，BN 2+BC 2＝CN 2，即（n 2﹣2n +2）+20＝n 2﹣6n +18得n 3＝﹣1当∠BCN ＝90°时，BC 2+CN 2＝BN 2，即20+n 2﹣6n +18＝n 2﹣2n +2得n 4＝9综上所述：N 点的坐标为：（1，0）或（1，4）或（1，﹣1）或（1，9）4．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E 是△ABC 中∠A 的遥望角，若∠A ＝α，请用含α的代数式表示∠E ．（2）如图2，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD̂=BD ̂，四边形ABCD 的外角平分线DF 交⊙O 于点F ，连结BF 并延长交CD 的延长线于点E ．求证：∠BEC 是△ABC 中∠BAC 的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE ，AF ，若AC 是⊙O 的直径．①求∠AED 的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD=12（∠ACD﹣∠ABC）=12∠A=12α，（2）如图1，延长BC到点T，∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC＝180°，又∵∠FDE+∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，∵AD̂=BD̂，∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）①如图2，连接CF，∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，∴∠BAC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BAC，∴∠BFC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，∴∠BEC＝∠FCE，∵∠FCE＝∠F AD，∴∠BEC＝∠F AD，又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，∴△FDE≌△FDA（AAS），∴DE＝DA，∴∠AED＝∠DAE，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠AED+∠DAE＝90°，∴∠AED＝∠DAE＝45°，②如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，∵BE 平分∠ABC ，∴∠F AC ＝∠EBC =12∠ABC ＝45°，∵∠AED ＝45°，∴∠AED ＝∠F AC ，∵∠FED ＝∠F AD ，∴∠AED ﹣∠FED ＝∠F AC ﹣∠F AD ，∴∠AEG ＝∠CAD ，∵∠EGA ＝∠ADC ＝90°，∴△EGA ∽△ADC ，∴AE AC =AG CD ，∵在Rt △ABG 中，AB ＝8，∠ABG ＝45°，∴AG =√22AB =4√2，在Rt △ADE 中，AE =√2AD ，∴√2AD AC =4√25， ∴AD AC =45， 在Rt △ADC 中，AD 2+DC 2＝AC 2，∴设AD ＝4x ，AC ＝5x ，则有（4x ）2+52＝（5x ）2，∴x =53，∴ED ＝AD =203，∴CE＝CD+DE=35 3，∵∠BEC＝∠FCE，∴FC＝FE，∵FM⊥CE，∴EM=12CE=356，∴DM＝DE﹣EM=5 6，∵∠FDM＝45°，∴FM＝DM=5 6，∴S△DEF=12DE•FM=259．5．如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF．（1）设⊙O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长．（2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P，①求证：PE＝PF．②若DF＝EF，求∠BAC的度数．（1）解：∵OE⊥AB，∠BAC＝30°，OA＝1，∴∠AOE＝60°，OE=12OA=12，AE＝EB=√3OE=√32，∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴∠C＝60°，∵OC＝OB，∴△OCB是等边三角形，∵OF＝FC，∴BF ⊥AC ，∴∠AFB ＝90°，∵AE ＝EB ，∴EF =12AB =√32．（2）①证明：过点F 作FG ⊥AB 于G ，交OB 于H ，连接EH ． ∵∠FGA ＝∠ABC ＝90°，∴FG ∥BC ，∴△OFH ∽△OCB ，∴FH BC =OF OC =12，同理OE BC =12， ∴FH ＝OE ，∵OE ⊥AB ．FH ⊥AB ，∴OE ∥FH ，∴四边形OEHF 是平行四边形，∴PE ＝PF ．②∵OE ∥FG ∥BC ，∴EG GB =OF FC =1，∴EG ＝GB ，∴EF ＝FB ，∵DF ＝EF ，∴DF ＝BF ，∵DO ＝OB ，∴FO ⊥BD ，∴∠AOB ＝90°，∵OA ＝OB ，∴△AOB 是等腰直角三角形，∴∠BAC ＝45°．。
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一、解答题1．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0），点B（1，0）（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD．直线y＝经过点A，且与y轴交于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)点N是抛物线上的一点，当△BDN是以DN为腰的等腰三角形时，求点N的坐标；(3)点F为线段AE上的一点，点G为线段OA上的一点，连接FG，并延长FG与线段BD 交于点H（点H在第一象限），当∠EFG＝3∠BAE且HG＝2FG时，求出点F的坐标．2．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m+1．（1）当m＝2时．①求函数顶点坐标；②当n≤x≤n+1时，该函数的最大值为3，求n的值．（2）当x≤2时，函数图象上有且只有2个点到x轴的距离为2，求m的取值范围．（3）已知点P为二次函数上一点，点P的横坐标为﹣3m+2，点M的坐标为（2m，m），以PM为对角线构造矩形PQMN，矩形的各边与坐标轴垂直，当抛物线在矩形PQMN内部的函数部分y随着x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．3．给出定义：有两个内角分别是它们对角的两倍的四边形叫做倍对角四边形．（1）如图1，在倍对角四边形ABCD中，∠D＝2∠B，∠A＝2∠C，求∠B与∠C的度数之和；（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO，∠OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，∠AFE＝2∠EAF．求证：四边形DBCF是倍对角四边形；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G．当4DH＝3BG时，求△BGH与△ABC的面积之比．4．如果抛物线1C 的顶点在抛物线2C 上，同时，抛物线2C 的顶点在抛物线1C 上，那么我们称抛物线1C 与2C 关联．（1）已知抛物线①221y x x =+-，判断下列抛物线②221y x x =-++；③221y x x =++与已知抛物线①是否关联，并说明理由．（2）抛物线211:(1)28C y x =+-，动点P 的坐标为(,2)t ，将抛物线绕点(,2)P t 旋转180︒得到抛物线2C ，若抛物线1C 与2C 关联，求抛物线2C 的解析式．（3）点A 为抛物线211:(1)28C y x =+-的顶点，点B 为与抛物线1C 关联的抛物线顶点，是否存在以AB 为斜边的等腰直角ABC ，使其直角顶点C 在y 轴上，若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线26y ax bx =+-交x 轴于(2,0),(6,0)A B -两点，交y 轴于点C (0,6)-，点Q 为线段BC 上的动点．（1）求抛物线的解析式； （2）求QA QO +的最小值；（3）过点Q 作QP AC 交抛物线的第四象限部分于点P ，连接,PA PB ，记PAQ △与PBQ △的面积分别为12,S S ，设12S S S =+，当S 最大时，求点P 的坐标，并求S 的最大值．6．在平面直角坐标系中，过点()3,4A 的抛物线24y ax bx =++与x 轴交于点()1,0B -，与y 轴交于点C ，过点A 作AD x ⊥轴于点D ．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，点P 是直线AB 上方抛物线上的一个动点，连接PD 交AB 于点Q ，连接AP ，当2AQD APQ S S =△△时，求点P 的坐标．（3）如图2，点G 是线段OC 上一个动点，连结DG ，求12DG CG +的最小值．7．如图1，在ABC 中，90,ACB CD ∠=︒平分ACB ∠，且AD BD ⊥于点D ．（1）判断ABD △的形状；（2）如图2，在（1）的结论下，若22,3,75BQ DQ BQD ==∠=︒，求AQ 的长； （3）如图3，在（1）的结论下，若将DB 绕着点D 顺时针旋转()090αα︒<<︒得到DP ，连接BP ，作DE BP ⊥交AP 于点F ．试探究AF 与DE 的数量关系，并说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点()0,B n ，点A 在x 轴的负半轴上，点(),0C m ，连接AB 、BC 220m n +-=，（1）求BCO ∠的度数；（2）点P 从A 点出发沿射线AO 以每秒2个单位长度的速度运动，同时，点Q 从B 点出发沿射线BO 以每秒1个单位长度的速度运动，连接AQ 、PQ ，设APQ 的面积为S ，点P 运动的时间为t ，求用t 表示S 的代数式（直接写出t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当点P 在x 轴的正半轴上，点Q 在y 轴的负半轴上时，连接AQ 、BP 、PQ ，22BQP ABC OAQ ∠=∠=∠，且四边形ABPQ 的面积为25，求PQ 的长．9．如图1，在平面直角坐标系中，已知点B 的坐标为(1，0)，且OA ＝OC ＝4OB ，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象经过A ，B ，C 三点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，若动点P 在过A ，B ，C 三点的抛物线上，是否存在点P ，使得ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点P 是直线AC 上方的抛物线上的一个动点，作PD ⊥AC 于点D ，当0＜PD ＜22时，请直接写出点P 横坐标的取值范围．10．平面直角坐标系中，点在y 轴正半轴，点在x 轴正半轴，以线段AB 为边在第一象限内作等边ABC ∆，点C 关于y 轴的对称点为点D ，连接AD ，BD ，且BD 交y 轴于点E ．(1)补全图形，并填空；①若点，则点D的坐标是__________；②若，则________．(2)若，求证：AD垂直平分BC；(3)若时，探究的数量关系，并证明．11．已知：如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B在y轴的正半轴上，且tan∠OAB34，点P是线段AB上的一个动点，以点P为圆心，PA为半径作⊙P交x轴于C点，记过点A、B、C的抛物线顶点为D点，设PA＝5m．(1)求线段OA和AB的长．(2)①求用含字母m的代数式来表示点C的坐标．②当点C在x轴的正半轴上，且OC：PA＝8：15时，求抛物线的解析式．(3)如图2，过点D作DE∥x轴交y轴于点E，作直线CD交y轴于点F，当⊙P与△DEF其中一边所在的直线相切时，求所有满足条件的m的值．12．如图1，点A，点B的坐标分别（a，0），（0，b），且b＝+4，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BC．(1)直接写出a ＝ ，b ＝ ，点C 的坐标为 ；(2)如图2，作CD ⊥x 轴于点D ，点M 是BD 的中点，点N 在△OBD 内部，ON ⊥DN ，求证：2MN +ON ＝DN ．(3)如图3，点P 是第二象限内的一个动点，若∠OPB ＝90°，求线段CP 的最大值． 13．如图1，已知抛物线()()33439y x x =-+-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，(1)写出A 、B 、C 三点的坐标．(2)若点P 为OBC 内一点，求OP BP CP ++的最小值．(3)如图2，点Q 为对称轴左侧抛物线上一动点，点()4,0D ，直线DQ 分别与y 轴、直线AC 交于E 、F 两点，当CEF △为等腰三角形时，请直接写出CE 的长．14．如图，△ABC 中，点D 在BC 边上，且∠ADB ＝90°12+∠CAD．(1)求证：AD ＝AC ；(2)点E 在AB 边上，连接CE 交AD 于点F ，且∠CFD ＝∠CAB ，AE ＝BD ， ①求∠ABC 的度数；②若AB ＝8，DF ＝2AF ，直接写出EF 的长．15．定义：对于平面内的MAN ∠及其内部的一点P ，设点P 到直线AM ，AN 的距离分别为1d ，2d ，称12d d 和21d d 这两个数中较小的一个数为点P 关于MAN ∠的“近率”．(1)如图1，已知ABC 中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，若ABC 的中线CD 与角平分线AE 相交于点P ，则点P 关于ABC ∠的“近率”为________； (2)如图2，已知ABC 中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，43BC =，若点F 在斜边AB 上，且点F 关于ACB ∠的“近率”为33，求CF 的长； (3)已知在平面直角坐标系xOy 中，点E ，F 分别为x 轴正半轴，y 轴正半轴上的两个点，动点M 的坐标为()9,m ，圆M 是以点M 为圆心，半径为3的圆．若圆M 上的所有点都在第一象限且关于EOF ∠的“近率”都小于33，直接写出m 的取值范围． 16．如图1，抛物24y ax bx =++交x 轴于(2,0)A -，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．(1)求此抛物线的解析式；(2)P 是抛物线上位于直线BC 上方的一个动点，过点P 作PQ y ∥轴交BC 于点Q ，过点P作PE BC ⊥于点E ，过点E 作EF y ⊥轴于点F ，求出2PQ EF +的最大值及此时点P 的坐标；(3)如图2，将抛物线24y ax bx =++沿着射线CB 的方向平移，使得新抛物线y '过点(3,1)，点D 为原抛物线y 与新抛物线y '的交点，若点G 为原抛物线的对称轴上一动点，点H 为新抛物线y '上一动点，直接写出所有使得以A ，D ，G ，H 为顶点的四边形为平行四边形的点H 的坐标，并把求其中一个点H 的坐标的过程写出来．17．已知等边△ABC 边长为6，D 为边AB 上一点，E 为直线AC 上一点，连接DE ，将DE 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DF ．(1)如图1，若∠AED ＝90°，过点F 作FG ⊥AC 于点G ，求AFFG的值； (2)若AD ＝x ，AF 的最小值为y ， ①若x ＝4，求y 的值； ②直接写出y 与x 的关系式．18．在等边ABC 中，点D 是BC 边上一点，点E 是直线AB 上一动点，连接DE ，将射线DE 绕点D 顺时针旋转120︒，与直线AC 相交于点F ．(1)若点D 为BC 边中点．①如图1，当点E 在AB 边上，且DE AB ⊥时，请直接写出线段DE 与DF 的数量关系________；②如图2，当点E 落在AB 边上，点F 落在AC 边的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；(2)如图3，点D 为BC 边上靠近点C 的三等分点．当:3:2AE BE =时，直接写出CFAF的值．19．问题提出：如图①所示，在矩形AOCB 和矩形ODEF 中，CO FOk AO DO==，点A ，O ，D 不在同一直线上，连接,AD CF ．HO 是AOD △的中线，那么,HO CF 之间存在怎样的关系？(1)问题探究：先将问题特殊化，如图②所示，当1k =且90AOD ∠=︒时，,HO CF 的数量关系是________，位置关系是________．(2)问题拓展：再探究一般情形如图③所示，当1k =，90AOD ∠≠︒时，证明（1）中的结论仍然成立．(3)问题解决：回归图①所示，探究,HO CF 之间存在怎样的关系（数量关系用k 表示）？ 20．如图，已知正方形ABCD ，将AD 绕点A 逆时针方向旋转到AP 的位置，分别过点作，垂足分别为点E 、F ．(1)求证：；(2)联结，如果，求的正切值； (3)联结，如果，求n 的值．【参考答案】**科目模拟测试一、解答题1．(1)y＝﹣x2﹣4x+5(2)N1（﹣5，0），N2（，），N3（，）(3)F（﹣，﹣）【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求抛物线的解析式．（2）分NB=ND和DB=ND两种情况求点N的坐标．（3）利用相似，将线段长度转换为点的坐标，通过方程求点F的坐标．(1)解：将A（﹣5，0），B（1，0）代入抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣4x+5；(2)∵D（﹣2，9），B（1，0），点N是抛物线上的一点且△BDN是以DN为腰的等腰三角形，∴此题有两种情形：①当DN＝DB时，根据抛物线的对称性得：A与N重合，∴N1（﹣5，0），②方法一：当DN＝BN时（如图1），N在BD的垂直平分线上，BD的垂直平分线交BD于I，交x轴于点Q，BD与y轴交点为K，∵∠KBO+∠OKB＝90°，∠KBO+∠IQB＝90°，∴∠OKB＝∠IQB，在Rt△OKB中，sin∠OKB10∴sin∠IQB＝10∵I是BD的中点，BD＝10，∴BI＝，∴BQ＝15，∴Q（﹣14，0），I（12，92）设yQI＝kx+b，代入得：，解得：，∴yQI＝，联立得：，解得：x＝，∴yQI＝，N2（，），N3（，），方法二：如图2，过点N作DS⊥NT交NT于点S，设N（a，﹣a2﹣4a+5），D（﹣2，9），∵DN＝DB，∴DS2+SN2＝NT2+TB2，∴（﹣2﹣a）2+（9+a2+4a﹣5）2＝（﹣a2﹣4a+5）2+（1﹣a）2，（2+a）2﹣（1﹣a）2＝（a2+4a﹣5）2﹣（9+a2+4a﹣5）2，（2+a+1﹣a）（2+a﹣1+a）＝（a2+4a﹣5+a2+4a+4）（a2+4a﹣5﹣a2﹣4a﹣4），解得：a＝，把a＝代入﹣a2﹣4a+5＝﹣（）2﹣4（）+5＝，∴N2（，），N3（，），综上所述，N1（﹣5，0），N2（，），N3（，）；(3)如图1，在AE上取一点F，作AF的垂直平分线交x轴于点M，连接MF，则AM＝MF，在AO上M点的右侧作FG＝MF，∴∠FGM＝∠FMG，∴∠EFG＝∠BAE+∠FGM＝∠BAE+∠FMG＝∠BAE+2∠BAE＝3∠BAE，移动F点，当HG＝2FG时，点F为所求．过点F作FP垂直于x轴于点P，过点H作HR垂直于x轴于点R，∴△FPG∽△HRG，∴＝＝＝12，GR＝2PG，HR＝2PF，设F（m，﹣﹣52），则OP＝﹣m，PF＝+52，HR＝2PF＝m+5，∵AP＝m+5，∴AP＝2PF，∵AM＝AP﹣MP＝2PF﹣MP，MF＝AM，∴在Rt△PMF中，PM2+PF2＝MF2，PM2+PF2＝（2PF﹣MP）2，∴PM＝34PF＝34×＝m+158，∴GP＝m+158，∴GR＝2PG＝34m+154，∴PR＝3PG＝3PM，∴AR ＝AP +PR ＝AP +3PM ＝2PF +3×34PF ＝＝，∴OR ＝， ∴H （，m +5）， ∵B （1，0），D （﹣2，9），∴BD 解析式为：yBD ＝﹣3x +3，把H 代入上式并解得：m ＝﹣， 再把m ＝﹣代入y ＝﹣12x ﹣52得：y ＝﹣， ∴F （﹣，﹣）． 【点睛】本题考查二次函数解析式的求法、等腰三角形的存在性问题、角度问题及线段倍数问题．正确求出二次函数解析式，将坐标运算转化成线段关系是求解本题的关键．2．（1）①()1,4；②2n =或1n =-；（2）1m 或0m =或43m -<≤-；（3）12m ≤【解析】【分析】（1）①根据顶点坐标的计算公式计算即可；②分两种情况讨论，根据二次函数的图象性质计算即可；（2）分三种情况讨论，再根据当x ≤2时，函数图象上有且只有2个点到x 轴的距离为2，列不等式组即可；（3）根据点P 和点M 横坐标的位置及二次函数的图象性质列不等式组即可；【详解】（1）当m ＝2时，函数解析式为2y x 2x 3=-++， ①2122b x a ， 24124444ac b y a ---===-， ∴顶点坐标是()1,4；②∵2y x 2x 3=-++,10a =-<，∴开口方向向下，对称轴为：1,x =当1n >时，则x n =时，2233y n n =-++=，此时函数值最大，220,n n ∴-=解得：2n =（0n =舍去），当11n +<，即0n <时，∴1x n =+时，3y =最大，∴()()212133n n -++++=，解得：1n =-（1n =舍去）综上：2n =或1n =-；（2）221,y x x m =-+++()()2241148,m m ∴=-⨯-⨯+=+当480m +>即2m >-时，如图，当2x =时，1,y m =+根据当x ≤2时，函数图象上有且只有2个点到x 轴的距离为2可知，12,m +>1,m ∴>m ∴的范围是 1.m >当1x =时，22,y m =+= 此时符合题意，则0,m =当当480m +<即2m <-时，如图，根据当x ≤2时，函数图象上有且只有2个点到x 轴的距离为2可知，同理可得：2212m m +>-⎧⎨+≤-⎩解得：43,m -<≤-所以m 的范围是：4 3.m -<≤-综上：1m 或0m =或4 3.m -<≤-（3）2221(1)2y x x m x m =-+++=--++∴抛物线的顶点坐标为（1，2m+），对称轴为直线1x=∵点P的横坐标为﹣3m+2，∴点P的坐标为（﹣3m+2，2971m m-++）∵以PM为对角线构造矩形PQMN，矩形的各边与坐标轴垂直，抛物线在矩形PQMN内部的函数部分y随着x的增大而增大，∴矩形中抛物线为对称轴左侧的部分，即1x≤又点M的坐标为（2m，m），∴29711 21m m mm⎧-++≥+⎨≤⎩∴1 02m≤＜∵点P在二次函数的图象上，当点M点在点P的左侧时∴232m m<-+∴25 m<∴232m m<-+∴25 m＜∴25 m＜当点M点在点P的右侧时∴232m m-+＞∴25 m＞∴2152m ≤＜ 故当抛物线在矩形PQMN 内部的函数部分y 随着x 的增大而增大时，12m ≤【点睛】 本题主要考查了二次函数综合应用，二次函数的图象与性质，不等式组的解法，清晰的分类讨论是解题的关键．3．（1）120°；（2）见解析；（3）215 【解析】【分析】（1）根据四边形内角和为360°，即可得出答案；（2）利用SAS 证明△BED ≌△BEO ，得∠BDE ＝∠BEO ，连接OC ，设∠EAF ＝α，则∠AFE ＝2α，则∠EFC ＝180°−∠AFE ＝180°−2α，可证∠EFC ＝∠AOC ＝2∠ABC 即可；（3）过点O 作OM ⊥BC 于M ，由（1）知∠BAC ＝60°，再证明△DBG ∽△CBA ，得2ΔΔ()DBG ABC S BD S BC =，再根据4DH ＝3BG ，BG ＝2HG ，得DG ＝52GH ，则ΔΔBHG BDG S S ＝HG DG =25，从而解决问题．【详解】（1）解：在倍对角四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，∠A ＝2∠C ，∵∠A +∠B +∠C +∠D ＝360°，∴3∠B +∠3∠C ＝360°，∴∠B +∠C ＝120°，∴∠B 与∠C 的度数之和为120°；（2）证明：在△BED 与△BEO 中，BD BO EBD EBO BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BED ≌△BEO （SAS ），∴∠BDE ＝∠BEO ，∵∠BOE ＝2∠BCF ，∴∠BDE ＝2∠BCF连接OC ，设∠EAF ＝α，则∠AFE ＝2α，∴∠EFC ＝180°﹣∠AFE ＝180°﹣2α，∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ＝α，∴∠AOC ＝180°﹣∠OAC ﹣∠OCA ＝180°﹣2α，∴∠EFC ＝∠AOC ＝2∠ABC ，∴四边形DBCF 是倍对角四边形；（3）解：过点O 作OM ⊥BC 于M ，∵四边形DBCF 是倍对角四边形，∴∠ABC +∠ACB ＝120°，∴∠BAC ＝60°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝120°，∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝30°，∴BC ＝2BM 33，∵DG ⊥OB ，∴∠HGB ＝∠BAC ＝60°，∵∠DBG ＝∠CBA ，∴△DBG ∽△CBA ， ∴2ΔΔ()DBG ABC S BD S BC ＝13， ∵4DH ＝3BG ，BG ＝2HG ， ∴DG ＝52GH ，∴ΔΔBHG BDG S S ＝25HG DG =， ∵ΔΔ15315DBG ABC S S == ∴ΔΔBHG ABC S S ＝215． 【点睛】本题是新定义题，主要考查了圆的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，读懂题意，利用前面探索的结论解决新的问题是解题的关键．4．（1）①、②关联，理由见解析；（2）21(7)68y x =--+或21(9)68y x =-++；（3）存在，（0，1）或（0，3+0，3-【解析】【分析】（1）首先求得抛物线①的顶点坐标，然后检验是否此点在抛物线②与③上，再求得抛物线②的顶点坐标，检验是否在抛物线①上即可求得答案；（2）首先求得抛物线C 1的顶点坐标，则可得：点P 在直线y =2上，则可作辅助线：作M 关于P 的对称点N ，分别过点M 、N 作直线y =2的垂线，垂足为E ，F ，则可求得：点N 的坐标，利用顶点式即可求得结果；（3）分别从当A ，B ，C 逆时针分布时与当A ，B ，C 顺时针分布时分析，根据全等三角形的知识，即可求得点C 的坐标，注意别漏解．【详解】解：（1）∵①抛物线y =x 2+2x -1=（x +1）2-2的顶点坐标为M （-1，-2），∴②当x =-1时，y =-x 2+2x +1=-1-2+1=-2，∴点M 在抛物线②上；∵③当x =-1时，y =x 2+2x +1=1-2+1=0，∴点M 不在抛物线③上；∴抛物线①与抛物线②有关联；∵抛物线②y =-x 2+2x +1=-（x -1）2+2，其顶点坐标为（1，2），经验算：（1，2）在抛物线①上，∴抛物线①、②是关联的；（2）抛物线C 1：211:(1)28C y x =+-的顶点M 的坐标为（-1，-2）， ∵动点P 的坐标为（t ，2），∴点P 在直线y =2上，作M 关于P 的对称点N ，分别过点M 、N 作直线y =2的垂线，垂足为E ，F ，则ME =NF =4，∴点N 的纵坐标为6，当y =6时，21(1)268x +-=， 解得：x 1=7，x 2=-9，①设抛物C 2的解析式为：y =a （x -7）2+6，∵点M （-1，-2）在抛物线C 2上，∴-2=a （-1-7）2+6， ∴a =18-， ∴抛物线C 2的解析式为：21(7)68y x =--+， ②设抛物C 2的解析式为：y =a （x +9）2+6，∵点M （-1，-2）在抛物线C 2上，∴-2=a （-1+9）2+6， ∴a =18-， ∴抛物线C 2的解析式为：21(9)68y x =-++； （3）点C 在y 轴上的一动点，以AC 为腰作等腰直角△ABC ，令C 的坐标为（0，c ），则点B 的坐标分两类：①当A ，B ，C 逆时针分布时，如图中B 点，过点A ，B 作y 轴的垂线，垂足分别为H ，F ， 在等腰直角△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，即∠ACH +∠BCH =90°，∵∠ACH +∠CAH =90°，∴∠CAH =∠BCH ，又∠AHC =∠BFC =90°，则△BCF ≌△CAH （AAS ），∴CF =AH =1，BF =CH =c +2，点B 的坐标为（c +2，c -1），当点B 在抛物线C 1：y =221(1)8x +-上时，c -1=18（c +2+1）2-2， 解得：c =1．②当A ，B ，C 顺时针分布时，如图中B ′点，过点B ′作y 轴的垂线，垂足为D ， 同理可得：点B ′的坐标为（-c -2，c +1），当点B ′在抛物线C 1：y =18（x +1）2-2上时，c +1=18（-c -2+1）2-2， 解得：c=3+c=3-综上所述，存在三个符合条件的等腰直角三角形，其中C 点的坐标分别为：C 1（0，1），C 2（0，3+C 3（0，3-【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标的求解方法，全等三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．5．（1）y =12x 2−2x −6；（2）QO ＋QA 有最小值10；（3）P （3，−152）时，S 有最大值152【解析】【分析】（1）运用待定系数法设y ＝a （x ＋2）（x −6），将C （0，−6）代入，即可求得答案；（2）如图1，作点O 关于直线BC 的对称点O ′，连接AO ′，QO ′，CO ′，BO ′，由O 、O ′关于直线BC 对称，得出四边形BOCO ′是正方形，根据QA ＋QO ′≥AO ′，QO ′＝QO ，得出答案；（3）运用待定系数法求出直线BC 、AC 、PQ 的解析式，设P （m ，12m 2−2m −6），联立方程组，得：261362y x y x m m ⎪--⎧⎪-⎨⎩＝＝＋＋，求得Q （22128m m +-，22608m m +-），再运用三角形面积公式求得答案．【详解】解：（1）∵抛物线交x 轴于A （−2，0），B （6，0）两点，∴设y ＝a （x ＋2）（x −6），将C （0，−6）代入，得：−12a ＝−6，解得：a ＝12，∴y＝12（x＋2）（x−6）＝12x2−2x−6，∴抛物线的解析式为y=12x2−2x−6；（2）如图1，作点O关于直线BC的对称点O′，连接AO′，QO′，CO′，BO′，∵OB＝OC＝6，∠BOC＝90°，∴∠BCO＝45°，∵O、O′关于直线BC对称，∴BC垂直平分OO′，∴OO′垂直平分BC，∴四边形BOCO′是正方形，∴O′（6，−6），在Rt△ABO′中，AO′＝22228610AB O B'+=+=，∵QA＋QO′≥AO′，QO′＝QO，∴QO＋QA＝QA＋QO′≥AO′＝5，即点Q位于直线AO′与直线BC交点时，QO＋QA有最小值10；（3）设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋d ，∵B （6，0），C （0，−6），∴606k d d ⎨⎩-⎧＋＝＝，解得：16k d =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 的解析式为y ＝x −6，设直线AC 的解析式为y ＝mx ＋n ，∵A （−2，0），C （0，−6），∴206m n n ⎧⎨⎩--＋＝＝，解得：36m n =-⎧⎨=-⎩， ∴直线AC 的解析式为y ＝−3x −6，∵PQ ∥AC ，∴直线PQ 的解析式可设为y ＝−3x ＋b ，由（1）可设P （m ，12m 2−2m −6），代入直线PQ 的解析式， 得：12m 2−2m −6＝−3m ＋b ，解得：b ＝12m 2＋m −6，∴直线PQ 的解析式为y ＝−3x ＋12m 2＋m −6， 联立方程组，得：261362y x y x m m ⎪--⎧⎪-⎨⎩＝＝＋＋， 解得：2221282608m m x m m y ⎧+-=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩， ∴Q （22128m m +-，22608m m +-）， 由题意：S ＝S △PAQ ＋S △PBQ ＝S △PAB −S △QAB ，∵P ，Q 都在第四象限，∴P ，Q 的纵坐标均为负数，∴S ＝12|AB |•（−12m 2＋2m ＋6）−12|AB |•（22608m m +--） ＝23962m m -+-2315(3)22m =--+， 由题意，得0＜m ＜6，∴m ＝3时，S 最大，即P （3，−152）时，S 有最大值152． 【点睛】 本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，将军饮马的最值问题，利用二次函数求最值等，熟练掌握二次函数图象和性质等相关知识，运用数形结合思想是解题关键．6．（1）234y x x =-++；（2）点P 的坐标为(12,42)++或(12,42)--（3）3232+ 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解可得；（2）作PE ∥x 轴，交AB 于点E ，由S △AQD =2S △APQ 且△AQD 与△APQ 是等高的两个三角形知12PQ DQ =，证△PQE ∽△DQB 得PE DB12PQ DQ ==据此求得PE =2，求得直线AB 的解析式为y =x +1，设E （x ，x +1），知P （x -2，x +1），将点P 坐标代入y =-x 2+3x +4求得x 的值，从而得出答案；（3）作30HCG ∠=︒过点G 作GH CH ⊥，过H 分别作,x y 的垂线段，垂直分别为,P Q ，则12GD CG CG HG HD +=+≥当,,G H D 三点共线时取得最小值，进而求得,HP PD ，根据勾股定理建立二次函数模型，根据二次函数的性质求得最值即可．【详解】解： （1）将点A （3，4），B （﹣1，0）代入24y ax bx =++得934440a b a b ++=⎧⎨-+=⎩解得，13a b =-⎧⎨=⎩∴234y x x =-++；（2）如图1，过点P 作PE ∥x 轴，交AB 于点E ，∵A （3，4），AD ⊥x 轴∴D （3，0）∵B （﹣1，0）∴BD ＝3﹣（﹣1）＝4∵S △AQD ＝2S △APQ ，△AQD 与△APQ 是等高的两个三角形 ∴12PQ DQ =， ∵PE ∥x 轴 ∴△PQE ∽△DQB ∴12PQ PE DQ DB ==， ∴142PE =， ∴PE ＝2，∵A （3，4），B （﹣1，0）∴可求得直线AB 的解析式为y ＝x +1设E （x ，x +1），则P （x ﹣2，x +1）将点P 坐标代入234y x x =-++，得：2(2)3(2)41x x x --+-+=+，解得132x =+，232x =-，当32x =+时，212x -=+，142x +=+∴点(12,42)P ++当32x =-时，212x -=-，142x +=-∴(12,42)P --∵点P 是直线AB 上方抛物线上的一个动点∴﹣1＜x ﹣2＜3∴点P 的坐标为(12,42)++或(12,42)--（3）如图，作30HCG ∠=︒过点G 作GH CH ⊥，过H 分别作,x y 的垂线段，垂直分别为,P QAD ⊥x 轴于点D ， A （3，4），(3,0)D ∴设(0,)G m ，则4CG CO OG m =-=-1sin 30=2HG CG CG ∴=⨯︒， 12GD CG CG HG HD ∴+=+≥ 当,,G H D 三点共线时取得最小值30HCG ∠=︒∴(3cos30,cos30434HC CG CQ HC m m =⋅︒=⋅︒=-=-， ()1sin 3042HQ HC m =⋅︒=-= 334(3)144m m HP OQ CO CQ ∴==-=--=+2222231(3)4m HD HP PD ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭229333193162162m m m m =++++++-23134m =++当2322b m a=-==2HD 取得最小值，最小值为23134=+=434+22⎛ ⎝⎭ 则HD最小值为2+ 即12GD CG +的最小值为2+【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用等知识点，第三问中可求得点G 的坐标之后解直角三角形求得HD 的长．7．（1）ABD △是等腰直角三角形，证明见解析；（23）,AF =证明见解析【解析】【分析】（1）先求解45,ACD BCD ∠=∠=︒取AB 的中点,G 连接,,CG DG 再证明,,,A C B D 在以G 为圆心，GC 为半径的同一个圆上，从而可得答案.（2）如图， 把ADQ △顺时针旋转90︒得到,BDQ ' 连接,QQ ' 过Q '作,Q F BQ '⊥ 交BQ 的延长线于,F 证明45,32,DQQ QQ ∠=︒='' 证明120,60,BQQ FQQ ∠=︒∠='︒' 求解3236·cos 60,?sin 60,22QF QQ FQ QQ =︒==︒=''' 再利用勾股定理可得答案； （3）如图，连接,BF 证明 ,DPE ABF ∽ 可得,DP DE AB AF = 结合（1）问的结论可得答案. 【详解】解：（1） 90,ACB CD ∠=︒平分ACB ∠，45,ACD BCD ∴∠=∠=︒取AB 的中点,G 连接,,CG DG90,ACB ADB ∠=∠=︒,CG AG BG DG ∴===,,,A C B D ∴在以G 为圆心，GC 为半径的同一个圆上，45,ABD ACD ∴∠=∠=︒ABD ∴为等腰直角三角形.（2）如图，,90,AD BD ADB =∠=︒把ADQ △顺时针旋转90︒得到,BDQ ' 连接,QQ ' 过Q '作,Q F BQ '⊥ 交BQ 的延长线于,F3,90,,DQ DQ QDQ AQ BQ ''∴∠=︒='==2245,3332,DQQ QQ ''∴∠=︒=+=75,BQD ∠=︒120,60,BQQ FQQ ∴∠=︒∠='︒'3236·cos 60?sin 60QF QQ FQ QQ ∴=︒==︒=''' 327222BF BQ QF ∴=+== 22723638,22BQ ⎛⎫⎛⎫∴=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭' 38.AQ BQ '∴==（3）2,AF DE =理由如下：如图，连接,BF2,90,45,BD AD BD ADB ABD BAD AB =∠=︒∠=∠=︒= ,,,DB DP BDP DE BP α=∠=⊥ 11,,90,,22BE PE BDE PDE DBE FB FP αα∴=∠=∠=∠=︒-= ,90,AD DP ADP α=∠=︒+145,2DAP DPA α∴∠=∠=︒- 114545,22BAP PDE αα⎛⎫∴∠=︒-︒-==∠ ⎪⎝⎭ 11180459045,22APB αα⎛⎫∴∠=︒--︒-︒-=︒ ⎪⎝⎭ ,FB FP =45,90,FBP FPB BFP BFA ∴∠=∠=︒∠=︒=∠90,BFA DEP ∴∠=∠=︒,DPE ABF ∴∽,DP DE AB AF∴= 2DE DB AF AB ∴== 即2.AF DE = 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，圆的确定，圆周角定理的应用，是典型的综合题，熟练的运用图形的性质，作出恰当的辅助线是解本题的关键.8．（1）45︒；（2）()()2220222t t t S t t t ⎧-+<<⎪=⎨->⎪⎩；（3）5 【解析】【分析】（1）根据非负数的性质求得,m n 的值，进而求得OB OC =，即可证明OBC 是等腰直角三角形，即可求得BCO ∠的度数；（2）分Q 点在y 轴正半轴，原点，y 轴负半轴三种情况，根据点的运动表示出线段长度，进而根据三角形的面积公式即可列出代数式；（3）过点B 作BD AQ ⊥，连接EQ ，根据四边形的面积求得5t =，进而求得10,5AP BQ ==，由22BQP ABC OAQ ∠=∠=∠，设ABC OAQ α∠=∠=，BAC β∠=，则BQP ∠=2α，证明ADE BDQ ≌，进而可得，5BQ AE ==1055PE AP AE =-=-=，进一步导角可得PEQ PQE ∠=∠，根据等角对等边即可求得PQ【详解】（1）220m n ++-=2,2m n ∴=-=()(0,2),2,0B C ∴-2,2BO CO ∴==90BOC ∠=︒∴OBC 是等腰直角三角形，∴45BCO ∠=︒（2）①当Q 点在y 轴正半轴时，如图，,2BQ t AP t ==，2OB =，∴2QO t =-0OQ >，0t >∴02t <<∴()21122222S AP OQ t t t t =⨯=⨯⨯-=-+ ②当Q 点在原点时，,,A P Q 都在x 轴上，不能构成三角形，则2t =时，S 不存在 ③当Q 点在y 轴负半轴时，如图，,2BQ t AP t ==，2OB =，∴2QO t =-0OQ >，0t >∴2t >∴()21122222S AP OQ t t t t =⨯=⨯⨯-=- 综上所述：()()2220222t t t S t t t ⎧-+<<⎪=⎨->⎪⎩（3）如图，过点B 作BD AQ ⊥，连接EQ,2BQ t AP t ==(0)t >211=22522ABPQ S AP PQ t t t ∴⨯=⨯⨯==四边形 5t ∴=5BQ ∴=，10AP =22BQP ABC OAQ ∠=∠=∠设ABC OAQ α∠=∠=，BAC β∠=，则BQP ∠=2α，∴45BCO ABC BAC αβ∠=∠+∠=+=︒45BAD C CAD βα∴∠=∠+∠=+=︒ADB ∴是等腰直角三角形BD AD ∴=90AOQ BDQ ∠=∠=︒OAQ AQO DBQ AQO ∴∠+∠=∠+∠∴OAQ DBQ ∠=∠α=在ADE 和BDQ △中ADE BDQ DAE DBQ AD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ADE BDQ ∴≌DE DQ ∴=，5BQ AE ==10AP =1055PE AP AE ∴=-=-=90DEQ BDQ ∠=∠=︒DEQ ∴是等腰直角三角形45EQD ∴∠=︒Rt AOQ 中，OAQ α∠=90AQO α∴∠=︒-904545OQE AQO EQD ααβ∴∠=∠-∠=︒--︒=︒-=BQP ∠=2α，2PQE BQP OQE αβ∴∠=∠+∠=+又452PEQ OAQ EQD ααβ∠=∠+∠=︒+=+PEQ PQE ∴∠=∠PQ PE ∴=5=【点睛】本题考查了非负数的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．9．（1）234y x x --+＝；（2）存在， P 点坐标为（2，-6）或（-2，6）；（3）40x -<<且2x ≠-．【解析】【分析】（1）由已知可知OB =1，再由OA ＝OC ＝4OB ，可得A ， C 两点坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）分90ACP ∠=︒、90CAP ∠=︒两种情况，根据等腰直角三角形性质求出直线PC 解析式，再联立抛物线与直线解析式求出交点坐标；（3）过点P 作y 轴的平行线交AC 于点Q ,可得2PQ PD =，根据直线解析式和抛物线解析式求出线段PQ 的函数解析式，可得当x =-2时，P 点坐标为（-2，6），此时PQ 的最大值为4PQ =，由此得出点P 横坐标的取值范围．【详解】解：（1）∵点B 的坐标为(1，0)，∴OB =1，又∵OA ＝OC ＝4OB ，∴OA ＝OC ＝4，即点A 坐标为（-4，0）；点C 坐标为（0，4）；∵抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象经过A ，B ，C 三点． ∴401640c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩， 解得：134a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩, ∴抛物线的解析式为234y x x --+＝；（2）以AC 为直角边的直角三角形ACP ，有两种情况，I ．过C 点作PC ⊥AC ，交抛物线于点P ，交x 轴于M ，此时90ACP ∠=︒，如解图2-1；∵90AOC ∠=︒，OA ＝OC ，∴45CAO OCA ∠=∠=︒，∴45CMO OCM ∠=∠=︒，∴4OM OC ==，即点M 坐标为（4，0），∴直线PC 解析式为4y x =-+，联立解析式得：2344y x x y x ⎧--+⎨=-+⎩＝，解得：1104x y =⎧⎨=⎩，2226x y =-⎧⎨=⎩， ∴当P 点坐标为（-2，6）时，ACP 是以AC 为直角边的直角三角形；II ．过A 点作PA ⊥AC ，交抛物线于点P ，交y 轴于N ，此时90CAP ∠=︒，如解图2-2，同理可求：当P 点坐标为（2，-6）时，ACP 是以AC 为直角边的直角三角形；综上所述：当P 点坐标为（2，-6）或（-2，6）时，ACP 是以AC 为直角边的直角三角形．（3）∵点A 坐标为（-4，0）点C 坐标为（0，4）∴直线CA 函数表达式为: y =x +4,过点P 作y 轴的平行线交AC 于点Q ,设点P 坐标为2(,34)x x x --+，其中40x -<<，则点Q 坐标为(,4)x x +，∵点P 是直线AC 上方的抛物线上的一个动点，∴22344)()(4P x x Q x x x --+--=+=-，∴2(2)4P x Q -=++，即当x =-2时，P 点坐标为（-2，6），此时PQ 的最大值为4PQ = 又∵45CAO OCA ∠=∠=︒，PQ y 轴，∴45PQD ∠=︒，∴PQD △是等腰直角三角形， ∴2PQ PD =，又∵0＜PD ＜22，∴0＜PQ ＜4，即：2044x x <--<，∴当x =-2时， PQ 的最大值为4PQ =，此时22PD =,∴当0＜PD ＜22时，P 横坐标的取值范围为：40x -<<且2x ≠-．【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰直角三角形性质等，其中（3）得出2PQ PD =，并用函数关系表示PQ 是本题解题的关键．10．(1)①D (-2，3) ②∠BEO =60°；(2)答案见解析；(3)DE = AE +2EO ，证明见解析．【解析】【分析】（1）①根据关于y 轴的对称的性质可得答案，关于y 轴的对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标不变；②根据C 、D 两点关于y 轴的对称，可知y 轴是线段CD 的垂直平分线，得AD =AC 、∠CAF =∠DAF ，然后由等边△ABC 得AC =AB ，最后得AD =AB ，∠ADB =∠ABD ，即可得答案；（2）由|a −3|+b 2−6b +9=0，得a =b ，得∠BAO =45°，然后根据平角得∠CAF 的度数、∠CAG 的度数，即可得答案；（3）先证∠EBO =30°，得BE =2EO ，然后作HE =AE ，证△ADE ≌△ABH ，得DE =BH ，最后证BH = AE +2EO ，即可得答案．(1)解：补全图形如下图①∵C 、D 两点关于y 轴的对称的两点，∴横坐标互为相反数，纵坐标不变，∵C (2，3)，∴D(-2，3)；②∵C、D两点关于y轴的对称，∠CAD=140°，=70°∴∠CAF=∠DAF=140°×12∵△ABC是等边三角形，∴∠CAB=60°，AC=AB，∴∠BAE=180°-70°-60°=50°，∵C、D两点关于y轴的对称，∴AD=AC，∴AD=AB，∴∠ADB=∠ABD=[180°-（360°-140°-60°）] ×1=10°2∴∠BEO=∠BAE+∠ABD=50°+10°=60°；(2)如下图：延长DA交BC于点G，∵|a−3|+b2−6b+9=0，∴|a−3|+（b−3）2=0，∴a=b=3，∴AO=BO，∴∠BAO=45°，∴∠CAF=180°-45°-60°=75°，∴∠CAG=180°-75°-75°=30°，∴∠BAG=60°-30°=30°，∴∠CAG=∠BAG，∴AD垂直平分BC；(3)如下图：作HE=AE，连接AH，∵C、D两点关于y轴的对称，∴∠CAF=∠DAF，∴∠CAE=∠DAE，∵∠CAE=60°+∠BAO，∴∠DAE=60°+∠BAO，∴∠DAB=60°+2∠BAO，=60°－∠BAO，∴∠DBA=[ 180°－（60°+2∠BAO）] ×12∴∠BEO=∠BAO+∠DBA=∠BAO+60°－∠BAO=60°，∴∠EBO=30°，∵∠AOB=90°，∴BE=2EO，∵HE=AE，∠BEA=∠AEH=60°，∴△AEH是等边三角形，∴AH=AE，∠HAE=60°，∴∠DAH=∠BAO，∵∠DAE=∠DAH+60°，∠BAH=∠BAO+60°，∴∠DAE=∠BAH，在△ADE和△ABH中，，∴△ADE≌△ABH，∴DE=BH，∵HE=AE，BE=2EO，∴BH=BE+HE= AE+2EO，∴DE= AE+2EO．【点睛】本题考查了关于y轴的对称的性质、等边三角形的性质、三角形的内角与外角的性质，垂直平分线的判定、在直角三角形中，30°的所对的边是斜边的一半、全等三角形的判定和性质，做题的关键是作辅助线，构造△ADE ≌△ABH ．11．(1)OA 长为4，AB 长为5；(2)①(48,0)C m -；②2315344y x x =-+； (3)27或1641或49． 【解析】【分析】（1）根据A 点的坐标确定OA 的长度，根据函数值求出OB 的长度，利用勾股定理求出AB 的长度即可；（2）①过点P 作PM x ⊥轴于点M ，根据::3:4:5PM MA PA =，求出PM ，MA 进而求出AC 即可得出C 点的坐标；②根据①求出C 点坐标，设抛物线的解析式为：(1)(4)y a x x =--，代入B 点坐标求出解析式并整理即可；（3）分三种情况分别求出当P 与三角形DEF 三边相切时m 的值即可．(1)解：(4,0)A ，4∴=OA ，在Rt OAB ∆中，3tan 4OB OAB OA ∠==， 3OB ∴=，由勾股定理得5AB =，即OA 长为4，AB 长为5；(2)解：①如下图所示，过点P 作PM x ⊥轴于点M ，在Rt APM ∆中，3tan 4OAB ∠=，::3:4:5PM MA PA ∴=，5PA m =，3PM m ∴=，4MA m =，4CM MA m ∴==，8AC m ∴=，即(48,0)C m -；②:8:15OC PA =， ∴488515m m -=， 解得38m =， (1,0)C ∴，设抛物线的解析式为：(1)(4)y a x x =--， 把(0,3)B 代入解析式得3(01)(04)a =--， 解得34a =， 23315(1)(4)3444y x x x x ∴=--=-+， 即抛物线的解析式为2315344y x x =-+； (3) 解：(4,0)A ，(48,0)C m -，∴设抛物线解析式为(4)(48)y a x x m =--+， 由图知，点C 在x 轴正半轴上，①当P 与DE 相切时，如下图所示，PM 经过点D ，且DE PM ⊥，DE ∴且P 于点D ，5PD m ∴=，2DM m ∴=，即(44,2)D m m --，把(0,3)B ，(44,2)D m m --代入抛物线的解析式，得：3(4)(48)2(4)4a m m a m m =--+⎧⎨-=-⎩， 解得：71627a m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴此时m 的值为27； ②当P 与DF 相切时，如下图所示， 连接PC ，PC DF ∴⊥，90PCM DCM ∴∠+∠=︒， 90DCM CDM ∠+∠=︒， CDM PCM ∴∠=∠，又90PMC CMD ∠=∠=︒，PCM CDM ∴∆∆∽，∴CM DM PM CM =， 即2163CM DM m PM ==， 16(44,)3D m m ∴-， 把(0,3)B ，16(44,)3D m m -代入抛物线的解析式， 得：3(4)(48)16(4)43a m m a m m =--+⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得41481641a m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴此时m 的值为1641； ③当P 与EF 相切时，如下图所示，则5P x m =，445m m ∴-=，49m ∴=， 综上，符合条件的m 的值为27或1641或49． 【点睛】 本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键．12．(1)﹣1，4，（4，3）(2)见解析17【解析】【分析】（1）由非负性可求a ，b 的值，过点C 作CE ⊥BO 于E ，由“AAS ”可证△ABO ≌△BCE ，可得BE ＝AO ＝1，BO ＝CE ＝4，可求点C 坐标；（2）连接OM ，作MF ⊥MN 交DN 于F ，由“ASA ”可证△OMN ≌△DMF ，可得MN ＝MF ，ON ＝FD ，即可得结论；（3）取BO 中点H ，连接PH ，CH ，由三角形三边关系可得PH +CH ≥PC ，则当点H 在PC 上时，PC 有最大值为＝．(1)∵b＝，∴a+1≥0，﹣1﹣a≥0，∴a＝﹣1，∴b＝4，∴点A（﹣1，0），点B（0，4），如图，过点C作CE⊥BO于E，∵将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BC．∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBE＝90°，且∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠BAO＝∠CBE，且AB＝BC，∠AOB＝∠CEB＝90°，∴△ABO≌△BCE（AAS）∴BE＝AO＝1，BO＝CE＝4，∴OE＝3，∴点C（4，3）故答案为：﹣1，4，（4，3）(2)连接OM，作MF⊥MN交DN于F，∵CD⊥x轴，∴OD＝4＝BO，∴∠MDO＝45°，∵点M是BD的中点，∴OM＝MD，∠OMD＝90°＝∠OND，∴∠NOM＝∠MDN，∵∠NMF＝∠OMD＝90°，∴∠NMO＝∠DMF，且∠NOM＝∠MDN，OM＝MD，∴△OMN≌△DMF（ASA）∴MN＝MF，ON＝FD，∴NF＝2MN，∴2MN+ON＝DN；(3)如图3，取BO中点H，连接PH，CH，∵BO＝4，点H是BO中点，∠BPO＝90°，∴PH＝2，∵点C （4，3），点H （0，2），∴CH ＝，∵PH +CH PC ，∴当点H 在PC 上时，PC 有最大值为＝2+17． 【点睛】 本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形关系，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是本题的关键． 13．(1)-3,0A （），430B （，），0,4C （）； (2)47； (3)83或316或43或16． 【解析】【分析】对于（1），令y =0，求出点A ，点B 的坐标，令x =0，可得出点C 的坐标；对于（2），将△BPC 绕点B 顺时针旋转60°，得到△BP C ''△，连接PP '，CC '，当O ，P ，P '，C '四点共线，OP +BP +CP 的值最小，在直角三角形中，求出此时的最小值； 对于（3），需要分类讨论，当CE =CF ，CE =EF ，CF =EF 时，分别求解．(1)∵3=-(3)(43)9y x x +-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ， 当y =0时，x=-3或43x ；当x =0时，y =4，∴(3,0)A -，(43,0)B ，(0,4)C ．(2)将△BPC 绕点B 顺时针旋转60°得到BP C ''△，连接PP '，CC '，∴BP BP '=，BC BC '=，60PBP '∠=︒，60CBC '∠=︒，PC P C ''=，∴BPP '和BCC '为等边三角形，∴PP BP '=．当O ，P ，P '，C '四点共线，OP +BP +CP 的值最小，OC=4，3OB =。