高考数学离心率专题
2023年高考数学二轮复习讲练测专题11 离心率问题速解(原卷版)
专题11 离心率问题速解【命题规律】求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题，多以选择、填空题的形式考查，难度中等．【核心考点目录】核心考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题 核心考点二：焦点三角形顶角范围与离心率 核心考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题 核心考点四：椭圆与双曲线的4a 通径体 核心考点五：椭圆与双曲线的4a 直角体 核心考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题 核心考点七：双曲线的4a 底边等腰三角形 核心考点八：焦点到渐近线距离为b核心考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形 核心考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题 核心考点十一：渐近线平行线与面积问题【真题回归】1．（2022·全国·统考高考真题）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ）A B C ．12D ．132．（2021·天津·统考高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（ ） AB C ．2D ．33．（2021·全国·统考高考真题）设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦4．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（ ）AB ．32C D 5．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE 的周长是________________．6．（2022·浙江·统考高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________．7．（2022·全国·统考高考真题）记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为e ，写出满足条件“直线2y x =与C无公共点”的e 的一个值______________．【方法技巧与总结】求离心率范围的方法 一、建立不等式法：1、利用曲线的范围建立不等关系．2、利用线段长度的大小建立不等关系．12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，[]1,PF a c a c ∈-+；12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，1PF c a ≥-．3、利用角度长度的大小建立不等关系．12,F F 为椭圆22221x y a b+=的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，若12F PF θ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围为sin12e θ≤<．4、利用题目不等关系建立不等关系．5、利用判别式建立不等关系．6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．7、利用基本不等式，建立不等关系．【核心考点】核心考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题 【典型例题】例1．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2⎛ ⎝⎭C ．,23⎛ ⎝⎭D ．23⎫⎪⎪⎝⎭例2．（2022春·辽宁葫芦岛·高二统考期中）已知点12F F ，分别是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点，点P 是椭圆上的一个动点，若使得满足12PF F ∆是直角三角形的动点P 恰好有6个，则该椭圆的离心率为（ ）A ．12B C D 例3．（2022秋·安徽·高二校联考开学考试）若P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的一点，且120PF PF ⋅=，125tan 12PF F ∠=，则此椭圆的离心率为（ ）A B ．1517 C ．1315D ．1317核心考点二：焦点三角形顶角范围与离心率 【典型例题】例4．（2022春·福建漳州·高二校联考期中）已知椭圆2222:1x y C a b+=（0ab >>），椭圆的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的任意一点，且满足120PF PF ⋅>，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．12⎛ ⎝⎭D ．⎫⎪⎪⎝⎭例5．（2022春·北京·高二人大附中校考期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若C 上存在一点P ，使得12120F PF ︒∠=，且12F PF △，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．2⎛ ⎝⎦B ．110,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．1112⎫⎪⎣⎭D ．11,112⎛⎫⎪⎝⎭例6．（2022春·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考阶段练习）已知1F ，2F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个焦点，若存在点P 为椭圆上一点，使得1260F PF ∠=︒，则椭圆离心率e 的取值范围是（ ）．A ．2⎫⎪⎢⎪⎣⎭ B ．0,2⎛ ⎝⎭C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,22⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭例7．（2022春·吉林辽源·高三辽源市第五中学校校考期中）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且ππ[,]64α∈，则该椭圆离心率e 的最大值为___________.例8．（2022春·黑龙江佳木斯·高二建三江分局第一中学校考期中）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围是___________.例9．（2022·高二单元测试）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF θ∠=，且5,412ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率的取值范围为________.核心考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题 【典型例题】例10．（2022春·江苏苏州·高二江苏省苏州第十中学校校考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点12,,,F F P Q 分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且260QF P ∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e，则221231e e +等于_______． 例11．（2022春·山东青岛·高二统考期末）已知椭圆1C 和双曲线2C 有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且1223F PF π∠=，记椭圆1C 和双曲线2C 的离心率分别为1e ，2e ，则2212484w e e =+的最小值为（ ） A ．24B ．37C ．49D ．52例12．（2022春·广西·高三校联考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且12π3F PF ∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ⋅的最小值为（ ）AB ．34CD ．3例13．（2022春·辽宁沈阳·高二沈阳市第三十一中学校考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则当121e e 取最大值时，1e ，2e 的值分别是（ ） AB ．12CD例14．（2022·河南洛阳·校联考模拟预测）已知椭圆1C ：()222210x y a b a b+=>>和双曲线2C ：()222210,0x y m n m n -=>>有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们在第一象限的交点，当1260F PF ∠=︒时，1C 与2C 的离心率互为倒数，则双曲线2C 的离心率是（ ） ABC ．2D核心考点四：椭圆与双曲线的4a 通径体 【典型例题】例15．（2022·广西南宁·南宁市第八中学校考一模） 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于,A B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若222=AF F C ，则椭圆的离心率为（ ）A B C D 例16．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左､右焦点分别为1F ，2F ，过2F 直线与椭圆C 交于M ，N 两点，设线段1NF 的中点D ，若10MD NF ⋅=，且12//MF DF ，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．13B C ．12D 例17．（2022春·云南·高三校联考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点为1F ，2F ，过1F 且垂直于x 轴的直线交C 于M ，N 两点，若22MF NF ⊥，则C 的离心率为（ ） A1B ．2C D 例18．（2022春·江苏宿迁·高三校考阶段练习）如图，已知A ，B ，C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦距F ，若BF AC ⊥且2CF FA =，则该双曲线的离心率等于_____．核心考点五：椭圆与双曲线的4a 直角体 【典型例题】例19．（2022春·福建福州·高二福建省福州格致中学校考阶段练习）已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点，过1F l ，l 分别交y 轴和双曲线右支于点M ，P ，且212F F PM F M -=，则E 的离心率为______.例20．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线与双曲线 C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点，A 是1F B 的中点，且12F B F B ⊥，则双曲线C 的离心率e =（ ）AB ．2C D 1例21．（2022·天津·统考一模）设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>的左、右焦点，O 为坐标原点，过左焦点1F 作直线1F P 与圆222x y a +=切于点E ，与双曲线右支交于点P ，且满足()112OE OP OF =+，OE 则双曲线的方程为( ) A ．221612x y -=B ．22169x y -=C ．22136x y -=D ．221312x y -=例22．（2022·四川广元·统考三模）设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．23B ．34C D 例23．（2022春·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）如图，已知1F ，2F 为双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F ，2F 分别作直线1l ，2l 交双曲线E 于A ，B ，C ，D 四点，使得四边形ABCD 为平行四边形，且以AD 为直径的圆过1F ，11DF AF =，则双曲线E 的离心率为（ ）AB C ．52D 核心考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题 【典型例题】例24．（2022春·陕西西安·高二期末）设1F ，2F 是椭圆E ：()222210x ya b a b+=>>的左、右焦点，过点()2,0F c 且倾斜角为60°的直线l 与直线2a x c=相交于点P ，若12PF F △为等腰三角形，则椭圆E 的离心率e 的值是（ ）A B ．13C D 例25．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线22221x y a b-=的左焦点为1F ，过1F 作一倾斜角为15的直线交双曲线右支于P 点，且满足1POF △（O 为原点）为等腰三角形，则该双曲线离心率e 为（ ）A ．e =B ．2e =C ．e =D ．e =例26．（2022·河南鹤壁·鹤壁高中校考模拟预测）已知12F F 、是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左､右焦点，点P 为抛物线28(0)y ax a =->准线上一点，若12F PF △是底角为15︒的等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ）A1B 1C D 例27．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．110,,132⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭核心考点七：双曲线的4a 底边等腰三角形 【典型例题】例28．（2022·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点，过点1F 作的直线l 与双曲线的左，右两支分别交于M ，N 两点，以2F 为圆心的圆过M ，N ，则双曲线C 的离心率为（ ）AB C ．2D 例29．（2022·全国·高三专题练习）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过点1F 作斜l 与双曲线C 的左､右两支分别交于,M N 两点，且()220F M F N MN +⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ） AB C D ．2核心考点八：焦点到渐近线距离为b 【典型例题】例30．（2022·全国·模拟预测）设1F ，2F 分别是双曲线C ：()222210,0x ya b a b-=>>的左､右焦点，O 为坐标原点，过右焦点2F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为A .若12212AF F S OF =△，则双曲线C 的离心率为（ ）AB C D 例31．（2022·全国·高三专题练习）设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1|||PF OP =，则C 的离心率为（ ）AB ．2C D 例32．（2022·全国·高三专题练习）设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b u b -=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，若1PF =，则C 的离心率为（ ） A．B ．2C D 例33．（多选题）（2022秋·广东·高二校联考阶段练习）过双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点F引C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ．若FB AF λ=，23λ≤≤，则C 的离心率可以是（ ）A B C D ．2核心考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形 【典型例题】例34．（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线l ，垂足为H ，直线l 与双曲线C 的左支交于E 点 ，且H 恰为线段2EF 的中点，则双曲线C 的离心率为 （ ） AB C ．2D 例35．（2022秋·安徽·高二校联考期中）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，以1OF 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M （异于坐标原点O ），若线段1MF 交双曲线于点P ，且2//MF OP 则该双曲线的离心率为（ ）AB CD 例36．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x yE a b a b-=>>的左焦点为1F ，过点1F 的直线与两条渐近线的交点分别为M N 、两点(点1F 位于点M 与点N 之间)，且112MF F N =，又过点1F 作1F P OM ⊥于P (点O 为坐标原点)，且||||ON OP =，则双曲线E 的离心率e =（ ）AB C D 例37．（2022·全国·统考模拟预测）设F是双曲线22221(0)x y b a a b-=>>的一个焦点，过F 作双曲线的一条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于,P Q 两点．若2FP FQ =，则双曲线的离心率为（ ） AB C ．2D ．5核心考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题 【典型例题】例38．（2022春·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考阶段练习）已知F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，O 为坐标原点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N ，若0OM MF ⋅=，||MN b =，则C 的离心率为________.例39．（2022·山西运城·统考模拟预测）已知双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为1F ，过点1F 的直线与两条渐近线的交点分别为M ，N 两点（点1F 位于点M 与点N 之间），且13MN F N =，又过点1F 作1F P OM ⊥于P （点О为坐标原点），且ON OP =，则双曲线E 的离心率e 为__________.例40．（2022春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作双曲线的同一条渐近线的垂线，垂足分别为P ，Q .若2AP BQ a +=，则双曲线的离心率为___________.例41．（2022·高二课时练习）过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 引一条渐近线的垂线，垂足为点A ､在第二象限交另一条渐近线于点B ，且||||(1)AB AF λλ=≥，则双曲线的离心率的取值范围是___________．例42．（2022·全国·高三专题练习）双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F 、2F ，1F 过的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于P 、Q 两点（P 在第二象限，Q 在第一象限）1122,0=⋅=F P PQ FQ F Q ，则双曲线C 的离心率为______．例43．（2022春·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期中）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．例44．（2022春·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期末）已知F是双曲线22221x y a b-=的左焦点，圆2222:O x y a b +=+与双曲线在第一象限的交点P ，若PF 的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是___________.例45．（2022·四川·统考模拟预测）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，左，右顶点分别为A ，B ，以AB 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P ，若2PAF △为等腰三角形，则双曲线的离心率为_________．例46．（2022秋·天津·高三专题练习）已知F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）分别为双曲线2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，以坐标原点O 为圆心，c 为半径的圆与双曲线在第二象限交于点P ，若tan ∠PF 1F 2=该双曲线的离心率为_____．例47．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，两条渐近线分别为1l ，2l .过点2F 且与1l 垂直的直线分别交1l ，2l 于P ，Q 两点，O 为坐标原点，若满足22OF OQ OP +=，则该双曲线的离心率为______.核心考点十一：渐近线平行线与面积问题 【典型例题】例48．（2022春·江苏南京·高二南京市第二十九中学校考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过双曲线C 上任意一点P 分别作C 的两条渐近线的垂线，垂足分别为,,A B 8||||9PA PB ⋅=，12F F 等于3212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项，则双曲线C 的离心率为A ．3B ．3C D ．例49．（2022春·贵州六盘水·高三校考期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，过双曲线的右焦点F 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为M 、N ，若四边形FMON 为正方形，则双曲线C 的离心率为__________.例50．（2022秋·湖北·高三统考阶段练习）已知双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，过A 作双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为M ，N ，且4||||5MN OA =（O 为坐标原点），则此双曲线的离心率是___.例51．（2022·河南郑州·郑州一中校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线上一点，且1PF x ⊥轴，过点P 作双曲线C 的两条渐近线的平行线，分别交两条渐近线于A ，B 两点，若四边形PAOB 的面积为2，则12PF F ∆的面积为______.例52．（2022春·全国·高二期中）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点P 坐标为)(0),m m F >为双曲线C 的右焦点，且PF 垂直于x 轴.过点P 分别作双曲线C 的两条渐近线的平行线，它们与两条渐近线围成的图形面积等于1，则该双曲线的离心率是________.例53．（2022·浙江·校联考模拟预测）过双曲线2221(0)x y a a-=>上一点M 作直线l ，与双曲线的两条渐近线分别交于,P Q ，且M 为线段PQ 的中点，若POQ △（O 为坐标原点）的面积为2，则双曲线的离心率为______. 例54．（2022春·江苏苏州·高二苏州中学校考期末）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的任意一点P ，作双曲线渐近线的平行线，分别交渐近线于点,M N ，若214OM ON b ⋅≥，则双曲线离心率的取值范围是___________.【新题速递】一、单选题1．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知双曲线C ：2221x y a-=()0a >的右焦点为F ，点()0,A a -，若双曲线的左支上存在一点P ，使得7PA PF +=，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．(C ．⎫+∞⎪⎣⎭D ．)+∞2．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>，F 为C 的下焦点．O 为坐标原点，1l 是C 的斜率大于0的渐近线，过F l 交1l 于点A ，交x 轴的正半轴于点B ，若||||OA OB =，则C 的离心率为（ ）A ．2BC D3．（2022春·福建福州·高三福州四中校考阶段练习）设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M ，N 在C 上（M 位于第一象限），且点M ，N 关于原点O 对称，若12MN F F =，22NF =，则椭圆C 的离心率为（ ）A B ．12C D 4．（2022春·江苏南通·高三期末）如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC ，BD ，若直线AC 与BD 的斜率之积为14-，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B C D ．345．（2022春·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，A ，B 分别为C 的左右顶点，222:()(0)G x y m m m +-=>与y 轴的一个交点为D ，直线AD ，BG 的交点为M ，且MF x ⊥轴，则C 的离心率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．346．（2022春·陕西·高三陕西省榆林中学校联考阶段练习）已知如图，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，若AN NM MB ==，则椭圆C 的离心率e 为（ ）A ．12B C D7．（2022春·广东·高三校联考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，直线l 过坐标原点并交椭圆于,P Q两点（P 在第一象限），点A 是x 轴正半轴上一点，其横坐标是点P 横坐标的2倍，直线QA 交椭圆于点B ，若直线BP 恰好是以PQ 为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B C D 8．（2022春·浙江金华·高三期末）设O 为坐标原点，12,F F 为双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>的两个焦点，12,l l 为双曲线的两条渐近线，1F A 垂直1l 于1,A F A 的延长线交2l 于B ，若2OA OB AB +=，则双曲线的离心率为（ ）AB C D 9．（2022春·广东广州·高三校考期中）已知1F 、2F 为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，P 为双曲线的渐近线上一点，满足1260F PF ∠=︒，12OP F =（O 为坐标原点），则该双曲线的离心率是（ ）A B C D 10．（2022春·江苏·高三校联考阶段练习）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 交于,A B 两点.若23,2AB a AF AB =⊥，则C 的离心率为（ ）A B C ．23D ．13二、多选题11．（2022春·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）已知双曲线2221(0)4x y b b-=>右焦点为1F ，过1F 且垂直于x轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，点()4,0F -，若ABF △为锐角三角形，则下列说法正确的是（ ） A ．双曲线过点()2,0-B ．直线30x y -=与双曲线有两个公共点C ．双曲线的一条渐近线2by x =D ．双曲线的离心率取值范围为11,2⎛ ⎝⎭12．（2022春·江苏常州·高三统考阶段练习）如图，椭圆1C 与椭圆2C 有公共的左顶点和左焦点，且椭圆2C 的右顶点为椭圆1C 的中心，设椭圆1C 与椭圆2C 的长半轴长分别为1a 和2a ，半焦距分别为1c 和2c ，离心率分别为1e 和2e ，则以下结论中正确的是（ ）A ．2121e e =-B ．1221a c a c >C ．1221a c a c +=+D ．122122a c a c ->-13．（2022·浙江·模拟预测）如图，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，且AB ⊥BF ，则C 的离心率为（ ）A ．BF AFB ．22||||AB AFC ．2||AF BF AB ⋅ D14．（2022春·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考期末）如图，P 是椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n-=>>在第一象限的交点，且12,C C 共焦点121212,,,,F F F PF C C ∠θ=的离心率分别为12,e e ，则下列结论不正确的是（ ）A ．12,PF m a PF m a =+=-B ．若60θ=︒，则2221314e e +=C ．若90θ=︒，则2212e e +的最小值为2D ．tan2bnθ= 15．（2022春·山西运城·高三校考阶段练习）已知12F F 、分别为双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>的左、右焦点，过点2F 的直线与双曲线的右支交于A B 、两点，记12AF F △的内切圆1I 的半径为112,r BF F 的内切圆2I 的半径为2r ，若212r r a =，则（ ）A ．1I 、2I 在直线x a =上B ．双曲线的离心率2e =C ．1ABF 内切圆半径最小值是32aD ．12r r +的取值范围是2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．（2022春·福建厦门·高三厦门双十中学校考期中）已知1F ，2F 是双曲线E ：()222210,0x ya b a b-=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为30°的直线分别交y 轴与双曲线右支于点M ，P ，1PM MF =，下列判断正确的是（ ） A ．21π3PF F B ．2112MF PF =C．E D ．E 的渐近线方程为y =三、填空题17．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线2222:1x y C a b-=上，点H 在直线x a =上，且满足122340HP HF HF ++=.若存在实数λ使得122112sin sin PF PF OH OP PF F PF F λ⎛⎫=++ ⎪∠∠⎝⎭，则双曲线C 的离心率为_____________18．（2022·河南·模拟预测）已知椭圆1C 和双曲线2C 有共同的左、右焦点12,F F ，M 是它们的一个交点，且12π4F MF ∠=，记1C 和2C 的离心率分别为12,e e ，则12e e 的最小值是___________.19．（2022·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考二模）第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于916-，则椭圆的离心率为______．20．（2022·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考一模）双曲线 22221(00)x y a b a b-=>>，的左顶点为A ，右焦点()0F c ，， 若直线x c =与该双曲线交于B C 、两点，ABC 为等腰直角三角形， 则该双曲线离心率为__________21．（2022·上海崇明·统考一模）已知椭圆1Γ与双曲线2Γ的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点1F 、2F ，P 是1Γ与2Γ在第一象限的交点，当12π6F PF ∠=时，双曲线2Γ的离心率等于______.22．（2022·广东广州·统考一模）如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球1O ，球2O 的半径分别为4和2，球心距离12OO =1O ，球2O 相切于点,E F （,E F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于__________.。
专题07 离心率的求值或取值范围问题-备战2015高考技巧大全之高中数学巧学巧解巧用(解析版)
【高考地位】圆锥曲线的离心率是近年高考的一个热点,有关离心率的试题,究其原因,一是贯彻高考命题“以能力立意”的指导思想,离心率问题综合性较强,灵活多变,能较好反映考生对知识的熟练掌握和灵活运用的能力,能有效地反映考生对数学思想和方法的掌握程度;二是圆锥曲线是高中数学的重要内容,具有数学的实用性和美学价值,也是以后进一步学习的基础. 【方法点评】方法1 定义法解题模板：第一步 根据题目条件求出,a c 的值 第二步 代入公式ce a=，求出离心率e .例1. 若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）A .43 B . 32C . 21D . 41【变式演练1】点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=a 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A33 B 31 C 22D 21方法2 方程法解题模板：第一步 设出相关未知量；第二步 根据题目条件列出关于,,a b c 的方程； 第三步 化简，求解方程，得到离心率.例2. 已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是准线上一点，且12PF PF ⊥，124PF PF ab =，则双曲线的离心率是（ ）ＡＢＣ．2Ｄ．3例3. 已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的右焦点为F ,过F C 于A B 、两点，若4AF FB =,则C 的离心率为 （ ）A ．65 B . 75C . 58D . 95【变式演练2】设双曲线()222200x y a b a b－＝1＞，＞的渐近线与抛物线21y ＝x ＋相切，则该双曲线的离心率等于（ ）（A （B ）2 （C （D【变式演练3】如图，在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ .方法3 借助平面几何图形中的不等关系解题模板：第一步 根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，第二步 将这些量结合曲线的几何性质用,,a b c 进行表示，进而得到不等式，第三步 解不等式，确定离心率的范围.例4已知椭圆的中心在O ,右焦点为F ，右准线为l ，若在l 上存在点M ，使线段OM 的垂直平分线经过点F ，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A .⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22B .⎥⎦⎤ ⎝⎛23,0 C .⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23 D .⎥⎦⎤ ⎝⎛22,0【点评】离心率的范围实质为一个不等式关系，如何构建这种不等关系？可以利用方程和垂直平分线性质构建.利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化.【变式演练4】已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与圆2222:C x y b +=，若在椭圆1C 上存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ）A ．1[,1)2 B ．[]22 C ．[,1)2D ．[2方法4 借助题目中给出的不等信息解题模板：第一步 找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，∆的范围等；第二步 列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解.例5已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点O 的对称点为,B F 为其右焦点，若,AF BF ⊥设,ABF α∠=且,,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则椭圆离心率的取值范围是 .【答案】[23【变式演练5】【2014江西赣州期末联考】过椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若31＜k ＜21, 则椭圆的离心率的取值范围是 .方法5 借助函数的值域求解范围解题模板：第一步 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；第二步 通过确定函数的定义域；第三步 利用函数求值域的方法求解离心率的范围.例6.已知椭圆221:12x y C m n -=+与双曲线222:1x y C m n+=有相同的焦点，则椭圆1C 的离心率e 的取值范围为（ ）A ．(,1)2 B ．(0,2C ．(0,1)D ．1(0,)2【答案】A【变式演练6】已知两定点(2,0)A -和(2,0)B ，动点(,)P x y 在直线:3l y x =+上移动，椭圆C 以,A B为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为（ ） AB C D【高考再现】1.【2012高考真题浙江理8】如图，F1,F2分别是双曲线C：22221x ya b-=（a,b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M，若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是（）A. B C D.【答案】B【解析】由题意知直线B F 1的方程为：b x c b y +=，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=0,by a x b x cb y 得点Q ),(ac bc a c ac --，联立2.【2012高考真题新课标理】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45【答案】C 【解析】3.【2012高考真题江西理】椭圆 )0(12222>>=+b a by a x 的左、右顶点分别是A ,B ,左、右焦点分别是F 1，F 2.若1AF ，21F F ，B F 1成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________.【答案】55 【命题立意】本题考查椭圆的几何性质，等比数列的性质和运算以及椭圆的离心率.4【2013年高考新课标1（理）】已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>),则C 的渐近线方程为（ ）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±5【2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）】如图,21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是（ ）（ ）A ．2B ．3C ．23 D ．26∴|AF 2|＝2＋a ，|AF 1|＝2－a .6【2013年高考湖南卷（理）】设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点,P 是C 上一点,若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30,则C 的离心率为___.7.【2014高考广东卷理第4题】若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的（ ）A .离心率相等B .虚半轴长相等C .实半轴长相等D .焦距相等8.【2014高考湖北卷理第9题】已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A B C .3 D .29.【2014江西高考理第16题】过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为 .10.【2014山东高考理第10题】 已知0>>b a ，椭圆1C 的方程为12222=+by a x ，双曲线2C 的方程为22221x y a b -=，1C 与2C 的离心率之积为23，则2C 的渐近线方程为（ ） A .02=±y x B .02=±y x C .02=±y x D .02=±y x11.【2014浙江高考理第16题】设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________12.【2014重庆高考理第8题】设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为（ ）A.34B .35C .49 D .313.【2014高考北京理第19题】已知椭圆C ：2224x y +=. （1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，试判断直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.考点：椭圆的性质，直线与圆的位置关系.14.【2014高考福建理第19题】已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x E 的两条渐近线分别为x y l x y l 2:,2:21-==.（1）求双曲线E 的离心率；（2）如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线21,l l 于B A ,两点（B A ,分别在第一， 四象限），且OAB 的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公 共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由.若存在满足条件的双曲线E ,则E 的方程只能为221416x y -=.以下证明:当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：221416x y -=也满足条件.【反馈练习】1.【广州市珠海区2014年高三8月摸底考试7】已知抛物线24y x =与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为( ).A 2B 1C 1+D2.【四川省成都市2015届高中毕业班摸底测试10】如图，已知椭圆221:111x C y +=，双曲线22222:1y x C a b-=(a ＞0，b ＞0)，若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线交于A ，B 两点，且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则C 2的离心率为( ).A 、5 BC D3.【河北省“五个一名校联盟” 2015届高三教学质量监测（一）15】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，由F 向其渐近线引垂线，垂足为P ，若线段PF 的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为 _______ ．.考点：双曲线的性质，两直线的位置关系4. 【湖北省部分重点中学2014-2015学年度上学期高三起点考试13】过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x ya b a b+=>>相交于A ,B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为 .5.【福建省安溪一中、德化一中2015届高三9月摸底考试，理9】已知21,F F 分别是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点，以21F F 为直径的圆与双曲线C 在第二象限的交点为P ，若双曲线的离心率为5，则21cos PF F ∠等于( ).A ．35B ．34C ．45D ．566.【河南省开封市2015届高三上学期定位考试模拟试题.理3】已知双曲线方程224312x y -=，则双曲线的离心率为（ ）A .73 B .3C .7D .2考点：双曲线方程、离心率.7.【云南省玉溪一中2015届高三上学期第一次月考试卷，理12】已知12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，以坐标原点O 为圆心，1OF 为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ,则当12PF F 的面积等于2a 时，双曲线的离心率为 （ ）A .2B .3C .26D .28.【冀州中学高三上学期第一次月考，理11】已知双曲线12222=-by a x 的左右焦点分别为12F F 、，O 为双曲线的中心，P 是双曲线右支上的点，21F PF ∆的内切圆的圆心为I ，且圆I 与x 轴相切于点A ，过2F 作直线PI 的垂线，垂足为B ，若e 为双曲线的离心率，则 ( ).A . ||||OA e OB = B . ||||OB e OA =C . ||||OA OB =D . ||OA 与||OB 关系不确定考点：1.双曲线定义；2.三角形内切圆.9.【河南八校2014-2015学年上学期第一次联考，理13】已知双曲线22215x y a -=的右焦点为（3,0），,则该双曲线的离心率等于 .10.【福建省安溪一中、德化一中2015届高三9月摸底考试，理19】（本小题满分13分）如图，设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点为21,F F ，上顶点为A ，点2,F B 关于1F 对称，且2AF AB ⊥（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）已知P 是过2,,F B A 三点的圆上的点，若21F AF ∆的面积为3，求点P 到直线033:=--y x l 距离的最大值.11.椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆M 上任一点，且|PF 1→|·|PF 2→|的最大值的取值范围是[2c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是( )A ．[33，22]B ．[22，1] C ．[33，1] D ．[13，12]12.已知点F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(3，22)C ．(1＋2，＋∞)D ．(1,1＋2)13.（2014山东济南一模）已知中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C 1与双曲线C 2有共同的焦点，设左右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 1与C 2在第一象限的交点，∆PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是（ ） (A )(19，+∞) (B )(15，+∞) (C ) (13，+∞) (D )(0，+∞) 【答案】C 【解析】14.已知F 1，F 2是双曲线22221x y a b-= (a >0，b >0)的左右两个焦点，过点F 1作垂直于x 轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）(A )(1，2) (B )(1 （C ）(1,5) (D )(+∞)15.从一块短轴长为2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b 2,4b 2]，则这一椭圆离心率e 的取值范围是________．16.F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________． 【答案】22≤e <117.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：12PF F △的面积只与椭圆的短轴长有关．18.【广东省华附、省实、广雅、深中2014届联考】在平面直角坐标系中，已知点F及直线:0l x y+=，曲线1C是满足下列两个条件的动点(,)P x y的轨迹：①,PF=其中d是P到直线l的距离；②0.225xyx y>⎧⎪>⎨⎪+<⎩(1) 求曲线1C的方程;(2) 若存在直线m与曲线1C、椭圆22222:1(0)x yC a ba b+=>>均相切于同一点，求椭圆2C离心率e的取值范围.故2222411a bea t-==-，得2150,16e <<又01,e <<故04e <<所以椭圆2C 离心率e 的取值范围是(0,4所以椭圆2C 离心率e 的取值范围是(0,419.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞c )的两个焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 是椭圆上一点，且满足F 1M →·F 2M →＝0. (1)求椭圆的离心率e 的取值范围 ；(2)当离心率e 取得最小值时，点N (0,3)到椭圆上的点的最远距离为52，求此时椭圆的方程．20.椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与直线x＋y＝1交于P、Q两点，且OP⊥OQ，其中O为坐标原点．(1)求1a2＋1b2的值；(2)若椭圆的离心率e满足33≤e≤22，求椭圆长轴的取值范围．。
专题13 双曲线-2023年高考数学真题题源解密(新高考)(解析版)
专题13 双曲线目录一览2023真题展现考向一 双曲线的离心率真题考查解读近年真题对比考向一 双曲线的渐近线方程命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一 双曲线的离心率1．（2023•新高考Ⅰ•第16题）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2．点A 在C 上，点B 在y 轴上，→F 1A ⊥→F 1B ，→F 2A =−23→F 2B ，则C 的离心率为 ．解：（法一）如图，设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），B （0，n ），设A （x ，y ），则→F 2A =(x−c ，y)，→F 2B =(−c ，n)，又→F 2A =−23→F 2B ，则x −c =23c y =−23n，可得A(53c ，−23n)，又→F 1A ⊥→F 1B ，且→F 1A =(83c ，−23n)，→F 1B =(c ，n)，则→F 1A ⋅→F 1B =83c 2−23n 2=0，化简得n 2＝4c 2．又点A 在C 上，则259c 2a 2−49n 2b 2=1，整理可得25c 29a2−4n 29b 2=1，代n 2＝4c 2，可得25c 2a 2−16c 2b 2=9，即25e 2−16e 2e 2−1=9，解得e 2=95或15（舍去），故e（法二）由→F 2A =−23→F 2B ，得|→F 2A ||→F 2B |=23，设|→F 2A |=2t ，|→F 2B |=3t ，由对称性可得|→F 1B |=3t ，则|→AF 1|=2t +2a ，|→AB |=5t ，设∠F 1AF 2＝θ，则sin θ=3t5t =35，所以cos θ=45=t ＝a ，所以|→AF 1|=2t +2a =4a ，|→AF 2|=2a ，在△AF 1F 2 中，由余弦定理可得cos θ45，即5c 2＝9a 2，则e【命题意图】考查双曲线的定义、标准方程、几何性质、直线与双曲线．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想．【考查要点】双曲线的定义、方程、性质是高考常考内容，以小题出现，常规题，难度中等．【得分要点】一、双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．注：1、集合语言表达式2、对双曲线定义中限制条件的理解(1)当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＞|F 1F 2|时，M 的轨迹不存在．(2)当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝|F 1F 2|时，M 的轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线．(3)当||MF 1|－|MF 2||＝0，即|MF 1|＝|MF 2|时，M 的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线．(4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支．具体是哪一支,取决于1||MF与2||MF 的大小.①若12||||MF MF >,则12||||0MF MF ->,点M 的轨迹是靠近定点2F 的那一支;②若12||||MF MF <,则21||||0MF MF ->,点M 的轨迹是靠近定点1F 的那一支.二、双曲线的方程及简单几何性质F (－c,0)，F (c,0)F (0，－c )，F (0，c )双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义和正弦定理、余弦定理．以双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)和焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)为顶点的△PF 1F 2中，若∠F 1PF 2＝θ，则(1)双曲线的定义：aPF PF 2||||||21=-(2)余弦定理：221||F F ＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ.(3)面积公式：S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ，重要结论：S △PF 1F 2=2tan2θb 推导过程：由余弦定理得|F 1F 2|2=|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ得2224||-|||-2||||(1cos 121c PF PF PF PF θ=+（|））2212442||||(1cos )c a PF PF θ=+-2122||||1cos b PF PF θ=-由三角形的面积公式可得S △PF 1F 2=121|PF ||PF |sin 2θ=222222sincos12sin 22sin 21cos 1cos 2sin tan22b b b b θθθθθθθθ⋅⋅===--四、直线与双曲线的位置关系1、把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax 2＋bx ＋c ＝0的形式，在a ≠0的情况下考察方程的判别式．(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．(3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．当a ＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．注：直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支．2、弦长公式直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，则===（k 为直线斜率）3、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A 、B两点，则弦长ab AB 22||=.考向一 双曲线的渐近线方程2．（2021•新高考Ⅱ）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率e＝2，则该双曲线的渐近线方程为 ．【解答】解：∵双曲线的方程是，∴双曲线渐近线为y＝又∵离心率为e＝＝2，可得c＝2a∴c2＝4a2，即a2+b2＝4a2，可得b＝a由此可得双曲线渐近线为y＝故答案为：y＝查考近几年真题推测以小题出现，常规题，难度中等．双曲线的定义、方程、性质是高考常考内容，一．双曲线的标准方程（共5小题）1．（2023•郑州模拟）已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A．x±y＝0B．C．D．2x±y＝0【解答】解：∵双曲线的方程是（a＞0，b＞0），∴双曲线渐近线为y＝±x．又∵离心率为e＝＝2，∴c＝2a，∴b＝＝a，由此可得双曲线渐近线为y＝±x＝±x，即：故答案为：．故选：C．2．（2023•宝山区校级模拟）若双曲线经过点，且渐近线方程是，则这条双曲线的方程是 ．【解答】解：根据题意，双曲线的渐近线方程是，则可设双曲线的标准方程为，（λ≠0）；又因为双曲线经过点，代入方程可得，λ＝﹣1；故这条双曲线的方程是；故答案为：．3．（2023•通州区模拟）双曲线的焦点坐标为（ ）A．（±1，0）B．（±，0）C．（±，0）D．（±，0）【解答】解：双曲线，可知a＝，b＝1，c＝，所以双曲线的焦点坐标为（，0）．故选：C．4．（2023•西山区校级模拟）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．2【解答】解：双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则tan＝，所以该条渐近线方程为y＝x；所以＝，解得a＝；所以c＝＝＝2，所以双曲线的离心率为e＝＝＝．故选：A．5．（2023•青羊区校级模拟）已知双曲线的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点O及点，则双曲线C的方程为（ ）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线的方程可得渐近线的方程：y＝x，因为A（，）在渐近线上，故＝所以a＝，又A在以OF为直径的圆上，所以OA⊥AF，所以AF2+OA2＝OF2，即（﹣c）2+（）2+（）2+（）2＝c2解得：c＝2，a＝，b＝1，所以双曲线的方程为：﹣y2＝1，故选：C．二．双曲线的性质（共33小题）6．（2023•天山区校级模拟）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△F1AB为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为（ ）A．2B．C．D．【解答】解：已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△F1AB为等腰直角三角形，此时|AF1|＝|BF1|，且∠AF1B＝90°，因为∠AF1F2＝∠BF1F2＝45°，而|AF2|＝|F1F2|，则，即b2＝2ac，①又b2＝c2﹣a2，②联立①②，解得，因为e＞1，所以．故选：C．7．（2023•朝阳区一模）过双曲线的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A．若∠AFO＝2∠AOF（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）A．B．C．2D．或2【解答】解：在Rt△AFO中，因为∠AFO＝2∠AOF，所以∠AOF＝30°，则，所以，故选：B．8．（2023•博白县模拟）已知F1，F2分别是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若∠F 1PF2＝60°，＝ac，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．2【解答】解：设PF 1＝m，PF2＝n，则＝＝ac，∴mn＝4ac，由余弦定理可得：|F1F2|2＝4c2＝m2+n2﹣mn＝（m﹣n）2+mn，由双曲线的定义可知m﹣n＝2a，∴4c2＝4a2+4ac，即c2﹣a2＝ac，∴e2﹣e﹣1＝0，解得e＝或e＝（舍）．故选：A．9．（2023•郑州模拟）点（4，0）到双曲线Γ：的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．5【解答】解：由题意可得双曲线的一条渐近线为：ay﹣bx＝0，所以（4，0）到ay﹣bx＝0的距离为，不妨设b＝4m（m＞0），则．故选：C．10．（2023•武鸣区校级二模）双曲线x2﹣＝1的焦点坐标为（ ）A．（±1，0）B．（0，±）C．（±，0）D．（0，±1）【解答】解：根据题意，双曲线的方程为x2﹣＝1，其中a＝1，b＝，其焦点在x轴上，则c＝＝，所以双曲线的焦点坐标为（±，0）；故选：C．11．（2023•河南模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线C的一条渐近线上的点，且线段PF1的中点M在另一条渐近线上．若∠PF2F1＝45°，则双曲线C 的离心率为（ ）A．B．C．2D．【解答】解：因为M，O分别是PF1，F1F2的中点，所以MO∥PF2，又∠PF2F1＝45°，所以∠MOF1＝45°，即，所以a＝b，故．故选：A．12．（2023•源汇区校级模拟）已知F1、F2分别为双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，若的最小值为2c，c＝，则该双曲线的离心率是（ ）A．3B．4C．D．【解答】解：由双曲线的性质可得|PF1|＝2a+|PF2|，所以|PF1|2＝4a2+4a|PF2|+|PF2|2，所以＝|PF2|++4a≥2+4a＝8a，由题意可2c＝8a，即c＝4a，所以双曲线的离心率为e＝＝4．故选：B．13．（2023•四川模拟）已知双曲线C：x2﹣＝1（a＞b＞0）的左，右顶点分别为A，B，点P在双曲线C 上，过点B作x轴的垂线BM，交PA于点M．若∠PAB＝∠PBM，则双曲线C的离心率为（ ）A．B．C．2D．3【解答】解：设P（m，n），可得m2﹣＝1，双曲线C：x2﹣＝1（a＞b＞0）的左，右顶点分别为A，B，点P在双曲线C上，过点B作x轴的垂线BM，交PA于点M．∠PAB＝∠PBM，过P作x轴的垂线，垂足为N，所以△PAN∽△BPN，可得，结合m2﹣＝1，可得b＝1，又a＝1，所以双曲线的离心率为：e＝＝．故选：A．14．（2023•贺兰县校级模拟）人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质．从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点F1.已知双曲线的方程为x2﹣y2＝1，则当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时（其中P为入射点），∠F1F2P的余弦值大小为（ ）A．B．C．D．【解答】解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m﹣n＝2，m2+n2＝，解得m＝+1，n＝﹣1，∴cos∠F1F2P＝＝，故选：D．15．（2023•海淀区校级模拟）若双曲线的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝4所截得的弦长为，则双曲线C的离心率为（ ）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为：y＝±x，即ax±2y＝0，由圆（x﹣2）2+y2＝4的方程可得圆心C（2，0），半径r＝2，可得d＝，所以可得弦长2＝2＝，解得a2＝，可得离心率e＝＝＝＝，故选：B．16．（2023•广西模拟）双曲线C：（a＞0，b＞0）的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y 轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（ ）A．B．C．2D．【解答】解：由题意知双曲线左顶点为A（﹣a，0），设P（x0，y0），则Q（﹣x0，y0），则有，又，将代入中，得，即a2＝4b2，所以，故，故选：A．17．（2023•未央区模拟）设O为坐标原点，F1，F2是双曲线C：的左、右焦点，已知双曲线C的离心率为，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，则＝（ ）A．B．2C．D．【解答】解：设双曲线的一条渐近线为y＝，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，则|PF2|＝b，则|OP|＝a，cos∠PF2O＝，在△PF1F2中，cos∠PF2O＝＝，得|PF1|2＝4c2﹣3b2＝4（a2+b）2﹣3b2＝4a2+b2，∵e＝，得＝1+＝3，得＝2，则＝＝＝＝＝，故选：A．18．（2023•贵阳模拟）已知双曲线C：mx2﹣ny2＝1（m＞0，n＞0）的离心率为，虚轴长为4，则C 的方程为（ ）A．3x2﹣4y2＝1B．C．D．【解答】解：由双曲线C：mx2﹣ny2＝1（m＞0，n＞0），得，可得a＝，b＝，c＝，∵双曲线的离心率为，虚轴长为4，∴，解得．∴C的方程为．故选：D．19．（2023•郑州模拟）已知双曲线的左焦点为F，过原点O的直线与C交于点A，B，若|OF|＝|OA|，则|AF||BF|＝（ ）A．2B．4C．8D．16【解答】解：双曲线，则a＝2，b＝1，，由|OF|＝|OA|可得AF⊥BF，设A为右支上一点，F2为右焦点，连接AF2、BF2，则四边形AFBF2为矩形，所以|AF2|＝|BF|，设|AF|＝m，|BF|＝n，则m﹣n＝4，m2+n2＝20，所以．故选：A．20．（2023•蕉城区校级二模）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线l交双曲线的右支于A、B两点．点M满足，且，者，则双曲线的离心率是（ ）A．B．C．D．【解答】解：如下图所示，取线段BF1的中点E，连接AE，因为，则，因为E为BF1的中点，则AE⊥BF1，且∠ABF1＝∠AF1B，由双曲线的定义可得2a＝|AF1|﹣|AF2|＝|AB|﹣|AF2|＝|BF2|，所以|BF1|＝|BF2|+2a＝4a，则|BE|＝|EF1|＝2a，由余弦定理可得＝＝，所以，因此该双曲线的离心率为．故选：C．21．（2023•凉山州模拟）已知以直线y＝±2x为渐近线的双曲线，经过直线x+y﹣3＝0与直线2x﹣y+6＝0的交点，则双曲线的实轴长为（ ）A．6B．C．D．8【解答】解：由，解得，则双曲线过点（﹣1，4）．若双曲线的焦点在x轴，设为，由双曲线的渐近线方程为y＝±2x，得，即b＝2a，将（﹣1，4）代入方程，得，有，无解，不符合题意；若双曲线的焦点在y轴，设为，由双曲线的渐近线方程为y＝±2x，得，即a＝2b，将（﹣1，4）代入方程，得，有，解得，所以双曲线的实轴长为．故选：C．22．（2023•滨海新区校级三模）点F是抛物线x2＝8y的焦点，A为双曲线C：的左顶点，直线AF平行于双曲线C的一条渐近线，则实数b的值为（ ）A．2B．4C．8D．16【解答】解：抛物线x2＝8y的焦点为（0，2）．设A为双曲线C：的左顶点（﹣2，0），渐近线方程为y＝±x，因为直线AF平行于双曲线C的一条渐近线，所以＝，解得b＝4，故选：B．23．（2023•恩施市校级模拟）已知F1，F2分别为双曲线C：的左右焦点，且F1到渐近线的距离为1，过F2的直线l与C的左、右两支曲线分别交于A，B两点，且l⊥AF1，则下列说法正确的为（ ）A．△AF1F2的面积为2B．双曲线C的离心率为C．D．【解答】解：设双曲线C的半焦距为c＞0，因为双曲线C的焦点在x轴上，且a＝2，则其中一条渐近线方程为，即bx﹣2y＝0，且F1（﹣c，0），则F1到渐近线的距离为，可得，对于A：因为|AF2|﹣|AF1|＝4且，可得，解得|AF1|⋅|AF2|＝2，所以△AF1F2的面积为，故A错误；对于B：双曲线C的离心率为，故B错误；对于C：因为，可得，所以•＝•＝•（•+）＝2+•＝2＝10﹣4，故C错误；对于D：设|BF 2|＝m，则，因为，即，解得，所以＝+＝，故D正确．故选：D．24．（2023•郑州模拟）已知F1，F2分别是双曲线Γ：的左、右焦点，过F1的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，BF2平分∠F1BC，则双曲线Γ的离心率为（ ）A．B．C．D．【解答】解：因为，则CB∥F2A，所以△F1AF2∽△F1BC，设|F1F2|＝2c，则|F2C|＝8c，设|AF1|＝t，则|BF1|＝5t，|AB|＝4t．因为BF2平分∠F1BC，由角平分线定理可知，，所以|BC|＝4|BF1|＝20t，所以，由双曲线定义知|AF2|﹣|AF1|＝2a，即4t﹣t＝2a，，①又由|BF1|﹣|BF2|＝2a得|BF2|＝5t﹣2a＝2t，在△ABF2中，由余弦定理知，在△F1BF2中，由余弦定理知，即，化简得c2＝6t2，把①代入上式得，解得．故选：A．25．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过双曲线C上一点P向y轴作垂线，垂足为Q，若|PQ|＝|F1F2|且PF1与QF2垂直，则双曲线C的离心率为（ ）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线焦距为2c，不妨设点P在第一象限，由题意知PQ∥F1F2，由|PQ|＝|F1F2|且PF1与QF2垂直可知，四边形PQF1F2为菱形，且边长为2c，而△QF1O为直角三角形，|QF1|＝2c，|F1O|＝c，故∠F1QO＝30°，∴∠QF1O＝60°，则∠F1QP＝120°则，|PF2|＝2c，故，即离心率．故选：B．26．（2023•林芝市二模）已知双曲线的左、右焦点分别是F1，F2，双曲线C上有两点A，B满足，且，若四边形F1AF2B的周长l与面积S满足，则双曲线C的离心率为（ ）A．B．C．D．【解答】解：不妨设|AF1|＝m，|AF2|＝n（m＞n），由双曲线的定义可知，m﹣n＝2a，则m2+n2﹣2mn＝4a2①，又，所以由余弦定理可得m2+n2+mn＝4c2②，由①②可得，所以．又四边形F1AF2B为平行四边形，故四边形F1AF2B的周长l＝2（m+n），则，面积，因为，所以，整理得2c2＝3a2，故双曲线C的离心率为，故选：A．27．（2023•安徽模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C的右支相交于点P，过点O，F2作ON⊥PF1，F2M⊥PF1，垂足分别为N，M，且M为线段PN的中点，|ON|＝a，则双曲线C的离心率为（ ）A．2B．C．D．【解答】解：因为F1，F2为双曲线C的左、右焦点，所以|F1F2|＝2c，因为ON⊥PF1，F2M⊥PF1所以ON∥F2M，又O为线段F1F2的中点，所以N为线段F1M的中点，且，又M为线段PN的中点，所以，在Rt△OF1N中，|ON|＝a，|OF1|＝b，所以，所以|PF1|＝3b，|MP|＝b，因为点P在双曲线的右支上，所以|PF1|﹣|PF2|＝2a，故|PF2|＝3b﹣2a，在Rt△MF2P中，|MF2|＝2a，|MP|＝b，|PF2|＝3b﹣2a，由勾股定理可得：（2a）2+b2＝（3b﹣2a）2，所以8b2＝12ab，即2b＝3a，所以4b2＝9a2，又b2＝c2﹣a2，故4c2＝13a2，所以，故选：D．28．（2023•长沙模拟）已知双曲线4x2﹣＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M是双曲线右支上一点，满足•＝0，点N是线段F1F2上一点，满足＝λ．现将△MF1F2沿MN折成直二面角F1﹣MN﹣F2，若使折叠后点F1，F2距离最小，则λ＝（ ）A．B．C．D．【解答】解：易知双曲线中，，则，又，即，又，∴，如图，设∠NMF2＝θ，F2G⊥MN，F1H⊥MN，则，∴＝4sin2θ+（2cosθ﹣3sinθ）2+9cos2θ＝13（sin2θ+cos2θ）﹣12sinθcosθ＝13﹣6sin2θ，由三角函数知识可知，当时，F1F2取得最小值，此时MN为△MF1F2的角平分线，由角平分线性质可知，此时，则，∴．故选：C．29．（2023•濠江区校级模拟）已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为k（k≠0）的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D．若，则双曲线的离心率取值范围是（ ）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线的右焦点为F（c，0），A（x1，y1），B（x2，y2），则直线l：y＝k（x﹣c），联立方程，消去y得：（b2﹣a2k2）x2+2a2k2cx﹣a2（k2c2+b2）＝0，则可得，则，设线段AB的中点M（x0，y0），则，即，且k≠0，线段AB的中垂线的斜率为，则线段AB的中垂线所在直线方程为，令y＝0，则，解得，即，则，由题意可得：，即，整理得，则，注意到双曲线的离心率e＞1，∴双曲线的离心率取值范围是．故选：A．30．（2023•洛阳模拟）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），过点F1的直线l与双曲线C的左支交于点A，与双曲线C的一条渐近线在第一象限交于点B，且|F1F2|＝2|OB|（O为坐标原点）．下列四个结论正确的是（ ）①；②若，则双曲线C的离心率；③|BF1|﹣|BF2|＞2a；④．A．①②B．①③C．①②④D．①③④【解答】解：如图，∵|F1F2|＝2|OB|，O为F1F2的中点，∴|OF1|＝|OF2|＝|OB|，得BF1⊥BF2，则，即|BF1|＝，故①正确；设∠BOF2＝θ，则tanθ＝，cosθ＝，sinθ＝，作AA1⊥x轴，垂足为A1，BB1⊥x轴，垂足为B1，则|OB1|＝|OB|cosθ＝c•＝a，|BB1|＝|OB|sinθ＝c•＝b，∵，∴＝，得|AA1|＝b，|A1F1|＝（a+c），则A（（a﹣2c），b），∴，得（2c﹣a）＝a，则e＝，故②正确；设直线l与C右支的交点为M，则|MF1|﹣|MF2|＝2a，∵||MB|﹣|MF2||＜|BF2|，∴|MB|﹣|MF2|＞﹣|BF2|，则|MF1|﹣|MF2|＝|BF1|+|MB|﹣|MF2|＞|BF1|﹣|BF2|，则|BF1|﹣|BF2|＜2a，故③错误；设A（x0，y0），则|AF1|＝＝＝＝||，得|AF1|＝﹣（+a），由题意可知，0＜y0＜|BB1|＝b，则a2＜＝a2（1+）＜2a2，则﹣a＜x0＜﹣a，故c﹣a＜|AF1|＝﹣﹣a＜c﹣a，故④正确．故选：C．31．（2023•江西二模）已知双曲线E：，其左右顶点分别为A1，A2，P在双曲线右支上运动，若∠A1PA2的角平分线交x轴于D点，A2关于PD的对称点为A3，若仅存在2个P使直线A3D与E仅有一个交点，则E离心率的范围为（ ）A．B．C．D．（2，+∞）【解答】解：设直线PA1的倾斜角为α，直线PA2的倾斜角为β，由题设可得P不为右顶点．设P（x0，y0），则．双曲线在P（x0，y0）处的切线斜率必存在，设切线方程为y＝k（x﹣x0）+y0，由可得，整理得到：，故，整理得：即，故，故切线方程为：即．因为存在2个P使直线A3D与E仅有一个交点，故由双曲线的对称性不妨设P在第一象限，此时α，β均为锐角且存在唯一的P满足题设条件．故直线PD与渐近线平行或与双曲线相切或．若直线PD与渐近线平行，则，而PD为∠A1PA2的平分线，故其倾斜角γ满足γ﹣α＝β﹣γ，故，故，故，但，故，而，由基本不等式可得，当且仅当tanα＝tanβ即α＝β时等号成立，此时PA1∥PA2，这不可能，故直线PD与渐近线不平行．若直线PD与双曲线相切，且切点为P（x0，y0），双曲线在P的切线方程为：，故且该切线的斜率为，所以直线A3D的斜率为．此时，而，即，故a2＝a2+b2，矛盾．故直线，所以，而直线A3D的倾斜角为α+β，因为直线A3D与双曲线有且只有一个交点，且D在OA2之间，故，由P在第一象限内的唯一性可得存在唯一的α，β，使得，而，故，所以即b2＞3a2，所以，故选：D．32．（2023•江西模拟）双曲线的左焦点为F，过点F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若过A，B和点的圆的圆心在y轴上，则直线l的斜率为（ ）A．B．C．±1D．【解答】解：由题意可知：F（﹣2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为P，过点A，B，M的圆的圆心坐标为G（0，t），则，由题意知：直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为：x＝my﹣2，联立方程组化简整理可得，（m2﹣3）y2﹣4my+1＝0，则m2﹣3≠0，Δ＝16m2﹣4（m2﹣3）＝12m2+12＞0，，故AB的中点P的纵坐标，横坐标，则，由圆的性质可知：圆心与弦中点连线的斜率垂直于弦所在的直线，所以，化简整理可得：①，则圆心G（0，t）到直线AB的距离，，，即，将①代入可得：，即，整理可得：m4﹣5m2+6＝0，则（m2﹣2）（m2﹣3）＝0，因为m2﹣3≠0，所以m2﹣2＝0，解得，所以．故选：A．33．（多选）（2023•宜章县模拟）已知F1，F2分别为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线C的渐近线在第一象限部分上的一点，线段PF2与双曲线交点为Q，且|F1P|＝|F1F2|＝2|PF2|，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）A．|OP|＝2aB．双曲线C的离心率e＝C．|QF1|＝aD．若△QF1F2的内心的横坐标为3，则双曲线C的方程为＝1【解答】解：对于A，如图，过F2作F2H⊥PO，垂足点为H，∵F2（c，0）到直线y＝x的距离d＝＝b，∴|F2H|＝b，又|OF2|＝c，tan∠POF2＝，∴易得|OH|＝a，又|F1F2|＝2|PF2|＝2|OF2|，∴|PF2|＝|OF2|，∴H为PO的中点，∴|OP|＝2|OH|＝2a，故A正确；对于B，设∠POF2＝θ，则tanθ＝，∴cosθ＝，sinθ＝，又由A知|OP|＝2a，∴P（2a cosθ，2a sinθ），即P（，），又F1（﹣c，0），|F1P|＝|F1F2|＝2c，∴＝2c，两边平方化简，可得4a4+c4+4a2c2+4a2b2＝4c4，∴4a4+c4+4a2c2+4a2（c2﹣a2）＝c4，∴8a2＝3c2，∴e2＝＝，∴e＝，故B错误；对于C，设|QF1|＝t，则QF2|＝t﹣2a，又|F1P|＝|F1F2|＝2|PF2|＝2c，∴cos∠QF2F1＝＝，∴在△QF2F1中，由余弦定理，可得＝，∴t＝，又由B知c＝a，∴t＝＝，故C正确；对于D，设△QF1F2的内心为I，且内切圆I与F1F2切于点E，则根据双曲线的定义及内切圆的几何性质，可得|QF1|﹣|QF2|＝|F1E|﹣|F2E|＝2a，又|F1E|+|F2E|＝2c，∴|F1E|＝c+a，|F2E|＝c﹣a，∴切点E为右顶点，又△QF1F2的内心的横坐标为3，∴a＝3，又由B知e＝，∴c＝2，∴b2＝c2﹣a2＝24﹣9＝15，∴双曲线C的方程为＝1，故D正确，故选：ACD．34．（2023•万州区校级模拟）已知F1，F2为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过点F1作一条渐近线的垂线交双曲线右支于点P，直线PF2与y轴交于点Q（P，Q在x轴同侧），连接QF1，如图，若△PQF1内切圆圆心恰好落在以F1F2为直径的圆上，则∠F1PF2＝ ；双曲线的离心率e ＝ ．【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），如图可得△QF1F2为等腰三角形，则△PQF1的内切圆圆心I在y轴上，又I恰好落在以F1F2为直径的圆上，可设I（0，c），双曲线的一条渐近线方程设为bx+ay＝0，则直线PF1的方程设为ax﹣by+ac＝0，则I到直线PF1的距离为＝|a﹣b|，由图象可得a＜b，则|a﹣b|＝b﹣a，设Q（0，t），且t＞c，则直线QF2的方程为tx﹣cy+tc＝0，由内心的性质可得I到直线QF2的距离为b﹣a，即有＝b﹣a，化简可得abt2﹣tc3+abc2＝0，由Δ＝c6﹣4a2b2c2＝c2（a2﹣b2）2，解得t＝或＜c（舍去），则Q（0，），直线QF2的斜率为＝﹣，可得直线QF2与渐近线OM：bx+ay＝0平行，可得∠F1PF2＝，由F1到渐近线OM的距离为＝b，|OM|＝＝a，由OM为△PF1F2的中位线，可得|PF2|＝2|OM|＝2a，|PF1|＝2|MF1|＝2b，又|PF1|﹣|PF2|＝2a，则b＝2a，e＝＝＝．故答案为：，．另解：设由F1向渐近线y＝﹣x所作垂线的垂足为M，△PQF1的内心为I，由于|QF1|＝|QF2|，所以内心I在y轴上．又内心I在以线段F1，F2为直径的圆上，所以|OF1|＝|OF2|＝c，连接IF1．IF2，则∠IF1O＝∠IF2O＝45°，设∠QF1I＝∠QF2I＝α，则∠IF1P＝∠QF1I＝α，因此∠PF1F2＝45°﹣α，而∠PF2F1＝∠QF2I+∠IF2O＝45°+α，因此∠PF1F2+∠PF2F1＝45°﹣α+45°+α＝90°，故∠F1PF2＝90°．又F1M⊥OM，所以OM∥PF2，所以M为PF的中点，易求得|OM|＝a，于是|PF2|＝2a．由双曲线定义可得|PF1|＝2a+2a＝4a，在Rt△PF1F2中，由勾股定理可得（4a）2+（2a）2＝（2c）2，于是c2＝5a2，故得双曲线的离心率e＝．故答案为：，．35．（2023•淮北一模）已知双曲线C：过点，则其方程为 ，设F1，F2分别为双曲线C的左右焦点，E为右顶点，过F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设M，N分别为△AF1F2，△BF1F2的内心，则|ME|﹣|NE|的取值范围是 ．所以双曲线C的方程为．②如图：设△AF1F2的内切圆与AF1，AF2，F1F2分别切于H，D，G，所以|AH|＝|AD|，|HF1|＝|GF1|，|DF2|＝|GF2|，所以|AF1|﹣|AF2|＝|AH|+|HF1|﹣|AD|﹣|DF2|＝|HF1|﹣|DF2|＝|GF1|﹣|GF2|＝2a，又|GF1|+|GF2|＝2c，所以|GF1|＝a+c，|GF2|＝c﹣a，又|EF1|＝a+c，|EF2|＝c﹣a，所以G与E（a，0）重合，所以M的横坐标为a，同理可得N的横坐标也为a，设直线AB的倾斜角为θ．则，，＝＝＝＝，当时，|ME|﹣|NE|＝0，当时，由题知，a＝2．c＝4，．因为A，B两点在双曲线的右支上，∴，且，所以或，∴．且，，综上所述，．故答案为：；．36．（多选）（2023•芜湖模拟）双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．已知O为坐标原点，F1，F2分别是双曲线C：的左右焦点，过F2的直线交双曲线C的右支于M，N两点，且M（x1，y1）在第一象限，△MF1F2，△NF1F2的内心分别为I1，I2，其内切圆半径分别为r1，r2，△MF1N的内心为I．双曲线C在M处的切线方程为，则下列说法正确的有（ ）A．点I1、I2均在直线x＝3上B．直线MI的方程为C．D．【解答】解：由双曲线得a＝3，b＝4，c＝5，设△MF1F2的内切圆I1与MF1，MF2，F1F2分别切于点A，B，H，则|MA|＝|MB|，|F1A|＝|F1H|，|F2B|＝|F2H|，所以|MF1|﹣|MF2|+|F1F2|＝|F1A|+|MA|﹣|F2B|﹣|MB|﹣|F1H+F2H|＝2a+2c＝16，又|OF1|＝5，所以|OH|＝3，即圆I1与x轴的切点是双曲线的右顶点，即I1在直线x＝3上，同理可得圆I2与x轴的切点也是双曲线的右顶点，即I2也在直线x＝3上，故选项A正确；因为△MF1N的内心为I，所以MI平分∠F1MF2，根据双曲线的光学性质，双曲线C在M处的切线就平分∠F1MF2，故直线MI的方程为，故B正确；设△NF1F2的内切圆I2与MN切于点D，连接I1B，I2D，I1F2，I2F2，设∠I2I1F2＝θ，∠I1I2F1＝α，因为IB⊥MN，I2D⊥MN，所以I1B∥I2D，所以2θ+2α＝π，即，所以tanθ•tanα＝1，又|F2H|＝2，所以tan，tan，即tan＝1，所以r1r2＝4，故C不正确；由B可得MI的方程为，①设N（x2，y2），同理可得NI的方程为，②联立①②可得x＝，可设MN的方程为x＝my+5，可得x1＝my1+5，x2＝my2+5，则x＝＝，所以I在直线x＝上，所以I到I1I2的距离为d3＝3﹣＝，F2到I1I2的距离为d4＝5﹣3＝2，所以＝＝．故D正确．故选：ABD．37．（多选）（2023•广东模拟）双曲线的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上异于顶点的一点，△PF1F2的内切圆记为圆I，圆I的半径为r，过F1作PI的垂线，交PI的延长线于Q，则（ ）A．动点I的轨迹方程为x＝4（y≠0）B．r的取值范围为（0，3）C．若r＝1，则tan∠F1PF2＝D．动点Q的轨迹方程为x2+y2＝16（x≠4且x＞﹣）【解答】解：设Ⅰ（x，y），设△PF1F2的内切圆分别与边PF1，PF2，F1F2切于A，B，C三点，如图所示，对于A：由题知，a＝4，b＝3，c＝5，F1（﹣5，0），F2（5，0），8＝|PF1|﹣|PF2|＝（|PA|+|F1A|）﹣（PB|+|F2B|）＝|F1A|﹣|F2B|＝|F1C|﹣|F2C|，所以（x+5）﹣（5﹣x）＝8，x＝4，显然y≠0，故A正确；对于B：根据对称性，不妨假设P点在x轴上方，根据A选项可设Ⅰ（4，r），双曲线的一条渐近线为，考虑P点在无穷远时，直线PF1的斜率趋近于，此时PF1的方程为，圆心到直线的距离为＝3，所以r的取值范围为（0，3），故B正确；对于C：r＝1时，|IB|＝|IC|＝1，|F2C|＝1，此时PF2⊥F1F2，所以，，因为|F1F2|＝10，PF2⊥F1F2，所以，故C错误；对于D：分别延长F1Q，PF2交于点M，因为PQ过内切圆圆心I，所以PQ为角平分线，且PQ⊥F1M，所以|PF1|＝|PM|，且Q为F1M的中点，所以|PF1|﹣|PF2|＝|PM|﹣|PF2|＝|MF2|＝8，又因为点O为F1F2的中点，Q为F1M的中点，所以，所以动点Q的轨迹方程为x2+y2＝16，显然x≠4，又考虑P点在无穷远时，此时直线OP趋近于渐近线，直线F1Q为，联立方程组，解得，则，所以点Q的横坐标，动点Q的轨迹方程为，故D正确；故选：ABD．38．（2023•赤峰模拟）初中时代我们就说反比例函数的图像是双曲线，建立适当的平面直角坐标系可以求得这个双曲线的标准方程，比如，把的图象顺时针旋转可以得到双曲线．已知函数，在适当的平面直角坐标系中，其标准方程可能是（ ）A．B．C．D．【解答】解：对函数，其定义域为{x|x≠0}，定义域关于原点对称，用﹣x，﹣y替换x，y，方程不变，故其图象关于原点对称．又当x＞0，且x趋近于0时，y趋近于正无穷，当x趋近于正无穷时，趋近于0，此时的图象与y＝无限靠近，故的两条渐近线为y轴与y＝，为使其双曲线的方程为标准方程，故应建立的坐标轴x′，y′必须平分两条渐近线的夹角，又y＝，其斜率为k＝，此时其在原坐标系中其倾斜角为30°，与y轴夹角为60°，故新坐标系中，x′轴与x轴的夹角应为60°，故x′轴所在直线在原坐标系中的方程为y＝x，y′轴与其垂直，在如图所示的新坐标系中，设双曲线的方程为，联立，可得x2＝3，y2＝9，则a2＝x2+y2＝12，又在新坐标系下，双曲线的渐近线x＝0与x轴的夹角为30°，故＝，即，故在新坐标系下双曲线方程为．故选：A．三．直线与双曲线的综合（共22小题）39．（2023•射洪市校级模拟）已知双曲线的右焦点为F，点A（0，m），若直线AF与C 只有一个交点，则m＝（ ）A．±2B．C．D．±4【解答】解：双曲线的右焦点为F（4，0），点A（0，m），双曲线的渐近线方程：y＝x，直线AF与C只有一个交点，可得，解得m＝．故选：B．40．（2023•赤峰三模）2022年卡塔尔世界杯中的数字元素——会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线．定义：在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1（﹣a，0）F2（a，0）的距离之积等于a2（a＞0）的点的轨迹称为双纽线C．已知P（x0，y0）是双纽线C上的一点，下列说法错误的是（ ）A．双纽线C关于原点O成中心对称B．C．双曲线C上满足|PF1|＝|PF2|的点P有两个D．|OP|的最大值为【解答】解：对于A，因为定义在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1（﹣a，0），F2（a，0），距离之积等于a2（a＞0）的点的轨迹称为双纽线C，所以，用（﹣x，﹣y）替换方程中的（x，y），原方程不变，所以双纽线C关于原点O中心对称，所以A正确；对于B，根据三角形的等面积法可知＝，即|y0|＝sin∠F1PF2，所以，所以B正确；对于C，若双纽线C上的点P满足|PF1|＝|PF2|，则点P在y轴上，即x＝0，所以，得y＝0，所以这样的点P只有一个，所以C错误；对于D，因为，所以||2＝（﹣cos∠F1PF2+），由余弦定理得4a2＝﹣cos∠F1PF2+，所以||2＝a2+cos∠F1PF2＝a2+a2cos∠F1PF2≤2a2，所以|PO|的最大值为，所以D正确．故选：C．41．（2023•淮北二模）已知A（﹣2，0），B（2，0），过P（0，﹣1）斜率为k的直线上存在不同的两个点M，N满足：．则k的取值范围是（ ）A．B．C．D．【解答】解：因为，所以M，N是以A（﹣2，0）、B（2，0）为焦点的双曲线的右支上的两点，且c＝2，，所以，∴双曲线方程为，则过P（0，﹣1）斜率为k的直线方程为y＝kx﹣1，由，消去y整理得（1﹣3k2）x2+6kx﹣6＝0，所以，解得，即k的取值范围为．故选：C．42．（2023•河南模拟）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，B为双曲线E上在第一象限内的点，线段F1B与双曲线E相交于另一点A，AB的中点为M，且F2M⊥AB，若∠AF1F2＝30°，则双曲线E的离心率为（ ）A．B．2C．D．【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），∠AF1F2＝30°，可得AB的方程为：y＝（x+c），代入双曲线方程化简可得：（3b2﹣a2）x2﹣2a2cx﹣a2c2﹣3a2b2＝0，所以x M＝，y M＝（+c），＝，解得a2＝b2，所以双曲线的离心率为：e＝＝＝．故选：D．43．（2023•天津模拟）双曲线的左右焦点分别是F1，F2，离心率为e，过点F1的直线交双曲线的左支于M，N两点．若△MF2N是以M为直角顶点的等腰直角三角形，则e2等于（ ）A．B．C．D．【解答】解：设|MF2|＝m，因为△MNF2是以M为直角顶点的等腰直角三角形，所以|MN|＝m，|NF2|＝m，|MF1|＝，|NF1|＝m﹣，由双曲线的定义知，|MF2|﹣|MF1|＝2a，|NF2|﹣|NF1|＝2a，又|MF1|＝m﹣2a，|NF1|＝m﹣2a，，解得m＝2a，则，解得，双曲线的离心率为e，可得e2＝5﹣2．故选：A．44．（2023•让胡路区校级模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若A为线段BF1的中点，且BF1⊥BF2，则C 的离心率为（ ）A．B．2C．D．3【解答】解：由题意可知，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，当两个交点分别在第二和第三象限时不符合，A为线段BF1的中点，当交点在x轴上方或x轴下方时，根据对称性结果是一样的，选择一种即可，如图．根据双曲线可得，F1（﹣c，0），F2（c，0），两条渐近线方程，∵BF1⊥BF2，O为F1F2的中点，∴BO＝OF1＝OF2＝c，又∵A为线段BF1的中点，∴OA垂直平分BF1，可设直线BF1为①，直线BF2为②，直线BO为③，由②③得，交点坐标，点B还在直线BF1上，∴，可得b2＝3a2，c2＝a2+b2＝4a2，所以双曲线C的离心率，故选：B．。
2023年高考数学---《离心率问题》解题方法讲解
2023年高考数学---《离心率问题》解题方法讲解1．（2022·全国·统考高考真题）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ）ABC ．12D ．13【答案】A【解析】[方法一]：设而不求 设()11,P x y ，则()11,Q x y − 则由14AP AQk k ⋅=得：21112211114AP AQ y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+−+−+， 由2211221x y a b +=，得()2221212b a x y a −=， 所以()2221222114b a x ax a −=−+，即2214b a =， 所以椭圆C的离心率c e a = A.[方法二]：第三定义设右端点为B ，连接PB ，由椭圆的对称性知：PB AQ k k =−故14AP AQ PA AQ k k k k ⋅=⋅−=−，由椭圆第三定义得：22PA AQb k k a⋅=−，故2214b a = 所以椭圆C的离心率ce a= A. 2．（2021·天津·统考高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（ ）A BC ．2D ．3【答案】A【解析】设双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =−，令x c =−，则22221c y a b−=，解得2b y a =±，所以22bAB a =,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bca =c =，所以222212a c b c =−=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.3．（2021·全国·统考高考真题）设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为 2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+−=−+−=−++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b −≤≤，当32b b c−≤−，即 22b c ≥时，22max 4PB b =，即 max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即 0e <≤当32b b c −>−，即22b c <时， 42222maxb PB a bc =++，即422224b a b b c ++≤，化简得， ()2220c b −≤，显然该不等式不成立． 故选：C ．4．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（ ）A B ．32C D 【答案】AC【解析】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用 情况一M 、N 在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为B ， 所以1OB F N ⊥，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的左支， OB a =，1OF c =， 1FB b =，设12F NF α∠=，由即3cos 5α=，则4sin 5α=， 235NA NF 22a a ==， 21NF NF 2a −=532222a a b a ⎛⎫−−= ⎪⎝⎭，2b e a =∴=， 选A 情况二若M 、N 在双曲线的两支，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支， 所以OB a =，1OF c =， 1FB b =，设12F NF α∠=， 由123cos 5F NF ∠=，即3cos 5α=，则4sin 5α=，235NA NF 22a a ==， 12NF NF 2a −=352222a b a a +−=， 所以23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率c e a =选C[方法二]：答案回代法A e =选项特值双曲线())22121,F ,F 4x y −=∴，过1F 且与圆相切的一条直线为(y 2x =，两交点都在左支,N ⎛∴ ⎝，2112NF 5,NF 1,FF ∴===则123cos 5F NF ∠=，C e =选项特值双曲线())2212x y 1,F ,F 49−=∴，过1F 且与圆相切的一条直线为(2y x 3=，两交点在左右两支，N 在右支，N ∴，2112NF 5,NF 9,FF ∴===则123cos 5F NF ∠=，[方法三]：依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ， 若,M N 分别在左右支， 因为1OG NF ⊥，且123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支， 又OG a =，1OF c =，1GF b =， 设12F NF α∠=，21F F N β∠=， 在12F NF △中，有()212sin sin sin NF NF cβαβα==+， 故()122sin sin sin NF NF cαββα−=+−即()sin sin sin a c αββα=+−，所以sin cos cos sin sin sin a cαβαββα=+−，而3cos 5α=，sin a c β=，cos b c β=，故4sin 5α=， 代入整理得到23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率c e a =若,M N 均在左支上，同理有()212sin sin sin NF NF c βαβα==+，其中β为钝角，故cos bcβ=−， 故()212sin sin sin NF NF cβαβα−=−+即sin sin cos cos sin sin a c βαβαβα=−−，代入3cos 5α=，sin a c β=，4sin 5α=，整理得到：1424a b a =+，故2a b =，故e =故选：AC.5．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是________________．【答案】13【解析】∵椭圆的离心率为12c e a ==，∴2a c =，∴22223b a c c =−=，∴椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+−=，即，不妨设左焦点为1F ，右焦点为2F ，如图所示，∵222AF a OF c a c ===，，，∴23AF O π∠=，∴12AF F △为正三角形，∵过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，∴直线DE直线DE 的方程：x c =−，代入椭圆方程22234120x y c +−=，整理化简得到：221390y c −−=，判别式()22224139616c c ∆=+⨯⨯=⨯⨯，∴122264613cDE y =−==⨯⨯⨯=， ∴ 138c =， 得1324a c ==， ∵DE 为线段2AF 的垂直平分线，根据对称性，22AD DF AE EF ==，，∴ADE V 的周长等于2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到2F DE △周长为222211*********DF EF DE DF EF DF EF DF DF EF EF a a a ++=+++=+++=+==.故答案为：13.6．（2022·浙江·统考高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4ba的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________．【解析】过F 且斜率为4ba 的直线:()4b AB y xc a =+，渐近线2:b l y x a=， 联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫− ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b −=，解得：228124c a =，所以离心率e =7．（2022·全国·统考高考真题）记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的离心率为e ，写出满足条件“直线2y x =与C 无公共点”的e 的一个值______________． 【答案】2（满足1e <≤【解析】2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>，所以C 的渐近线方程为b y x a =±,结合渐近线的特点，只需02b a <≤，即224b a≤，可满足条件“直线2y x =与C 无公共点”所以=c e a又因为1e >，所以1e <故答案为：2（满足1e <≤。
高考数学复习：离心率范围(最值)模型
解决离心率范围(最值)问题的基本思路是建立目标函数或构建不等关系：建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达离心率，利用求函数的值域(最值)的方法将离心率表示为其他变量的函数，求其值域(最值)，从而确定离心率的取值范围；构建不等关系是根据试题本身给出的不等条件，或一些隐含条件或椭圆(双曲线)高考数学复习：离心率范围(最值)模型自身的性质构造不等关系，从而求解．【例题选讲】[例8] (41)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，与双曲线的渐近线交于C ，D 两点，若|AB |≥35|CD |，则双曲线离心率e 的取值范围为( )A ．[53，＋∞)B ．[54，＋∞)C ．(1，53] D ．(1，54]答案 B 解析 将x ＝c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y ＝±b 2a ，不妨取A (c ，b 2a )，B (c ，－b 2a )，所以|AB |＝2b 2a．将x ＝c 代入双曲线的渐近线方程y ＝±ba x ，得y ＝±bc a ，不妨取C (c ，bc a )，D (c ，－bc a )，所以|CD |＝2bca．因为|AB |≥35|CD |，所以2b 2a ≥35×2bc a ，即b ≥35c ，则b 2≥925c 2，即c 2－a 2≥925c 2，即1625c 2≥a 2，所以e 2≥2516，所以e ≥54，故选B ．(42)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线l ：4x －3y ＝0与椭圆C相交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝6，点P 到直线l 的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0，59] B ．( C ．( D ．(13，答案 C 解析 如图所示，设F ′为椭圆的左焦点，连接AF ′，BF ′，则四边形AFBF ′是平行四边形，∴6＝|AF |＋|BF |＝|AF ′|＋|AF |＝2a ，∴a ＝3．取P (0，b )，∵点P 到直线l ∶4x ＋3y ＝0的距离不小于65，|3b |≥65，解得b ≥2．∴c ∴0<c a ≤∴椭圆E 的离心率范围是(0．故选C ．(43)已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B两点，若△ABF 1是锐角三角形，则该椭圆离心率e 的取值范围是( )A ．1，＋∞) B ．(01) C ．1，1) D ．11)答案 C 解析 由题意可知，A ，B 的横坐标均为c ，且A ，B 都在椭圆上，所以c 2a 2＋y 2b2＝1，从而可得y ＝±b 2a，不妨令A (c ，b 2a )，B (c ，－b 2a )．由△ABF 1是锐角三角形知∠AF 1F 2<45°，所以tan ∠AF 1F 2<1，所以tan ∠AF 1F 2＝AF 2F 1F 2＝b 2a 2c <1，故a 2－c 22ac <1，即e 2＋2e －1>0，解得e1或e <1，又因为椭圆中，0<e <11<e <1．故选C ．(44)已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2m ＋y 24＝1的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点P ，使得△PF 1F 2C 的离心率的取值范围是( )A ．(12，B ．(12，1)C ．1) D ．1)答案 A 解析 F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2m ＋y 24＝1的上下两个焦点，可得2c ＝P ，使得△PF 1F 2，可得12×2m 2－4m ＋3<0，解得m ∈(1，3)，则椭圆C 的离心率为：e(12，．(45)已知椭圆22x a ＋22y b=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，若椭圆上存在一点P 使12sin a PF F Ð＝21sin cPF F Ð，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．思路点拨 在△PF 1F 2中，使用正弦定理建立|PF 1|，|PF 2|之间的数量关系，再结合椭圆定义求出|PF 2|，利用a －c <|PF 2|<a ＋c 建立不等式确定所求范围．答案 1，1) 解析 根据已知条件∠PF 1F 2，∠PF 2F 1都不能等于0，即点P 不会是椭圆的左、右顶点，故P ，F 1，F 2构成三角形，在△PF 1F 2中，由正弦定理得212sin PF PF F Ð＝121sin PF PF F Ð，则由已知，得2a PF ＝1cPF ，即|PF 1|＝c a |PF 2|，①．根据椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，②．由①②解得，|PF 2|＝21a c a+＝22a a c +，因为a －c <|PF 2|<a ＋c ，所以a －c <22a a c+< a ＋c ，即b 2<2a 2<a 2＋2ac ＋c 2，所以c 2＋2ac －a 2>0，即e 2＋2e －1>0，解得e <1或e 1，又e ∈(0，1)，故椭圆的离心率e ∈1，1)．(46)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，若存在过右焦点F 的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点，且AF → ＝3BF →，则双曲线C 的离心率的最小值为________．答案 2 解析 因为过右焦点F 的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，且AF → ＝3BF →，故点A 在双曲线的左支上，B 在双曲线的右支上，如图所示．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，右焦点F (c ，0)，因为AF →＝3BF →，所以c －x 1＝3(c －x 2)，即3x 2－x 1＝2c ，由图可知，x 1≤－a ，x 2≥a ，所以－x 1≥a ，3x 2≥3a ，故3x 2－x 1≥4a ，即2c ≥4a ，故e ≥2，所以双曲线C 的离心率的最小值为2．(47)已知双曲线方程为224x m +－22y b＝1，若其过焦点的最短弦长为2，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1]B ．，＋∞)C ．(1)D ．，＋∞)答案 A 解析 过焦点的最短弦长有可能是2a 或是过焦点且垂直于长轴所在直线的弦长为22b a＝，a 2＝m 2＋4≥4，2a ≥4>2，所以过焦点的最短弦长为22b a ＝=2，即b 2＝，e ＝c a ，0<21b ≤12，所以1<1+21b ≤32，，即e ∈(1]．故选A ．(48)椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆M 上任一点，且|PF 1|·|PF 2|的最大值的取值范围是[2b 2，3b 2]，椭圆M 的离心率为e ，则e －1e的最小值是________．答案 解析 由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝a 2，∴2b 2≤a 2≤3b 2，即2a 2－2c 2≤a 2≤3a 2－3c 2，∴12≤c 2a 2≤23，e 令f (x )＝x －1x ，则f (x )在23上是增函数，∴当e 2e －1e取得最小值22(49)已知点A (－1，0)和B (1，0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( )A B C D 答案 A 解析 方法1 不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)，与直线l 的方程联立{x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，y ＝x ＋3，消去y 得(2a 2－1)x 2＋6a 2x ＋10a 2－a 4＝0，由题意易知Δ＝36a 4－4(2a 2－1)(10a 2－a 4)≥0，解得a e＝c a ＝1a ≤e 方法2 A (－1，0)关于直线l ：y ＝x ＋3的对称点为A ′(－3，2)，连接A ′B 交直线l 于点P ，则此时椭圆C 的长轴长最短，为|A ′B |＝所以椭圆C 1故选A ．(50)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝6|PF 2|，此双曲线的离心率e 的最大值为________．答案 75 解析 由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a ．又|PF 1|＝6|PF 2|，∴|PF 1|＝125a ，|PF 2|＝25a ．当P ，F 1，F 2三点不共线时，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22·|PF 1|·|PF 2|＝14425a 2＋425a 2－4c 22·125a ·25a ＝3712－2512e 2，即e 2＝3725－1225cos ∠F 1PF 2．∵cos ∠F 1PF 2∈(－1,1)，∴e ∈(1，75)．当P ，F 1，F 2三点共线时，∵|PF 1|＝6|PF 2|，∴e ＝c a ＝75，综上，e 的最大值为75．还可用三角形两边之和大于第三边构造不等式．【对点训练】47．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ．若13<k <12，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A ．(14，34)B ．(23，1)C ．(12，23)D ．(0，12)47．答案 C 解析 由题图可知，|AF |＝a ＋c ，|BF |＝a 2－c 2a，于是k ＝|BF ||AF |＝a 2－c 2a (a ＋c )．又13<k <12，所以13<a 2－c 2a (a ＋c )<12，化简可得13<1－e <12，从而可得12<e <23，故选C ．48．已知双曲线C ：x 2a 2＋1－y 2＝1(a >0)的右顶点为A ，O 为坐标原点，若|OA |<2，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A ．∞) B ．(1，52) C ． D ．(148．答案 C 解析 双曲线C ：x 2a 2＋1－y 2＝1(a >0)中，右顶点为A 0)，∴|OA |，∴1<a 2＋1<4，∴1>1a 2＋1>14，∵c 2＝a 2＋1＋1＝a 2＋2，∴c ∴ee e C．49．已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是( )A．(0 B．(0，34] C．1) D．[34，1)49．答案 A 解析 设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形．∵|AF|＋|BF|＝4，∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2．设M(0，b)，则M到直线l的距离d＝4b5≥45，∴1≤b<2．离心率e＝ca＝(0，故选A．50．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点为F1、F2，双曲线上的点P满足4|PF1→＋PF2→|≥3|F1F2→|恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为( )A．1<e≤32 B．e≥32 C．1<e≤43 D．e≥4350．答案 C 解析 由OP为△F1PF2的中线，可得4|PF1→＋PF2→|＝8|PO→|≥3|F1F2→|，因为|F1F2→|≥a，|F1F2→|＝2c，可得8a≥6c，即双曲线的离心率为：1<e≤43．故选C．51．已知点F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于M，N两点，若MF―→1·NF―→1＞0，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )A．1) B．(11) C．(1 D．∞)51．答案 B 解析 设F1(－c，0)，F2(c，0)，依题意可得c2a2－y2b2＝1，得到y＝b2a，不妨设M(c，b2a)，N(c，－b2a)，则MF―→1·NF―→1＝(－2c，－b2a)·(－2c，b2a)＝4c2－b4a2＞0，得到4a2c2－(c2－a2)2＞0，即a4＋c4－6a2c2＜0，故e4－6e2＋1＜0，解得3－e2＜3＋e＞1，所以1＜e2＜3＋1＜e＜1＋52．正方形ABCD的四个顶点都在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )A．21) B．(02 C．21) D．(0252．答案 B 解析设正方形的边长为2m，因为椭圆的焦点在正方形的内部，所以m>c，又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上，所以m2a2＋m2b2＝1>c2a2＋c2b2＝e2＋e21－e2，整理得e4－3e2＋1>0，e20<e B．53．如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．53．答案 1) 解析 设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，∠B1PA2为钝角可转化为B2A2→，F2B1→所夹的角为钝角，则(a，－b)·(－c，－b)<0，得b2<ac，即a2－c2<ac，故(c a)2＋c a－1>0即e2＋e－1>0，e e0<e<1e<1．54．已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是( )A．1) B．(12，1) C．(0 D．(0，12)54．答案 A 解析 法一：设P(x0，y0)，由题意知|x0|<a，因为∠F1PF2为钝角，所以PF1―→·PF2―→<0有解，即(－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)<0，化简得c2>x20＋y20，即c2>(x20＋y20)min，又y20＝b2－b2a2x20，0≤x20<a2，故x20＋y20＝b2＋c2a2x20∈[b2，a2)，所以(x20＋y20)min＝b2，故c2>b2，又b2＝a2－c2，所以e2＝c2a2>12，解得e0<e<1，故椭圆C的离心率的取值范围是1)．法二：椭圆上存在点P使∠F1PF2为钝角⇔以原点O为圆心，以c为半径的圆与椭圆有四个不同的交点⇔b <c ．如图，由b <c ，得a 2－c 2<c 2，即a 2<2c 2，解得e ＝c a >0<e <1，故椭圆C 的离心率的取值范围是1)．55．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，△PF 1F 2是以F 2P 为底边的等腰三角形，且60°<∠PF 1F 2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A ．1）B ．，12） C ．（12，1） D ．（0，12）55．答案 B 解析 由题意可得，|PF 2|2＝|F 1F 2|2＋|PF 1|2－2|F 1F 2|·|PF 1|cos ∠PF 1F 2＝4c 2＋4c 2－2·2c ·2c ·cos∠PF 1F 2，即|PF 2|＝所以a ＝|PF 1|＋|PF 2|2＝c 又60°<∠PF 1F 2<120°，∴－12<cos ∠PF 1F 2<12，所以2c <a 1)c ，<c a <12，e <12．故选B ．56．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，D 为虚轴的一个端点，且△ABD 为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为________．56．答案 (1∪∞) 解析 设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1(－c,0)，令x ＝－c ，可得y ＝±±b 2a ，设A (－c ，b 2a )，B (－c ，－b 2a )，D (0，b )，可得AD →＝(c ，b －b 2a )，AB → ＝(0，－2b 2a )，DB → ＝(－c ，－b －b 2a )，若∠DAB 为钝角，则AD → ·AB →<0，即0－2b 2a·(b －b 2a )<0，化为a >b ，即有a 2>b 2＝c 2－a 2，可得c 2<2a 2，即e ＝c a<e >1，可得1<e ∠ADB 为钝角，则DA → ·DB →<0，即c 2－(b 2a ＋b )(b 2a －b )<0，化为c 4－4a 2c 2＋2a 4>0，由e ＝c a，可得e 4－4e 2＋2>0，又e >1，可得eAB → ·DB → ＝2b 2a(b ＋b 2a )>0，∴∠DBA 不可能为钝角．综上可得，e 的取值范围为(1∪∞)．57．已知点F 为双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，直线y ＝kx (k >0)与E 交于不同象限内的M ，N两点，若MF ⊥NF ，设∠MNF ＝β，且β∈[π12，π6]，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．B ．[21]C ．[2D ．1]57．答案 D 解析 如图，设左焦点为F ′，连接MF ′，NF ′，令|MF |＝r 1，|MF ′|＝r 2，则|NF |＝|MF ′|＝r 2，由双曲线定义可知r 2－r 1＝2a ①，∵点M 与点N 关于原点对称，且MF ⊥NF ，∴|OM |＝|ON |＝|OF |＝c ，∴r 21＋r 22＝4c 2②，由①②得r 1r 2＝2(c 2－a 2)，又知S △MNF ＝2S △MOF ，∴12r 1r 2＝2·12c 2·sin 2β，∴c 2－a 2＝c 2·sin 2β，∴e 2＝11－sin 2β，又∵β∈[π12，π6]，∴sin 2β∈[12，，∴e 2＝11－sin 2β∈[2，1)2]．又e >1，∴e ∈1]．58．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为________.58．答案 (1 解析 由过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，可得ba <2．∴e ＝ca ＝∵e >1，∴1<e ∴此双曲线离心率的取值范围为(159．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A ．[23，1)B ．[13，2C ．[13，1)D ．(0，13]59．答案 C 解析 如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得|PF 2|＝2c ．∴a －c ≤2c ＜a ＋c ．∴e ＝c a ∈[13，1)．60．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A ．1) B ．1) C ．(0 D ．(60．答案 B 解析 ∵F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，∴离心率0<e <1，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，c 2＝a 2－b 2．设点P (x ，y )，由PF 1⊥PF 2，得(x ＋c ，y )·(x －c ，y )＝0，化简得x 2＋y 2＝c 2．联立方程组{x 2＋y 2＝c 2，x 2a 2＋y 2b 2＝1，整理得，x 2＝(2c 2－a 2)·a 2c 2≥0，解得e0<e <1，e <1．61．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|2＝8a |PF 2|，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A ．(1，3]B ．[3，＋∞)C ．(0，3)D ．(0，3]61．答案 A 解析根据双曲线的定义及点P 在双曲线的右支上，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m －n ＝2a ，m 2＝8an ，∴m 2－4mn ＋4n 2＝0，∴m ＝2n ，则n ＝2a ，m ＝4a ，依题得|F 1F 2|≤|PF 1|＋|PF 2|，∴2c ≤4a ＋2a ，∴e ＝ca≤3，又e ＞1，∴1＜e ≤3，即双曲线C 的离心率的取值范围为(1，3]．62．已知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，点P 在椭圆上且满足PF 1→ ·PF 2→＝c 2，则该椭圆离心率的取值范围是( )A ．1) B ． C ．[13，12] D ．(062．答案 B 解析 设P (x ，y )，则x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，y 2＝b 2－b 2a 2x 2，－a ≤x ≤a ，PF 1→ ＝(－c －x ，－y )，PF 2→ ＝(c －x ，－y )．所以PF 1→ ·PF 2→ ＝x 2－c 2＋y 2＝(1－b 2a 2)x 2＋b 2－c 2＝c 2a2x 2＋b 2－c 2．因为－a ≤x ≤a ，所以b 2－c 2≤PF 1→ ·PF 2→≤b 2．所以b 2－c 2≤c 2≤b 2，所以2c 2≤a 2≤3c 2≤c a ≤B ．63．已知双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝2c ．若双曲线M 的右支上存在点P ，使a sin ∠PF 1F 2＝3csin ∠PF 2F 1，则双曲线M 的离心率的取值范围为( )A ．(1 B ．(1C ．(1，2)D ．(1，2]63．答案 A 解析 根据正弦定理可知sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝|PF 2||PF 1|，所以|PF 2||PF 1|＝a 3c ，即|PF 2|＝a3c|PF 1|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以1－a3c)|PF1|＝2a ，解得|PF 1|＝6ac3c －a，而|PF 1|>a ＋c ，即6ac 3c －a>a ＋c ，整理得3e 2－4e －1<0e e >1，所以1<e A ．64．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得sin ∠MF 1F 2a＝sin ∠MF 2F 1c，则该椭圆离心率的取值范围为( )A ．(01)B ．1) C ．(0 D ．1，1)64．答案 D 解析在△MF 1F 2中，|MF 2|sin ∠MF 1F 2＝|MF 1|sin ∠MF 2F 1，而sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c ，∴|MF 2||MF 1|＝sin ∠MF 1F 2sin ∠MF 2F 1＝ac ，①．又M 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∴|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，②．由①②得，|MF 1|＝2aca ＋c ，|MF 2|＝2a 2a ＋c ．显然|MF 2|＞|MF 1|，∴a －c ＜|MF 2|＜a ＋c ，即a －c ＜2a 2a ＋c ＜a ＋c ，整理得c 2＋2ac －a 2＞0，∴e 2＋2e －1＞0，又0＜e ＜11＜e ＜1，故选D ．65．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，若椭圆上存在点P 使1－cos 2∠PF 1F 21－cos 2∠PF 2F 1＝a 2c2，该椭圆的离心率的取值范围为 ．65．答案 1，1) 解析 由1－cos 2∠PF 1F 21－cos 2∠PF 2F 1＝a 2c 2得ca ＝sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2．又由正弦定理得sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|，所以|PF 1||PF 2|＝c a ，即|PF 1|＝c a |PF 2|．又由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a 2a ＋c ，|PF 1|＝2ac a ＋c，因为PF 2是△PF 1F 2的一边，所以有2c －2ac a ＋c <2a 2a ＋c <2c ＋2aca ＋c，即c 2＋2ac －a 2>0，所以e 2＋2e －1>0(0<e <1)，解得椭圆离心率的取值范围为1，1)．。
离心率的范围问题--2024年高考数学重难点攻略 解析版
微重点 离心率的范围问题圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁．知识导图考点一 利用圆锥曲线的定义求离心率的范围考点二 利用圆锥曲线的性质求离心率的范围考点三 利用几何图形的性质求离心率的范围考点分类讲解考点一 利用圆锥曲线的定义求离心率的范围规律方法 此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a ，b ，c 的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围．1(23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上存在点P ，使得PF 1 =4PF 2 ，其中F 1,F 2是椭圆C 的两个焦点，则椭圆C 的离心率的取值范围是()A.35,1 B.14,35C.12,1D.0,14【答案】A【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出PF 1 ,PF 2 ，再利用线段和差关系建立不等式求解即得.【详解】点P 在椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上，F 1,F 2是椭圆C 的两个焦点，令半焦距为c ，由PF 1 =4PF 2 及PF 1 +PF 2 =2a ，得PF 1 =8a 5,PF 2 =2a5，显然PF 1 -PF 2 ≤|F 1F 2|，当且仅当点F 1,F 2,P 共线，且F 2在线段PF 1上时取等号，因此2c ≥8a 5-2a 5=6a 5，即e =c a ≥35，又0<e <1，则35≤e <1，所以椭圆C 的离心率的取值范围是35,1 .故选：A2(23-24高三上·云南曲靖·阶段练习)已知F 1，F 2，分别为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，M 为双曲线左支上任意一点，若MF 22MF 1 的最小值为8a ，则双曲线离心率e 的取值范围是()A.1,72B.2,4C.1,3D.3,5【答案】C【分析】由双曲线定义MF 2 2MF 1=MF 1 +2a2MF 1，变形后由基本不等式得最小值，从而得MF 1 =2a ，再利用双曲线中的范围有MF 1 ≥c -a ，由此结合可得离心率的范围．【详解】F 1，F 2是左、右焦点，M 为双曲线左支上的任意一点，则MF 2 -MF 1 =2a ，即MF 2 =MF 1 +2a ，代入MF 22MF 1得MF 22MF 1=MF 1 +2a2MF 1=MF 1 +4a 2MF 1+4a ≥2MF 1 ×4a 2MF 1+4a =8a ，当且仅当MF 1 =2a 时取等号，即MF 1 =2a ，又点M 是双曲线左支上任意一点，所以MF 1 ≥c -a ，即2a ≥c -a ，解得e ≤3，所以双曲线离心率e 的取值范围是1,3 .故选：C ．3(23-24高三上·陕西安康·阶段练习)已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 与双曲线E 的左、右两支分别交于点A ，B ，弦AB 的中点为M 且MF 1⊥MF 2.若过原点O 与点M 的直线的斜率不小于3，则双曲线E 的离心率的取值范围为()A.1,2 B.2,+∞C.1,5D.5,+∞【答案】B【分析】方法一：连接AF 2，BF 2，结合双曲线的定义，再由条件列出不等式，代入计算，即可得到结果；方法二：连接AF 2，BF 2，可得AF 2 =BF 2 ，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理代入计算，表示出k OM ，列出不等式，即可得到结果.【详解】方法一：如图，设双曲线E 的半焦距为c ，连接AF 2，BF 2，因为MF 1⊥MF 2，所以AF 2 =BF 2 .设AF 2 =m ，由双曲线的定义，得AF 1 =m -2a ，BF 1 =2a +m ，所以AB =4a ，AM =BM =2a ，MF 1 =m ，所以MF 2 2=m 2-4a 2=4c 2-m 2，即m 2=2c 2+2a 2.设∠BF 1F 2=α，则∠MOF 2=2α，所以tan2α=2tan α1-tan 2α≥3，解得13≤tan 2α<1.又tan α=MF 2 MF 1 ，所以13≤m 2-4a 2m 2<1，解得m 2≥6a 2，所以2c 2+2a 2≥6a 2，即c 2≥2a 2，所以e =ca≥ 2.故选：B .方法二：如图，设双曲线E 的半焦距为c ，连接AF 2，BF 2，因为MF 1⊥MF 2，所以AF 2 =BF 2 .设AF 2 =m ，由双曲线的定义，得AF 1 =m -2a ，BF 1 =2a +m ，所以AB =4a .设直线l 的方程为x =ty -c ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 .由x =ty -cx 2a2-y 2b2=1，消去x 并整理，得b 2t 2-a 2 y 2-2b 2tcy +b 4=0.422422242242因为直线l 与双曲线E 的两支相交，所以-b a <1t <ba，即b 2t 2-a 2>0.由y 1+y 2=2b 2tc b 2t 2-a2y 1y 2=b 4b 2t 2-a 2，得AB =1+t 2y 1-y 2 =2ab 21+t 2 b 2t 2-a 2.结合AB =4a ，化简得t 2=b 2+2a 2b 2①.由x 21a 2-y 21b 2=1x 22a 2-y 22b 2=1，两式相减，得x 1-x 2y 1-y 2=a 2b 2⋅y 1+y 2x 1+x 2，即t =a 2b 2⋅k OM ②，②代入①化简，得k 2OM=b 4+2a 2b 2a 4≥3，所以b 2≥a 2，即c 2≥2a 2，所以e ≥ 2.故选：B .4(2023·亳州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若C 与直线y =x 有交点，且双曲线上存在不是顶点的P ，使得∠PF 2F 1=3∠PF 1F 2，则双曲线离心率的取值范围为．【答案】 (2，2)【解析】双曲线C 与直线y =x 有交点，则b a >1，b 2a 2=c 2-a 2a 2>1，解得e =ca>2，双曲线上存在不是顶点的P ，使得∠PF 2F 1=3∠PF 1F 2，则P 点在双曲线右支上，设PF 1与y 轴交于点Q ，由对称性得|QF 1|=|QF 2|，所以∠QF 1F 2=∠QF 2F 1，所以∠PF 2Q =∠PF 2F 1-∠QF 2F 1=2∠PF 1F 2=∠PQF 2，所以|PQ |=|PF 2|，所以|PF 1|-|PF 2|=|PF 1|-|PQ |=|QF 1|=2a ，由|QF 1|>|OF 1|得2a >c ，所以e =ca<2，又在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2+∠PF 2F 1=4∠PF 1F 2<180°，∠PF 1F 2<45°，所以c 2a =cos ∠PF 1F 2>22，即e =ca>2，综上，2<e <2.考点二 利用圆锥曲线的性质求离心率的范围规律方法 利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角，通径，三角形中的边角关系，曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解．1(2024·陕西·模拟预测)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1-c ,0 ,F 2c ,0 ，抛物线C2：x2=2py(p>0)，椭圆C1与抛物线C2相交于不同的两点A,B，且四边形ABF1F2的外接圆直径为5c2，若b>c，则椭圆C1的离心率的取值范围是()A.55,2 2B.22,255C.55,255D.255,1【答案】A【分析】先利用椭圆与抛物线的对称性分析得四边形ABF1F2的外接圆就是△BF1F2的外接圆，再利用正弦定理求得sin∠F1BF2，再利用椭圆中焦点三角形的性质得到∠F1MF2=θ的取值范围，从而得到关于a,b,c的齐次不等式，解之即可得解.【详解】如图，由椭圆与抛物线的对称性，知点A,B关于y轴对称，四边形ABF1F2是等腰梯形，易知四边形ABF1F2的外接圆就是△BF1F2的外接圆，设四边形ABF1F2的外接圆半径为R.在△BF1F2中，由正弦定理，知2csin∠F1BF2=2R=5c2,∴sin∠F1BF2=45，记椭圆C1的上顶点为M,∠F1MF2=θ，坐标原点为O，易知∠F1BF2<θ，又b>c，则tan θ2=tan∠F1MO=cb<1，0<θ2<π2，∴0<θ2<π4,∴0<∠θ<π2，即θ为锐角，∴45=sin∠F1BF2<sinθ，又sinθ=2sinθ2cosθ2sin2θ2+cos2θ2=2tanθ2tan2θ2+1,∴2tanθ2tan2θ2+1>45,∴12<tanθ2<2.又0<θ2<π4，∴12<tanθ2<1,∴12<cb<1，则14<c2b2<1，所以14<c2a2-c2<1，则55<ca<22，即55<e<22，则椭圆C1的离心率的取值范围是55,22，故选：A.【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a,c，代入公式e=c a；②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，结合b2=a2-c2转化为a,c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．2(2024高三·全国·专题练习)如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1,A2,B1,B2椭圆顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PA2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是()A.5-22,0B.0,5-22C.0,5-12D.5-12,1【答案】D【分析】利用椭圆的性质及平面向量数量积的坐标表示构造齐次式计算即可.【详解】解：如图所示，∠B 1PA 2是B 2A 2 与F 2B 1的夹角；设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a ,b ,c ，则B 2A 2 =a ,-b ,F 2B 1=-c ,-b ，∵向量的夹角为钝角时，B 2A 2 ⋅F 2B 1=-ac +b 2<0，又b 2=a 2-c 2,∴a 2-ac -c 2<0，两边除以a 2得1-e -e 2<0，解得e >5-12或e <-5-12；又∵0<e <1，∴1>e >5-12．故选：D ．3(23-24高三下·陕西安康·阶段练习)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，抛物线C 2:x 2=2py (p >0)，且椭圆C 1与抛物线C 2相交于A ,B 两点，若F 1A ⋅F 1B=3c 2，则椭圆C 1的离心率的取值范围是()A.0,33B.0,33C.33,1D.33,1 【答案】B【分析】由椭圆和抛物线的对称性可知A ,B 两点关于y 轴对称，设出两点坐标，代入条件计算，将结果与椭圆联立可求解A 点纵坐标，结合点在椭圆上纵坐标的范围即可求出离心率的范围.【详解】解：设A x 0,y 0 ，则B -x 0,y 0 ，因为F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，由F 1A ⋅F 1B =3c 2，得：x 0+c ⋅-x 0+c +y 20=3c 2，即x 20-y 20=-2c 2，点A ,B 在椭圆上，所以满足x 20a 2+y 20b2=1，代入上式可得：y 20-2c 2a 2+y 20b 2=1，即b 2y 20-2c 2 +a 2y 20=a 2b 2，即y 20=a 2b 2+2b 2c 2a 2+b 2，因为点在椭圆上，所以y 20=a 2b 2+2b 2c 2a 2+b 2≤b 2，解得：2c 2≤b 2，即3c 2≤a 2，解得：0<e ≤33.故选：B4已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线上存在点P ，使sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1=ac ，则该双曲线的离心率的取值范围为()A.(1,1+2) B.(1,1+3)C.(1,1+2]D.(1,1+3]【答案】A【解析】若点P 是双曲线的顶点，a sin ∠PF 1F 2=csin ∠PF 2F 1无意义，故点P 不是双曲线的顶点，在△PF 1F 2中，由正弦定理得|PF 1|sin ∠PF 2F 1=|PF 2|sin ∠PF 1F 2，又a sin ∠PF 1F 2=c sin ∠PF 2F 1，∴|PF 1||PF 2|=c a ，即|PF 1|=ca ·|PF 2|，∴P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得|PF 1|-|PF 2|=2a ，∴c a |PF 2|-|PF 2|=2a ，即|PF 2|=2a 2c -a ，由双曲线的几何性质，知|PF 2|>c -a ，∴2a 2c -a>c -a ，即c 2-2ac -a 2<0，∴e 2-2e -1<0，解得-2+1<e <2+1，又e >1，∴双曲线离心率的取值范围是(1,1+2)．考点三 利用几何图形的性质求离心率的范围规律方法 利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系．1(2023·无锡模拟)已知点P 在双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)上，P 到两渐近线的距离分别为d 1，d 2，若d 1d 2≤12|OP |2恒成立，则C 的离心率的最大值为()A.2B.3C.2D.5【答案】 A【解析】双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的渐近线方程为y =±b a x ，即bx ±ay =0，设双曲线上的点P (x 0，y 0)，所以x 20a 2-y 20b2=1，即b 2x 20-a 2y 20=a 2b 2，则P (x 0，y 0)到两条渐近线bx ±ay =0的距离分别为d 1=bx 0+ay 0a 2+b2，d 2=bx 0-ay 0a 2+b2，所以d 1d 2=b 2x 20-a 2y 2a 2+b 2=a 2b 2a 2+b2，又|OP |2=x 20+y 20=a 2+a 2b2y 20+y 20=a 2+a2b2+1y 20，y 0∈R ，所以|OP |2≥a 2，因为d 1d 2≤12|OP |2恒成立，所以a 2b 2a 2+b2≤12a 2，整理得b 2≤a 2，即b 2a2≤1，所以离心率e =c a =c 2a 2=1+b 2a2≤2，则C 的离心率的最大值为 2.2(2022高三上·河南·专题练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的焦距为2c ，直线y =b a x +b2与椭圆C 交于点P ,Q ，若PQ ≤7c ，则椭圆C 的离心率的取值范围为()A.32,1 B.0,22 C.105,1 D.0,13【答案】C【分析】联立椭圆与直线方程，利用韦达定理与弦长公式得到关于a ,b ,c 的齐次不等式，从而得解.【详解】联立方程y =b a x +b 2x 2a2+y 2b2=1，消去y ，整理得8x 2+4ax -3a 2=0，则Δ=4a 2-4×8×-3a 2 =112a 2>0，设P ,Q 的横坐标分别为x 1,x 2，则x 1+x 2=-a 2，x 1⋅x 2=-3a 28，所以PQ =1+b a 2⋅x 1-x 2 =1+b a2⋅x 1+x 2 2-4x 1x 2=a 2+b 2a 2⋅a 24+3a 22=72a 2+b 2，由PQ ≤7c ，得72a 2+b 2≤7c ，整理得a 2+b 2≤4c 2，即a 2+a 2-c 2≤4c 2，即c 2a2≥25，又0<e <1，则e =c a ≥105，故105≤e <1，所以椭圆C 的离心率的取值范围为105,1 .故选：C ．【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ,c ，代入公式e =ca；②只需要根据一个条件得到关于a ,b ,c 的齐次式，结合b 2=a 2-c 2转化为a ,c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．3(23-24高三上·广东·阶段练习)过双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1,a >0,b >0 的右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为H ，点O 为坐标原点，若sin ∠HOF >sin ∠HFO ，又直线y =2x 与双曲线无公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围为()A.(2,5]B.(2,+∞)C.(1,5)D.(2,5)【答案】A【分析】结合题意以及双曲线的有关知识，找到a ,b ,c 之间的不等关系，整理计算即可.【详解】如图，可知△OFH 中，OF =c ，FH =b ，OH =a ，因为sin ∠HOF >sin ∠HFO ，由正弦定理可知b >a ，即b 2>a 2，所以c 2>2a 2，得e >2．又因为直线y =2x 与双曲线无公共点，则ba≤2，即b ≤2a ，结合a 2+b 2=c 2，所以c 2≤5a 2，所以e ≤5．综上：2<e ≤5，故选：A ．4(2023·陕西西安·模拟预测)已知两动点A ，B 在椭圆C ：x 2a2+y 2=1a >1 上，动点P 在直线3x +4y -10=0上，若∠APB 恒为锐角，则椭圆C 的离心率的取值范围是()A.0,23B.23,1C.0,63D.63,1【答案】C【分析】由椭圆性质和图像得出椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹为圆，由条件可知直线3x +4y -10=0与圆x 2+y 2=a 2+1相离, 从而可得出a 的范围, 进而求出离心率的范围.【详解】若从圆x 2+y 2=a 2+b 2上一点引椭圆x 2a 2+y 2b2=1的两条切线一定互相垂直.证明如下：设椭圆的切线方程为y =kx ±k 2a 2+b 2，∴过圆上一点p 1x 1,y 1 的切线为y 1=kx 1±k 2a 2+b 2，y 1-kx 1 2=k 2a 2+b 2，即x 21-a 2 k 2-2x 1y 1k +y 21-b 2 =0.(1)又∵p 1x 1y 1 在圆上, ∴x 21+y 21=a 2+b 2，即x 21-a 2=-y 21-b 2 .(i )当x 21-a 2≠0时, (1)式为k 2-2x 1y 1x 2-a 2k -1=0,由根与系数关系知k 1k 2=-1, 故两条切线互相垂直.(ii )当x 21-a 2=0时, x =±a ,y =±b , 此时两条切线显然互相重直.故圆x 2+y 2=a 2+b 2上一点引椭圆x 2a 2+y 2b2=1的两条切线一定互相垂直.所以椭圆x2a2+y 2=1的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆x 2+y 2=a 2+1.若∠APB 恒为锐角, 则直线3x +4y -10=0与圆x 2+y 2=a 2+1相离故109+16>a 2+1, 又a >1,∴1<a <3,∴e =c a =a 2-1a =1-1a 2∈0,63 .故选:C .强化训练一、单选题1(2023·全国·模拟预测)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线C 的右支上一点，且PF 1⊥PF 2，2≤PF 1PF 2 ≤4，则双曲线C 的离心率的取值范围为()A.52,344B.173,5C.1,173D.5,+∞【答案】B【分析】先利用双曲线的定义及勾股定理等得到PF 1 PF 2 =2b 2，设PF 1 PF 2=m ，结合双曲线的定义得到PF 1⋅PF 2 =4a 2m (m -1)2，则b 2a 2=2m +1m -2，构造函数f (m )=m +1m -2(2≤m ≤4)，利用导数法求解.【详解】解：因为PF 1 -PF 2 =2a ，PF 1⊥PF 2，∴PF 1 2+PF 2 2=PF 1 -PF 2 2+2PF 1 PF 2 =4a 2+2PF 1 PF 2 =4c 2，又b 2=c 2-a 2，∴PF 1 PF 2 =2b 2．设PF 1 PF 2=m ，则PF 1 =m PF 2 ，2≤m ≤4，∴PF 1 -PF 2 =(m -1)PF 2 =2a ，∴PF 2 =2a m -1，则PF 1 =2amm -1，∴PF 1 PF 2 =4a 2m(m -1)2．∴4a 2m (m -1)2=2b 2，则b 2a 2=2m m 2-2m +1=2m +1m -2，设f (m )=m +1m -2(2≤m ≤4)，则f (m )=1-1m2>0，∴f m 在2,4 上单调递增，∴f (2)=12≤f (m )≤f (4)=94，∴49≤1f (m )≤2，∴89≤b 2a 2≤4，∴c 2a 2=1+b 2a2∈179,5 ，∴e =c a ∈173,5 ，故选：B ．2(23-24高二上·江苏徐州·期中)设F 1，F 2分别为椭圆C 1:x 2a 21+y 2b 21=1a 1>b 1>0 与双曲线C 2:x 2a 22-y 2b 22=1a 2>0,b 2>0 的公共焦点，它们在第一象限内交于点M ，∠F 1MF 2=60°，若椭圆的离心率e 1∈22,32 ，则双曲线C 2的离心率e 2的取值范围为()A.52,62 B.62,+∞ C.324,62D.62,142【答案】C【分析】根据椭圆以及双曲线的定义可得，MF 1 =a 1+a 2MF 2 =a 1-a 2.进而在△MF 1F 2中，由余弦定理变形可得a 1c2+3a 2c 2-4=0，1e 22=134-1e 12.根据不等式的性质，结合已知，求解即可得出答案.【详解】根据椭圆及双曲线的定义可得MF 1 +MF 2 =2a 1MF 1 -MF 2 =2a 2 ，所以MF 1 =a 1+a 2MF2 =a 1-a 2.在△MF F 中，∠F MF =60°，由余弦定理可得cos ∠F 1MF 2=MF 12+MF 2 2-F 1F 2 22MF 1 ⋅MF 2 =a 1+a 2 2+a 1-a 2 2-4c 22a 1+a 2 a 1-a 2=12，整理可得，a 21+3a 22-4c 2=0，两边同时除以c 2可得，a 1c 2+3a 2c 2-4=0.又e 1=c a 1，e 2=ca 2，所以有1e 1 2+31e 22-4=0，所以，1e 2 2=134-1e 12.因为e 1∈22,32 ，所以12≤e 21≤34，所以43≤1e 21≤2，所以，-2≤-1e 21≤-43，2≤4-1e 21≤83，所以，23≤1e 2 2=134-1e 12 ≤89.则63≤1e 2≤223，故324≤e 2≤62.故选：C .3(2023·贵州黔东南·一模)设双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，M 0,3b ，若直线l 与E 的右支交于A ,B 两点，且F 为△MAB 的重心，则E 的离心率的取值范围为()A.133,3 ∪3,+∞B.2137,3 ∪3,+∞C.1,133D.1,2137 【答案】A【分析】设点D (x 0,y 0)为AB 的中点，根据F 为△MAB 的重心，求得D 3c 2,-3b 2，由直线l 与E 的右支交于A ,B 两点，得到3c 22a 2--3b22b 2>1，求得c a >133，再由e =3时，证得M ,F ,A ,B 四点共线不满足题意，即可求得双曲线E 的离心率的取值范围.【详解】由题意，双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F (c ,0)，且M 0,3b ，设点D (x 0,y 0)为AB 的中点，因为F 为△MAB 的重心，所以MF =2FD，即(c ,-3b )=2(x 0-c ,y 0)，解得x 0=3c 2,y 0=-3b 2，即D 3c 2,-3b2，因为直线l 与E 的右支交于A ,B 两点，则满足3c 2 2a 2--3b 22b 2>1，整理得c 2a2>139，解得c a >133或c a <-133(舍去)，当离心率为e =3时，即a =33c 时，可得b =c 2-a 2=63c ，此时D 3c 2,-6c2，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，可得x 1+x 2=3c ,y 1+y 2=-6c ，又由x21a2-y21b2=1x22a2-y22b2=1，两式相减可得y2-y1x2-x1=b2x2+x1a2y1+y2=b2×3ca2×(-6c)=-6，即直线l的斜率为k l=-6，又因为k MF=0-3bc-0=-6，所以k MF=k l，此时M,F,A,B四点共线，此时不满足题意，综上可得，双曲线E的离心率的取值范围为133,3∪3,+∞.故选：A.【点睛】知识方法：求解圆锥曲线的离心率的常见方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得a,c得值，根据离心率的定义求解离心率e；2、齐次式法：由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于e的一元二次方程或不等式，结合离心率的定义求解；3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题.4(2023·四川攀枝花·三模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0，A为双曲线C的左顶点，B为虚轴的上顶点，直线l垂直平分线段AB，若直线l与C存在公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是()A.2,3B.2,+∞C.3,+∞D.1,2【答案】B【分析】先根据题意求得直线l的斜率，再根据直线l与C存在公共点，只需直线l的斜率大于渐近线的斜率-ba即可求解.【详解】依题意，可得A-a,0,B0,b，则k AB=b-00+a=ba，又因为直线l垂直平分线段AB，所以k l=-a b，因为直线l与C存在公共点，所以-ab>-ba，即a2<b2，则a2<c2-a2，即2<c2a2,e2>2，解得e>2，所以双曲线C的离心率的取值范围是2,+∞.故选：B5(2023·湖北·模拟预测)已知双曲线x2m-y24-m=1，m∈0,4，过点P2,1可做2条直线与左支只有一个交点，与右支不相交，同时可以做2条直线与右支只有一个交点，与左支不相交，则双曲线离心率的取值范围是()A.1,5B.1,5 2C.1,2D.1,2【答案】B【分析】作出草图，利用双曲线的性质结合图形分类讨论计算即可.【详解】如图所示，设双曲线的两条渐近线分别为l、l ，由已知易知F22,0，若P在双曲线内部(如P 位置)，显然作任何直线均与双曲线右支有交点，无法满足题意；若P在双曲线与渐近线l之间(如P 位置)，过P所作直线若与双曲线左支相交则必与右支也相交，也无法满故P 只能在双曲线的渐近线l 上方，此时过P 可做唯一一条与右支相切的直线，也可以作一条与渐近线l 平行的直线，该两条直线均与左支无交点；同理也可作出唯一一条与左支相切的直线，及一条与渐近线l 平行的直线符合要求；即1>24-m m ⇒4m -1<14⇒e 2=4m <54，故e ∈1,52，故选：B6(23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上存在点P ，使得PF 1 =4PF 2 ，其中F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，则椭圆C 的离心率的取值范围是()A.0,25B.25,1C.35,1D.35,1【答案】D【分析】由PF 1 =4PF 2 结合椭圆的定义可求出PF 1 ，再由a +c ≥PF 1 ≥a -c 可求出离心率的范围.【详解】因为PF 1 =4PF 2 ，因为PF 1 +PF 2 =2a ，所以4PF 2 +PF 2 =2a ，所以PF 2 =2a 5，PF 1 =8a5，因为a +c ≥PF 1 ≥a -c ，所以a -c ≤8a5≤a +c ，所以5a -5c ≤8a ≤5a +5c ，所以5-5e ≤8≤5+5e ，解得e ≥35，因为0<e <1，所以35≤e <1，所以离心率的范围35,1 ，故选：D .7(2023·四川·模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左､右焦点分别为F 1,F 2，离心率为2，焦点到渐近线的距离为 6.过F 2作直线l 交双曲线C 的右支于A ,B 两点，若H ,G 分别为△AF 1F 2与△BF 1F 2的内心，则HG 的取值范围为()A.22,4B.3,2C.2,433D.22,463【分析】求出双曲线的解析式，根据△AF 1F 2与△BF 1F 2的内心求出F 1E ,F 2E 的关系式和点H ,G 的横坐标，设出直线AB 的倾斜角，得到HG 的表达式，即可求出HG 的取值范围【详解】由题意，在C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 中，根据焦点到渐近线的距可得b =6，离心率为2，∴e =ca =1+b 2a 2=1+6a 2=2，解得：a =2，∴c =b 2+a 2=22∴双曲线的方程为C :x 22-y 26=1.记△AF 1F 2的内切圆在边AF 1，AF 2，F 1F 2上的切点分别为M ,N ,E ，则H ，E 横坐标相等AM =AN ，F 1M =F 1E ，F 2N =F 2E ，由AF 1 -AF 2 =2a ，即AM +MF 1 -AN +NF 2 =2a ，得MF 1 -NF 2 =2a ，即F 1E -F 2E =2a ，记H 的横坐标为x 0，则E x 0,0 ，于是x 0+c -c -x 0 =2a ，得x 0=a ，同理内心G 的横坐标也为a ，故HG ⊥x 轴.设直线AB 的倾斜角为θ，则∠OF 2G =θ2，∠HF 2O =90°-θ2(Q 为坐标原点)，在△HF 2G 中，HG =c -a tan θ2+tan 90°-θ2 =c -a ⋅sin θ2cos θ2+cos θ2sin θ2 =c -a ⋅2sin θ=22sin θ，由于直线l 与C 的右支交于两点，且C 的一条渐近线的斜率为ba=3，倾斜角为60°，∴60°<θ<120°，即32<sin θ≤1，∴HG 的范围是22,463 .故选：D .【点睛】本题考查双曲线的定义与几何性质、三角恒等变换，考查推理论证能力、运算求解能力、数形结合思想，以及角度的取值范围，具有极强的综合性.8(23-24高二上·山东济宁·阶段练习)设椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆上一点，PF 1 =λPF 2 13≤λ≤3 ，∠F 1PF 2=π2，则椭圆离心率的取值范围为()A.22,53 B.12,59C.22,104D.12,58【答案】C【分析】设PF 2 =t ，由椭圆定义和勾股定理得到e 2=λ2+1λ+1 2，换元后得到λ2+1λ+12=21m -12 2+12，根据二次函数单调性求出12≤e 2≤58，得到离心率的取值范围.【详解】设F 1-c ,0 ，F 2c ,0 ，由椭圆的定义可得，PF 1 +PF 2 =2a ，可设PF 2 =t ，可得PF 1 =λt ，即有λ+1 t =2a ，①由∠F 1PF 2=π2，可得PF 1 2+PF 2 2=4c 2，即为λ2+1 t 2=4c 2，②由②÷①2，可得e 2=λ2+1λ+12，令m =λ+1，可得λ=m -1，即有λ2+1λ+12=m 2-2m +2m 2=21m -12 2+12，由13≤λ≤3，可得43≤m ≤4，即14≤1m ≤34，则m =2时，取得最小值12；m =43或4时，取得最大值58.即有12≤e 2≤58，得22≤e ≤104.故选：C 【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率或离心率的取值范围，常见有三种方法：①求出a ,c ，代入公式e =ca；②根据条件得到关于a ,b ,c 的齐次式，结合b 2=a 2-c 2转化为a ,c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围；③由题目条件得到离心率关于变量的函数，结合变量的取值范围得到离心率的取值范围.二、多选题9(2024·河北邯郸·三模)已知双曲线C :x 2λ+6-y 23-λ=1，则()A.λ的取值范围是(-6,3)B.C 的焦点可在x 轴上也可在y 轴上C.C 的焦距为6D.C 的离心率e 的取值范围为(1,3)【答案】AC【分析】根据双曲线方程的特征，易于求得-6<λ<3，判断方程中分母的符号即可判断A ,B 项，计算易得C 项，先算出离心率的表达式，再根据λ的范围，即可确定e 的范围.【详解】对于A ，∵x 2λ+6-y 23-λ=1表示双曲线，∴(λ+6)(3-λ)>0，解得-6<λ<3，故A 正确；对于B ，由A 项可得-6<λ<3，故λ+6>0,3-λ>0，∴C 的焦点只能在x 轴上，故B 错误；对于C ，设C 的半焦距为c (c >0)，则c 2=λ+6+3-λ=9，∴c =3，即焦距为2c =6，故C 正确；对于D ，离心率e =3λ+6，∵-6<λ<3，∴0<λ+6<3，∴e 的取值范围是(1,+∞)，故D 错误．故选：AC .10(23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末)已知椭圆C :x 24+y 2b2=1(0<b <2)的左右焦点分别为F 1,F 2，点P 2,1 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是()A.离心率的取值范围为0,22B.QF 1 ⋅QF 2 的最小值为4C.不存在点Q ，使得QF 1⋅QF2=0D.当e =33时，以点P 为中点的椭圆的弦的斜率为1【答案】AC【分析】根据点P 2,1 在椭圆内部求b 的范围，然后可得离心率范围，可判断A ；利用椭圆定义和基本不等式判断B ；当点Q 为短轴端点时∠F 1QF 2最大，然后利用余弦定理判断∠F 1QF 2的最大值，然后可判断C ；利用点差法求解即可判断D .【详解】因为点P 2,1 在椭圆内部，所以24+1b2<1，得b 2>2，因为e =c a=1-b 2a2=1-b 24，所以0<e <22，A 正确；因为点Q 在椭圆上，所以QF 1 +QF 2 =2a =4，所以QF 1 ⋅QF 2 ≤QF 1 +QF 2 22=4，当且仅当QF 1 =QF 2 时等号成立，所以，QF 1 ⋅QF 2 有最大值4，B 错误；由椭圆性质可知，当点Q 为短轴端点时∠F 1QF 2最大，此时，cos ∠F 1QF 2=a 2+a 2-2c 22a2=1-2e 2，因为0<e <22，所以cos ∠F 1QF 2=1-2e 2>0，即∠F 1QF 2的最大值为锐角，故不存在点Q ，使得QF 1⋅QF2=0，C 正确；当e =33时，有c 2=33，得c =233，所以b 2=83，易知，当点P 为弦中点时斜率存在，记直线斜率为k ，与椭圆的交点为A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则x 214+y 21b 2=1x 224+y 22b 2=1 ，由点差法得y 2-y 1 y 2+y 1 x 2-x 1 x 2+x 1 =-b 24=-23，又k =y 2-y 1x 2-x 1,x 2+x 1=22,y 2+y 1=2，所以22k =-23，即k =-223，D 错误.故选：AC11(2023·广东汕头·三模)已知F 1，F 2分别为椭圆C :x 24+y 23=1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点(不在x 轴上)，△PF 1F 2外接圆的圆心为H ，半径为R ，△PF 1F 2内切圆的圆心为I ，半径为r ，直线PI 交x 轴于点M ，O 为坐标原点，则()A.S △PF 1F 2最大时，r =33B.PH ⋅PO的最小值为2C.椭圆C 的离心率等于PI IMD.R ⋅r 的取值范围为12,23【答案】ABD【分析】对于A ，根据当P 在短轴的端点时，S △PF 1F 2取得最大，且最大值为3，再根据S △MF 1F 2=S △IF 1F 2+S △IF 1P+S △IF 2P =3r ，代入进而即可求解；对于B ，根据PO =12PF 1 +PF 2，然后结合平面向量数量积的几何意义与基本不等式即可求解；对于C ，运用角平分线定理即可求解；对于D ，由正弦定理可得R =1sin θ，再又结合A 可得r =tan θ2，从而得到R ⋅r =tan θ2sin θ=12cos 2θ2，再根据题意得到θ∈0°,60° ，进而即可求解．【详解】对于A ，设P x ,y ，-2<x <2，则-3<y <3，且y ≠0，所以S △PF 1F 2=12F 1F 2 ⋅y =c ⋅y =y ，则当P 在短轴的端点时，S △PF 1F 2取得最大，且最大值为3，又S △MF 1F 2=S △IF 1F 2+S △IF 1P +S △IF 2P =12F 1F 2+PF 1+PF 2 r =122a +2c r =3r ，所以当S △PF 1F 2最大时，3r =3，即r =33，故A 正确；对于B ，过点H 作HG ⊥PF 1，垂足为点G ，又点H 为△PF 1F 2外接圆的圆心，即为△PF 1F 2三条边的中垂线的交点，则点G 为PF 1的中点，由PH ⋅PO =12PH ⋅PF 1 +PF 2 =12PH⋅PF 1 +PH ⋅PF 2 ，又PH ⋅PF 1 =PG +GH ⋅PF 1 =PG ⋅PF 1 =12PF 1 2，同理PH ⋅PF 2 =12PF 2 2，所以PH ⋅PO =14PF 1 2+PF 2 2 =14PF 1 2+PF 2 2≥12PF 1 +PF 222=a 22=2，当且仅当PF 1 =PF 2 =a 时等号成立，即PH ⋅PO的最小值为2，故B 正确；对于C ，由△PF 1F 2内切圆的圆心为I ，则IF 1，IF 2分别是∠PF 1F 2，∠PF 2F 1的角平分线，则由角平分线定理可得PI IM =PF 1 F 1M =PF 2 F 2M ，即PI IM =PF 1+ PF 2 F 1M + F 2M =2a 2c =a c =1e ，故C 错误；对于D ，设∠F 1PF 2=θ，PF 1=a 1，PF 2=a 2，由正弦定理可得2R =F 1F 2 sin θ=2c sin θ，即R =c sin θ=1sin θ，则cos θ=a 21+a 22-2c 22a 1⋅a 2=a 1+a 2 2-2a 1⋅a 2-4c 22a 1⋅a 2=4b 2-2a 1⋅a 22a 1⋅a 2，即a 1⋅a 2=2b 2cos θ+1=6cos θ+1，因为S △PF 1F 2=12a 1a 2sin θ=3sin θcos θ+1=3sin θ2cos θ2cos 2θ2=3tanθ2，又结合A 有S △MF 1F 2=3r ，所以3tanθ2=3r ，即r =tan θ2，所以R ⋅r =tan θ2sin θ=12cos 2θ2，又因为当P 在短轴的端点时，θ最大，此时PF 1=PF 2=F 1F 2=2，θ=60°，所以θ∈0°,60° ，即θ2∈0°,30° ，所以cos θ2∈32,1，故R ⋅r =12cos 2θ2∈12,23 ，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查了椭圆的定义以及几何性质，明确外心的位置和内角平分线性质，灵活运用正弦定理和等面积法是解答本题关键，考查了推理能力、运算求解能力，属于难题．三、填空题12(22-23高三上·福建泉州·期中)抛物线C 1:y 2=4x 的焦点F ，点P 3,2 ，以点F ，P 为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为.【答案】22【分析】焦点F 1,0 ，根据椭圆定义得到c =2，设椭圆和抛物线的交点为Q ，根据抛物线性质得到a =QF +QP2≥2，得到离心率的最大值.【详解】抛物线C 1:y 2=4x 的焦点F 1,0 ，根据题意2c =3-1 2+2-0 2=22，c = 2.设椭圆和抛物线的交点为Q ，Q 到抛物线准线x =-1的距离为d ，离心率最大，即a 最小，a =QF +QP2=d +QP 2≥3--1 2=2，当PQ 与准线垂直时等号成立，此时e =c a =22.故答案为：2213(2023·广东·一模)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，倾斜角为π3的直线PF 2与双曲线C 在第一象限交于点P ，若∠PF 1F 2≥∠F 2PF 1，则双曲线C 的离心率的取值范围为.【答案】1+32,2【分析】利用双曲线的性质及余弦定理计算即可.【详解】因为倾斜角为π3的直线PF 2与双曲线C 在第一象限交于点P ，可知直线PF 2的倾斜角大于双曲线的一条渐近线的倾斜角，即batan60°=3⇒3a 2 b 2=c 2-a 2⇒e <2，设PF 2 =n ，则PF 1 =2a +n ，根据∠PF 1F 2≥∠F 2PF 1可知PF 2 ≥F 1F 2 =2c ，在△PF 1F 2中，由余弦定理可知n 2+4c 2-2a +n 2=2cos120°×2cn ⇒n =2b 22a -c，即2b 22a -c≥2c ⇒b 2≥2ac -c 2⇒2c 2-2ac -a 2≥0，则2e 2-2e -1≥0⇒e ≥1+32，故2>e ≥1+32故答案为：1+32,2 14(23-24高三上·湖南娄底·期末)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)，直线l 1和l 2相互平行，直线l 1与双曲线C 交于A ,B 两点，直线l 2与双曲线C 交于D ,E 两点，直线AE 和BD 交于点P (异于坐标原点).若直线l 1的斜率为3，直线OP (O 是坐标原点)的斜率k ≥1，则双曲线C 的离心率的取值范围为.【答案】2,10 ∪10,+∞ 【分析】首先ba≠3，故e =1+b a 2≠10，其次由题意由点差法得y M =b 23a 2x M ①，同理y N =b 23a2x N ②，由P,M,N三点共线，所以y M-y0x M-x0=y N-y0x N-x0，代入得b23a2=y0x0=k≥1，结合离心率公式即可得解.【详解】由题意，ba≠3，故e=1+b a 2≠10，设A x1,y1,B x2,y2,D x3,y3,E x4,y4,P x0,y0,AB的中点M x M,y M,DE的中点N x N,y N，则x21a2-y21b2=1x22a2-y22b2=1，两式相减，得x21-x22a2-y21-y22b2=0，化简得y1+y22x1+x22⋅y1-y2x1-x2=b2a2，所以b2a2⋅x My M=y1-y2x1-x2=3，所以y M=b23a2x M①，同理y N=b23a2x N②，因为AB∥DE，所以P,M,N三点共线，所以y M-y0x M-x0=y N-y0x N-x0，将①②代入得b23a2x M-y0x M-x0=b23a2x N-y0x N-x0，即x M-x Nb23a2x0-y0=0，因为x M≠x N，所以b23a2=y0x0=k≥1，所以b2a2≥3，所以双曲线C的离心率为e=ca=1+b2a2≥2.所以双曲线C的离心率的取值范围为2,10∪10,+∞.故答案为：2,10∪10,+∞.【点睛】关键点睛：关键是用点差法来得到y M=b23a2x M①，同理y N=b23a2x N②，结合P,M,N三点共线以及离心率公式即可顺利得解.四、解答题15(21-22高三上·新疆昌吉·阶段练习)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上(点P不在x轴上)，且PF1=5PF2.(1)用a表示PF1,PF2；(2)若∠F1PF2是钝角，求双曲线离心率e的取值范围.【答案】(1)PF1=52a,PF2=12a(2)264<e <32【分析】(1)直接利用双曲线的定义结合条件求得PF 1 ,PF 2 ；(2)由余弦定理得到cos ∠F 1PF 2=135-85e 2，利用∠F 1PF 2是钝角，则-1<cos ∠F 1PF 2<0，解得离心率e 的取值范围.【详解】(1)因为点P 在双曲线的右支上，所以PF 1 -PF 2 =2a ，又PF 1 =5PF 2 ，联立解得PF 1 =52a ,PF 2 =12a .(2)在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2=254a 2+a 24-4c 22×52a ×12a =132a 2-4c 252a 2=135-85e 2，因为-1<cos ∠F 1PF 2<0，所以-1<135-85e 2<0，所以264<e <32.16(2023·上海奉贤·三模)已知双曲线T ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)离心率为e ，圆O ：x 2+y 2=R 2R >0 ．(1)若e =2，双曲线T 的右焦点为F 2,0 ，求双曲线方程；(2)若圆O 过双曲线T 的右焦点F ，圆O 与双曲线T 的四个交点恰好四等分圆周，求b 2a2的值；(3)若R =1，不垂直于x 轴的直线l ：y =kx +m 与圆O 相切，且l 与双曲线T 交于点A ，B 时总有∠AOB =π2，求离心率e 的取值范围．【答案】(1)x 2-y 23=1(2)2+1(3)2,+∞【分析】(1)根据离心率和右焦点即可求出答案.(2)根据对称性分析，∠AOF =45°，则A 22c ,22c，代入曲线方程即可求得结果.(3)根据已知，利用圆心到直线l 距离为m k 2+1=1，得出m 2=k 2+1，再由∠AOB =π2，可得k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2x 1x 2=-1，然后联立y =kx +m x 2a 2-y 2b2=1，得出x 1+x 2=2a 2kmb 2-a 2k 2，x 1x 2=-a 2m 2+b 2 b 2-a 2k 2，上式联立化简可得k 2+1 a 2+a 2b 2-b 2 =0，进而利用a ,b ,c 关系，得出ca的范围.【详解】(1)因e =2，双曲线T 的右焦点为F 2,0，则c =2，ca=2，a =1，b 2=c 2-a 2=3，则双曲线方程为x 2-y 23=1.(2)如图所示，因为圆O 与双曲线T 的四个交点恰好四等分圆周，则OA =c ，∠AOF =45°，则A 22c ,22c，代入双曲线方程x 2a 2-y 2b2=1，可得b 2a 2-a 2b 2=2，令x =b 2a2x >0 ，则x -1x =2，解得x =1+2，即b 2a2=2+1.(3)由题知，作图如下，因为直线l ：y =kx +m 与圆O 相切，且R =1，则圆心到直线l 距离为mk 2+1=1，化简得m 2=k 2+1，①又∠AOB =π2，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则k OA ⋅k OB =-1，即y 1x 1⋅y 2x 2=-1，则k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2x 1x 2=-1，②联立y =kx +m x 2a2-y 2b2=1得b 2-a 2k 2 x 2-2a 2kmx -a 2m 2-a 2b 2=0，则x 1+x 2=2a 2km b 2-a 2k 2，x 1x 2=-a 2m 2+b 2 b 2-a 2k2，③联立①②③，得k 2+1 a 2+a 2b 2-b 2 =0，则a 2+a 2b 2-b 2=0，又c 2=a 2+b 2，则c 2a2=c 2-a 2+2=b 2+2>2，则e =ca>2，即离心率e 的取值范围为2,+∞ .【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的性质，直线与双曲线和圆的位置关系，训练“点差法”的应用，计算量较大，属于中档题.17(23-24高三上·辽宁朝阳·阶段练习)设双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，a 2+b 2=1，O 为坐标原点，过F 的直线l 与C 的右支相交于A ，B 两点.(1)若b <22，求C 的离心率e 的取值范围；(2)若∠AOB 恒为锐角，求C 的实轴长的取值范围.【答案】(1)1,2 (2)5-1,2【分析】(1)根据已知条件代入离心率公式计算取值范围即可；(2)设直线l 的方程x =my +1，与双曲线方程联立，以双曲线C 的实半轴长a 和m 表示A ，B 两点坐标，根据∠AOB 恒为锐角，转化为OA ⋅OB>0，代入坐标计算，由关于m 的不等式恒成立，求得a 的取值范围.【详解】(1)因为b <22，所以b 2<12，因为a 2+b 2=1，所以c =1，a 2=1-b 2>12，所以a >22，则C 的离心率e =c a =1a<122=2，又e >1，所以C 的离心率的取值范围是1,2 .(2)因为F 1,0 ，直线l 的斜率不为零，所以可设其方程为x =my +1.结合b 2=1-a 2(0<a <1)，联立x =my +1,x 2a2-y 21-a2=1,得a 2m 2+1 -m 2 y 2+2m a 2-1 y -a 2-1 2=0，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 由韦达定理，得y 1+y 2=-2m a 2-1a 2m 2+1 -m 2,y 1y 2=-a 2-1 2a 2m 2+1 -m 2,由于A ,B 两点均在C 的右支上，故y 1y 2<0⇒a 2m 2+1 -m 2>0，即m 2<a 21-a2.则OA ⋅OB=x 1x 2+y 1y 2=my 1+1 my 2+1 +y 1y 2=m 2+1 y 1y 2+m y 1+y 2 +1=m 2+1 ⋅-a 2-1 2a 2m 2+1 -m2+m ⋅-2m a 2-1 a 2m 2+1 -m2+1=m 2a 21-a 2 -a 4+3a 2-1a 2m 2+1 -m 2.由∠AOB 恒为锐角，得对∀m 2<a 21-a 2，均有OA ⋅OB >0，即m 2a 21-a 2 -a 4+3a 2-1>0恒成立.由于a 21-a 2 >0，因此不等号左边是关于m 2的增函数，所以只需m 2=0时，-a 4+3a 2-1>0成立即可，解得5-12<a <5+12，结合0<a <1，可知a 的取值范围是5-12,1.综上所述，C 的实轴长的取值范围是5-1,2 .【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，必要时计算Δ；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.18(2023·上海徐汇·一模)已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率为e ．(1)若e =2，且双曲线E 经过点(2,1)，求双曲线E 的方程；(2)若a =2，双曲线E 的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦点到双曲线E 的渐近线的距离为3，点M 在第一象限且在双曲线E 上，若MF 1 =8，求cos ∠F 1MF 2的值；(3)设圆O :x 2+y 2=4，k ,m ∈R ．若动直线l :y =kx +m 与圆O 相切，且l 与双曲线E 交于A ,B 时，总有∠AOB =π2，求双曲线E 离心率e 的取值范围．【答案】(1)x 2-y 2=1；(2)1316；。
妙解离心率问题(学生版)-高中数学
妙解离心率问题【目录】考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题考点二：焦点三角形顶角范围与离心率考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题考点四：椭圆与双曲线的4a 通径体考点五：椭圆与双曲线的4a 直角体考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题考点七：双曲线的4a 底边等腰三角形考点八：焦点到渐近线距离为b考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题考点十一：渐近线平行线与面积问题考点十二：数形结合转化长度角度求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题，多以选择、填空题的形式考查，难度中等．考点要求考题统计考情分析离心率2023年新高考I 卷第5、16题，10分2023年甲卷第9题，5分2022年甲卷第10题，5分2022年浙江卷第16题，4分2021年甲卷第5题，5分2021年天津卷第8题，5分离心率问题一直是高考每年必考，对圆锥曲线概念和几何性质的考查为主，一般不会出太难，二轮复习我们需要掌握一些基本的性质和常规的处理方法，挖掘椭圆双曲线的几何性质下手．求离心率范围的方法一、建立不等式法：1.利用曲线的范围建立不等关系．2.利用线段长度的大小建立不等关系．F1,F2为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆上的任意一点，PF1∈a-c,a+c；F1,F2为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，PF1≥c-a．3.利用角度长度的大小建立不等关系．F1,F2为椭圆x2a2+y2b2=1的左、右焦点，P为椭圆上的动点，若∠F1PF2=θ，则椭圆离心率e的取值范围为sinθ2≤e<1．4.利用题目不等关系建立不等关系．5.利用判别式建立不等关系．6.利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．7.利用基本不等式，建立不等关系．1(2023•新高考Ⅰ)设椭圆C1:x2a2+y2=1(a>1)，C2:x24+y2=1的离心率分别为e1，e2．若e2=3e1，则a=()A.233B.2C.3D.62(2023•甲卷)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5，C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A，B两点，则|AB|=()A.55B.255C.355D.4553(2022•甲卷)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为14，则C的离心率为()A.32B.22C.12D.134(2021•甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为()A.7B.13C.72D.1325(2021•天津)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C，D两点，若|CD|=2|AB|，则双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.36(2022•甲卷)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为13，A 1，A 2分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA 1 ⋅BA 2=-1，则C 的方程为()A.x 218+y 216=1B.x 29+y 28=1C.x 23+y 22=1D.x 22+y 2=17(2022•全国)若双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线与直线y =2x +1垂直，则C 的离心率为()A.5B.5C.54D.528(多选题)(2022•乙卷)双曲线C 的两个焦点为F 1，F 2，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过F 1作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且cos ∠F 1NF 2=35，则C 的离心率为()A.52B.32C.132D.1729(2023•新高考Ⅰ)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2．点A 在C 上，点B 在y 轴上，F 1A ⊥F 1B ，F 2A =-23F 2B，则C 的离心率为．10(2022•浙江)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点为F ，过F 且斜率为b4a 的直线交双曲线于点A (x 1，y 1)，交双曲线的渐近线于点B (x 2，y 2)且x 1<0<x 2．若|FB |=3|FA |，则双曲线的离心率是．考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题，如图所示：椭圆：e =1sin α+cos α=12sin α+π4，根据α范围求解值域．双曲线：e =1cos α−sin α=12cos α+π4，根据α范围求解值域．1(2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆右焦点，且满足AF ⊥BF ，设∠ABF =α，且α∈π12,π3 ，则该椭圆的离心率e 的取值范围是()A.22,3-1 B.22,63C.3-1,63D.63,621(2024·高三单元测试)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且AF ⊥BF ，设∠ABF =α，且α∈π12,π6，则该椭圆的离心率e 的取值范围为()A.3-1,63B.3-1,32C.64,63D.0,632(2024·宁夏银川·高三银川二中校考阶段练习)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且满足AF ⊥BF ，设∠ABF =α，且α∈π12,π4，则该椭圆的离心率e 的取值范围为()A.22,63B.3-12,32C.3-1,63D.22,323(2024·河南驻马店·高三统考期末)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2(a >b >0)右支上非顶点的一点A 关于原点O 的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⋅BF =0，设∠BAF =θ且θ∈π4,5π12，则双曲线C 离心率的取值范围是()A.(2,2]B.[2,+∞)C.(2,+∞)D.(2,+∞)考点二：焦点三角形顶角范围与离心率F 1,F 2是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的焦点，点P 在椭圆上，∠F 1PF 2=θ，则cos θ≥1−2e 2(当且仅当动点为短轴端点时取等号)．1(2024·辽宁葫芦岛·高三统考期末)已知点F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，点P 是椭圆上的一个动点，若使得满足ΔPF 1F 2是直角三角形的动点P 恰好有6个，则该椭圆的离心率为() A.12B.32C.22D.331(2024·江西抚州·高三统考期末)设F 1,F 2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点p ,使∠F 1PF 2=120°,则椭圆离心率的取值范围是()A.0,32B.0,32C.32,1D.32,1 2(2024·宁夏·高三校联考阶段练习)已知F 1，F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的取值范围为()A.12，22B.22，1 C.0，22D.12，223(2024·高三课时练习)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1、F 2，若椭圆上存在点P 使得∠F 1PF 2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是()A.0,22B.22,1C.0,12D.12,1考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题sin 2α2e 椭2+cos 2α2e 双2=1，与基本不等式联姻求解离心率的取值范围1(2024·全国·高三专题练习)已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2=π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则当1e 1e 2取最大值时，e 1，e 2的值分别是()A.22，62B.12，52C.33，6 D.24，31(2024·湖南·高三校联考期末)已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P ，Q 分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且QF 2⊥F 2P ，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则4e 21+e 22最小值等于．2(2024·湖北咸宁·校考模拟预测)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F 1,F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若PF 1 =24，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1,e 2，则3e 1e 2的取值范围是()A.19,+∞B.1,+∞C.13,+∞D.12,+∞考点四：椭圆与双曲线的4a 通径体椭圆与双曲线的4a 通径体如图，若AF 2⊥F 1F 2，易知AF 2 =b 2a ，若AF 1 =λF 1B (λ>1)，则一定有AF 1 =λ+12⋅b 2a，根据AF 1 +AF 2 =2a 可得λ+32⋅b 2a =2a ，即λ+34⋅(1-e 2)=1⇒e =λ-1λ+31(2024·河南新乡·高三统考期末)设双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1的直线交双曲线C 的左支于M 、N 两点，若MF 2 =F 1F 2 ，且2MF 1 =NF 1 ，则双曲线C 的离心率是() A.43B.53C.52D.321(2024·甘肃庆阳·高三校联考阶段练习)已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆C 于M ，N 两点.若MN +NF 2 =2MF 2 ，且MF 2⊥NF 2，则椭圆C 的离心率为() A.33B.55C.22D.662(2024·湖南衡阳·校联考模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，∠MF 2N =90°，且4F 2N =3F 2M ，则椭圆的离心率为()A.13B.12C.33D.55考点五：椭圆与双曲线的4a 直角体如左图，若AF 2⊥AB ，AB 过原点，且AF 1=λF 1B ，∠AF 1F 2=α，则e cos α=λ−1λ+1可得离心率．如右图，若BF 2⊥AC ，AB 过原点，且AF 2=λF 2C(0<λ<1)，通过补全矩形，可得AF 1⊥AC ，AF 2 =λ+12⋅b 2a ，借助公式e cos α=λ−1 λ+1可得离心率．1(2024·山东济南·校联考)设F 1，F 2分别是椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且AF 1 ⋅AF 2 =0，AF 2 =2F 2B，则椭圆E 的离心率为()A.23B.34C.53D.741(2024·安徽池州·高三统考期末)设F 1、F 2分别是椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1-c ,0 的直线交椭圆E 于A ,B 两点，若AF 1=3 F 1B ，且AB ⊥AF 2，则椭圆E 的离心率是()A.12B.52C.32D.222(2024·湖北黄冈·高三统考期末)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，AF 2 =λF 2B ，且AF 1 ⋅AF 2 =0，椭圆C 的离心率为22，则实数λ=()A.23B.2C.13D.3考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题同角余弦定理使用两次1已知椭圆C 的焦点为F 1(-1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若│AF 2 =2F 2B ，AB │=BF 1 ，则C 的方程为()A.x 22+y 2=1B.x 23+y 22=1C.x 24+y 23=1D.x 25+y 24=11(2024·江西九江·高三九江一中校考期末)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 左右焦点为F 1，F 2，过F 2的直线与双曲线的右支交于P ，Q 两点，且PF 2=2F 2Q，若△PQF 1为以Q 为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为()A.7B.2C.213D.32(2024·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考阶段练习)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)左右焦点为F 1，F 2，过F 2的直线与双曲线的右支交于P ，Q 两点，且PF 2=3F 2Q，若△PQF 1为以Q 为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为()A.3B.2C.2D.3考点七：双曲线的4a 底边等腰三角形当F 2A =F 2B 或者AB =4a 时，令∠AF 1F 2=α,则一定存在①F 1M =F 2B ，②e =1cos2α1(2024·河南·高三校联考阶段练习)设F 2为双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的右焦点，直线l ：x -3y +c =0(其中c 为双曲线C 的半焦距)与双曲线C 的左、右两支分别交于M ，N 两点，若MN⋅F 2M +F 2N=0，则双曲线C 的离心率是()A.153B.53C.13D.521(2024·贵州·校联考模拟预测)设F 2为双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点，直线l ：x -2y +c =0(其中c 为双曲线C 的半焦距)与双曲线C 的左、右两支分别交于M ，N 两点，若MN ⋅F 2M +F 2N=0，则双曲线C 的离心率是()A.53B.43C.153D.2332(2024·全国·高三长垣市第一中学校联考开学考试)设双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，过点F 1作斜率为33的直线l 与双曲线C 的左､右两支分别交于M ,N 两点，且F 2M +F 2N ⋅MN =0，则双曲线C 的离心率为()A.2B.3C.5D.23(2024·全国·模拟预测)已知F 1，F 2分别为双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，过F 1的直线与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，连接AF 2，BF 2，在△ABF 2中，sin ∠ABF 22=14，AB =BF 2 ，则双曲线C 的离心率为()A.3B.2C.3D.2考点八：焦点到渐近线距离为b双曲线的特征三角形，如图所示，设渐近线l 1:y =b a x ，l 2:y =-bax ，过右焦点作FM ⊥l 1，FN ⊥l 2，由于渐近线方程为y =±b a x ，故MF 2 OM =NF 2 ON =b a ，且斜边OF 2 =c ，故MF 2 OF 2 =NF 2 OF 2=bc ，故OM =ON =a ，MF 2=NF 2 =b .1(2024·河南新乡·高三校联考阶段练习)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过F 2作双曲线C 的一条渐近线的垂线l ，垂足为H ，直线l 与双曲线C 的左支交于E 点，且H 恰为线段EF 2的中点，则双曲线C 的离心率为()A.2B.3C.2D.51(2024·吉林白山·高三校联考阶段练习)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，以OF 1为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M (异于坐标原点O )，若线段MF 1交双曲线于点P ，且MF 2⎳OP 则该双曲线的离心率为()A.2B.3C.52D.62(2024·山西运城·高三统考期末)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以OF 1为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，若线段MF 1交双曲线于点P ，且PF 2 =5PF 1 ，则双曲线的离心率为()A.264B.344C.2D.33(2024·辽宁·统考模拟预测)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一个焦点为F ，过F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为A .若△OFA (O 为坐标原点)的面积等于14c 2(c 为双曲线C 的半焦距)，则双曲线C 的离心率为()A.2B.3C.2D.54(2024·广西南宁·统考)已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点为F 1，过点F 1的直线与两条渐近线的交点分别为M 、N 两点(点F 1位于点M 与点N 之间)，且MF 1 =2F 1N，又过点F 1作F 1P ⊥OM 于P (点O 为坐标原点)，且|ON |=|OP |，则双曲线E 的离心率e =()A.5B.3C.233D.62考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形利用几何法转化1(2024·江西九江·高三九江一中校考阶段练习)F 是双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左焦点，过点F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ．若3FA =FB，则此双曲线的离心率为()A.2B.53C.233D.31(2024·广西玉林·校考模拟预测)过双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的右焦点F 引一条渐近线的垂线，与另一条渐近线相交于第二象限，则双曲线C 的离心率的取值范围是()A.(2，+∞)B.(3，+∞)C.(2，+∞)D.(3，+∞)2(2024·江西新余·统考)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 ，过右焦点F 作C 的一条渐近线的垂线l ，垂足为点A ，l 与C 的另一条渐近线交于点B ，若AF =25AB，则C 的离心率为()A.305B.2C.233D.52考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题以F 1F 2为直径作圆，交一条渐近线y =bax 于点B ，BF 1交另一条渐近线于点A ，则令∠BOF 2=α,则∠BF 1F 2=α2，e =1+tan 2α1(2024·全国·校联考)过双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点F 作x 轴的垂线，与双曲线C 及其一条渐近线在第一象限分别交于A ,B 两点，且OF =2OA -OB(O 为坐标原点)，则该双曲线的离心率是()A.2.B.3C.322D.2331(2024·山西晋城·统考)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，以线段F 1F 2为直径的圆与直线bx -ay =0在第一象限交于点A ，若tan ∠AF 2O =2，则双曲线C 的离心率为()A.53B.32C.3D.22(2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左，右焦点分别为F 1，F 2，若以F 1F 2为直径的圆和曲线C 在第一象限交于点P ，且△POF 2恰好为正三角形，则双曲线C 的离心率为()A.1+32B.1+52C.1+3D.1+53(2024·陕西宝鸡·统考)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1，F 2，且以F 1F 2为直径的圆与双曲线C 的渐近线在第四象限交点为P ，PF 1交双曲线左支于Q ，若2F 1Q =QP，则双曲线的离心率为()A.10+12B.10C.5+12D.5考点十一：渐近线平行线与面积问题①双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1上的任意点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数a 2b 2c 2②双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1上的任意点P 作双曲线C 的两条渐近线的平行线，分别交于A ，B 两点，则PA PB 是一个常数c 24，S AOBP =ab 2，OA ⋅OB =a 2−b 241(2024·北京·人大附中校考)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过F 2作C 的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M ，N 两点．若cos ∠MF 1N =513，则C 的离心率为()A.2B.852C.5D.531(2024·山东潍坊·高三统考期末)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上一点P 坐标为(5,m )(m >0),F 为双曲线C 的右焦点，且PF 垂直于x 轴.过点P 分别作双曲线C 的两条渐近线的平行线，它们与两条渐近线围成的图形面积等于1，则该双曲线的离心率是.2(2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习)过双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)右支上一点P 作两条渐近线的平行线分别与另一渐近线交于点M ，N ，O 为坐标原点，设△OMN 的面积为S ，若S ≥b 22，则双曲线C 的离心率取值范围为．(用区间作答)考点十二：数形结合转化长度角度数形结合1(2024·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考阶段练习)已知F 1,F 2分别为双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，P 是C 左支上一点，PF 2 =2PF 1 ，若存在点M 满足F 1P =2MP ,OM ⋅FP 1=0，则C 的离心率为.1(2024·内蒙古赤峰·高三校考期末)已知双曲线Γ:x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1,F 2，点A 在Γ上，且AF 1 ⋅AF 2=0，射线AO ,AF 2分别交Γ于B ,C 两点(O 为坐标原点)，若F 2B =F 2C ，则Γ的离心率为．2(2024·福建龙岩·高三福建省连城县第一中学校考期末)如图，已知双曲线C ：x 2a2-y 2a +2=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,M 是C 上位于第一象限内的一点，且直线F 2M 与y 轴的正半轴交于A 点，△AMF 1的内切圆在边MF 1上的切点为N ，若MN =2，则双曲线C 的离心率为.。
高考数学二轮复习 第11课时 圆锥曲线离心率问题
第11课时 圆锥曲线离心率问题【考点点悟】传道解惑，高屋建瓴求圆锥曲线离心率是解析几何中的一类典型问题.这类问题涉及多个知识点，综合性强,方法也多种多样,主要涉及到函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法,将它转化为解不等式或求函数值域,以及利用函数单调性、各种平面几何中最值的思想来解决.解这类题的关键是如何构造出方程或不等式.【小题热身】明确考点，自省反思1.已知椭圆12222=+by a x )0(>>b a ，A 为左顶点，B 为短轴一端点，F 为右焦点，且BF AB ⊥，则椭圆的离心率e = .2.双曲线1222=-y ax )0(>a 与直线1=+y x 相交于不同的两点, 则此双曲线的离心率的取值范围为 .3.已知双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的右焦点为F ,若过F 且倾斜角为060的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则离心率的取值范围为 .4.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径作圆M ，若过20a P c ⎛⎫⎪⎝⎭，作圆M 的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为 【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例1. 设椭圆22221x y a b+=的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点Q ，若△F 1QF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 .思路透析: 依题意得：1(,0)F c -，2(,0),F c 2(,)b Q c a ，122F F F Q = ，即22b c a=，即222ac a c =-即2210e e +-=，因此1e =.点评:当椭圆的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ce a=来解决. 例 2.椭圆)0(12222>>=+b a by a x 和圆222)2(c b y x +=+(其中c 为椭圆半焦距)有四个不同的交点,求椭圆的离心率的取值范围.思路透析: 要使椭圆与圆有四个不同的交点.只需满足a c bb <+<2, 即⎪⎩⎪⎨⎧+-<<⇒⎩⎨⎧-<<222224844222cac a b c b c a b c b ()()2222222225435484a ca c c a c a c a c a ac c ⎧⎧<-<⎪⎪⇒⇒⎨⎨--<-<-+⎪⎪⎩⎩2235535c e a a c⎧1>⎪⇒⇒<<⎨⎪>⎩.点评:将数用形来体现,直接得到c b a ,,的关系,无疑是解决数学问题最好的一种方法,也是重要的解题途径.例 3.椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x M 的左,右焦点分别为21,F F ,P 为椭圆M 上任一点,且21PF PF ⋅的最大取值范围是]3,[22c c ,其中22b a c -=,则椭圆的M 离心率e 的取值范围是 .思路透析: :设),(),0,(),0,(21y x P c F c F -,则22221c y x PF PF -+=⋅,又12222=+b y a x 得22222220,a x a x b b y ≤≤-=,∴222222222221)1(c b x ac c b x a b PF PF -+=-+-=⋅, ],0[22a x ∈,当22a x =时, 2max 21||b PF PF =⋅,22213222≤≤⇒≤≤e c b c . 点评:确定椭圆上点),(y x P 与c b a ,,的等量关系,由椭圆的范围,即b y a x ≤≤||,||建立不等关系.如涉及曲线上的点到焦点距离有关问题,也可用曲线焦半径公式去分析.例4. 梯形ABCD 中，若AB//CD ，|AB|=2|CD|，E 分AC 所成比为λ，一双曲线以A 、B 为左右焦点，且过C,D,E 三点，求双曲线离心率范围？思路透析: 以线段AB 中点O 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，不妨设A （-c,0）,B(c,0),双曲线方程为).0,(12222>=-b a by a x由双曲线对称性知，梯形ABCD 为等腰梯形，设),,2(0y cC 又E 分AC 所成比为λ.),10,12(0λλλλ+⋅++⋅+-∴y cc E 即).1,)1(2)2((0λλλλ+⋅+-∴y c E又C ，E 都在双曲线上，),1(1422022=-∴by a c ).2(1)1()1(4)2(222022222 =+-+-by a c λλλλ ,)1()1()2(22λλ+⨯-化简得,12)1(22+=-λλe ,4332,2122≤≤+-=∴λλ又e e.107,43213222≤≤∴≤+-≤∴e e e 点评：利用C 、E 都在双曲线上，得到了离心率e 与λ的函数关系，然后利用λ的范围，得出了离心率e 的范围.例 5.设F 1,F 2是椭圆)00(12222>>=+，b a by a x 的两焦点，若椭圆上存在点P 使，PF F 021120=∠求椭圆离心率的取值范围.思路透析: 在21F PF ∆中，由余弦定理可得：0212221221120cos ||||2||||||PF PF PF PF F F ⋅-+= |||||)||(|21221PF PF PF PF ⋅-+= ,2||||,2||2121a PF PF c F F =+=即||||442122PF PF a c ⋅-=.)2||||(44||||22212221a PF PF c a PF PF =+≤-=+解得：,1,23<≥e e 故所求离心率的范围是).1,23[点评：在21F PF ∆中，利用余弦定理建立关系式，再结合均值不等式22121)2||||(||||PF PF PF PF +≤+,使问题求解.例6. 过双曲线C ：)0,(12222>=-b a by a x 的右焦点F 作双曲线斜率大于零的渐近线的垂线 ，垂足为P ，设 与C 的左、右两支交于A ，B 两点，求双曲线C 的离心率e 的取值范围.思路透析: 设F(c,0),双曲线C 的斜率大于零的渐近线方程为,x aby =故得直线 的方程为).(c x bay --= 由⎪⎩⎪⎨⎧=---=222222)(b a y a x b c x ba y 消去y 后整理，得.0)(2)(42224244=+-+-bc a a cx a x a b 因为 与双曲线C 有两个交点，所以.044≠-a b设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则.)(44422221ba b c a a x x -+= 因为A 、B 两点分别在双曲线的左、右两支上，所以x 1x 2<0,即,0)(444222<-+ba b c a a 亦即,,22222a a c ab >-∴>.2,2)(22>∴>=∴e ace点评：直线l 与双曲线C 的左、右两支交于A 、B 两点，联立直线l 与双曲线C 的方程，消去y 后，所得的关于x 的一元二次方程应有异号的两实根，据此可得出与离心率e 有关的参数a ,b,c 所满足的不等式.【即时测评】学以致用，小试牛刀1.设1>a ,则双曲线1)1(2222=+-a y a x 的离心率e 的取值范围是( ) A.)2,2(B.)5,2(C.)5,2(D. )5,2(2.已知21,F F 是椭圆的两个焦点,满足021=⋅MF MF 的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( )A.)1,0(B.]21,1(C.)22,0(D. )1,22[3. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，短轴顶点B ()0,b ，若椭圆内接三角形BMN 的重心是椭圆的左焦点F ，则椭圆的离心率的取值范围为( )A. 2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.⎫⎪⎪⎝⎭ C.0,2⎛ ⎝⎭D. ⎛ ⎝⎭ 4. 已知21,F F 分别为双曲线12222=-by a x 的左,右焦点,P 为双曲线左支上的任一点,若a PF PF 8||||122=,则双曲线离心率e 的取值范围是( )A.),1(+∞B.]3,0(C.]3,1(D.]2,1(5.斜率为2的直线过中心在原点且焦点在x 轴上的双曲线的右焦点,与双曲线的两个交点分别在左,右两支上,则双曲线的离心率的取值范围是( )A.2>e B.31<<e C.51<<e D.5>e【课后作业】学练结合，融会贯通一、填空题:1.如图，B A ,是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴和短轴端点，P 是椭圆上的一点，O 是椭圆 中心，F 是椭圆焦点，若//,,OP AB PF OF ⊥则 椭圆的离心率为 .2.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的长轴的两个端点是A ，B ，若椭圆C 上存在一点P ，使120APB ∠=︒，则椭圆C 的离心率e 的取值范围为 .3.双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点为21,F F ,若P 为其上一点,且||2||21PF PF =,则双曲线离心率的取值范围为 .4.椭圆中心是坐标原点O ，焦点在x 轴上，过椭圆左焦点F 的直线交椭圆于P ,Q 两点，且OP ⊥OQ ,则椭圆离心率的取值范围为 .5.直线()1y ax a R =-∈与焦点在x 轴上的椭圆2215x y m+=总有公共点，则椭圆的离心率的取值范围为 .6.已知21,F F 为椭圆()012222>>=+b a by a x 的焦点,B 为椭圆短轴上的端点，2212121F F BF BF ≥⋅,则椭圆离心率的取值范围为 .7.椭圆()222210x y a b a b+=>>与直线10x y +-=相交于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ （O为原点）,若椭圆长轴2a ∈时，则椭圆离心率的取值范围为 .二、解答题:8.已知椭圆1by a x 2222=+(a>b>0)的两焦点为F 1、F 2，斜率为k 的直线l 过右焦点F 2，与椭圆交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，B 为CF 2的中点。
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高考数学离心率离心率历年来是圆锥曲线客观题的考查重点，对于求圆锥曲线离心率的问题，通常有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围，属于中低档次的题型，对大多数学生来说是没什么难度的。
一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率，只需要由条件得到一个关于基本量a ，b ，c ，e 的一个方程，就可以从中求出离心率．但如果选择方法不恰当，则极可能“小题”大作，误入歧途。
许多学生认为用一些所谓的“高级”结论可以使结果马上水落石出，一针见血，其实不然，对于这类题，用最淳朴的定义来解题是最好的，此时无招胜有招！ 【例1】12212(05,,A.1F F F P F PF ∆全国Ⅲ)设椭圆的两个焦点分别为、过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）[解法一]（大多数学生的解法）解：由于12F PF ∆为等腰直角三角形，故有122F F PF =，而122F F c =，22b PF a =所以22b c a=，整理得2222ac b a c ==-等式两边同时除以2a ，得221e e =-，即2210e e +-=，解得1e ==-±，舍去1e =-因此1e =-+ D[解法二]（采用离心率的定义以及椭圆的定义求解） 解：如右图所示，有12222||||1c c c ea a PF PF ===+===离心率的定义椭圆的定义故选D [评]以上两种方法都是很好的方法，解法一是高手的解法，灵活运用了“通径”这个二级结论，使题目迎刃而解，但计算量偏大，耗时较长；而解法二则是老手，整个过程没有任何高级结论，只运用了最最最简单的、人人皆知的“定义”，通过几个简单的步骤即可。
正所谓此时无法胜有法！ 一、用定义求离心率问题1.设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）D（A （B （C ）2-D 1- 2．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）AA ．33B ．32C ．22D ．23 3.在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e =．384、已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为_________；解析：设c=1，则121212122222-=+==⇒+=⇒=-⇒=a c e a a c a a b 5、已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为。
解析：由已知C=2，2142,43433222====⇒=-⇒=⇒=a c e a a a a b a b6．过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为BA B C ．12D ．137.已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）DA ．324+B ．13-C ．213+ D ．13+8.双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）BABCD 9、设F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90º，且|AF 1|=3|AF 2|，则双曲线离心率为(A)(B)(D)解．设F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点。
若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90º，且|AF 1|=3|AF 2|，设|AF 2|=1，|AF 1|=3，双曲线中122||||2a AF AF =-=，2c ==，∴离心率e =，选B 。
10、如图，1F 和2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，A 和B 是以OAB F 2是等边三角形，为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△则双曲线的离心率为 （A ）3（B ）5（C ）25（D ）31+ 解析：如图，1F 和2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，连接AF 1，∠AF 2F 1=30°，31+，选D 。
|AF 1|=c ，|AF 2|=3c ，∴21)a c =，双曲线的离心率为11.设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线r 上存在点P 满1122::PF F F PF =4:3:2，则曲线r 的离心率等于AA.1322或B.23或2C.12或2D.2332或二、列方程求离心率问题1．方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率 解：方程22520x x -+=的两个根分别为2，12，故选A 2、已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）A ．13B C ．12D解．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴2a b =，椭圆的离心率c e a ==D 。
3、设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为B（A （B （C ）2 （D ）34.在平面直角坐标系中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点(a 2c ，0)作圆的两切线互相垂直，则离心率e =．e =5．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为 （A ）53(B )43 (C )54 (D )32解析:双曲线焦点在x 轴,由渐近线方程可得45,33b c e a a ====可得,故选A6、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为20x y -=，则它的离心率为（ ）A B C D ．2 解析：由a b b a 221==得a b a c 522=+=，5==ace 选A 7．已知双曲线22212x y a -=(a >2)的两条渐近线的夹角为π3 ,则双曲线的离心率为A.2B. 3C.263D.233解：双曲线22212x y a -=(a >2)的两条渐近线的夹角为π3 ，则2tan 6a π==，∴a 2=6，双曲线的离心率为233，选D ．8.已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的一条渐近线为y =kx (k ＞0),离心率e ,则双曲线方程为（ ）C（A ）22x a －224y a =1 (B)222215x y a a -= (C)222214x y b b -= (D)222215x y b b-=9设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2+1相切，则该双曲线的离心率等于( )（A （B ）2 （C （D 解：设切点00(,)P x y ，则切线的斜率为0'0|2x x yx ==.由题意有002y x x =又2001y x =+解得:201,2,b x e a =∴===【命题立意】:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.10、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（A（BCD解析：选D.不妨设双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为：22221(0,0)x y a b a b -=>>，则一个焦点为(,0),(0,)F c B b 一条渐近线斜率为：b a ，直线FB 的斜率为：b c -，()1b ba c∴⋅-=-，2b ac ∴=222,10c a ac e e e ∴-=∴--=∴=11．如图，在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为.【解析】 考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。
以及直线的方程。
直线12A B 的方程为：1x ya b+=-； 直线1B F 的方程为：1x y c b+=-。
二者联立解得：2()(,)ac b a c T a c a c+--， 则()(,)2()ac b a c M a c a c +--在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，2222222()1,1030,1030()4()c a c c ac a e e a c a c ++=+-=+-=--，解得：5e =12已知椭圆C ：22221x y a b+=（a>b>0，过右焦点F 且斜率为k （k>0）的直线于C 相交于A 、B 两点，若3AF FB =。
则k =（A ）1 （B（C（D ）2【解析】B ：1122(,),(,)A x y B x y ，∵3AF FB =，∴123y y =-，∵e =，设2,a t c ==，b t =，∴222440x y t +-=，直线AB 方程为x sy =。
代入消去x ，∴222(4)0s y t ++-=，∴2121224t y y y y s +==-+，22222234t y y s -=-=-+，解得212s =，k =13已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF 2FD =uu r uu r，则C 的离心率为 答案：23【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.【解析】如图，||BF a ==,作1DD y ⊥轴于点D 1,则由BF 2FD =uu r uu r，得 1||||2||||3OF BF DD BD ==,所以133||||22DD OF c ==,即32D c x =,由椭圆的第二定义得2233||()22a c c FD e a c a=-=-又由||2||BF FD =,得232c c a a=-,整理得22320c a ac -+=.两边都除以2a ,得2320e e +-=,解得1()e =-舍去，或23e =. 14．过双曲线M:2221y x b-=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是 ( )解析：过双曲线1:222=-by x M 的左顶点A (1，0)作斜率为1的直线l ：y=x －1, 若l 与双曲线M 的两条渐近线2220y x b-=分别相交于点1122(,),(,)B x y C x y , 联立方程组代入消元得22(1)210b x x -+-=，∴1221222111x x b x x b ⎧+=⎪⎪-⎨⎪⋅=⎪-⎩，x 1+x 2=2x 1x 2，又||||BC AB =,则B 为AC 中点，2x 1=1+x 2，代入解得121412x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴ b 2=9，双曲线M的离心率e=ca=，选A. 15．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是 ( )A B C D 答案：C【解析】对于(),0A a ，则直线方程为0x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ，22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭，则有 22222222(,),,a b a b ab ab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=- ⎪--++⎝⎭，因222,4,AB BC a b e =∴=∴=16.已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的右焦点为F ,过F 且斜率为的直线交C 于A B 、两点，若4AF FB =,则C 的离心率为 .A ．65B. 75 C. 58 D. 95解：设双曲线22221x y C a b-=：的右准线为l ,过A B 、分 别作AM l⊥于M ,BN l ⊥于N , BD AM D ⊥于,由直线AB ,知直线AB 的倾斜角为16060,||||2BAD AD AB ︒∴∠=︒=,由双曲线的第二定义有1||||||(||||)AM BN AD AF FB e -==-11||(||||)22AB AF FB ==+.又15643||||25AF FB FB FB e e =∴⋅=∴=故选A一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率的取值范围，通常可以从两个方面来研究：一是考虑几何的大小，例如线段的长度、角的大小等；二是通过设椭圆（或双曲线）点的坐标，利用椭圆（或双曲线）本身的范围，列出不等式．离心率是描述圆锥曲线性质的一个关键量，它是一个比值，它与圆锥曲线的大小无关，只与其形状有关．在椭圆中，离心率越大，椭圆越扁平，离心率越小，椭圆越圆，椭圆离心率的取值范围e ∈(0，1)；在双曲线中，离心率越大，双曲线的形状从扁狭逐渐变得开阔，即双曲线的“张口”逐渐增大，双曲线离心率的取值范围e ∈(1，＋∞)；在抛物线中，离心率e ＝1． 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点分别为F 1，F 2，若该椭圆上存在一点P ，使得∠F 1PF 2＝60°，则椭圆离心率的取值范围是．分析：如果我们考虑几何的大小，我们发现当M 为椭圆的短轴的顶点B 1（或B 2）时∠F 1PF 2最大（需要证明），从而有0＜∠F 1PF 2≤∠F 1 B 1F 2．根据条件可得∠F 1 B 1F 2≥60°，易得≥．故≤e ＜1． 证明，在△F 1PF 2中，由余弦定理得，22212121212cos 2PF PF F F F PF PF PF +-∠=()()2212122121212PF PF F F PF PF +-≥+2222a ca-=当且仅当PF 1＝PF 2时，等号成立，即当M 与椭圆的短轴的顶点B 1（或B 2）时∠F 1MF 2最大．如果通过设椭圆上的点P (x ，y )，利用椭圆本身的范围，也可以求出离心率e 的范围．在本题中，运用此法可以做，但比较复杂（关键是点P 的坐标不易表示）．因此，在解题过程中要注意方法的选择．三、离心率范围问题1.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点分别为F 1，F 2，若该椭圆上存在一点P ，使得∠F 1PF 2 ＝60°，则椭圆离心率的取值范围是．1[,1)22．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若双曲线上存在一点P 使1221sin sin PF F aPF F c=，则该双曲线的离心率的取值范围是．答案：1+)3.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）CA ．(0,1)B ．1(0,]2C ．D ．4、椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若12MN F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）Ａ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦，Ｂ．0⎛ ⎝Ｃ．112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，Ｄ．1⎫⎪⎪⎭解析：椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若2||2a MN c =，12||2F F c =，12MN F F 2≤，则22a c c ≤，该椭圆离心率e ≥22，取值范围是1⎫⎪⎪⎭，选D 。