哈工大应用泛函分析最后论文

应用泛函分析在控制工程中的应用在研一上学期的课程学习过程中，我学习了《应用泛函分析》这门课程，刚接触这门课程的时候，觉的这门课是对数学理论的高度抽象，自己掌握的也是一知半解，并没有深入的去了解该课程对自己今后从事科研工作到底有什么样的帮助，随着学习理论知识的加深，结合王洋老师的《数字信号处理基础》和韩崇昭老师的《泛函分析——系统自动控制的基础》这两本书，我对泛函分析在机械工程和自动控制方面的应用有了一定的了解，以下我就来谈谈我眼中的应用泛函分析这门课程。

首先说一下应用泛函分析这门课程是如何产生并得到发展的。

人们在研究各种自然系统、社会经济系统和工程系统时，发现其内在机理有神奇的相似之处，它们都可以用同一的数学工具进行描述和分析，而针对某一特定类型系统研究的结论，也很容易移植到另一类型的系统。

系统科学或系统工程，正是研究各种系统共同规律的一门边缘学科，而控制理论则偏重于人或外部因素对系统行为的作用。

我由本学期开设的《控制理论及其应用》这门学科中知道，控制理论、系统工程以及其他应用学科的现代研究方法，往往首先需要建立一个用于描述对象特征的数学模型，进而利用这些模型来分析其静态或者动态的行为，诸如稳定性、能控性、能观性、能镇定性等等，或者设计某个控制策略或决策方案，从而产生对系统的有效控制作用，使之按人们预期的目标发展。

而现实的对象，除了极少数可利用物理定律或
社会经济规律进行机理建模之外，大多数需要利用实测数据，按照某种方法，借用计算机辨识建模。

对于系统的分析或控制，除了要求掌握专门领域的知识之外，都需要掌握各种数学方法和计算工具，当代计算机技术的辉煌成就，给人们提供了这种研究的可能性，而现代数学理论的发展，已经和正在不断的为控制理论和系统科学提供强有力的分析和计算方法，应用泛函分析正是在这种背景和需求的情况下产生和发展起来的。

那么究竟什么是应用泛函分析呢，我个人认为，泛函分析是高度抽象的数学分支，是研究各类泛函空间及算子的理论。

所谓泛函空间是带有某类数学结构（主要是拓扑和代数结构）的抽象集。

其元（或点）可以是数、向量、函数、张量场，甚至各种物理状态等。

根据不同拓扑和代数结构，泛函空间划分为各个类别。

由于学科专业的局限性，我在此仅就我所学的机械工程和自动化控制方面的泛函应用知识说明一下我的看法，在机械工程和自动化控制中常用的泛函基础知识有:（i）度量（距离）空间。

对任意两抽象元引入距离，由此自然地引入开集等拓扑结构。

从而，度量空间是一特殊拓扑空间，但尚未赋予代数结构,正是因为有了度量这一概念，才使得机械工程中的测量和超精密加工技术等一系列前研技术有了理论基础（ii）线性拓扑空间（拓扑向量空间。

同时带有拓扑和代数结构。

所谓拓扑无非是在抽象集中规定某些子集为开集），他们满足开集的基本公理。

有了拓扑后，即能引入极限、连续、紧致和收敛等初等分析的重要概念。

这里所述的代数结构指的是线性结构（加法和数乘运算）。

由此可讨论线
性无关、基和维数等代数概念。

泛函分析的空间（尤其各类函数空间）绝大部分是无限维的。

线性空间（带有线性结构的度量空间）是线性拓扑空间的一例。

但最重要的线性拓扑空间应是下列线性赋范空间；（iii）线性赋范空间。

每个元（常称向量）配有番薯||x||（是普通向量长度的推广）。

线性空间配上范数后，能自然地诱导出度量和拓扑。

就这个意义而言，它是特殊的线性拓扑和度量空间。

于是，具有这两个空间中所有概念。

例如可以讨论该空间（或其子集）是否完备。

即任何柯西序列是否为收敛序列。

（iv）Banach 空间。

它是完备的线性赋范空间。

完备性使该空间具有十分良好的性质。

例如闭图像定理、共鸣定理、逆算子定理和开映照原理等。

（v）内积空间。

内积的引入使该空间更直观形象，内容格外丰富。

内积把普通的几何术语差不多全带到抽象空间中。

例如：长度、两向量交角、直交性、直交投影、就范直交系、点（向量）和子空间的距离等。

使抽象泛函空间涂上浓厚的几何色彩，很多高级工程师对此尤感兴趣。

由于内积可诱导，内积空间是特殊线性赋范空间，但反之不然。

与普通欧式空间最相像的应数下述Hilbert空间；（vi）Hilbert空间。

它是完备的内积空间，内容最丰富。

例如Fourier展开、Bessel不等式等。

以上是薛小平老师的《应用泛函分析》中涉及到机械工程及自动化控制方面的知识，可以说，泛函分析是测度论、代数、几何和分析（拓扑）的综合性学科，它的高度抽象性使该学科更深刻、更广泛地反应各种复杂的力学、工程和其它实用学科的规律。

然后，借助几何工具，使它们在Banach空间，尤其在Hilbert空间获得直观几何解
释，使力学和工程人员较易接受。

从而开创了机械工程高水平技术研究的新篇章，就我所知道的是在现代机械工程研究中，无论是系统的有限元分析，还是网格的划分，还是系统信号的控制，都需要应用泛函分析的有关理论，可以说，这门课程给我的考研工作提供了理论平台。

在我现在接触到的控制论中，几乎所有的问题，都可以用泛函分析中有关空间和算子的术语来描述，而泛函分析严谨广博的理论体系，对所研究问题的归属有明确的规定，同时可以向研究者提供解决问题的途径。

例如，利用对偶空间和伴随算子的理论，可以解释控制理论中几乎所有的对偶定理，而这些定理的发现，大多也是数学结论直接演绎的结果。

控制理论所研究的问题，可以概括为系统分析、系统综合、建模和优化。

系统分析，包括系统的稳定性分析、能控能观性分析、鲁棒性分析等，主要是分析用以描述系统行为的算子的特性。

传统的分析方法是实用的，但只限于某些特定的系统类型，例如传统的频域分析法只限于讨论单输入单输出的线性定常系统。

而泛函分析所提供的分析方法，有可能对包括多输入多输出的线性时变系统、分布参数线性系统，以及某些类型的非线性系统进行统一的处理，从而获得更一般的结论。

系统的综合，包括控制器和补偿器的设计等，使系统得以镇定或获得某种性能，这是分析的逆问题。

传统的分析方法不仅费时费事，而且解决问题的范围比较狭窄。

现代的分析方法倾向于构造能用计算机实现的某些算法。

迭代算法或递推算法的收敛性分析，以及闭
环系统的稳定性分析等，只有借助于泛函分析所提供的工具，才有可能使问题得以解决。

系统建模和系统的最优控制，一般是在某些约束条件下，多某个泛函指标进行优化的问题，这更是泛函分析研究范围内的问题。

总之，泛函分析已渗透到控制理论以及系统科学的各个分支，这不仅对控制技术的发展带来了极大帮助，也对机械工程学科和其他相关学科起到了巨大的推动作用，掌握应用泛函分析的有关基础知识已经成了一名高水平科研工作者的基本必修课程，我作为哈工大机电工程学院的一名研究生，在学完泛函分析这门课和查阅有关资料后，更加坚信应用泛函分析可以给我将来的学习和工作带来极大的帮助，虽然有些知识运用的还不熟练。

相信在以后的学习过程中会不断加深理解的。