(整理)经济学中的函数的凹凸性拟凹拟凸

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经济学中函数的凸凹性质问题
在现代经济学的讨论中，我们经常遇到凸函数、凹函数以及拟凹函数、拟凸函数
等概念，例如生产可能性边界曲线是凹函数，无差异曲线是凸函数等等，但是这
些数学名词对于非专业人员来说比较抽象，有的文章或教材采取形象的说法，比
如说曲线凸向原点或凹向原点、图形是凸的、上凸函数、下凸函数等等，这样一
来，就将严谨的数学概念搞的不伦不类，有的教科书甚至错误地定义了凸性和凹
性。

一、关于凸函数与凹函数
凹性，凸性，它们都是在凸集范围内定义的，是关于凸集的性质，一个集合中任
意两点之间的连线也在该集合中，这样的集合称为凸集合，常用D来表示。
凸和凹具有如下性质：
凸性： f（tx+（1-t）y）<= tf(x) +(1-t)f(y) 标准的凸函数是开口向上的。

凹性 f（tx+（1-t）y）>= tf(x) +(1-t)f(y) 凹函数是开口向下的
D是f(.)的定义域的一个凸子集。

若任意的x, y∈D, λ∈[0, 1]：f(λx+(1-λ)y)≥λf(x)+(1-λ)f(y)，
则称f(.)在D上是凹函数（“凸组合的函数值不小于函数值的凸组合”）

在n 维空间的凸区域内，(x1, x2,..... Xn)中的两点
X=(x1，x2, .........xn ),Y=(y1, y2,.......yn ),
设0<λ<1，如果：
f [λx1+(1-λ)y1, λx2+(1-λ)y2,......λxn+(1-λ)yn] <= λf (x1, x2,......xn) + (1-λ) f (y1,
y2, ......yn )
则称函数f(X)在n维区域内是凸函数；

同理，如果：
f [λx1+(1-λ)y1, λx2+(1-λ)y2,......λxn+(1-λ)yn] >= λf (x1, x2,......xn) + (1-λ) f (y1,
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y2, ......yn )
则称函数f(X)在n维区域内是凹函数；

n维空间不易理解，举个简单例子：若f(x)在(a,b)有定义，在定义域内取x1,x2，
非负数q1,q2，q1+q2=1 ，
有f(q1x1+q2x2)<=q1f(x1)+q2f(x2)
则f(x)在(a,b)内为凸函数。

二、关于拟凹性和拟凸性
同样可以定义，在n维区域内的任何两个点X，Y ，

X=(x1，x2, .........xn ),Y=(y1, y2,.......yn ),对所有的 0<=λ<=1，如果：
f[λX + (1-λ)Y] >= min [f(X) , f(Y)]
则称f(X)是拟凹函数。
同理，如果：f[λX + (1-λ)Y] <= max [f(X) , f(Y)]
则称f(X)是拟凸函数。

可以证明，广义上讲，凹函数都是拟凹函数，凸函数都是拟凸函数。
（不失一般性的假设f(X) > f(Y)，代入凹函数的定义，即可证明）

设曲线的方程为F（x），如果在一个区间上，F''（x）>0，则F（x）在区间内是
严格凸的；如果F（x）<0，即二阶导数为负，则F（x）在区间内为严格凹函数。
这个定理提供了检查具体函数的凸性和凹性的简易方法。
例如，考虑函数f（x）=x↑3-3x↑2+3x，它的二阶导数是f''=6x-6，当x<1时，二
阶导数是负数，f（x）是严格凹的；当x>1时，f（x）是严格凸的。
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下图中的表述是不准确的，图形是凹的，而函数恰恰是凸函数，图形是凸的，函
数却是凹函数。

在n个变量的情况下，海赛行列式提供了检查具体函数凸性或凹性的方法。多元
函数的二阶偏导数的海赛行列式的各阶主子式，在符号上交叉，则对应的函数在
整个区间是严格凹的，如果各阶主子式都是正的，则函数为严格凸的。对于拟凹
性和拟凸性的讨论就要用到海赛加边行列式。

三、用效用函数和无差异曲线来说明拟凹函数和凸函数的关系
二维平面上，很容易通过图形来直观地理解凹函数和凸函数，超过三维空间，
凸性和凹性以及拟凹函数就难以用图形来表达，必须用数学来论证。经济学已经
给出了系统的数学方法，且还在向前发展。
我们知道，效用函数是根据主观的偏好来设计的一种规律性的倾向，对于所有消
费者都适用的实值效用函数是不存在的。为讨论问题方便，就要对构建的函数给
出一定的假设约束。设序数的效用函数为：
U = f (q1 ，q2)
其中，q1和q2 分别是消费的两种商品Q1 和Q2 的数量。这里就假定，f (q1 ，
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q2)是连续的，具有连续的一阶和二阶偏导数，并且是一个严格的拟凹函数。而
且还假定效用函数的偏导数是严格的正数，以反映人们的需求，即不管对哪一种
商品，消费者总是希望得到更多的

。这里若证明效用函数是严格拟凹的，则需要满足原来的式子没有等于号就行。
如果给定一个效用水平U0 ，U0 = f (q1，q2）就变成了同一效用下，两种不同
消费品的组合，即无差异曲线，我们可以想象和观察到的是无差异曲线，而不是
效用函数，其实观察到的无差异曲线是q2 对q1 的函数，q2 = g（q1），可以证
明无差异曲线是严格凸的，但效用函数却是严格拟凹的，是观察不到的，至少函
数U = f (q1，q2）也是一个立体的图形，而不是一条曲线那样简单。这就是为什
么凸凹函数容易被人混淆的原因所在。

同样的道理，我们再来看生产可能性边界曲线，它类似于无差异曲线，是
在一定技术水平和可投入要素的约束下，最大生产能力的不同产品的组合，仅从
PPF图形来看，它是一种产品Y对另一种产品X的函数，这个函数是关于X 的
凹函数。在资源稀缺的假设下，机会成本是递增的，这就意味着生产一单位的X
商品，必须要越来越多的减少另一种商品Y的产量，以获得生产商品X的足够
资源，生产可能性曲线的每点的斜率就代表了该点的边际商品转换率。随着机
会成本的递增，边际转换率也越来越大，曲线PPF凹向原点，即Y是关于X的
凹函数。

而生产函数：q = f（x1，x2）则表明，产出数量q是投入要素x1和x2的函数，
需要假定具有连续的一阶和二阶偏导数的单值连续函数，通常可以理解为生产函
数是递增的。当产出最大化或成本最小化时，生产函数被假定为严格的正则拟凹
函数；当利润最大化时，生产函数被假定为严格的凹函数。后续我们可以证明柯
布.道格拉斯生产函数，以及再广义一点的CES生产函数，在约束下是严格的凹
函数。
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函数f（x），对定义域S（凸集）上任意两点x1，x2∈S，Θ∈[0，1]，如
果有f[Θx1+（1-Θ）x2]≤max{f（x1），f（x2）}，则称函数f（x）是拟凸的。

直观的看，函数f（x）是拟凸的表示曲线ACB之间的点都低于B点。显然，如
果函数f（x）是凸的，则图形如一个正放的锅，弦在曲线上面，而弦上的点本
身满足上述性质，因而一定是拟凸的。代数的证明只要利用两者的定义即得。但
反向则不一定成立，如同是单调的函数的凹函数、线性函数、凸函数的图形中，
同样满足拟凸函数的定义，即拟凸函数可以是凹函数，也可以是凸函数。

与拟凹函数相对，拟凸函数也有一个等价定义：如果函数f（x）是拟凸的，
当且仅当集合S1={x|f（x）≤c}是凸集，我们称集合S1为函数f（x）的下等值
集（Lower Contour Set）。

性质

i）如果函数f（x）是凹（凸）的，则f（x）也一定是拟凹（凸）的；反之则不
成立；
ii）如果函数f（x）是拟凹（凸）的，则 --f（x）一定是拟凸（拟凹）的；
iii）线性函数f（x）既是拟凹的，也是拟凸的；
iv）拟凹函数等价于凸集的上等值集；拟凸函数等价于凸集的下等值集。

另外，值得注意的是，与凹（凸）函数不同，拟凹（凸）函数的非负线性组合不
是拟凹（凸）函数。