高级运筹学K-T条件极值试题(含答案)

（1）假设两个约束均是 点处的不起作用约束，即有
，
则有
解得
但将该点代入约束条件，不满足 ，因此该点不是可行点。
（2）若 是起作用约束， 是不起作用约束，则有 ，则
解得
代入原问题约束条件中检验，可知该点 是可行点，且满足K-T定理的条件，又是一个正则点，故它是一个K-T点。
因为 是起作用约束，此时 ，可以是 ，也可以是 ，若 也成立，则结果同（1），已知求出的解不是可行点。
若 解得 ,非K-T点;
若 解得 ,非K-T点;
若 解得 , 全局最小
8.求下列非线性规划问题的K-T点：
s.t.
解：将上述问题的约束条件改写为 的形式：
设K-T点为 ，有
，
由定理得
求解上述方程组，即可求出 ， ， , ，则可得到满足K-T条件的点。上述方程组是非线性方程组，求解时一般都要利用松紧条件（即上述方程组中的第3，4个方程），其实质是分析 点处，哪些是不起作用约束，以便得到 ，这样分情况讨论求解较为容易：
（1）解：标准化模型得： ， ， ， 各函数的梯度分别为： ， ， ， 。对三个约束条件分别引入拉格朗日乘子 、 和 ，则有如下K－T条件：
，即可分解为：
， ，
求解得：
4.用库恩—塔克条件解非线性规划
解先将其变为问题（11.60）的形式
设K-T点为 ，各函数的梯度为
对第一个和第二个约束条件分别引入广义拉格朗日乘子 ， ，则得该问题的K-T条件如下：
（3）若 是不起作用约束， 是起作用约束，即有 ，代入方程组，有
解上述方程组，可得 或 ，而 不满足 条件，而 及 同情形（1）的结果。
（4）假设两个约束均起作用，这时 ， 。故有
求解上述方程组，得到的解不满足 与 ，故舍去。
因此本题的K-T点为： 。
同时本题 为凸函数，而 为凸函数， 为线性函数，也为凸函数，所以本题是凸规划。对凸规划K-T也是充分条件。因此 也是本题的全局最小点。
用库恩－塔克条件判断 是否为极小点。
解：计算目标函数和约束函数在X*点的梯度
代入
则
解得λ1=1、λ2=1、λ3=0，即λ1、λ2、λ3满足非负要求，故X*={1,0}T点满足库恩－塔克条件，该点是极小值。
9.给出二次规划 -4
要求：（1）库恩—塔克条件求最优解（2）写出等价的线性规划问题并化为标准形
解：标准型：
注意本题运用库恩-塔克条件解题时应该引入4个拉格朗日乘子。
当 = , = ， =0, =0时可以求得最优解，
最终最优解为 = 。
（2）等价的线性规划问题：
( )-6X-3X
标准型：
10.已知目标函数 受约束于
为解该方程组，需考虑以下几种情况：
（1） ：无解。
（2） ： 。
（3） ： 。
（4） ：
对应与上述（2）、（3）和（4）三种情形，我们得到了三个K-T点，其中 和 为极大值点，而 为最大值点，最大值 ； 为可行域的内点，它不是该问题的极大值点，而是极小点。
5.验证点 与 是否是规划问题
的K-T点。对K-T点写出相应的Lagrange乘子。
,
,
引入广义拉格朗日乘子 ,则有
所以 ,具体分析如下.
若 引出矛盾,无解;
若 : ,点; ( 6)
若 : , ;
若 : , ( 4)
所以最大值点 ,最大值 .
注: 非凸函数,
在 上有两个局部最小值点.
还有一个”驻点”
7.用K-T条件解非线性规划
.
解 ,(是凸规划)
,
所以 ,具体分析如下.
若 引出矛盾,无解;
.写出下述非线性规划问题的K-T条件
1 .
（1）解： ， ， ， 。对三个约束条件分别引入拉格朗日乘子 、 和 ，则有如下K－T条件：
， ，
即：
， ，
2.
（2）解： ， , ， 。对三个约束条件分别引入拉格朗日乘子 、 和 ，则有如下K－T条件：
，即可分解为：
， ，
3.二次规划
（1）用K-T条件求证正则点：
，
显然 与 线性无关，于是 为正则点。
，
同样 与 线性无关，于是 也是正则点。
②下面验证是否满足Kuhn-Tucker条件：
得 ， ，故 不满足Kuhn-Tucker条件。
得 ， ，故 不满足Kuhn-Tucker条件。
6.用库恩-塔克条件解非线性规划