预不变凸规划问题解集的刻画
n维模糊映射的预拟不变凸性及其应用
n维模糊映射的预拟不变凸性及其应用白玉娟;刘坤;张琛【摘要】利用n维模糊数空间上偏序关系,提出了n维模糊映射的预拟不变凸性、严格及半严格预拟不变凸性的概念,讨论了它们之间的关系,并研究了以上广义凸模糊映射在模糊凸优化理论中的应用.【期刊名称】《廊坊师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(019)002【总页数】4页(P10-13)【关键词】模糊数;模糊数值函数;预拟不变凸性【作者】白玉娟;刘坤;张琛【作者单位】陇东学院,甘肃庆阳745000;陇东学院,甘肃庆阳745000;陇东学院,甘肃庆阳745000【正文语种】中文【中图分类】O1590 引言自从美国加州大学控制论专家Zadeh教授1965年提出模糊集的概念以来，模糊数学作为一门新的数学学科得到了迅速的发展。
经典凸分析理论与数学规划等应用模型的研究是息息相关的。
然而，正像许多系统中含有参数的不确定性，优化理论往往在目标函数、约束条件、或目标函数与约束条件中同时带有参数的不确定性，而且模糊优化问题已有很多讨论，并促进了模糊凸分析理论的研究。
关于模糊映射的凸性、拟凸性及B-凸性，一些文章已有讨论。
1994 年，MA Noor［1］提出预不变凸模糊数值函数的概念，并讨论了模糊数值函数的预不变凸性。
2015年，巩增泰和海射香［2］在定义n维模糊数空间上偏序关系的基础上，对n维模糊映射的凸性进行了系统的研究，但对n维模糊映射广义凸性的本质有待深入研究。
本文利用n维模糊数空间上偏序关系，提出了n维模糊映射的预拟不变凸性、严格及半严格预拟不变凸性的概念，讨论了它们之间的关系，并研究了以上广义凸模糊映射在模糊凸优化理论中的应用。
1 预CR备知识定义 1.1［3］设u∈F(Rn)，若u满足以下性质（1）-（4）：（1）u是一个正规模糊集，即存在x0∈Rn使得x0∈ Rn，u(x0)=1；（2）u是一个凸模糊集，即对∀x,y∈Rn,λ∈[0,1],u(λx+(1- λ )y)≥ min{u(x),u(y)}；（3）u是上半连续函数，即[u]r={x∈Rn:u(x)≥r}是闭集，其中r∈(0,1]；（4）u的支集suppu的闭包是紧集，则称u为n维模糊数构成的n维模糊数空间记为En。
预不变凸规划问题解集的刻画
预不变凸规划问题解集的刻画赵亮;刘学文;葛凤琴【期刊名称】《贵州大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(028)005【摘要】本文在不变凸集上定义了预不变凸函数的方向导数、η-近似次微分和η-Gateaux可微的概念,证明了预不变凸函数的η-近似次微分的一些性质,并在此基础上得到了预不变凸规划问题解集的等价刻画.%Directional derivative, 77-proximal subdifferential and 77-Gateaux differentiable of preinvex functions are defined on the invex set. Some properties of 77-proximal subdifferential of preinvex functions are obtained. Under these conditions, we obtained the equivalent characterizations of the solution sets of preinvex programming.【总页数】6页(P1-5,9)【作者】赵亮;刘学文;葛凤琴【作者单位】重庆师范大学数学学院,重庆40133l;重庆师范大学数学学院,重庆40133l;河南省扶沟县古城一中,河南周口461300【正文语种】中文【中图分类】O174.13【相关文献】1.ψ-强半不变凸优化问题近似解集刻画 [J], 张雪清;李均;刘晓静2.一类伪不变凸优化问题解集的刻画 [J], 张国君;彭婕;3.E凸规划问题解集的刻画 [J], 姜艮;刘学文;王岗;陈林4.Gateaux可微条件下E-凸规划问题的解集刻画 [J], 李均;彭建文;刘学文5.B-(p,r)-预不变凸规划的Wolfe对偶问题与极小化问题 [J], 彭再云;万轩因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
D-η-半预不变真拟凸多目标优化的最优性刻画
函数 ，并 讨论 了它们 与预不 变 凸 函数 的关 系 。１９９２ 年 ，杨 晓琪 和 陈 光 亚 提 出 了半 预 不 变 凸 函 数 的 概 念 （它是 预 不 变 凸 函数 的 真 推 广 ），并 讨 论 了半 预 不变 凸 函 数 在 最 优 化 和 变 分 不 等 式 中 的 应 用 。 ２００３年 ，彭建 文 引入 了 向 量 值 Ｄ 一叼一预 不 变 真 拟 凸映射 等 概念 ，得到 了 Ｄ 一＇７．预 不 变真 拟 凸 映射 的等价刻 画 ，讨论 了三 种 Ｄ一卵一预 不 变真 拟 凸 映射 的关 系 ，并得 到 了一些 最 优 性 结果 。２００８年 ，朱 见 广 提 出了 向量值 Ｄ一卵一半 预不 变 真拟 凸 映射 ，研 究 了三种 Ｄ一卵．半 预不 变 真 拟 凸 映射 的性 质 及 其 关 系 。
Ｓｏｍ ｅ ＣｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉＯｎＳ ｏｆ ｔｈｅ Ｏ ｐｔｉｍ ａｌｉｔｙ ｏｆ
Ｄ—ｒｌ＂ｐｒｏｐｅｒｌｙ Ｓｅｍｉ－ｐｒｅｑｕａｓｉｉｎｖｅｘ Ｍｕｌｔｉｏｂｊｅｃｔｉｖｅ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ
Ｈ ＵＡＮＧ Ｙｉｎｇ－ｑｕａｎ
（Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ａｎｄ Ｂｕｓｉｎｅｓｓ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ ４０００６７，Ｃｈｉｎａ）
受文 献 ［４，５，７，９，１０］的 启 发 ，本 文 主 要 对 Ｄ一卵一半 预不 变 真 拟 凸 多 目标 优 化 问 题 的最 优 性
收 稿 日期 ：２０１７－Ｏ１．１０ 基 金 项 目 ：国 家 自 然 科 学 基 金 （１１４７１０５９，１１６２６０４８，１１７０１０５７）；重 庆 市 基 础 科 学 与 前 沿 技 术 研 究 计 划 项 目 （ｃｓｔｃ２Ｏ１４ｊｃｙｊＡ００Ｏ３３， ｃｓｔｃ２０１５ｊｃｙｊＢ００００１，ｃｓｔｃ２０ｌ６ｊｃｙｊＡ０ｌ７８）；重 庆 市 高 校 创 新 团 队 建 设 计 划 （ＣＸＴＤＸ ２０１６０１０２６）；重 庆 市 教 委 科 技 计 划 项 目 （ＫＪ１６００６１３， ＫＪ１４００６３０）；重 庆 工商 大 学 校 级 项 目（１５５２００５） 作 者 简 介 ：黄 应 全 ，男 （１９７３－），研 究 生 ，讲 师 ，研 究 方 向 为 最 优化 理 论 及 应 用 。
几类非凸规划问题全局解的求解方法
几类非凸规划问题全局解的求解方法几类非凸规划问题全局解的求解方法引言：在实际问题中，我们经常面临着具有多个局部极小点的非凸规划问题。
由于非凸函数的特殊性，传统的优化方法并不能保证找到全局最优解。
因此，本文将介绍几类非凸规划问题的全局解求解方法，以指导实际问题的解决。
一、约束非凸规划问题约束非凸规划问题是指在满足一定约束条件下，寻找非凸目标函数的全局最优解。
求解这类问题的方法主要有以下几种。
1. 传统方法传统方法包括蛮力搜索、网格搜索和随机搜索等。
这些方法在解空间中搜索候选解，并通过比较找到最优解。
由于非凸函数的复杂性，这些方法很难找到全局最优解，并且计算速度较慢。
2. 优化算法为了提高求解效率，多种优化算法被应用于约束非凸规划问题。
其中，遗传算法、模拟退火算法和粒子群优化算法等是常用的全局优化算法。
这些算法通过引入随机性，跳出局部最优解，并通过不断迭代来逐渐逼近全局最优解。
二、无约束非凸规划问题无约束非凸规划问题是指在没有约束条件下，寻找非凸目标函数的全局最优解。
求解这类问题的方法与约束规划问题类似，主要有以下几种方法。
1. 局部优化方法局部优化方法通过初始化一个初始解，使用梯度下降法或牛顿法等迭代方法，逐步调整解的值，最终达到一个局部最优解。
然而，由于非凸函数的复杂性，这些方法多数只能找到局部最优解。
2. 全局优化方法全局优化方法是针对无约束非凸规划问题设计的算法，可以更好地逼近全局最优解。
其中，分支定界法、遗传算法、模拟退火算法和粒子群优化算法等都是常用方法。
这些方法通过引入随机性或者分割解空间的方式，能够跳出局部最优解并逐渐逼近全局最优解。
三、多目标非凸规划问题多目标非凸规划问题是指含有多个非凸目标函数的规划问题。
如何在这样的问题中求解全局最优解也是一个挑战。
1. 加权法加权法是最简单的方法之一，通过设定各目标函数的权重，将多目标问题转化为单目标问题。
然后，通过单目标优化方法求解权重函数的最小化问题。
E-半预不变拟凸函数性质及解集特征
Ｖｏ １ ． ３ ０ ＮＯ． １ ２
重庆 工 商大 学学报 （自然科 学版 ）
Ｊ Ｃ ｈ ｏ ｎ ｇ ｑ ｉ ｎ ｇ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ Ｂ ｕ ｓ ｉ ｎ ｅ ｓ ｓ Ｕ ｎ ｉ ｖ ． （ Ｎ ａ ｔ Ｓ ｃ ｉ Ｅ ａ ）
｛ 『 ∈ Ａ
） ≤ ， Ｖ ∈Ｒ｝ ， 则Ｌ 是Ｅ 一 不变凸集．
Ｙ ） ≤
证 明 Ｖ ， ｙ∈ Ｌ 。 ， 有 ， Ｙ∈ Ａ， 且 ） ≤
定义 ３
称 函数 ｆ ： Ａ ＿Ｒ Ｃ Ｒ是 在 Ｅ 一 不 变 凸集 Ａ上 关 于 的 Ｅ ． 预不 变 凸函数 ， 如果存 在 一个 映射 叼：
Ｒ ｘ Ｒ Ｒ ， 对 于 Ｙｘ ， Ｙ∈Ａ， ＶＡ∈［ ０ ， １ ］ ， 有
Ｅ （ ）＋ Ａ （ Ｅ （ ） ， Ｅ （ ｙ ） ） ］≤ （ １ 一Ａ ） Ｅ （ ） ］＋Ａ Ｅ （ Ｙ ） ］
定 义．
定义 １
称集合 Ａ Ｃ Ｒ 是关于 的 Ｅ 一 不变 凸集 ， 如果对 于 Ｙ ｘ ， Ｙ∈ Ａ ， Ｖ Ａ∈［ ０ ， １ ］ ， 有 Ｅ（ ） ＋ Ａ 叼
［ Ｅ（ ｘ ） ， Ｅ （ ｙ ） ］ ∈Ａ ．
显然 ， 由定义 可 知 Ｅ （ Ａ ） Ａ ．
云 进一步研究 了 Ｅ ． 拟 凸函数的一些性质及其判定条件 ， 给出了 Ｅ － 拟 凸函数与拟凸函数在一定条件下的等 价关系 ， 谭仁新在文献 ［ ７ ］ 中将 Ｅ 一 预不变凸函数进一步推广 ， 得到 了半 一 预不变 凸函数的概念 ， 讨论了这类
函数解 集 的特 征 ， 提 出了可 微最 优化 问题 的最 优解 ， 同时 在 文献 ［ ８ ］ 中提 出 了 Ｅ 一 半 预不 变 拟 凸函数 的概 念 ，
凸集和凸函数和凸规划-课件
凸集---定义
01
线性组合 (linear Combination)
单击此处添加小标题
02
仿射组合 (Affine Combination)
单击此处添加小标题
03
凸组合 (Convex Combination)
单击此处添加小标题
04
凸锥组合 (Convex Cone Combination)
单击此处添加小标题
第3讲 凸集、凸函数、凸规划
凸集 (Convex Set) 凸函数 (Convex Function) 凸规划 (Convex Programming) 凸性(Convexity)是最优化理论必须涉及到基本概念.具有凸性的非线性规划模型是一类特殊的重要模型，它在最优化的理论证明及算法研究中具有非常重要的作用.
则有：
即点
属于超球,
所以超球为凸集．
凸集----举例
(1)
任意多个凸集的交集为凸集．
(2)
设
是凸集，
是一实数，
则下面的
集合是凸集：
凸集-----性质
(3)
推论：
设
是凸集，
则
也是凸集，
其中
是实数．
(4)
S 是凸集当且仅当S中任意有限个点的凸 组合仍然在S中.P23,定理2.9
凸集-----性质
注：定理4提供了一个判别可微函数是否为凸 函数的依据.
凸函数
定理4-----
01
几何
02
解释
03
一个可微函数
04
是凸函数当且
05
仅当函数图形
06
上任一点处的
07
切平面位于曲
08
面的下方.
第17讲凸二次规划的有效集方法
第17讲凸二次规划的有效集方法凸二次规划问题（Convex Quadratic Programming）是一类重要的优化问题，在很多实际应用中都有广泛的应用。
其中，凸表示问题的目标函数和约束函数均为凸函数，二次表示问题的目标函数和约束函数均为二次函数，规划表示问题以最小化或最大化目标进行求解。
有效集方法（Active Set Method）是一种常用于求解凸二次规划问题的有效优化算法，其核心思想是通过选择合适的约束集来求解问题，并通过不断调整约束集来逐步逼近最优解。
以下将介绍凸二次规划问题的有效集方法的基本思路及求解过程。
基本思路：1.初始化：从一个空集合开始，即没有约束条件；2.解决子问题：在当前约束集下，求解相应的凸二次规划子问题，得到当前的最优解；3.更新约束集：根据最优解的性质，判断是否需要更新约束集；4.终止条件：如果约束集不再发生变化，或者达到预设的终止条件，算法结束；否则，返回第2步。
求解过程：1.初始化：先将约束集定义为空集，即没有约束条件；2.解决子问题：求解当前约束集下的凸二次规划子问题，得到当前的最优解。
常用的求解方法是拉格朗日乘子法，通过求解一组线性方程组来得到最优解；3.更新约束集：根据最优解的性质，判断是否需要更新约束集。
如果最优解满足所有约束条件，则算法结束；否则，选择一个违反约束条件的变量，将其添加到约束集，并返回第2步；4.终止条件：当约束集不再发生变化，或者达到预设的终止条件时，算法结束。
终止条件可以是达到最大迭代次数、目标函数变化小于设定阈值等。
有效集方法的优点在于可以充分利用问题的特殊结构和凸性质，通过不断调整约束集来逼近最优解。
然而，该方法在实际应用中也存在一些问题，如对约束条件的求解可能存在数值误差、对约束集的选择可能存在困难等。
因此，对于一些复杂的凸二次规划问题，可能需要考虑其他的优化算法来求解。
总之，凸二次规划问题的有效集方法是一种常用的优化算法，它通过选择合适的约束集来求解问题，并通过不断调整约束集来逼近最优解。
B-不变凸条件下多目标规划αk-较多有效解的最优性条件的开题报告
B-不变凸条件下多目标规划αk-较多有效解的最优性条件的开题报告一、选题背景在实际应用中，往往会有多个目标需要优化，但是这些目标之间可能存在矛盾或者相互影响。
因此，很多问题可以被形式化为多目标规划问题。
多目标规划问题是优化理论中的一个重要分支，其核心目标是在约束条件下，找到多个目标值的最优解，同时保证这些目标值之间相互协调和平衡。
在多目标规划中，常常会出现多个有效解的情况。
此时，我们通常就需要确定最优解。
在不变凸条件下，研究此问题就显得尤为重要。
因此，本文计划在不变凸条件下，研究多目标规划αk-较多有效解的最优性条件，探究如何确定最优解，为实际应用提供理论支持。
二、研究目的本文旨在深入探究不变凸条件下多目标规划αk-较多有效解的最优性条件。
我们希望通过研究多目标规划的最优性条件，为实际应用提供决策支持。
具体来说，我们的目的包括以下几点：1. 探究多目标规划中的不变凸条件，并分析这些条件对解的形式做出影响的程度。
2. 研究多目标规划αk-较多有效解的最优性条件，确定最优解的方法。
3. 借助数学模型和实例分析，验证探究结果的正确性和实用性。
三、研究内容1. 多目标规划中的不变凸条件多目标规划中的不变凸条件是指，优化问题的约束条件和目标函数都具有凸性。
研究不变凸条件是探究多目标规划的最优性条件的基础。
因此，本文将深入研究不变凸条件，探究不变凸条件对解的形式做出影响的程度。
2. αk-较多有效解的最优性条件在多目标规划中，可能存在多个有效解。
此时，通常需要确定最优解。
本文将探究多目标规划αk-较多有效解的最优性条件，确定最优解的方法。
3. 模型与实例分析本文将借助数学模型和实例分析，验证探究结果的正确性和实用性。
具体来说，我们将设计一个适用于不变凸条件下多目标规划中αk-较多有效解的最优性条件的数学模型，并利用模型进行实例分析。
通过实例分析，我们将验证模型的正确性和实用性，同时深入探究多目标规划的实际应用。
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作者简介 ： 赵
｝通讯作者 ： 赵
亮 （９ １ ， ， １８ 一） 男 河南信阳人 ， 硕士研究生 ， 研究方向 ： 规划与最优化 ，ｍ ｉ ｚ ｏａ ｇ２５ ６ ．ｏ 数学 Ｅ ａ ： ａｌ ｎ７ ８ ＠１３ ｃｒ ｌｈ ｉ ｎ
亮 ， ｍ ｉ ｈｏｉ ｇ２ ５ ６ ．ｏ ． Ｅ ａｌ ａｌ ｎ７ ８ ＠１３ ｃｉ ：ｚ ａ ｎ
，
注 １１ 当 Ｘ ＝Ｒ 卵 ｙ ）＝Ｙ一 时 ， ． ， （ ， 预不 变 凸 函数 ，在 处 沿方 向 （ ， ｙ ）的方 向导数就 退 化 为 凸 函数 在 刊 沿方 向 Ｙ— ＝Ｒ （ ， ， Ｙ ）＝Ｙ— 时 ， 变 凸集 不 Ｊ退化 为 凸集 。 ｓ 定义 １３ ． 设集 合 Ｍ 是 一 非 空 凸 集 ， ： ｃＲ 厂
１ 有 厂 ＋Ａ７Ｙ ）≤Ｘ （ ）＋（ Ａ ）， ］， （ Ｊ ，） ， （ ｆｙ １一 ）
则称 ，关 于相 同 的 叼是 预不 变 凸函数 。 显 然 当 Ｘ ＝Ｒ ｎ ｙ ）＝Ｙ— 时 ， ， （ ， 预不 变 凸
了深入研究 （ 见文献 ［ ５ ） 本文在不变 凸集上 ４～ ］ ． 引入 了关 于预 不变 凸 函数 的方 向导 数 、 － 似 次 近
不 变 凸集 ， Ｓ— Ｒ关于 相 同的 卵是 预不 变 凸函数 ： 且 ∈ Ｓｎ ｄｍ（）， ｏ ｆ Ｙ∈ Ｓ． 极 限 若 厂（ ；（ ， ） ： ｌ Ｘｒ ｙ ） ｌ ｉ ｍ 存 在 ， 称 它是 函数 ／在 ｇ处 沿 方 向 叼 ｙ ）的方 则 Ｏ ， （，
向导数 。
微 分 和 田一ａ ａｘ可 微 的概念 ， 入讨 论 了这 类 函 Ｇｔ ｕ ｅ 深
函数， 退化为凸集 ． ｓ 上的凸函数。 定 义 １５ 设 集合 Ｍ 一非 空开 凸集 ， ．ｌ ｃ尺 是 ：
一 尺是 Ｍ 上 的凸函数且 ∈Ｍ ｏ ｒ ∈Ｒ ｎｄｍＯ）， ，
若 极 限
定义 １７８ 设集合 ｃ 是一非空开凸集 ， ： ．＿ ／Ｍ
— Ｒ是 上 的 凸函数且 ∈Ｍ ｏ （ ， 存在 ｎｄ ｍ 若
一 尺． Ｖ ， 若 戈Ｙ∈Ｍ ， ∈ ［ ，］， Ｖ Ａ ０ １ 有 Ａ， １ ）＋（
收 稿 日期 ： ０ １— ６— ６ ２１ ０ ２
基金项 目：国家 自然科学基金资助项 目（ １０ ２９ 重庆市 教委科研资助项 目（ Ｊ０６ ８ １０ １ ８ ）； Ｋ １０ ０ ）
设 是 Ｂ ｎｃ ａａｈ空间， 是其对偶空间， ・ （， ） 表示 与 的对偶积 ， ： × 叼 — 是向量值
函数 ， ： ｆＸ— Ｒ是实值 函数 。 定义 １１ ． 设 集 合 Ｍ ， 对 Ｖ Ｙ ∈ Ｍ ， ｃ 若 ， ＶＡ∈［ ，］， Ａ ０ １ 有 ＋（ 一 ） １ Ａ Ｙ∈Ｍ ， 则称 是凸 集。 定义 １２２ 设 集 合 ｓｃ ， 存 在 ： × — ．＿ 若 Ｘ 使得 Ｖ Ｙ∈Ｓ， ， ＶＡ∈［ ，］， ０ １ 有 ＋ ｒ ｙ ） Ａ／ ， （ ∈ Ｓ， 称 ｓ是关 于 叼的不 变 凸集 。 则
第２ ８卷 第 ５期
２１ ０ １年 ｌ ０月
贵州大学学报 （ 自然科学 版） Ｊｕ ａ ｏ ｕｚｏ ｎｖｒ ｔ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎｅ ） ｏｒｌ ｆ ｉ ｕＵ ｉ ｓｙ（ ａｕａ Ｓｉ ｃｓ ｎ Ｇ ｈ ｅｉ ｅ
Ｖｏ ＿２ ．５ ｌ ８ Ｎｏ
Ｏｃ． ２ ｔ ０１１
文章编号
摘
要 ： 文在 不 变 凸集上 定 义 了预 不 变 凸 函数 的 方 向 导数 、叼一 似 次微 分 和 叼一ａ ａｘ可微 本 近 Ｇｔ ｕ ｅ 的概念 ， 证明了预不变凸函数的 ． 近似次微分的一些性质 ， 并在此基础上得到 了预不 变凸规划 问题 解集 的等价 刻 画。
关 键词 ： 不 变凸 函数 ； 向 导数 ； Ｇ ｔ ｕ 预 方 叩一 ａ ａｘ可微 ；７ 近似 次微 分 ； ｅ ＇一 凸规 划
中图分 类号 ： １４ １ ０ ７ ．３
文献 标识 码 ： Ａ
凸性及其推广形式在数理经济学 ， 工程学 ， 管 理科学和最优化理论 等领域 的研究 中起着重要作 用， 因此 对 凸性概 念 的推广 一直 受到 学者 的广 泛关 注。１８ 年 Ｈ ｎｏ 在文献 ［ ］ ９１ ａｓ ｎ １ 中定义 了一类新的 广 义 凸 函数 ， 即不 变 凸 函数 。１８ ９８年 Ｗｅｒ 人在 ｉ等 文献 ［ ，］ ２３ 中将其进一步推广 ， 引入了预不变凸函 数， 并研 究 了预不 变 凸性在 多 目标规 划 中 的一 些应
数规划 的解集特征 ， 并进一步推广 了文献 ［ ］ ６ 中的 些结 果 。
一
厂（ ） ： ｌ 土 二 ｉ ｍ
Ａ ａ － ） ＾
１ 预 备 知识
・
存在 ， 则称它是函数 在 处沿方 向 的方向导数。 定义 １６ 设集合 Ｓｃ Ｘ是关于 ： Ｘ ． Ｘ× — 的开
１０ ５ ６ （０ １ ０ ００ ０ ００— ２ ９ ２ １ ）５— ０ １— ５
预 不 变 凸规 划 问题解 集 的刻 画
赵 亮 ， 刘学文 葛凤 琴 ，
（． １ 重庆师范大学 数学学院 ， 重庆 ４ １ ３ ；． ０ ３ １２ 河南省扶 沟县古城 一中 ， 河南 周 口 ４ １０ ６ ３０）
用 。 目前 已有大 量 文 献 对 函数 的预 不 变 凸 性 进行
Ａ ）≤Ａ（ ）＋（ 一Ａ ， ） ｆｙ １ ）（ 则称 是 上的 ）， 凸 函数 。
一
定义 １４ ＇ 设集合 ５ｃ 是关于 叼 Ｘ×Ｘ— ．［ ：
的不 变 凸集 ， ： ｆＳ— Ｒ． Ｖ Ｙ∈ Ｓ，ＶＡ ∈ ［ 若 ， ０，