最优化：二次规划
二次规划 ppt课件
定 理 9-4 设 G 是 半 正 定 （ 正 定 ） 矩 阵 ， 则 x* 是 约 束 问 题 (9-58) 的 全 局 最 优 解 ， * 是 相 应 的 乘 子 向 量 的 充 分 必 要 条 件 是 ： x* 、 * 是 线 性 方 程 组
G AT
的解．
A x r 0 b
定 理 9-4 表 明 ， 求 解 等 式 约 束 的 二 次 规 划 问 题 ， 可 转 化 为 求 解 线 性 方 程 组 的 问 题 ， 但 是 问 题 的 维 数 也 由 n 变 成 了 n+m， 维 数 的 增 大 会 增 加 求解线性方程组的难度，一种克服上述缺点的方法是变量消去法．消去 法包括直接消去法和广义消去法．
9.6 二次规划
二次规划是特殊的非线性规划，它形式简单，既可以 使用求解非线性规划的一般方法求解，又有特定的解法； 此外，二次规划在实际中有着广泛的应用，例如著名的支 持向量机，在本质上就是一个二次规划问题．本节着重介 绍凸二次规划问题的一些性质和求解方法．
9.6.1 二次规划的基本概念与基本性质
1 min f ( x) xT Gx r T x, x R n 2 s.t. hi ( x) AiT x bi 0, i {1,2, , m} I ( x* )
的全局极小点．
(9-57)
证 若 x* 是 凸 二 次 规 划 (9-55) 的 全 局 极 小 点 ， 则 x* 是 问 题 (9-55) 的 K - T 点，也是问题 (9-57) 的 K - T 点，由定理 9-2 可知， x* 是问题 (9-57) 的全局极小点．
i m 1
A
* i
m l
T i
最优化方法 第六章 二次规划
min 1 xTGx d T x
2
(3)
s.t. aiT x bi , i E I x
的局部极小点.
反之，如果 x是(1)的可行点，且是问题(3)的 K-T 点，而且
相应的 Lagrange 乘子满足
i 0, i I x
(4)
则 x也是原问题(1)的 K-T 点.
ABT xB ANT xN b 相关的量 x, g, A 与 G 作如下分块：
xxB xNAAB ANGGBB GNB
GBN GNN
g
gB gN
其中xB Rm, xN Rnm , 其余类似．
该分块使得 AB 为 mm阶非奇异方阵，因此 AB1 存在，此时由上面方程可得：
xB ABT 1 b ANT xN
s.t
x1 2x2 x3 4 0
x1 x2 x3 2 0
解：
2
G 2
2
b
4 2
1 1 A 2 1
1 1
rA 2
2 0
0
2
0 1 1 x1 0
0
2
1
x2
0
0
1
0 2
2 1
1 0
1
0
x3
1
0 4
1 1 1 0 0 2 2
x*T , *T 2 , 10 , 6 , 8 , 4
其中
x*
2
7 7 , 10 , 6
T
7 ,
7
7
7 7 7
* 8 , 4 为最优乘子.
7 7
练习
(1)用Lagrange方法求解：
min f x 2x12 x22 x1x2 x1 x2
5 最优化-二次规划解析
其KKT条件为 f (x) AT 0, 或 Ax b 0 (5.5) Q AT x q 0 b A
这里 f ( x ) Qx q, Q半正定 L( x, ) f ( x ) Q
(5.6)
即方程组(5.6)只有零解,故系数矩阵非奇异,故(5.5)有
利用投影Hessian矩阵,定理5.1.1可以等价描述为:
定理5.1.2 设矩阵A行满秩,若二次规划问题(5.4)的投 影Hessian矩阵Z T QZ 正定,则线性方程组(5.5)有惟一解.
众所周知, 由于二次规划的约束函数是线性的, 故ACQ 成立, 从而二次规划的最优解必定是KKT点. 反之, 在 一定条件下, KKT点也必定是其最优解 :
第五章 二次规划
二次规划是最简单的非线性规划问题
二次规划一般形式：
1 T min f (x) x Qx qT x 2 s.t. aiT x bi 0, i I {1, 2, , m1} aiT x bi 0, i E {m1 1, m1 2,
n
(5.1) , m}
(5.2)
λ (a x bi ) 0, i I
* i T i *
T T a1 b1 a m1 1 bm1 1 T T a2 b2 a m1 2 bm1 2 记 AI , AE , bI , bE T T a bm am b m m 1 1 AI A A E 则(5.2)可以写成向量形式：
定理5.1.3 设矩阵A行满秩, 若二次规划问题(5.4) 的投 影Hessian矩阵Z T QZ 正定(或二阶充分条件成立),则线性 方程组(5.5)的惟一解是问题(5.4)的惟一全局最优解.
二次规划
L( x, λ) = f (x) + ∑ λ j g j (x)
j =1
m
(1) (2) (3) (4) (5)
f (x) + ∑ λ j g j (x) = 0 (梯度条件) 梯度条件)
j =1
m
g j ( x) ≤ 0
(约束条件) 约束条件) (松弛互补条件) 松弛互补条件) (非负条件) 非负条件) (正则条件或约束规格) 正则条件或约束规格)
f (x) = ci
g1 (x) = 0
x
*
f (x(0) ) x (k ) g 2 (x) = 0 x(0)
f (x(k ) )
x1
T 搜索方向满足; 搜索方向满足; f ( x)
P < 0 ,即; f ( x ) T P > 0 π f (x)T 与 P 夹角; α < 夹角;
2
am,m +1 am,m + 2
B = (p1p 2 , , p r , , p m )
f = f 0 + (c k z k ) x k
1 0 0 1 0 0 0 x1 0 x2 + 1 xm
k
B
C
XB x1 a1n b1 a1n xm b2 = xm +1 amn bm XC xn
二次规划: 二次规划:不等式约束问题的有效集法
二次规划: 二次规划:其它算法简介
�
′ a1k ′ ark x ≥ 0 k ′ amk
x B = ( x1 x2 , , xr , , xm ) B = (p1p 2 , , p r , , p m )
x B = ( x1 x2 , , xk , , xm ) B = (p1p 2 , , p k , , p m )
最优化基础理论与方法
目录1．最优化的概念与分类 (2)2. 最优化问题的求解方法 (3)2.1线性规划求解 (3)2.1.1线性规划模型 (3)2.1.2线性规划求解方法 (3)2.1.3 线性规划算法未来研究方向 (3)2.2非线性规划求解 (4)2.2.1一维搜索 (4)2.2.2无约束法 (4)2.2.3约束法 (4)2.2.4凸规划 (5)2.2.5二次规划 (5)2.2.6非线性规划算法未来研究方向 (5)2.3组合规划求解方法 (5)2.3.1 整数规划 (5)2.3.2 网络流规划 (7)2.4多目标规划求解方法 (7)2.4.1 基于一个单目标问题的方法 (7)2.4.2 基于多个单目标问题的方法 (8)2.4.3多目标规划未来的研究方向 (8)2.5动态规划算法 (8)2.5.1 逆推解法 (8)2.5.2 顺推解法 (9)2.5.3 动态规划算法的优点及研究方向 (9)2.6 全局优化算法 (9)2.6.1 外逼近与割平面算法 (9)2.6.2 凹性割方法 (9)2.6.3 分支定界法 (9)2.6.4 全局优化的研究方向 (9)2.7随机规划 (9)2.7.1 期望值算法 (10)2.7.2 机会约束算法 (10)2.7.3 相关机会规划算法 (10)2.7.4 智能优化 (10)2.8 最优化软件介绍 (11)3 最优化算法在电力系统中的应用及发展趋势 (12)3.1 电力系统的安全经济调度问题 (12)3.1.1电力系统的安全经济调度问题的介绍 (12)3.1.2电力系统的安全经济调度问题优化算法的发展趋势 (12)2. 最优化问题的求解方法 最优化方法是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种优化问题的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。
最优化方法的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及其生产经营活动。
最优化方法的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。
二次规划
BXB CXC b
XB B -1C bB -1
(2) 确定被替换基本变量 x r
bi br min ( aik 0) ark 1i m aik
x1 b1 x b r r xm bm
Ax b BxB Nx N b （5）基本矩阵：若 A mn 的秩R(A) m , 则非奇异矩阵 B mm 称为线性规划的
基本矩阵。 （6）非基本矩阵： N m( nm ) 称为线性规划的非基本矩阵。 （7）基本变量： x B 称为线性规划的基本变量。 （8）非基本变量： x N 称为线性规划的非基本变量。 （9）基本解：x (x B ,0) 称为线性规划的基本解。
0性质2性质4松弛变量不等式等式基本可行解最优解可行域0?rbax?bax??rbnxbxnb??bax?bbxb?可行域边界bxx??顶点000m??21bxxxx????????????????b????????????????????????x???x????????????????????a?????????????????????a??????a???a?????????????mnmmmnmmmmnmmnmmmmmmmmbbxxaaaaaaaaaaaaaa2111211211112111212222111211b?cbxcxkkkxzcff0???in?mikkkzc?1?min????1确定替换基本变量的非基本变量21mrppppb???????????????m???b?2?1????????????????????????0???x?????????????mn????m????m???a??????a??????a?2????2????2?1????1????1????????????????x??????????????????1??????0???0?????????kkmnkmnkmmbbaaaaaaxx1112100010001b?cx?bxcbbb?cb?x11b252确定被替换基本变量rx01?1?1??????????????mk?rk??????????????m???b?r????????????????xkkmrxaaabbxx?0min1?i??ik?ik?i??rk?r?maabab21mrxxxx???bx21mkxxxx???bx21mrppppb???21mkppppb???4
二次规划_0508
解等式约束问题：
min f x T s.t. ai x bi , i I k
(6)
其中 a i 是矩阵 A T 的第 i 列元素构成的 n 维向量。 将坐标原点移至 x 处，令 d
(k )
(k )
x x ，则： f x
(k )
T 1 (k ) T d Hd ( k ) f x( k ) d ( k ) f x( k ) 2
(k ) (k ) aT bi ，因此当 aT 0 时，任意的非负数 k 均满足条件，当 ai d i x id
T
(k )
0 时，取正数：
T (k ) bi ai x (k ) k min T ( k ) i I k , aT d 0 i a d i
第七章 二次规划
二次规划问题的数学模型
二次规划（Quadratic Programming，简称 QP)问题可以表述成如下标准形式：
min s.t.
维列向量。
f x Ax b
1 T x Hx cT x 2
其中 H R nn 为 n 阶实对称矩阵，A 为 m n 维矩阵，c 为 n 维列向量，b 为 m 特别的，当 H 正定时，目标函数为凸函数，线性约束下可行域又是凸集，问题 称为凸二次规划。凸二次规划是一种最简单的非线性规划，且具有如下性质： (1) K-T 条件不仅是最优解的必要条件，而且是充分条件； (2) 局部最优解就是全局最优解。
等式约束的二次规划问题
2 2 min x12 2 x2 x3 2 x1 x2 x3 例2 s.t. x1 x2 x3 4 用拉格朗日乘子法求解问题： 2 x1 x2 x3 2
最优化计算方法课后习题答案----高等教育出社。施光燕
习题二包括题目： P36页 5（1）（4）5（4）习题三包括题目：P61页 1(1)(2); 3; 5; 6; 14；15(1) 1(1)(2)的解如下3题的解如下5,6题14题解如下14. 设22121212()(6)(233)f x x x x x x x =+++---, 求点在(4,6)T-处的牛顿方向。
解：已知 (1)(4,6)T x=-，由题意得121212212121212(6)2(233)(3)()2(6)2(233)(3)x x x x x x x f x x x x x x x x +++-----⎛⎫∇= ⎪+++-----⎝⎭∴ (1)1344()56g f x -⎛⎫=∇=⎪⎝⎭21212122211212122(3)22(3)(3)2(233)()22(3)(3)2(233)22(3)x x x x x x x f x x x x x x x x +--+--------⎛⎫∇= ⎪+--------+--⎝⎭∴ (1)2(1)1656()()564G x f x --⎛⎫=∇=⎪-⎝⎭(1)11/8007/400()7/4001/200G x --⎛⎫= ⎪--⎝⎭∴ (1)(1)11141/100()574/100d G x g -⎛⎫=-=⎪-⎝⎭15（1）解如下15. 用DFP 方法求下列问题的极小点（1）22121212min 353x x x x x x ++++解：取 (0)(1,1)T x=，0H I =时，DFP 法的第一步与最速下降法相同2112352()156x x f x x x ++⎛⎫∇= ⎪++⎝⎭， (0)(1,1)T x =，(0)10()12f x ⎛⎫∇= ⎪⎝⎭(1)0.07800.2936x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭， (1)1.3760() 1.1516f x ⎛⎫∇= ⎪-⎝⎭以下作第二次迭代(1)(0)1 1.07801.2936x x δ-⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭， (1)(0)18.6240()()13.1516f x f x γ-⎛⎫=∇-∇= ⎪-⎝⎭0110111011101T T T TH H H H H γγδδδγγγ=+- 其中，111011126.3096,247.3380T T TH δγγγγγ===111.1621 1.39451.3945 1.6734Tδδ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ， 01101174.3734113.4194113.4194172.9646T TH H γγγγ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以10.74350.40560.40560.3643H -⎛⎫= ⎪-⎝⎭(1)(1)1 1.4901()0.9776dH f x -⎛⎫=-∇= ⎪⎝⎭令 (2)(1)(1)1xx d α=+ ， 利用 (1)(1)()0df x d d αα+=，求得 10.5727α=-所以 (2)(1)(1)0.77540.57270.8535xx d⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭ ， (2)0.2833()0.244f x ⎛⎫∇= ⎪-⎝⎭以下作第三次迭代(2)(1)20.85340.5599x x δ⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭ ， (2)(1)2 1.0927()()0.9076f x f x γ-⎛⎫=∇-∇= ⎪⎝⎭22 1.4407T δγ=- ， 212 1.9922T H γγ=220.72830.47780.47780.3135T δδ-⎛⎫=⎪-⎝⎭1221 1.39360.91350.91350.5988T H H γγ-⎛⎫= ⎪-⎝⎭所以22122121222120.46150.38460.38460.1539T T T TH H H H H δδγγδγγγ-⎛⎫=+-= ⎪-⎝⎭(2)(2)20.2246()0.1465d H f x ⎛⎫=-∇= ⎪-⎝⎭令 (3)(2)(2)2xxdα=+ ， 利用(2)(2)()0df x d d αα+=，求得 21α=所以 (3)(2)(2)11x x d ⎛⎫=+=⎪-⎝⎭， 因为 (3)()0f x ∇=，于是停止 (3)(1,1)T x =-即为最优解。
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从而二阶充分条件等价于 y T Z T QZy d T Qd 0, 0 y R n-m 即矩阵Z T QZ 正定.
我们称Z T QZ为等式二次规划问题(11.4)的投影Hessian 矩阵或既约Hessian 矩阵
关于问题(11.4)的KKT系统解的存在性, 有下面的结论 :
定理11.1.1 设矩阵A行满秩, 若二阶充分条件成立, 则 线性方程组(.)的系数矩阵 Q AT A 非奇异,因此线性方程组(.)有惟一解.
求得KKT点及乘子为 : * x ,
*
d d 令d , 得基础解系 Z
Z T QZ 13 0
T
所以x * 是最优解
由上面的分析知, 解等式二次规划问题(11.4)等价于解 KKT半正定, ai R , q, bi R
n
设x 是问题(11.1)的最优解 存在Lagrange 乘子*满足 : f ( x )
* T i T i * * iE I
*
λ a
* i
* i i
0 (11.2)
a x bi 0, i E a x bi 0, λ 0, λ (a x bi ) 0, i I
f ( x* ) AT * AE x bE
* T * AI x* bI , I , * ( A x bI ) 0 I I
(.)
当只有等式约束时, (11.3)是一线性方程组.
第一节 等式约束二次规划
考虑凸二次规划
min s.t. 1 T f ( x ) x Qx q T x 2 Ax b (11.4)
(.) 的KKT条件为 : Qx q i ai
iAk
Qx * q
iA( x*）
* i ai
* 其中* , i I ( x ) i
然后将(11.10)的KKT条件与(11.1)的KKT条件比较, 即可得到解的判别准则 :
(.)
利用投影Hessian 矩阵, 定理11.1.1可以等价描述为 :
定理11.1.2 设矩阵A行满秩, 若二次规划问题(11.4)的投 影Hessian 矩阵Z QZ正定, 则线性方程组(11.5)有惟一解.
众所周知, 由于二次规划的约束函数是线性的, 故ACQ 成立, 从而二次规划的最优解必定是KKT点. 反之, 在 一定条件下, KKT点也必定是其最优解 :
唯楚有材
於斯为盛
最优化
主讲：刘陶文
学好最优化，走遍天下都不怕
课件制作：刘陶文
第十一章 二次规划
二次规划是最简单的非线性规划问题
二次规划一般形式：
min s.t. T f ( x ) x Qx q T x aiT x bi , i I {, , , m} aiT x bi 0, i E {m 1, m , , m}
证明：在定理条件下, 由定理11.1.1或定理11.1.2知, 问题 (11.4)有惟一的KKT点x * , 而由第九章知, 问题(11.4)的最 优解必定是其KKT点, 因此, 我们只需证明KKT点x *就是 其全局最优解. 设可行域 : D {x R n | Ax b}.
对于任意的x D且x x * , 令 d x - x * , 则 d 0 且 Ad 0 由二阶充分条件知：d T Qd 0.
Q AT T LBL A 0 这里L下三角矩阵, B对角矩阵
再依次解方程组： q Ly b Bz y x L z
T
第二节 解二次规划的有效集法
思想
将含不等式约束的二次规划转化 成一系列等式 二次规划来求解
* i T i *
T T a1 b1 a m1 1 bm1 1 T T a2 b2 a m1 2 bm1 2 记 AI , AE , bI , bE T T a bm am b m m 1 1 AI A A E 则(.)可以写成向量形式：
其KKT条件为 f ( x ) AT , 或 Ax b (.) Q AT x q A b
这里 f ( x ) Qx q, Q半正定 L( x, ) f ( x ) Q
T
定理11.1.3 设矩阵A行满秩, 若二次规划问题(11.4) 的投 影Hessian 矩阵Z T QZ正定(或二阶充分条件成立), 则线性 方程组(11.5)的惟一解是问题(11.4)的惟一全局最优解.
定理11.1.3 设矩阵A行满秩, 若二次规划问题(11.4) 的投 影Hessian 矩阵Z T QZ正定(或二阶充分条件成立), 则线性 方程组(11.5)的惟一解是问题(11.4)的惟一全局最优解.
T *T * T f ( x ) f ( x ) x Qx q x x Qx qT x* ( x x * )T Q ( x x * )
*
x Q( x x ) q ( x x ) T d Qd (Qx * q)T d (Qx * q)T d
证明：为证明系数矩阵非奇异, 只需证明齐次线性方程组 Q AT d A v 仅有零解. 设( d , v ) 是(11.6)的解, 则
Qd - AT v 0, Ad 0 即有 d T Qd d T AT v ( Ad ) T v 0 由二阶充分条件得 d 0, 然后推出 AT v v1a1 v2 a 2 vm a m Qd 0 由于A满秩, 即向量组a1 , a 2 , , a m 线性无关, 从而得v 0. 即方程组(11.6)只有零解, 故系数矩阵非奇异, 故(11.5) 有 唯一解.
u T Z T QZu 0 类似地, 令d Zu, 则x D及 0, 使得x d D, 且 f ( x d ) f ( x ) 因而(11.4)的解无界.
例11.1.1 考察如下二次规划问题： min s.t.
解：
f ( x ) x x x x x . x x x x x x x x x x x
x x x 由Ad 得： d d
6 2 1 Q 2 5 2 1 2 4
那如何判断索引集序列 Ak A( x * ) 或 Ak A( x * ) ?
请看我给大家慢慢讲解 :
设xk D, 构造工作集Ak A( xk )及问题(11.8)的近似 : 1 T min f ( x ) x Qx q T x (11.10) 2 s.t. aiT x bi , i Ak
* 其中* , i I ( x ) i
Qx * q
iA( x*）
* i ai
* 其中* , i I ( x ) i
显然, 上述KKT条件的KKT点也是下列等式二次规划 问题的KKT点 :
min s.t.
1 T f ( x ) x Qx q T x 2 aiT x bi , i A( x * )
T i
设 x D, 记x处的有效集 A( x ) { i I E | a x bi }
当Q半正定时, 问题(11.2)是凸规划,因此它的最优解与 KKT点等价, 即若x * 是(11.1)的最优解等价于存在乘子
*满足KKT条件 :
Qx * q
iA( x*）
* i ai
(11.8)
因此, 如果我们求得(11.8)的KKT点, 并且Lagrange 乘子
满足 : i 0, i I , 则得到(11.1)的KKT点即最优解. 关键：如何确定(11.8)中的约束, 即索引集A( x * ) ?
难啊 构造索引集序列 Ak 来估计A( x )
*
Ak 称为工作集
我们将(.)改写成 : 系数矩阵对称 Q A A x q b
T
(.5b)
在二阶充分条件下, 易验证系数矩阵非奇异, 但不正定 (n个正特征值, m个负特征值)
先对系数矩阵进行不定对称分解, 如
* T *
*T
由于 x*是KKT点, 故存在乘子* , 使得 Qx * q AT *
所以
f ( x) f ( x ) Ad
* *T
因此, x *是全局最优解.
注意：当D , 但二阶条件不成立或 Z T QZ不正定时, 则 问题(.)无解或有无界解. (1) 若Z T QZ不定, 即有负特征值, 存在u 0, 使得
u T Z T QZu 0 此时, 令d Zu, 则对x D, 及 0, 使得x d D, 且 1 2 T 1 2 T T f ( x d ) d Qd f ( x ) u Z QZu f ( x ) f ( x ) 2 2 即目标函数无下界. (2) 若ZT QZ 半正定但不正定, 则存在u 0, 使得
Q , q , A , b
(11.7)
则该问题的KKT系统为： 6 2 1 1 0 2 1 1 5 2 2 4 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0
x