第一讲 线性规划与最优化
线性规划的基本定理-最优化方法
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现构造两个点X（1），X（2），使满足
X（1）=（x1+αλ1,…, xk+αλk ,0,…,0）T X（2）=（x1-αλ1,…, xk-αλk ,0,…,0）T
线性规划解的基本定理
定理2：设X是可行域D的极点，那么，X最多有m个 正分量。
证明：设X=(x1，···xk，0，···，0)T，若k>m，由
z=λx+(1-λ)y
这说明当0 ≤ λ ≤1 时，λx+(1λ)y 表示以x.y为端点的直线段上的所 有点，因而它代表以 x.y为端点的直线 段。
一般地，如果x.y是n维欧氏空间Rn中的两点，则 有如下定义：
如果 x=(x1…xn)T,y=(y1…yn)T是Rn中任意两点，定 义z=λx+(1-λ)y(0≤λ≤1),z=(z1…zn)T 的点 所构成的集合为以x,y为端点的线段，对应λ=0， λ=1的点 x, y叫做这线段的端点，而对应 0<λ<1的点叫做这线段的内点。
表明X不是D的极点，与已知条件矛盾，故k≤m。
线性规划解的基本定理
定理1.4：对标准形式的线性规划，基可行解与可行 域的极点一一对应。
证明：首先证明极点必是基可行解。设X是极点， 由定理1.3,可设X=(x1,…xk,0,…,0)T xj>0,k≤m 若X不是基可行解，由定理1.2，向P1,P2,…,Pk应 线性相关。仿照定理1.3的证明过程，可推导出X 不是极点，与已知条件矛盾。故可知X是基可行解。
其次证明充分性。设X的正分量为x1，x2,…,xk，其对 应的列向量P1,P2,…,Pk线性无关。显然k≤m。
若k=m，则P1,P2,…,Pk可用来构成一个基，所 以X是基本解。而已知X是可行解，故X又是基可行 解。
线性规划的解与最优解知识点总结
线性规划的解与最优解知识点总结在现实生活和工作中，我们经常会遇到需要最优化某个目标函数的问题。
线性规划作为一种常见的数学优化方法，在各个领域中得到了广泛应用。
它能够帮助我们在一定的约束条件下，找到目标函数的最佳解。
本文将对线性规划的解与最优解的相关知识点进行总结。
1. 基本概念线性规划问题由目标函数和一组线性约束条件组成。
目标函数的形式通常是最大化或最小化一些变量的线性组合，而约束条件则给出了这些变量的取值范围。
线性规划问题的一般形式如下：```max/min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙsubject to:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0```其中，Z表示目标函数的值，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，aᵢₙ为约束条件中的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右边常数，x₁,x₂, ..., xₙ为决策变量。
2. 解的存在性线性规划问题存在三种解的情况：无解、有界解和无界解。
如果约束条件与目标函数之间存在矛盾，例如出现一个约束条件为 a₁₁x₁ +a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁，而目标函数的系数为 c₁ > a₁₁，那么这个线性规划问题就没有解。
有界解指的是线性规划问题在满足所有约束条件的情况下，能够找到目标函数的最大值或最小值。
无界解意味着目标函数可以无限制地增大或减小。
3. 最优解的性质线性规划问题的最优解具有以下性质：- 最优解必然出现在可行域的顶点上。
可行域是指所有满足约束条件的解的集合，而顶点则指可行域的边界上的点。
- 如果最优解存在，那么至少存在一个顶点是最优解。
- 如果可行域是有限的，则一定存在一个顶点是最优解。
- 如果最优解存在，那么一定有一条或多条约束条件在最优解上取等号。
数学中的最优化与线性规划
数学中的最优化与线性规划最优化和线性规划是数学中的重要概念和工具，它们在多个领域中都起到了关键作用。
本文将介绍最优化和线性规划的基本概念、应用领域以及解决问题的方法。
一、最优化的概念与应用领域最优化是在给定一组约束条件下，寻找使得目标函数取得最大值或最小值的优化问题。
它广泛应用于经济学、工程学、物理学、运筹学等多个领域。
在经济学中，最优化方法可以用于确定最佳的生产方案、资源分配以及市场供需模型的分析。
在工程学中，最优化方法可以用于设计最佳的结构、调度最优的制造流程以及优化供应链管理。
在物理学中，最优化方法可以用于求解最短路径、最快速度、最小能耗等物理问题。
在运筹学中，最优化方法可以用于解决旅行商问题、背包问题，以及其他组合优化问题。
二、线性规划的概念与解决方法线性规划是最常见的最优化方法之一，它是一种特殊的最优化问题，目标函数为线性函数，约束条件为线性等式或不等式。
线性规划的解决方法主要包括图形法（几何法）和单纯形法。
图形法是一种直观的解决方法，它通过绘制目标函数和约束条件在二维或三维空间中的几何图形，找到最优解的位置。
然而，图形法只适用于简单的线性规划问题，并且对于高维空间的问题不实用。
单纯形法是一种高效的解决方法，它通过迭代计算来搜索最优解。
它利用线性规划问题的基本性质，不断调整可行解，直到找到最优解为止。
单纯形法被广泛应用于实际问题中，并在计算效率上有较好的表现。
三、最优化和线性规划的实例应用1. 生产计划假设一个工厂有多种产品需要生产，每种产品对应着不同的利润和生产成本。
最优化方法可以帮助工厂确定最佳的生产数量，使得利润最大化或成本最小化。
2. 投资与资产配置最优化方法可以运用于投资组合的选择和资产配置，根据不同的风险偏好和预期收益率，确定最佳的投资组合，并进行资金的分配。
3. 供应链管理在供应链管理中，最优化方法可以用于确定最佳的配送路径、最佳的库存水平以及最佳的订单量，以降低成本、提高效率。
大学数学易考知识点线性规划与最优化方法
大学数学易考知识点线性规划与最优化方法线性规划与最优化方法（Linear Programming and Optimization Methods）是大学数学中的一门重要知识点，它在实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍线性规划的基本概念和应用，以及常用的最优化方法。
一、线性规划的基本概念1.1 线性规划的定义线性规划是一种数学建模方法，通过建立数学模型，利用线性关系来描述问题的约束条件和目标函数，从而找到使目标函数达到最大或最小值的最优解。
1.2 线性规划的基本元素线性规划包括约束条件、目标函数和决策变量三个基本元素。
约束条件描述了问题的限制条件，目标函数描述了问题的优化目标，决策变量表示问题中需要决策的变量。
1.3 线性规划的标准形式线性规划的标准形式可以表示为：```max/min z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙsubject toa₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0```其中，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件中的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件中的常数，并且x₁, x₂, ..., xₙ为决策变量。
二、线性规划的解法与应用2.1 线性规划的解法线性规划有多种解法，常见的有图解法和单纯形法。
图解法适用于二维平面的线性规划问题，通过构建约束条件的直线和目标函数的等值线，找到最优解。
单纯形法是一种迭代算法，通过不断调整基变量和非基变量的取值，找到使目标函数达到最大或最小值的最优解。
2.2 线性规划的应用线性规划在实际问题中有广泛的应用，例如生产计划、资源分配、运输问题等。
通过建立合适的线性规划模型，可以有效地解决这些问题，优化资源的利用，提高生产效率。
线性规划与最优化问题的解法
稻壳学院
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求解方法：使用 单纯形法、椭球 法等算法求解线 性规划问题
线性规划的几何解释
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线性规划问题可以看作是在多维空间中寻找一条直 线，使得该直线在满足一系列约束条件下，最大化 或最小化某个目标函数。
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线性规划的基本概念包括决策变量、目标函数 和约束条件。决策变量是问题中需要求解的未 知数，目标函数是希望最大化或最小化的函数， 约束条件是限制决策变量取值的条件。
解决方案：运输问题的解决方案通常包括 确定最优的运输路线和数量，以最小化运 输成本或最大化运输效益。
分配问题
简介：线性规划与最优化问题的实际应用之一是解决分配问题，通过合理分配资源，实 现最大化效益。
实例：如将有限的生产任务分配给不同的生产部门，以最小化生产成本或最大化总产量。
解决方法：利用线性规划模型描述问题，通过求解得到最优解，实现资源的最优分配。
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在几何解释中，决策变量可以看作是坐标轴上 的点，目标函数可以看作是该点所在的高或低。 通过移动坐标轴上的点，可以找到使目标函数 取得最大值或最小值的点，即最优解。
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线性规划的几何解释有助于直观地理解问题，并快 速找到最优解。在实际应用中，线性规划可以用于 资源分配、生产计划、运输问题等领域。
数。
线性规划问题 在现实生活中 应用广泛，如 生产计划、资 源分配和运输
问题等。
线性规划的基 本概念包括变 量、约束条件 和目标函数。
线性规划问题 通常在凸集上 进行，这使得 问题具有全局
最优解。
线性规划的数学模型
目标函数：要求 最大或最小化的 线性函数
约束条件：决策 变量的限制条件
数学知识点归纳线性规划与最优化问题
数学知识点归纳线性规划与最优化问题数学知识点归纳：线性规划与最优化问题数学作为一门学科，其中有很多重要的知识点需要我们去学习和掌握。
线性规划和最优化问题就是其中的两个重要知识点。
本文将对线性规划和最优化问题进行详细归纳和讲解。
一、线性规划线性规划是一种数学优化方法，其目标是在一组线性约束条件下，寻找一个线性目标函数的最大值或最小值。
线性规划广泛应用于工程、经济、管理等领域。
下面我们将逐步介绍线性规划的基本概念、模型和解法。
1. 问题的建模在线性规划中，我们需要确定目标函数、约束条件和决策变量。
目标函数是我们希望最大化或最小化的线性指标，约束条件限制了决策变量的取值范围。
通过确定这些要素，我们可以建立一个数学模型，描述出线性规划问题。
2. 单变量线性规划在单变量线性规划中，我们只有一个决策变量。
通过绘制目标函数和约束条件的图像，我们可以找到使目标函数取得最大值或最小值的决策变量。
3. 多变量线性规划在多变量线性规划中，我们有多个决策变量。
通过使用线性代数和数学优化方法，我们可以求解出目标函数的最优解。
4. 线性规划的解法求解线性规划问题的常用方法有单纯形法和内点法。
单纯形法是一种基于顶点的搜索方法，通过不断迭代改进目标函数的值，直到找到最优解。
内点法则是通过将问题转化为一系列约束条件更强的问题，逐步逼近最优解。
二、最优化问题最优化问题是数学分析中的一个重要问题领域，它涉及在一定约束条件下找出使目标函数取得最大值或最小值的问题。
最优化问题广泛应用于工程、经济和科学等领域。
下面我们将介绍最优化问题的基本概念和求解方法。
1. 单变量最优化问题在单变量最优化问题中，我们只有一个自变量。
通过求导、求极值点和判断二阶导数的符号，我们可以找到目标函数的最大值或最小值。
2. 多变量最优化问题在多变量最优化问题中，我们有多个自变量。
通过使用梯度下降法、牛顿法等数值优化方法，我们可以找到目标函数的最优解。
3. 最优化问题的约束条件最优化问题中的约束条件可以是等式约束或不等式约束。
最优化第01章线性规划基本
1.1线性规划问题及其数学模型 1.1线性规划问题及其数学模型
1.问题的提出： 1.问题的提出： 问题的提出
在生产管理的经营活动中， 通常需要对“ 有限的资源” 在生产管理的经营活动中 ， 通常需要对 “ 有限的资源 ” 寻求“最佳”的利用或分配方式。 寻求“最佳”的利用或分配方式。 有限资源：劳动力、原材料、 有限资源：劳动力、原材料、设备或资金等 最佳：有一个标准或目标， 最佳：有一个标准或目标，使利润达到最大或成本达 到最小。 到最小。 有限资源的合理配置有两类 两类问题 有限资源的合理配置有两类问题 如何合理的使用有限的资源，使生产经营的效益达到 如何合理的使用有限的资源，使生产经营的效益达到 最大； 最大； 在生产或经营的任务确定的条件下，合理的组织生产， 在生产或经营的任务确定的条件下，合理的组织生产， 安排经营活动，使所消耗的资源数最少。 安排经营活动，使所消耗的资源数最少。 消耗的资源数最少
每吨产品的消耗 甲 维生素（公斤） 维生素（公斤） 设备（ 设备（台） 单位利润(万元 单位利润 万元) 万元 30 5 5 乙 20 1 ２
每周资源总量 160 15
数学模型为
约束条件：反映了有限 约束条件： 资源对生产经营活动的 种种约束，或者生产经 种种约束， 营必须完成的任务
max z =5x1 +2x2 30x1 + 20x2 ≤ 160 5x + x ≤ 15 2 s.t . 1 x1 ≤ 4 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
某铁器加工厂要制作100套钢架，每套要用长为2 100套钢架 例 ３ : 某铁器加工厂要制作 100 套钢架 ， 每套要用长为 2.9 米 ， 2.1 米 米的圆钢各一根。已知原料长为7 问应如何下料， 和 1.5 米的圆钢各一根 。 已知原料长为 7.4 米 ， 问应如何下料 ， 可使 材料最省？ 材料最省？ 分析：在长度确定的原料上截取三种不同规格的圆钢， 分析：在长度确定的原料上截取三种不同规格的圆钢，可以归纳 种不同的下料方案： 出8种不同的下料方案：
线性规划和最优化问题
线性规划和最优化问题在我们的日常生活和工作中，经常会面临各种各样的决策问题。
如何在有限的资源条件下，实现最佳的效果或者达成最优的目标，这就涉及到线性规划和最优化问题。
线性规划是数学规划的一个重要分支，它是一种用于解决在一定约束条件下，如何优化线性目标函数的方法。
简单来说，就是在一些限制条件下，找到一个最好的解决方案。
想象一下，你是一家工厂的经理，你有一定数量的原材料、工人工作时间和机器设备。
同时，你生产的不同产品有着不同的利润。
你需要决定每种产品生产多少，才能使总利润最大。
这就是一个典型的线性规划问题。
再比如，你正在规划一次旅行。
你有一定的预算，有限的时间，不同的目的地和交通方式，以及每个目的地的吸引力。
你要如何安排行程，才能在预算和时间内，获得最大的旅行满足感？这也是一个可以用线性规划来解决的问题。
线性规划问题通常有三个主要组成部分：决策变量、目标函数和约束条件。
决策变量就是我们需要决定的未知量。
比如在上面的工厂生产例子中，每种产品的生产量就是决策变量；在旅行规划的例子中，去每个目的地的天数或者选择的交通方式就是决策变量。
目标函数是我们想要最大化或者最小化的东西。
在工厂生产中，目标通常是总利润最大化；在旅行规划中，可能是旅行的满意度最大化或者总花费最小化。
约束条件则是对决策变量的限制。
在工厂生产中，可能是原材料的数量限制、工人工作时间的限制、机器设备产能的限制等；在旅行规划中，可能是预算的限制、时间的限制等。
解决线性规划问题的方法有很多，其中最常见的是单纯形法。
单纯形法的基本思想是从可行解区域的一个顶点出发，沿着可行解区域的边界移动，直到找到最优解。
这个过程就像是在一个多面体的顶点之间跳跃，寻找最高点或者最低点。
除了单纯形法，还有内点法等其他方法。
内点法的基本思想是从可行解区域的内部出发，通过一系列的迭代逐步接近最优解。
线性规划在很多领域都有着广泛的应用。
在农业领域，农民可以用线性规划来决定种植不同作物的面积，以实现最大的收益。
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第一讲线性规划与最优化
厦门六中数学教研组杨福海
第一课时
一：什么是线性规划方法?
线性规划方法是在第二次世界大战中发展起来的一种重要的数量方法，线性规划方法是企业进行总产量计划时常用的一种定量方法。
线性规划是运筹学的一个最重要的分支，理论上最完善，实际应用得最广泛。
主要用于研究有限资源的最佳分配问题，即如何对有限的资源作出最佳方式地调配和最有利地使用，以便最充分地发挥资源的效能去获取最佳的经济效益。
由于有成熟的计算机应用软件的支持，采用线性规划模型安排生产计划，并不是一件困难的事情。
在总体计划中，用线性规划模型解决问题的思路是，在有限的生产资源和市场需求条件约束下，求利润最大的总产量计划。
该方法的最大优点是可以处理多品种问题。
二：线性规划模型的适用性
线性规划模型用在原材料单一、生产过程稳定不变、分解型生产类型的企业是十分有效的，如石油化工厂等。
对于产品结构简单、工艺路线短、或者零件加工企业，有较大的应用价值。
需要注意的是，对于机电类企业用线性规划模型只适用于作年度的总生产计划，而不宜用来做月度计划。
这主要与工件在设备上的排序有关，计划期太短，很难安排过来。
三：线性规划模型的结构
企业是一个复杂的系统，要研究它必须将其抽象出来形成模型。
如果将系统内部因素的相互关系和它们活动的规律用数学的形式描述出来，就称之为数学模型。
线性规划的模型决定于它的定义，线性规划的定义是：求一组变量的值，在满足一组约束条件下，求得目标函数的最优解。
根据这个定义，就可以确定线性规划模型的基本结构。
（1）变量变量又叫未知数，它是实际系统的未知因素，也是决策系统中的可控因素，一般称为决策变量，常引用英文字母加下标来表示，如X l，X2，X3，X mn等。
（2）目标函数将实际系统的目标，用数学形式表现出来，就称为目标函数，线性规划的目标函数是求系统目标的数值，即极大值，如产值极大值、利润极大值或者极小值，如成本极小值、费用极小值、损耗极小值等等。
（3）约束条件约束条件是指实现系统目标的限制因素。
它涉及到企业内部条件和外部环境的各个方面，如原材料供应、设备能力、计划指标、产品质量要求和市场销售状态等等，这些因素都对模型的变量起约束作用，故称其为约束条件。
约束条件的数学表示形式为三种，即≥、＝、≤。
线性规划的变量应为正值，因为变量在实际问题中所代表的均为实物，所以不能为负。
在经济管理中，线性规划使用较多的是下述几个方面的问题：
(1) 投资问题—确定有限投资额的最优分配，使得收益最大或者见效快。
(2) 计划安排问题—确定生产的品种和数量，使得产值或利润最大，如资源配制问题。
(3) 任务分配问题—分配不同的工作给各个对象(劳动力或机床)，使产量最多、效率最高，如生产安排问题。
(4) 下料问题—如何下料，使得边角料损失最小。
(5) 运输问题—在物资调运过程中，确定最经济的调运方案。
(6) 库存问题—如何确定最佳库存量，做到即保证生产又节约资金等等。
应用线性规划建立数学模型的三步骤：
(1) 明确问题，确定问题，列出约束条件。
(2) 收集资料，建立模型。
(3) 模型求解(最优解)，进行优化后分析。
其中，最困难的是建立模型，而建立模型的关键是明确问题、确定目标，在建立模型过程中花时间、花精力最大的是收集资料。
四：运用线性规划模型进行总生产计划时的问题
1、线性规划模型考虑的因素可能不全面，实际中有些情况没有被考虑到，这就使得线性规划模型过于理想化；
2、实际运用线性规划模型时，虽然一些因素或约束条件被考虑到了，但是由于这些因素或约束条件不易量化或求得（如进行总生产计划常需考虑到的能源单耗就不易求得）时，线性规划模型的运用和有效性因而受到了一定的限制；
3、对一些基础管理不善的企业而言，模型中的单位产品资源消耗系数a很难得到；
4、目标函数中的产为成本系数c实际上是个变量，他随计划的数量结构和品种结构而变。
这些问题给机械行业应用线性规划模型带来许多困难，如处理不好，求得的结果的可靠性会很低的。