最优化线性规划 (1)(1)
最优化方法第二章(1)
min c j x j j 1 n s.t. aij x j bi , i 1, 2, , m j 1 x j 0, j 1, 2, , n.
无关。
定理2.3 设 x D ,则
x R 引理2.2 设 A a1 , a2 , , an mn ， ( A) m ， D。则
D {x Ax b , x 0}
x 是（2.2）的基本容许解 x
是 D 的极点。 从几何角度讲，例2.3中的约束条件 x1 x2 x3 6 x1 2 x2 4 x3 18 x1 , x2 , x3 0 表示空间一条直线在第一象限中的直线段部分。 如图所示：
不失一般性，假定单位矩阵位于前 m 列，即典范 形式呈现为
min c1 x1 c2 x2 cn xn s.t. x1 x2
其中 bi 0(i 1, 2,, m) 。 用向量－矩阵表示法，那么（2.3）可简写成
x j 0,
a1, m 1 xm 1 a1, n xn b1 a2, m 1 xm 1 a2, n xn b2 （2.3） xm am , m 1 xm 1 am , n xn bm j 1, 2, , n
x1 x2 1 x1 x2 3 x1 , x2 0. 化为标准形式，并用图解法求解原问题，给出标准形 式的解。
解 对第1个约束引入松弛变量 x3 ，对第2个约束引入 剩余变量 x4 。于是，该线性规划的标准形式为
线性规划的基本定理-最优化方法
j 1
j 1
现构造两个点X（1），X（2），使满足
X（1）=（x1+αλ1,…, xk+αλk ,0,…,0）T X（2）=（x1-αλ1,…, xk-αλk ,0,…,0）T
线性规划解的基本定理
定理2：设X是可行域D的极点，那么，X最多有m个 正分量。
证明：设X=(x1，···xk，0，···，0)T，若k>m，由
z=λx+(1-λ)y
这说明当0 ≤ λ ≤1 时，λx+(1λ)y 表示以x.y为端点的直线段上的所 有点，因而它代表以 x.y为端点的直线 段。
一般地，如果x.y是n维欧氏空间Rn中的两点，则 有如下定义：
如果 x=(x1…xn)T,y=(y1…yn)T是Rn中任意两点，定 义z=λx+(1-λ)y(0≤λ≤1),z=(z1…zn)T 的点 所构成的集合为以x,y为端点的线段，对应λ=0， λ=1的点 x, y叫做这线段的端点，而对应 0<λ<1的点叫做这线段的内点。
表明X不是D的极点，与已知条件矛盾，故k≤m。
线性规划解的基本定理
定理1.4：对标准形式的线性规划，基可行解与可行 域的极点一一对应。
证明：首先证明极点必是基可行解。设X是极点， 由定理1.3,可设X=(x1,…xk,0,…,0)T xj>0,k≤m 若X不是基可行解，由定理1.2，向P1,P2,…,Pk应 线性相关。仿照定理1.3的证明过程，可推导出X 不是极点，与已知条件矛盾。故可知X是基可行解。
其次证明充分性。设X的正分量为x1，x2,…,xk，其对 应的列向量P1,P2,…,Pk线性无关。显然k≤m。
若k=m，则P1,P2,…,Pk可用来构成一个基，所 以X是基本解。而已知X是可行解，故X又是基可行 解。
重庆大学最优化方法习题答案
s.t.x1 + 2x2 ≤ 5 x1, x2 ≥ 0
解：根据条件，可行域为下面图形中的阴影部分，，有图形可知，原问题在 A 点取得最优值， 最优值 z=5
（2） min z = x1 − 6x2 2x1 + x2 ≤ 1
s.t.− x1 + x2 ≤ 7 x1, x2 ≥ 0
解：图中阴影部分表示可行域，由图可知原问题在点 A 处取得最优值，最优值 z=-6.
（3） max z = 3x1 + 2x2
− x1 + x2 ≤ 1 s.t.x1 − 2x2 ≥ −4
x1, x2 ≥ 0
解：如图 所示，可行域为图 中阴影部 分，易得 原线性规 划问题 为无界 解。
所以 x(2) , x(4) , x(6) 是原问题的基可行解， x(6) 是最优解，最优值是 z = −3 。
（2） max z = x1 + x2 − 2x3 + x 4 − x5
x1 + x2 + x3 + x4 = 1 s.t.− x1 + 2x2 + x5 = 4
xi ≥ 0,i = 1,2,3,4,5
解：易知
x1
的系数列向
量
p1
= 1− 1
，
x2
的系数列向
量
p2
=
1
2
，
x3
的系
数列向量
1
1
0
p3
=
0
，
x4
的系数列向量
p4
=
0
，
x5
的系数列向量
最优化方法-线性规划的基本定理
若k=m，则P1,P2,…,Pk可用来构成一个基，所以X是基 本解。而已知X是可行解，故X又是基可行解。
若k<m，由于A的秩为m，比可从A中再挑出m-k个列向 量，与P1,P2,…,Pk ，一起构成一个线性无关极大组，即 为一个基，由此可知X是基可行解。
定义1.7：设集合S是n维欧式空间En中的闭凸 集，d是En中的非零向量。如果对于S的每 个点X，以及一切非负的数λ，都有
X+λd∈S，λ≥0
则称向量d是凸集S的一个方向。如果d1， d2是S的方向，且d1≠αd2， ∀ α>0，则d1， d2是两个不同的方向。
进一步，如果d是凸集S的一个方向，且 不能表示为S的另外两个不同的方向的正组 合，则称d是S的一个极方向。
约定A是行满秩的m行n列矩阵。
2、基、基向量、基变量、基本解、基本可 行解、可行基、最优解、最优基
基：矩阵A中一个m阶非奇异子矩阵 基向量：基的列向量 基变量：基向量对应的变量 基本解：非基变量全为零的解
基本可行解：非基变量为零，基变量都大 于等于零的解
可行基：基可行解对应的基 最优解：基本解中使目标函数最大的解 最优基：最优解对应的基
X=λX（1）+（1-λ）X（2）
上式的分量表达形式为 显然，当j>m时，有
x
j
xj
xj1 xj1x j2
1 0
xj2
,
j
1,
2,
,n
m
再由于X（1），X（2）均是可行点，故可推知 xjiPj b,i 1, 2
两式相减，得
线性规划解决最优化问题的数学方法
线性规划解决最优化问题的数学方法线性规划是一种常见的数学方法，用来解决最优化问题。
它能够帮助我们在给定一组线性约束条件下，找到最优的目标函数值。
在实际应用中，线性规划方法被广泛用于制定优化决策、资源配置、生产计划等领域。
本文将介绍线性规划的基本概念、公式以及解决最优化问题的具体步骤。
一、线性规划的基本概念与公式线性规划的目标是在给定约束条件下，找到使目标函数（也称为优化函数）取得最大或最小值的解。
它包含三个基本要素：决策变量、约束条件和目标函数。
1. 决策变量：决策变量是问题中需要确定的变量，它们可以是实数、整数或布尔变量。
决策变量的取值范围和类型由问题的实际情况决定。
2. 约束条件：约束条件是对决策变量的限制条件，它们可以是线性等式或不等式。
约束条件用于描述问题的限制条件，例如资源约束、技术限制等。
3. 目标函数：目标函数是求解问题的目标，它可以是最小化或最大化一个线性函数。
目标函数的形式通常是关于决策变量的线性组合。
线性规划问题可以用如下的标准形式表示：最小化 Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ非负约束：x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, ... , xₙ ≥ 0其中，Z为目标函数值，c₁, c₂, ... , cₙ为目标函数的系数，aᵢₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ... , bₙ为约束条件的常数项，x₁, x₂, ... , xₙ为决策变量。
二、线性规划的解决步骤解决线性规划问题一般可以遵循以下步骤：1. 定义问题：明确问题的目标函数、约束条件和决策变量，并将其转化为标准形式。
2. 建立数学模型：根据问题的实际情况，根据标准形式建立数学模型，将问题转化为求解目标函数最大或最小值的数学问题。
最优化方法：第2章 线性规划
Z=CBB-1b+(σm+1,
σm+k ,
xm+1
σn
)
CB B-1b+σ m+k
xn
因为 m+k 0，故当λ→+∞时，Z→+∞。
用初等变换求改进了的基本可行解
假设Ｂ是线性规划 maxZ=CX,AX=b,X 0的可行基，则
AX=b
(BN)
XB XN
b
(I,B-1 N)
➢ 若在化标准形式前，m个约束方程都是“≤”的形式， 那么在化标准形时只需在一个约束不等式左端都加上一个松弛变 量xn+i (i=12…m)。
➢ 若在化标准形式前，约束方程中有“≥”不等式， 那么在化标准形时除了在方程式左端减去剩余变量使不等式变 成等式以外，还必须在左端再加上一个非负新变量，称为 人工变量．
单纯形法简介
考虑到如下线性规划问题 maxZ=CX AX=b X 0
其中Ａ一个m×n矩阵，且秩为m，ｂ总可以被调整为一 个m维非负列向量，Ｃ为n维行向量，Ｘ为n维列向量。
根据线性规划基本定理： 如果可行域Ｄ={ Ｘ∈Ｒn / ＡＸ=ｂ，Ｘ≥0}非空有界， 则Ｄ上的最优目标函数值Ｚ=ＣＸ一定可以在Ｄ的一个顶 点上达到。 这个重要的定理启发了Dantzig的单纯形法， 即将寻优的目标集中在D的各个顶点上。
非基变量所对应的价值系数子向量。
要判定 Z=CBB-1b 是否已经达到最大值，只需将
XB =B-1b-B-1NX N 代入目标函数，使目标函数用非基变量
表示，即：
Z=CX=(CBCN
)
XB XN
=CBXB +CNXN =CB (B-1b-B-1NXN )+CNXN
最优化方法-线性规划
引言
对线性规划贡献最大的是美国数学家G.B.Dantig(丹捷格)，他 在1947年提出了求解线性规划的单纯形法（Simple Method），并同时给出了许多很有价值的理论，为线性规划 奠定了理论基础。在1953年，丹捷格又提出了改进单纯形法， 1954年Lemke(兰母凯)提出了对偶单纯形法（dual simplex method）。 在1976年， R. G. Bland 提出避免出现循环的方法后，使线 性规划的理论更加完善。但在1972年，V. Klee和G .Minmty 构造了一个例子，发现单纯形法的迭代次数是指数次运算，不 是好方法——并不是多项式算法（多项式算法被认为是好算 法），这对单纯形法提出了挑战。
min Ζ ’=-Ζ =-(c1x1+c2x2+…+cnxn)
（三）若xj<0，令xj=xj’-xj”,xj’≥0,xj”≥0 利用矩阵和向量的符号，线性规划问题可以写为
minΖ =CX s.t. AX=b X≥0 minΖ =CX s.t. Σ xjPj=b C=(c1,c2, …,cn)
a11 a12 …a1n A= ┆ ┆ ┆ am1 am2 …amn b1 b2 ┆ bm x1 x2 X= ┆ xn
化一般问题为标准形式： (一)若ak1x1+ak2x2+…aknxn≤bk 加一变量xn+k≥0（松驰变量），改写为 ak1x1+ak2x2+…aknxn+xn+k=bk 若ak1x1+ak2x2+…aknxn≥bk 减一变量xn+k≥0(剩余变量），改写为 ak1x1+ak2x2+…aknxn-xn+k=bk (二) 若目标函数为maxΖ =c1x1+c2x2+…+cnxn
【最优化】线性规划基本概述
【最优化】线性规划基本概述什么是线性规划：线性规划就是特殊的有约束优化问题，⽬的是通过⼀组线性等式或者不等式下得可⾏集合点，来寻找⼀个⽬标函数的极值；通常来说，极值可以是极⼤极⼩，但是⼀般采⽤极⼩，看到相关的案例，求极⼤值直接前⾯加负号变为极⼩值即可；线性规划的基本问题形式：线性规划问题可以采⽤最基本的数学符号进⾏描述：minimize c T xsubject to Ax=bx>=0;对于上述可以这样理解，对于某个参数向量x，所满⾜的可⾏域条件为Ax=b，也成为约束⽅程，可⾏域内点集由该⽅程组确定，其中值得注意的是可⾏域条件不⼀定为等式，只需要线性即可；c T x为⽬标等式，两个都为向量，所以值为⼀个单值，旨在找到⼀个极⼩值，使得满⾜minimize的要求；因此，对于任何的问题，都可以转为标准的问题形式进⾏求解；其中，⽐较有意思的是约束条件实际定义了求解的维数，也就是如何直观的通过对x的选择，使得c T x最⼤；如果从空间思想来考虑，就可以分为简单⼆维和三位情况下的最优化；如果是简单的⼆维情况：c T x相当于ax1+bx2，相当于⼆维平⾯上的⼀条直线，其中要求的是如何选定x1,x2的值，使得k=ax1+bx2存在最⼤最⼩值（因为向量c相当于已经确定了斜率）；⽽约束条件也为围成的⼀系列可⾏域，在⼆维平⾯内选择点，使得k=ax1+bx2最⼤，也就是和x2轴交点值最⼤；如下图所⽰，书上也给了⼀个很好的例⼦：⽽对于多维情况，则需要涉及凸多⾯体问题：c T x中的c的个数已经限定了多维空间下n的⽬标函数；约束条件Ax=b，其中A为m*n维数向量，定义了m个超平⾯所围成的⼀个凸多⾯体，并且假设该多⾯体⾮空有界；书上讨论了很多种情况，例如多⾯体超平⾯的维数问题；但是这⾥还是说⼀下常规的转换求法；根据c T x得到⼀个超平⾯c T x=0；找到⼀个⽀撑超平⾯c T x=β，使得整个胞体M在半平⾯，且M和超平⾯交集为M'；所以⽆论任何属于负半区的点y，都会有c T y<β；⽽任何属于M’的点y，都有c T y=β；所以可得到⽀撑超平⾯的点是极值点，同样如果⽀撑超平⾯为单点情况下，仍然适⽤；线性规划问题的标准型：对于标准型，和之前谈到的基本形式类似，实对所有⾼维线性规划下的问题做⼀个基本的形式定义；minimize c T xsubject to Ax=bx>=0值得注意的是Ax=b的条件，所有⼤于等于的线性条件都应该转为等于进⾏讨论，个⼈认为是使得所构成的解集范围是多胞体⽽⾮多个超平⾯围成的范围；⽽对于⾮标准形式，往往有Ax>=b或者Ax<=b，所以通过变换来变成⼀般的标准形式；其中注意下不同的说辞，Ax>=b,Ax<=b，⽆⾮就是加减y⽽已，保持y>=0即可，两种情况称之为剩余变量y和松弛变量y，名字记不记住感觉⽆伤⼤雅；基本解：当给出线性规划的基本形式之后，就可以对基本解进⾏构造；总的来说，解和传统的线性齐次、⾮齐次⽅程组不同，主要关注两个类型：1.基本解；2.可⾏解；两者其实有交集，交集的形式为基本可⾏解；基本解求法：可⾏解求法：可⾏解本质就是满⾜标准形式的解，也就是满⾜Ax=b,且x>=0的解，两个条件缺⼀不可；⽽基本可⾏解就是既为基本解满⾜x>=0的解；对于书上，有给出的相关例题，说明怎么求解可⾏解和基本解：基本解的性质：最优可⾏解：能够使得⽬标函数c T x取最⼩值的解；最优基本可⾏解：该最有可⾏解为基本解；其中对于线性规划来说，有挺重要的⼀条性质：1.如果存在可⾏解，则⼀定存在基本可⾏解；2.如果存在最优可⾏解，则必定存在最优基本可⾏解；基本可⾏解的实际意义：如果对于⼀个凸集，求⽬标函数极值，则必定取值点必定是凸集上的极点，对应的就是可⾏基本解；所以最后只需要寻找可⾏基本解中哪⼀个可以使得⽬标函数c T x最⼤(最⼩)，就可以得到最优基本可⾏解；【注意】关于为什么要找极点：根据前⾯⼆维推⼴⾄多维的推导，都是根据⽀撑超平⾯来进⾏极值寻找，所以找极值点也就相当于找使得距离原点超平⾯最远的⽀撑超平⾯；所以有定理：如若存在⼀个可⾏解组成的凸集，集合中的所有n维向量x满⾜Ax=b，x>=0，其中A维m*n维向量，则x是凸集中的极值点当且仅当x是Ax=b，x>=0的基本可⾏解；证明过程如下所⽰：。
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5
基本定理
基本定理
(2) 再证基可行解是可行域的顶点，设 x 是一个基可行 解， x=(x1,x2,…,xk,0,…,0)T, xi>0, i=1,2,…,k, （反证法）若x不是可行域的顶点，故可在R中找到不同 的两点x(1)，x(2)， 使x=αx(1)+（1-α）x(2),（0<α<1）, k k (2) 当j>k时，xj=xj（1）=xj（2）=0，且有， Pj x (j1) b , Pj x j b
若x不能用不同的两点x(1)∈R和x(2)∈R 的线性组合表 示为 x=αx(1)+(1-α)x(2), (0<α<1) 则称x为R的一个顶点 如：三角形的三个顶点；实心圆圆周 上的任一点等
基本定理
引理1
基本定理
LP问题的可行解x=(x1,x2,…,xn)T 为基可行解的充要条件是x的正分量所 对应的列向量是线性无关的。
2
问题的分析
这类问题的共同特征：
(1)都有一组决策变量 (x1, x2,…,xn)表示某一 方案，一般是非负的 (2) 存 在 一 定 的 约 束 条 件 ， 可 用 线 性 等 式 （不等式）来表示 (3) 都有一个要求达到的目标，它可用决策 变量的线性函数（称目标函数）来表示，按 问题的不同，要求目标函数实现最大化或最 小化。 满足以上三个条件的数学模型称为线性规划 （LP）的数学模型。
3
线性规划问题的图解法
例2
线性规划问题的图解法
y 例3
max z 4 x1 2 x 2 2 x1 x 2 2 x1 2 x 2 2 x x 5 2 1 x1 , x 2 0
x2
A
-2x1+x2=2
BБайду номын сангаас
R
x1-2x2=2 x1 x1+x2=5
Programming） 是最优化方法中理论完整、方法成熟、 应用广泛的一个分支。它本身在实际 问题中有许多直接应用，而且为某些 非线性规划问题的解法起到间接作用。
1
线性规则
§1线性规划问题及其数学模型
1．1问题的提出 例 1 ．要从甲地调出煤炭 2000 吨，从乙地调 出煤炭 1100 吨，分别供应 A 地 1700 吨， B 地 1100 吨， C 地 200 吨， D 地 100 吨，已知每吨 运费如下表：（单位：元） A地 B地 C地 D地 21 25 7 15 甲地 51 51 37 15 乙地 采取何种调拨方案，使运费最省？
1、LP的标准形式
min f cx Ax b （1） x 0
c-价值系数 b-资源约束向量 A-资源消耗矩阵 x-决策变量向量 注：一般线性规划问
题的标准化
解的概念：
1）任何一组满足约束条件的解称为可
1.3两个变量线性规划问题的图解法
例1 max
美国科学、工程和公共事务委员会数学组 1983 年在一份报告中所写的如下一段话： “ 我们必须说明数学规划所发生的影响，线 性规划是为解决二次大战中的后勤供应问题 而产生的。（ 1947 ， G.B.Dantzig ）单纯形 方法的提出及其在初期成功的应用，使得能 用线性规划解决的问题的类型先是缓慢地， 但接着就是急速地增加，线性规划成为几乎 所有的商业活动、工业生产和军事行动的一 个组成部分，由于在设计和操作过程中应用 了线性规划，已经节省了亿万元”。
引 言
最优化方法
Methods of Optimization
河海大学理学院
丁根宏
由于现代化生产和科学技术的飞速发展，客 观世界中的问题越来越复杂，要求越来越 高，许多问题用传统的数学方法，已难以解 决，因而迫切需要新的数学理论和新的数学 方法。 最优化方法是在生产斗争的科学实验中选取 最佳决策的一门学科，它已广泛地应用于空 间技术、军事科学、系统辨识、无线通讯、 光学系统、计算数学、工程设计、自动控制、 资源分配、经济管理等方面。
既是基本解又是可行 解。 5）最优基可行解 使目标函数达到最小 （或最大）值的基本可行解。
可 行 解 En
基 可 行 解
基 本 解
基本概念
顶点（极点）：设 R 是凸集， x∈R ；
2．2基本定理
定理1 若LP存在可行域，则其可行解集是凸 集。 证：设其可行解集为R，在R中任取两点x(1) 和 x(2) （ x(1)≠x(2) ），则有 Ax(1)=b ， Ax(2)=b, x(1)≥0,x(2)≥0 令 x 为 线 段 x(1),x(2) ， 上 的 任 一 点 ， 即 x=αx(1)+(1-α)x(2)∈R，(0≤α≤1) 则Ax=A[αx(1)+(1-α)x(2)]=αAx(1)+(1-α)Ax(2) =αb+(1-α)b=b 且x=αx(1)+(1-α)x(2)≥0 ∴R是凸集。
定理2.1 LP的基可行解对应于可行域R的顶点
证：（1）先证可行域R的顶点是基可行解 （反证法）若x不是基可行解（是可行解，否则已不是顶点），不 妨设其正分量所对应的系数列向量为 P1,P2,…,Pk ，则它们线性相 关，即存在一组不全为零的数y1,y2,…,yk，使得 y1P1+y2P2+…+ykPk=0 记y=(y1,y2,…,yk,0,…,0)T, 则Ay=0 .…………………………..………(2) 又Ax=b ……………………………………(3) 取ε>0，作(3)±ε(2)，则A(x±εy)=b x(2)=x-εy 令x(1)=x+εy, ∵xi>0,i=1,2,…,k, 当ε充分小时，可保证x(1)≥0，x(2)≥0 ∴x(1)，x(2)是可行解 而x=(x(1)+x(2))/2，故x不是R的顶点，矛盾。
o
min f 2 x1 x 2 x1 x2 1 x1 3 x 2 3 x1 , x 2 0
x1-3x3=-3 R o x1+x2=1 x
A（1，4），B（0，2）的连线都为最优解 max z=4
说明f= -2x1+x2在集合R上无下界
最优化方法包括的内容很广泛，如：
线性规划、非线性规划、动态规划、 整数规划、组合优化、多目标规划等。
最优化方法参考书目
第1章 线性规则
线性规划（Linear
1．实用最优化方法(第三版) 唐焕文、秦学志编 大连理工大 学出版社 2004年1月 2．最优化方法 解可新、韩立兴、林友联 天津大学出版社 2003年 3．运筹学与最优化方法 吴祈宗编 机械工业出版社 2005年 4．最优化方法及其Matlab程序设计 马昌凤 科学出版社 2010年 5．数学规划引论 魏权龄、王日爽、徐兵 北京航空航天大 学出版社 1991年 6．非线性规划 陈开明 复旦大学出版社 1991年 7．非线性规划——分析与方法 阿佛里尔.M 李元熹等译 上 海科学技术出版社 1979年 8．最优化技术 邓先礼 重庆大学出版1998年
问题的分析
让甲地的 2000 吨分别供应给 A 地 1700 吨、 C 地200吨、D地100吨，让乙地的1100吨全部 供给B地，此时运费为94700元 但如果让甲地的2000吨分别供应给A地 1700 吨、 B 地 100 吨、 C 地 200 吨，让乙地的 1100 吨全部供给B地1000吨、D地100吨，此时运 费为92100元 后一种方案要比前一种节省2600元
问题的提出
某工厂在计划期内要安排I 、 I I两种产品，已知生 产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的 消耗，如下表： I II 资源总量 设备 1 2 8台时 原料A 4 0 16kg 原料B 0 4 12kg 该工厂每生产一个单位产品I可获利2元，每生产一 个单位产品II可获利3元。问应如何安排计划，使 该工厂获利最多？
线性规划问题的图解法
图解法的一些结论
x2
例4 max z 3 x1 x 2
x1 x 2 1 x1 x 2 1 x1 , x 2 0
0
x1
这组约束条件所决定的 4个半平面的交集是 空集，没有可行解
由以上例子的讨论可以看出：两个变量的线 性规划问题的解可能有以下4种情况 1 ）有唯一最优解，且是可行解集合 R 的一个 顶点 2 ）有最优解，但不唯一，且是可行解集合 R 的一条边（线段） 3）有可行解，但没有最优解 4）没有可行解（可行域是空集） 一般线性规划问题也有上述类似的结论。
1．4 线性规划问题的解的概念
1）可行解
解的概念
满足约束条件的解。 2 ）最优解 使目标函数达到最小 （或最大）值的可行解。
3）基本解 考虑Ax=b 其中A是mn维系数矩 阵，R(A)=m，设A=(P1,P2,…,Pn) n Ax=b可写为 x P b
j 1
j
j
在A中选m个线性无关的列向量，不妨设 P1,P2,…,Pm 线性无关，称它们是线性规划的一 组基，基对应的变量x1,x2,…,xm称为基变量，其 它的变量则称为非基变量。 在选定一组基后，令非基变量都取零，则方程 可唯一确定基变量的值，将此解x称为基本解。
问题的分析
问：还有没有更好的调拨计划呢？ 设这样一个调拨计划，用 x11,
x12, x13, x14 分别表示从甲地调往 A 、 B 、 C 、 D 四地，用x21, x22, x23, x24分别表示从乙 地调往 A 、 B 、 C 、 D 四地的煤炭数量。
问题的分析
写出数学形式，即 x11+ x12+ x13+ x14=2000 x21 +x22+x23+ x24 =1100 x11+ x21=1700 x12+ x22=1100 x13+ x23=200 x14+ x24=100 xij≥0, i=1,2, j=1,2,3,4 并 且 使 f=21x11+ 25x12+7x13+15x14+51x21 + 51x22 + 37x23 + 15 x24 达到最小。