线性规划与最优化模型经典讲义

minS = ∑ c j x j ,
j =1
n
n ∑ aij x j = bi ,(i = 1, 2, m) j =1 x ≥ 0,( j = 1, 2, n) j
标准形式的矩阵形式为 数 学 建 模 之 营 养 配 餐 问 题
目标函数
min S = CX 其中 C = (c1 , c2 , cn ), x1 x X = 2 xn 约束条件 a11 , a12 , a1n b1 a , a , a b AX = b, 2n 2 A = 21 22 ，b = X ≥ 0, am1 , am 2 , amn bm
数 学 建 模 之 营 养 配 餐 问 题
线性规划与最优化模型
营养配餐
数学建模讲座
一
数 学 建 模 之 营 养 配 餐 问 题
营养配餐问题
问题的提出
1
每种蔬菜含有的营养素成份是不同的， 每种蔬菜含有的营养素成份是不同的，从医学上知 道每人每周对每种营养成分的最低需求量。 道每人每周对每种营养成分的最低需求量。某医院营养 室在制定下一周菜单时，需要确定表1 室在制定下一周菜单时，需要确定表1中所列六种蔬菜 的供应量， 的供应量，以便使费用最小而又能满足营养素等其它方 面的要求。规定白菜的供应一周内不多于20kg 20kg， 面的要求。规定白菜的供应一周内不多于20kg，其它蔬 菜的供应在一周内不多于40kg，每周共需供应140kg蔬 菜的供应在一周内不多于40kg，每周共需供应140kg蔬 40kg 140kg 为了使费用最小又满足营养素等其它方面的要求， 菜，为了使费用最小又满足营养素等其它方面的要求， 问在下一周内应当供应每种蔬菜各多少kg kg？ 问在下一周内应当供应每种蔬菜各多少kg？
可以缩写为 n max(min)S = ∑ c j x j ,
j =1
n ∑ aij x j ≥ (=, ≤)bi ,(i = 1, 2, m) j =1 x j ≥ 0,( j = 1, 2, n)
2．线性规划标准形式 ．
数 学 建 模 之 营 养 配 餐 问 题
从线性规划数学模型的一般形式可以看出， 从线性规划数学模型的一般形式可以看出， 目标函数可以是实现最大化， 目标函数可以是实现最大化，也可以实现最小 化，约束条件可以是不等式，也可以是等式， 约束条件可以是不等式，也可以是等式， 这种模型形式上的多样性势必给求解带来不便， 这种模型形式上的多样性势必给求解带来不便， 为了便于讨论线性规划的求解方法， 为了便于讨论线性规划的求解方法，我们给出 规划问题的标准形式. 规划问题的标准形式
将此变量写出两个非负变量之差的形式， 将此变量写出两个非负变量之差的形式，即 非负变量之差的形式
xi = xi ' xi "
等式右边的两个变量非负. 等式右边的两个变量非负
（4）对约束条件右端 i为负时，只需两边同时乘以-1 ）对约束条件右端b 为负时，只需两边同时乘以即可.（注意不等号符要变号） 即可 （注意不等号符要变号）
设问题是在满足营养素要求的条件下，所需的费用最小 设问题是在满足营养素要求的条件下，
f = 5x1 + 5x2 +8x3 + 2x4 + 6x5 + 3x6
易见，该问题是一个线性规划模型： 易见，该问题是一个线性 配 餐 问 题
f = 5x1 + 5x2 +8x3 + 2x4 + 6x5 + 3x6 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 =140
二、线性规划的解
数 学 建 模 之 营 养 配 餐 问 题 可行解：满足约束条件的解称为线性规划的可行解， 可行解：满足约束条件的解称为线性规划的可行解， 所有可行解的集合称为可行域. 所有可行解的集合称为可行域 最优解： 最优解：满足目标函数的可行解称为线性规划的 最优解.其实质就是要从许许多多的可行解中， 最优解 其实质就是要从许许多多的可行解中，找出一 其实质就是要从许许多多的可行解中 个使目标函数达到最优值的可行解. 个使目标函数达到最优值的可行解 线性规划模型解有三种情况： 线性规划模型解有三种情况： （1）有最优解 ） （2）有可行解，但没有最优解 ）有可行解， （3）无可行解 ）
总结： 总结： 所以约束条件中有多少个不等式，就要引 所以约束条件中有多少个不等式， 多少个不等式 多少个新的非负变量 新的非负变量， 入多少个新的非负变量，使不等式条件转化为 等式. 等式
数 学 建 模 之 营 养 配 餐 问 题
（3）标准形式中的变量要求都是非负的，如果一般 ）标准形式中的变量要求都是非负的， 形式中某个变量没有符号限制，可以为正也可以为负， 形式中某个变量没有符号限制，可以为正也可以为负， 如果使其保持非负？ 如果使其保持非负？
max S = min( S ) = min S '
（2）约束不等式化为约束等式 ）
将约束不等式化为约束等式需要我们把不等式中 数 学 建 模 之 营 养 配 餐 问 题
就可以使上面的不等式变为等式 我们需要在不等式的左边减去一个非负变量 xn+1 ，
引入新的非负变量（ 引入新的非负变量（我们称之为松弛变量或剩余变 非负变量 量），来平衡不等式的两端使之成为等式 ），来平衡不等式的两端使之成为等式. 来平衡不等式的两端使之成为等式
数 学 建 模 之 营 养 配 餐 问 题
0.45 10 0.45 28 1.05 59 0.40 25 0.50 22 0.50 75 6.00 25
要 求 蔬 菜 提供的营养
2
数 学 建 模 之 营 养 配 餐 问 题
问题分析与模型建立
分别表示在下一周内应当供应的青豆、 设 xi (i =1~ 6) 分别表示在下一周内应当供应的青豆、 胡萝卜、菜花、白菜、甜菜及土豆的量(kg)， 胡萝卜、菜花、白菜、甜菜及土豆的量(kg)，则费用的目标 函数为: 函数为: f = 5x1 + 5x2 +8x3 + 2x4 + 6x5 + 3x6 约束条件： 约束条件： 铁的需求量至少6个单位数： 铁的需求量至少6个单位数：
数 学 建 模 之 营 养 配 餐 问 题
我们知道，由于一般形式中有多个不等式， 我们知道，由于一般形式中有多个不等式，所 以求解过程很困难， 以求解过程很困难，但标准形式求解起来就比较容 那么， 易，那么，如何将线性规划的一般形式转化为标准 形式呢？ 形式呢？ 3．化一般形式为标准形式 ． （1）目标函数 ） 如果目标函数是最大化类型， 如果目标函数是最大化类型，将其转化为最 小化类型非常简单，只需令S’= 即 小化类型非常简单，只需令 -S,即
415x1 + 9065x2 + 2550x3 + 75x4 +15x5 + 235x6 ≥17500
数 学 建 模 之 营 养 配 餐 问 题
维生素C的需求量至少245个单位数： 维生素C的需求量至少245个单位数： 245个单位数
8x1 + 3x2 + 53x3 + 27x4 + 5x5 + 8x6 ≥ 245
max(min)S =c1 x1 +c2 x2 + + cn xn
数 学 建 模 之 营 养 配 餐 问 题
a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn ≥ (=, ≤)b1 , a x + a x + + a x ≥ (=, ≤)b , 2n n 2 21 1 22 2 约束条件 ： a x + a x + + a x ≥ (=, ≤)b , mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x2 xn ≥ 0,
0.45x1 + 0.45x2 +1.05x3 + 0.40x4 + 0.50x5 + 0.50x6 ≥ 6
磷的需求量至少25个单位数： 磷的需求量至少25个单位数： 25个单位数
10x1 + 28x2 + 59x3 + 25x4 + 22x5 + 75x6 ≥ 25
维生素A的需求量至少17500个单位数： 维生素A的需求量至少17500个单位数： 17500个单位数
线性规划
数 学 建 模 之 营 养 配 餐 问 题
一、线性规划概念
定义1：规划的数学模型中如果满足： 定义 ：规划的数学模型中如果满足： 决策变量的线性函数 （1）目标函数是决策变量的线性函数； ）目标函数是决策变量的线性函数； （2）约束条件都是决策变量的线性等式或不 ）约束条件都是决策变量的线性等式或不 等式，则称该规划为线性规划. 等式，则称该规划为线性规划 1．线性规划的一般形式 ． 目标函数 ：
s.t
0.45x1 + 0.45x2 +1.05x3 + 0.40x4 + 0.50x5 + 0.50x6 ≥ 6, 10x1 + 28x2 + 59x3 + 25x4 + 22x5 + 75x6 ≥ 25, 415x1 + 9065x2 + 2550x3 + 75x4 +15x5 + 235x6 ≥17500, 8x1 + 3x2 + 53x3 + 27x4 + 5x5 + 8x6 ≥ 245, 0.30x1 + 0.35x2 + 0.60x3 + 0.15x4 + 0.25x5 + 0.80x6 ≥ 5, 0 ≤ x1 ≤ 40, 0 ≤ x2 ≤ 40, 0 ≤ x3 ≤ 40,
0 ≤ x4 ≤ 20, 0 ≤ x5 ≤ 40, 0 ≤ x6 ≤ 40.