线性规划数学模型
第二章线性规划模型
m
n
ai bj ,
i 1
j 1
又从产地 Ai到需求点 B j的单位运输成本为 cij , 求相应的运
输方案.
模型建立
设 xij表示从产地 Ai到需求点B j 的运输量, 则合适的运输
方案表现为
n
对产量的要求
xij ai
i 1, 2, ,m;
j 1
m
对需求量的要求 xij bj i 1
第五年 x54 1.0235x44 1.06x31,
投资收益函数为
z 1.06x41 1.215x23 1.165x32 1.0235x54.
由此得到该问题的数学模型
max z 1.06x41 1.215x23 1.165x32 1.0235x54,
s.t.x11 x14 120,
项目C: 于第二年的年初进行投资, 并于第五年的年末完成 成投资, 投资收益为21.5%, 投资额不超过40万； 项目D: 于每年的年初可进行投资, 并于当年末完成, 投资 收益为2.35%.
该公司现有资金120万, 试为该公司制定投资计划.
模型建立
以i 1, 2,3, 4,5代表年份, j 1, 2,3, 4分别表示4个项
0.1x1 0.3x2 0.9x3 1.1x5 0.2x6 0.8x7 1.4x8,
由此得到该问题的数学表达式:
min z 2.92x1 x2 x3 x4 200 2.12x2 x3 3x5 2x6 x7 200 1.5 x1 x3 3x4 2x6 3x7 4x8 200
3 2
x2
C
D
E
A
1
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型引言线性规划（Linear Programming, LP）是数学规划的一种方法，用于解决一类特殊的优化问题。
线性规划的数学模型可以表示为一个线性的目标函数和一系列线性约束条件。
本文将介绍线性规划的数学模型及其应用。
数学模型线性规划的数学模型可以用以下形式表示：最大化：$$ \\max_{x_1,x_2,...,x_n} Z=c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n $$约束条件：$$ \\begin{align*} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n&\\leq b_1 \\\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n &\\leq b_2 \\\\ &\\vdots \\\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n&\\leq b_m \\\\ x_1,x_2,...,x_n &\\geq 0 \\end{align*} $$其中，Z为目标函数的值，Z1,Z2,...,Z Z为目标函数的系数，Z1,Z2,...,Z Z为决策变量，Z ZZ为约束条件的系数，Z1,Z2,...,Z Z为约束条件的右侧常数。
线性规划的应用线性规划在实际问题中有广泛的应用，其应用领域包括但不限于以下几个方面：生产计划线性规划在生产计划中的应用是最为常见的。
通过建立适当的数学模型，可以最大化生产线的产能，同时满足客户需求和资源限制。
例如，一个工厂需要决定每个月生产的产品数量，以最大化利润。
这个问题可以通过线性规划来解决。
运输问题线性规划在运输问题中的应用也非常广泛。
运输问题涉及到将特定产品从供应地点运送到需求地点，以满足需求并尽量降低运输成本。
线性规划可以用来决定每个供应地点到每个需求地点的运输量，以最小化总运输成本。
资源分配在资源有限的情况下，线性规划可以用于优化资源的分配。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型线性规划是一种数学模型，被广泛应用于许多领域。
本文将介绍线性规划的数学模型的重要性和应用领域，并简要说明线性规划的定义和基本概念。
线性规划是一种优化问题的数学表述，其目的是在给定的约束条件下，找到使目标函数达到最大或最小的变量值。
线性规划的主要特点是目标函数和约束条件均为线性关系。
线性规划在工程、经济、物流、运输等领域都有广泛的应用。
它可以用来解决资源分配、生产计划、成本最小化、效益最大化等问题。
线性规划的数学模型可以通过建立目标函数和约束条件的数学表达式来表示。
这篇文档将深入探讨线性规划的数学模型，并介绍一些常见的线性规划应用案例。
通过了解线性规划的数学模型，读者可以更好地理解其背后的原理和应用。
希望本文能对读者在研究和实践中解决实际问题时提供帮助和指导。
本文将讨论如何构建线性规划模型，包括确定决策变量、目标函数和约束条件，以及如何将实际问题转化为数学模型。
决策变量在构建线性规划模型时，首先需要确定决策变量。
决策变量是用来表示决策问题中需要决定的未知量。
它们的取值将影响函数的输出结果。
在确定决策变量时，需要考虑问题的具体情况，并确保决策变量具有明确的定义和可行的取值范围。
目标函数确定决策变量后，下一步是确定目标函数。
目标函数是线性规划模型中需要最大化或最小化的函数。
它通常与问题的目标密切相关，并且能够量化问题的目标。
在确定目标函数时，需要考虑问题的特点和要求，确保目标函数能够准确地度量问题的目标。
约束条件除了目标函数，线性规划模型还包括一系列约束条件。
约束条件是对决策变量的限制和要求，用于限定决策变量的取值范围。
约束条件可以是等式或不等式，它们对问题的解产生了限制和约束。
在确定约束条件时，需要将问题的限制条件转化为数学形式，并确保约束条件与实际问题相符合。
实际问题转化为数学模型最后，将实际问题转化为数学模型是构建线性规划模型的关键步骤。
这需要理解问题的要求和限制，并将其转化为决策变量、目标函数和约束条件的数学表达式。
优化模型一：线性规划模型数学建模课件
混合整数线性规划问题求解
要点一
混合整数线性规划问题的复杂性
混合整数线性规划问题是指包含整数变量的线性规划问题 。由于整数变量的存在，混合整数线性规划问题的求解变 得更加困难，需要采用特殊的算法和技术来处理。
要点二
混合整数线性规划模型的求解方 法
为了解决混合整数线性规划问题，可以采用一些特殊的算 法和技术，如分支定界法、割平面法等。这些方法能够将 问题分解为多个子问题，并逐步逼近最优解，从而提高求 解效率。
目标函数的类型
常见的目标函数类型包括最小化、最大化等。
确定约束条件
约束条件
01
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为数学不等式
或等式。
确定约束条件的原则
02
根据问题的实际情况，选择能够反映问题约束条件的条件作为
约束条件。
约束条件的类型
03
常见的约束条件类型包括等式约束、不等式约束等。
线性规划模型的建立
也可以表示为
maximize (c^T x) subject to (A x geq b) and (x leq 0)。
线性规划的应用场景
生产计划
物流优化
在制造业中，线性规划可以用于优化生产 计划，确定最佳的生产组合和数量，以满 足市场需求并降低成本。
在物流和运输行业中，线性规划可以用于 优化运输路线、车辆调度和仓储管理，降 低运输成本和提高效率。
初始基本可行解
在线性规划问题中，一个解被称为基 本可行解，如果它满足所有的约束条 件。
在寻找初始基本可行解时，可以采用 一些启发式算法或随机搜索方法，以 快速找到一个可行的解作为起点。
初始基本可行解是线性规划问题的一 个起始点，通过迭代和优化，可以逐 渐逼近最优解。
线性规划问题及其数学模型
第一章线性规划问题及其数学模型一、问题旳提出在生产管理和经营活动中常常提出一类问题，即怎样合理地运用有限旳人力、物力、财力等资源，以便得到最佳旳经济效果。
例1 某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已知生产单位产品所需旳设备台时及A、B两种原材料旳消耗，如表1-1所示。
表1-1该工厂每生产一件产品I可获利2元，每生产一件产品II可获利3元，问应怎样安排计划使该工厂获利最多？这问题可以用如下旳数学模型来描述，设x1、x2分别表达在计划期内产品I、II旳产量。
由于设备旳有效台时是8，这是一种限制产量旳条件，因此在确定产品I、II旳产量时，要考虑不超过设备旳有效台时数，即可用不等式表达为：x1+2x2≤8同理，因原材料A、B旳限量，可以得到如下不等式4x1≤164x2≤12该工厂旳目旳是在不超过所有资源限量旳条件下，怎样确定产量x1、x2以得到最大旳利润。
若用z表达利润，这时z=2x1+3x2。
综合上述，该计划问题可用数学模型表达为：目旳函数 max z =2x 1+3x 2 满足约束条件 x 1+2x 2≤84x 1≤16 4x 2≤12 x 1、x 2≥0例2 某铁路制冰厂每年1至4季度必须给冷藏车提供冰各为15，20，25，10kt 。
已知该厂各季度冰旳生产能力及冰旳单位成本如表6-26所示。
假如生产出来旳冰不在当季度使用，每千吨冰存贮一种季度需存贮费4千元。
又设该制冰厂每年第3季度末对贮冰库进行清库维修。
问应怎样安排冰旳生产，可使该厂整年生产费用至少？解：由于每个季度生产出来旳冰不一定当季度使用，设x ij 为第i 季度生产旳用于第j 季度旳冰旳数量。
按照各季度冷藏车对冰旳需要量，必须满足：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++++33231343221242114144x x x x x x x x x x 。
，，，25201510==== 又每个季度生产旳用于当季度和后来各季度旳冰旳数量不也许超过该季度旳生产能力，故又有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++++33232213121143424144x x x x x x x x x x 。
线性规划问题的数学模型
工地 砖厂
运价
A1
A2
B1
B2
B3
50
60
70
60
110
160
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2
解：设 xi j表示由砖厂Ai 运往工地 Bj 砖的数量（i=1,2； j=1,2,3)
运量
工
地
B1
B2
B3
发量
砖厂
A1
x11
x12
x13
23
A2
x21
x22
x23
27
收量 17 18 15 50
⑵ 存在一定的限制条件，称为约束条件。这些约束条件 都可以用一组线性等式或不等式来表示。
⑶ 都有一个期望达到的目标，并且这个目标可以表示为 决策变量的线性函数（称为目标函数）。按所研究问题的不 同，要求目标函数值最大化或最小化。
我们将具有上述三个特点的最优化问题归结为线性规划问
题，其数学模型称为线性规划问题的数学模型，简称线性规划 数学模型。
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15
解：
x2 x1 + x2 = -2
x1
-x1 + x2 =1
没有可行解，当然没有最优解。
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16
第三节 单纯形法
（一）线性规划问题的标准形式
线性规划问题的数学模型有各种不同的形式。为了便于讨论，需要将线性 规划数学模型写成统一格式。
线性规划问题的标准型是：
4.配料问题
5.布局问题
6.分配问题
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1
（二）线性规划问题的数学模型
线性规划的数学模型和基本性质
月份 所需仓库面积 合同租借期限 合同期内的租费
1 15 1个月 2800
2 10 2个月 4500
3 20 3个月 6000
4 12 4个月 7300
2．线性规划数学模型
用数学语言描述
例1
项目
I
设备A（h）
0
设备B（h）
6
调试工序（h） 1
利润（元）
2
II
每天可用能力
5
15
2
24
1
5
1
解：用变量x1和x2分别表示美佳公司制造家电I和II的数量。
肯尼斯-J-阿罗（KENNETH J. ARROW）,美国人，因与约翰-希克 斯（JOHN R. HICKS）共同深入研究了经济均衡理论和福利理论获得 1972年诺贝尔经济学奖。
牟顿-米勒（MERTON M. MILLER）,1923-2000, 美国人,由于他在 金融经济学方面做出了开创性工作，于1990年获得诺贝尔经济奖。
1．线性规划介绍
线性规划研究的主要问题： 有一定的人力、财力、资源条件下，如何 合理安排使用，效益最高? 某项任务确定后，如何安排人、财、物， 使之最省?
2．线性规划数学模型
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各 制造一件时分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、 B设备和调试工序每天可用于这两种家电的能力、各售出 一件时的获利情况如表I—l所示。问该公司应制造A、B两 种家电各多少件，使获取的利润为最大？
2．线性规划数学模型
练习1 生产计划问题
A B 备用资源
煤12
30
劳动日 3 2
60
仓库 0 2
24
利润 40 50
线性规划概念与数学模型
约束条件的图解:
每一个约束不等式在平面直角坐标系中都 代表一个半平面，只要先画出该半平面的边 界，然后确定是哪个半平面。
怎么画边界
?
怎么确定 半平面
以第一个约束条件（工时）
x1+2 x2 8 为例 说明约束条件的图解过程。
如果全部的劳动工时都用来生产甲 产品而不生产
乙产品，那么甲产品的最大可能产量为8吨，计算
D
条件的边界－－
4
Q4
Q3
直线CD，EF: E
3
F
4x1 =16,4x2 =12
2
Q2 4x2 = 12
1
Q1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
B
C
x1+4x2 = 8
4x1=16
三个约束条件及非负条件x1,x2 0所代表的公共部分
－－图中阴影区，就是满足所有约束条件和非负条件的点的
集合，即可行域。在这个区域中的每一个点都对应着一个可
目标函数值递增的方向， 用箭头标出这个方向。 图中两条虚线 l1和l2就 分别代表 目标函数等值线 2x1+3x2=0 和 2x1+3x2=6, 箭头表示使两种产品的总 利润递增的方向。
5
l3
A4
E
B
3
l1 l2 2
1
1
2
D
F 4x1=12
Q2 4,2
x1+2x2 = 8
A
3
4
5
6
7
8
9
B
4x1=16 C
1 1
1 1
1 1
B1 1
4 , B2 1
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二、配料问题的数学模型
三、目标函数
⑴ 总产值(据表2-3) 产品X的产值: 50(x11+ x12 + x13 ) 产品Y的产值: 35(x21+ x22 + x23 ) 产品Z的产值: 25(x31+ x32 + x33 )
以上三项之和即总产值。
⑵ 总成本(据表2-4) 原料A的成本: 65(x11+ x21 + x31 ) 原料B的成本: 25(x12+ x22 + x32 ) 原料C的成本: 35(x13+ x23 + x33 )
二、约束条件
⑴ 规格约束(据表2-3)
x11 x11+ x12 + x13
≥ 0.50
x21 x11+ x12 + x13
≥ 0.25
j i
X Y Z
ABC
x11 x12 x13 x21 x22 x23 x31 x32 x33
x12 x11+ x12 + x13
x22 x11+ x12 + x13
≤ 0.25 ≤ 0.50
下面，结合若干个实际问题讨论数学模型的建 立。
5
一、投资问题的数学模型Βιβλιοθήκη 解（参见教材P15）6
二、配料问题的数学模型
解（参见教材P16）
二、配料问题的数学模型
某化工厂要用三种原料 A，B，C 混合配制三种不同规格
的产品 X，Y，Z。有关数据如下：
表2-3
表2-4
产品
X Y
规格
原料D不少于50% 原料P不超过25%
1 第二章 线 性 规 划（Linear Programming）
线性规划问题是目标函数和约束条件均为线性的最优化问题。 自从1947年丹捷格(Dantzig)提出求解线性规划的单纯形方法以 来，线性规划在理论上趋向成熟。特别是在计算机能处理成千 上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的 适用领域更为广泛，已成为现代管理中经常采用的基本方法之 一。线性规划是最优化问题中的重要领域之一，很多运筹学中 的实际问题都可以用线性规划来表述。很多其他种类的最优化 问题算法也都可以分拆成线性规划子问题，然后求解。
原料D不少于25% 原料P不超过50%
单价(元/kg)
50 35
原料
最大供量 (kg/天)
单价 (元/kg)
A 100
65
B 100
25
Z
不限
25
C 60
35
应如合配制，才能使利润达到最大？
二、配料问题的数学模型
一、决策变量
设以 xij 表示每天生产的 第i 种产品中所含第j 种原料 的数量(kg，右表)。
配料问题
原料 化学成分
成分含量(%)
甲
乙
产品成分 最低含量(%)
A
12
3
4
B
2
3
2
C
3
15
5
成本（元/千克） 3
2
z
x1
x2
min z = 3x1+2x2 12 x1 +3x2 ≥ 4 2 x1 +3x2 ≥ 2
s.t. 3 x1+15x2 ≥ 5 x1 +x2 = 1 x1 , x2 ≥ 0
配料平衡条件
以上三项之和即总成本。
二、配料问题的数学模型
目标函数为：
总利润 = 总产值 - 总成本
该问题的数学模型为:
max z =- -x1115x+11x+122+5xx1123+15x13-30x21+10x22-40x31≤-100x33
- x11+3x12 - x13
≤0
-3x21+x22 +x23
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三、人力资源问题的数学模型
解（参见教材P17）
三、人力资源问题的数学模型
练习： 某昼夜服务的公交线路每天各时间段内 所需司机和乘务人员人数如下表所示：
班次 1 2 3 4 5 6
时间 6:00——10:00 10:00——14:00 14:00——18:00 18:00——22:00 22:00——2:00 2:00——6:00
线性规划要研究的两类问题中都有一个限制条件：第 一类问题是给出一定量的人力、物力和财力等资源； 第二类问题是给定一项任务。
4
第二节 线性规划问题的数学模型
当用线性规划的方法对实际问题进行优化时， 必须把这个实际问题用恰当的数学形式表达出 来，这个表达的过程，就是建立数学模型的过 程。数学模型的建立需要经验和技巧以及有关 的专业知识，只有通过大量的实践，在建立模 型时才能得心应手。初学时可从题目中所给出 的限制条件和目标入手，由限制条件建立起线 性方程组，由目标得到目标函数。
通过学习本章，应当了解线性规划的有关概念，掌握线性规划 模型的建立及优化方法，会用计算机对大型线性规划模型问题 进行求解和分析。本章的难点为单纯形计算方法。
2
第一节 线性规划问题的提出
线性规划是运筹学的一个重要分支，主要用于研究解 决有限资源的最佳分配问题，即如何对有限资源做出 最佳方式的调配和最有利的使用，以便最充分地发挥 资源的效能，以获取最佳经济效益。
≤0
s.t. x11
x21+x22 - x23
+x21
+x31
≤0 ≤ 100
x12
+x22
+x32 ≤ 100
x13
+x23
+x33≤ 60
xij ≥ 0， i = 1, 2, 3； j = 1, 2, 3
配料问题
练习： 某化工厂根据一项合同要为用户生产一种用 甲、乙两种原料混合配制而成的特殊产品。甲、乙 两种原料都含有A，B，C三种化学成分，其含量 (%)是:甲为12，2， 3；乙为3，3，15。按合同规 定，产品中三种化学成分的含量(%)不得低于4，2， 5。甲、乙原料成本为每千克3，2元。厂方希望总 成本达到最小，则应如何配制该产品？
二、配料问题的数学模型
改写成
- x11 + x12 + x13 ≤ 0 - x11+ 3x12 -x13 ≤ 0 -3x21 +x22 + x23 ≤ 0
x21 +x22 - x23 ≤ 0
⑵ 资源约束(据表2-4)
x11+ x21 + x31 ≤ 100 x12+ x22 + x32 ≤ 100 x13+ x23 + x33 ≤ 60
它的适用领域非常广泛，从工业、农业、商业、交通 运输业、军事的计划和管理及决策到整个国民经济计 划的最优方案的提出，都有它的用武之地，是现代管 理科学的重要基础和手段之一。
3
第一节 线性规划问题的提出
线性规划研究的问题主要有以下两类。
(1) 给出一定量的人力、物力、财力等资源，如何统筹 规划这些有限资源完成最大任务。（如资金、设备、原标 材料、人工、时间等） (2) 给定一项任务，如何运筹规划，合理安排，以最少 资源来完成它。（如产品量最多 、利润最大.）