三相永磁同步电机(PMSM)矢量控制建模与仿真
MATLABSIMULINK永磁同步电机矢量控制系统仿真
MATLABSIMULINK永磁同步电机矢量控制系统仿真一、本文概述随着电机控制技术的快速发展，永磁同步电机（Permanent Magnet Synchronous Motor, PMSM）在工业、交通和能源等领域的应用越来越广泛。
矢量控制作为PMSM的一种高效控制策略，能够实现对电机转矩和磁链的精确控制，从而提高电机的动态性能和稳态性能。
然而，在实际应用中，矢量控制系统的设计和调试过程往往复杂且耗时。
因此，利用MATLAB/Simulink进行永磁同步电机矢量控制系统的仿真研究，对于深入理解矢量控制原理、优化控制策略以及提高系统性能具有重要意义。
本文旨在通过MATLAB/Simulink平台，建立永磁同步电机矢量控制系统的仿真模型，并对其进行仿真分析。
本文将对永磁同步电机的基本结构和数学模型进行介绍，为后续仿真模型的建立提供理论基础。
本文将详细阐述矢量控制策略的基本原理和实现方法，包括坐标变换、空间矢量脉宽调制（SVPWM）等关键技术。
在此基础上，本文将利用MATLAB/Simulink中的电机控制库和自定义模块，搭建永磁同步电机矢量控制系统的仿真模型，并对其进行仿真实验。
本文将根据仿真结果，对矢量控制系统的性能进行分析和评价，并提出优化建议。
通过本文的研究，读者可以全面了解永磁同步电机矢量控制系统的基本原理和仿真实现方法，为后续的实际应用提供有益的参考和指导。
本文的研究结果也为永磁同步电机控制技术的发展和应用提供了有益的探索和启示。
二、永磁同步电机数学模型永磁同步电机（Permanent Magnet Synchronous Motor, PMSM）是一种高性能的电机，广泛应用于各种工业领域。
为了有效地对其进行控制，我们需要建立其精确的数学模型。
PMSM的数学模型主要包括电气方程、机械方程和磁链方程。
PMSM的电气方程描述了电机的电压、电流和磁链之间的关系。
在dq旋转坐标系下，电气方程可以表示为：V_d &= R_i I_d + \frac{d\Phi_d}{dt} - \omega_e \Phi_q \ V_q &= R_i I_q + \frac{d\Phi_q}{dt} + \omega_e \Phi_d其中，(V_d) 和 (V_q) 分别是d轴和q轴的电压；(I_d) 和 (I_q) 分别是d轴和q轴的电流；(\Phi_d) 和 (\Phi_q) 分别是d轴和q轴的磁链；(R_i) 是定子电阻；(\omega_e) 是电角速度。
永磁同步交流电机矢量控制系统的离散模型与连续模型
永磁同步交流电机矢量控制系统的离散模型与连续模型摘要本文主要探讨了永磁同步交流电机（P MSM）矢量控制系统的离散模型与连续模型。
首先介绍了PM SM的基本原理和矢量控制的背景，然后详细讲解了P MS M的离散模型和连续模型的建立方法，并给出了具体的数学公式和推导过程。
最后通过仿真实例对比了离散模型和连续模型之间的性能差异，验证了模型的有效性。
1.引言随着现代工业的发展和对高性能电机的需求，永磁同步交流电机成为了越来越重要的一种电机类型。
矢量控制是目前最常用的永磁同步电机控制方法之一，它通过精确控制电机的电流和转子位置，实现了电机的高效能运行。
在矢量控制系统中，离散模型和连续模型是两种常见的模型表示方法，本文将对它们进行详细介绍和比较。
2.永磁同步交流电机的基本原理和矢量控制背景2.1永磁同步交流电机的基本原理永磁同步交流电机是一种利用永磁体产生磁场，与电动机转子上的磁场进行交互作用，从而实现转矩输出的电机。
它具有高效率、高功率密度和响应速度快等特点，广泛应用于工业领域。
2.2矢量控制背景矢量控制是控制电机转子磁场和电流矢量，使得电机具有类似直流电机的性质，从而实现高效率和高性能的控制方法。
通过矢量控制，可以实现电机转速和转矩的精确控制，提高电机的响应速度和运行效率。
3.离散模型的建立3.1离散模型的基本原理离散模型是将连续时间系统转化为离散时间系统的一种模型表示方法。
对于永磁同步交流电机的离散模型，我们需要确定离散化的采样周期和采样时间间隔。
3.2离散模型的建立方法通过对永磁同步交流电机的连续模型进行数学推导和离散化处理，可以得到其离散模型。
离散模型包括转子位置和速度估计等关键参数，它们是实现矢量控制的基础。
4.连续模型的建立4.1连续模型的基本原理连续模型是对永磁同步交流电机系统在连续时间范围内的一种精确描述。
通过对电机的物理特性和运动方程进行建模，可以得到其连续模型。
4.2连续模型的建立方法利用电机的动态方程和瞬时功率平衡方程，可以推导出永磁同步交流电机的连续模型。
三相永磁同步电机空间矢量控制simulink模型
三相永磁同步电机空间矢量控制simulink模型一、引言（约100字）三相永磁同步电机是一种高效、节能的电机类型，在工业和家庭应用中广泛使用。
空间矢量控制是一种高级的控制算法，可以提高电机的性能和效率，在电机控制领域得到广泛应用。
本文将介绍三相永磁同步电机空间矢量控制的simulink模型。
二、三相永磁同步电机基本原理和特点（约200字）三相永磁同步电机是一种直流磁场产生于定子中的电机，具有饱和磁通密度高、磁滞小、反应时间快的特点。
其工作原理是利用电磁场的运动作用于永磁体上，从而驱动电机转动。
该电机的特点是具有高效、高精度、高性能的特点，在众多应用领域被广泛使用。
三、空间矢量控制算法原理（约200字）空间矢量控制是一种高级的电机控制算法，其主要思想是通过将电机的相电压和相电流转换为坐标系中的矢量量进行控制。
通过控制这些矢量的大小和方向，可以实现对电机的转矩和转速精确控制。
该算法通过综合利用正弦波电压和直流矢量控制，可以实现在高转速和低转速下电机的高效工作。
四、simulink模型设计与实现（约300字）在simulink软件中，可以利用其强大的模拟仿真功能来构建三相永磁同步电机空间矢量控制模型。
首先，通过引入相电压和相电流的模块，将输入转化为坐标系中的矢量量。
然后，设计电机的动态方程和转速反馈控制模块，并将其连接到电机系统模块中。
最后，通过在控制系统中添加PID控制器，对电机进行精确控制。
五、模型验证与实验结果（约200字）通过利用simulink模型对三相永磁同步电机空间矢量控制进行仿真，可以得到电机在不同工作条件下的性能指标。
通过改变电机控制器中的参数，可以调整电机的转矩和转速。
通过与实际实验结果对比分析，可以验证模型的准确性和实用性。
六、结论（约100字）通过simulink模型的构建和仿真实验，证明了三相永磁同步电机空间矢量控制算法的有效性和可行性。
该算法可以实现对电机转矩和转速的精确控制，提高电机性能和效率。
永磁同步电机矢量控制matlab仿真
永磁同步电机矢量控制matlab仿真永磁同步电机（Permanent Magnet Synchronous Motor, PMSM）的矢量控制（也称为场向量控制或FOC）是一种先进的控制策略，用于优化电机的性能。
这种控制方法通过独立控制电机的磁通和转矩分量，实现了对电机的高性能控制。
在MATLAB中，你可以使用Simulink和SimPowerSystems库来模拟永磁同步电机的矢量控制。
以下是一个基本的步骤指南：1.建立电机模型：使用SimPowerSystems库中的Permanent Magnet SynchronousMachine模型。
你需要为电机提供适当的参数，如额定功率、额定电压、额定电流、极对数、转子惯量等。
2.建立控制器模型：矢量控制的核心是Park变换和反Park变换，用于将电机的定子电流从abc坐标系变换到dq旋转坐标系，以及从dq坐标系变换回abc坐标系。
你需要建立这些变换的模型，并设计一个适当的控制器（如PI控制器）来控制dq轴电流。
3.建立逆变器模型：使用SimPowerSystems库中的PWM Inverter模型。
这个模型将控制器的输出（dq轴电压参考值）转换为逆变器的开关信号。
4.连接模型：将电机、控制器和逆变器连接起来，形成一个闭环控制系统。
你还需要添加一个适当的负载模型来模拟电机的实际工作环境。
5.设置仿真参数并运行仿真：在Simulink的仿真设置中，你需要设置仿真时间、步长等参数。
然后，你可以运行仿真并观察结果。
6.分析结果：你可以使用Scope或其他分析工具来查看电机的转速、定子电流、电磁转矩等性能指标。
这些指标可以帮助你评估控制算法的有效性。
请注意，这只是一个基本的指南，具体的实现细节可能会因你的应用需求和电机参数而有所不同。
在进行仿真之前，建议你仔细阅读相关的文献和教程，以便更好地理解永磁同步电机的矢量控制原理。
基于matlab永磁同步电机控制系统建模仿真方法
基于matlab永磁同步电机控制系统建模仿真方法摘要：永磁同步电机是一种高效率、高可靠性的电机，被广泛应用于各种工业和商业领域。
为了实现永磁同步电机的精确控制，需要建立一个完备的控制系统，通过控制系统对电机进行控制。
本文基于matlab平台，介绍了永磁同步电机控制系统的建模方法和仿真方法，帮助读者深入了解永磁同步电机控制系统的原理和实现方法。
关键词：永磁同步电机；控制系统；建模；仿真正文：一、永磁同步电机的基本原理永磁同步电机是一种特殊的交流电机，其转子上固定有永磁体，因此具有高效率、高功率密度、高转速、高精度控制等优点。
在永磁同步电机的控制系统中，通常采用矢量控制方式，以实现对电机的精确控制。
二、永磁同步电机控制系统的建模方法为了实现对永磁同步电机的精确控制，需要建立一个完备的控制系统。
在matlab平台上，可以使用Simulink工具箱快速构建永磁同步电机的控制系统。
1. 建立电机模型在Simulink中，使用Simscape Electrical工具箱，可以快速建立永磁同步电机的电路模型。
在建立电机模型时，需要设置电机的参数，如电感、电阻、永磁体磁通等。
2. 建立控制系统模型在建立控制系统模型时，需要考虑控制策略、控制器类型、控制器参数等因素。
常用的控制策略包括速度环控制、电流环控制、位置环控制等。
在控制器类型方面，常用的控制器包括PID控制器、模糊控制器、神经网络控制器等。
其中，PID控制器是最常用的控制器类型之一，具有简单易用、性能稳定等优点。
3. 建立仿真模型在建立仿真模型时，需要将电机模型和控制系统模型进行连接，并设置仿真参数，如仿真时间、仿真步长等。
通过仿真模型，可以对永磁同步电机控制系统进行性能分析、控制策略优化等。
三、永磁同步电机控制系统的仿真方法在建立永磁同步电机控制系统的仿真模型后，可以通过仿真方法对电机的性能进行分析和优化。
1. 性能分析通过仿真模型，可以分析电机的速度响应、转矩响应、电流响应等性能指标。
永磁同步电机矢量控制系统的VisSim建模与仿真
第11卷 第5期2007年9月电 机 与 控 制 学 报EL EC TR IC MACH I N ES AND CON TROLVol 111No 15Sep.2007永磁同步电机矢量控制系统的VisSi m 建模与仿真李红伟, 王洪诚(西南石油大学电子信息工程学院,四川成都610500)摘 要:为了研究正弦波永磁同步电机(以下简写SP MS M )的调速性能,依据SP MS M 的d 2q 20轴数学模型,采用运动控制仿真软件V isSi m /Moti on 建立了SP MS M 的仿真模型,并在V isSi m 仿真环境下基于所建立的模型构建了SP MS M 的转子磁场定向矢量控制系统。
通过仿真表明,在双闭环(速度环采用P I 控制,电流环采用滞环控制)控制下,矢量控制系统响应迅速,稳态性能好,验证了所设计的控制算法;同时,也证明了所建立的SP MS M 模型的有效性,为永磁同步电机控制系统设计和调试提供了新的方法和思路。
关键词:正弦波永磁同步电机;矢量控制;建模;仿真中图分类号:T M341文献标识码:A文章编号:1007-449X (2007)05-0533-05M odeli n g and si m ul ati on of vector control syste m for per manentmagnet synchronous motor based on VisSi mL I Hong 2wei, WANG Hongvcheng(Electr on and I nfor mati on Engineering I nstitute,South west Petr oleu m University,Chengdu 610500,China )Abstract:I n order t o study the s peed contr ol perfor mance of sine 2wave per manent magnet synchr onousmot or (SP MS M in brief ),SP MS M si m ulati on model was p r oposed in V isSi m /Moti on based on d 2q 20axis mathe matical model of the SP MS M.And the r ot or 2flux 2oriented vect or contr ol syste m of SP MS M was als o intr oduced in V isSi m based on the SP MS M model .Si m ulati on results indicate that the vect or contr ol sys 2te m has high dyna m ic and static perfor mance by adop ting the double l oop contr ol,in which the s peed l oop used a P I contr oller and the current l oop used a hysteresis current contr oller .The results als o p r ove the validity of the SP MS M model and p r ovide the ne w methods and ideas t o design and adjust the per ma 2nent magnet synchr onous mot or contr ol syste m.Key words:sine 2wave per manent magnet synchr onous mot or;vect or contr ol;modeling;si m ulati on收稿日期:2007-05-28基金项目:四川省高校重点实验室“测控技术与自动化”基金资助项目(No .S wpudx0607)作者简介:李红伟(1977-),男,硕士,讲师,研究方向为电动机调速控制、电气控制和电气信号数据采集;1 引 言永磁同步电动机(P MS M )构成的伺服系统与异步电动机伺服系统相比具有惯性低、转差为零、无转子损耗和发热问题,节能高效、静态性能良好、动态响应快等优点,因此被越来越广泛地应用于各种伺服驱动中,而如何建立有效的仿真模型具有十分重要的意义[1,2]。
基于MATLAB永磁同步电动机矢量控制系统的仿真研究
基于MATLAB永磁同步电动机矢量控制系统的仿真研究永磁同步电动机（Permanent Magnet Synchronous Motor，PMSM）是一种应用广泛的高性能电机。
在工业领域，PMSM通常采用矢量控制方法来实现精确的速度和位置控制。
本文基于MATLAB对PMSM矢量控制系统进行仿真研究，探讨其工作原理及性能。
首先，PMSM的矢量控制系统由控制器、电机和传感器三部分组成。
其中，控制器根据电机的反馈信号和期望输出来计算电机的控制信号。
传感器用于测量电机的转速、位置和电流等参数，反馈给控制器。
通过调节控制信号，控制器可以实现电机的速度和位置控制。
在PMSM的矢量控制系统中，通常采用dq轴矢量控制方法，将三相电流转换为直流参考轴和旋转参考轴的dq坐标系，进而对电机进行控制。
其次，本文利用MATLAB软件对PMSM矢量控制系统进行了仿真实验。
首先，建立了PMSM电机的数学模型，包括电机的动态方程、反电动势方程和电流方程。
然后，在MATLAB环境中编写程序，实现电机模型的数值求解和控制算法的计算。
通过调节控制参数，可以对电机的速度和位置进行精确控制，并实时监测电机的工作状态。
在仿真实验中，通过改变电机的负载情况、工作电压和控制参数等条件，分析了PMSM矢量控制系统的性能。
实验结果表明，当负载增加时，电机的转动惯量增大，控制系统的响应时间变长，但依然可以实现精确的速度和位置控制。
当电机的工作电压增加时，电机的输出功率和转速增大，但也会产生更大的电流和损耗。
当控制参数的比例增益和积分时间常数变化时，系统的稳定性和动态性能均会受到影响，需要进行合理的调节。
总结起来，本文基于MATLAB对PMSM矢量控制系统进行了仿真研究，探讨了其控制原理和性能。
通过仿真实验，可以深入理解PMSM矢量控制系统的工作原理，优化系统的参数和性能，并为实际应用提供参考。
PMSM矢量控制仿真及截图
1.转速以斜坡方式从0转/分逐渐到2000转/分，转矩不变时的波形图见图1：
图1
2.转速以阶跃方式从500转/分突变到-500转/分，转矩不变时的波形图见图2：
图2
3.以恒定500转/分的转速运行，转矩不变时的波形图见图3：
图3
4. 以恒定500转/分的转速运行，转矩从10变为20时的波形见图4：
图4
5.仿真图基本上是按照TI所给框图的基础上绘制的，有一下几点注意事项：
1）对于svpwm模块各个步骤详细参考TI的svgen_dq.pdf文档，讲解很详细；其中的Udc 与TI资料有些差异，其实质一样，因为TI已经将Udc除到其他值上进行标准化了。
2）三个PID模块只用P和I功能，其中两个电流PI模块的参数相同。
故调节PI参数工作量一般。
3）对于gain2模块，其作用是进行速度单位转换。
4）对于Demux1模块的输出thetam，其之后的变换是设定好的，具体再查询相关资料。
5）永磁同步电机的参数可以修改，但是没必要修改，因为实际的PI参数与实际值的差距挺大,参考价值不高。
6）Demux1模块的wm为输出的角速度；thetam为机械角度。
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目录1 引言 (1)1.1 课题的背景与意义 (1)1.1.1 课题背景 (1)1.1.2 课题意义 (1)1.2 永磁电机发展概况 (1)2 机电能量转换和拉格朗日方程 (2)2.1 机电能量转换 (2)2.2 三相同步电机电磁转矩 (7)2.3 拉格朗日方程 (9)3 三相永磁同步电机的数学模型 (11)3.1 三相PMSM的基本数学模型 (11)3.2 三相PMSM的坐标变换 (13)3.2.1 Clark变换 (13)3.2.2 Park变换 (14)3.3 同步旋转坐标系下PMSM的数学模型 (14)4 三相永磁同步电机的矢量控制 (16)4.1 转速环PI调节器的参数整定 (16)4.2 电流环PI调节器的参数整定 (17)4.3 三相PMSM矢量控制系统的仿真 (19)4.3.1 仿真建模 (19)4.3.2 仿真结果分析 (22)总结 (23)参考文献 (23)三相永磁同步电机矢量控制建模与仿真摘要：永磁同步电机具有体积小、效率和功率因数高等优点，因此越来越多的应用在各种功率等级的场合。
永磁同步电机的控制是永磁同步电机应用的关键技术，永磁同步电机的结构特点使得采用矢量控制系统有很大的优势。
本文首先分析了永磁同步电机矢量控制的发展概况，然后从机电能量转换的角度出发，解释三相永磁同步电机的机电能量转换原理，推导拉格朗日运动方程。
此外，列写出永磁同步电机在三相静止坐标系和dq坐标系下的数学模型。
基于Simulink建立了转速电流双闭环矢量控制系统的仿真模型，通过对仿真结果分析，验证了永磁同步电机矢量控制系统性能的优越性。
关键词：永磁同步电机，矢量控制，Simulink1 引言1.1 课题的背景与意义1.1.1 课题背景交流电机的控制性能在磁场定向矢量控制技术提出后才有了质的飞跃。
磁场定向矢量控制技术采用的是励磁电流和转矩电流的解稱控制，兼顾磁场和转矩的控制，克服了交流电机自身耦合的缺点。
永磁同步电机与普通电流励磁电机相比，具有电机转子磁极的位置易于检测，其坐标变换算法相对简单的优点，因此交流调速的矢量控制理论在永磁同步电机的控制领域也得到了广泛应用。
近年来，随着高性能永磁材料的广泛应用，电机控制技术与电力电子技术的快速发展，直接驱动的牵引电机永磁同步牵引电机成为研究领域的热点。
和异步电机与直流电机相比，永磁同步牵引电机具有转矩密度高，极对数多的一些特点，同功率的永磁同步牵引电机质量和体积都大幅减小。
1.1.2 课题意义与传统的交流同步电机、直流电机、交流异步电机三种电机形式相比较，永磁式同步电机有体积小、重量轻、控制简单等优点，因此在各种功率等级的场合得到越来越多的应用。
永磁同步电机的控制是永磁同步电机应用的关键技术，矢量控制又是应用最普遍的、性能优良的一种控制方式。
因此，对永磁同步电机的矢量控制分析，具有很重要的理论研究意义和实用价值。
在这种背景下，本文致力丁研究永磁同步电机矢量控制技术。
通过对永磁同步电机结构、数学模型以及矢量控制实现方式的研究来深入理解永磁同步电机矢量控制思想。
1.2 永磁电机发展概况在上世纪30年代，人工铝镍钴合金永磁材料在美国贝尔公司问世，铁氧体永磁材料于50年代产生，高性能稀土永磁材料于60年代产生，NdFeB永磁材料也相继于80年代问世。
然后很快被用在永磁同步电机中，新型NdFeB曲柄电动机，外壳轻薄，电动机的体积和重量都只有以前的一半。
NdFeB无齿电动机，与一般的稀土钐钴电动机相比较，新型NdfeB无刷直流电动机的性价比更高。
日本、美国相继是对NdFeB永磁电机试验和运用最早的国家之一，在医院、军事、汽车等方面都有所运用。
中国是世界上稀土资源最丰富的国家，于1965年开始，先后研制出各种类型的永磁式电机。
目前，永磁电机的输出功率大至1MW 左右，小至毫瓦级，覆盖了各个功率范围。
已能满足用永磁同步牵引电机，做成的动力分散式动车的牵引电机（一般为300-500kW ）功率要求。
如何发展和优化现在的各类永磁电机，尤其是研制出高性能、低价格的永磁同步电机是各国发展的方向。
2 机电能量转换和拉格朗日方程2.1 机电能量转换对于图2-1所示的电磁装置，当线圈A 和B 分别接到电源上时，只能进行电能和磁能之间的转换，改变电流A i 和B i ，只能增加或减少磁场能量，而不能将磁场能量转换为机械能，也就无法将电能转换为机械能。
这是因为装置是静止的，其中没有运动部分。
亦即，若将磁场能释放出来转换为机械能，前提条件就是要有可运动部件。
现将该电磁装置改装为如图2-2所示的机电装置，此时相当于在均匀气隙δ中加装一个也由铁磁材料构成的转子，再将线圈B 嵌放在转子槽中，成为转子绕组，而线圈A 成为了定子绕组（由两个线圈串联而成，总匝数仍为A N ），且有A B N N =。
定、转子间单边气隙长度为g ，总气隙δ=2g 。
图2-1双线圈励磁的铁心 图2-2具有定、转子绕组和气隙的机电装置为简化计，忽略定、转子铁心磁路的磁阻，这样磁场能量就全部储存在两个气隙中。
图2-2中，给出了绕组A 和B 中电流的正方向。
当电流A i 为正时，产生的励磁磁场其方向由上至下，且假定在气隙中为正弦分布(或取其基波磁场)，将该磁场磁感应强度幅值所在处的径向线称为磁场轴s 。
同理，将正向电流B i 产生的基波磁场轴线定义为转子绕组轴线r 。
取s 轴为空间参考轴，电角度r θ为转子位置角，因r θ是以转子逆时针旋转而确定的，故转速正方向应为逆时针方向，电磁转矩正方向应与转速正方向相同，也为逆时针方向。
因气隙均匀，故转子在旋转时，定、转子绕组励磁电感mA L 和mB L 保持不变，又因线圈A 和B 的匝数相同，故有mA mB L L =。
但是，此时绕组A 和B 间的互感AB L 不再是常值，而是转子位置r θ的函数，对于基波磁场而言，可得()AB r L θ和()BA r L θ为()()AB r BA r AB r cos L L M θθθ== （2-1）式中，AB M 为互感最大值（AB 0M >）。
当定、转子绕组轴线重合时，绕组A 和B 处于全耦合状态，两者间的互感AB M 达到最大值，显然有AB AB BA M L L ==。
与图2-1所示的电磁装置相比，在图2-2所示的机电装置中，磁能m W 不仅是A ψ和B ψ的函数，同时又是转角r θ的函数；磁共能'm W 不仅为A i 和B i 的函数，同时还是r θ的函数，即有()()m m A B r ''m m A B r ,,,,W W W W i i ψψθθ==于是，由于磁链和转子位置变化而引起的磁能变化m d W （全微分）应为m m m m A B r A B rd d d d W W W W ψψθψψθ∂∂∂=++∂∂∂ （2-2） 又对于图 2-1 所示的电磁装置有()A Bm A B A B 00,d +d W i i ψψψψψψ=⎰⎰，可将式（2-2）改写为m m A A B B r rd d d d W W i i ψψθθ∂=++∂ （2-3a ） 式（2-3a ）中第三项是由转子角位移引起的磁能变化。
这就是说，由于转子的运动引起了气隙储能变化，在磁场储能变化过程中，将部分磁场能量转化为了机械能。
同理，由于定、转子电流和转子位置变化而引起的磁共能变化'm d W （全微分）可表示为''''m m m m mA B r A A B B r A B r r d d d d d d d W W W W W i i i i i i θψψθθθ∂∂∂∂=++=++∂∂∂∂ （2-3b ）设想在d t 时间内转子转过一个微小的电角度r d θ（虚位移或实际位移），这会引起磁能的变化，同时转子上将受到电磁转矩e T 的作用，电磁转矩为克服机械转矩所做的机械功mech d W 为mech e r d d W T θ=。
根据能量守恒原理，机电系统的能量关系应为e m mech m e r d d d d d W W W W T θ=+=+ （2-4）式（2-4）中，等式左端第一项为d t 时间内输入系统的净电能，等式右端第一项为d t 时间内磁场吸收的总磁能，这里忽略了铁心磁路的介质损耗（不计铁磁材料的涡流和磁滞损耗）。
将式（2-3a ）代入式(2-4)，则有m m e r e m A A B B A A B B r r r rd d d d d d d d d W W T W W i i i i θψψψψθθθθ⎛⎫∂∂=-=+-++=- ⎪∂∂⎝⎭（2-5） 于是可得()m A B r e r,,W T ψψθθ∂=-∂ （2-6） 式（2-6）表明，当转子因微小角位移引起系统磁能变化时，转子上将受到电磁转矩作用，电磁转矩方向应为在恒磁链下倾使系统磁能减小的方向。
这是以两绕组磁链和转角为自变量时的转矩表达式。
由'm mA AB B d d W W i i ψψ+=+同时可得 ()()'e r e m A A B B A A B B m 'A AB B m d d d d d d d d d T W W i i i i W i i W θψψψψψψ=-=+-+-=-++ （2-7）将式（2-3b ）代入式（2-7），则有()'m A B r e r,,W i i T θθ∂=-∂ （2-8） 式（2-8）表明，当转子因微小位移引起系统磁共能发生变化时，会受到电磁转矩的作用，转矩方向应为在恒定电流下使系统磁共能增加的方向。
应该指出，式（2-6）和（2-8）对线性和非线性磁路均适用，具有普遍性。
再有，式（2-6）和（2-8）中，当m W 和'm W 对r θ求偏导数时，令磁链或电流为常值，这只是因自变量选择带来的一种数学约束，并不是对系统实际的电磁约束。
忽略铁心磁路磁阻，图2-2所示机电装置的磁场储能可表示为()'22m m A A AB r A B B B 1122W W L i L i i L i θ==++ （2-9） 其中互感AB L 为转角r θ的函数，此时磁场储能将随转子位移而变化。
显然，对于式（2-9），利用磁共能求取电磁转矩更容易。
将式（2-9）代入式（2-8），可得()AB r e A B A B AB r rsin L T i i i i M θθθ∂==-∂ （2-10） 对于图2-2所示的转子位置，电磁转矩方向应使r θ减小，使磁共能'm W 增加，因此实际转矩方向为顺时针方向。
在图2-2中，已设定电磁转矩正方向为逆时针方向，在如图所示的时刻，式（2-10）给出的转矩值为负值，说明实际转矩方向应为顺时针方向。