2014-2015学年度高三理科数学测试题(3)

2014-2015学年度第二学期高三理科数学测试题(3)一、选择题：1．设集合}021|{≤-+=x x x M ，}212|{>=x x N ，则M N =（ ） A ．),1(+∞- B ．)2,1[- C ．)2,1(- D ．]2,1[-2．已知,αβ角的终边均在第一象限，则“αβ>”是“sin sin αβ>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．若ABC ∆的内角A 满足,322sin =A 则=+A A cos sin ( ) A ．35 B ．35- C ．315 D ．315- 4.已知0x >，0y >，x a b y ，，，成等差数列，x c d y ，，，成等比数列，则2()a b cd+的最小值是（ ）.A 0 .B 1 .C 2 .D 45.已知向量a 与b 的夹角为120︒，3a =，13a b +=，则b = （ ）.A 5 .B 4 .C 3 .D 16．已知函数),)(4(sin 21)(2R x x x f ∈--=π下面结论中错误的是( )A ．函数)(x f 的最小正周期为πB ．函数)(x f 的图像关于原点对称C ．函数)(x f 的图像关于直线4π=x 对称 D ．函数)(x f 在]2,0[π上是增函数7．如图，矩形ABCD 中，已知,2=AD ,2≥AB E 为AD的中点，P 是AB 边上的动点，设,x AP = 那么当DPE ∠tan 取得最大值时，=x ( )A ．2B ．3C ．2D ．1 8．设向量),(21a a a =，),(21b b b =，定义一种向量积：),(),(),(22112121b a b a b b a a b a =⊗=⊗．已知向量)4,21(=m ，)0,6(π=n ，点P 在cos y x =的图象上运动，点Q 在()y f x =的图象上运动，且满足n OP m OQ +⊗=（其中O 为坐标原点），则()y f x =在区间]3,6[ππ上的最大值是（ ）A ．2B ．22C ．23D ． 4.AED C BO第15题图二、填空题：(本大题共７小题，作答６小题，每小题5分.) （一）必做题（9～13题） 9．函数21()log 1f x x =-的定义域为 。

10．执行如图所示的程序框图，输入N 的值为2013，则输出S 的值是____．11．已知函数()()314,1log ,1a a x a x f x x x -+<⎧⎪=⎨≥⎪⎩在R 是单调函数．．．．．， 则实数a 的取值范围是 。

12．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-0101y y x y x 表示的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，若向E 中随机投一点，则所投点落在D 中的概率是 .13. 给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定______条不同的直线.（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+==θθsin 22cos 2y x θ(为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的圆心的极坐标是__________,圆的极坐标方程为___________________.15. (几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上, 延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若6AB =,2ED =,则BC =_________.三,解答题.16．（本小题满分12分）已知向量),sin ,(sin B A m =),cos ,(cos A B n =,2sin C n m =⋅且C B A 、、分别为ABC ∆的三边c b a 、、所对的角．(1)求角C 的大小；(2)若B C A sin ,sin ,sin 成等差数列，且,18)(=-⋅AC AB CA 求c ．17．（本小题满分12分）某化工集团在靠近某河流修建两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为500万立方米／天，在两个化工厂之间还有一条流量为200万立方米／天的支流并入大河（如图）．第一化工厂每天排放含有某种有害物质的工业废水2万立方米；第二化工厂每天排放这种工业废水1.4万立方米，从第一化工厂排出的工业废水在流到第二化工厂之前，有20%可自然净化．环保要求：河流中工业废水的含量应不大于0.2%，因此，这两个工厂都需各自处理部分的工业废水，第一化工厂处理工业废水的成本是1000元／万立方米，第二化工厂处理工业废水的成本是800元／万立方米．试问；在满足环保要求的条件下，两个化工厂应各自处理多少工业废水，才能使这两个工厂总的工业废水处理费用最小?18．（本小题满分14分）数列{}n a 首项11a =，前n 项和n S 与n a 之间满足22 (2)21n n n S a n S =≥-.⑴求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； ⑵求数列{}n a 的通项公式；⑶设存在正整数k ，使()()()1211121n S S S kn +++≥+对+∈∀N n 都成立，求k 的最大值.19．（本小题满分14分）如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,A C A B 上的点,2CD BE ==,O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中3A O '=.(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ；(Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为322.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.(Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值. 21．（本小题满分14分）已知函数)ln ()(2x x a x x f ++=，0>x ，R a ∈是常数．（1）求函数)(x f y =的图象在点()()1 , 1f 处的切线方程；（2）若函数)(x f y =图象上的点都在第一象限，试求常数a 的取值范围；（3）证明：R a ∈∀，存在) , 1(e ∈ξ，使'()(1)()1f e f f e ξ-=-．.CO BDEACDOBE'A图1 图22014-2015学年度第二学期高三理科数学测试题(2)答案 1-4:CDCD 5-8: BDCD9．()2,+∞； 10．2012 11．)31,71[； 12.1π13．614．)2,2(π（2分）； θρsin 4= （3分） 15. 2316.解：(1))sin(cos sin cos sin B A A B B A n m +=+=⋅ …………1分对于ABC ∆，ππ<<-=+C C B A 0, …........2分C B A sin )sin(=+∴ …………3分 C n m sin =⋅∴ …………4分又C C n m sin 2sin ==⋅ 21c o s=∴C …………5分 3),0(ππ=∴∈C C …………6分(2)由B C A sin ,sin ,sin 成等差数列，得B A C sin sin sin 2+=由正弦定理得b a c +=2 ………7分 1818)(=⋅⇒=-⋅CB CA AC AB CA ……8分即3618cos =⇒=ab C ab …………9分 由余弦弦定理ab b a C ab b a c 3)(cos 22222-+=-+= ……10分363634222=⇒⨯-=∴c c c ............11分 6=∴c (2)17．（本小题满分14分）解：设第一化工厂每天处理工业废水x 万立方米，需满足：.20%,2.05002≤≤≤-x x…3分 设第二化工厂每天处理工业废水y 万立方米，需满足；4.10,%2.0700)4.1()2(8.0≤≤≤-+-y y x ..6分两个化工厂每天处理工业废水总的费用为y x 8001000+ 元. 问题即为：在约束条件⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤-+-≤-4.1020%2.0700)4.1()2(8.0%,2.05002y x y x x下，求目标函数)45(200y x z +=的最小值.....7分 作出约束条件的可行域如图： .....11分 可知：当,1=x 54=y 时，z 有最小值......13分 答：在满足环保要求的条件下，第一化工厂应处理1万立方米工业废水，第二化工厂应处理0.8万立方米工业废水，才能使这两个工厂总的工业废水处理费用最小． .............14分18．（本题满分14分）解⑴因为2n ≥时，2112 21n n n n n n n S a S S S S S --=-∴-=-得 112n n n n S S S S ---=⋅由题意 0 (2)n S n ≠≥ ()111 2 2n n n S S -∴-=≥……………3分又111S a == 1n S ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是以111S =为首项，2为公差的等差数列. ……………4分⑵由⑴有11(1)221nn n S =+-⨯=- ()1 21n S n N n *∴=∈- 2n ∴≥时，1112212(1)1(21)(23)n n n a S S n n n n -=-=-=------ ……………7分又111a S == 1 (1)2(2)(21)(23)n n a n n n =⎧⎪∴=⎨-≥⎪--⎩……………8分⑶ 设()()()12111()21n S S S F n n +++=+则212(1)21(1)224841()232123483n S n F n n n n F n n n n n n +++++++===>+++++……………11分()F n ∴在n N *∈上递增 故使()F n k ≥恒成立，只需min ()k F n ≤. ……………12分又min 23()(1)3F n F ==又0k > 2303k ∴<≤，k 为正整数，……………13分 所以，k 的最大值是1. ……………14分（注意：本题第一问也可以用数学归纳法：归纳——猜想——证明来做第一问和第二问，做对同样给分，但要注意数学归纳法的格式，写得不到位扣分处理） 19.【解析】(1) 在图1中,易得3,32,22OC AC AD === 连结,OD OE ,在OCD ∆中,由余弦定理可得222cos455OD OC CD OC CD =+-⋅︒=由翻折不变性可知22A D '=,所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥,C DOx E'A向量法图yzB理可证A O OE '⊥, 又ODOE O =,所以A O '⊥平面BCDE .(2) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角.结合图1可知,H 为AC 中点,故322OH =,从而22302A H OH OA ''=+= 所以15cos 5OH A HO A H '∠==',所以二面角A CD B '--的平面角的余弦值为155. 向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -如图所示, 则()0,0,3A ',()0,3,0C -,()1,2,0D - 所以()0,3,3CA '=,()1,2,3DA '=- 设(),,n x y z =为平面A CD '的法向量,则00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即330230y z x y z ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩,解得3y x z x =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,得()1,1,3n =- 由(Ⅰ)知,()0,0,3OA '=为平面CDB的一个法向量,所以315c o s ,535n OA n OA n OA '⋅'===⋅',即二面角A CD B '--的平面角的余弦值为155. 20.【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,由023222c --=结合0c >, 解得1c =.所以抛物线C 的方程为24x y =. (Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x ,所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --= 同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=. (Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y = 所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92.21．（本小题满分14分）解：（1）)11(2)(/xa x x f ++=…………………………………………………1分 a f +=1)1(，a f 22)1(/+= …………………………………………………………2分函数)(x f y =的图象在点))1( , 1(f 处的切线为)1)(22()1(-+=+-x a a y ，即)12)(1(-+=x a y …………………………………………………………………4分（2）①0=a 时，2)(x x f =，因为0>x ，所以点) , (2x x 在第一象限，依题意，0)ln ()(2>++=x x a x x f ……………………………………………………5分②0>a 时，由对数函数性质知，)1 , 0(∈x 时，)0 , (ln -∞∈x ，)0 , (ln -∞∈x a ，从而“0>∀x ，0)ln ()(2>++=x x a x x f ”不成立 ……………………………6分③0<a 时，由0)ln ()(2>++=x x a x x f 得)ln 11(12x x x a +-<，设)ln 11()(2x xx x g +-=，x x x x x g ln 21)(33/+-=1)1()(-=≥g x g ，从而1)ln 11(12-<+-<x xx a ，01<<-a …………8分 综上所述，常数a 的取值范围01≤<-a …………………………9分（3）直接计算知111)1()(-+++=--e aa e e f e f ………………………10分设函数1)1(21)1()()()(/--++-=---=e ax a e x e f e f x f x g ………………11分1)1()2(11)1(2----=--+-=e e e a e a a e g ，)1()1(11)(2---=--+-=e e ae e e a e a e e g 当2)1(->e e a 或2)1(2--<e e a 时，222)1(])1(][)1()2([)()1(-------=e e e e a e e a e g g 0<， 因为)(x g y =的图象是一条连续不断的曲线，所以存在) , 1(e ∈ξ，使0)(=ξg ，即) , 1(e ∈ξ，使1)1()()(/--=e f e f f ξ；…………………………………12分当22)1(2)1(-≤≤--e e a e e 时，)1(g 、0)(≥e g ，而且)1(g 、)(e g 之中至少一个为正，由均值x )1 , 0( 1 ) , 1(∞+ )(/x g － 0 +)(x g ↘ 极小值 ↗不等式知，1122)(2--+-≥e e a a x g ，等号当且仅当) , 1(2e ax ∈=时成立，所以)(x g 有最小值1)1(2)1(2112222----+-=--+-=e e a e a e e a a m ，且 01)3)(1()]1(2[1)1(2)1(222<---+---=----+-=e e e e a e e a e a m ，此时存在) , 1(e ∈ξ（)2 , 1(a ∈ξ或) , 2(e a∈ξ），使0)(=ξg 。