二次规划
序贯二次规划-西安交通大学
(5-41a) (5-41b) (5-41c)
C=(c1 , c2 , , cn )T b=(b1 , b2 , , bm )T
q11 q12 , , q1n q q , , q 21 22 2n Q= M M M M qn1 qn2 , , qnn n a11 a12 , , a1n a a , , a 21 22 2n A= M M M M an1 an2 , , ann
5-53
5-54
Company name
jt2 j =0
i AiT bi 0 jxj 0
i 1, 2,..., m j 1, 2,..., n
2. 二次规划的求解--Lagrange乘子技术
这样函数L稳定点的必要条件可归纳为 c j j dij xi ij ai 0
(i 1, 2, L , m) ( j 1, 2, L , l )
(5-34)
约束条件是二次的
Company name
1. SQP法简介
x K 1 x K = x K 1 x K
i 1 n 2
Company name
5-43
函数L的稳定点的必要条件 : n L c j i aij j 0 x j j 1 L 2i si 0 s j L 2 j t j 0 t j L AiT x si2 bi 0 j L x j t2 j 0 j
1. 1 SQP法简介--只有等式约束
min s.t. 1 f ( x)T x+ xT Q k x 2 gi ( x K ) xT gi ( x K ) 0 hj ( x K ) xT hi ( x K ) 0
二次规划问题
二次规划问题二次规划问题（quadratic programming）的标准形式为：sub.to其中，H、A、Aeq为矩阵，f、b、beq、lb、ub、x为向量其它形式的二次规划问题都可转化为标准形式。
MATLAB5.x版中的qp函数已被6.0版中的函数quadprog取代。
函数 quadprog格式 x = quadprog(H,f,A,b) %其中H,f,A,b为标准形中的参数，x为目标函数的最小值。
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq) %Aeq,beq满足等约束条件。
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) % lb,ub分别为解x的下界与上界。
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) %x0为设置的初值x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) % options为指定的优化参数[x,fval] = quadprog(…) %fval为目标函数最优值[x,fval,exitfla g] = quadprog(…) % exitflag与线性规划中参数意义相同[x,fval,exitflag,output] = quadprog(…) % output与线性规划中参数意义相同[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(…) % lambda与线性规划中参数意义相同例5-8 求解下面二次规划问题sub.to解：则，，在MA TLAB中实现如下：>>H = [1 -1; -1 2] ;>>f = [-2; -6];>>A = [1 1; -1 2; 2 1];>>b = [2; 2; 3];>>lb = zeros(2,1);>>[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b,[ ],[ ],lb)结果为：x = %最优解0.66671.3333fval = %最优值-8.2222exitflag = %收敛1output =iterations: 3algorithm: 'medium-scale: active-set'firstorderopt: [ ]cgiterations: [ ]lambda =lower: [2x1 double]upper: [2x1 double]eqlin: [0x1 double]ineqlin: [3x1 double]>> lambda.ineqlinans =3.11110.4444>> lambda.lowerans =说明第1、2个约束条件有效，其余无效。
二次规划ppt课件
• 满足约束条件的点称可行点，可行点集合构成可行域
2
线性规划与非线性规划
• 非线性规划(Nonlinear Programming)
• 非线性规划的数学模型可以表示为
min f x
xRn
s.t. gi x 0 i hj x 0 j
• 在目标函数或者约束函数中至少有一个函数是非线性的 • 当非线性规划问题的可行域为整个实数域时，称为无约束优化问题，
0
优化问题无界或者不可行
• output.a lgorithm
output.iterations
优化算法类型 算法的迭代次数
• lambda.ineqlin
不等式约束的乘子
lambda.eqlin
等式约束的乘子
14
lambda.lower / upper 变量下界和上界
案例分析
• 假设有四种投资1,2,3,4，第i种投资的收益率 ri 的预期收益均值为 i E ri ，
• 在满足收益率条件下最小化风险模型：
min f x 1 xTQx 2
2 s.t. uT x M
4
xi 1, x 0
1
16
案例分析
Q 社保债券 技术交易中心 管理咨询中心 游乐中心 预期收益
社保债券 2 0.4 0.1 0 7
技术交易中心 管理咨询中心
0.4
0.1
4
3
3
6
-1
1
8
10
游乐中心 0 -1 1 10 14
方差
2 iBiblioteka Erii2
表示投资的风险大小，即收益率关于均值的偏离程度
• 令 xi 为第i个项目的投资额占总投资的比例，向量 x x1, x2, x3, x4 T表示一个
二次规划解法
2、对于二次规划模型求解：问题1：先求出ij c ，结果如下表：330.7 320.3 300.2 258.6 198 180.5 163.1 181.2 224.2 252 256 266 281.2 288 302 370.7 360.3 345.2 326.6 266 250.5 241 226.2 269.2 297 301 311 326.2 333 347 385.7 375.3 355.2 336.6 276 260.5 251 241.2 203.2 237 241 251 266.2 273 287 420.7 410.3 395.2 376.6 316 300.5 291 276.2 244.2 222 211 221 236.2 243 257 410.7 400.3 380.2 361.6 301 285.5 276 266.2 234.2 212 188 206 226.2 228 242 415.7 405.3 385.2 366.6 306 290.5 281 271.2 234.2 212 201 195 176.2 161 178 435.7 425.3 405.2 386.6 326 310.5 301 291.2 259.2 237 226 216 198.2 185 162由于二次规划模型中约束条件151{0}[500,],1,2,7,ij i j X s i =∈=∑的存在，必须加以处理。
引进0-1变量15,...2,1,=i n i ，则151{0}[500,],1,2,7,ij i j Xs i =∈=∑可以等价转换为下面的三个约束条件：i j ij s X≤∑=151i j ij Mn X ≤∑=151i j ijn X*500151≥∑= 其中M 为一个很大数。
这样就可以得到下面的lingo 程序：sets :s/1..7/:sx;a/1..15/:z,y,n,t;links(s,a):c,x;endsetsdata:sx=800 800 1000 2000 2000 2000 3000;t=104 301 750 606 194 205 201 680 480 300 220 210 420 500 0;c=330.7 320.3 300.2 258.6 198 180.5 163.1 181.2 224.2 252 256 266 281.2 288 302370.7 360.3 345.2 326.6 266 250.5 241 226.2 269.2 297 301 311 326.2 333 347385.7 375.3 355.2 336.6 276 260.5 251 241.2 203.2 237 241 251 266.2 273 287420.7 410.3 395.2 376.6 316 300.5 291 276.2 244.2 222 211 221 236.2 243 257410.7 400.3 380.2 361.6 301 285.5 276 266.2 234.2 212 188 206 226.2 228 242415.7 405.3 385.2 366.6 306 290.5 281 271.2 234.2 212 201 195 176.2 161 178435.7 425.3 405.2 386.6 326 310.5 301 291.2 259.2 237 226 216 198.2 185 162;enddata!目标函数;min=@sum(links:c*x)+0.05*@sum(a(j):z(j)*(z(j)+1)+y(j)*(y(j)+1));!每个工厂产量的限制;@for(s(i):@sum(a(j):x(i,j))<=sx);@for(s(i):@sum(a(j):x(i,j))<=90000000*n(i));@for(s(i):@sum(a(j):x(i,j))>=500*n(i));!每个结点运量的限制;@for(a(j):@sum(s(i):x(i,j))=z(j)+y(j));!区间长度的限制;@for(a(j)|j#le#14:z(j+1)+y(j)=t(j));!初始条件;z(1)=0;y(15)=0;!设置0-1变量;@for(a(j):@bin(n(j)));Local optimal solution found at iteration: 5800Objective value: 1278632.问题3：sets:s/1..7/:sx;a/1..21/:z,y,n,t;links(s,a):c,x;endsetsdata:sx=800 800 1000 2000 2000 2000 3000;t=104 301 750 606 194 205 201 680 480 300 220 210 420 500 0 0 0 0 0 0 0;c=330.7 320.3 300.2 258.6 198 180.5 163.1 181.2 224.2 252 256 266 281.2 288 302220 255 260 265 275 285370.7 360.3 345.2 326.6 266 250.5 241 226.2 269.2 297 301 311 326.2 333 347265 300 305 310 320 330385.7 375.3 355.2 336.6 276 260.5 251 241.2 203.2 237 241 251 266.2 273 287199 240 245 250 260 270420.7 410.3 395.2 376.6 316 300.5 291 276.2 244.2 222 211 221 236.2 243 257240 210 215 220 230 240410.7 400.3 380.2 361.6 301 285.5 276 266.2 234.2 212 188 206 226.2 228 242230 187 205 205 220 230415.7 405.3 385.2 366.6 306 290.5 281 271.2 234.2 212 201 195 176.2 161 178230 200 183 186 160 150435.7 425.3 405.2 386.6 326 310.5 301 291.2 259.2 237 226 216 198.2 185 162245 225 210 215 192 189;enddata!目标函数;min=@sum(links:c*x)+0.05*@sum(a(j):z(j)*(z(j)+1)+ y(j)*(y(j)+1))+0.05*yd1*(yd1+1)+0.05*yd2*(yd2+1)+0.05*yd3*(yd3+1);!每个工厂产量的限制;@for(s(i):@sum(a(j):x(i,j))<=sx);@for(s(i):@sum(a(j):x(i,j))<=9000000*n(i));@for(s(i):@sum(a(j):x(i,j))>=500*n(i));!每个结点运量的限制;@for(a(j)|j#ne#9 #and# j#ne#11 #and#j#ne#17:@sum(s(i):x(i,j))=z(j)+y(j));@sum(s(i):x(i,9))=z(9)+y(9)+yd1;@sum(s(i):x(i,11))=z(11)+y(11)+yd2;@sum(s(i):x(i,17))=z(17)+y(17)+yd3;!区间长度的限制;@for(a(j)|j#le#14:z(j+1)+y(j)=t(j));y(16)+yd1=42;y(17)+yd2=10;z(17)+y(18)=130;yd3+y(19)=190;z(19)+y(20)=260;z(20)+y(21)=100;!初始条件;z(1)=0;y(15)=0;z(16)=0;z(18)=0;z(21)=0;!设置0-1变量;@for(a(j):@bin(n(j)));Local optimal solution found at iteration: 9263 Objective value: 1411287.。
二次规划问题
9.2.4 二次规划问题9.2.4.1 基本数学原理如果某非线性规划的目标函数为自变量的二次函数，约束条件全是线性函数，就称这种规划为二次规划。
其数学模型为：其中，H, A,和Aeq为矩阵,f, b, beq, lb, ub,和x为向量。
9.2.4.2 相关函数介绍quadprog函数功能：求解二次规划问题。
语法：x = quadprog(H,f,A,b)x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)[x,fval] = quadprog(...)[x,fval,exitflag] = quadprog(...)[x,fval,exitflag,output] = quadprog(...)[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(...)描述：x = quadprog(H,f,A,b) 返回向量x，最小化函数1/2*x'*H*x + f'*x ，其约束条件为A*x <= b。
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq)仍然求解上面的问题，但添加了等式约束条件Aeq*x = beq。
x = quadprog(H,f,A,b,lb,ub)定义设计变量的下界lb和上界ub，使得lb <= x <= ub。
x = quadprog(H,f,A,b,lb,ub,x0)同上，并设置初值x0。
x = quadprog(H,f,A,b,lb,ub,x0,options)根据options参数指定的优化参数进行最小化。
[x,fval] = quadprog(...)返回解x处的目标函数值fval = 0.5*x'*H*x + f'*x。
第16讲 二次规划
投资一年的收益 w ' 也是一个随机变量，期望收益为
E ( w ') E (1 ) w 1 E (2 ) w 2 ,, E (n ) w n
马库维茨建议用随机变量 w ' （组合投资收益）的方差作为投资
风险的度量，即
2 D (w ' ) E ( (w ' E (w ' ) )2 )
量分解 xB x1 x2 , xN x3.
代入二次函数可得
min
x3R
4 x32
( x3
1)2
x32，
由此可解
x3
1 2
.
然后代入
xB
的表达式,得
x
1,
3 2
,
1 2
.
由 A g Gx，可知
2 1
3 1
11
0 1
1
1 2
，
从上式可求得 Lagrange 乘子1 2,2 1.
求得
x
1.9500 1.0500
,
Min
f (x) 11.0250
二．等式约束二次规划问题
1．标准形式
min q(x) 1 xTGx gT x, 2
(2)
s.t. AT x b,
其中 x Rn,b Rm, A Rnm, g Rn,G Rnn且G是对称的，
设rank( A) m.
方法 1 直接变量消去法
4．应用实例-组合投资的马库维茨模型 1952 年 Markowitz 发表了《资产选择:投资的有效分散化》
一文，奠定了资产组合的理论基础，从而推动了基金业的发展. Markowitz 最早采用风险资产的期望收益率和用方差代表
的风险来研究资产的选择和组合问题. Markowitz 的证券组合投资模型是现代证券投资理论的基
二次规划基本介绍
BXB CXC b
XB B-1C bB-1
(2) 确定被替换基本变量 x r
bi br 0) min( aik 1i m aik ark
x1 b1 x b r r xm bm
4.3二次规划
Find x min f ( x ) s. t . g ( x ) ≤ 0 ( j 1, 2,, n ) j
非线性约束优化问题
（目标函数—非线性） （约 束—非线性）
非线性优化问题
（目标函数—非线性）
线性约束优化问题
（目标函数—非线性） （约 束—线 性）
有约束优化问题
ai x( k1) bi ai ( x( k ) k d ) bi ai x( k ) bi
ai x ( k 1) bi
二次规划：不等式约束问题的有效集法
二次规划：不等式约束问题的有效集法
二次规划：其它算法简介
这就是K-K-T条件，
P
f (x)
2
x
*
g1 (x)
g1 (x) 0
二次规划
一.二次规划的数学模型 二.二次规划的最优性条件 三.等式约束二次规划的解法 四.不等式约束二次规划的有效集解法 五.其它算法简介
二次规划：最优性条件
二次规划：等式约束问题
二次规划：等式约束问题
二次规划：等式约束问题
单纯形法的小结
（一）线性规划的标准形式： （二）基本概念
m i nz c T x Ax b s.t. x 0 j
T
（1）可行解：满足全部约束条件的决策向量称为可行解。 x ( x1 , x2 ,, xn , ) （2）可行域：全部可行解所构成的空间称为可行域。 （3）最优解：使目标函数达到最小的可行解称为最优解。 （4）无界解：若目标函数无下界称为无界解。
二次规划基本介绍
二次规划基本介绍二次规划（Quadratic Programming，简称QP）是数学规划的一种特殊形式，它的目标函数是二次函数，约束条件是线性函数。
在实际应用中，二次规划被广泛应用于经济学、运筹学、工程学等领域，具有重要的理论和实际意义。
二次规划的一般形式可以表示为：$$\begin{aligned}\min_{x} \quad & \frac{1}{2} x^T Q x + c^T x \\\text{s.t.} \quad & Ax \ge b \\&Cx=d\end{aligned}$$其中，$x$是优化变量，$Q$是一个对称正定的矩阵，$c$、$b$、$d$都是列向量，$A$、$C$是约束矩阵。
在约束条件中，$Ax \ge b$表示一组不等式约束，$Cx = d$表示一组等式约束。
二次规划的优化目标是寻找满足约束条件的$x$，使得目标函数最小。
目标函数由两部分组成，一部分是二次项，一部分是线性项，其中$Q$是二次项的系数矩阵，$c$是线性项的系数向量。
由于$Q$是一个对称正定矩阵，所以二次项是凸的，使得问题具有良好的性质。
二次规划的解法有多种方法，以下介绍其中两种常用的方法：内点法和激活集方法。
内点法是一种迭代求解二次规划问题的方法。
它通过将二次规划问题转化为一系列等价的线性规划问题来求解。
在每一次迭代中，内点法通过将问题的方向限制在可行域的内部，逐渐逼近最优解。
使用内点法求解二次规划问题的一个优点是，可以在多项式时间内找到最优解，尤其适用于大规模的问题。
激活集方法是一种基于约束的求解方法。
它通过不断修改约束条件，从而求解二次规划问题。
在每一次迭代中，激活集方法选取一个子集，称为“激活集”，包含满足等式约束、不等式约束等的约束条件。
然后通过解析方法或数值方法求解这个子问题，得到对应的最优解。
该方法的优点是，可以很好地处理不等式约束和等式约束，并且收敛性良好。
除了内点法和激活集方法，还有其他的求解方法，如：序列二次规划、信赖域算法、光滑方法等。
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案例分析
• 令收益率的协方差矩阵为Q q , where q • 令预期收益满足u x M • 在满足收益率条件下最小化风险模型：
ij
ij
ij i j
T ，则上式可记为 x Qx
T
min s.t.
f x
1 T x Qx
x
xR
f x gi x 0 hj x 0 i j
s.t.
• 引入Lagrange函数： • 其关于x的梯度为：
L x, , f x gT hT
L x, , f x g x h x
1
1, x 0
案例分析
Q 社保债券 技术交易中心 管理咨询中心 游乐中心 社保债券 2 0.4 0.1 0 技术交易中心 管理咨询中心 0.4 4 3 -1 0.1 3 6 1 游乐中心 0 -1 1 10
预期收益
7
8
10
14
预期收益不小于8.5
案例分析
各项投资比例为：0.5418,0.2510,0.0503,0.1569
风险最小值0.6137*2=1.2274
结语
• 规划问题属于运筹学（Operations Research）范畴，其计算使用LINGO、
MATLAB、Mathematica等软件分分钟搞定
• 故而运筹学的核心不在于具体计算而在于建模！
Thank You！
不等式约束的乘子
等式约束的乘子 变量下界和上界
案例分析
• 假设有四种投资1,2,3,4，第i种投资的收益率 ri 的预期收益均值为
i
E ri ，
•
• 记第i和j种项目投资收益率的相关系数
ij
E ri i rj j
令 xi 为第i个项目的投资额占总投资的比例，向量 x x1 , x2 , x3 , x4 表示一个 T T 投资组合，则其对应的收益率为R r T x, E R E r x x
目标函数为凸函数，此时优化问题为凸二次规划问题
二次规划
• 二次规划的KKT条件为：
A x b , A x b Qx c AT AT , 0
T A x b 0
• 凸二次规划的KKT解就是全局最优解 • 非凸二次规划的KKT解为局部极小值点 • 求解凸优化问题转化成求解KKT解的问题
Karush-Kuhn-Tucker条件
• KKT条件可以表述为
g x 0, h x 0 L x , , 0, 0 g x 0
T
• 这三行分别表示可行性条件、目标函数梯度的线性表示条件以及互补松
弛条件
• 对于线性不等式约束的非线性规划问题，KKT条件是局部
带约束的二次规划
刘鹏
线性规划与非线性规划
• 线性规划(Linear Programming)
•
在一组线性约束定义的区域上，对一个线性函数进行极小化（或者极大化）的问 题，其数学模型可以表示为
min s.t. z cT x A1 x b1 A2 x b2 x0 where c, x R n , Ai R mi n , bi R mi , i 1, 2
•
满足约束条件的点称可行点，可行点集合构成可行域
线性规划与非线性规划
• 非线性规划(Nonlinear Programming)
•
非线性规划的数学模型可以表示为
min n
xR
f x gi x 0 hj x 0 i j
s.t.
• •
在目标函数或者约束函数中至少有一个函数是非线性的
exitflag 0 0
迭代收敛到
x
超出设定的迭代次数
优化问题无界或者不可行
优化算法类型 算法的迭代次数
• output.a lg orithm
• lambda.ineqlin
output.iterations
lambda.eqlin lambda.lower / upper
极小值点的必要条件
• 对于凸规划问题，KKT条件是全局最优解的充要条件
二次规划
• 二次规划是非线性规划的一种特殊形式，其数学模型为：
min n
xR
s.t.
1 T f x x Qx cT x 2 A x b A x b
• 约束条件为线性约束，故其可行集为凸集 • 目标函数为非线性函数，当Hesse矩阵Q是非负定矩阵时，
二次规划
• 简单的KKT条件可以直接求解，复杂的可以采用投影梯度法求解 • MATLAB程序
•
线性规划
min s.t. cT x A1 x b1 A2 x b2 v xu
x linprog c, A1, b1, A2 , b2 , v, u
二次规划
• MATLAB程序
•
二次线性规划
where 0 1, X1, X 2 , X1, X 2
凸集、凸函数与凸优化
• 线性约束的可行集是凸集
证明：
X , X R n | AX b X 1 , X 2 AX 1 b, AX 1 b ,0 1 A X 1 1 X 2 AX 1 1 AX 2 b 1 b b
min s.t. 1 T x Qx cT x 2 A1 x b1 A2 x b2 v xu
x quadprog Q, c, A 1, b 1, A 2, b 2 , v, u
二次规划
• 输出可调整为 x, fval, exitflag, output, lambda
• x 为自变量 • fval 为目标函数值 • 0
当非线性规划问题的可行域为整个实数域时，称为无约束优化问题， 否则称为约束优化问题
凸集、凸函数与凸优化
• 凸集：如果某个集合中任意两点连起来的直线都属于该集 合，则称其为
凸集，否则为非凸集
非凸集
凸集
凸集、凸函数与凸优化
• 凸集的数学定义：Ω是凸集当且仅当
X1 1 X 2 成立
凸集、凸函数与凸优化
• 凸函数
,0 1 f X 1 1 X 2 f X 1 1 f X 2
• 凸规划
目标函数为凸函数，可行集为凸集的规划问题
Karush-Kuhn-Tucker条件
• 对于非线性规划问题
min n
T
2 ri i 表示投资的风险大小，即收益率关于均值的偏离程度 方差 i2 E
i j
• 投资组合收益率R的方差为
E R E R
2 2 E x r x x i i i i j ij i j i i j