二次规划起作用集方法

《非线性规划》课程设计
题目：二次规划起作用集方法院系：数理学院应用数学系
专业：数学与应用数学
姓名学号：119084112 数112
指导教师：
日期：2014年6月19日
摘要
二次规划（QP）是指目标函数为决策变量x的二次函数，而约束函数是线性函数的非线性规划.二次规划规划问题是最简单的一类非线性约束优化问题，并且某些非线性规划可以转化为求解一系列二次规划问题，因此二次规划的求解方法也是求解非线性规划的基础之一.
关键词：二次规划；起作用集；乘子向量
Abstract
Quadratic programming (QP) refers to the objective function for the quadratic function of the decision variables x, and the constraint function is a linear function of nonlinear programming, quadratic programming problem is the simplest nonlinear constraint optimization problems, and some nonlinear programming can be transformed into solving a series of quadratic programming problem, so the solving methods of quadratic programming is also one of the basis of solving nonlinear programming.
Keywords: Quadratic programming; Work set; Multiplier vector
目录
一、二次规划的概念与性质
1.1模型一
1.2模型二
二、一般正定二次规划的起作用集方法及计算步骤
2.1方法
2.2计算步骤
三、算例
总结
一、二次规划的概念与性质 1.1模型一
⎩⎨
⎧+=≥==+=.
,,1,,,,2,1,.;
2
1)(min L m j b x a m i b x a t s x c Hx x x f j j i i T T
(1) 式中H 为n 阶对称正定矩阵，c,x 均为n 维列向量；i a （i=1,2,···,m),j a (j=m+1,···,L)均为n 维行向量.另
L m m b b b b b ,,,,,,121 +都是已知实数，且m ≤n(L ≥m).
定理一 设*x 是上式正定二次规划的最优解，且在点*x 处的起作用约束集为*J ，则*x 是下述等式约束问题的唯一解：
.
,.2
1)(min *
J i b x ta s x
c Hx x x Q i i T T
∈=+=
1.2模型二
只含有等式约束的二次规划：
.
,,2,1,.;21)(min m i b x ta s x c Hx x x f i i T T
==+=
（2）
式中H 为n 阶对称正定矩阵，c,x 均为n 维列向量；i a （i=1,2,···,m)为n 维行向量.
定理二 规划（2）式的K-T 对),(**Λx 是存在唯一的，且),(**Λx 为（2）式的K-T 对的充要条件是它们满足方程组：
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡Λ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--b c x A
A H T 0
二、一般正定二次规划的起作用集方法及计算步骤
2.1方法
对于一般正定二次规划（1)式，由定理一可知，只要能找到*x 所满足的起作用约束指标集*J ，就可以通过求解等式约束（2）式二次规划化问题得到*x .
但是*x 未知，*J 不能一下求出，可采用逐步改进的方法：先求出问题（1）式的一个可行点)(k x ，计算点)(k x 处有起作用约束指标集k J ，并
求解相应的等式约束的二次规划问题(2)式.设其最优解为)
(ˆk x ，乘子
向量为k Λ.令k P =)
(ˆk x
－)
(k x
，即认为k P 是从点)
(k x
出发至)
(ˆk x
的方
向，如求出了k P 也就找到了)(ˆk x ，)(ˆk x =)
(k x +k P .因此求解（2）式
可以化成求解：
.
,0.)(2
1)(21)(min )()(1k k i k T k k T k k
T k k T
k J i P a t s P x f HP P P c Hx HP P x f ∈=∇+=++= （3)
设)(ˆk x 的起作用约束指标集为1+k J ，则根据)(ˆk x 与)(k x 之间不同关系
来调整k J （当然要使目标函数值不断减少）.按照这种思路继续，就有可能得到*J ，从而求得（1）式的最优解*x . 2.2步骤
第1步：选定初始可行点)1(x 及相应的起作用约束指标集1J ，使
)(1J i a i ∈线性无关.令k:=1.
第2步：求解含有等式约束的正定二次规划问题(3)，设其解为k P .
第3步：若k P =0（即)
(ˆk x
=)
(k x
），则计算相应的乘子向量k Λ，转第
4步.若k P ≠0，转第5步.
第4步：若),,2,1(\m J j k ∈∀；都有0)(≥k j λ成立，则)
(k x
为规划（1）
式的最优解，计算结束；否则求出)},,2,1(\|min{)()(m J j k k j k q ∈=λλ，令)1(+k x =)
(k x
，1+k J =k J \{q}, k:=k+1,返回第2步.
第5步：若)(ˆk x =)
(k x +k P （k P ≠0）满足i i b x a ≥，
k J L m m i \},,2,1{ ++∈（即)(ˆk x 也满足规划（1）的可行域），则
令)1(+k x =)
(k x
，计算)1(+k x 处的起作用约束指标集1+k J ，令k:=k+1，返
回第2步.否则（即)1(+k x 不是规划（1）式的可行解）转第6步.
第6步：从)(ˆk x 点出发沿方向k P 进行一维搜索.记)1(+k x =)
(k x +k k P α，
计算步长：
}0,\),,2,1(|min{ˆ)
(<++∈-=k i k k
i k i i k P a J L m m i P a x a b α
易见k a
ˆ为正数.因此对每个k J L m m i \},,2,1{ ++∈，
i k k k i b P x a ≥+)ˆ()(α
必成立. （因为)
(k x
是可行解，k a
ˆ是正数，当k k P a >0时更成立） 取k α=min{1,k a
ˆ}. 记 )
1(+k x
=)
(ˆk x +k k P α.
计算点)1(+k x 处的起作用约束指标集1+k J .令k:=k+1，返回第2步. 三、算例
用起作用约束集方法计算（书上例题409页）：
⎩⎨
⎧≥-≥----+-=.
0,,623.;
102)(min 2121212
22121x x x x t s x x x x x x x f
用LINGO 求解，程序如下： MODEL: Sets:
num_i/1,2/:c,x; endsets data: c=-3, -2; enddata
[OBJ]min=(x(1)^2－x(1)*x(2)+2*x(2)^2－x(1)－10*x(2); @sum(num_i(i):c(i)*x(i)>=－6; @for(num_i(i):x(i)>=0;);
END
运行该程序可得1x =2
1，2x =4
9，为原规划问题的最优解.
总结
二次规划规划问题是最简单的一类非线性约束优化问题，并且某些非线性规划可以转化为求解一系列二次规划问题，因此二次规划的求解方法也是求解非线性规划的基础之一. 参考文献
[1]何坚勇·最优化方法·北京：清华大学出版社，2007.。