5最优化-二次规划概论
由二阶充分条件得 d 0,然后推出
AT v v1a1 v2a2 vmam Qd 0 由于A满秩,即向量组a1,a2, ,am线性无关,从而得v 0. 即方程组(5.6)只有零解,故系数矩阵非奇异,故(5.5)有 唯一解.
利用投影Hessian矩阵,定理5.1.1可以等价描述为:
定理5.1.2 设矩阵A行满秩,若二次规划问题(5.4)的投 影Hessian矩阵Z T QZ正定,则线性方程组(5.5)有惟一解. 众所周知,由于二次规划的约束函数是线性的, 故ACQ 成立, 从而二次规划的最优解必定是KKT点. 反之, 在 一定条件下, KKT点也必定是其最优解 :
第五章 二次规划
二次规划是最简单的非线性规划问题
二次规划一般形式：
min f (x) 1 xTQx qT x 2
s.t. aiT x bi 0, i I {1, 2, , m1}
(5.1)
aiT x bi 其中n阶矩阵Q对称半正定, ai Rn , q, bi R
解空间( A的核空间)的维数为n - m. 设解空间的一组正
交基础解系为 : z1, z2 ,, zn-m , 并令 Z ( z1, z2 , , zn-m ) Rn(n-m)
则对任意的d Rn : Ad 0, 存在向量
使得
y ( y1, y2 ,, yn-m )T Rn-m d Zy y1z1 y2z2 yn-m zn-m
定理5.1.3 设矩阵A行满秩, 若二次规划问题(5.4) 的投 影Hessian矩阵Z T QZ 正定(或二阶充分条件成立),则线性 方程组(5.5)的惟一解是问题(5.4)的惟一全局最优解.
定理5.1.3 设矩阵A行满秩, 若二次规划问题(5.4) 的投 影Hessian矩阵Z T QZ 正定(或二阶充分条件成立),则线性 方程组(5.5)的惟一解是问题(5.4)的惟一全局最优解.
设x*是问题(5.1)的最优解
存在Lagrange乘子*满足:
f (x* ) λi*ai 0 iE I
aiT x* bi 0, i E aiT x* bi 0, λi* 0, λi* (aiT x* bi ) 0, i I
(5.2)
记 AI
a1T
a2T
,
AE
由于 x*是KKT点,故存在乘子*,使得
Qx* q AT*
所以
f (x) f (x*) *T Ad
因此, x*是全局最优解.
注意：当D , 但二阶条件不成立或 Z TQZ不正定时, 则
问题(.)无解或有无界解. (1) 若ZTQZ不定,即有负特征值, 存在u 0, 使得
uT Z TQZu 0
证明：在定理条件下,由定理5.1.1或定理5.1.2知,问题 (5.4)有惟一的KKT点x*,问题(5.4)的最优解必定是其KKT点, 因此, 我们只需证明KKT点x*就是其全局最优解.
设可行域 : D {x Rn | Ax b}. 对于任意的x D且x x*, 令 d x - x*, 则
aT m1
aT m1 1
aT m1 2
amT
,
bI
b1
b2
,
bm1
bE
bm11
bm12
bm
A
AI AE
则(5.2)可以写成向量形式：
f (x*) AT * 0
AE x* bE 0
(5.3)
AI x* bI 0,I 0,I*T (AI x* bI ) 0
从而二阶充分条件等价于
yT Z T QZy d T Qd 0, 0 y Rn-m
即矩阵Z TQZ正定.
我们称Z T QZ 为等式二次规划问题(5.4)的投影Hessian 矩阵或既约Hessian矩阵
关于问题(5.4)的KKT系统解的存在性,有下面的结论:
定理5.1.1 设矩阵A行满秩,若二阶充分条件成立,则 线性方程组(5.5)的系数矩阵
x L(x, ) f (x) Q
(5.4)
(5.5)
由于 LFD( x, D) {d Rn | Ad }
S(x, ) LFD（x, D)
二阶充分条件为:
d TQd d T x L(x, )d , d 满足 Ad
假定A行满秩即 r( A) m, 则齐次线性方程组Ad 0的
f (x d ) f (x)
因而( 5.4)的解无界.
例5.1.1 考察如下二次规划问题：
min s.t.
解：
f (x) 3x12 2x1x2 x1x3 2.5x22 2x2 x3 2x32 8x1 3x2 3x3
d 0 且 Ad 0 由二阶充分条件知：d TQd 0.
f ( x) f ( x*) xTQx qT x x*TQx* qT x*
(x x*)T Q(x x*)
x*TQ( x x*) qT ( x x*)
d TQd (Qx* q)T d
(Qx* q)T d
此时, 令d Zu, 则对x D, 及 0, 使得x d D, 且
f (x d ) 1 2d TQd f (x) 1 2uT Z TQZu f (x) f (x)
2
2
即目标函数无下界.
(2) 若ZTQZ半正定但不正定,则存在u 0,使得
uT Z T QZu 0
类似地,令d Zu, 则x D及 0,使得x d D,且
Q AT
A
0
非奇异,因此线性方程组(5.5)有惟一解.
证明：为证明系数矩阵非奇异,只需证明齐次线性方程组
Q AT d 0
A
0
v
0
(5.6)
仅有零解. 设(d ,v)是(5.6)的解,则
Qd-AT v 0, Ad 0
即有
d T Qd d T AT v (Ad )Tv 0
当只有等式约束时,(5.3)是一线性方程组.
第一节 等式约束二次规划
考虑凸二次规划
min f (x) 1 xTQx qT x 2
s.t. Ax b
其KKT 条件为
f (x) AT 0, Ax b 0
或
Q AT x q
A
0
b
这里 f (x) Qx q, Q半正定
电化教育发展简史
第二章电化教育发展简史教育发展的历史说明，教育手段和教育方式总是随着科学技术和社会生产力的发展而产生和发展的。
教育史学家认为，教育史上曾有过三次革命，现在正进行以电化教育为标志的第四次革命。
第一次是大约在公元前30世纪，专职教师的出现。
第二次是约在公元前11世纪，文字体系的出现。
第三次是约在公元12世纪，印刷术的出现。
第四次是从19世纪末开始，现代科学技术在教育中的广泛应用，即电化教育的出现和兴起。
第一节电化教育产生和发展概况电化教育专家认为．国外电化教育的产生和发展大体经历了五个阶段，一、萌芽阶段电化教育萌芽于19 世纪末期，19 世纪90 年代，幻灯运用于教学，揭开了电化教育的序幕。
二、起步阶段20 世纪20 年代，是电化教育的起步阶段。
无声电影应用于教学，并开始实施有组织的教育播音。
三、初期发展阶段40 年代录音、电视进人教育领域。
幻灯、电影、广播、录音教育都有一定的发展。
特别是电影教育得到了较大的发展，并显示出了它对提高教学效果的作用。
四、迅速发展阶段从50年代到60年代，是电化教育的迅速发展阶段。
50 年代有彩色电视、程序教学机等，60 年代有电子计算机等电教媒体被应用到教育教学中。
在教育理论上着重研究综合媒体的利用及其在学习过程中的作用，用“教育技术”的名称代替了视听教育的名称。
60 年代初，香农等的信息论引入到教育教学领域，促进了电教教材的迅速发展，并产生丁教育传播学。
五、系统发展阶段从70 年代起，电化教育进人系统发展阶段。
1.70 年代有彩色电视录像系统、电子计算机教学系统、卫星广播电视系统等，80 年代初有激光视盘、立体电视、电子黑板、磁性照相等又相继用于教育教学。
同时，系统沦、信息论、控制论的理论和方法被用来研究电化教学规律，从而加强了电化教育的学科建设。
2.目前，世界各国都在大力推广电化教育。
美国、英国、日本、法国等是世界电化教育发达国家。
80 年代以后，各国普遍重视卫星电视教育的利用和电子计算机教学系统的开发，当前的信息高速公路和多媒体技术用于教学，使电化教育的发展进人了一个新的阶段。
《环境学概论》考研知识点归纳
《环境学概论》考研知识点归纳《環境學概論》知識總結第一章绪论一、名词解释1、环境:是以人类为主体的外部世界，即人类赖以生存和发展的物质条件的整体，包括自然环境和社会环境。
2、聚落环境:是人类有计划、有目的地利用和改造自然环境而创造出来的生存环境。
3、城市环境:是人类利用和改造环境而创造出来的高度人工化的生存环境。
4、环境问题:是指由于人类活动作用于人们周围的环境所引起的环境质量变化，以及这种变化反过来对人类的生产、生活和健康的影响问题。
包括原生环境问题和次生环境问题。
5、环境保护:指人类为解决现实的和潜在的环境问题，维持自身的生存和发展而进行的具体实践活动的总称。
6、环境科学：是一门研究人类社会发展活动与环境演化规律之间相互作用关系，寻求人类社会与环境协同演化、持续发展途径与方法的科学。
7、环境自净能力：当污染物进入环境后，因大气、水、土壤等环境要素的扩散、稀释、氧化还原、生物降解等物化和生化作用，使污染物的浓度和毒性逐渐自然降低的现象称为环境自净能力。
二、简答1、情况科学的主要义务：①探究全球规模内情况演化的规律，相识人类情况变化的过程、情况的基本特性、情况结构和演化机理等，以便应用这些认识使情况质量向有利于人类的方向发展，避免对人类不利的变化；②揭示人类举动同自然情况之间的干系，以便协调社会经济发展与情况保护的干系，令人类社会和情况协调发展；③探究情况变化对人类保存的影响，发挥情况科学的社会功用，探究污染物对人体健康危害的机理及情况毒理学研究，为人类一般、健康的生活服务；④研究区域情况污染综合防治的技术措施和管理措施。
2、情况科学的基本义务：揭示人类-情况系统的实质，研究人类-情况系统之间的协调干系，掌握它的发展规律，调控人类与情况之间的物质和能量交换过程，以改善情况质量，造福人民，促进人类与情况之间的协调发展。
3、理论环境学的主要任务：运用有关的现代科学理论，总结利用和改造环境正反两方面的经验，继承和发展有关的环境科学理论，以建立与现代科学技术发展水平相适应的环境科学的基本理论。
园艺概论复习重点
园艺概论复习题一绪论名词解释：1园艺：是指果树、蔬菜、花卉等园艺植物的生产技艺，主要是栽培管理技术。
（重点）2园艺植物：主要是指果树、蔬菜和观赏植物，广义上还包括药用植物和芳香植物。
（重点）3园艺业：即园艺生产产业，是指从事果品、蔬菜、花卉、观赏树木的生产和风景园的规划、营建、养护的行业。
4园艺学：是研究园艺植物的种质资源、生长发育规律、繁殖、栽培、育种、贮藏、加工、病虫以及造园等的科学。
5园艺植物栽培学：是园艺学的一部分，主要研究园艺植物的栽培管理技术，是园艺生产的主要理论基础。
6有机园艺：是一种以生态学为理论基础，在生产中不使用化学合成肥料、农药、除草剂、生长调节剂等以及转基因技术的农业生产体系。
简答:1．园艺业在人类生活中有何作用1经济意义.。
有“一亩园，十亩田。
”之说。
在我国，园艺业已成为许多农村的支柱产业，在改变农村面貌、振兴农村经济及新农村建设等方面都具有非常重要的意义。
2营养、保健功能。
食物组成果蔬是维生素、矿物质和纤维素等的主要食物来源经常食用水果和蔬菜，可维持体内酸碱平衡3.重要的工业原料。
食品、酿酒、医药、轻化工业，特别是饮料工业，以园艺产品作原料者甚多。
4.绿化美化、改善环境。
绿化土地，保持水土消纳城镇的污浊空气、噪音、粉尘使居民生活舒适、安全、快乐、和谐5.精神、文化生活的重要组成。
园艺学科的研究、教育园艺产品的流通、交换和销售：各地花会、果蔬会园艺植物在园林建筑中的应用文学艺术形式：雕塑、绘画、插花、盆景、舞蹈、诗歌、习俗、服饰、装潢等2．资源的最优化利用含义是什么答：1）通俗地说就是“适地适栽”，即因地制宜地确定栽培作物的种类、品种，以最高效率地开发自然条件的优势，发挥植物种质资源的最优产量和最优品质。
2)每一种作物、每一个优良品种，都应当有最佳栽培地区，即区域化种植，这与各地有自己的名、特、优产品应是一致的。
3．园艺业发展的趋势是什么答：(一)资源的最优化利用。
(二)有机园艺。
土地资源管理学科简介
土地资源管理学科简介一、学科简介南京农业大学土地资源管理学科的研究与研究生教育始于学校的前身中央大学和金陵大学，开创了我国现代土地经济与土地利用教育与研究之先河。
我校于1985年开始招收土地管理方向的硕士研究生，1993年获得土地资源管理专业博士学位授权，是我国第一个土地资源管理学科博士学位授权点，该学科目前为农业部和江苏省重点学科，并在2005年被遴选为江苏省“国家重点学科建设培育点”。
经过80多年的建设和发展，土地资源管理学科已成为南京农业大学的优势与特色学科之一，并被列为学校“十五”和“十一五”“211工程”重点建设的学科。
本学科紧密结合国际土地资源管理学科发展趋势和我国土地资源管理的现实需求，不断凝练学科方向，形成了土地资源经济与政策分析、土地利用规划与管理、土地资源评价与资产管理、土地行政与土地法学、土地可持续利用等特色鲜明的研究领域。
本学科点现有师资30人，其中博士生导师12名，硕士生导师24名。
“十五”以来，本学科承担了国际合作项目、国家自然科学基金项目、国家社科基金项目等60多项，科研经费1500余万元。
本学科已培养毕业博士60多名、硕士160余名，主要在国内著名高校、科研机构、政府部门以及相关的企事业单位从事本专业的教学科研和行政管理等工作，其中有部分毕业生已成为所在单位重要的业务骨干和学术带头人。
土地资源管理硕导：曲福田（点长）、欧名豪、吴群、陈利根、刘友兆、郭忠兴、石晓平、宋奇海、孙华、唐焱、王雷、王群、吴未、欧维新、徐梦洁、诸培新、冯淑怡、张笑寒二、培养目标培养适应我国社会主义现代化建设需要，德、智、体全面发展的土地资源管理专业的高级专门人才。
1.掌握马克思主义的基本原理和邓小平理论，树立正确的世界观；坚持党的四项基本原则；热爱祖国、献身行政管理事业；遵纪守法、品德优良；具有较强的事业心和团结协作精神；服从国家需要，积极为社会主义现代化建设服务。
2.具有土地资源管理学坚实的基础理论和系统的专业知识，较强的理论分析能力和社会实践能力；能熟练运用一门外语和借助计算机进行科学研究，了解国内外有关土地资源管理的发展动态；能独立从事土地资源管理专业的教学、科研和实务工作。
组合最优化简介
weili@主要内容•组合最优化问题概论•现代最优化计算方法–禁忌搜索（tabu search）–模拟退火（simulated annealing）–遗传算法（genetic algorithms）–人工神经网络（neural networks）–拉格朗日松弛算法（Lagrange slack arithmetic）•组合最优化（combinatorial optimization ）–是通过对数学方法的研究去寻找离散事件的最优编排、分组、次序或筛选等–组合最优化问题的数学模型其中，f(x)为目标函数，g(x)为约束函数，x 为决策变量，D 表示有限个点组成的集合Dx 0g(x) .t .s )x (f min ∈≥•组合最优化（combinatorial optimization ）–一个组合最优化问题可用三参数（D,F,f ）表示，其中D 表示决策变量的定义域，F 表示可行解区域F 中的任何一个元素称为该问题的可行解，f 表示目标函数。
满足的可行解称为该问题的最优解–组合最优化的特点是：可行解集合为有限点集–有可行解一定有最优解}0)x (g ,D x |x {F ≥∈=}F x |x)(f {min )x (f *∈=*x•组合最优化问题例1.（最优投资问题）设一个人的财富为b ，现有n 只价格为、预期收益分别为的股票，如何选择投资策略使得该人投资收益最大？解：用数学模型表示为：)n ,2,1i (a i L =)n ,2,1i (c i L =(3)n ,2,1i },1,0{ x(2) ,b x a .t .s (1)x c max i n 1i i i n1i i i L =∈≤∑∑==•组合最优化问题例2.（旅行商问题）一个商人欲到n 个城市推销商品，每两个城市i 和j 之间的距离为，如何选择一条道路使得商人每个城市走一遍后回到起点且所走路经最短。
注：旅行商问题还可以细分为对称和非对称距离两大类问题。
最优化方法教学大纲12版
最优化方法教学大纲12版《最优化方法》课程教学大纲课程编码: 0401323英文名称: Methods of optimization教学对象: 数学与应用数学专业本科学生学时学分: 共32学时，2学分先修课程: 高等代数、数学分析执笔人: 霍丽娜审校人: 宋文檀修订时间: 2012 年7月一、课程简介最优化方法属于专业任选课程，课程安排在第七学期。
最优化是从所有可能方案中选择最合理的方案以达到最优目标的学科，是随着计算机的普遍应用而发展起来的，它已广泛应用于各个领域。
本门课程旨在讲授最优化的基本理论和方法，要求通过本课程的学习，具有应用最优化方法解决一些实际问题的初步技能，并为以后的学习和工作做必要的准备。
二、课程教学目的与基本要求本课程的任务是讨论求解线性规划、无约束非线性规划、约束非线性规划、多目标规划的基本原理与一般方法，并学习MATLAB、LINGO 等工具软件的应用，使学生掌握最优化方法的基本概念、基本原理和基本方法，初步学会应用最优化方法解决简单的实际优化问题，培养解决实际问题的能力。
基本要求:1、掌握最优化方法的基本概念、相关的优化原理和最常用的算法，注意方法处理的技巧及其与计算机的结合，提高计算机应用能力;2、通过例子，学习使用各种优化方法解决实际中遇到的简单优化问题，提高分析、解决实际问题的能力;三、教学手段及教学方法建议主要教学手段:讲授法。
原则:多进行习题训练，利用课外辅导，课外作业及批改，提高学生解题能力、建模能力、应用能力。
四、考核方式和成绩评定本课程是考查课，考试的形式为闭卷，达到学校规定的旷课量，则取消考试资格。
成绩评定:根据平时成绩与期末考试成绩评定，平时成绩占40%，期末成绩占60%。
具体考核方法按榆林学院数学系学生成绩考核细则执行，总评成绩60分为合格。
五、课程教材与主要参考书教材:施光燕、董加礼编，《最优化方法》(第一版)，高等教育出版社，2006年。
主要参考书:[1] 何坚勇编，《最优化方法》(第一版)，清华大学出版社，2007年。
课程大纲-西安建筑科技大学研究生院
课程大纲课程编号（理学院）课程名称随机规划学时40基本预备知识 1. 概率统计2. 最优化理论与算法3. 随机过程授课方式讲授、研讨基本要求掌握随机规划模型的类型。
（3TKH 主要类型），了解分布问题中参数LP 及其最优值得表达式，了解Z（3 ）的可测性及其概率分布，掌握简单分布问题的计算方法，了解逼近方法和最优值的数学期望的估计，掌握有补偿的二阶段问题和二阶段问题的数值解法，了解概率约束规划和随机拟次梯度法，了解上图收敛性。
教材及参考书《随机规划》，王全德编著，南京大学出版社，1990 年。
《随机线性规划》，Kall 著，王金德译，南京大学出版社。
讲授的主要内容：（每章后附学时数）1.随机规划的模型（6 学时）1.1分布问题，二阶段有补偿问题，概率约束问题；1.2多阶段有补偿问题和多阶段概率约束计划；1.3各类问题的统一形式与相互关系。
2.分布问题：（6 学时）2.1参数LP；2.2Z（3）的可测性；2.3最优化Z（3 ）的概率分布；2.4简单分布问题的计算方法；2.5逼近方法与最优值的数学期望的估计。
3.有补偿二阶段问题（8 学时）3.1一般有补偿二阶段的问题；3.2具有固定补偿矩阵的情形；3.3具有完备和简单补偿矩阵的二阶段问题。
4.二阶段问题的数值解法（8 学时）4.1具有离散随机变量的二阶段问题的解法；4.2简单补偿问题的解法。
5.概率约束规划（6 学时）可行解集合的特性，约束函数的分析性质，数值解法，逼近方法。
6.随机拟次梯度法（* ）（2 学时）7. 应用举例（2 学时）8. 上图收敛性（2 学时）注：（*）只做了解课程名称学时基本预备知识值代数601. 数学分析2. 线性代数3. 矩阵论4. 计算方法授课方式讲授基本要求1. 知道矩阵计算的基本工具，熟悉Vandermonde、Toeplitz 等方程组的解法及某些迭代法的收敛性，了解多项式加速技巧。
2.掌握不完全分解预先共轭梯度法，广义共轭剩余法，Lanczos 方法，求解特征值问题的同伦方法和分而治之法以及求解Jacobi 矩阵特征值反问题的正交约化法。
《教育技术学》-第五章：教学系统设计
学环节进行具体计划的系统化过程。(何克抗,2001)
目前主流教学系统设计定义以“过程”说或“程序”说为 主，即如何对教学进行任务分析、如何编写教学目标、如 何选择教学策略和教学媒体，如何开展教学评价等。
教学系统设计的目的是教学效果最优化；
以教学理论、学习理论、传播理论为基础； 研究对象是教学系统，教学系统中的资源和过程； 强调运用系统方法对教学系统进行预先分析与决策，创设情 景，以促使学生更有效的学习。
按照系统概念理解，教学系统可描述为：为了达到一定的教育教学的目的，
教师、学生、教学媒体、教学内容四个要素在系统内部相互影响、相互作
用，形成一定的教学结构，实现特定的教育教学功能
五种典型的教学系统结构图式
系 统
由若干要素以一定结构形式联结构成 的具有某种功能的有机整体。
系统论思想 方法
把所研究和处理的对象，当作一个系统， 分析系统的结构和功能，研究系统、要素、 环境三者的相互关系和变动的规律性，并 以优化系统观点看问题。
20世纪80年代末 90年代初以来： 以建构主义为代 表的第三代教学 设计
学习理论对教学设计的指导
行为主义学习理论（20世纪50~60年代前后）
认为学习的本质是刺激与反应的联结 斯金纳“程序教学运动”促使教学设计理论的诞生和早期发 展 程序教学重视作业分析、学习行为目标的分析、教材逻辑顺
教学系统设计理论
代表人物
主要观点（用自己的话描述）
来源文献
5.2.3 教学系统设计的过程模式
含义：
模式是再现现实的一种理论性的简约形式。
功能：
相互交流的有效手段； 管理教学系统设计活动的指南； 作为设计过程决策的依据。
第三、四讲：优化设计
ϕm m
在固定中心距下获最 大承载能力的齿轮传动 优化设计
β
x1 = z1 , x2 = mn , x3 = ϕ m , x4 = β , x5 = ε 1 , x6 = ε 2 , (ε1 , ε 2为变位系数）
机械结构优化设 计
结构尺寸（如板厚、 断 面尺寸等）、形状尺 寸、力学或物理参数等
汽车起重机伸缩臂结构 最轻设计
f ( x ) = f ( x1 , x2 ,..., xn )
优化设计的目标是所选择的设计变量使目标函数达到最优 值（许多情况下是极值）。 f ( x) → 最小值 最优化可以统一为最小化。
11/95
3、约束条件： 优化设计的选择的方案不仅要求设计指标到达最佳值，还必 须满足一定的设计条件 。即设计方 案必须服从各种约束条件的 限制。 约束分为：边界约束、性能约束和几何约束。 约束的表现形式： 1、不等式约束：
7/95
1 优化设计的数值方法
1.1 优化设计建模 1.2 优化计算方法
8/95
1.1 优化设计建模
1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.1.5 1.1.6 优化设计建模要素（3个） 优化模型的数学描述 模型中的基本概念（3个） 优化设计的几何解释 优化要素选择原则（3类） 优化模型分类
现代机械设计
优化设计
(课程大纲第9部分)
袁小阳 教授
现代设计及转子系统教育部重点实验室
1
0 概论 1 优化设计的数值方法 2 优化设计的非数值方法 3 复杂系统的优化设计
注：1-3为课程大纲第9部分规定的三项内容。
2/95
0 概论
优化设计是建立在最优化数学方法和计算机及其计 算技术基础上的，可以实现产品的品质、质量、性能和 成本等设计指标最优的一种现代化的工程设计方法。 在工程设计领域的长期实践中，产生了诸如进化优 化、直觉优化、试验探索优化等一些优化策略与方法。 而后又在数学规划、价值工程、试验设计等数学方法的 基础上产生了近代的优化设计技术。近年来，又逐步发 展了多目标优化、多学科优化以及广义优化等。 （出处：蔡学熙主编,现代机械设计方法实用手册.）
整数规划
第二章整数规划§1 概论定义规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。
若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。
目前所流行的求解整数规划的方法，往往只适用于整数线性规划。
目前还没有一种方法能有效地求解一切整数规划。
1.2 整数规划的分类如不加特殊说明，一般指整数线性规划。
对于整数线性规划模型大致可分为两类：1o 变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。
2o 变量部分限制为整数的，称混合整数规划。
1.2 整数规划特点（i）原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况：①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。
②整数规划无可行解。
例1 原线性规划为 其最优实数解为：45min ,45,021===z x x 。
③有可行解（当然就存在最优解），但最优解值变差。
例2 原线性规划为 其最优实数解为：23min ,23,021===z x x 。
若限制整数得：2m in ,1,121===z x x 。
（ii ） 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。
求解方法分类：（i ）分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。
（ii ）割平面法—可求纯或混合整数线性规划。
（iii ）隐枚举法—求解“0-1”整数规划：①过滤隐枚举法；②分枝隐枚举法。
（iv）匈牙利法—解决指派问题（“0-1”规划特殊情形）。
（v）蒙特卡洛法—求解各种类型规划。
下面将简要介绍常用的几种求解整数规划的方法。
§2 分枝定界法对有约束条件的最优化问题（其可行解为有限数）的所有可行解空间恰当地进行系统搜索，这就是分枝与定界内容。
通常，把全部可行解空间反复地分割为越来越小的子集，称为分枝；并且对每个子集内的解集计算一个目标下界（对于最小值问题），这称为定界。
在每次分枝后，凡是界限超出已知可行解集目标值的那些子集不再进一步分枝，这样，许多子集可不予考虑，这称剪枝。