二次规划
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序列二次规划
(****)
起作用集方法
起作用集方法
(*****)
起作用集方法
起作用集方法
起作用集方法
起作用集方法
Questions
如何得到(*******)？
Answer
起作用集方法
起作用集方法
Questions
起作用集方法
起作Байду номын сангаас集方法
起作用集方法
起作用集方法
起作用集方法
Algorithm
起作用集方法
(***)
Proof
起作用集方法
起作用集方法
（a）
起作用集方法
(b)
满足（a)的 x* 肯定满足（b），且为满足（b）的 x* 的
一部分，但满足（b）的解是唯一的，所以问题（b）的解 就是问题（a)的解。
Remark
起作用集方法
起作用集方法
Questions
起作用集方法
起作用集方法
序列二次规划法
A characteristic of a large class of early methods is the translation of the constrained problem to a basic unconstrained problem by using a penalty function for constraints that are near or beyond the constraint boundary. In this way the constrained problem is solved using a sequence of parameterized unconstrained optimizations, which in the limit (of the sequence) converge to the constrained problem.
起作用集方法
起作用集方法
(*****)
起作用集方法
起作用集方法
起作用集方法
起作用集方法
Questions
如何得到(*******)？
Answer
起作用集方法
起作用集方法
Questions
起作用集方法
起作Байду номын сангаас集方法
起作用集方法
起作用集方法
起作用集方法
Algorithm
起作用集方法
(***)
Proof
起作用集方法
起作用集方法
（a）
起作用集方法
(b)
满足（a)的 x* 肯定满足（b），且为满足（b）的 x* 的
一部分，但满足（b）的解是唯一的，所以问题（b）的解 就是问题（a)的解。
Remark
起作用集方法
起作用集方法
Questions
起作用集方法
起作用集方法
序列二次规划法
A characteristic of a large class of early methods is the translation of the constrained problem to a basic unconstrained problem by using a penalty function for constraints that are near or beyond the constraint boundary. In this way the constrained problem is solved using a sequence of parameterized unconstrained optimizations, which in the limit (of the sequence) converge to the constrained problem.
二次规划ppt课件
• 满足约束条件的点称可行点，可行点集合构成可行域
2
线性规划与非线性规划
• 非线性规划(Nonlinear Programming)
• 非线性规划的数学模型可以表示为
min f x
xRn
s.t. gi x 0 i hj x 0 j
• 在目标函数或者约束函数中至少有一个函数是非线性的 • 当非线性规划问题的可行域为整个实数域时，称为无约束优化问题，
0
优化问题无界或者不可行
• output.a lgorithm
output.iterations
优化算法类型 算法的迭代次数
• lambda.ineqlin
不等式约束的乘子
lambda.eqlin
等式约束的乘子
14
lambda.lower / upper 变量下界和上界
案例分析
• 假设有四种投资1,2,3,4，第i种投资的收益率 ri 的预期收益均值为 i E ri ，
• 在满足收益率条件下最小化风险模型：
min f x 1 xTQx 2
2 s.t. uT x M
4
xi 1, x 0
1
16
案例分析
Q 社保债券 技术交易中心 管理咨询中心 游乐中心 预期收益
社保债券 2 0.4 0.1 0 7
技术交易中心 管理咨询中心
0.4
0.1
4
3
3
6
-1
1
8
10
游乐中心 0 -1 1 10 14
方差
2 iBiblioteka Erii2
表示投资的风险大小，即收益率关于均值的偏离程度
• 令 xi 为第i个项目的投资额占总投资的比例，向量 x x1, x2, x3, x4 T表示一个
二次规划_0508
等式约束的二次规划问题
直接消去法
求解问题(1)最简单又最直接的方法就是利用约束来消去部分变量，从而把问题 转化成无约束问题，这一方法称为直接消去法。 将 A 分解成为如下形式：
A B, N
其中 B 为基矩阵，相应的将 x, c, H 作如下分块：
H12 x c H x B , c B , H 11 H 21 H 22 xN c N 其中 H11 为 m m 维矩阵。这样，问题(1)的约束条件变为： BxB NxN b
1 2 1 2 0
0 0 ，可得 Q, R, G 分别为： 1 2
5 2 3
3 4 3 4 1 , G 11 5 2 1 4
T
21 43 3 * x Qc Rb , , 于是问题的最优解为： 11 22 22
(k )
解等式约束问题：
min f x T s.t. ai x bi , i I k
(6)
其中 a i 是矩阵 A T 的第 i 列元素构成的 n 维向量。 将坐标原点移至 x 处，令 d
(k )
(k )
x x ，则： f x
(k )
T 1 (k ) T d Hd ( k ) f x( k ) d ( k ) f x( k ) 2
通过高斯消元法可得：
1 x x3 1 3 x 2 2 x 2 3 3
代入 f x 中可得到等价的无约束问题：
min x3
14 2 8 x3 x3 4 9 3
等式约束的二次规划问题
ˆ 28 H 由标准形式可知 2 9 ，显然为正定，故求其极值只需令其梯度为 0：
二次规划问题
9.2.4 二次规划问题9.2.4.1 基本数学原理如果某非线性规划的目标函数为自变量的二次函数，约束条件全是线性函数，就称这种规划为二次规划。
其数学模型为：其中，H, A,和Aeq为矩阵,f, b, beq, lb, ub,和x为向量。
9.2.4.2 相关函数介绍quadprog函数功能：求解二次规划问题。
语法：x = quadprog(H,f,A,b)x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)[x,fval] = quadprog(...)[x,fval,exitflag] = quadprog(...)[x,fval,exitflag,output] = quadprog(...)[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(...)描述：x = quadprog(H,f,A,b) 返回向量x，最小化函数1/2*x'*H*x + f'*x ，其约束条件为A*x <= b。
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq)仍然求解上面的问题，但添加了等式约束条件Aeq*x = beq。
x = quadprog(H,f,A,b,lb,ub)定义设计变量的下界lb和上界ub，使得lb <= x <= ub。
x = quadprog(H,f,A,b,lb,ub,x0)同上，并设置初值x0。
x = quadprog(H,f,A,b,lb,ub,x0,options)根据options参数指定的优化参数进行最小化。
[x,fval] = quadprog(...)返回解x处的目标函数值fval = 0.5*x'*H*x + f'*x。
第16讲 二次规划
投资一年的收益 w ' 也是一个随机变量，期望收益为
E ( w ') E (1 ) w 1 E (2 ) w 2 ,, E (n ) w n
马库维茨建议用随机变量 w ' （组合投资收益）的方差作为投资
风险的度量，即
2 D (w ' ) E ( (w ' E (w ' ) )2 )
量分解 xB x1 x2 , xN x3.
代入二次函数可得
min
x3R
4 x32
( x3
1)2
x32，
由此可解
x3
1 2
.
然后代入
xB
的表达式,得
x
1,
3 2
,
1 2
.
由 A g Gx，可知
2 1
3 1
11
0 1
1
1 2
，
从上式可求得 Lagrange 乘子1 2,2 1.
求得
x
1.9500 1.0500
,
Min
f (x) 11.0250
二．等式约束二次规划问题
1．标准形式
min q(x) 1 xTGx gT x, 2
(2)
s.t. AT x b,
其中 x Rn,b Rm, A Rnm, g Rn,G Rnn且G是对称的，
设rank( A) m.
方法 1 直接变量消去法
4．应用实例-组合投资的马库维茨模型 1952 年 Markowitz 发表了《资产选择:投资的有效分散化》
一文，奠定了资产组合的理论基础，从而推动了基金业的发展. Markowitz 最早采用风险资产的期望收益率和用方差代表
的风险来研究资产的选择和组合问题. Markowitz 的证券组合投资模型是现代证券投资理论的基
二次规划基本介绍
(2-5)
BXB CXC b
XB B-1C bB-1
(2) 确定被替换基本变量 x r
bi br 0) min( aik 1i m aik ark
x1 b1 x b r r xm bm
4.3二次规划
Find x min f ( x ) s. t . g ( x ) ≤ 0 ( j 1, 2,, n ) j
非线性约束优化问题
（目标函数—非线性） （约 束—非线性）
非线性优化问题
（目标函数—非线性）
线性约束优化问题
（目标函数—非线性） （约 束—线 性）
有约束优化问题
ai x( k1) bi ai ( x( k ) k d ) bi ai x( k ) bi
ai x ( k 1) bi
二次规划：不等式约束问题的有效集法
二次规划：不等式约束问题的有效集法
二次规划：其它算法简介
这就是K-K-T条件，
P
f (x)
2
x
*
g1 (x)
g1 (x) 0
二次规划
一.二次规划的数学模型 二.二次规划的最优性条件 三.等式约束二次规划的解法 四.不等式约束二次规划的有效集解法 五.其它算法简介
二次规划：最优性条件
二次规划：等式约束问题
二次规划：等式约束问题
二次规划：等式约束问题
单纯形法的小结
（一）线性规划的标准形式： （二）基本概念
m i nz c T x Ax b s.t. x 0 j
T
（1）可行解：满足全部约束条件的决策向量称为可行解。 x ( x1 , x2 ,, xn , ) （2）可行域：全部可行解所构成的空间称为可行域。 （3）最优解：使目标函数达到最小的可行解称为最优解。 （4）无界解：若目标函数无下界称为无界解。
BXB CXC b
XB B-1C bB-1
(2) 确定被替换基本变量 x r
bi br 0) min( aik 1i m aik ark
x1 b1 x b r r xm bm
4.3二次规划
Find x min f ( x ) s. t . g ( x ) ≤ 0 ( j 1, 2,, n ) j
非线性约束优化问题
（目标函数—非线性） （约 束—非线性）
非线性优化问题
（目标函数—非线性）
线性约束优化问题
（目标函数—非线性） （约 束—线 性）
有约束优化问题
ai x( k1) bi ai ( x( k ) k d ) bi ai x( k ) bi
ai x ( k 1) bi
二次规划：不等式约束问题的有效集法
二次规划：不等式约束问题的有效集法
二次规划：其它算法简介
这就是K-K-T条件，
P
f (x)
2
x
*
g1 (x)
g1 (x) 0
二次规划
一.二次规划的数学模型 二.二次规划的最优性条件 三.等式约束二次规划的解法 四.不等式约束二次规划的有效集解法 五.其它算法简介
二次规划：最优性条件
二次规划：等式约束问题
二次规划：等式约束问题
二次规划：等式约束问题
单纯形法的小结
（一）线性规划的标准形式： （二）基本概念
m i nz c T x Ax b s.t. x 0 j
T
（1）可行解：满足全部约束条件的决策向量称为可行解。 x ( x1 , x2 ,, xn , ) （2）可行域：全部可行解所构成的空间称为可行域。 （3）最优解：使目标函数达到最小的可行解称为最优解。 （4）无界解：若目标函数无下界称为无界解。
二次规划基本介绍
二次规划基本介绍二次规划（Quadratic Programming，简称QP）是数学规划的一种特殊形式，它的目标函数是二次函数，约束条件是线性函数。
在实际应用中，二次规划被广泛应用于经济学、运筹学、工程学等领域，具有重要的理论和实际意义。
二次规划的一般形式可以表示为：$$\begin{aligned}\min_{x} \quad & \frac{1}{2} x^T Q x + c^T x \\\text{s.t.} \quad & Ax \ge b \\&Cx=d\end{aligned}$$其中，$x$是优化变量，$Q$是一个对称正定的矩阵，$c$、$b$、$d$都是列向量，$A$、$C$是约束矩阵。
在约束条件中，$Ax \ge b$表示一组不等式约束，$Cx = d$表示一组等式约束。
二次规划的优化目标是寻找满足约束条件的$x$，使得目标函数最小。
目标函数由两部分组成，一部分是二次项，一部分是线性项，其中$Q$是二次项的系数矩阵，$c$是线性项的系数向量。
由于$Q$是一个对称正定矩阵，所以二次项是凸的，使得问题具有良好的性质。
二次规划的解法有多种方法，以下介绍其中两种常用的方法：内点法和激活集方法。
内点法是一种迭代求解二次规划问题的方法。
它通过将二次规划问题转化为一系列等价的线性规划问题来求解。
在每一次迭代中，内点法通过将问题的方向限制在可行域的内部，逐渐逼近最优解。
使用内点法求解二次规划问题的一个优点是，可以在多项式时间内找到最优解，尤其适用于大规模的问题。
激活集方法是一种基于约束的求解方法。
它通过不断修改约束条件，从而求解二次规划问题。
在每一次迭代中，激活集方法选取一个子集，称为“激活集”，包含满足等式约束、不等式约束等的约束条件。
然后通过解析方法或数值方法求解这个子问题，得到对应的最优解。
该方法的优点是，可以很好地处理不等式约束和等式约束，并且收敛性良好。
除了内点法和激活集方法，还有其他的求解方法，如：序列二次规划、信赖域算法、光滑方法等。
二次规划.ppt
等式约束的二次规划问题
直接消去法 求解问题(1)最简单又最直接的方法就是利用约束来消去部分变量，从而把问题
转化成无约束问题，这一方法称为直接消去法。
将 A 分解成为如下形式：
A B,N
其中 B 为基矩阵，相应的将 x,c, H 作如下分块：
x
xB xN
,
c
cB cN
,
H
H11 H21
H12
H 22
其中 H11 为 m m 维矩阵。这样，问题(1)的约束条件变为： BxB NxN b
即：
xB B1b B1NxN (2)
等式约束的二次规划问题
将(2)代入 f x中就得到与问题(1)等价的无约束问题：
min
如果 Hˆ 2正定，则问题(3)的最优解为： x*N Hˆ 21cˆN
此时，问题(1)的解为：
x*
xx**NB
B1b
0
B1N
I
Hˆ 21cˆN
记点 x* 处的拉格朗日乘子为 λ* ，则有： AT λ* f x* Hx* c ，故知：
x1 2x2 x3 4 x1 x2 x3 2
通过高斯消元法可得：
x1 x1
2x2 4 x2 2
x3 x3
x1
1 3
x3
x2
2
2 3
x3
代入 f x 中可得到等价的无约束问题：
min
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K-K-T条件
L( x, λ) = f (x) + ∑ λ j g j (x)
j =1
m
(1) (2) (3) (4) (5)
f (x) + ∑ λ j g j (x) = 0 (梯度条件) 梯度条件)
j =1
m
g j ( x) ≤ 0
(约束条件) 约束条件) (松弛互补条件) 松弛互补条件) (非负条件) 非负条件) (正则条件或约束规格) 正则条件或约束规格)
f (x) = ci
g1 (x) = 0
x
*
f (x(0) ) x (k ) g 2 (x) = 0 x(0)
f (x(k ) )
x1
T 搜索方向满足; 搜索方向满足; f ( x)
P < 0 ,即; f ( x ) T P > 0 π f (x)T 与 P 夹角; α < 夹角;
2
am,m +1 am,m + 2
B = (p1p 2 , , p r , , p m )
f = f 0 + (c k z k ) x k
1 0 0 1 0 0 0 x1 0 x2 + 1 xm
k
B
C
XB x1 a1n b1 a1n xm b2 = xm +1 amn bm XC xn
二次规划: 二次规划:不等式约束问题的有效集法
二次规划: 二次规划:其它算法简介
�
′ a1k ′ ark x ≥ 0 k ′ amk
x B = ( x1 x2 , , xr , , xm ) B = (p1p 2 , , p r , , p m )
x B = ( x1 x2 , , xk , , xm ) B = (p1p 2 , , p k , , p m )
(10)基本可行解: 满足非负条件的基本解称为基本可行解. )基本可行解: 满足非负条件的基本解称为基本可行解.
x = (x B ,0)
(x B ≥ 0 )
时这解称为退化基本解. (11)退化基本解:基本解中至少一个分量为 时这解称为退化基本解. )退化基本解:基本解中至少一个分量为0时这解称为退化基本解
P
α>
π
2
x
*
g1 (x)
P
α< π
2
g1 (x)
g1 (x) = 0
g1 (x) = 0
P
f (x)
之间, 最优点 x* , f (x ) 一定在 g1 (x* )与 g 2 (x* ) 之间, * 非负线性组合表示. 所以 f (x ) 可以起作用的 g j (x* ) 非负线性组合表示.
*
(2-5)
BX B + CXC = b
X B + B -1C = bB -1
(2) 确定被替换基本变量 xr
br′ bi′ ′ = min ( aik > 0) ′ a′ 1≤i ≤ m aik rk
x1 b1′ x b′ r = r ′ xm bm
退化基本解 非退化基本解
退化基本可行解
(三)线性规划问题的性质 性质1: 性质 :
性质2: 性质 :
性质3: 性质 :
0
性质2 性质
性质4 性质
不等式
Hale Waihona Puke +松弛变量
可行域
可行域边界
Ax ≤ b
等式
r (≥ 0)
最优解
Bx B + Nx N ≤ b Ax ≤ b
x* ∈ x B
Bx B = b
基本可行解
Ax + r = b
x B = (x1 , x 2 , , x m ,0,0, ,0)
顶点
=
(1) 确定替换基本变量的非基本变量
a11 a12 a21 a22 am1 am 2
a1m a2 m amm
a1m +1 a1m +1
a1m + 2 a1m + 2
(2) g j (x) ≤ 0
这就是K-K-T条件 这就是 条件, 条件
f (x)
P
α>
π
2
x
*
g1 (x)
g1 (x) = 0
二次规划
一.二次规划的数学模型 二.二次规划的最优性条件 三.等式约束二次规划的解法 四.不等式约束二次规划的有效集解法 五.其它算法简介
二次规划: 二次规划:最优性条件
非线性) (目标函数—非线性) 目标函数 非线性
线性约束优化问题
非线性) (目标函数—非线性) 目标函数 非线性 (约 束—线 性) 线
有约束优化问题 线性优化问题
线性) (目标函数—线性) 目标函数 线性 线性) (约 束—线性) 线性
K-K-T条件的几何意义
(1)K-K-T条件
定义: 定义:
min f ( x) s.t g j (x) ≤ 0 ( j = 1,2, , m)
σ = (c z ) = min σ
k k i =m+1,n
i
′ a1m +1 ′ a2 m +1
′ a1k a′ k 2
′ am ,m +1 a′ ,k m
0 ′ a1n 0 b1′ ′ ′ a2 n b2 = xk ′ a′ bm mn 0
二次规划: 二次规划:等式约束问题
二次规划: 二次规划:等式约束问题
二次规划: 二次规划:等式约束问题
二次规划: 二次规划:等式约束问题
二次规划: 二次规划:不等式约束问题的有效集法
1 k min( f (x( k +1) ) f (x( k ) )) min T f (x( k ) )d k + d T T f (x( k ) )d k 2
g 2 (x)
α<
f (x) = ci
f (x) π
2 2 (x) = 0 g
夹角; 夹角; α <
π
2
f (x)
P
g 2 (x)
P
g1 (x) = 0
x*
f (x)
g1 (x)
夹角; 夹角;
f (x)
g 2 ( x) = 0
g 2 (x)
g 2 ( x) = 0
g 2 (x)
f (x)
4.非线性结构优化 非线性结构优化
4.3二次规划 4.3二次规划
Find x min f (x ) s. t . g ( x ) ≤ 0 ( j = 1, 2, , n ) j
非线性约束优化问题
非线性) (目标函数—非线性) 目标函数 非线性 非线性) (约 束—非线性) 非线性
非线性优化问题
单纯形法的小结
(一)线性规划的标准形式: 线性规划的标准形式: (二)基本概念
min z = c T x Ax = b s.t. x ≥ 0 j
T
(1)可行解:满足全部约束条件的决策向量称为可行解. x = ( x1 , x2 , , xn , ) )可行解:满足全部约束条件的决策向量称为可行解. (2)可行域:全部可行解所构成的空间称为可行域. )可行域:全部可行解所构成的空间称为可行域. (3)最优解:使目标函数达到最小的可行解称为最优解. )最优解:使目标函数达到最小的可行解称为最优解. (4)无界解:若目标函数无下界称为无界解. )无界解:若目标函数无下界称为无界解.
二次规划: 二次规划:不等式约束问题的有效集法
二次规划: 二次规划:不等式约束问题的有效集法
ai x ( k +1) = bi ai ( x ( k ) + α k d ) = bi ∵ ai x ( k ) = bi
ai x ( k +1) ≤ bi
二次规划: 二次规划:不等式约束问题的有效集法
i xB = 0 (i > 0 )
(12)非退化基本解:基本解中没有基本变量为0时,这解称为退化基本解. )非退化基本解:基本解中没有基本变量为 时 这解称为退化基本解.
i xB ≠ 0 (i = 1 2, , m) ,
(13)退化基本可行解:基本可行解中至少一个基本变量为0时这解称为 )退化基本可行解:基本可行解中至少一个基本变量为 时这解称为 退化基本可行解. 退化基本可行解. 基本可行解 可行域 可行解
Ax = b Bx B + Nx N = b 称为线性规划的 (5)基本矩阵:若 A m×n 的秩R(A) = m , 则非奇异矩阵 B m×m 称为线性规划的 )基本矩阵:
基本矩阵. 基本矩阵. 称为线性规划的非基本矩阵. 线性规划的非基本矩阵 (6)非基本矩阵: N m×( nm ) 称为线性规划的非基本矩阵. )非基本矩阵: 称为线性规划的基本变量. 线性规划的基本变量 (7)基本变量: x B 称为线性规划的基本变量. )基本变量: 称为线性规划的非基本变量. 线性规划的非基本变量 (8)非基本变量: x N 称为线性规划的非基本变量. )非基本变量: 称为线性规划的基本解. 线性规划的基本解 (9)基本解:x = (x B ,0) 称为线性规划的基本解. )基本解:
(1) f (x) = ∑ λ j g j (x)
(4) λ j ≥ 0
j =1
m
( j = 1,2, , m)
起作用的约束经过最优点 , g j ( x) = 0 , λ j ≥ 0
(3) λ j g j (x) = 0
最优点满足所有的约束条件, 最优点满足所有的约束条件
g 2 (x) = 0
g 2 (x)
λ j g j ( x) = 0 λj ≥ 0
g j (x) 线性无关
( j = 1,2, , m)
x ( 0) 处没有起作用的约束(可行域内部 g 处没有起作用的约束( x (k ) 处起作用的约束 g 2 (x) = 0
L( x, λ) = f (x) + ∑ λ j g j (x)
j =1
m
(1) (2) (3) (4) (5)
f (x) + ∑ λ j g j (x) = 0 (梯度条件) 梯度条件)
j =1
m
g j ( x) ≤ 0
(约束条件) 约束条件) (松弛互补条件) 松弛互补条件) (非负条件) 非负条件) (正则条件或约束规格) 正则条件或约束规格)
f (x) = ci
g1 (x) = 0
x
*
f (x(0) ) x (k ) g 2 (x) = 0 x(0)
f (x(k ) )
x1
T 搜索方向满足; 搜索方向满足; f ( x)
P < 0 ,即; f ( x ) T P > 0 π f (x)T 与 P 夹角; α < 夹角;
2
am,m +1 am,m + 2
B = (p1p 2 , , p r , , p m )
f = f 0 + (c k z k ) x k
1 0 0 1 0 0 0 x1 0 x2 + 1 xm
k
B
C
XB x1 a1n b1 a1n xm b2 = xm +1 amn bm XC xn
二次规划: 二次规划:不等式约束问题的有效集法
二次规划: 二次规划:其它算法简介
�
′ a1k ′ ark x ≥ 0 k ′ amk
x B = ( x1 x2 , , xr , , xm ) B = (p1p 2 , , p r , , p m )
x B = ( x1 x2 , , xk , , xm ) B = (p1p 2 , , p k , , p m )
(10)基本可行解: 满足非负条件的基本解称为基本可行解. )基本可行解: 满足非负条件的基本解称为基本可行解.
x = (x B ,0)
(x B ≥ 0 )
时这解称为退化基本解. (11)退化基本解:基本解中至少一个分量为 时这解称为退化基本解. )退化基本解:基本解中至少一个分量为0时这解称为退化基本解
P
α>
π
2
x
*
g1 (x)
P
α< π
2
g1 (x)
g1 (x) = 0
g1 (x) = 0
P
f (x)
之间, 最优点 x* , f (x ) 一定在 g1 (x* )与 g 2 (x* ) 之间, * 非负线性组合表示. 所以 f (x ) 可以起作用的 g j (x* ) 非负线性组合表示.
*
(2-5)
BX B + CXC = b
X B + B -1C = bB -1
(2) 确定被替换基本变量 xr
br′ bi′ ′ = min ( aik > 0) ′ a′ 1≤i ≤ m aik rk
x1 b1′ x b′ r = r ′ xm bm
退化基本解 非退化基本解
退化基本可行解
(三)线性规划问题的性质 性质1: 性质 :
性质2: 性质 :
性质3: 性质 :
0
性质2 性质
性质4 性质
不等式
Hale Waihona Puke +松弛变量
可行域
可行域边界
Ax ≤ b
等式
r (≥ 0)
最优解
Bx B + Nx N ≤ b Ax ≤ b
x* ∈ x B
Bx B = b
基本可行解
Ax + r = b
x B = (x1 , x 2 , , x m ,0,0, ,0)
顶点
=
(1) 确定替换基本变量的非基本变量
a11 a12 a21 a22 am1 am 2
a1m a2 m amm
a1m +1 a1m +1
a1m + 2 a1m + 2
(2) g j (x) ≤ 0
这就是K-K-T条件 这就是 条件, 条件
f (x)
P
α>
π
2
x
*
g1 (x)
g1 (x) = 0
二次规划
一.二次规划的数学模型 二.二次规划的最优性条件 三.等式约束二次规划的解法 四.不等式约束二次规划的有效集解法 五.其它算法简介
二次规划: 二次规划:最优性条件
非线性) (目标函数—非线性) 目标函数 非线性
线性约束优化问题
非线性) (目标函数—非线性) 目标函数 非线性 (约 束—线 性) 线
有约束优化问题 线性优化问题
线性) (目标函数—线性) 目标函数 线性 线性) (约 束—线性) 线性
K-K-T条件的几何意义
(1)K-K-T条件
定义: 定义:
min f ( x) s.t g j (x) ≤ 0 ( j = 1,2, , m)
σ = (c z ) = min σ
k k i =m+1,n
i
′ a1m +1 ′ a2 m +1
′ a1k a′ k 2
′ am ,m +1 a′ ,k m
0 ′ a1n 0 b1′ ′ ′ a2 n b2 = xk ′ a′ bm mn 0
二次规划: 二次规划:等式约束问题
二次规划: 二次规划:等式约束问题
二次规划: 二次规划:等式约束问题
二次规划: 二次规划:等式约束问题
二次规划: 二次规划:不等式约束问题的有效集法
1 k min( f (x( k +1) ) f (x( k ) )) min T f (x( k ) )d k + d T T f (x( k ) )d k 2
g 2 (x)
α<
f (x) = ci
f (x) π
2 2 (x) = 0 g
夹角; 夹角; α <
π
2
f (x)
P
g 2 (x)
P
g1 (x) = 0
x*
f (x)
g1 (x)
夹角; 夹角;
f (x)
g 2 ( x) = 0
g 2 (x)
g 2 ( x) = 0
g 2 (x)
f (x)
4.非线性结构优化 非线性结构优化
4.3二次规划 4.3二次规划
Find x min f (x ) s. t . g ( x ) ≤ 0 ( j = 1, 2, , n ) j
非线性约束优化问题
非线性) (目标函数—非线性) 目标函数 非线性 非线性) (约 束—非线性) 非线性
非线性优化问题
单纯形法的小结
(一)线性规划的标准形式: 线性规划的标准形式: (二)基本概念
min z = c T x Ax = b s.t. x ≥ 0 j
T
(1)可行解:满足全部约束条件的决策向量称为可行解. x = ( x1 , x2 , , xn , ) )可行解:满足全部约束条件的决策向量称为可行解. (2)可行域:全部可行解所构成的空间称为可行域. )可行域:全部可行解所构成的空间称为可行域. (3)最优解:使目标函数达到最小的可行解称为最优解. )最优解:使目标函数达到最小的可行解称为最优解. (4)无界解:若目标函数无下界称为无界解. )无界解:若目标函数无下界称为无界解.
二次规划: 二次规划:不等式约束问题的有效集法
二次规划: 二次规划:不等式约束问题的有效集法
ai x ( k +1) = bi ai ( x ( k ) + α k d ) = bi ∵ ai x ( k ) = bi
ai x ( k +1) ≤ bi
二次规划: 二次规划:不等式约束问题的有效集法
i xB = 0 (i > 0 )
(12)非退化基本解:基本解中没有基本变量为0时,这解称为退化基本解. )非退化基本解:基本解中没有基本变量为 时 这解称为退化基本解.
i xB ≠ 0 (i = 1 2, , m) ,
(13)退化基本可行解:基本可行解中至少一个基本变量为0时这解称为 )退化基本可行解:基本可行解中至少一个基本变量为 时这解称为 退化基本可行解. 退化基本可行解. 基本可行解 可行域 可行解
Ax = b Bx B + Nx N = b 称为线性规划的 (5)基本矩阵:若 A m×n 的秩R(A) = m , 则非奇异矩阵 B m×m 称为线性规划的 )基本矩阵:
基本矩阵. 基本矩阵. 称为线性规划的非基本矩阵. 线性规划的非基本矩阵 (6)非基本矩阵: N m×( nm ) 称为线性规划的非基本矩阵. )非基本矩阵: 称为线性规划的基本变量. 线性规划的基本变量 (7)基本变量: x B 称为线性规划的基本变量. )基本变量: 称为线性规划的非基本变量. 线性规划的非基本变量 (8)非基本变量: x N 称为线性规划的非基本变量. )非基本变量: 称为线性规划的基本解. 线性规划的基本解 (9)基本解:x = (x B ,0) 称为线性规划的基本解. )基本解:
(1) f (x) = ∑ λ j g j (x)
(4) λ j ≥ 0
j =1
m
( j = 1,2, , m)
起作用的约束经过最优点 , g j ( x) = 0 , λ j ≥ 0
(3) λ j g j (x) = 0
最优点满足所有的约束条件, 最优点满足所有的约束条件
g 2 (x) = 0
g 2 (x)
λ j g j ( x) = 0 λj ≥ 0
g j (x) 线性无关
( j = 1,2, , m)
x ( 0) 处没有起作用的约束(可行域内部 g 处没有起作用的约束( x (k ) 处起作用的约束 g 2 (x) = 0