二次规划问题
序列二次规划
起作用集方法
起作用集方法
(*****)
起作用集方法
起作用集方法
起作用集方法
起作用集方法
Questions
如何得到(*******)？
Answer
起作用集方法
起作用集方法
Questions
起作用集方法
起作Байду номын сангаас集方法
起作用集方法
起作用集方法
起作用集方法
Algorithm
起作用集方法
(***)
Proof
起作用集方法
起作用集方法
（a）
起作用集方法
(b)
满足（a)的 x* 肯定满足（b），且为满足（b）的 x* 的
一部分，但满足（b）的解是唯一的，所以问题（b）的解 就是问题（a)的解。
Remark
起作用集方法
起作用集方法
Questions
起作用集方法
起作用集方法
序列二次规划法
A characteristic of a large class of early methods is the translation of the constrained problem to a basic unconstrained problem by using a penalty function for constraints that are near or beyond the constraint boundary. In this way the constrained problem is solved using a sequence of parameterized unconstrained optimizations, which in the limit (of the sequence) converge to the constrained problem.
二次规划问题
二次规划问题二次规划问题（quadratic programming）的标准形式为：sub.to其中，H、A、Aeq为矩阵，f、b、beq、lb、ub、x为向量其它形式的二次规划问题都可转化为标准形式。
MATLAB5.x版中的qp函数已被6.0版中的函数quadprog取代。
函数 quadprog格式 x = quadprog(H,f,A,b) %其中H,f,A,b为标准形中的参数，x为目标函数的最小值。
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq) %Aeq,beq满足等约束条件。
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) % lb,ub分别为解x的下界与上界。
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) %x0为设置的初值x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) % options为指定的优化参数[x,fval] = quadprog(…) %fval为目标函数最优值[x,fval,exitfla g] = quadprog(…) % exitflag与线性规划中参数意义相同[x,fval,exitflag,output] = quadprog(…) % output与线性规划中参数意义相同[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(…) % lambda与线性规划中参数意义相同例5-8 求解下面二次规划问题sub.to解：则，，在MA TLAB中实现如下：>>H = [1 -1; -1 2] ;>>f = [-2; -6];>>A = [1 1; -1 2; 2 1];>>b = [2; 2; 3];>>lb = zeros(2,1);>>[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b,[ ],[ ],lb)结果为：x = %最优解0.66671.3333fval = %最优值-8.2222exitflag = %收敛1output =iterations: 3algorithm: 'medium-scale: active-set'firstorderopt: [ ]cgiterations: [ ]lambda =lower: [2x1 double]upper: [2x1 double]eqlin: [0x1 double]ineqlin: [3x1 double]>> lambda.ineqlinans =3.11110.4444>> lambda.lowerans =说明第1、2个约束条件有效，其余无效。
matlab5二次规划问题
二次规划的标准形式为：min (1/2)X’HX+f’X约束条件：Ax≤b Aeqx=beq，lb≤x≤ub，其中：f、b、beq、lb、ub、x是矢量，H、 A、Aeq为矩阵。
在MATLAB中可以使用quadprog函数来求最小值。
调用格式:x=quadprog (H,f,A,b)x=quadprog (H,f,A,b,Aeq,beq)x=quadprog (H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x=quadprog (H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)x=quadprog (H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) x=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options,P1,P2,…) [x,fval]= quadprog (…)[x,fval,exitflag]= quadprog (…)[x,fval,exitflag,output]= quadprog (…)[x,fval,exitflag,output,lambda]= quadprog (…) fval为目标函数的最优值；其中：H,f,A,b为标准形中的参数，x为目标函数的最小值；x0为初值；Aeq,beq 满足等式约束Aeq.x=beq；lb,ub满足lb lambda是Lagrange乘数，它体现有效约束的个数；output输出优化信息；exitflag为终止迭代的条件：若exitflag>0，表示函数收敛于解x；若exitflag=0,表示超过函数估值或迭代的最大次数；exitflag<0表示函数不收敛于解x；output为优化信息：若参数output=iterations表示迭代次数，output=funccount表示函数赋值次数，output=algorithm表示所使用的算法。
例0-6 计算下面二次规划问题minf（x）= (1/2)x1^2+x2^2- x1x2-2x1-6x2约束条件： x1+x2≤2-x1+x2≤2，2x1+x2≤3；x1≤0； x2≤0解：把二次规划问题写成标准形式：(1/2)XTHX+fTX 这里：H= 1 -1 f= -2 X= x1-1 2 -6 x2在命令窗口键入命令：>>H=[1 –1;-1 2];>>f=[-2;-6];>>A=[1 1;-1 2;2 1];>>b=[2;2;3];>>lb=[zeros(2,1)];>>[x,fval,exitflag,output,lambda]=quadprog(H,f,A,b,[],[],lb)运行以上命令得到的显示结果如下：x= %最优值点 §3 二次规划模型 数学模型： ub x lb beq x Aeqbx A x f Hx x T T x ≤≤=⋅≤⋅+21min其中H 为二次型矩阵，A 、Aeq 分别为不等式约束与等式约束系数矩阵，f,b,beq,lb,ub,x 为向量。
具有二次非线性约束的凸二次规划问题的算法研究
具有二次非线性约束的凸二次规划问题的算法研究一、引言在实际应用中，凸二次规划问题的求解是一类非常重要的问题。
经典的二次规划问题的目标函数是一个二次函数，并且约束条件是线性的，这类问题的求解已经得到了广泛的研究。
但是，在实际生产与维护中，往往还需要考虑更多因素的约束，例如涉及到非线性因素、离散因素等。
本文将着重探讨具有二次非线性约束的凸二次规划问题，并给出相应的算法。
二、凸二次规划问题凸二次规划问题被定义为：求解一个二次目标函数的最小值，其约束条件是一些线性不等式和线性等式。
这类问题是一个非常重要的建模工具，广泛应用于生产与维护等领域。
对于凸二次规划问题，在具有一定的限制条件下，可以通过各种方法来求解。
该问题最常见的求解方法是使用内点法，该方法具有渐进Theory收敛性，并且在理论上具有多项式时间复杂度。
其他常用方法还包括牛顿法、拆分算法等。
三、具有二次非线性约束的凸二次规划问题凸二次规划问题的约束条件通常是线性的，而在实践中还经常遇到需要考虑更多因素的情况。
其中最重要的因素之一就是具有二次非线性约束的问题。
这种类型的问题在实际应用中是非常常见的。
对于具有二次非线性约束的凸二次规划问题，数学模型表示可以被写成如下形式：$$ \begin{aligned} \min_{x\in \mathbb{R}^n}\qquad &\dfrac{1}{2}x^TQx + c^Tx\\ & \text{s.t. }\quad Ax = b\\ &\quad\quad\quad f_i(x) \geq 0\quad i\in I_1\\ & \quad\quad\quad f_j(x) = 0 \quad j\in I_2 \end{aligned} $$其中，$x$ 是优化变量， $Q$ 是一个半正定的 $n\times n$ 实矩阵， $A$ 和 $b$ 分别是 $m\times n$ 实矩阵和 $m$ 维向量，$f_i(x)$ 和 $f_j(x)$ 分别是凸可微非线性函数。
解读支持向量机中的二次规划问题与求解方法
解读支持向量机中的二次规划问题与求解方法支持向量机（Support Vector Machine，简称SVM）是一种常用的机器学习算法，广泛应用于分类和回归问题中。
在SVM的训练过程中，二次规划问题是关键步骤之一，它的解决方法对于SVM的性能和效率具有重要影响。
本文将解读支持向量机中的二次规划问题与求解方法。
一、SVM的基本原理SVM的目标是找到一个超平面，将不同类别的样本分开。
超平面的选择是基于最大间隔原则，即使得样本点到超平面的距离最大化。
为了实现这一目标，SVM将问题转化为一个二次规划问题。
二、二次规划问题的定义给定一组线性约束条件和一个二次目标函数，二次规划问题的目标是找到一组变量的取值，使得目标函数最小化或最大化，同时满足线性约束条件。
在SVM中，二次规划问题的目标是最小化一个二次函数，同时满足一组线性不等式约束。
三、二次规划问题的形式在SVM中，二次规划问题的形式如下：minimize 1/2 * x^T * Q * x + p^T * xsubject to G * x <= hA * x = b其中，x是待求解的变量，Q是一个正定矩阵，p是一个向量，G是一个矩阵，h是一个向量，A是一个矩阵，b是一个向量。
四、求解二次规划问题的方法针对SVM中的二次规划问题，有多种求解方法。
常用的方法包括序列最小最优化（Sequential Minimal Optimization，简称SMO）、内点法等。
1. 序列最小最优化（SMO）SMO是一种迭代的优化算法，通过每次选择两个变量进行优化，并固定其他变量，来求解二次规划问题。
SMO算法的核心思想是将原问题分解为一系列子问题，并通过求解子问题的最优解来逐步逼近原问题的最优解。
SMO算法具有较好的收敛性和高效性，因此在SVM中得到了广泛应用。
2. 内点法内点法是一种基于迭代的优化算法，通过在可行域内搜索最优解来求解二次规划问题。
内点法的核心思想是通过引入松弛变量，将不等式约束转化为等式约束，从而将原问题转化为一个无约束的优化问题。
求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法
求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法——最优化方法课程实验报告学院：数学与统计学院班级：硕2041班姓名：王彭学号：3112054028指导教师：阮小娥同组人：钱东东求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法摘要二次规划师非线性优化中的一种特殊情形，它的目标函数是二次实函数，约束函数都是线性函数。
由于二次规划比较简单，便于求解（仅次于线性规划），并且一些非线性优化问题可以转化为求解一些列的二次规划问题，因此二次规划的求解方法较早引起人们的重视，称为求解非线性优化的一个重要途径。
二次规划的算法较多，本文仅介绍求解等式约束凸二尺规划的拉格朗日方法以及求解一般约束凸二次规划的有效集方法。
关键字：二次规划，拉格朗日方法，有效集方法。
- 1 -《最优化方法》课程实验报告- 2 - 【目录】摘要........................................................................................................................... - 1 -1 等式约束凸二次规划的解法............................................................................... - 3 -1.1 问题描述.................................................................................................... - 3 -1.2 拉格朗日方法求解等式约束二次规划问题............................................ - 3 -1.2.1 拉格朗日方法的推导...................................................................... - 3 -1.2.2 拉格朗日方法的应用...................................................................... - 4 -2 一般凸二次规划问题的解法............................................................................... - 5 -2.1 问题描述.................................................................................................... - 5 -2.2 有效集法求解一般凸二次规划问题........................................................ - 6 -2.2.1 有效集方法的理论推导.................................................................. - 6 -2.2.2 有效集方法的算法步骤.................................................................. - 9 -2.2.3 有效集方法的应用........................................................................ - 10 -3 总结与体会......................................................................................................... - 11 -4 附录..................................................................................................................... - 11 -4.1 拉格朗日方法的matlab程序................................................................. - 11 -4.2 有效集方法的Matlab程序 .................................................................... - 11 -求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法- 3 -1 等式约束凸二次规划的解法1.1 问题描述我们考虑如下的二次规划问题⎪⎩⎪⎨⎧=+b Ax t s x c Hx x T T ..,21min (1.1) 其中n n R H ⨯∈对称正定，n m R A ⨯∈行满秩，n R x c,∈，m R b ∈。
求解二次规划问题——外点罚函数法内点罚函数法
求解⼆次规划问题——外点罚函数法内点罚函数法
外点罚函数法
做法就是在可⾏域之外设置障碍，可解决等式和不等式约束问题，但求出的最优解往往不在可⾏域内。
将约束条件转化成函数表达式的⼀部分，使新的函数式变为⽆约束的⼆次规划问题：
约束条件转换：
将等式和不等式转换后的式⼦融合：
算法步骤：
1 确定初始点x0，初始罚银⼦Mk（可取M1=1），设置精确度
2 ⽤解析法或者其他⽅法求解驻点，得到x
3 当Mk*p（x）<精确度将此x作为最优解，若不满⾜将持续增⼤Mk
（很多算例上直接在算出驻点表达式后，将Mk趋近⽆穷来求解）
内点罚函数法
做法就是在可⾏域内部设限制，靠近边缘的域设置较⼤的障碍，边缘的障碍⽆穷⼤，⽤来解决不等式约束问题，算出的解必在可⾏域内部同外点法⼀样将约束条件转化为函数的⼀部分，使之成为⽆约束⼆次规划问题：
约束条件转化：
倒数障碍函数和对数障碍函数（使⽤其中的⼀种就可以）
算法步骤：和外点法类似，但当前解不满⾜精度要求时，rk会缩⼩，甚多算例将rk趋近0来求解函数最⼩值。
二次规划.ppt
等式约束的二次规划问题
直接消去法 求解问题(1)最简单又最直接的方法就是利用约束来消去部分变量，从而把问题
转化成无约束问题，这一方法称为直接消去法。
将 A 分解成为如下形式：
A B,N
其中 B 为基矩阵，相应的将 x,c, H 作如下分块：
x
xB xN
,
c
cB cN
,
H
H11 H21
H12
H 22
其中 H11 为 m m 维矩阵。这样，问题(1)的约束条件变为： BxB NxN b
即：
xB B1b B1NxN (2)
等式约束的二次规划问题
将(2)代入 f x中就得到与问题(1)等价的无约束问题：
min
如果 Hˆ 2正定，则问题(3)的最优解为： x*N Hˆ 21cˆN
此时，问题(1)的解为：
x*
xx**NB
B1b
0
B1N
I
Hˆ 21cˆN
记点 x* 处的拉格朗日乘子为 λ* ，则有： AT λ* f x* Hx* c ，故知：
x1 2x2 x3 4 x1 x2 x3 2
通过高斯消元法可得：
x1 x1
2x2 4 x2 2
x3 x3
x1
1 3
x3
x2
2
2 3
x3
代入 f x 中可得到等价的无约束问题：
min
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9.2.4 二次规划问题
9.2.4.1 基本数学原理
如果某非线性规划的目标函数为自变量的二次函数，约束条件全是线性函数，就称这种规划为二次规划。
其数学模型为：
其中，H, A,和Aeq为矩阵,f, b, beq, lb, ub,和x为向量。
9.2.4.2 相关函数介绍
quadprog函数
功能：求解二次规划问题。
语法：
x = quadprog(H,f,A,b)
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)
[x,fval] = quadprog(...)
[x,fval,exitflag] = quadprog(...)
[x,fval,exitflag,output] = quadprog(...)
[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(...)
描述：
x = quadprog(H,f,A,b) 返回向量x，最小化函数1/2*x'*H*x + f'*x ，
其约束条件为A*x <= b。
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq)仍然求解上面的问题，但添加了等式约束条件
Aeq*x = beq。
x = quadprog(H,f,A,b,lb,ub)定义设计变量的下界lb和上界ub，使得lb <= x <= ub。
x = quadprog(H,f,A,b,lb,ub,x0)同上，并设置初值x0。
x = quadprog(H,f,A,b,lb,ub,x0,options)根据options参数指定的优化参数进行最小
化。
[x,fval] = quadprog(...)返回解x处的目标函数值fval = 0.5*x'*H*x + f'*x。
[x,fval,exitflag] = quadprog(...)返回exitflag参数，描述计算的退出条件。
[x,fval,exitflag,output] = quadprog(...)返回包含优化信息的结构输出output。
[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(...)返回解x处包含拉格朗日乘子的
lambda参数。
变量：
各变量的意义同前。
.注意：
1．一般地，如果问题不是严格凸性的，用quadprog函数得到的可能是局部最优解。
2．如果用Aeq和Beq明确地指定等式约束，而不是用lb和ub指定，则可以得到更好的数值解。
3．若x的组分没有上限或下限，则quadprog函数希望将对应的组分设置为Inf（对于上限）或-Inf（对于下限），而不是强制性地给予上限一个很大的数或给予下限一个很小的负数。
4．对于大型优化问题，若没有提供初值x0，或x0不是严格可行，则quadprog 函数会选择一个新的初始可行点。
5．若为等式约束，且quadprog函数发现负曲度(negative curvature)，则优化过程终止，exitflag的值等于-1。
算法：
大型优化算法当优化问题只有上界和下界，而没有线性不等式或等式约束，则缺省算法为大型算法。
或者，如果优化问题中只有线性等式，而没有上界和下界或线性不等式时，缺省算法也是大型算法。
本法是基于内部映射牛顿法(interior-reflective Newton method)的子空间置信域法(subspace trust-region)。
该法的具体算法请参见文献[2]。
该法的每一次迭代都与用PCG法求解大型线性系统得到的近似解有关。
中型优化算法 quadprog函数使用活动集法，它也是一种投影法，首先通过求解线性规划问题来获得初始可行解。
诊断：
1.大型优化问题大型优化问题不允许约束上限和下限相等，如若lb(2)==ub(2)，
则给出以下出错信息：
Equal upper and lower bounds not permitted in this large-scale e equality constraints and the medium-scale method instead.
若优化模型中只有等式约束，仍然可以使用大型算法；如果模型中既有等式约束又有边界约束，则必须使用中型方法。
2．中型优化问题当解不可行时，quadprog函数给出以下警告：
Warning: The constraints are overly stringent;there is no feasible solution.
这里，quadprog函数生成使约束矛盾最坏程度最小的结果。
当等式约束不连续时，给出下面的警告信息：
Warning: The equality constraints are overly stringent;there is no feasible solution.
当Hessian矩阵为负半定时，生成无边界解，给出下面的警告信息：
Warning: The solution is unbounded and at infinity;the constraints are not
restrictive enough.
这里，quadprog函数返回满足约束条件的x值。
局限性：
1．此时，显示水平只能选择'off'和'final'，迭代参数'iter'不可用。
2．当问题不定或负定时，常常无解（此时exitflag参数给出一个负值，表示
优化过程不收敛）。
若正定解存在，则quadprog函数可能只给出局部极小值，因
为问题可能时非凸的。
3．对于大型问题，不能依靠线性等式，因为Aeq必须是行满秩的，即Aeq
的行数必须不多于列数。
若不满足要求，必须调用中型算法进行计算。
9.2.4.3 应用实例
[例一]求解下面的最优化问题：
目标函数
约束条件
首先，目标函数可以写成下面的矩阵形式：
其中
输入下列系数矩阵：
H = [1 -1; -1 2]
f = [-2; -6]
A = [1 1; -1 2; 2 1]
b = [2; 2; 3]
lb = zeros(2,1)
然后调用二次规划函数quadratic：
[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b,[],[],lb)得问题的解
x =
0.6667
1.3333
fval =
-8.2222
exitflag =
1
output =
iterations: 3
algorithm: 'medium-scale: active-set'
firstorderopt: []
cgiterations: []
lambda.ineqlin
ans =
3.1111
0.4444
lambda.lower
ans =
磁盘中本问题的M文件为opt24_1.。