(江苏专版)2019版高考数学一轮复习第六章数列6.1数列的有关概念讲义
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答案 D 令an=3,即n2-8n+15=3,解得n=2或6,故3是数列{an}中的第2项 或第6项.
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3.(2016北京东城一模)已知数列{an}的前n项和Sn=1-5+9-13+17-21+…+
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考点突破
2-1 (2016北京海淀期中)数列{an}的前n项和为Sn,若Sn-Sn-1=2n-1(n≥2),
且S2=3,则a1的值为 ( A )
A.0 B.1 C.3 D.5
答案 A ∵Sn-Sn-1=2n-1(n≥2), ∴S2-S1=2×2-1=3. ∴S1=S2-3. 又∵S2=3, ∴S1=3-3=0.
9
9
9
一
8 9
1
1 10n
个通项公式为an= .
(3)各项的分母分别为21,222,23,324,…,易看出第2,3,42,…1 项3 的22分 3子分23 别 3比分
2
21
22
23
母24 少 33,因此把第1项变为- ,则原数列可化为- 2,n 3,- ,
24,……,∴原数3列5 的7一9个通项公式为an=(-1)n· . 2n
5.(2015北京东城模拟)已知函数f(x)的对应关系如下表所示,数列{an}满
足a1=3,an+1=f(an),则a4=
,a2 = 015
.
x
1
2
3
f(x)
3
2
1
答案 1;3
解析 ∵a1=3,∴a2=f(a1)=f(3)=1,a3=f(a2)=f(1)=3, a4=f(a3)=f(3)=1,……,可知数列{an}是以2为周期的数列,∴a2 015=a1=3.
苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第六章数列第一节数列的概念及其简单表示法教案理解析版
１．数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{a n}的第n项a n通项公式数列{a n}的第n项a n与n之间的关系能用公式a n＝f（n）表示，这个公式叫做数列的通项公式前n项和数列{a n}中，S n＝a１＋a２＋…＋a n叫做数列的前n项和２．数列的表示方法列表法列表格表示n与a n的对应关系图象法把点（n，a n）画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a１和a n＋１＝f（a n）或a１，a２和a n＋１＝f（a n，a n—１）等表示数列的方法３．a n与S n的关系若数列{a n}的前n项和为S n，则a n＝错误!４．数列的分类[小题体验]１．数列—１，错误!，—错误!，错误!，…的一个通项公式是________．解析：—１＝—错误!，数列１,４,9,１6，…对应通项n２，数列１,３,５,7，…对应通项２n—１，数列—１,１，—１,１，…对应通项（—１）n，故a n＝（—１）n·错误!.答案：a n＝（—１）n·错误!２．已知数列错误!满足a n＝４a n—１＋３，且a１＝0，则a５＝________.解析：a２＝４a１＋３＝３，a３＝４a２＋３＝１５，a４＝４a３＋３＝6３，a５＝４a４＋３＝２５５．答案：２５５３．数列{a n}的通项公式为a n＝—n２＋9n，则该数列第________项最大．答案：４或５４．若数列错误!的前n项和S n＝n２＋３n，则错误!＝________.解析：∵数列错误!的前n项和S n＝n２＋３n，∴a１＋a２＋a３＝S３＝３２＋３×３＝１8，∵a４＋a５＋a6＝S6—S３＝３6，∴错误!＝２．答案：２１．易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．２．在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a１，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n—S n—１的形式，但它只适用于n≥２的情形．[小题纠偏]１．已知数列{a n}的前n项和S n＝２n—３，则数列{a n}的通项公式是________________．解析：当n＝１时，a１＝S１＝２—３＝—１，当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝（２n—３）—（２n—１—３）＝２n—２n—１＝２n—１.又a１＝—１不适合上式，故a n＝错误!答案：a n＝错误!２．若数列错误!的前n项和S n＝错误!a n＋错误!，则错误!的通项公式a n＝________.解析：由S n＝错误!a n＋错误!得，当n≥２时，S n—１＝错误!a n—１＋错误!，两式相减，得a n＝错误!a n—错误!a n—１，∴当n≥２时，a n＝—２a n—１，即错误!＝—２．又n＝１时，S１＝a１＝错误!a１＋错误!，a１＝１，∴数列{a n}是以１为首项，—２为公比的等比数列，∴a n＝（—２）n—１.答案：（—２）n—１错误!错误![题组练透]１．若a n＝n２＋λn＋３（其中λ为实常数），n∈N*，且数列错误!为单调递增数列，则实数λ的取值范围是________．解析：法一：（函数观点）因为错误!为单调递增数列，所以a n＋１＞a n，即（n＋１）２＋λ（n＋１）＋３＞n２＋λn＋３，化简为λ＞—２n—１对一切n∈N*都成立，所以λ＞—３．故实数λ的取值范围是（—３，＋∞）．法二：（数形结合法）因为错误!为单调递增数列，所以a１＜a２，要保证a１＜a２成立，二次函数f（x）＝x２＋λx＋３的对称轴x＝—错误!应位于１和２中点的左侧，即—错误!＜错误!，亦即λ＞—３，故实数λ的取值范围是（—３，＋∞）．答案：（—３，＋∞）２．已知数列{a n}的通项公式a n＝（n＋１）0．9n，求n为何值时，a n取得最大值．解：因为a１＝２×0．9＝１．8，a２＝３×0．8１＝２．４３，所以a１＜a２，所以a１不是数列{a n}中的最大项．设第n项a n的值最大，则错误!即错误!解得错误!所以当n为8或9时，a n取得最大值．[谨记通法]求数列中最大或最小项的２种方法（１）单调性法：可以借助于函数的单调性来研究数列的最值问题．有时可利用作差或作商比较法来探究数列的单调性．（２）不等式组法：若满足错误!则a n为数列{a n}中的最大项；若满足错误!则a n为数列{a n}中的最小项．错误!错误![典例引领]已知下面数列{a n}的前n项和S n，求{a n}的通项公式．（１）S n＝２n２—３n；（２）S n＝３n＋b.解：（１）a１＝S１＝２—３＝—１，当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝（２n２—３n）—[２（n—１）２—３（n—１）]＝４n—５，由于a１也适合此等式，所以a n＝４n—５．（２）a１＝S１＝３＋b，当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝（３n＋b）—（３n—１＋b）＝２·３n—１.当b＝—１时，a１适合此等式．当b≠—１时，a１不适合此等式．所以当b＝—１时，a n＝２·３n—１；当b≠—１时，a n＝错误![由题悟法]已知S n求a n的３个步骤（１）先利用a１＝S１求出a１；（２）用n—１替换S n中的n得到一个新的关系，利用a n＝S n—S n—１（n≥２）便可求出当n≥２时a n的表达式；（３）对n＝１时的结果进行检验，看是否符合n≥２时a n的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝１与n≥２两段来写．[即时应用]已知数列{a n}的前n项和为S n.（１）若S n＝（—１）n＋１·n，求a５＋a6及a n；（２）若S n＝３n＋２n＋１，求a n.解：（１）a５＋a6＝S6—S４＝（—6）—（—４）＝—２，当n＝１时，a１＝S１＝１；当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝（—１）n＋１·n—（—１）n·（n—１）＝（—１）n＋１·[n＋（n—１）]＝（—１）n＋１·（２n—１），又a１也适合此式，所以a n＝（—１）n＋１·（２n—１）．（２）因为当n＝１时，a１＝S１＝6；当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝（３n＋２n＋１）—[３n—１＋２（n—１）＋１]＝２·３n—１＋２，由于a１不适合此式，所以a n＝错误!错误!错误![锁定考向]递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接．常见的命题角度有：（１）形如a n＋１＝a n f（n），求a n；（２）形如a n＋１＝a n＋f（n），求a n；（３）形如a n＋１＝Aa n＋B（A≠0且A≠１），求a n.[题点全练]角度一：形如a n＋１＝a n f（n），求a n１．已知a１＝２，a n＋１＝２n a n，则数列{a n}的通项公式a n＝________.解析：∵a n＋１＝２n a n，∴错误!＝２n，当n≥２时，a n＝错误!·错误!·…·错误!·a１＝２n—１·２n—２·…·２·２＝２错误!.又a１＝１也符合上式，∴a n＝２错误!.答案：２错误!角度二：形如a n＋１＝a n＋f（n），求a n２．已知a１＝１，a n＝a n—１＋错误!（n≥２，n∈N*），求数列{a n}的通项公式．解：由a n＝a n—１＋错误!（n≥２），得a n—a n—１＝错误!—错误!（n≥２）．则a２—a１＝１—错误!，a３—a２＝错误!—错误!，…，a n—a n—１＝错误!—错误!.将上述n—１个式子累加，得a n＝２—错误!.当n ＝１时，a１＝１也满足，故a n＝２—错误!（n∈N*）．角度三：形如a n＋１＝Aa n＋B（A≠0且A≠１），求a n３．已知数列{a n}满足a１＝１，a n＋１＝３a n＋２，求数列{a n}的通项公式．解：因为a n＋１＝３a n＋２，所以a n＋１＋１＝３（a n＋１），所以错误!＝３，所以数列{a n＋１}为等比数列，公比q＝３，又a１＋１＝２，所以a n＋１＝２·３n—１，所以a n＝２·３n—１—１（n∈N*）．[通法在握]典型的递推数列及处理方法[演练冲关]根据下列条件，求数列{a n}的通项公式．（１）满足a１＝１，a n＝３n—１＋a n—１（n≥２）；（２）满足a１＝１，a n＝错误!·a n—１（n≥２）．解：（１）由a１＝１，a n—a n—１＝３n—１（n≥２），得a１＝１，a２—a１＝３，a３—a２＝３２，…，a n—１—a n—２＝３n—２，a n—a n—１＝３n—１，以上等式两边分别相加得a n＝１＋３＋３２＋…＋３n—１＝错误!.当n＝１时，a１＝１也适合，∴a n＝错误!.（２）a n＝错误!·a n—１（n≥２），a n—１＝错误!·a n—２，…，a２＝错误!a１.以上（n—１）个式子相乘得a n＝a１·错误!·错误!·…·错误!＝错误!＝错误!.当n＝１时也满足此等式，∴a n＝错误!.一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１8·南通期末）已知数列错误!的前４项为１，—错误!，错误!，—错误!，则数列错误!的一个通项公式为______________．解析：根据题意，数列错误!的前４项为１，—错误!，错误!，—错误!，则a１＝（—１）１＋１×错误!＝１，a２＝（—１）２＋１×错误!＝—错误!，a３＝（—１）３＋１×错误!＝错误!，a４＝（—１）４＋１·错误!＝—错误!，以此类推可得：a n＝（—１）n＋１·错误!.答案：a n＝（—１）n＋１·错误!２．（２0１8·盐城二模）已知数列错误!的前n项和为S n，a１＝１，a n＋１＝２S n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n＝________________.解析：当n≥２时，a n＝２S n—１，∴a n＋１—a n＝２S n—２S n—１＝２a n，即a n＋１＝３a n，∵a２＝２a１＝２，∴a n＝２·３n—２，n≥２．当n＝１时，a１＝１，∴数列错误!的通项公式为a n＝错误!答案：a n＝错误!３．（２0１8·苏州期中）已知数列错误!的通项公式为a n＝５n＋１，数列错误!的通项公式为b n＝n２，若将数列错误!，错误!中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列错误!，则c6的值为________．解析：∵数列错误!的通项公式为a n＝５n＋１，∴数列中数据符合平方的数有：１6,３6,8１,１２１,１96,２５6．∵数列错误!的通项公式为b n＝n２，当n＝４,6,9,１１,１４,１6时符合上面各个数．∴数列错误!，错误!中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列错误!，c6的值为２５6．答案：２５6４．（２0１9·南通第一中学测试）已知数列{a n}对任意的p，q∈N*，满足a p＋q＝a p＋a q且a２＝6，则a１0＝________.解析：a４＝a２＋a２＝１２，a6＝a４＋a２＝１8，a１0＝a6＋a４＝３0．答案：３0５．数列{a n}的前n项和为S n，若S n＋S n—１＝２n—１（n≥２），且S２＝３，则a１＋a３的值为________．解析：因为S n＋S n—１＝２n—１（n≥２），令n＝２，得S２＋S１＝３，由S２＝３得a１＝S１＝0，令n＝３，得S３＋S２＝５，所以S３＝２，则a３＝S３—S２＝—１，所以a１＋a３＝0＋（—１）＝—１．答案：—１6．（２0１8·无锡期末）对于数列{a n}，定义数列{b n}满足b n＝a n＋１—a n（n∈N*），且b n＋１—b n＝１（n∈N*），a３＝１，a４＝—１，则a１＝________.解析：因为b３＝a４—a３＝—１—１＝—２，所以b２＝a３—a２＝b３—１＝—３，所以b１＝a２—a＝b２—１＝—４，三式相加可得a４—a１＝—9，所以a１＝a４＋9＝8．１答案：8二保高考，全练题型做到高考达标１．数列{a n}满足a n＋a n＋１＝错误!（n∈N*），a２＝２，则通项公式a n＝________.解析：因为a n＋a n＋１＝错误!，a２＝２，所以a１＝—错误!，a３＝—错误!，a４＝２，所以a n＝错误!答案：错误!２．（２0１8·启东中学调研）已知数列{a n}满足a１＝２，a n＋１＝错误!（n∈N*），则连乘积a１a２a３…a ２0１7a２0１8＝________.解析：因为a１＝２，a n＋１＝错误!，所以a２＝—３，a３＝—错误!，a４＝错误!，a５＝２，所以数列{a n}的周期为４，且a１a２a３a４＝１，所以a１a２a３…a２0１7a２0１8＝a２0１7·a２0１8＝a１·a２＝—6．答案：—6３．（２0１9·苏州模拟）在数列错误!中，若a４＝１，a１２＝５，且任意连续三项的和都是１５，则a＝________.２0１8解析：∵任意连续三项的和都是１５，∴a n＋a n＋１＋a n＋２＝１５，同时a n＋１＋a n＋２＋a n＋３＝１５，则a n＋a n＋１＋a n＋２＝a n＋１＋a n＋２＋a n＋３，即a n＋３＝a n，即数列是周期为３的周期数列，则由a４＝１，a１２＝５，得a４＝a１＝１，a１２＝a9＝a6＝a３＝５，则由a１＋a２＋a３＝１５，得a２＝9，∴a２0１8＝a67２×３＋２＝a２＝9．答案：9４．（２0１8·常州期中）已知数列错误!的通项公式a n＝错误!，则错误!中的最大项的值是________．解析：a n＝错误!＝错误!≤错误!＝错误!，当且仅当n＝6时取等号，则错误!中的最大项的值为错误!.答案：错误!５．已知数列{a n}的通项公式为a n＝（—１）n·２n＋１，该数列的项排成一个数阵（如图），则该数阵中的第１0行第３个数为________．a１a２a３a４a５a6……解析：由题意可得该数阵中的第１0行第３个数为数列{a n}的第１＋２＋３＋…＋9＋３＝错误!＋３＝４8项，而a４8＝（—１）４8×96＋１＝97，故该数阵中的第１0行第３个数为97．答案：976．（２0１8·常州第一中学检测）已知{a n}满足a n＋１＝a n＋２n，且a１＝３３，则错误!的最小值为________．解析：由已知条件可知，当n≥２时，a n＝a１＋（a２—a１）＋（a３—a２）＋…＋（a n—a n—１）＝３３＋２＋４＋…＋２（n—１）＝n２—n＋３３，又n＝１时，a１＝３３满足此式．所以a n＝n２—n＋３３，n∈N*，所以错误!＝n＋错误!—１．令f（n）＝n＋错误!—１，则f（n）在[１,５]上为减函数，在[6，＋∞）上为增函数，又f（５）＝错误!，f（6）＝错误!，则f（５）＞f（6），故f（n）＝错误!的最小值为错误!.答案：错误!7．在数列{a n}中，a１＝１，a n＝错误!a n—１（n≥２，n∈N*），则a n＝________.解析：由题意知错误!＝错误!＝错误!，所以a n＝a１×错误!×错误!×…×错误!＝１×错误!×错误!×…×错误!＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!8．数列{a n}定义如下：a１＝１，当n≥２时，a n＝错误!若a n＝错误!，则n＝________.解析：因为a１＝１，所以a２＝１＋a１＝２，a３＝错误!＝错误!，a４＝１＋a２＝３，a５＝错误!＝错误!，a6＝１＋a３＝错误!，a7＝错误!＝错误!，a8＝１＋a４＝４，a9＝错误!＝错误!，所以n＝9．答案：99．已知S n为正项数列{a n}的前n项和，且满足S n＝错误!a错误!＋错误!a n（n∈N*）．（１）求a１，a２，a３，a４的值；（２）求数列{a n}的通项公式．解：（１）由S n＝错误!a错误!＋错误!a n（n∈N*），可得a１＝错误!a错误!＋错误!a１，解得a１＝１；S２＝a１＋a２＝错误!a错误!＋错误!a２，解得a２＝２；同理，a３＝３，a４＝４．（２）S n＝错误!a错误!＋错误!a n，１当n≥２时，S n—１＝错误!a错误!＋错误!a n—１，２１—２得（a n—a n—１—１）（a n＋a n—１）＝0．由于a n＋a n—１≠0，所以a n—a n—１＝１，又由（１）知a１＝１，故数列{a n}是首项为１，公差为１的等差数列，故a n＝n.１0．已知{a n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S n，S４＝２S２＋４，在数列{b n}中，b n＝错误!.（１）求公差d的值；（２）若a１＝—错误!，求数列{b n}中的最大项和最小项的值；（３）若对任意的n∈N*，都有b n≤b8成立，求a１的取值范围．解：（１）因为S４＝２S２＋４，所以４a１＋错误!d＝２（２a１＋d）＋４，解得d＝１．（２）因为a１＝—错误!，所以数列{a n}的通项公式为a n＝—错误!＋（n—１）×１＝n—错误!，所以b n＝错误!＝１＋错误!＝１＋错误!.因为函数f（x）＝１＋错误!在错误!和错误!上分别是单调减函数，所以b３＜b２＜b１＜１，当n≥４时，１＜b n≤b４，所以数列{b n}中的最大项是b４＝３，最小项是b３＝—１．（３）由b n＝１＋错误!，得b n＝１＋错误!.又函数f（x）＝１＋错误!在（—∞，１—a１）和（１—a１，＋∞）上分别是单调减函数，且x＜１—a１时，y＜１；当x＞１—a１时，y＞１．因为对任意的n∈N*，都有b n≤b8，所以7＜１—a１＜8，所以—7＜a１＜—6，所以a１的取值范围是（—7，—6）．三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．（２0１8·通州期末）在我国古代数学著作《孙子算经》中，卷下第二十六题是：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？满足题意的答案可以用数列表示，该数列的通项公式可以表示为a n＝________.解析：本题的意思是一个数用３除余２，用7除也余２，所以用３与7的最小公倍数２１除也余２，而用２１除余２的数我们首先就会想到２３，而２３恰好被５除余３，即最小的一个数为２３，同时这个数相差又是３,５,7的最小公倍数，即３×５×7＝１0５，所以该数列的通项公式可以表示为a n＝１0５n＋２３．答案：１0５n＋２３２．数列{a n}的通项公式为a n＝n＋错误!，若对任意的n∈N*都有a n≥a５，则实数b的取值范围为________．解析：由题意可得b＞0，因为对所有n∈N*，不等式a n≥a５恒成立，所以错误!即错误!解得２0≤b≤３0，经验证，数列在（１,４）上递减，在（５，＋∞）上递增，或在（１,５）上递减，在（6，＋∞）上递增，符合题意．所以b∈[２0,３0]．答案：[２0,３0]３．已知二次函数f（x）＝x２—ax＋a（a＞0，x∈R），有且只有一个零点，数列{a n}的前n项和S n ＝f（n）（n∈N*）．（１）求数列{a n}的通项公式；（２）设c n＝１—错误!（n∈N*），定义所有满足c m·c m＋１＜0的正整数m的个数，称为这个数列{c n}的变号数，求数列{c n}的变号数．解：（１）依题意，Δ＝a２—４a＝0，所以a＝0或a＝４．又由a＞0得a＝４，所以f（x）＝x２—４x＋４．所以S n＝n２—４n＋４．当n＝１时，a１＝S１＝１—４＋４＝１；当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝２n—５．所以a n＝错误!（２）由题意得c n＝错误!由c n＝１—错误!可知，当n≥５时，恒有c n＞0．又c１＝—３，c２＝５，c３＝—３，c４＝—错误!，c５＝错误!，c6＝错误!，即c１·c２＜0，c２·c３＜0，c４·c５＜0，所以数列{c n}的变号数为３．。
2019届高考一轮复习备考资料之数学人教A版全国用讲义之第六章6.1数列的概念与简单表示法
§6.1数列的概念与简单表示法1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 4．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 知识拓展1．若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，n ∈N *. 2．在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.3．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( × ) (2)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( × )(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( √ ) (4)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．( × )(5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( × )(6)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( √ ) 题组二 教材改编2．[P33A 组T4]在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)na n －1(n ≥2)，则a 5等于( )A.32B.53C.85D.23答案 D解析 a 2＝1＋(－1)2a 1＝2，a 3＝1＋(－1)3a 2＝12，a 4＝1＋(－1)4a 3＝3，a 5＝1＋(－1)5a 4＝23.3．[P33A 组T5]根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________.答案 5n －4 题组三 易错自纠4．已知a n ＝n 2＋λn ，且对于任意的n ∈N *，数列{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________． 答案 (－3，＋∞)解析 因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ>0，即λ>－(2n ＋1)．(*)因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3. 5．数列{a n }中，a n ＝－n 2＋11n (n ∈N *)，则此数列最大项的值是________． 答案 30解析 a n ＝－n 2＋11n ＝－⎝⎛⎭⎫n －1122＋1214， ∵n ∈N *，∴当n ＝5或n ＝6时，a n 取最大值30. 6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2，n ∈N * 解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2，n ∈N *.题型一 由数列的前几项求数列的通项公式1．数列0，23，45，67，…的一个通项公式为( )A ．a n ＝n －1n ＋2(n ∈N *)B ．a n ＝n －12n ＋1(n ∈N *)C ．a n ＝2(n －1)2n －1(n ∈N *)D ．a n ＝2n2n ＋1(n ∈N *)答案 C解析 注意到分子0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可．2．数列－11×2，12×3，－13×4，14×5，…的一个通项公式a n ＝________.答案 (－1)n 1n (n ＋1)解析 这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n1n (n ＋1).思维升华 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋1，k ∈N *处理．(3)如果是选择题，可采用代入验证的方法． 题型二 由a n 与S n 的关系求通项公式典例 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1(n ∈N *)，则其通项公式为________________．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2，n ∈N * 解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1] ＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2，n ∈N *. (2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13(n ∈N *)，则{a n }的通项公式a n ＝________.答案 (－2)n －1解析 由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，整理得a n ＝－2a n －1，又当n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1，∴{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，故a n ＝(－2)n －1.思维升华 已知S n ，求a n 的步骤 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1. (2)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.(3)对n ＝1时的情况进行检验，若适合n ≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式． 跟踪训练 (1)(2017·河南八校一联)在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S n ＝2a n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________. 答案 －2n －1解析 由题意得S n ＋1＝2a n ＋1＋1，S n ＝2a n ＋1， 两式相减得S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n ， 即a n ＋1＝2a n ，又S 1＝2a 1＋1＝a 1，因此a 1＝－1，所以数列{a n }是以a 1＝－1为首项、2为公比的等比数列，所以a n ＝－2n －1.(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋1－3n －1－1＝2·3n －1.显然当n ＝1时，不满足上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.题型三 由数列的递推关系求通项公式典例 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ； (2)a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ；(3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2. 解 (1)∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ， ∴a n －a n －1＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n －1＝lnnn －1(n ≥2)， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝lnn n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 32＋ln 2＋2＝2＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·32·2＝2＋ln n (n ≥2)．又a 1＝2适合上式，故a n ＝2＋ln n (n ∈N *)． (2)∵a n ＋1＝2n a n ，∴a n a n －1＝2n －1 (n ≥2)，∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝(1)22n n -.又a 1＝1适合上式，故a n ＝(1)22n n -(n ∈N *)．(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， 又a 1＝1，∴a 1＋1＝2，故数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＋1＝2·3n －1，故a n ＝2·3n －1－1(n ∈N *)．引申探究 在本例(2)中，若a n ＝n －1n ·a n －1(n ≥2，且n ∈N *)，其他条件不变，则a n ＝________.答案 1n解析 ∵a n ＝n －1n a n －1 (n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时也满足此等式，∴a n ＝1n.思维升华 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 (1)当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列．(2)当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列． (3)当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解． (4)当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解．跟踪训练 (1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝______________. 答案 3×2n －1－2解析 由a n ＋2＋2a n －3a n ＋1＝0， 得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1－a n ＝3×2n －1，∴当n ≥2时，a n －a n －1＝3×2n －2，…，a 3－a 2＝3×2，a 2－a 1＝3，将以上各式累加，得a n －a 1＝3×2n －2＋…＋3×2＋3＝3(2n －1－1)，∴a n ＝3×2n －1－2(当n ＝1时，也满足)．(2)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，则通项公式a n ＝________.答案 4－1n解析 原递推公式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a 2＝a 1＋11－12，a 3＝a 2＋12－13，a 4＝a 3＋13－14，…，a n －1＝a n －2＋1n －2－1n －1，a n ＝a n －1＋1n －1－1n ，逐项相加得a n ＝a 1＋1－1n ，故a n ＝4－1n.题型四 数列的性质命题点1 数列的单调性典例 已知a n ＝n －1n ＋1，那么数列{a n }是( )A ．递减数列B ．递增数列C ．常数列D ．摆动数列答案 B解析 a n ＝1－2n ＋1，将a n 看作关于n 的函数，n ∈N *，易知{a n }是递增数列．命题点2 数列的周期性典例 数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝_______________________________________.答案 12解析 ∵a n ＋1＝11－a n ，∴a n ＋1＝11－a n＝11－11－a n －1＝1－a n －11－a n －1－1＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1＝1－111－a n －2＝1－(1－a n －2)＝a n －2，n ≥3， ∴周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3. ∴a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2. 而a 2＝11－a 1，∴a 1＝12.命题点3 数列的最值典例 数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大项是( )A ．310B ．19 C.119 D.1060答案 C解析 令f (x )＝x ＋90x (x >0)，运用基本不等式得f (x )≥290，当且仅当x ＝310时等号成立．因为a n ＝1n ＋90n ，所以1n ＋90n ≤1290，由于n ∈N *，不难发现当n ＝9或n ＝10时，a n ＝119最大．思维升华 (1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列． ②用作商比较法，根据a n ＋1a n (a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断．③结合相应函数的图象直观判断． (2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． (3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．跟踪训练 (1)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0≤a n ≤12，2a n－1，12＜a n＜1， a 1＝35，则数列的第 2 018项为________． 答案 15解析 由已知可得，a 2＝2×35－1＝15，a 3＝2×15＝25，a 4＝2×25＝45，a 5＝2×45－1＝35，∴{a n }为周期数列且T ＝4， ∴a 2 018＝a 504×4＋2＝a 2＝15.(2)(2017·安徽名校联考)已知数列{a n }的首项为2，且数列{a n }满足a n ＋1＝a n －1a n ＋1，数列{a n }的前n 项的和为S n ，则S 2 016等于( ) A ．504 B ．588 C ．－588 D ．－504答案 C解析 ∵a 1＝2，a n ＋1＝a n －1a n ＋1，∴a 2＝13，a 3＝－12，a 4＝－3，a 5＝2，…，∴数列{a n }的周期为4，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝－76，∵2 016÷4＝504，∴S 2 016＝504×⎝⎛⎭⎫－76＝－588，故选C.解决数列问题的函数思想典例 (1)数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫1011n ，则此数列的最大项是第________项． (2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 成立，则实数k 的取值范围是__________． 思想方法指导 (1)可以将数列看成定义域为正整数集上的函数；(2)数列的最值可以根据单调性进行分析．解析 (1)∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ×9－n11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ，∴该数列中有最大项，且最大项为第9,10项． (2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列， 又∵通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4， ∴(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋4>n 2＋kn ＋4， 即k >－1－2n ，又n ∈N *，∴k >－3. 答案 (1)9或10 (2)(－3，＋∞)1．(2017·湖南长沙一模)已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项不可能是( ) A ．a n ＝(－1)n －1＋1B ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，0，n 为偶数C ．a n ＝2sinn π2D ．a n ＝cos(n －1)π＋1 答案 C解析 对n ＝1,2,3,4进行验证，知a n ＝2sinn π2不合题意，故选C. 2．(2018·葫芦岛质检)数列23，－45，67，－89，…的第10项是( )A ．－1617B ．－1819C ．－2021D ．－2223答案 C解析 所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子．很容易归纳出数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n ＋1·2n 2n ＋1，故a 10＝－2021.3．(2017·黄冈质检)已知在正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ≥2)，则a 6等于( ) A ．16B ．4C ．2 2D ．45答案 B 解析 由题意得a 2n ＋1－a 2n ＝a 2n －a 2n －1＝…＝a 22－a 21＝3，故{a 2n }是以3为公差的等差数列，即a 2n ＝3n －2.所以a 26＝3×6－2＝16.又a n >0，所以a 6＝4.故选B.4．若数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝3，a n ＝a n －1a n －2(n ≥3且n ∈N *)，则a 2 018等于( ) A ．3B ．2 C.12D.23 答案 A解析 由已知a 3＝a 2a 1＝32，a 4＝a 3a 2＝12， a 5＝a 4a 3＝13，a 6＝a 5a 4＝23， a 7＝a 6a 5＝2，a 8＝a 7a 6＝3， ∴数列{a n }具有周期性，且T ＝6，∴a 2 018＝a 336×6＋2＝a 2＝3.5．(2018·长春调研)设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A.163B.133 C ．4D ．0 答案 D解析 ∵a n ＝－3⎝⎛⎭⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大为0. 6．(2017·江西六校联考)已知数列{a n }满足a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(5－a )n －11，n ≤5，a n －4，n >5，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,5)B.⎝⎛⎭⎫73，5C.⎣⎡⎭⎫73，5D ．(2,5) 答案 D解析 ∵a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(5－a )n －11，n ≤5，a n －4，n >5，且{a n }是递增数列， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5－a >0，a >1，5(5－a )－11<a 2，解得2<a <5，故选D.7．若数列{a n }满足关系a n ＋1＝1＋1a n ，a 8＝3421，则a 5＝________. 答案 85解析 借助递推关系，由a 8递推依次得到a 7＝2113，a 6＝138，a 5＝85. 8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2 解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2. 9．(2018·大庆模拟)已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫67n ，则数列{a n }的项取最大值时，n ＝________.答案 4或5解析 假设第n 项为最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1， 即⎩⎨⎧ (n ＋2)·⎝⎛⎭⎫67n ≥(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫67n －1，(n ＋2)·⎝⎛⎫67n ≥(n ＋3)·⎝⎛⎫67n ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤5，n ≥4， 即4≤n ≤5， 又n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5，故数列{a n }中a 4与a 5均为最大项，且a 4＝a 5＝6574. 10．(2017·太原模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝na n a n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝__________. 答案 2n 2－n ＋2 解析 由a n －a n ＋1＝na n a n ＋1，得1a n ＋1－1a n ＝n ，则由累加法得1a n －1a 1＝1＋2＋…＋(n －1)＝n 2－n 2， 又因为a 1＝1，所以1a n ＝n 2－n 2＋1＝n 2－n ＋22， 所以a n ＝2n 2－n ＋2(n ∈N *)． 11．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)可得 a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1， S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2， 同理，a 3＝3，a 4＝4.(2)S n ＝a n 2＋12a 2n ，① 当n ≥2时，S n －1＝a n －12＋12a 2n －1，② ①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0.由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1，又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }为首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n .12．已知数列{a n }的各项均为正数，记数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a 2n }的前n 项和为T n ，且3T n ＝S 2n ＋2S n ，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)由3T 1＝S 21＋2S 1，得3a 21＝a 21＋2a 1，即a 21－a 1＝0.因为a 1>0，所以a 1＝1.(2)因为3T n ＝S 2n ＋2S n ，①所以3T n ＋1＝S 2n ＋1＋2S n ＋1，②②－①，得3a 2n ＋1＝S 2n ＋1－S 2n ＋2a n ＋1.因为a n ＋1>0，所以3a n ＋1＝S n ＋1＋S n ＋2，③所以3a n ＋2＝S n ＋2＋S n ＋1＋2，④④－③，得3a n ＋2－3a n ＋1＝a n ＋2＋a n ＋1，即a n ＋2＝2a n ＋1，所以当n ≥2时，a n ＋1a n＝2. 又由3T 2＝S 22＋2S 2，得3(1＋a 22)＝(1＋a 2)2＋2(1＋a 2)，即a 22－2a 2＝0.因为a 2>0，所以a 2＝2，所以a 2a 1＝2， 所以对n ∈N *，都有a n ＋1a n＝2成立， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *.13．(2017·江西师大附中、鹰潭一中联考)定义：在数列{a n }中，若满足a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，称{a n }为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{a n }中，a 1＝a 2＝1，a 3＝3，则a 2 015a 2 013等于( ) A ．4×2 0152－1B ．4×2 0142－1C ．4×2 0132－1D ．4×2 0132答案 C解析 由题知⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是首项为1，公差为2的等差数列，则a n ＋1a n ＝2n －1，所以a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×…×a 2a 1×a 1＝(2n －3)×(2n －5)×…×1. 所以a 2 015a 2 013＝(2×2 015－3)(2×2 015－5)×…×1(2×2 013－3)(2×2 013－5)×…×1＝4 027×4 025＝(4 026＋1)(4 026－1)＝4 0262－1＝4×2 0132－1.14．若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n (n ＋4)⎝⎛⎭⎫23n 中的最大项是第k 项，则k ＝________. 答案 4解析 设数列为{a n }，则a n ＋1－a n ＝(n ＋1)(n ＋5)·⎝⎛⎭⎫23n ＋1－n (n ＋4)·⎝⎛⎭⎫23n ＝⎝⎛⎭⎫23n ⎣⎡⎦⎤23(n 2＋6n ＋5)－n 2－4n ＝2n3n ＋1(10－n 2)． 所以当n ≤3时，a n ＋1>a n ；当n ≥4时，a n ＋1<a n .因此，a 1<a 2<a 3<a 4，a 4>a 5>a 6>…，故a 4最大，所以k ＝4.15．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，若a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2，则a n 等于( )A.15n 2－25n ＋65B ．n 3－5n 2＋9n －4C ．n 2－2n ＋2D ．2n 2－5n ＋4答案 C 解析 由题意得(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝2， 因此数列{a n ＋1－a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，a n ＋1－a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋3＋…＋(2n －3)＝1＋(1＋2n －3)(n －1)2＝(n －1)2＋1＝n 2－2n ＋2，又a 1＝1＝12－2×1＋2，因此a n ＝n 2－2n ＋2(n ∈N *)，故选C.16．(2017·太原五中模拟)设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式a n ＝________.答案 1n(n ∈N *) 解析 因为数列{a n }是首项为1的正项数列， 所以a n ·a n ＋1≠0，所以(n ＋1)a n ＋1a n －na n a n ＋1＋1＝0. 令a n ＋1a n＝t (t >0)，则(n ＋1)t 2＋t －n ＝0， 分解因式，得[(n ＋1)t －n ](t ＋1)＝0，所以t ＝n n ＋1或t ＝－1(舍去)，即a n ＋1a n ＝n n ＋1. 方法一 (累乘法)因为a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n a n －1＝12·23·34·45·…·n －1n， 所以a n ＝1n(n ∈N *)． 方法二 (迭代法)因为a n ＋1＝n n ＋1a n， 所以a n ＝n －1n a n －1＝n －1n ·n －2n －1·a n －2＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·a n －3＝...＝n －1n .n －2n －1.n －3n －2.. (12)a 1，所以a n ＝1n(n ∈N *)． 方法三 (特殊数列法)因为a n ＋1a n ＝n n ＋1，所以(n ＋1)a n ＋1na n＝1. 所以数列{na n }是以a 1为首项，1为公比的等比数列． 所以na n ＝1×1n －1＝1.所以a n ＝1n (n ∈N *)．。
2019届江苏专版高考数学一轮复习第六章数列第四节数列求和与数列的综合问题实用讲义文
2.[考点一、三](2018·常州月考)各项都为正数的数列{an}，其前 n 项的和为 Sn，且 Sn＝( Sn－1＋ a1)2(n≥2)，若 bn＝a2na＋n1＋ 2aann＋1且数列{bn}的前 n 项的和为 Tn，则 Tn＝________.
解析：因为数列{an}的各项都为正数，所以 Sn＞0.由 Sn＝( Sn－1＋
02 突破点(二) 等差、等比数列的综合应用
等差、等比数列的综合应用主要包括两方面的内容：一 是等差、等比数列的综合问题，二是等差、等比数列的实际 应用.二者都属于对等差、等比数列性质的综合考查，备考时 要熟练掌握等差、等比数列的通项公式与前 n 项和公式，还 要注意性质的灵活运用.
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
(2)证明：由于 an＝2n， 故 bn＝n＋n＋212a2n＝4n2nn＋＋122＝116n12－n＋1 22. 则 Tn＝1161－312＋212－412＋312－512＋…＋n－1 12－n＋1 12＋n12 －n＋1 22＝1161＋212－n＋1 12－n＋1 22＜1161＋212＝654. 即对任意的 n∈N*，都有 Tn＜654.
(2)由(1)知 cn＝63nn＋＋63n＋n1＝3(n＋1)·2n＋1， 又 Tn＝c1＋c2＋…＋cn， 得 Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]， 2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]， 两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2] ＝3×4＋411－－22n－n＋1×2n＋2＝－3n·2n＋2， 所以 Tn＝3n·2n＋2.
第四节 数列求和与数列的综合问题
本节主要包括 3 个知识点： 1.数列求和； 2.等差、等比数列的综合应用； 3.数列与其他知识的交汇问题.
高考数学大一轮复习第六章数列6.1数列的概念与简单表示法教师用书文苏教版
6.1 数列的概念与简单表示法1.数列的定义按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法. 4.数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.【知识拓展】1.若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.2.在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.3.数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达.( × )(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.( √ ) (3)1,1,1,1，…，不能构成一个数列.( × )(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( × )(5)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( √ )1.(教材改编)下列有四种说法，其中正确的说法是 .(填序号) ①数列a ，a ，a ，…是无穷数列；②数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列；③数列{f (n )}可以看作是一个定义域为正整数N *或它的有限子集{1,2，…，n }的函数值； ④已知数列{a n }，则数列{a n ＋1－a n }也是一个数列. 答案 ①②④解析 题中①④显然正确；对于②，数列只给出前四项，后面的项是不确定的，所以不一定是递减数列；对于③，数列可以看作是一个定义域为正整数N *或它的有限子集{1,2，…，n }的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，所以③不正确. 2.(教材改编)数列1,2，7，10，13，…中的第26项为 . 答案 219解析 ∵a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，∴a n ＝3n －2，∴a 26＝3×26－2＝76＝219.3.(教材改编)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋－na n －1(n ≥2)，则a 5＝ .答案 23解析 a 2＝1＋－2a 1＝2， a 3＝1＋－3a 2＝1＋－2＝12， a 4＝1＋1a 3＝3，a 5＝1＋－a 4＝23. 4.(教材改编)已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n (n ≥2)，则a 16＝ .答案 12解析 由题意知a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，∴此数列是以3为周期的周期数列，a 16＝a 3×5＋1＝a 1＝12.5.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝ .答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.题型一 由数列的前几项求数列的通项公式例1 (1)(2016·南京模拟)数列1,3,6,10，…的通项公式是 . (2)数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的通项公式是a n ＝ .答案 (1)a n ＝n n ＋2 (2)2n ＋1n 2＋1解析 (1)观察数列1,3,6,10，…可以发现1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4，…第n 项为1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n n ＋2.∴a n ＝n n ＋2.(2)数列{a n }的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1n 2＋1.思维升华 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋1，k ∈N *处理.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式.(1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…. 解 (1)数列中各项的符号可通过(－1)n表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n(6n －5). (2)数列变为89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110，89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1102，89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1103，…，故a n ＝89⎝⎛⎭⎪⎫1－110n .(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的绝对值的分子分别比分母小3. 因此把第1项变为－2－32，原数列化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，故a n ＝(－1)n 2n －32n .题型二 由a n 与S n 的关系求通项公式例 2 (1)(2016·南通模拟)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n＝ . 答案 (－2)n －1解析 由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，整理得a n ＝－2a n －1，又当n＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1，∴{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，故a n ＝(－2)n－1.(2)已知下列数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式. ①S n ＝2n 2－3n ；②S n ＝3n＋b . 解 ①a 1＝S 1＝2－3＝－1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. ②a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式； 当b ≠－1时，a 1不适合此等式. ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.思维升华 已知S n ，求a n 的步骤 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1； (2)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1；(3)对n ＝1时的情况进行检验，若适合n ≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式.(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n－3，则数列{a n }的通项公式为 .(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，则其通项a n ＝ ；若它的第k 项满足5<a k <8，则k ＝ .答案 (1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2 (2)2n －10 8解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2.(2)∵a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－8，n ＝1，2n －10，n ≥2.又∵－8也适合a n ＝2n －10，∴a n ＝2n －10，n ∈N *. 由5<2k －10<8，∴7.5<k <9，∴k ＝8. 题型三 由数列的递推关系求通项公式 例3 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式. (1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)；(2)a 1＝1，a n ＋1＝2na n ； (3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2. 解 (1)∵a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)，∴a n －a n －1＝ln(1＋1n －1)＝ln n n －1(n ≥2)， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝lnnn －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 32＋ln 2＋2 ＝2＋ln(nn －1.n －1n －2 (3)2·2) ＝2＋ln n (n ≥2).又a 1＝2适合上式，故a n ＝2＋ln n (n ∈N *). (2)∵a n ＋1＝2na n ，∴a n a n －1＝2n －1(n ≥2)， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1 ＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝(1)22.n n -又a 1＝1适合上式，故a n ＝(1)22n n(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， 又a 1＝1，∴a 1＋1＝2，故数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＋1＝2·3n －1，故a n ＝2·3n －1－1.思维升华 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 (1)当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列. (2)当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列. (3)当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解. (4)当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解.(1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝n －1n·a n －1(n ≥2且n ∈N *)，则a n ＝ . (2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则a 5＝ . 答案 (1)1n(2)16解析 (1)∵a n ＝n －1na n －1 (n ≥2)， ∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1. 以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时也满足此等式，∴a n ＝1n.(2)当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1. ∴{a n }是等比数列且a 1＝1，q ＝2， 故a 5＝a 1×q 4＝24＝16. 题型四 数列的性质 命题点1 数列的单调性 例4 已知a n ＝n －1n ＋1，那么数列{a n }是 数列.(填“递减”“递增”或“常”) 答案 递增解析 a n ＝1－2n ＋1，将a n 看作关于n 的函数，n ∈N *，易知{a n }是递增数列. 命题点2 数列的周期性 例5 数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，a 8＝2，则a 1＝ . 答案 12解析 ∵a n ＋1＝11－a n，∴a n ＋1＝11－a n ＝11－11－a n －1＝1－a n －11－a n －1－1＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1＝1－111－a n －2＝1－(1－a n －2)＝a n －2，n ≥3， ∴周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3. ∴a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2. 而a 2＝11－a 1，∴a 1＝12. 命题点3 数列的最值 例6 若数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大项的值是 .答案119解析 令f (x )＝x ＋90x(x >0)，运用基本不等式得f (x )≥290，当且仅当x ＝310时等号成立.因为a n ＝1n ＋90n ，所以1n ＋90n≤1290，由于n ∈N *，不难发现当n ＝9或n ＝10时，a n ＝119最大.思维升华 (1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列. ②用作商比较法，根据a n ＋1a n(a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断. ③结合相应函数的图象直观判断. (2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.(3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解.(1)(2016·哈尔滨模拟)若数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n，0≤a n≤12，2a n－1，12＜a n＜1，a 1＝35，则数列的第2 015项为 . (2)设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是 . 答案 (1)25(2)0解析 (1)由已知可得，a 2＝2×35－1＝15，a 3＝2×15＝25， a 4＝2×25＝45， a 5＝2×45－1＝35，∴{a n }为周期数列且T ＝4， ∴a 2 015＝a 503×4＋3＝a 3＝25.(2)∵a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大值为0.12.解决数列问题的函数思想典例 (1)数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)·(1011)n，则此数列的最大项是第 项.(2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 成立，则实数k 的取值范围是 . 思想方法指导 (1)可以将数列看成定义域为正整数集上的函数；(2)数列的最值可以根据单调性进行分析. 解析 (1)∵a n ＋1－a n＝(n ＋2)(1011)n ＋1－(n ＋1)(1011)n＝(1011)n ×9－n11， 当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ，∴该数列中有最大项，且最大项为第9、10项. (2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列， 又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4， 所以(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋4>n 2＋kn ＋4， 即k >－1－2n ，又n ∈N *， 所以k >－3.答案 (1)9或10 (2)(－3，＋∞)1.数列23，－45，67，－89，…的第10项是 .答案 －2021解析 所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子.很容易归纳出数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n ＋1·2n 2n ＋1，故a 10＝－2021. 2.(2016·苏州模拟)已知函数y ＝f (x )的定义域为R .当x <0，f (x )>1，且对任意的实数x ，y ∈R ，等式f (x )f (y )＝f (x ＋y )恒成立.若数列{a n }满足a 1＝f (0)，且f (a n ＋1)＝1f －2－a n(n ∈N *)，则a 2 015的值为 . 答案 4 029解析 根据题意，不妨设f (x )＝(12)x，则a 1＝f (0)＝1，∵f (a n ＋1)＝1f－2－a n，∴a n ＋1＝a n ＋2，∴数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，∴a n ＝2n －1，∴a 2 015＝4 029.3.(2016·无锡月考)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a nn 为正奇数，a n ＋n 为正偶数，则其前6项之和为 . 答案 33解析 a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，所以前6项和S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33.4.若数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝3，a n ＝a n －1a n －2(n ≥3且n ∈N *)，则a 2 018＝ . 答案 3 解析 由已知a 3＝a 2a 1＝32，a 4＝a 3a 2＝12， a 5＝a 4a 3＝13，a 6＝a 5a 4＝23， a 7＝a 6a 5＝2，a 8＝a 7a 6＝3， ∴数列{a n }具有周期性，T ＝6，∴a 2 018＝a 336×6＋2＝a 2＝3.5.数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝ . 答案 72解析 ∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －32，n 为奇数，2，n 为偶数.∴S 21＝11×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋10×2＝72. 6.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2－1，则a 3＝ . 答案 10解析 a 3＝S 3－S 2＝2×32－1－(2×22－1)＝10.7.数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则a 7＝ . 答案 1解析 由已知a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，a 1＝1，a 2＝2，能够计算出a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2，a 6＝－1，a 7＝1.8.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －n ，则a n ＝ . 答案 2n －1解析 当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－1，得a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －n －2a n －1＋(n －1)，即a n ＝2a n －1＋1，∴a n ＋1＝2(a n －1＋1)，∴数列{a n ＋1}是首项为a 1＋1＝2，公比为2的等比数列，∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1.9.(2016·无锡期末)对于数列{an }，定义数列{b n }满足b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，且b n ＋1－b n ＝1(n ∈N *)，a 3＝1，a 4＝－1，则a 1＝ .答案 8解析 因为b 3＝a 4－a 3＝－1－1＝－2，所以b 2＝a 3－a 2＝b 3－1＝－3，所以b 1＝a 2－a 1＝b 2－1＝－4，三式相加可得a 4－a 1＝－9，所以a 1＝a 4＋9＝8.10.在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积.已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝ .答案 28解析 依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.11.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式；(2)判断数列{c n }的增减性.解 (1)∵a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2).∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧23n ＝，1n n(2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1 ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1 ＝12n ＋3－12n ＋2＝－1n ＋n ＋<0，∴{c n }是递减数列.12.已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *). (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值；(2)求数列{a n }的通项公式. 解 (1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1， S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2，同理，a 3＝3，a 4＝4.(2)S n ＝a n 2＋12a 2n ， ① 当n ≥2时，S n －1＝a n －12＋12a 2n －1， ②①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }为首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n.13.已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋n －(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0).(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围. 解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋n －(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0)，又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N *).结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1＞a 1＞a 2＞a 3＞a 4， a 5＞a 6＞a 7＞…＞a n ＞1(n ∈N *). ∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋n －＝1＋12n －2－a 2，已知对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，可知5＜2－a 2＜6，即－10＜a ＜－8.。
高考数学大一轮复习第六章数列6.1数列的概念与简单表示法教师专用理苏教版
第六章数列 6.1 数列的概念与简单表示法教师用书理苏教版1。
数列的定义按照一定次序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项。
2.数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列a n＋1 > a n其中n∈N＊递减数列a n＋1 < a n常数列a n＋1＝a n摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法。
4.数列的通项公式如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.【知识拓展】1.若数列｛a n｝的前n项和为S n，通项公式为a n，则a n＝错误!2。
在数列｛a n｝中，若a n最大，则错误!若a n最小,则错误!3。
数列与函数的关系数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)（1)所有数列的第n项都能使用公式表达.（×）（2）根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个。
( √）（3)1，1,1,1，…，不能构成一个数列。
( ×）(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列。
( ×)(5）如果数列{a n｝的前n项和为S n，则对∀n∈N*，都有a n＋1＝S n＋1－S n。
（√)1。
（教材改编)下列有四种说法，其中正确的说法是 .(填序号)①数列a,a,a，…是无穷数列；②数列0，－1，－2,－3，…不一定是递减数列；③数列{f(n)｝可以看作是一个定义域为正整数N＊或它的有限子集{1,2，…，n}的函数值；④已知数列｛a n},则数列｛a n＋1－a n}也是一个数列.答案①②④解析题中①④显然正确；对于②，数列只给出前四项，后面的项是不确定的，所以不一定是递减数列;对于③，数列可以看作是一个定义域为正整数N*或它的有限子集｛1，2，…,n}的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，所以③不正确.2.(教材改编)数列1，2，错误!，错误!，错误!，…中的第26项为 .答案2错误!解析∵a1＝1＝错误!,a2＝2＝错误!，a＝7，a4＝错误!,a5＝错误!，3∴a n＝错误!，∴a26＝错误!＝错误!＝2错误!.3.(教材改编)在数列{a n}中,a1＝1，a n＝1＋错误!(n≥2)，则a5＝。
新课改版高考数学一轮复习第六章数列6.1数列的概念与简单表示讲义含解析
新课改版高考数学一轮复习 第一节 数列的概念与简单表示突破点一 数列的通项公式[基本知识]1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)．2．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．3．数列的递推公式如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且任何一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即a n ＝f (a n －1)(或a n ＝f (a n －1，a n －2)等)，那么这个式子叫做数列{a n }的递推公式．4．S n 与a n 的关系已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，这个关系式对任意数列均成立．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( )(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( ) (3)若已知数列{a n }的递推公式为a n ＋1＝12a n －1，且a 2＝1，则可以写出数列{a n }的任何一项．( )(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×二、填空题1．数列{a n }中，a 1＝2，且a n ＋1＝12a n －1，则a 5的值为________．解析：由a 1＝2，a n ＋1＝12a n －1，得a 2＝12a 1－1＝1－1＝0，a 3＝12a 2－1＝0－1＝－1，a 4＝12a 3－1＝－12－1＝－32，a 5＝12a 4－1＝－34－1＝－74. 答案：－742．数列{a n}定义如下：a 1＝1，当n ≥2时，a n＝⎩⎨⎧1＋a 2n ，n 为偶数，1a n －1，n 为奇数，若a n ＝14，则n 的值为________．解析：困为a 1＝1，所以a 2＝1＋a 1＝2，a 3＝1a 2＝12，a 4＝1＋a 2＝3，a 5＝1a 4＝13，a 6＝1＋a 3＝32，a 7＝1a 6＝23，a 8＝1＋a 4＝4，a 9＝1a 8＝14，所以n ＝9.答案：93．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，则10－3是此数列的第________项．解析：a n ＝1n ＋1＋n＝n ＋1－nn ＋1＋n n ＋1－n＝n ＋1－n ，∵10－3＝10－9，∴10－3是该数列的第9项． 答案：94．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n 2＋1，则数列{a n }的通项公式是____________．答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2[全析考法]考法一 利用a n 与S n 的关系求通项数列{a n }的前n项和S n 与通项a n 的关系为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，通过纽带：a n ＝S n－S n －1(n ≥2)，根据题目已知条件，消掉a n 或S n ，再利用特殊形式(累乘或累加)或通过构造成等差数列或者等比数列求解．[例1] (1)(2019·化州模拟)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则数列{a n }的通项公式为____________．(2)(2019·广州测试)已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，且对任意n ∈N *，均有a n ，S n ，a 2n 成等差数列，则a n ＝____________.[解析] (1)由log 2(S n ＋1)＝n ＋1，得S n ＋1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n，n ≥2.(2)∵a n ，S n ，a 2n 成等差数列，∴2S n ＝a n ＋a 2n . 当n ＝1时，2S 1＝2a 1＝a 1＋a 21. 又a 1>0，∴a 1＝1.当n ≥2时，2a n ＝2(S n －S n －1)＝a n ＋a 2n －a n －1－a 2n －1， ∴(a 2n －a 2n －1)－(a n ＋a n －1)＝0.∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)－(a n ＋a n －1)＝0， ∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0， ∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝1，∴{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴a n ＝n (n ∈N *)．[答案] (1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n，n ≥2 (2)n[方法技巧]已知S n 求a n 的3个步骤(1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．考法二 利用递推关系求通项[例2] (1)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，求数列{a n }的通项公式． (2)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1na n －1(n ≥2)，求数列{a n }的通项公式． (3)在数列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，求数列{a n }的通项公式． (4)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式． [解] (1)因为a n ＋1－a n ＝3n ＋2， 所以a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n n ＋2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝2＝12×(3×1＋1)，符合上式，所以a n ＝32n 2＋n2.(2)因为a n ＝n －1na n －1(n ≥2)， 所以a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1. 由累乘法可得a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n (n ≥2)．又a 1＝1符合上式，∴a n ＝1n .(3)因为a n ＋1＝3a n ＋2，所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝3，所以数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2·3n －1，所以a n ＝2·3n －1－1.(4)∵a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1，∴a n ≠0， ∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，又a 1＝1，则1a 1＝1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列．∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12， ∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)． [方法技巧] 典型的递推数列及处理方法1.[考法一]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n ＋a n2，则a 2 019＝( )A ．2 018B ．2 019C ．4 036D ．4 038解析：选B 由题意知n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋a n 2－na n －12，化为a n n ＝a n －1n －1，∴a n n ＝a n －1n －1＝…＝a 11＝1，∴a n ＝n .则a 2 019＝2 019.故选B.2.[考法一]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1 解析：选B S n ＝2a n ＋1＝2S n ＋1－2S n ⇒3S n ＝2S n ＋1⇒S n ＋1S n ＝32，故数列{S n }为等比数列，公比是32，又S 1＝1，所以S n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.故选B. 3.[考法二]已知在数列{a n }中，a n ＋1＝nn ＋2a n (n ∈N *)，且a 1＝4，则数列{a n }的通项公式a n ＝____________.解析：由a n ＋1＝nn ＋2a n ，得a n ＋1a n ＝n n ＋2，故a 2a 1＝13，a 3a 2＝24，…，a n a n －1＝n －1n ＋1(n ≥2)，以上式子累乘得，a n a 1＝13·24·…·n －3n －1·n －2n ·n －1n ＋1＝2nn ＋.因为a 1＝4，所以a n ＝8n n ＋(n ≥2)．因为a 1＝4满足上式，所以a n ＝8nn ＋.答案：8nn ＋4.[考法二]已知数列{a n }满足a 1＝2，a n －a n －1＝n (n ≥2，n ∈N *)，则a n ＝____________. 解析：由题意可知，a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)， 以上式子累加得，a n －a 1＝2＋3＋…＋n . 因为a 1＝2，所以a n ＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋n －＋n2＝n 2＋n ＋22(n ≥2)．因为a 1＝2满足上式， 所以a n ＝n 2＋n ＋22.答案：n 2＋n ＋22突破点二 数列的性质[基本知识]数列的分类1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n3n ＋1，那么这个数列是________(填递增或递减)．答案：递增2．设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是________． 答案：03．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ，则当a n取得最大值时，n 等于________． 答案：5或6[全析考法]考法一 数列的单调性[例1] 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n，则数列{a n }中的最大项为( )A.89 B ．23 C.6481D ．125243[解析] 法一：(作差比较法)a n ＋1－a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＝2－n 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n， 当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝89.故选A.法二：(作商比较法)a n ＋1a n＝n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，令a n ＋1a n >1，解得n <2；令a n ＋1a n ＝1，解得n ＝2；令a n ＋1a n<1，解得n >2. 又a n >0，故a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝89.故选A.[答案] A [方法技巧]求数列最大项或最小项的方法(1)将数列视为函数f (x )当x ∈N *时所对应的一列函数值，根据f (x )的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f (x )的最值，进而求出数列的最大(小)项．(2)通过通项公式a n研究数列的单调性，利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1(n ≥2)确定最大项，利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1(n ≥2)确定最小项．(3)比较法：①若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )>0( 或a n >0时，a n ＋1a n>1 )，则a n ＋1>a n ，即数列{a n }是递增数列，所以数列{a n }的最小项为a 1＝f (1)；②若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )<0( 或a n >0时，a n ＋1a n<1 )，则a n ＋1<a n ，即数列{a n }是递减数列，所以数列{a n }的最大项为a 1＝f (1)．考法二 数列的周期性数列的周期性与函数的周期性相类似．求解数列的周期问题时，通常是求出数列的前几项观察规律．确定出数列的一个周期，然后再解决相应的问题．[例2] (2019·广西南宁二中、柳州高中联考)已知数列2 008,2 009,1，－2 008，…，若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 018项之和S 2 018＝________.[解析] 由题意可知a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，a 1＝2 008，a 2＝2 009，a 3＝1，a 4＝－2 008，∴a 5＝－2 009，a 6＝－1，a 7＝2 008，a 8＝2 009，…，∴a n ＋6＝a n ，即数列{a n }是以6为周期的数列，又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0，∴S 2 018＝336(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6)＋(a 1＋a 2)＝ 4 017.[答案] 4 017 [方法技巧]周期数列的常见形式与解题方法(1)周期数列的常见形式①利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数； ②相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差；③相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列． (2)解决此类题目的一般方法根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n 项的和．[集训冲关]1.[考法二]若数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，则a 2 019＝( ) A ．1 B ．－2 C ．3D ．－3解析：选A 因为a n ＝a n －1－a n －2(n ≥3)，所以a n ＋1＝a n －a n －1＝(a n －1－a n －2)－a n －1＝－a n－2，所以a n ＋3＝－a n ，所以a n ＋6＝－a n ＋3＝a n ，所以{a n }是以6为周期的周期数列．因为2 019＝336×6＋3，所以a 2 019＝a 3＝a 2－a 1＝3－2＝1.故选A.2.[考法一]已知数列{a n }满足a n ＝n ＋13n －16(n ∈N *)，则数列{a n }的最小项是第________项．解析：因为a n ＝n ＋13n －16，所以数列{a n }的最小项必为a n <0，即n ＋13n －16<0,3n －16<0，从而n <163.又n ∈N *，所以当n ＝5时，a n 的值最小．答案：5。
高考数学一轮复习 第六章数列6.1数列的概念与简单表示
第六章 数列6．1 数列的概念与简单表示法考纲要求1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)． 2．了解数列是自变量为正整数的一类函数．1．数列的概念按照一定____排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的__，数列中的每一项都和它的____有关．排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做____)．往后各项依次叫做这个数列的第2项，…，第n 项，….数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，其中____是数列的第n 项，我们把上面的数列简记为____．2分类原则 类型 满足条件项数]有穷数列 项数____无穷数列 项数____ 项与项间的大小关系递增数列 a n ＋1＞a n递减数列 a n ＋1＜a n常数列 a n ＋1＝a n其中n ∈N *其他标准 摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项(1)列举法：a 1，a 2，a 3，…，a n ，…； (2)图象法：数列可用一群孤立的点表示； (3)解析法(公式法)：通项公式或递推公式． 4．数列的通项公式如果数列{a n }的____________________可以用一个公式______来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．通项公式可以看成数列的函数______．5．递推公式如果已知数列{a n }的首项(或前几项)，且任意一项a n 与a n －1(或其前面的项)之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．它是数列的一种表示法．6．数列与函数的内在联系从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为__________的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列______，而数列的________也就是相应函数的解析式．1．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n 是( )．A.n 2n ＋1B.n 2n －1 C.n 2n －3 D.n 2n ＋32．在数列{a n }中，已知a 1＝a ，a 2＝b ，a n ＋1＋a n －1＝a n (n ≥2)，则a 92等于( )． A ．a B ．b C ．b －a D ．a －b3．已知数列{a n }的通项a n ＝nanb ＋c(a ，b ，c 都是正实数)，则a n 与a n ＋1的大小关系是( )．A ．a n ＞a n ＋1B ．a n ＜a n ＋1C ．a n ＝a n ＋1D ．不能确定4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n －n 2，则a 4＝__________.5．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，则a 2 011＝__________，10－3是此数列的第__________项．一、由数列的前几项求数列的通项公式【例1】 写出下面各数列的一个通项公式． (1)3,5,7,9，…. (2)12，34，78，1516，3132，…. (3)23，415，635，863，1099，…. 方法提炼1．观察法就是观察数列的特征，找出各项共同的规律，横看“各项之间的关系结构”，纵看“各项与项数n 的关系”，从而确定数列的通项公式．2．利用观察法求数列的通项时，要抓住以下几个特征： (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想． 3．注意：(1)根据数列的前n 项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n ＋1来调整．(2)数列的通项公式不唯一，如数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以为a n ＝(－1)n或a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n 为奇数，1，n 为偶数.有的数列没有通项公式．请做演练巩固提升3二、由递推公式求数列的通项公式【例2】(2012大纲全国高考)已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式． 方法提炼由a 1和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用“累加法”、“累乘法”等． (1)已知a 1且a n －a n －1＝f (n )(n ≥2)，可以用“累加法”，即a n －a n －1＝f (n )，a n －1－a n －2＝f (n －1)，…，a 3－a 2＝f (3)，a 2－a 1＝f (2)．所有等式左右两边分别相加，代入a 1得a n .(2)已知a 1且a na n －1＝f (n )(n ≥2)，可以用“累乘法”， 即a n a n －1＝f (n )，a n －1a n －2＝f (n －1)，…，a 3a 2＝f (3)，a 2a 1＝f (2)，所有等式左右两边分别相乘，代入a 1得a n .请做演练巩固提升1三、已知数列的前n 项和求通项公式【例3】 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝13S n (n ＝1,2,3，…)，求a n .方法提炼1．数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当n ＝1时，a 1若适合a n ＝S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示．2．转化思想是数学中最基本、最常用的一种解题策略，数列中的转化更是层出不穷，如S n 和a n 的转化．请做演练巩固提升4忽视数列的项数n 的范围而致误【典例】 已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a n n的最小值为________． 解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n －a n －1＝2(n －1)， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝(2n －2)＋(2n －4)＋…＋2＋33＝n 2－n ＋33(n ≥2)，又a 1＝33适合上式，∴a n ＝n 2－n ＋33， ∴a n n ＝n ＋33n－1.令f (x )＝x ＋33x －1(x ＞0)，则f ′(x )＝1－33x2，令f ′(x )＝0得x ＝33.∴当0＜x ＜33时，f ′(x )＜0， 当x ＞33时，f ′(x )＞0，即f (x )在区间(0，33)上递减；在区间(33，＋∞)上递增， 又5＜33＜6，且f (5)＝5＋335－1＝535，f (6)＝6＋112－1＝212，∴f (5)＞f (6)，∴当n ＝6时，a n n 有最小值212.答案：212答题指导：1．在解答本题时，以下几点容易出错： (1)a n 求错；(2)求a n n 的最小值时，直接使用基本不等式，忽视了等号成立的条件；(3)求a nn的最小值时，误认为是n ＝5时的值最小．2．解决此类数列问题时，以下几点在备考时要高度关注： (1)用“累加法”求a n 时，不要忘记加上a 1.(2)在用基本不等式求a n n的最小值时，由于等号成立的条件(n ＝33 N *)不满足，故不能使用基本不等式求最小值，而应借助函数的单调性求解．1．在数列{a n }中，若a 1＝12，a n ＝11－a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a 2 012＝( )．A.12 B ．2 C ．－12D ．－2 2．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2 012项与5的差即a 2 012－5＝( )．A ．2 018×2 012B ．2 018×2 011C ．1 009×2 012D ．1 009×2 011 3．写出下面各数列的一个通项公式．(1)－1，32，－13，34，－15，36，…；(2)3,33,333,3 333，….4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，求下列条件下数列的通项公式a n .(1)S n ＝2·5n－2；(2)若S 1＝1，S n ＋1＝3S n ＋2.5．已知在数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N *)，且{a n }单调递增，求k 的取值范围．参考答案基础梳理自测知识梳理1．顺序 项 序号 首项 a n {a n } 2．有限 无限4．第n 项与序号n 之间的关系 a n ＝f (n ) 解析式6．正整数集N *函数值 通项公式 基础自测1．B 解析：由已知得，数列可写成11，23，35，….故通项为n2n －1.2．B3．B 解析：a n ＝na nb ＋c ＝ab ＋cn， ∵y ＝c n是减函数， ∴y ＝ab ＋c n是增函数，∴a n ＜a n ＋1.故选B.4．－6 解析：a 4＝S 4－S 3＝4－42－3＋32＝－6.5．2503－ 2 011 9 解析：a 2 011＝12 011＋ 2 012＝ 2 012－ 2 011 ＝2503－ 2 011. 又∵10－3＝10－9＝110＋9，∴n ＝9. 考点探究突破【例1】 解：(1)各项减去1后为正偶数， 所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n－12n .(3)注意到分母分别是1×3,3×5,5×7，7×9，9×11，…为两个连续奇数的积，故所求数列的通项公式为a n ＝2n(2n －1)(2n ＋1).【例2】 解：(1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3；由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1.当n ＞1时有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1.于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，……a n －1＝nn －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n ＝n (n ＋1)2.综上，{a n }的通项公式a n ＝n (n ＋1)2.【例3】 解：∵a n ＋1＝13S n ，∴a n ＝13S n －1(n ≥2)．∴a n ＋1－a n ＝13(S n －S n －1)＝13a n (n ≥2)．∴a n ＋1＝43a n (n ≥2)．又a 1＝1，a 2＝13S 1＝13a 1＝13，∴{a n }是从第二项起，公比为43的等比数列．a n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －2.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，13⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －2，n ≥2.演练巩固提升1．B 解析：∵a 1＝12，a n ＝11－a n －1(n ≥2，n ∈N *)，∴a 2＝2，a 3＝－1，a 4＝12.∴{a n }是以3为周期的数列． ∴a 2 012＝a 670×3＋2＝a 2＝2. 故选B.2．D 解析：结合图形可知，该数列的第n 项a n ＝2＋3＋4＋…＋n ＋2.所以a 2 012－5＝4＋5＋…＋2 014＝4×2 011＋2 011×2 0102＝2 011×1 009.故选D.3．解：(1)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含有因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n·2＋(－1)nn.也可写为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧－1n，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.(2)数列各项改写为93，993，9993，9 9993，…，分母都是3，而分子是10－1,102－1,103－1，104－1，…，∴a n ＝13(10n－1)．4．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×5－2＝8.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2·5n －2－2·5n －1＋2＝8·5n －1.∴当n ＝1时也适合a n ，故a n ＝8·5n －1. (2)由S 1＝1，∴a 1＝1. 由S 2＝3S 1＋2，∴a 2＝4.∵S n ＋1＝3S n ＋2，S n ＝3S n －1＋2(n ≥2)， ∴a n ＋1＝3a n (n ≥2)．∴数列{a n }从第二项起构成等比数列，首项为a 2，公比为3.∴a n ＝4·3n －2.故数列{a n }的通项公式为：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，4·3n －2，n ≥2. 5．解：a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k ， 又{a n }单调递增， 故应有a n ＋1－a n ＞0， 即2n ＋1－k ＞0恒成立， 分离变量得k ＜2n ＋1， 故只需k ＜3即可．。
高考数学一轮复习第六章数列6.1数列的概念和表示方法公开课课件省市一等奖完整版
∴Sn= 3 an1- ,
22
∴n≥2时,an=Sn-Sn-1=
3 2
a-n
12=Βιβλιοθήκη 32(aann-a1 n-1)12,
3 2
故an=3an-1,n≥2,又a1=1,
∴数列{an}为以1为首项,公比为3的等比数列,
∴an=3n-1,n∈N*.
(2)由(1)得a2n=32n-1,
∴bn=2n-1,
∴ 1=
b nb n1
= 1,
(2n 1)(2n 1)
1 2
1 2n 1
1 2n 1
得Tn=
1 2
11 31 31 5 2n112n11
=1
2
1
=1
2n
1 .
n 2n 1
(2)若数列{bn}满足bn=log3a2n,求数列
b
n
b1的n 1前 n项和Tn.
解题导引 (1)利用a1=S1得t的值→利用n≥2时,an=Sn-Sn-1得n≥2时的通项公式,检验a1是 否满足 (2)利用裂项求和法得结论.
解析
(1)当n=1时,a1=S1=ta1-
1 2
,得t=3
2
,
6.Sn与an的基本关系
an=
S1 (n1), ① Sn Sn1 (n2).
Sn=a1+a2+…+an.
7.数列的一般性质
由于数列可以看作一个关于n(n∈N*)的函数,因此它具备函数的某些性
质:
(1)单调性——若② an+1>an ,则{an}为递增数列;若③ an+1<an ,则
{an}为递减数列.否则为摆动数列或常数列.
高考数学
高考数学大一轮复习第六章数列6.1数列的概念与表示课
D.an=
2,������为奇数, 0,������为偶数
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B 答案
-12知识梳理 双基自测 自测点评
1 2 3 4
3.(2016石家庄二模)已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2an-4(n∈N*),则 an=( ) A.2n+1 B.2n C.2n-1 D.2n-2
关闭
A 答案
-13知识梳理 双基自测 自测点评
1 2 3 4 5 6
4.数列的函数特征 数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})为定义域的函数 an=f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.
-8知识梳理 双基自测 自测点评
1 2 3 4 5 6
5.数列的前n项和 在数列{an}中,Sn=
a1+a2+…+an
叫做数列的前n项和.
-9知识梳理 双基自测 自测点评
1 2 3 4 5 6
6.数列{an}的an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn,则
an=
,������ = 1, S1 Sn-Sn-1 ,������ ≥ 2.
-10知识梳理 双基自测 自测点评
1 2 3 4
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)所有数列的第n项都能使用通项公式表示. ( ) (2)数列{an}和集合{a1,a2,a3,…,an}是一回事. ( ) (3)若数列用图象表示,则从图象上看都是一群孤立的点. ( (4)一个确定的数列,它的通项公式只有一个. ( ) (5)若数列{an}的前n项和为Sn,则对∀n∈N*,都有an=Sn-Sn-1. (
1 9 25 2 4 6 8 10
(5)5,55,555,5 555,…. 思考如何根据数列的前几项的值写出数列的一个通项公式?
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1 §6.1 数列的有关概念 命题探究
考纲解读 考点 内容解读 要求 五年高考统计 常考题型 预测热度 2013 2014 2015 2016 2017
1.数列的概念及通项公式 1.求通项公式 2.数列性质 A 填空题 解答题 ★☆☆
2.数列的前n项和及性质 数列前n项和的求法及简单运用 A 填空题 解答题 ★★☆
分析解读 本节知识一般和数列其他内容综合在一起出题,考查数列的综合运用,作为数列的基础知识,需要熟练掌握.
五年高考 考点一 数列的概念及通项公式 1.(2015课标Ⅱ,16,5分)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn= .
答案 - 2.(2013安徽理,14,5分)如图,互不相同的点A1,A2,…,An,…和B1,B2,…,Bn,…分别在角O的两条边上,所有AnBn
相互平行,且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等.设OAn=an.若a1=1,a2=2,则数列{an}的通项公式
是 .
答案 an= 3.(2015重庆,22,12分)在数列{an}中,a1=3,an+1an+λan+1+μ=0(n∈N+). (1)若λ=0,μ=-2,求数列{an}的通项公式;
(2)若λ=(k0∈N+,k0≥2),μ=-1,证明:2+<<2+. 2
解析 (1)由λ=0,μ=-2,有an+1an=2(n∈N+).若存在某个n0∈N+,使得=0,则由上述递推公式易得=0.重复上述过程可得a1=0,与a1=3矛盾,所以对任意n∈N+,an≠0. 从而an+1=2an(n∈N+),即{an}是一个公比q=2的等比数列. 故an=a1qn-1=3·2n-1.
(2)证明:若λ=,μ=-1,则数列{an}的递推关系式变为
an+1an+an+1-=0,变形为an+1=(n∈N+). 由上式及a1=3>0,归纳可得 3=a1>a2>…>an>an+1>…>0.
因为an+1===an-+·, 所以对n=1,2,…,k0求和得=a1+(a2-a1)+…+(-)
=a1-k0·+·
>2+·=2+. 另一方面,由上已证的不等式知a1>a2>…>>>2,得
=a1-k0·+·
<2+·=2+. 综上,2+<<2+. 教师用书专用(4—6) 4.(2015四川,16,12分)设数列{an}(n=1,2,3,…)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式;
(2)记数列的前n项和为Tn,求使得|Tn-1|解析 (1)由已知Sn=2an-a1, 有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2), 即an=2an-1(n≥2). 3
从而a2=2a1,a3=2a2=4a1. 又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1). 所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2. 所以,数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列. 故an=2n.
(2)由(1)得=,
所以Tn=++…+==1-. 由|Tn-1|<,得<,即2n>1 000. 因为29=512<1 000<1 024=210, 所以n≥10.
于是,使|Tn-1|
5.(2013广东理,19,14分)设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1,=an+1-n2-n-,n∈N*. (1)求a2的值; (2)求数列{an}的通项公式;
(3)证明:对一切正整数n,有++…+<. 解析 (1)依题意,得2S1=a2--1-,又S1=a1=1,所以a2=4. (2)当n≥2时,2Sn=nan+1-n3-n2-n, 2Sn-1=(n-1)an-(n-1)3-(n-1)2-(n-1), 两式相减得2an=nan+1-(n-1)an-(3n2-3n+1)-(2n-1)-,
整理得(n+1)an=nan+1-n(n+1),即-=1,又-=1, 故数列是首项为=1,公差为1的等差数列, 所以=1+(n-1)×1=n,所以an=n2. (3)证明:当n=1时,=1<; 4
当n=2时,+=1+=<; 当n≥3时,=<=-,此时 ++…+=1++++…+<1++++…+ =1++-=-<. 综上,对一切正整数n,有++…+<. 6.(2013江西理,17,12分)正项数列{an}的前n项和Sn满足:-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0. (1)求数列{an}的通项an;
(2)令bn=,数列{bn}的前n项和为Tn.证明:对于任意的n∈N*,都有Tn<. 解析 (1)由-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0,得 [Sn-(n2+n)](Sn+1)=0. 由于{an}是正项数列, 所以Sn>0,Sn=n2+n. 于是a1=S1=2,n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n. 综上,数列{an}的通项an=2n.
(2)证明:由于an=2n,bn=, 则bn==-. Tn=1-+-+-+…+-+- =<=. 考点二 数列的前n项和及性质 1.(2016浙江,13,6分)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1= ,S5= . 答案 1;121
2.(2013湖南理,15,5分)设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=(-1)nan-,n∈N*,则 (1)a3= ; 5
(2)S1+S2+…+S100= . 答案 (1)- (2) 3.(2013课标全国Ⅱ理,16,5分)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为 . 答案 -49 4.(2017课标全国Ⅲ文,17,12分)设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n. (1)求{an}的通项公式;
(2)求数列的前n项和. 解析 (1)因为a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,故当n≥2时, a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1). 两式相减得(2n-1)an=2.
所以an=(n≥2). 又由题设可得a1=2=, 从而{an}的通项公式为an=(n∈N*).
(2)记的前n项和为Sn. 由(1)知==-. 则Sn=-+-+…+-=. 5.(2017北京文,15,13分)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5. (1)求{an}的通项公式; (2)求和:b1+b3+b5+…+b2n-1. 解析 本题考查等差数列及等比数列的通项公式,数列求和.考查运算求解能力. (1)设等差数列{an}的公差为d. 因为a2+a4=10,所以2a1+4d=10. 解得d=2. 所以an=2n-1. (2)设等比数列{bn}的公比为q. 因为b2b4=a5,所以b1qb1q3=9. 解得q2=3. 所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1.
从而b1+b3+b5+…+b2n-1=1+3+32+…+3n-1=. 6.(2016四川,19,12分)已知数列{an}的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N*. (1)若a2,a3,a2+a3成等差数列,求数列{an}的通项公式; 6
(2)设双曲线x2-=1的离心率为en,且e2=2,求++…+. 解析 (1)Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,两式相减得到an+2=qan+1,n≥1. 又由S2=qS1+1得到a2=qa1, 故an+1=qan对所有n≥1都成立. 所以,数列{an}是首项为1,公比为q的等比数列. 从而an=qn-1. 由a2,a3,a2+a3成等差数列,可得2a3=a2+a2+a3, 所以a3=2a2,故q=2.所以an=2n-1(n∈N*). (2)由(1)可知,an=qn-1.
所以双曲线x2-=1的离心率en==. 由e2==2解得q=. 所以,++…+ =(1+1)+(1+q2)+…+[1+q2(n-1)] =n+[1+q2+…+q2(n-1)]
=n+ =n+(3n-1). 7.(2015课标Ⅰ,17,12分)Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0,+2an=4Sn+3. (1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和. 解析 (1)由+2an=4Sn+3,可知+2an+1=4Sn+1+3. 可得-+2(an+1-an)=4an+1,即 2(an+1+an)=-=(an+1+an)(an+1-an). 由an>0,可得an+1-an=2.
又+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去)或a1=3. 所以{an}是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n+1.(6分) (2)由an=2n+1可知
bn===. 设数列{bn}的前n项和为Tn,则 Tn=b1+b2+…+bn