2019年高考理科数学分类汇编:数列(解析版)

题08 数列

1.【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知4505S a ==,,则 A .25n a n =-

B .

310n a n =-

C .2

28n S n n =-

D .2

122

n S n n =

- 【答案】A

【解析】由题知,415

144302

45d S a a a d ?

=+??=???=+=?,解得132a d =-??=?,∴25n a n =-,2

4n S n n =-,故选A . 【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式,渗透方程思想与数学计算等素养.利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程,解出首项与公差,再适当计算即可做了判断.

2.【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15,且53134a a a =+,则3a = A .16 B .8

C .4

D .2

【答案】C

【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ,则23111142

111

15

34a a q a q a q a q a q a ?+++=?=+?, 解得11,2

a q =??=?,2

314a a q ∴==,故选C .

【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量,熟练应用公式是解题的关键.

3.【2019年高考浙江卷】设a ,b ∈R ,数列{a n }满足a 1=a ,a n +1=a n 2

+b ,n *∈N ,则

A . 当101

,102

b a =

> B . 当101

,104

b a =

> C . 当102,10b a =-> D . 当104,10b a =->

【答案】A

【解析】①当b =0时,取a =0,则0,n a n *

=∈N .

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2019年高考理科数学分类汇编:数列(解析版)

故B 项不正确. 故本题正确答案为A.

【名师点睛】遇到此类问题,不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想,通过研究函数的不动点,进一步讨论a 的可能取值,利用“排除法”求解.

4.【2019年高考全国I 卷理数】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若2

1461

3

a a a ==,,则S 5=____________. 【答案】

121

3

【解析】设等比数列的公比为q ,由已知21461,3a a a =

=,所以32511

(),33

q q =又0q ≠, 所以3,q =所以

55

151

(13)

(1)12131133

a q S q --===

--. 【名师点睛】准确计算,是解答此类问题的基本要求.本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算,部分考生易出现运算错误.

5.【2019年高考全国III 卷理数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,12103a a a =≠,,则10

5

S S =___________. 【答案】4

【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,

因213a a =,所以113a d a +=,即12a d =,

所以

105S S =1111109

1010024542552

a d a a a d ?+

==?+. 【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算.渗透了数学运算素养.使用转化思想得出答案.

6.【2019年高考北京卷理数】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2=?3,S 5=?10,则a 5=__________,S n

的最小值为__________. 【答案】 0,10-.

【解析】等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得32,a =-又23a =-,所以公差321d a a =-=,

5320a a d =+=,

由等差数列{}n a 的性质得5n ≤时,0n a ≤,6n ≥时,n a 大于0,所以n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-.

【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式?求和公式?等差数列的性质,难度不大,注重重要知识?基础知识?基本运算能力的考查.

7.【2019年高考江苏卷】已知数列*

{}()n a n ∈N 是等差数列,n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==,

则8S 的值是_____. 【答案】16

【解析】由题意可得:()()()25811191470

98

9272a a a a d a d a d S a d ?+=++++=?

??=+=??

, 解得:152

a d =-??

=?,则8187

840282162S a d ?=+=-+?=. 【名师点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题,是高考必考内容,解题过程中要注意应用函数方程思想,灵活应用通项公式、求和公式等,构建方程(组),如本题,从已知出发,构建1a d ,的方程组. 8.【2019年高考全国II 卷理数】已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1,b 1=0,1434n n n a a b +-=+,

1434n n n b b a +-=-.

(I )证明:{a n +b n }是等比数列,{a n –b n }是等差数列; (II )求{a n }和{b n }的通项公式. 【答案】(I )见解析;(2)1122n n a n =

+-,11

22

n n

b n =-+. 【解析】(1)由题设得114()2()n n n n a b a b +++=+,即111

()2

n n n n a b a b +++=

+. 又因为a 1+b 1=l ,所以{}n n a b +是首项为1,公比为

1

2

的等比数列. 由题设得114()4()8n n n n a b a b ++-=-+,即112n n n n a b a b ++-=-+. 又因为a 1–b 1=l ,所以{}n n a b -是首项为1,公差为2的等差数列. (2)由(1)知,11

2

n n n a b -+=

,21n n a b n -=-. 所以111[()()]222

n n n n n n a a b a b n =

++-=+-,

111[()()]222

n n n n n n b a b a b n =+--=-+.

9.【2019年高考北京卷理数】已知数列{a n },从中选取第i 1项、第i 2项、…、第i m 项(i 1

12m i i i a a a <

,为{a n }的长度为m 的递增子列.规定:数列{a n }的任意一项都是{a n }的长度为1的递增子列.

(Ⅰ)写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列;

(Ⅱ)已知数列{a n }的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ,长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a .若p

(Ⅲ)设无穷数列{a n }的各项均为正整数,且任意两项均不相等.若{a n }的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s –1,且长度为s 末项为2s –1的递增子列恰有2s -1

个(s =1,2,…),求数列{a n }的通项公式. 【答案】(Ⅰ) 1,3,5,6(答案不唯一);(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)见解析. 【解析】(Ⅰ)1,3,5,6.(答案不唯一) (Ⅱ)设长度为q 末项为0n a 的一个递增子列为1210,,,,q r r r n a a a a -.

由p

p q r r n a a a -≤<.

因为{}n a 的长度为p 的递增子列末项的最小值为0m a , 又12,,

,p r r r a a a 是{}n a 的长度为p 的递增子列,

所以0p m r a a ≤. 所以00m n a a <·

(Ⅲ)由题设知,所有正奇数都是{}n a 中的项.

先证明:若2m 是{}n a 中的项,则2m 必排在2m ?1之前(m 为正整数). 假设2m 排在2m ?1之后. 设121,,

,,21m p p p a a a m --是数列

{}

n a 的长度为m 末项为2m ?1的递增子列,则

121,,

,,21,2m p p p a a a m m --是数列{}n a 的长度为m +1末项为2m 的递增子列.与已知矛盾.

再证明:所有正偶数都是{}n a 中的项.

假设存在正偶数不是{}n a 中的项,设不在{}n a 中的最小的正偶数为2m .

因为2k 排在2k ?1之前(k =1,2,…,m ?1),所以2k 和21k -不可能在{}n a 的同一个递增子列中. 又{}n a 中不超过2m +1的数为1,2,…,2m ?2,2m ?1,2m +1,所以{}n a 的长度为m +1且末项为2m +1的递增子列个数至多为1(1)22221122m m m --???

???=<个

.

与已知矛盾.

最后证明:2m 排在2m ?3之后(m ≥2为整数).

假设存在2m (m ≥2),使得2m 排在2m ?3之前,则{}n a 的长度为m +1且末项为2m +l 的递增子列的个数小于2m .与已知矛盾.

综上,数列{}n a 只可能为2,1,4,3,…,2m ?3,2m ,2m ?1,…. 经验证,数列2,1,4,3,…,2m ?3,2m ,2m ?1,…符合条件.

所以1,1,n n n a n n +?=?-?

为奇数,

为偶数.

【名师点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解.但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题”,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝.

10.【2019年高考天津卷理数】设{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列.已知

1122334,622,24a b b a b a ===-=+,.

(Ⅰ)求{}n a 和{}n b 的通项公式;

(Ⅱ)设数列{}n c 满足111,22,2,1,,

k k n k

k c n c b n +=?<<=?=?其中*

k ∈N . (i )求数列(

){}

221n n a c -的通项公式; (ii )求

()2*

1

n

i i

i a c n =∈∑N .

【答案】(Ⅰ)31n a n =+;32n

n b =?(Ⅱ)(i )()

221941n n n a c -=?-(ii )

()()2*

21

1*

1

272

5212

n

n n i i i a c n n n --=∈=?+?--∈∑N N

【解析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q .依题意得2

662,

6124,

q d q d =+??

=+?解得3,2,

d q =??=?故14(1)331,6232n n n n a n n b -=+-?=+=?=?. 所以,{}n a 的通项公式为{}31,

n n a n b =+的通项公式为32n n b =?.

(Ⅱ)(i )()()()()

22211321321941n n n n n n n a c a b -=-=?+?-=?-. 所以,数列(){}

221n n a c -的通项公式为(

)

221941n n n a c -=?-. (ii )

()()22221

1

1

1

211n n n

i

i

n

i i

i

i

i

i

i i i i a c a a c a a c

====??=+-=+??-∑∑∑∑

()

()

12212439412n n

n n

i i =??- ?=?+?+?- ???

(

)(

)21

1

41432

52

914

n n n n ---=?+?+?

--

()211*

2725212

n n n n --=?+?--∈N .

【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n 项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.

11.【2019年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”.

(1)已知等比数列{a n }()n *

∈N 满足:245132,440a a a a a a =-+=,求证:数列{a n }为“M -数列”;

(2)已知数列{b n }()n *

∈N 满足:11

1221,

n n n b S b b +==-,其中S n 为数列{b n }的前n 项和. ①求数列{b n }的通项公式;

②设m 为正整数,若存在“M -数列”{c n }()n *

∈N ,对任意正整数k ,当k ≤m 时,都有1k k k c b c +剟

成立,求m 的最大值.

【答案】(1)见解析;(2)①b n =n ()

*

n ∈N ;②5.

【解析】解:(1)设等比数列{a n }的公比为q ,所以a 1≠0,q ≠0.

由245321440a a a a a a =??-+=?,得244112111440

a q a q a q a q a ?=?-+=?,解得112a q =??=?.

因此数列{}n a 为“M—数列”.

(2)①因为1122n n n S b b +=-,所以0n b ≠. 由1111,b S b ==,得2122

11b =-,则22b =. 由1122

n n n S b b +=-,得112()

n n n n n b b S b b ++=-, 当2n ≥时,由1n n n b S S -=-,得()()

111122n n n n

n n n n n b b b b b b b b b +-+-=---,

整理得112n n n b b b +-+=.

所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此,数列{b n }的通项公式为b n =n (

)*

n ∈N .

②由①知,b k =k ,*k ∈N .

因为数列{c n }为“M–数列”,设公比为q ,所以c 1=1,q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1,所以1

k k q k q -≤≤,其中k =1,2,3,…,m .

当k =1时,有q ≥1; 当k =2,3,…,m 时,有

ln ln ln 1

k k

q k k ≤≤-. 设f (x )=

ln (1)x x x >,则2

1ln ()x

f 'x x -=. 令()0f 'x =,得x =e.列表如下:

x (1,e)

e (e ,+∞) ()

f 'x

+

0 –

f (x )

极大值

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因为

ln 2ln8ln 9ln 32663=<=,所以max ln 3()(3)3

f k f ==.

取q =

k =1,2,3,4,5时,

ln ln k

q k

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…,即k k q ≤, 经检验知1

k q k -≤也成立.

因此所求m 的最大值不小于5.

若m ≥6,分别取k =3,6,得3≤q 3,且q 5≤6,从而q 15≥243,且q 15

≤216,

所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上,所求m 的最大值为5.

【名师点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.

12.【2019年高考浙江卷】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,34a =,43a S =,数列{}n b 满足:对每个

12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.

(I )求数列{},{}n n a b 的通项公式; (II )记,,2n

n n

a c n

b *=

∈N 证明:12+2,.n c c c n n *++<∈N

【答案】(I )()21n a n =-,()1n b n n =+;(II )证明见解析. 【解析】(I )设数列{}n a 的公差为d ,由题意得

11124,333a d a d a d +=+=+,

解得10,2a d ==.

从而*

22,n a n n =-∈N .

所以2*

n S n n n =-∈N ,,

由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得

()

()()2

12n n n n n n S b S b S b +++=++.

解得()2

121n n n n b S S S d

++=

-. 所以2*

,n b n n n =+∈N .

(II

)*n c n =

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==∈N . 我们用数学归纳法证明.

(i )当n =1时,c 1=0<2,不等式成立;

(ii )假设()

*n k k =∈N 时不等式成立,即122k c c c k +++<.

那么,当1n k =+时,

1211

22(1)(2)1

k k k c c c c k k k k k +++++<<+++222(1)211k k k k k k k

<=+=+++.

即当1n k =+时不等式也成立. 根据(i )和(ii ),不等式122n c c c n ++

+<对任意*n ∈N 成立.

【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.

13.【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学试题】在等差数列{}n a 中,3a ,9a 是方程

224120x x ++=的两根,则数列{}n a 的前11项和等于

A .66

B .132

C .-66

D .- 32

【答案】D

【解析】因为3a ,9a 是方程224120x x ++=的两根,

所以3924a a +=-,

又396242a a a +=-=,所以612a =-,

6

1111111211()13222

a a a S ??+=

==-,故选D.

【名师点睛】本题主要考查了等差数列的性质,等差中项,数列的求和公式,属于中档题.

14.【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷数学试题】定义在 上的函数 满足:当 时,

;当 时, .记函数 的极大值点从小到大依次记为 并记相应的极大值为 则 的值为

A .

B .

C .

D .

【答案】A

【解析】由题意当 时,22

()2(1)1f x x x x =-=--+ 极大值点为1,极大值为1,

当 时,()()32f x f x =-.则极大值点形成首项为1公差为2 的等差数列,极大值形成首项为1公比为3 的等比数列,

故 . ,故 ,

设S= , 3S= ,

两式相减得-2S=1+2( )-

∴S= , 故选:A.

【名师点睛】本题考查数列与函数综合,错位相减求和,确定 及 的通项公式是关键,考查计算能力,是中档题.

15.【福建省2019届高三毕业班质量检查测试数学试题】数列 中, ,且

11

2(2)n n n n n

a a n a a --+=

+≥-,则数列 前2019项和为

A .

B .

C .

D .

【答案】B

【解析】:∵

( ),

∴()2

2

112n n n n a a a a n ----=﹣, 整理得: ,

∴ ,又 , ∴ ,

可得:

则数列

前2019项和为:

. 故选:B .

【名师点睛】本题主要考查了数列递推关系、“累加求和”方法、裂项求和,考查了推理能力、转化能力与计算能力,属于中档题.

16.【内蒙古2019届高三高考一模试卷数学试题】《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题:“衰分”是

按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”.如:甲、乙、丙、丁“哀”得100,60,

36,21.6个单位,递减的比例为40%,今共有粮(0)m m >石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙

衰分得80石,乙、丁衰分所得的和为164石,则“衰分比”与m 的值分别为 A .20% 369

B .80% 369

C .40% 360

D .60% 365

【答案】A

【解析】设“衰分比”为a ,甲衰分得b 石,

由题意得23

(1)80

(1)(1)16480164b a b a b a b m ?-=?-+-=??++=?

,

解得125b =,20%a =,369m =. 故选A .

【名师点睛】本题考查等比数列在生产生活中的实际应用,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用.

17.【山东省德州市2019届高三第二次练习数学试题】设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知1212a a ==,

,且2123n n n a S S ++=-+,记22122log log n n n b a a -=+,则数列()

{}

21n

n b -?的前10项和为______.

【答案】200

【解析】∵1212a a ==,,且2123n n n a S S ++=-+, ∴32332a =-+=, ∵2123n n n a S S ++=-+,

∴2n ≥时,1123n n n a S S +-=-+, 两式相减可得,()()21112

n n n n n n S a a S S S ++-+-=---,

(2n ≥) 即2n ≥时,2112n n n n a a a a +++-=-即22n n a a +=, ∵312a a =,

∴数列{}n a 的奇数项和偶数项分别成等比数列,公比均为2,

∴12222n n

n a -=?=,1121122n n n a ---=?=,

∴22122log log 121n n n b a a n n n -=+=-+=-, 则数列()()

()22

1211n

n

n b n -?-=-,则

()

{}

21n

n b -?的前10项和为

()()

(

)

22222231751917S =-+-+

+-

()2412202836=?++++

200=.

故答案为200.

【名师点睛】本题考查数列的递推公式在数列的通项公式求解中的应用,考查等比数列的通项公式及数列的求和方法的应用,属于中档题.

18.【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试(6月)数学试题】在数列{}n a 中,

1111

,,(*)2019(1)

n n a a a n N n n +=

=+∈+,则2019a 的值为______. 【答案】1

【解析】因为11

,()(1)

n n a a n n n *+=+

∈+N

所以1111

(1)1

n n a a n n n n +-=

=-++,

211

1,2a a -=-

3211

,23

a a -=-

...,

2019201811

20182019

a a -=

-, 各式相加,可得

201911

12019a a -=-

, 201911

120192019

a -=-,

所以,20191a =,故答案为1.

【名师点睛】本题主要考查利用递推关系求数列中的项,属于中档题.利用递推关系求数列中的项常见思路为:(1)项的序号较小时,逐步递推求出即可;(2)项的序数较大时,考虑证明数列是等差、等比数列,或者是周期数列;(3)将递推关系变形,利用累加法、累乘法以及构造新数列法求解. 19.【2019北京市通州区三模数学试题】设{}n a 是等比数列,且245a a a =,427a =,则{}n a 的通项公式

为_______.

【答案】13-=n n a ,n *∈N .

【解析】设等比数列{}n a 的公比为q , 因为245a a a =,427a =,

所以223542427a a a a q q q =

===,解得3q =,所以41327127

a a q ===, 因此,13-=n n a ,n *∈N . 故答案为13-=n n a ,n *∈N .

【名师点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算,熟记等比数列的通项公式即可,属于常考题型. 20.【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,等

比数列{}n b 的前n 项和为n T .若113a b ==,42a b =,4212S T -=. (I )求数列{}n a 与{}n b 的通项公式; (II )求数列{}n n a b +的前n 项和.

【答案】(I )21,3n

n n a n b =+=;(II )(

)331(2)2

n n n -++.

【解析】(I )由11a b =,42a b =,

则4212341223()()12S T a a a a b b a a -=+++-+=+=,

设等差数列{}n a 的公差为d ,则231236312a a a d d +=+=+=,所以2d =. 所以32(1)21n a n n =+-=+.

设等比数列{}n b 的公比为q ,由题249b a ==,即2139b b q q ===,所以3q =.

所以3n

n b =;

(II )(21)3n n n a b n +=++, 所以{}n n a b +的前n 项和为1212()()n n a a a b b b ++

+++++

2

(3521)(333)n

n =+++++++

+(321)3(13)

213

n n n ++-=+

-3(31)(2)2n n n -=++. 【名师点睛】本题主要考查等差数列与等比数列,熟记通项公式、前n 项和公式即可,属于常考题型. 21.【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试数学试题】已知等差数列{}n a 的公差是1,且1a ,3a ,9

a 成等比数列.

(I )求数列{}n a 的通项公式; (II )求数列{

}2

n n

a a 的前n 项和n T . 【答案】(I )n a n =;(II )222

n n n

T +=-

. 【解析】(I )因为{}n a 是公差为1的等差数列,且1a ,3a ,9a 成等比数列,

所以2319a a a =,即2

111(2)(8)a a a +=+,解得11a =.

所以1(1)n a a n d n =+-=.

(II )123

11111232222n

n T n ????????

=?+?+?++? ? ? ? ?????????

2

3

1

1111112(1)22222n

n n T n n +????

????

=?+?++-?+? ? ? ? ?

????

????

两式相减得1

2

3

1

111111222222n

n n T n +??????????=+++

+-? ? ? ? ? ???????????

所以1

1

1

111112*********

n n n n n n T n +++??- ?

??

??=

-?=-

- ?

??

-. 所以222n n

n

T +=-

.

【名师点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、错位相减法,考查了推理能力与计算能力,属于常考题型.

22.【安徽省1号卷A10联盟2019年高考最后一卷数学试题】已知等差数列{}n a 满足636a a =+,且31

a -是241,a a -的等比中项. (I )求数列{}n a 的通项公式; (II )设()1

1

n n n b n a a *+=

∈N ,数列{}n b 的前项和为n T ,求使1n T <成立的最大正整数n 的值 【答案】(I )21n a n =+.(II )8.

【解析】(I )设等差数列{}n a 的公差为d ,6336a a d -==Q ,即2d =,

3113a a ∴-=+,2111a a -=+,416a a =+, 31a -Q 是21a -,4a 的等比中项,

()()232411a a a ∴-=-?,即()()()2

111+3=16a a a ++,解得13a =. ∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =+.

(II )由(I )得()()111111212322123n n n b a a n n n n +??

=

==- ?++++??

. 1212

n n T b b b ∴=++???+=

1111

1135572123n n ??-+-+???+- ?++??

()

1112323323n

n n ??=-= ?

++??, 由

()1

3237

n n <+,得9n <.

∴使得1n T <成立的最大正整数n 的值为8.

【名师点睛】本题考查等差数列通项公式以及裂项相消法求和,考查基本分析求解能力,属中档题.

23.【重庆一中2019届高三下学期5月月考数学试题】已知数列{}n a 满足:

1n a ≠,()11

2n n

a n a *+=-∈N ,

数列}{n b 中,1

1

n n b a =

-,且1b ,2b ,4b 成等比数列. (I )求证:数列}{n b 是等差数列;

(II )若n S 是数列}{n b 的前n 项和,求数列1n S ??

????

的前n 项和n T . 【答案】(I )见解析;(II )

21

n

n +. 【解析】(I )

111

111

1111

21n n n n n n

b b a a a a ++-=

-

=-

-----1111

n n n a a a =-=--, ∴数列}{n b 是公差为1的等差数列;

(II )由题意可得2

214b b b =,即()()2

11113b b b +=+,所以11b =,所以1n b =,

∴(1)

2n n n S +=,∴12112(1)1n S n n n n ??==- ?++??, 11111212231n T n n ??=?-+-+?+- ?+??122111n

n n ?

?=?-=

?++?

?

. 【名师点睛】本题主要考查等差数列性质的证明,考查等差数列的前n 项和的求法,考查裂项相消法求和,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

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