全国高考理科数学试题分类汇编—统计

年高考真题理科数学解析分类汇编 12 统计
1. 【 高 考 上 海 理 17 】 设 10 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 10 4 , x5 ? 10 5 , 随 机 变 量 ?1 取 值
x1、x 2、x 3、x 4、x 5 的 概 率 均 为 0.2 , 随 机 变 量 ? 2 取 值
x1
? 2
x2
、x2
? 2
x3
、x3
? 2
x4
、x4
? 2
x5
、x5
? 2
x1
的概率也均为 0.2
,若记
D?1、D? 2
分别为
?1、?2 的方差,则( )
A. D?1 ? D?2
B. D?1 ? D?2
C. D?1 ? D?2
D. D?1 与 D? 2 的大小关系与 x1、x2、x3、x4 的取值有关
【答案】A
【 解 析 】 由 随 机 变 量 ?1,?2 的 取 值 情 况 , 它 们 的 平 均 数 分 别 为 :
1 x1 ? 5 (x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ),

x2
?
1? 5 ??
x1
? 2
x2
?
x2
? 2
x3
?
x3
? 2
x4
?
x4
? 2
x5
?
x5
? 2
x1
? ??
?
x1,
且随机变量?1 ,? 2 的概率都为 0.2 ,所以有 D?1 > D? 2 . 故选择 A.
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提 和基础,本题属于中档题. 2.【高考陕西理 6】从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机,对其销售额进行统计,
统计数据用茎叶图表示(如图所示),设甲乙两组数据的平均数分别为 x甲 , x乙 ,中位数分
别为 m甲 , m乙,则(

A. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙
B. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙
C. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙
D. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙
【答案】B.
【解析】根据平均数的概念易计算出
x甲
?
x乙
,又 m甲
?
18 ? 22 2
?
20 ,m乙
?
27 ? 31 2
?
29
故选 B.
3.【高考山东理 4】采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查,为此将他们随机编
号为 1,2,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32
人中,编号落入区间?1, 450?的人做问卷 A ,编号落入区间?451, 750? 的人做问卷 B ,其余

的人做问卷 C .则抽到的人中,做问卷 B 的人数为
(A)7 (B) 9 (C) 10 (D)15 【答案】C 【解析】从 960 中用系统抽样抽取 32 人,则每 30 人抽取一人,因为第一组号码为 9,则第
二组为 39,公差为 30.所以通项为 an ? 9 ? 30(n ?1) ? 30n ? 21 ,由 451? 30n ? 21? 750 ,
即15 22 ? n ? 25 21 ,所以 n ? 16,17,?25,共有 25 ?16 ?1 ? 10人,选 C.
30
30
4.【高考江西理 9】样本( x1, x2 , , xn )的平均数为 x ,样本( y1, y2 , ym )的平均数为
y(x ? y) ,若样本( x1, x2 ,
, xn ,y1, y2 ,
ym
)的平均数
z
?
ax
?
(1 ?
a) y
,其中
0
?
?
?
1 2

则 n,m 的大小关系为
A. n ? m B. n ? m C. n ? m
D.不能确定
【答案】A
【解析】本题考查统计中的平均数,作差法比较大小以及整体思想.
由统计学知识,可得 x1 ? x2 ? ? xn ? nx, y1 ? y2 ? ? ym ? my ,
x1 ? x2 ? ? xn ? y1 ? y2 ? ? ym ? ?m ? n? z ? ?m ? n? ??? x ? ?1?? ? y?? .
? ?m ? n?? x ? ?m ? n??1?? ? y ,
所以 nx ? my ? ?m ? n?? x ? ?m ? n??1?? ? y .
所以
??n ? ?m ? n??,
? ?? m
?
?
m
?
n?
?1
?
?
?.
故 n ? m ? (m ? n)[? ? (1??)] ? (m ? n)(2? ?1).
因为 0 ? ? ? 1 ,所以 2? ?1? 0 .所以 n ? m ? 0 .即 n ? m . 2
【点评】要牢固掌握统计学中一些基本特征:如平均数,中位数,方差,标准差等的求法. 体现考纲中要求会用样本的基本数字特征估计总体的基本数 字特征.来年需要注意频率分 布直方图中平均值,标准差等的求解等. 5.【高考湖南理 4】设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相 关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为
y =0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是
A.y 与 x 具有正的线性相关关系
B.回归直线过样本点的中心( x , y )
C.若该大学某女生身高增加 1cm,则其体重约增加 0.85kg D.若该大学某女生身高为 170cm,则可断定其体重比为 58.79kg

【答案】D
【解析】由回归方程为 y =0.85x-85.71 知 y 随 x 的增大而增大,所以 y 与 x 具有正的线性
相关关系,由最小二乘法建立的回归方程得过程知 y? ? bx ? a ? bx ? y ? bx(a ? y ? bx) ,
所以回归直线过样本点的中心( x , y ),利用回归方程可以预测估计总体,所以 D 不正确.
【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念,并且是 找不正确的答案,易错. 6.【高考安徽理 5】甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次,两人成绩的条形统计图如图 所示,则
( A) 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
(B) 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
(C ) 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
(D) 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
【答案】C
【命题立意】本题考查统计学中的数字特征与统计图。
【解析】
x甲
?
1 5
(4
?
5
?
6
?
7
?
8)
?
6,
x乙
?
1 5
(5 ? 3
?
6
?
9)
?
6

甲的成绩的方差为 1 (22 ? 2 ?12 ? 2) ? 2 ,乙的成绩的方差为 1 (12 ? 3 ? 32 ?1) ? 2.4.
5
5
7.【高考天津理 9】某地区有小学 150 所,中学 75 所,大学 25 所. 现采用分层抽样的方法
从这些学校中抽取 30 所学校对学生进行视力调查,应从小学中抽取_________所学校,中学
中抽取________所学校.
【答案】18,9
【命题意图】本试题主要考查了统计中的分层抽样的概念以及样本获取的方法与计算.
【解析】共有学校150 ? 75 ? 25 ? 250所,抽取 30 所,所以从小学抽取 30 ?150 ? 18 所, 250

从中学抽取 30 ? 75 ? 9 所。 250
8.【高考江苏 2】(5 分)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3 : 3 : 4 ,现用分层抽
样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高二年级抽取 ▲
名学生.
【答案】15。
【考点】分层抽样。
【解析】分 层 抽 样 又 称 分 类 抽 样 或 类 型 抽 样 。 将 总 体 划 分 为 若 干 个 同 质 层 , 再 在 各 层
内 随 机 抽 样 或 机 械 抽 样 ,分 层 抽 样 的 特 点 是 将 科 学 分 组 法 与 抽 样 法 结 合 在 一 起 ,分 组
减小了各抽样层变异性的影响,抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。因此,
由 50? 3 =15 知应从高二年级抽取 15 名学生。 3?3?4
9.【高考辽宁理 19】(本小题满分 12 分)
电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的
收视情况,随机抽取了 100 名观众进行调查.下面是根据调
查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布
直方图:
将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体
育迷”
(1)根据已知条件完成下面的 2?2 列联表,并据此资料
你是否认为“体育迷“与性别有关?
非体育迷 体育迷 合计


10
55
合计
(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法
每次抽取 1 名观众,抽取 3 次,记被抽取的 3 名观众中的“体育迷“人数为 X .若每次抽取
的结果是相互独立的,求 X 的分布列,期望 E ? X ? 和方差 D? X ?
? ? 附: ? 2 = n
n11n22 -n12n21
2

n1+ n2 + n+1n+2
? ? P ?2 ? k
0.05
0.01
k
3.841
6.635
【命题意图】本题主要考查频率分布直方图的应用、独立性检验、随机变量的分布列、期望、
方差计算,考查运用所学知识解决实际问题能力,是中档题.
【解析】(1)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 人中,“体育迷”有 25 人,从而 2?2 列
联表如下:
非体育迷
体育迷
合计

30
15
45

45
10
55

合计
75
25
100
将 2?2 列联表中的数据代入公式计算,得
……3 分
?2
=
? ? n n11n22 -n12n21 2
100 ? ?30 ?10-45 ?15?2
=
= 100
?
3.030
n1+ n2 + n+1n+2
75? 25? 45?55 33
因为 3.030<3.841,所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.
……6 分
(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为 0.25,将频率视为概率,即从观众中抽
取一名“体育迷”的概率为 1 . 4
由题意 X
X P
B
? ??
3,
1 3
? ??
,从而
X
的分布列为
0
1
2
3
27 27 9 1
64 64 64 64
……10 分
E ? X ? =np=3? 1 = 3 , D? X ? =np ?1-p? =3? 1 ? 3 = 9 .
44
4 4 16
……12 分
【点评】本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、离散型随机变量的分布列,
期望 E( X ) 和方差 D( X ) ,考查分析解决问题的能力、运算求解能力,难度适中。准确读取
频率分布直方图中的数据是解题的关键。

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