高考理科数学试题分类汇编：三角函数(附答案)
高三数学三角函数试题答案及解析
高三数学三角函数试题答案及解析1.设角的终边在第一象限，函数的定义域为，且，当时，有，则使等式成立的的集合为．【答案】【解析】令得：，令得：，由得：，又角的终边在第一象限，所以因而的集合为.【考点】抽象函数赋值法2.“θ≠”是“cos θ≠”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为“cos θ＝”是“θ＝”的必要不充分条件，所以“θ≠”是“cos θ≠”的必要不充分条件，选B.3.已知函数，则一定在函数图象上的点是（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】根据的解析式，求出，判断函数的奇偶性，由函数的奇偶性去判断四个选项是否在图象上．．为奇函数，在图象上．故选C．【考点】函数的奇偶性．4.函数y=的定义域是.【答案】{x|kπ-<x≤kπ+,k∈Z}【解析】由1-tanx≥0,即tanx≤1,结合正切函数图象可得,kπ-<x≤kπ+,k∈Z,故函数的定义域是{x|kπ-<x≤kπ+,k∈Z}.5.若方程有实根，则实数的取值范围为【答案】【解析】由方程得，，即，因为，所以，若方程有实根，则，解得．【考点】方程的根．6.已知的三个内角所对的边分别为，且，则角的大小为 .【答案】【解析】根据正弦定理：，，即：，，【考点】1、正弦定理；2、两角和与差的三角函数公式.7.已知函数上有两个零点,则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，由于，故，由于函数在区间上有两个零点，所以，所以，所以，故选D.【考点】1.三角函数的图象；2.三角函数的对称性8.已知函数d的最大值为2，是集合中的任意两个元素，且的最小值为.（1）求函数的解析式及其对称轴；（2）若，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】本题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式、诱导公式、三角函数的最小正周期、单调性等基础知识，考查运算能力.第一问，利用倍角公式化简表达式，先利用周期求出，再求最值，通过解方程求出，确定了解析式后求正弦函数的对称轴；第二问，通过角之间的关系转化角，考查诱导公式和倍角公式.试题解析：（1），由题意知：的周期为，由，知 2分由最大值为2，故，又， 4分∴ 5分令，解得的对称轴为 7分（2）由知，即， 8分∴ 10分12分【考点】1.倍角公式；2.两角和与差的三角函数；3.函数的周期；4.函数的对称轴.9.已知函数时有极大值，且为奇函数，则的一组可能值依次为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】，因为当时有极大值，所以=0，解得当k=0时,；因为=为奇函数，所以,当k=0时,,故选D.【考点】1.求函数的导数及其导数的性质；2.三角函数的性质.10.已知函数的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图像的一条对称轴，则下列各式中符合条件的解析式是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可得，则据此可知答案选D.【考点】函数的图像与性质.11.中，角所对的边分别为且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若向量，向量，，，求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；【解析】（Ⅰ）主要利用三角形中内角和定理、三角恒等变换来求；（Ⅱ）通过余弦定理、解方程组可求；试题解析：（Ⅰ）∵∴，∴，∴或∴（II）∵∴，即①又，∴，即②由①②可得，∴又∴，∴【考点】解三角形中内角和定理以及余弦定理的使用、三角恒等变换等知识点，考查学生的计算能力.12.在中，角的对边分别为向量，,且．（１）求的值；（２）若,,求角的大小及向量在方向上的投影．【答案】（1）；（2），向量在方向上的投影．【解析】（1）由向量数量积坐标形式列式，可求得的值，再利用平方关系可求得的值；（2）先利用正弦定理可求得的值，再利用大边对大角可求得角的大小．由投影的定义可求得向量在方向上的投影．试题解析：(１)由,得, 1分, 2分.. ３分．４分(２)由正弦定理，有, ５分．６分，, ７分． 8分由余弦定理，有， 9分或（舍去）． 10分故向量在方向上的投影为 11分． 12分【考点】1、向量数量积、投影；2、三角恒等变换；3、解三角形．13.已知函数若方程有三个不同的实根，且从小到大依次成等比数列，则m的值为 .【答案】【解析】设三个根由小到大依次为，结合余弦函数图像可知关于直线对称，关于直线对称，代入计算得【考点】三角函数图像及性质点评：题目中主要结合三角函数图像的轴对称性找到三根之间的联系14.函数的最小正周期为．【答案】【解析】根据题意，由于即为其周期，故答案为【考点】三角函数的性质点评：主要是考查了三角函数的性质的运用，属于基础题。
数学分类汇编(12)三角函数的化简与求值(含答案)
（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）8.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，会标是四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为，大正方形的面积为，直角三角形中较小的锐角为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由图形可知三角形的直角边长度差为a，面积为6，列方程组求出直角边得出sinθ，代入所求即可得出答案．【详解】由题意可知小正方形的边长为a，大正方形边长为5a，直角三角形的面积为6，设直角三角形的直角边分别为x，y且x＜y，则由对称性可得y＝x+a，∴直角三角形的面积为S xy＝6，联立方程组可得x＝3a，y＝4a，∴sinθ，tanθ＝．∴===，故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形，三角恒等变换，属于基础题．（山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学（理科）试题）3.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本道题化简式子,计算出,结合,即可.【详解】,得到,所以,故选C.【点睛】本道题考查了二倍角公式,难度较小.（山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）14.已知,则_______【答案】【解析】原式化为，，所以，，填。
（江西省新余市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）15.已知，则______．【答案】【解析】【分析】根据同角的三角函数的关系和二倍角公式即可求出．【详解】解：，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查同角的三角函数关系式和二倍角公式的应用，属于基础题．（湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测理科数学试题）15.在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则__________.【答案】【解析】【分析】结合终边过点坐标，计算出，结合二倍角公式和余弦两角和公式，即可。
【详解】，所以【点睛】本道题考查了二倍角公式与余弦的两角和公式，难度中等。
三角函数、解三角形——2024届高考数学试题分类汇编(解析版)
2024高考复习·真题分类系列2024高考试题分类集萃·三角函数、解三角形
微专题总述：三角函数的图像与性质
【扎马步】2023高考三角函数的图像与性质方面主要考察“卡根法”的运用，是最为基础的表现
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，加强图像考察与其他知识点如几何、函数的结合，对称思想的隐含
微专题总述：正弦定理与余弦定理的应用
【扎马步】2023高考解三角形小题部分紧抓“教考衔接”基础不放，充分考察正余弦定理的运用
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，在考察正余弦定理时与角平分线定理结合（初中未涉及此定理）
微专题总述：解三角形综合问题
【扎马步】2023高考解三角形大题部分仍然与前几年保持一直模式，结构不良题型日益增多，但方向不变，均是化为“一角一函数”模式是达到的最终目的，考察考生基本计算与化简能力
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，如新高考卷中出现的数形结合可加快解题速度，利用初中平面几何方法快速求出对应参量在近几年高考题中频繁出现，可见初高中结合的紧密 2023年新课标全国Ⅰ卷数学
16．已知在ABC 中，
()3,2sin sin A B C A C B +=−=． (1)求sin A ；
(2)设5AB =，求AB 边上的高．
2023高考试题分类集萃·三角函数、解三角形参考答案
2。
历年(2020-2023)全国高考数学真题分类(三角函数)汇编(附答案)
历年(2020‐2023)全国高考数学真题分类(三角函数)汇编【2023年真题】1. （2023ꞏ新课标I 卷 第8题）已知1sin()3αβ-=，1cos sin 6αβ=，则cos(22)αβ+=( ) A.79B.19C. 19-D. 79-2. （2023ꞏ新课标II 卷 第7题） 已知α为锐角，1cos 4α+=，则sin 2α=( )A. 38B. 18-C. 34D. 14-+3. （2023ꞏ新课标I 卷 第15题）已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[0,2]π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是__________.4. （2023ꞏ新课标II 卷 第16题）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，如图，A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若||6AB π=，则()f π= .【2022年真题】5.（2022·新高考I 卷 第6题）记函数()sin()(0)4f x x b πωω=++>的最小正周期为.T 若23T ππ<<，且()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，则(2f π=( ) A. 1B.32C.52D. 36.（2022·新高考II 卷 第6题）若sin()cos()4παβαβαβ+++=+，则( )A. tan()1αβ+=-B. tan()1αβ+=C. tan()1αβ-=-D. tan()1αβ-=7.（2022·新高考II 卷 第9题）（多选）已知函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象关于点2(,0)3π对称，则( ) A. ()f x 在5(0,)12π单调递减 B. ()f x 在11(,)1212ππ-有两个极值点 C. 直线76x π=是曲线()y f x =的一条对称轴D. 直线2y x =-是曲线()y f x =的一条切线【2021年真题】8.（2021·新高考I 卷 第4题）下列区间中，函数()7sin ()6f x x π=-单调递增的区间是( )A.0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B. ,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C. 3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭9.（2021·新高考I 卷 第6题）若tan 2θ=-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+( )A. 65-B. 25-C.25 D.65【2020年真题】10.（2020·新高考I 卷 第10题 、II 卷 第11题）（多选）如图是函数()sin y x ωϕ=+的部分图象，则()sin x ωϕ+( )A. sin ()3x π+B. sin (2)3x π- C. cos (2)6x π+D. 5cos (2)6x π- 11.（2020·新高考I 卷 第15题、II 卷 第16题）)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC的切点，四边形DEFG 为矩形，BC DG ⊥，垂足为C ，3tan 5ODC ∠=，//BH DG ，12EF cm =，2DE cm =，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为__________2.cm参考答案1. （2023ꞏ新课标I 卷 第8题）解：因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，1cos sin 6αβ=，则1sin cos .2αβ=故112sin()sin cos cos sin .263αβαβαβ+=+=+= 即2221cos(22)12sin ()12().39αβαβ+=-+=-⨯=故选B.2. （2023ꞏ新课标II 卷 第7题）解：22111cos 36114sin ()sin 222816424ααα+-----=====⇒=故选：.D3. （2023ꞏ新课标I 卷 第15题）解：令()cos 10f x x ω=-=，得cos 1x ω=，又[0,2]x π∈，则[0,2]x ωωπ∈，所以426πωππ<…，得2 3.ω<… 故答案为：[2,3).4. （2023ꞏ新课标II 卷 第16题）解： 设相邻的两个交点A ，B 的横坐标为1 t ，2 t ，则21 - 6t t π=又1sin()2x ωϕ+=，522,.0,66x k k k Z k ππωϕππ+=++∈=或当时 16t πωϕ+=，256t πωϕ+=，212( - )3t t πω=，故 4.ω=函数图象过点2(,0)3π，8sin ()03πϕ+=，故8 ,.3k k Z πϕπ=-∈ 2k =时满足图片条件，故2.3πϕ=-2()sin(4.32f πππ=-=- 5.（2022·新高考I 卷 第6题）解：由题可知：22(,)3T πππω=∈，所以(2,3).ω∈ 又因为()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，所以2b =，且33()sin() 2.224f b πππω=⨯++= 所以21(34k ω=-，k Z ∈，所以5.2ω=所以5()sin() 2.24f x x π=++所以() 1.2f π=6.（2022·新高考II 卷 第6题）解：解法一：设0β=则sin cos 0αα+=，取34απ=，排除B ，D 再取0α=则sin cos 2sin βββ+=，取4πβ=，排除;A 选.C解法二：由sin()cos())]44ππαβαβαβαβ+++=++=++)cos 44ππαβαβ=++，cos )sin 44ππαβαβ+=+ 故sin()cos cos(044ππαβαβ+-+=，即sin()04παβ+-=，故sin(sin()cos()0422παβαβαβ-+=-+-=， 故sin()cos()αβαβ-=--，故tan() 1.αβ-=- 7.（2022·新高考II 卷 第9题）（多选） 解：由题意得：24(sin()033f ππϕ=+=， 所以43k πϕπ+=，即43k πϕπ=-+，k Z ∈， 又0ϕπ<<，所以2k =时，23πϕ=，故2()sin(2).3f x x π=+ 选项5:(0,)12A x π∈时，2232(,)332x πππ+∈，由sin y u =图象知()f x 在5(0,)12π单调递减; 选项11:(,1212B x ππ∈-时，252(,)322x πππ+∈，由sin y u =图象知()f x 在11(,1212ππ-有1个极值点; 选项:C 由于，故直线76x π=不是()f x 的对称轴;选项:D 令，得21cos(232x π+=-， 解得222233x k πππ+=+或242233x k πππ+=+，k Z ∈，从而得x k π=或3x k ππ=+，k Z ∈，令0k =，则是斜率为1-的直线与曲线的切点，从而切线方程为(0)2y x -=--，即.2y x =- 8.（2021·新高考I 卷 第4题） 解：由22262k x k πππππ-+-+剟，得222,33k x k k Z ππππ-++∈剟， 所以()7sin ()6f x x π=-的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦， 当0k =时，一个单调递增区间为2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，可知20,,233πππ⎛⎫⎡⎤⊆- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 故选：.A9.（2021·新高考I 卷 第6题）解：原式22sin (sin cos 2sin cos )sin cos θθθθθθθ++=+ 22sin (sin cos )sin sin cos sin cos θθθθθθθθ+==++22222sin sin cos tan tan 422sin cos tan 1415θθθθθθθθ++-====+++， 故选：.C10.（2020·新高考I 卷 第10题 、II 卷 第11题）（多选） 解：由图象可知222()||36T ππππω==-=，故A 错误; 解得2ω=±， 点5(,1)12π-在函数图象上， 当2ω=时，522,k Z 122k ππϕπ⨯+=-+∈， 解得42,k Z 3k πϕπ=-+∈，故44sin 2sin 2sin 2333y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-=-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当2ω=-时，522,k Z 122k ππϕπ-⨯+=-+∈ 解得2,k Z 3k πϕπ=+∈，故函数解析式为sin 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又cos 2sin 2sin 26263x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选.BC11.（2020·新高考I 卷 第15题、II 卷 第16题） 解：设上面的大圆弧的半径为x ，连接OA ，过A 作AI BH ⊥交BH 于J ，交DG 于K ，交EF 于I ，过O 作OL DG ⊥于L ，记扇形OAB 的面积为S 扇形，由题中的长度关系易知45AGD ︒∠=，所以45AHO ︒∠=， 又90OAH ︒∠=，可得AOH 为等腰直角三角形，可得2OJ AJ x ==，52OL JK x ==-， 72DL DK LK DK OJ x=-=-=-，3tan 5OL ODC DL ∠==， 5352x-=，解得x =，12AOH O S S S S =+- 阴影圆扇形222131154()24222cm πππ=⨯⨯+⨯-=+，故答案为54.2π+。
2024年高考数学真题分类汇编(三角函数篇,解析版)
专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos (α+β)=m ,tan αtan β=2，则cos (α-β)=()A.-3mB.-m3C.m 3D.3m【答案】A【分析】根据两角和的余弦可求cos αcos β,sin αsin β的关系，结合tan αtan β的值可求前者，故可求cos α-β 的值.【详解】因为cos α+β =m ，所以cos αcos β-sin αsin β=m ，而tan αtan β=2，所以=12×2b ×kb ×sin A 2+12×kb ×b ×sin A2，故cos αcos β-2cos αcos β=m 即cos αcos β=-m ，从而sin αsin β=-2m ，故cos α-β =-3m ，故选：A .2(新课标全国Ⅰ卷)当x ∈[0,2π]时，曲线y =sin x 与y =2sin 3x -π6 的交点个数为()A.3B.4C.6D.8【答案】C【分析】画出两函数在0,2π 上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数y =sin x 的的最小正周期为T =2π，函数y =2sin 3x -π6 的最小正周期为T =2π3，所以在x ∈0,2π 上函数y =2sin 3x -π6有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C3(新课标全国Ⅱ卷)设函数f (x )=a (x +1)2-1，g (x )=cos x +2ax ，当x ∈(-1,1)时，曲线y =f (x )与y =g (x )恰有一个交点，则a =()A.-1B.12C.1D.22024年高考数学真题分类汇编——三角函数篇【分析】解法一：令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，分析可知曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得a =2，并代入检验即可；解法二：令h x =f (x )-g x ,x ∈-1,1 ，可知h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即可得a =2，并代入检验即可.【详解】解法一：令f (x )=g x ，即a (x +1)2-1=cos x +2ax ，可得ax 2+a -1=cos x ，令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，原题意等价于当x ∈(-1,1)时，曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，注意到F x ,G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得F 0 =G 0 ，即a -1=1，解得a =2，若a =2，令F x =G x ，可得2x 2+1-cos x =0因为x ∈-1,1 ，则2x 2≥0,1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，可得2x 2+1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，则方程2x 2+1-cos x =0有且仅有一个实根0，即曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，所以a =2符合题意；综上所述：a =2.解法二：令h x =f (x )-g x =ax 2+a -1-cos x ,x ∈-1,1 ，原题意等价于h x 有且仅有一个零点，因为h -x =a -x 2+a -1-cos -x =ax 2+a -1-cos x =h x ，则h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即h 0 =a -2=0，解得a =2，若a =2，则h x =2x 2+1-cos x ,x ∈-1,1 ，又因为2x 2≥0,1-cos x ≥0当且仅当x =0时，等号成立，可得h x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，即h x 有且仅有一个零点0，所以a =2符合题意；故选：D .4(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1 B.23-1C.32D.1-3【答案】B【分析】先将cos αcos α-sin α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos αcos α-sin α=3，所以11-tan α=3，⇒tan α=1-33，所以tan α+π4 =tan α+11-tan α=23-1，故选：B .5(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.4【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：x 1为f x 的最小值点，x 2为f x 的最大值点，则x 1-x 2 min =T 2=π2，即T =π，且ω>0，所以ω=2πT=2.故选：B .6(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.32【答案】A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得f x =-sin2x ，再整体求出x ∈-π12,π6时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】f x =sin3ωx +π3 =sin 3ωx +π =-sin3ωx ，由T =2π3ω=π得ω=23，即f x =-sin2x ，当x ∈-π12,π6 时，2x ∈-π6,π3，画出f x =-sin2x 图象，如下图，由图可知，f x =-sin2x 在-π12,π6上递减，所以，当x =π6时，f x min =-sin π3=-32故选：A7(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x【答案】A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【详解】对A ，sin x +cos x =2sin x +π4，周期T =2π，故A 正确；对B ，sin x cos x =12sin2x ，周期T =2π2=π，故B 错误；对于选项C ，sin 2x +cos 2x =1，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，sin 2x -cos 2x =-cos2x ，周期T =2π2=π，故D 错误，故选：A ．8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x-π4，下列说法正确的有() A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，令f(x)=sin2x=0，解得x=kπ2,k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)=sin2x-π4=0，解得x=kπ2+π8,k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为2π2=π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+π2⇔x=kπ2+π4,k∈Z，g(x)的对称轴满足2x-π4=kπ+π2⇔x=kπ2+3π8,k∈Z，显然f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sin(α+β)=.【答案】-22 3【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tanα+β=-22，再缩小α+β的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得tanα+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ=41-2+1=-22，因为α∈2kπ,2kπ+π2,β∈2mπ+π,2mπ+3π2，k,m∈Z，则α+β∈2m+2kπ+π,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，又因为tanα+β=-22<0，则α+β∈2m+2kπ+3π2,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，则sinα+β<0，则sinα+βcosα+β=-22，联立sin2α+β+cos2α+β=1，解得sinα+β=-223.法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0,cosβ<0,cosα=cosαsin2α+cos2α=11+tan2α，cosβ=cosβsin2β+cos2β=-11+tan2β，则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ(tanα+tanβ)=4cosαcosβ=-41+tan2α1+tan2β=-4(tanα+tanβ)2+(tanαtanβ-1)2=-442+2=-223故答案为：-22 3.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x-3cos x在0,π上的最大值是．【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】f x =sin x -3cos x =2sin x -π3 ，当x ∈0,π 时，x -π3∈-π3,2π3，当x -π3=π2时，即x =5π6时，f x max =2.故答案为：2一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.2【答案】A【分析】由题意可知：tan θ=2，根据倍角公式结合齐次化问题分析求解.【详解】由题意可知：tan θ=2，所以7cos 2θ-2sin2θ=7cos 2θ-4sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=7-4tan θtan 2θ+1=7-4×222+1=-15.故选：A .2(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.78【答案】D【分析】根据给定条件，求出tan α，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解.【详解】由cos α+π =-2sin α，得cos α=2sin α，则tan α=12，所以sin 2α-3cos α+π2 cos αcos2α+1=sin 2α+3sin αcos α2cos 2α=12tan 2α+32tan α=18+34=78.故选：D3(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】根据函数的奇偶性判断即可.【详解】设g x =1-e x1+e x，则g-x=1-e-x1+e-x=e x-11+e x=-g x ，所以g x 为奇函数，设h x =cos2x，可知h x 为偶函数，所以f x =1-e x1+e xcos2x为奇函数，则B，C错误，易知f0 =0，所以A正确，D错误．故选：A.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f(x)=(3sin x+cos x)cos x-12，若f(x)在区间-π4,m上的值域为-3 2,1，则实数m的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π12【答案】D【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f(x)，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.【详解】依题意，函数f(x)=3sin x cos x+cos2x-12=32sin2x+12cos2x=sin2x+π6，当x∈-π4,m时，2x+π6∈-π3,2m+π6，显然sin-π3=sin4π3=-32,sinπ2=1，且正弦函数y=sin x在π2,4π3上单调递减，由f(x)在区间-π4,m上的值域为-32,1，得π2≤2m+π6≤4π3，解得π6≤m≤7π12，所以实数m的取值范围是π6,7π12.故选：D5(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cosωx x∈R在0,π内恰有两个对称中心，fπ=1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若fα +gα =35，则cos4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-1925【答案】A【分析】根据y轴右边第二个对称中心在0,π内，第三个对称中心不在0,π内可求得32≤ω<52，结合fπ=1可得ω=2，再利用平移变换求出g x ，根据三角变换化简fα +gα =35可得sin2α+π6=35，然后由二倍角公式可解.【详解】由x∈0,π得ωx∈0,ωπ，因为函数f x 在0,π内恰有两个对称中心，所以3π2≤ωπ5π2>ωπ，解得32≤ω<52，又fπ=cosωπ=1，所以ωπ=kπ,k∈Z，即ω=k,k∈Z，所以ω=2，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数y=cos2x-π3=cos2x-2π3，即g x =cos2x-2π3，因为fα +gα =cos2α+cos2α-2π3=32sin2α+12cos2α=sin2α+π6=35，所以cos4α+π3=1-2sin22α+π6=1-2×35 2=725.故选：A6(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f(x)=sin2ωx+cos2ωx(ω>1)的一个零点是π2，且f(x)在-π6,π16上单调，则ω=()A.54B.74C.94D.114【答案】B【分析】整理可得f(x)=2sin2ωx+π4，以2ωx+π4为整体，根据单调性分析可得1<ω≤2，再结合零点分析求解.【详解】因为f(x)=sin2ωx+cos2ωx=2sin2ωx+π4，x∈-π6,π16，且ω>1时，可得2ωx+π4∈-π3ω+π4,π8ω+π4，且-π3ω+π4<0<π8ω+π4，若f(x)在-π6,π16上单调，则-π3ω+π4≥-π2π8ω+π4≤π2，解得1<ω≤2，又因为f(x)的一个零点是π2，则πω+π4=kπ,k∈Z，解得ω=k-14,k∈Z，所以k=2,ω=7 4 .故选：B.7(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin2x+φϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称【答案】D【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A、B；结合正弦函数最值可得C；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D.【详解】由题意可得2×π6+φ=kπk∈Z，解得φ=-π3+kπk∈Z，又ϕ <π2，故φ=-π3，即f x =sin2x-π3；对A ：当x ∈-π8,π3 时，2x -π3∈-7π12,π3，由函数y =sin x 在-7π12,π3上不为单调递增，故f x 在区间-π8,π3上不为单调递增，故A 错误；对B ：当x =5π6时，2x -π3=4π3，由x =4π3不是函数y =sin x 的对称轴，故x =5π6不是f x 图象的对称轴，故B 错误；对C ：当x ∈-π6,π4 时，2x -π3∈-2π3,π6，则f x ∈-1,12，故C 错误；对D ：将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，可得y =sin 2x +2×5π12-π3 =sin 2x +π2=cos2x ，该函数关于y 轴对称，故D 正确.故选：D .8(2024·广东广州·二模)已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f (x )的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y 轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π2【答案】A【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出ω和φ，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解.【详解】由f π4=1，得sin π4ω+φ =22，又点π4,1 及附近点从左到右是上升的，则π4ω+φ=π4+2k π,k ∈Z ，由f 5π8 =0，点5π8,0 及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得5π8ω+φ=π+2k π,k ∈Z ，联立解得ω=2，φ=-π4+2k π,k ∈Z ，而|φ|<π2，于是φ=-π4，f (x )=2sin 2x -π4，若将函数f (x )的图像向右平移θ(θ>0)个单位后，得到y =sin 2x -2θ-π4，则-2θ-π4=π2-k π,k ∈Z ，而θ>0，因此θ=-3π8+k π2,k ∈N ，所以当k =1时，θ取得最小值为π8.故选：A9(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sin ωx +3cos ωx (ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y =f x -2log πx 有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y =f x +φ 为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y =f x 在0,π3 上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y =f x 在0,π 上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256.A.1 B.2C.3D.4【答案】B【分析】利用辅助角公式化简函数，由图象分析判断①；由正弦函数的性质判断②③；由极大值的意义结合正弦函数的性质判断④.【详解】依题意，ω>0，函数f (x )=212sin ωx +32cos ωx =2sin ωx +π3，对于①：f (x )=2sin 2x +π3，令y =f x -2log πx =0，即f x =2log πx ，作出函数y =f (x )和函数y =2log πx 的图象，如图，观察图象知，两个函数在0,7π12 上只有一个零点，f 13π12 =2sin 5π2=2，当x =13π12时，y =2log π13π12=2log π1312+2log ππ=2+2log π1312>2，当x >13π12时，2log πx >2≥f (x )，因此函数y =f x 与函数y =2log πx 的图象有且只有一个交点，①正确；对于②：f (x +φ)=2sin 2x +2φ+π3 为奇函数，则2φ+π3=k π,k ∈Z ，φ=-π6+k π2,k ∈Z ，即正数φ的最小值为π3，②正确；对于③：当x ∈0,π3 时，ωx +π3∈π3,π(ω+1)3，由y =f x 在0,π3 上单调递增，得π(ω+1)3≤π2ω>0，解得0<ω≤12，正数ω有最大值12，③错误；对于④：当x ∈(0,π)时，ωx +π3∈π3,ωπ+π3，而y =f x 在(0,π)上恰有两个极值点，由正弦函数的性质得3π2<ωπ+π3≤5π2，解得76<ω≤136，因此ω的取值范围是76,136，④错误.综上，共2个正确，故选：B .10(2024·河北保定·二模)已知tan α=3cos αsin α+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-79【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出sin α，再结合二倍角公式即可求解.【详解】因为sin αcos α=3cos αsin α+11，所以4sin 2α+11sin α-3=0，解得sin α=14或sin α=-3(舍去)，所以cos2α=1-2sin 2α=78．故选：B .11(2024·河北衡水·三模)已知sin (3α-β)=m sin (α-β)，tan (2α-β)=n tan α，则m ，n 的关系为()A.m =2nB.n =m +1mC.n =m m -1D.n =m +1m -1【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解.【详解】依题意，sin (3α-β)=sin [(2α-β)+α]=sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α，sin (α-β)=sin [(2α-β)-α]=sin (2α-β)cos α-cos (2α-β)sin α，则sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α=m sin (2α-β)cos α-m cos (2α-β)sin α，即sin (2α-β)cos αcos (2α-β)sin α=m +1m -1，即tan (2α-β)tan α=m +1m -1=n .故选：D12(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin 2α2+sin α的值是()A.25B.45C.65D.85【答案】D【分析】利用二倍角公式和同角之间的转化，进行求解判断选项【详解】当tan α2=2，则sin 2α2+sin α=sin 2α2+2sin α2cos α2sin 2α2+cos 2α2=tan 2α2+2tan α2tan 2α2+1=22+2×222+1=85故选：D13(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sin α+β =2cos α+β ，sin αsin β-3cos αcos β=0，则tan α-β =()A.-1 B.-32C.-12D.12【答案】C【分析】找出tan α和tan β的关系，求出tan α和tan β即可求解.【详解】∵sin αsin β-3cos αcos β=0，∴sin αsin β=3cos αcos β，∴tan αtan β=3①，∵sin α+β =2cos α+β ，∴tan α+β =2⇒tan α+tan β1-tan αtan β=2⇒tan α+tan β1-3=2，∴tan α+tan β=-4②，由①②解得tan α=-1tan β=-3或tan α=-3tan β=-1 ，∵0<α<β<π，∴tan α<tan β，∴tan α=-3tan β=-1 ，∴tan α-β =tan α-tan β1+tan αtan β=-12.故选：C .二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-308【答案】ACD【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断A ；代入验证可判断B ；根据平移变化求g (x )，由奇偶性可求出φ，可判断C ；根据已知化简可得sin α-π12 =14，将目标式化为2sin α-π12 -π6 ，由和差角公式求解可判断D .【详解】对于A ，因为f (x )=31+cos2x +sin2x =2sin 2x +π3+3，所以f (x )的最小值周期T =2π2=π，所以2π是函数f (x )的一个周期，A 正确；对于B ，因为f π3 =2sin 2×π3+π3 +3=3，所以，点π3,0 不是函数f (x )的对称中心，B 错误；对于C ，由题知，g x =f (x -φ)=2sin 2(x -φ)+π3 +3=2sin 2x +π3-2φ +3，若函数g (x )为偶函数，则π3-2φ=π2+k π,k ∈Z ，得φ=-π12-k π2,k ∈Z ，因为φ>0，所以φ的最小值为5π12，C 正确；对于D ，若f 12α-5π24-3=2sin 212α-5π24 +π3 =2sin α-π12 =12，则sin α-π12 =14，因为α为锐角，-π12<α-π12<5π12，所以cos α-π12 =154，所以sin α-cos α=2sin α-π4 =2sin α-π12 -π6=232sin α-π12 -12cos α-π12=232×14-12×154=6-308，D 正确.故选：ACD 15(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增【答案】AC【分析】首先化简函数f x =12sin2x ，再根据函数的性质判断各选项.【详解】f x =sin x ⋅cos x =12sin2x ，函数的定义域为R ，对A ，f -x =-12sin2x =-f x ，所以函数f x 是奇函数，故A 正确；对B ，函数f x 的最小正周期为2π2=π，故B 错误；对C ，函数f x 的最小值为-12，故C 正确；对D ，x ∈0,π2 ，2x ∈0,π ，函数f x 不单调，f x 在0,π4 上单调递增，在π4,π2上单调递减，故D 错误.故选：AC16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增【答案】AC【分析】对于A ，直接用偶函数的定义即可验证；对于B ，直接说明f 0 ≠f π 即可否定；对于C ，先证明-3≤f x ≤2，再说明对-3≤u ≤2总有f x =u 有解即可验证；对于D ，直接说明f -5π6>f -2π3 即可否定.【详解】对于A ，由于f x 的定义域为R ，且f -x =sin -x -3cos -x =-sin x -3cos x =sin x -3cos x =f x ，故f x 是偶函数，A 正确；对于B ，由于f 0 =sin0 -3cos0=-3，f π =sinπ -3cosπ=3，故f 0 ≠f π ，这说明π不是f x 的周期，B 错误；对于C ，由于f x =sin x -3cos x ≤sin x +3cos x =sin x +3cos x 2≤sin x +3cos x 2+3sin x -cos x 2=sin 2x +3cos 2x +23sin x cos x +3sin 2x +cos 2x -23sin x cos x =4sin 2x +4cos 2x =4=2，且f x =sin x -3cos x ≥-3cos x ≥-3，故-3≤f x ≤2.而对-3≤u ≤2，有f 0 =-3≤u ，f 5π6 =2≥u ，故由零点存在定理知一定存在x ∈0,5π6使得f x =u .所以f x 的值域为-3,2 ，C 正确；对于D ，由于-π<-5π6<-2π3<-π2，f -5π6 =2>3=f -2π3 ，故f x 在-π,-π2上并不是单调递增的，D 错误.故选：AC .17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增【答案】BCD【分析】根据正弦函数的对称性求解φ判断A ，先求出h x =sin 2x -π3，然后利用正弦函数的对称性求解判断B ，根据对称函数的性质判断C ，结合正弦函数的单调性代入验证判断D .【详解】由题意得2×π12+φ=π2+k π，k ∈Z ，解得φ=π3+k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ=π3，A 错误；由φ=π3可知f x =sin 2x +π3，则h x =sin2x -sin 2x +π3 =12sin2x -32cos2x =sin 2x -π3，令2x -π3=k π，k ∈Z ，解得x =π6+k π2，k ∈Z ，令k =0，得x =π6，所以点π6,0 是曲线y =h x 的对称中心，B 正确；因为f π2-x =sin 2π2-x +π3 =sin 4π3-2x =sin 2x -π3=h x ，所以f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称，C 正确；当x ∈π6,5π12 时，2x -π3∈0,π2 ，故h x 在区间π6,5π12内单调递增，D 正确.故选：BCD 18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-12【答案】ACD【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出f x =sin 2x +π6，可得A 正确，B 错误；由诱导公式可得C 正确；整体代入由正弦函数的值域可得D 正确.【详解】由题意得f x =sin 2ω+φ ，由图象可得f 0 =12⇒sin φ=12，又0<φ<π2，所以φ=π6，由五点法可得ω×4π3+π6=3π2⇒ω=1，所以f x =sin 2x +π6 .A ：由以上解析可得φ=π6，故A 正确；B ：由以上解析可得ω=1，故B 错误；C ：f x +π6 =sin 2x +π6 +π6=cos2x ，故C 正确；D ：当x ∈0,π2 ⇒2x +π6∈π6,7π6 时，sin 2x +π6 ∈-12,1，所以最小值为-12，故D 正确；故选：ACD .19(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限【答案】ACD【分析】根据三角函数的定义，可求角α的三角函数，结合诱导公式判断A 的真假；利用二倍角公式，求出2α的三角函数值，结合三角函数的概念指出角2α的终边与单位圆的交点，由对称性确定角β终边与单位圆交点，从而判断BCD 的真假.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P -3,4 ，所以：OP =5，所以sin α=45，cos α=-35，所以cos π+α =-cos α=35，故A 对；又sin2α=2sin α⋅cos α=2×45×-35 =-2425，cos2α=cos 2α-sin 2α=-35 2-45 2=-725，所以2α的终边与单位圆的交点坐标为：-725,-2425 ，因为角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，所以角β的终边与单位圆的交点为2425,725，所以tan β=724，且β的终边在第一象限，故CD 正确；又因为终边在直线y =-x 的角为：k π-π4,k ∈Z ，角2α的终边与角β的终边关于y =-x 对称，所以2α+β2=k π-π4⇒β=2k π-π2-2αk ∈Z ，故B 错误.故选：ACD20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数 D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点【答案】ABD【分析】对于A ：计算h x +2π ，化简即可；对于B ：求出h x ，然后计算h 0 h π2的正负即可；对于C ：计算h x ,h -x 是否恒相等即可；对于D ：令f x =0g x =0，求解x 即可.【详解】对于A ，∀x ∈R ，h x +2π =λf x +2π +μg x +2π =λf x +μg x =h x ，A 正确；对于B ，h x =λcos x -2sin2x +μ2cos2x -sin x ，则h 0 =λ+2μ，h π2=-3μ，因为λμ>0，即λ，μ同号，所以h 0 h π2<0，由零点存在定理知h x 在0,π2上总有零点，故B 正确；对于C ，h x =λsin x +λcos2x +μsin2x +μcos x ，h -x =-λsin x +λcos2x -μsin2x +μcos x ，由h x =h -x 得2λsin x +2μsin2x =2λsin x +2μ⋅2sin x cos x =2sin x λ+2μcos x =0对x ∈R 恒成立，则λ=μ=0与题意不符，故C 错误；对于D ，令f x =0g x =0 ，则sin x +cos2x =1-2sin 2x +sin x =-sin x -1 2sin x +1 =0sin2x +cos x =cos x 2sin x +1 =0 ⇒sin x =1或sin x =-12cos x =0或sin x =-12，即x ∈-π6+2k π,π2+2k π,7π6+2k π ，k ∈Z ，故所有定点坐标为-π6+2k π,0 ，π2+2k π,0 ，7π6+2k π,0 ，k ∈Z ，又因为x ∈0,2π ，所以函数h x 的图象过定点π2,0 ，7π6,0 ，11π6,0 ，故D 正确；故选：ABD ．21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为12【答案】ABD【分析】根据题意，求得g x =-12cos2x 的图象，结合三角函数的图象与性质，以及两角差的正弦公式，逐项判定，即可求解.【详解】将函数f x =12cos 2x -π3 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x =12cos 2x -π =-12cos2x 的图象，对于A 中，令x =π6，求得f x =12，即为函数y =f x 最大值，所以直线x =π6是函数f x 图象的一条对称轴，所以A 正确；对于B 中，令2k π≤2x -π3≤2k π+π,k ∈Z ，解得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z ，可得f x 的单调减区间为k π+π6,k π+2π3,k ∈Z ，所以B 正确.对于C 中，由于g x =-12cos2x 是偶函数，可得函数g x 的图象关于y 轴对称，所以C 错误.对于D 中，由f x +g x =12cos 2x -π3 +-12cos2x =1212cos2x +32sin2x -12cos2x =34sin2x -14cos2x =12sin 2x -π6 ≤12，即f x +g x 的最大值为12，所以D 正确.故选：ABD .22(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8【答案】BCD【分析】根据三角恒等变换化简f x =2sin 2ωx +π3，进而根据周期可判断A ，根据整体法求解函数的值域判断B ，根据函数图象的平移可判断C ，根据零点个数确定不等式满足的条件可判断D .【详解】f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3=sin2ωx cos π3+cos2ωx sin π3+sin2ωx cos π3-cos2ωx sin π3+3cos2ωx=sin2ωx +3cos2ωx =2sin 2ωx +π3，对于A ，若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则T =2×π2=π=2π2ω,故ω=1，A 错误，对于B ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3 ，当x ∈0,π2 时，2x +π3∈π3,4π3，则f x 的值域为-3,2 ，B 正确，对于C ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为f x +π6 =2sin 2x +π6 +π3 =2sin 2x +2π3 =2cos 2x +π6，C 正确，对于D ，当x ∈0,π6 时，2ωx +π3∈π3,2ωπ6+π3，若f x 在区间0,π6 上有且仅有两个零点，则2π≤2ωπ6+π3<3π，解得5≤ω<8，故D 正确，故选：BCD 三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．【答案】π[-1,1]【分析】把ω=1代入，t 明智二倍角的正弦，结合正弦函数的周期求出f (x )的最小正周期；把ω=2代入，利用二倍角的余弦公式，借助换元法，利用导数求出f (x )的值域.【详解】当ω=1时，f (x )=sin x cos x =12sin2x ，函数f (x )的最小正周期为2π2=π；当ω=2时，f (x )=sin x cos2x =sin x (1-2sin 2x )，令sin x =t ∈[-1,1]，g (t )=t (1-2t 2)=-2t 3+t ，求导得g (t )=-6t 2+1，当-1≤t <-66或66<t ≤1时，g (t )<0，当-66<t <66时，g (t )>0，函数g (t )在-1,-66 ，66,1 上单调递减，在-66,66上单调递增，g (-1)=1,g 66 =69，g (1)=-1,g -66 =-69，所以g (t )min =-1,g (t )max =1，f (x )的值域是[-1,1].故答案为：π；[-1,1]24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.【答案】-45/-0.8【分析】利用辅助角公式化简f (x )的解析式，再由题意可得函数关于x =α对称，且最小正周期T =π，即可求出ω的值，从而得到2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得．【详解】因为f (x )=sin ωx -2cos ωx =5sin ωx -φ ，其中tan φ=2，由f α+x =f α-x ，可得f x 关于x =α对称，又两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，所以f x 的最小正周期T =π，又ω>0，所以2πω=π，解得ω=2，所以f x =5sin 2x -φ ，所以2α-φ=π2+k π,k ∈Z ，则2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，所以sin4α=sin2φ+π2+k π =sin 2φ+π+2k π =-sin2φ=-2sin φcos φsin 2φ+cos 2φ=-2tan φtan 2φ+1=-2×222+1=-45.故答案为：-4525(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.【答案】191【分析】由tan α=m tan β得到sin αcos β=m cos αsin β，再结合cos α-β =35，利用sin α-β =-45，得到cos αsin β=-45m -1 ，sin αcos β=-4m5m -1 ，从而sin α+β =-4m +1 5m -1，再由满足条件的α与β存在且唯一，得到α+β唯一，从而sin α+β =-4m +15m -1=1，求得m 即可.【详解】解：由tan α=m tan β，得sin αcos α=m sin βcos β，即sin αcos β=m cos αsin β，因为0<α<β<π2，tan α=m tan β，所以-π2<α-β<0，0<m <1，又cos α-β =35，所以sin α-β <0，从而sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=m -1 cos αsin β=-45，所以cos αsin β=-45m -1，所以sin αcos β=m cos αsin β=-4m5m -1，所以sin α+β =sin αcos β+cos αsin β=-4m +15m -1，因为α,β∈0,π2，所以α+β∈0,π ，因为满足条件的α与β存在且唯一，所以α+β唯一，所以sin α+β =-4m +1 5m -1=1，所以m =19，经检验符合题意，所以tan α=19tan β，则tan α-β =-43=tan α-tan β1+tan αtan β=tan α-9tan α1+9tan 2α，解得tan α=13，所以tan αtan β=9tan 2α=1.故答案为：19，1【点睛】关键点点睛：关键是结合已知得出sin α+β =-4m +15m -1 =1，求出m ，由此即可顺利得解.。
2022年高考数学真题分类汇编专题：三角函数
2022年高考数学真题分类汇编专题08：三角函数一、单选题(共11题；共55分)1．（5分）（2022·浙江）为了得到函数y=2sin3x的图象，只要把函数y=2sin(3x+π5)图象上所有的点（）A．向左平移π5个单位长度B．向右平移π5个单位长度C．向左平移π15个单位长度D．向右平移π15个单位长度【答案】D【解析】【解答】函数图象平移满足左加右减，y=2sin(3x+π5)=2sin[3(x−π15)+π5]=2sin3x，因此需要将函数图象向右平移π15个单位长度，可以得到y=2sin3x的图象.故答案为：D【分析】由已知结合正弦函数图象的平移即可求解．2．（5分）（2022·浙江）设x∈R，则“ sinx=1”是“ cosx=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【解答】sinx=1，则x=π2+2kπ，k∈Z；cosx=0，则x=π2+kπ，k∈Z，若sinx=1可推出cosx=0，充分性成立；反之不成立，必要性不成立，故充分部必要条件.故答案为：A【分析】利用同角三角函数间的基本关系，充要条件的定义判定即可．3．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）若sin(α+β)+cos(α+β)=2√2cos(α+π4)sinβ，则（）A．tan(α+β)=−1B．tan(α+β)=1C．tan(α−β)=−1D．tan(α−β)=1【答案】C【解析】【解答】根据两角和的正弦、余弦公式化简已知式子得：sinαcosβ+cosαsinβ+ cosαcosβ−sinαsinβ=2(cosα−sinα)sinβ，即：sinαcosβ−cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=0，即：sin(α−β)+cos(α−β)=0，所以tan(α−β)=−1，故答案为：C【分析】由两角和差的正、余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.4．（5分）（2022·全国甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB⌢是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在AB⌢上，CD⊥AB．“会圆术”给出AB⌢的弧长的近似值s的计算公式：s=AB+CD 2OA．当OA= 2，∠AOB=60°时，s=（）A．11−3√32B．11−4√32C．9−3√32D．9−4√32【答案】B【解析】【解答】解：如图，连接OC，因为C是AB的中点，所以OC⊥AB，又CD⊥AB，所以O，C，D三点共线，即OD=OA=OB=2 ，又⊥AOB=60° ， 所以AB=OA=OB=2， 则OC =√3 ， 故CD =2−√3 ， 所以s =AB +CD 2OA =2+(2−√3)22=11−4√32. 故选：B.【分析】连接OC ，分别求出AB ，OC ，CD ，再根据题意的新定义即可得出答案.5．（5分）（2022·全国甲卷）设函数 f(x)=sin(ωx +π3) 在区间 (0，π) 恰有三个极值点、两个零点，则 ω 的取值范围是（ ） A ．[53，136)B ．[53，196)C ．(136，83]D ．(136，196]【答案】C【解析】【解答】解：依题意可得ω>0 ，因为x⊥（0，π），所以ωx +π3∈(π3，ωπ+π3) ， 要使函数在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，又y=sinx ，(π3，3π) 的图象如下所示：则5π2<ωπ+π3≤3π， 解得136<ω≤83，即ω⊥ (136，83] ．故选：C【分析】由x 的取值范围得到ωx +π3的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式，解得即可．6．（5分）（2022·全国甲卷）已知 a =3132，b =cos 14，c =4sin 14，则（ ） A ．c >b >aB ．b >a >cC ．a >b >cD ．a >c >b【答案】A【解析】【解答】解：因为c b =4tan 14，因为当x ∈(0，π2)，sinx<x<tanx ，所以tan 14>14 ，即c b >1， 所以c>b ；设f (x )=cosx +12x 2−1，x ∈(0，+∞)，f'(x)=-sinx+x>0 ，所以f(x)在（0，+∞）单调递增，则f (14)>f (0)=0， 所以cos 14−3132>0 ，所以b>a ， 所以c>b>a ， 故选：A【分析】由c b =4tan 14结合三角函数的性质可得c>b ；构造函数f (x )=cosx +12x 2−1，x ∈(0，+∞)，利用导数可得b>a ，即可得解.7．（5分）（2022·全国甲卷）将函数 f(x)=sin(ωx +π3)(ω>0) 的图像向左平移 π2 个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则 ω 的最小值是（ ） A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】C【解析】【解答】解：由题意知：曲线C 为 y =sin [ω(x +π2)π3]=sin (ωx +ωπ2+π3) ， 又曲线C 关于y 轴对称，则ωπ2+π3=π2+kπ，k ∈Z ， 解得ω=13+2k ，k ∈Z ，又ω>0，故当k=0时，ω的最小值为 13 .故选：C.【分析】先由平移求出曲线C 的解析式，再结合对称性得ωπ2+π3=π2+kπ，k ∈Z ，即可求出ω的最小值.8．（5分）（2022·北京）已知函数 f(x)=cos 2x −sin 2x ，则（ ）A ．f(x) 在 (−π2，−π6) 上单调递增 B ．f(x) 在 (−π4，π12) 上单调递增C ．f(x) 在 (0，π3) 上单调递减D ．f(x) 在 (π4，7π12) 上单调递增【答案】C【解析】【解答】 f(x)=cos 2x −sin 2x =cos2x ，选项A 中： 2x ∈(−π，−π3) ，此时 f(x) 单调递增；选项B 中： 2x ∈(−π2，π6) ，此时 f(x) 先递增后递减；选项C 中： 2x ∈(0，2π3) ，此时 f(x) 单调递减；选项D 中： 2x ∈(π2，7π6) ，此时 f(x) 先递减后递增.故答案为：C【分析】先根据余弦的二倍角公式化简 f(x)=cos2x ，再逐项分析选项即可.9．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）记函数 f(x)=sin(ωx +π4)+b(ω>0) 的最小正周期为T ，若 2π3<T <π， 则 y =f(x) 的图像关于点 (3π2，2) 中心对称，则 f(π2)= （ ）A ．1B ．32C ．52D ．3【答案】A【解析】【解答】解：由题意得，ω=2πT∈(2，3)， 又 y =f(x) 的图像关于点 (3π2，2) 中心对称，则b=2，且f (3π2)=2，所以sin (3π2ω+π4)+2=2，则3π2ω+π4=2kπ，k ∈Z ，解得ω=8k−16，又ω∈(2，3)， 则k=2，ω=52，故f (π2)=sin (52·π2+π4)+2=1，故选：A【分析】由正弦函数的图象与性质，先求得b ，ω，再求得f (π2)即可.10．（5分）（2022·浙江学考）已知α⊥R ，则cos （π-α）=（）A ．sinαB ．-sinαC ．cosαD ．-cosα【答案】D【解析】【解答】因为 cos(π−α)=−cosα 。
2013年高考理科数学试题分类汇编：三角函数(附答案)
2013年高考理科数学试题分类汇编：三角函数（附答案）一、选择题 1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））已知210cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan A.34 B. 43 C.43- D.34- 2 ．（2013年高考陕西卷（理））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ =4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为(A) 34π (B) 4π (C)0 (D) 4π-5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >,则B ∠=A.6πB.3πC.23πD.56π 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知函数()=cos sin 2f x x x ,下列结论中错误的是(A)()y f x =的图像关于(),0π中心对称 (B)()y f x =的图像关于直线2x π=对称(C)()f x()f x 既奇函数,又是周期函数 7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））函数cos sin y x x x =+的图象大致为8 ．（2013年高考四川卷（理））函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是( )(A)2,3π-(B)2,6π-(C)4,6π-(D)4,3π9 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）既是偶函数又在区间(0 )π，上单调递减的函数是( )(A)sin y x = (B)cos y x = (C)sin 2y x = (D)cos 2y x =10．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））004cos50tan 40-= ( )D.1- 11．（2013年高考湖南卷（理））在锐角中ABC ∆,角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于A.12πB.6πC.4πD.3π12．（2013年高考湖北卷（理））将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后,所得到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是( )A.12πB.6π C. 3π D. 56π二、填空题1．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题）ABC ∆中,090=∠C ,M 是BC 的中点,若31sin =∠BAM ,则=∠BAC sin ________.2．（2013年高考新课标1（理））设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=______3．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））如图ABC ∆中,已知点D 在BC 边上,AD ⊥AC,sin 3BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________4．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数2sin y x =的最小正周期是_____________5．（2013年高考四川卷（理））设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是_________.6．（2013年高考上海卷（理））若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=,则sin()________x y +=7．（2013年高考上海卷（理））已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c,若22232330a ab b c ++-=,则角C 的大小是_______________(结果用反三角函数值表示)8．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知α是第三象限角,1sin 3a =-,则cot a =____________.9．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为___________.10．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）在ABC ∆中,角 A B C 、、所对边长分别为 a b c 、、,若5 8 60a b B === ，，,则b=_______11．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c .若2b c a +=,则3sin 5sin ,A B =则角C =_____. 12．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））设θ为第二象限角,若1tan()42πθ+=,则sin cos θθ+=________.13．（2013年高考江西卷（理））函数2sin 2y x x =+的最小正周期为T 为_________. 14．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数4sin 3cos y x x =+的最大值是_______________ 三、解答题1．（2013年高考北京卷（理））在△ABC 中,a =3,b ,∠B =2∠A . (I)求cos A 的值; (II)求c 的值.2．（2013年高考陕西卷（理））已知向量1(cos ,),,cos 2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b .(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.3．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））在ABC 中,内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,且222a b c ++=.(1)求C ; (2)设()()2cos cos cos cos cos A B A B ααα++==求tan α的值.4．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R .(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期; (Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.5．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦(I)若.a b x =求的值； (II)设函数()(),.f x a b f x =求的最大值6．（2013年高考上海卷（理））(6分+8分)已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>; (1)若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增,求ω的取值范围;(2)令2ω=,将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位,再向上平移1个单位,得到函数()y g x =的图像,区间[,]a b (,a b R ∈且a b <)满足:()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的[,]a b 中,求b a -的最小值.7．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=. (I)求B(II)若sin sin A C =,求C . 8．（2013年高考四川卷（理））在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-. (Ⅰ)求cos A 的值;(Ⅱ)若a =5b =,求向量BA 在BC方向上的投影. 9．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且6a c +=,2b =,7cos 9B =. (Ⅰ)求,a c 的值; (Ⅱ)求sin()A B -的值.10．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））已知函数()4cos sin (0)4f x x x πϖϖϖ⎛⎫=⋅+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.(Ⅰ)求ϖ的值; (Ⅱ)讨论()f x 在区间[]0,2上的单调性.11．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π,图像的一个对称中心为(,0)4π,将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像. (1)求函数()f x 与()g x 的解析式; (2)是否存在0(,)64x ππ∈,使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定0x 的个数;若不存在,说明理由.(3)求实数a 与正整数n ,使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点. 12．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分14分.已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ=＝，,παβ<<<0.(1)若||a b -= ,求证:a b ⊥ ;(2)设(0,1)c =,若a b c += ,求βα,的值.13．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值; (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.14．（2013年高考湖南卷（理））已知函数2()sin()cos().()2sin 632xf x x xg x ππ=-+-=. (I)若α是第一象限角,且()f α=.求()g α的值; (II)求使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合.15．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分16分.如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C .现有甲.乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为min /50m .在甲出发min 2后,乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留min 1后,再从匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为min /130m ,山路AC 长为m 1260,经测量,1312cos =A ,53cos =C . (1)求索道AB 的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?16．（2013年高考湖北卷（理））在ABC ∆中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c .已知()cos23cos 1A B C -+=.(I)求角A 的大小;(II)若ABC ∆的面积S =,5b =,求sin sin B C 的值.17．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+. (Ⅰ)求B ;CBA(Ⅱ)若2b =,求△ABC 面积的最大值.18．（2013年高考新课标1（理））如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC内一点,∠BPC=90°(1) 若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA19．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第一小题满分4分,第二小题满分9分.在平面直角坐标系xOy 中,点A 在y 轴正半轴上,点n P 在x 轴上,其横坐标为n x ,且{}n x 是首项为1、公比为2的等比数列,记1n n n P AP θ+∠=,n N *∈. (1)若31arctan3θ=,求点A 的坐标; (2)若点A的坐标为(0,求n θ的最大值及相应n 的值.. 20．（2013年高考江西卷（理））在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-sinA)cosB=0.(1) 求角B 的大小;若a+c=1,求b 的取值范围一、选择题13． C 2．B 3．C 4．B 5．A 6． C 7．D 8． A 9．B 10．C 11．D 12． B 二、填空题4.2π 6.2sin()3x y +=. 7.1arccos 3C π=-8.π 10.7 11.π3212. 13.π 14.5 三、解答题1【答案】解:(I)因为a =3,b =2,∠B =2∠A . 所以在△ABC 中,由正弦定理得3sin A =所以2sin cos sin A A A =.故cos A =.(II)由(I)知cos A =,所以sin A ==.又因为∠B=2∠A,所以21cos 2cos 13B A =-=.所以sin B ==.在△ABC 中,sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=所以sin 5sin a Cc A==.14． 【答案】解:(Ⅰ) ()·f x =a b =)62sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π-=-=-⋅x x x x x x . 最小正周期ππ==22T . 所以),62sin()(π-=x x f 最小正周期为π.(Ⅱ)上的图像知，在，由标准函数时，当]65,6-[sin ]65,6-[)62(]2,0[ππππππx y x x =∈-∈.]1,21[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-=πππf f x x f .所以,f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为21,1-.15．【答案】由题意得16． 【答案】17． 【答案】18．【答案】(1)因为0ω>,根据题意有34202432ππωωππω⎧-≥-⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤⎪⎩ (2) ()2sin(2)f x x =,()2sin(2())12sin(2)163g x x x ππ=++=++1()0sin(2)323g x x x k πππ=⇒+=-⇒=-或7,12x k k Z ππ=-∈,即()g x 的零点相离间隔依次为3π和23π,故若()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点,则b a -的最小值为2431415333πππ⨯+⨯=.7.【答案】8.【答案】解:()I 由()()232cos cos sin sin cos 25A B B A B B A C ---++=-,得 ()()3cos 1cos sin sin cos 5A B B A B B B -+---=-⎡⎤⎣⎦, 即()()3cos cos sin sin 5A B B A B B ---=-,则()3cos 5A B B -+=-,即3cos 5A =-()II 由3cos ,05A A π=-<<,得4sin 5A =,由正弦定理,有sin sin a bA B=,所以,sin sin b A B a ==. 由题知a b >,则A B >,故4B π=.根据余弦定理,有(22235255c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭,解得1c =或7c =-(舍去).故向量BA 在BC方向上的投影为cos BA B =9.【答案】解:(Ⅰ)由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,得()222(1cos )b a c ac B =+-+, 又6a c +=,2b =,7cos 9B =,所以9ac =,解得3a =,3c =.(Ⅱ)在△ABC 中,sin B ==,由正弦定理得 sin sin a B A b ==因为a c =,所以A 为锐角,所以1cos 3A ==因此 sin()sin cos cos sin A B A B A B -=-=10.【答案】解:(Ⅰ2)42sin(2)12cos 2(sin 2)cos (sin cos 22++=++=+⇒πωωωωωωx x x x x x122=⇒=⇒ωπωπ.所以1,2)42sin(2)(=++=ωπx x f (Ⅱ) ；解得，令时，当8242]4,4[)42(]2,0[ππππππππ==++∈+∈x x x x 所以.]28[]8,0[)(上单调递减，上单调递增；在在πππx f y =11.【答案】解:(Ⅰ)由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π,0ω>,得2ω= 又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4π,(0,)ϕπ∈故()sin(2)044f ππϕ=⨯+=,得2πϕ=,所以()cos 2f x x =将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得cos y x =的图象,再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x =(Ⅱ)当(,)64x ππ∈时,1sin 2x <<,10cos 22x << 所以sin cos 2sin cos 2x x x x >>问题转化为方程2cos 2sin sin cos 2x x x x =+在(,)64ππ内是否有解设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-,(,)64x ππ∈ 则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为(,)64x ππ∈,所以()0G x '>,()G x 在(,)64ππ内单调递增又1()064G π=-<,()04G π=> 且函数()G x 的图象连续不断,故可知函数()G x 在(,)64ππ内存在唯一零点0x ,即存在唯一的0(,)64x ππ∈满足题意 (Ⅲ)依题意,()sin cos 2F x a x x =+,令()sin cos 20F x a x x =+=当sin 0x =,即()x k k Z π=∈时,cos 21x =,从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解,所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin xa x=-,()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况 令cos 2()sin xh x x=-,(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情况22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=,令()0h x '=,得2x π=或32x π= 当x 变化时,()h x 和()h x '变化情况如下表当0x >且x 趋近于0时,()h x 趋向于-∞ 当x π<且x 趋近于π时,()h x 趋向于-∞ 当x π>且x 趋近于π时,()h x 趋向于+∞ 当2x π<且x 趋近于2π时,()h x 趋向于+∞故当1a >时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点,在(,2)ππ内有2个交点; 当1a <-时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点,在(,2)ππ内无交点; 当11a -<<时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点,在(,2)ππ内有2个交点由函数()h x 的周期性,可知当1a ≠±时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点,从而不存在正整数n ,使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点;当1a =±时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππU 内有3个交点,由周期性,20133671=⨯,所以67121342n =⨯=综上,当1a =±,1342n =时,函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点 12.【答案】解:(1)∵2||=-b a ∴2||2=-b a 即()22222=+-=-b b a a b a ,又∵1sin cos ||2222=+==ααa a ,1sin cos ||2222=+==ββb b ∴222=-b a ∴0=b a ∴b ⊥a(2)∵)1,0()sin sin ,cos (cos b a =++=+βαβα ∴⎩⎨⎧=+=+1sin sin 0cos cos βαβα即⎩⎨⎧-=-=βαβαsin 1sin cos cos 两边分别平方再相加得:βsin 221-= ∴21sin =β ∴21sin =α ∵παβ<<<0 ∴πβπα61,65==13.【答案】(Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;(Ⅱ) 222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-, 所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=- 所以23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos 2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---=⎪⎝⎭. 14【答案】解: (I)533sin 3)(sin 3sin 23cos 21cos 21sin 23)(==⇒=++-=ααf x x x x x x f . 51cos 12sin 2)(,54cos )2,0(,53sin 2=-===⇒∈=⇒ααααπααg 且(II)21)6sin(cos 21sin 23cos 1sin 3)()(≥+=+⇒-≥⇒≥πx x x x x x g x f Z k k k x k k x ∈+∈⇒++∈+⇒],322,2[]652,62[6ππππππππ15.【答案】解:(1)∵1312cos =A ,53cos =C ∴），（、20π∈C A ∴135sin =A ,54sin =C ∴[]6563sin cos cos sin sin sin sin =+=+=+-=C A C A C A C A B ）（）（π 根据sinB sinC AC AB =得m C ACAB 1040sin sinB==(2)设乙出发t分钟后,甲.乙距离为d,则1312)50100(1302)50100()130(222⨯+⨯⨯-++=t t t t d ∴)507037(20022+-=t t d∵13010400≤≤t 即80≤≤t ∴3735=t 时,即乙出发3735分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短.(3)由正弦定理sinBsinA ACBC =得50013565631260sin sinB ===A AC BC (m) 乙从B 出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m 才能到达C 设乙的步行速度为V min /m ,则350710500≤-v ∴3507105003≤-≤-v ∴14625431250≤≤v ∴为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在⎥⎦⎤⎢⎣⎡14625,431250范围内 法二:解:(1)如图作BD ⊥CA 于点D ,设BD =20k ,则DC =25k ,AD =48k , AB =52k ,由AC =63k =1260m, 知:AB =52k =1040m.(2)设乙出发x 分钟后到达点M , 此时甲到达N 点,如图所示. 则:AM =130x ,AN =50(x +2),由余弦定理得:MN 2=AM 2+AN 2-2 AM ·AN cos A =7400 x 2-14000 x +10000, 其中0≤x ≤8,当x =3537 (min)时,MN 最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短.(3)由(1)知:BC =500m,甲到C 用时:126050 =1265(min).若甲等乙3分钟,则乙到C 用时:1265 +3=1415 (min),在BC 上用时:865 (min) .此时乙的速度最小,且为:500÷865 =125043m/min.若乙等甲3分钟,则乙到C 用时:1265 -3=1115 (min),在BC 上用时:565 (min) .此时乙的速度最大,且为:500÷565 =62514 m/min.故乙步行的速度应控制在[125043 ,62514]范围内.16.【答案】解:(I)由已知条件得:cos23cos 1A A +=22cos 3cos 20A A ∴+-=,解得1cos 2A =,角60A =︒(II)1sin 2S bc A ==4c ⇒=,由余弦定理得:221a =,()222228sin a R A == 25sin sin 47bc B C R ∴== 17.【答案】CBADMN18【答案】(Ⅰ)由已知得,∠PBC=o60,∴∠PBA=30o,在△PBA 中,由余弦定理得2PA=o 1132cos3042+-=74; (Ⅱ)设∠PBA=α,由已知得,PB=sin α,在△PBA 中,由正弦定理得o sin sin(30)αα=-,化简得4sin αα=, ∴tan αtan PBA ∠. 19【答案】[解](1)设(0 )A t ，,根据题意,12n n x -=.由31arctan3θ=,知31tan 3θ=, 而3443343223443()4tan tan()321x x t x x t t t OAP OAP x x t x x t t tθ--=∠-∠===+⋅++⋅, 所以241323t t =+,解得4t =或8t =.故点A 的坐标为(0 4)，或(0 8)，.(2)由题意,点n P 的坐标为1(2 0)n -，,tan n OAP ∠=11tan tan()n n n n n OAP OAP θ-+=∠-∠===.+≥,所以tan n θ≤=,=,即4n =时等号成立. 易知0 tan 2n y x πθ<<=，在(0 )2π，上为增函数, 因此,当4n =时,n θ最大,其最大值为. 20.【答案】解:(1)由已知得cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=即有sin sin cos 0A B A B =因为sin 0A ≠,所以sin 0B B =,又cos 0B ≠,所以tan B = 又0B π<<,所以3B π=.(2)由余弦定理,有2222cos b a c ac B =+-.因为11,cos 2a c B +==,有22113()24b a =-+. 又01a <<,于是有2114b ≤<,即有112b ≤<.。
(完整版)高考三角函数经典解答题及答案
(完整版)高考三角函数经典解答题及答案1. 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，且 a²+c²-b²=(1) 求 sin²(2A+C)+cos²B 的值；(2) 若 b=2，求△ABC 面积的最大值。
解：(1) 由余弦定理：cosB=(a²+ c²- b²)/(2ac)=4/√115，得sinB=√(1-cos²B)=3√(23)/23。
由正弦定理sin²(2A+C)+cos²B=4sin²B+cos²B=13/23。
2. 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且bcosC=3acosB-ccosB。
(I) 求 cosB 的值；(II) 若 BA·BC=2，且b=√2，求 a 和 c·b 的值。
解：(I) 由正弦定理得 a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，则 2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB，故sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，即 sin(B+C)=3sinAcosB，可得 sinA=3sinAcosB/sinB。
又sinA≠0，因此 cosB=1/3。
3. 已知向量 m=(sinB,1-cosB)，向量 n=(2,k)，且 m 与 n 所成角为π/3，其中 A、B、C 是△ABC 的内角。
(1) 求角 B 的大小；(2) 求 sinA+sinC 的取值范围。
解：(1) ∠m与∠n所成角为π/3，且 m·n=2sinB+ k(1-cosB)=2√3/2cosB+k√(1-cos²B)，又 m·n=2cosB+k(1-cosB)，解得 k=4/3。
高三理科数学培优专题——三角函数(含答案)
三角函数专题一、方法总结：1.三角函数恒等变形的基本策略。
（1）注意隐含条件的应用：1＝cos 2x ＋sin 2x 。
（2）角的配凑。
α＝（α＋β）－β，β＝2βα+－2βα-等。
（3）升幂与降幂：主要用2倍角的余弦公式。
（4）化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理。
（5）引入辅助角。
asinθ＋bcosθ＝22b a +sin (θ＋ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ＝ab确定。
2.解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。
二、例题集锦： 考点一：三角函数的概念1.（2011年东城区示范校考试15）设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，Q P 、是单位圆上的两点，O 是坐标原点，6π=∠AOP ，[)παα,0,∈=∠AOQ ．（1）若34(,)55Q ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-6cos πα的值； （2）设函数()f OP OQ α=⋅u u u r u u u r ，求()αf 的值域．考点二：三角函数的图象和性质2.（2014年课标I ，7）在函数①cos 2y x =，②cos y x =，③cos(2)6y x π=+，④tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为 （ ）A.①②③B. ②③④C. ②④D. ①③3.（2012年课标全国，9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是（ ）A.15[,]24B.13[,]24C.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D.()0,24.（2011年课标全国，11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ）A. ()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减B. ()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C. ()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 D. ()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增5．将函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后，所得函数()g x 的图象关于原点对称，则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为 A ．12- B ．12C．6.（2011年东城区期末15）函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωφωφπ=+>><部分图象如图所示．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos 2g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]2x π∈上的最大值和最小值．考点三、四、五：同角三角函数的关系、 诱导公式、三角恒等变换7.已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=-（0x ω∈>R ，），相邻两条对称轴之间的距离等于2π． （Ⅰ）求()4f π的值； （Ⅱ）当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值.8.已知向量(cos ,sin ),a x x =r 向量(cos ,sin ),()b x x f x a b =-=⋅r r r（1）求函数()()sin 2g x f x x =+的最小正周期和对称轴方程； （2）若x 是第一象限角且'3()2()f x f x =-，求tan()4x π+的值.考点六：解三角形9．ABC ∆中，角,,A B C成等差数列是sin sin )cos C A A B =+成立的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件10．已知函数()cos f x x =,,,a b c 分别为ABC ∆的内角,,A B C 所对的边，且22233a b c +-4ab =，则下列不等式一定成立的是A ．()()sin cos f A fB ≤ B ．()()sin cos f A f B ≥C ．()()sin sin f A f B ≥D ．()()cos cos f A f B ≤ 11.（2014年课标I ，16）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 .12.（2014年河南焦作联考）在ABC ∆中，已知sin sin cos sin sin cos sin sin cos A B C A C B B C A =+，若,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，则2abc 的最大值为 . 13.（2015河北秦皇岛一模，17，12分）在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，满足()222.AB AC a b c ⋅=-+u u u r u u u r（1）求角A 的大小； （2）求24sin()23C B π--的最大值，并求取得最大值时角,B C 的大小.14．（2009全国II ， 17，10分） 设ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为,,a b c ，3cos()cos 2A CB +=-，2b ac =.求B ∠的大小.14.（2015课标II ，17，12分）△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆的面积是ADC ∆面积的2倍. （1）求sin sin BC∠∠；（2）若1,2AD DC ==，求BD 和AC 的长.15、（2011东城一模15）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 分，且满足2cos cos c b Ba A-=． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =ABC 面积的最大值．例题集锦答案：1.（2011年东城区示范校考试理15）如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，Q P 、是 单位圆上的两点，O 是坐标原点，6π=∠AOP ，[)παα,0,∈=∠AOQ ．（1）若34(,)55Q ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-6cos πα的值；（2）设函数()f OP OQ α=⋅u u u r u u u r ，求()αf 的值域．★★单位圆中的三角函数定义解：（Ⅰ）由已知可得54sin ,53cos ==αα……………2分6sin sin 6cos cos 6cos παπαπα+=⎪⎭⎫⎝⎛-∴………3分1043321542353+=⨯+⨯=…………4分（Ⅱ）()f OP OQ α=⋅u u u r u u u r ()cos ,sin cos ,sin 66ππαα⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭………6分ααsin 21cos 23+=………………7分 sin 3πα⎛⎫=+⎪⎝⎭………………8分[0,)απ∈Q 4[,)333πππα∴+∈………9分 sin 123πα⎛⎫-<+≤ ⎪⎝⎭ (12)分()αf ∴的值域是⎛⎤ ⎥ ⎝⎦ (13)分2．（2011年西城期末理15）已知函数2()22sin f x x x =-.（Ⅰ）若点(1,P在角α的终边上，求()f α的值； （Ⅱ）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的值域.★★三角函数一般定义解：（Ⅰ）因为点(1,P 在角α的终边上，所以sin α=，1cos 2α=， ………………2分 所以22()22sin cos 2sin f αααααα=-=-………………4分21(2(32=⨯-⨯=-. ………………5分 （Ⅱ）2()22sin f x x x =-cos 21x x =+- ………………6分2sin(2)16x π=+-， ………………8分因为[,]63x ππ∈-，所以65626πππ≤+≤-x ， ………………10分所以1sin(2)126x π-≤+≤， ………………11分所以()f x 的值域是[2,1]-. ………………13分 3.（2011年东城区期末理15）函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωφωφπ=+>><部分图象如图所示．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos 2g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]2x π∈上的最大值和最小值．解：（Ⅰ）由图可得1A =，22362T πππ=-=，所以T =π． ……2分 所以2ω=．当6x π=时，()1f x =，可得 sin(2)16ϕπ⋅+=， 因为||2ϕπ<，所以6ϕπ=． ……5分 所以()f x 的解析式为()sin(2)6f x x π=+． ………6分 （Ⅱ）()()cos 2sin(2)cos 26g x f x x x x π=-=+-sin 2cos cos 2sin cos 266xx x ππ=+- 12cos 22x x =- sin(2)6x π=-． ……10分 因为02x π≤≤，所以52666x πππ-≤-≤． 当262x ππ-=，即3x π=时，()g x 有最大值，最大值为1；当266x ππ-=-，即0x =时，()g x 有最小值，最小值为12-．……13分2T =相邻平衡点（最值点）横坐标的差等；2||T =πω ；()max min 12y y A =- ;φ----代点法 4．（2010年海淀期中文16）已知函数x x x f 2cos )62sin()(+-=π.（1）若1)(=θf ，求θθcos sin ⋅的值；（2）求函数)(x f 的单调增区间.（3）求函数的对称轴方程和对称中心 解：（1）22cos 16sin2cos 6cos2sin )(xx x x f ++-=ππ...3分（只写对一个公式给2分） 212sin 23+=x ....5分 由1)(=θf ，可得332sin =θ ......7分 所以θθθ2sin 21cos sin =⋅ ......8分 63= .......9分 （2）当Z k k x k ∈+≤≤+-,22222ππππ，换元法 ..11即Z k k k x ∈++-∈],4,4[ππππ时，)(x f 单调递增.所以，函数)(x f 的单调增区间是Z k k k ∈++-],4,4[ππππ... 13分5.（2011年丰台区期末理15）已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=- （0x ω∈>R ，），相邻两条对称轴之间的距离等于2π．（Ⅰ）求()4f π的值；（Ⅱ）当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值．解：（Ⅰ）()sin 2cos 212sin(2)14f x x x x π=--=--ωωω． ω意义 ……4分因为 22T π=，所以 T =π，1ω=． ……6分所以 ()2sin(2)14f x x π=--．所以 ()04f π= ………7分（Ⅱ）()2sin(2)14f x x π=--当 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， 32444x πππ-≤-≤， 无范围讨论扣分所以 当242x ππ-=，即8x 3π=时，max ()21f x =-， …10分当244x ππ-=-，即0x =时，min ()2f x =-． ………13分6、（2011朝阳二模理15）已知函数2()2sin sin()2sin 12f x x x x π=⋅+-+ ()x ∈R .（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若02()23x f =，0ππ(, )44x ∈-，求0cos 2x 的值. 解: 2()2sin cos 2sin 1=⋅-+f x x x x ……………………………………1分 sin 2cos2=+x x ……………………………………2分π2sin(2)4x =+. 和差角公式逆用 ………………3分 （Ⅰ）函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==. ……………………………………5分 令πππ2π22π242k x k -++≤≤()k ∈Z ， ……………………………………6分所以3ππ2π22π44k x k -+≤≤. 即3ππππ88k x k -+≤≤.所以，函数()f x 的单调递增区间为3ππ[π, π]88k k -+ ()k ∈Z . ……………8分（Ⅱ）解法一：由已知得0002()sin cos 23x f x x =+=， …………………9分 两边平方，得021sin 29x += 同角关系式 所以 07sin 29x =-…………11分 因为0ππ(, )44x ∈-，所以0π2(, )22x π∈-. 所以20742cos 21()99x =--=. ……………………………………13分 解法二：因为0ππ(, )44x ∈-，所以0ππ(0, )42x +∈. …………………………9分 又因为000ππ2()2)2)2244x x f x =⋅+=+=，得 0π1sin()43x +=. ……………………………………10分 所以20π122cos()1()43x +=-=……………………………………11分 所以，00000πππcos 2sin(2)sin[2()]2sin()cos()2444x x x x x π=+=+=++ 122422339=⋅⋅=. 诱导公式的运用7、（2011东城二模理15）（本小题共13分）已知πsin()410A+=，ππ(,)42A∈．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求函数5()cos2sin sin2f x x A x=+的值域．解：（Ⅰ）因为ππ42A<<，且πsin()410A+=，πcos()410A+=-．ππππcos()cossin()sin4444A A+++31021025=-⋅+=．所以3cos5A=．………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得4sin5A=．212sin2sinx x=-+2132(sin)22x=--+，x∈R．因为sin[1,1]x∈-，所以，当1sin2x=时，()f x取最大值32；当sin1x=-时，()f x取最小值3-．所以函数()f x的值域为3[3,]2-．8．（2011年朝阳期末理15）已知△ABC中，2sin cos sin cos cos sinA B C B C B=+.（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设向量(cos,cos2)A A=m，12(, 1)5=-n，求当⋅m n取最小值时，)4tan(π-A值.解：和差角公式逆用所以2sin cos sin()sin()sinA B B C A A=+=π-=. ……… 3分因为0A p<<，所以sin0A¹.所以1cos2B=. ……… 5分3Bπ=. …………7分（Ⅱ）因为12cos cos25A A⋅=-+m n，………………… 8分所以2212343cos2cos12(cos)5525A A A⋅=-+-=--m n. …10分所以当3cos5A=时，⋅m n取得最小值.同角关系或三角函数定义……12分所以tan11tan()4tan17AAAπ--==+. …………… 13分9．（2011年石景山期末理15）已知函数23cossinsin3)(2-+=xxxxf()Rx∈．（Ⅰ）求)4(πf的值；（Ⅱ）若)2,0(π∈x，求)(xf的最大值；（Ⅲ）在ABC∆中，若BA<，21)()(==BfAf，求ABBC的值．解：（Ⅰ）234cos4sin4sin3)4(2-+=ππππf21=． 4分（Ⅱ）2)2cos1(3)(xxf-=+232sin21-xxx2cos232sin21-=)32sin(π-=x．…6分2π<<xΘ，32323πππ<-<-∴x．∴当232xππ-=时，即125π=x时，)(xf的最大值为1．…8分（Ⅲ）Θ)32sin()(π-=xxf，若x是三角形的内角，则π<<x令21)(=xf，得解得4π=x或127π=x．……10分由已知，BA,是△ABC的内角，BA<且21)()(==BfAf，∴4π=A，127π=B，∴6π=--π=BAC．…11分又由正弦定理，得221226sin 4sinsin sin ==ππ==C A AB BC ． ……13分 10、（2011东城一模理15）（本小题共13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 分，且满足2cos cos c b Ba A-=． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =ABC 面积的最大值． 解：（Ⅰ）因为2cos cos c b Ba A-=， 所以(2)cos cos c b A a B -⋅=⋅由正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos C B A A B -⋅=⋅．边化角 整理得2sin cos sin cos sin cos C A B A A B ⋅-⋅=⋅． 所以2sin cos sin()sin C A A B C ⋅=+=． 在△ABC所以1cos 2A =，3A π∠=．（Ⅱ）由余弦定理2221cos 22b c a A bc +-==，a = 所以2220220b cbc bc +-=≥- 均值定理在三角中的应用 所以20bc ≤，当且仅当b c=时取“=” ． 取等条件别忘 所以三角形的面积1sin 2S bc A =≤． 所以三角形面积的最大值为 ……………………13分11、(2011丰台一模理15). 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b 2+c 2-a 2=bc ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）设函数2cos 2cos 2sin 3)(2x x x x f +=，当)(B f 取最大值23时，判断△ABC的形状．解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为b2+c 2-a 2=bc 可得cos A =12．(余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分) ……3分 ∵， （或写成A 是三角形内角） ……………………4分 ∴3A π=．……………………5分 （Ⅱ）2cos2cos 2sin 3)(2x x x x f +=11cos 222x x =++ …7分 1sin()62x π=++， ……9分∵3A π=∴2(0,)3B π∈（没讨论，扣1分）…10分 ∴当62B ππ+=，即3B π=时，()f B 有最大值是23． …11分 又∵3A π=， ∴3C π= ∴△ABC 为等边三角形． ……13分12、(2011海淀一模理15). （本小题共13分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知1tan 2B =，1tan 3C =，且1c =. (Ⅰ)求tan A ； (Ⅱ)求ABC ∆的面积. 解：（I ）因为1tan 2B =，1tan 3C =,tan tan tan()1tan tan B C B C B C ++=-, …………………1分代入得到，1123tan()111123B C ++==-⨯ . …………………3分 因为180A B C =--o , …………………4分角关系 ………5分 （II ）因为0180A <<o o ，由（I ）结论可得：135A =o . …………………7分因为11tan tan 023BC =>=>，所以090C B <<<o o . …………8分所以sin B =sin C =. …………9分 由sin sin a cA C=得a = …………………11分 所以ABC ∆的面积为：11sin 22ac B =. ………………13分 13、（2011石景山一模理15）．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且274sin cos222A B C +-=． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值．解：（Ⅰ）∵ A 、B 、C 为三角形的内角， ∴ π=++C B A ．∵ 三角形中角的大小关系∴ …………2分 ∴ 27)1cos 2(2cos 142=--+⋅C C ．即 021cos 2cos 22=+-C C ． ……4分∴ 21cos =C ． 又∵ π<<C 0 ， ∴ 3π=C ． …7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得 32π=+B A ．∴ A A A sin 32cos cos 32sinsin ⋅-⋅+=ππ)6sin(3cos 23sin 23π+=+=A A A ．…10分 ∵ 320π<<A ，∴ 6566πππ<+<A ．∴ 当26ππ=+A ，即 3π=A 时，B A sin sin +取得最大值为3．…………13分。
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(解三角形大题)汇编(附答案)
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(解三角形大题)汇编考点01 求面积的值及范围或最值1．（2024∙北京∙高考真题）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos B B =．(1)求A ∠；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．2．（2023∙全国甲卷∙高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2222cos b c aA+-=．(1)求bc ； (2)若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=+，求ABC 面积．3．（2023∙全国乙卷∙高考真题）在ABC 中，已知120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =. (1)求sin ABC ∠；(2)若D 为BC 上一点，且90BAD ∠=︒，求ADC △的面积.4．（2022∙浙江∙高考真题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知34,cos 5a C ==． (1)求sin A 的值；(2)若11b =，求ABC 的面积．考点02 求边长、周长的值及范围或最值1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =． (1)求A ．(2)若2a =sin sin 2C c B =，求ABC 的周长．2．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=(1)求B ；(2)若ABC 的面积为3c ．3．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABCD 为BC 中点，且1AD =．(1)若π3ADC ∠=，求tan B ； (2)若228b c +=，求,b c ．4．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知123123S S S B -+==． (1)求ABC 的面积；(2)若sin sin 3A C =，求b ． 5．（2022∙全国乙卷∙高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+； (2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长．6．（2022∙北京∙高考真题）在ABC 中，sin 2C C =． (1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为ABC 的周长．7．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c +的最小值．8．（2020∙全国∙高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a，b ，求ABC 的面积；（2）若sin AC C . 9．（2020∙全国∙高考真题）ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin ．C（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.考点03 求角和三角函数的值及范围或最值1．（2024∙天津∙高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ===，，． (1)求a ； (2)求sin A ；(3)求()cos 2B A -的值．2．（2023∙天津∙高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知2,120a b A ==∠= ． (1)求sin B 的值； (2)求c 的值； (3)求()sin B C -的值．3．（2022∙天津∙高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知12,cos 4a b c A ===-.(1)求c 的值； (2)求sin B 的值； (3)求sin(2)A B -的值.4．（2021∙天津∙高考真题）在ABC ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 2A B C =b =． （I ）求a 的值； （II ）求cos C 的值；（III ）求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．5．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=. （1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.6．（2020∙天津∙高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知 5,a b c === （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．7．（2020∙浙江∙高考真题）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 0b A =． （I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．8．（2020∙江苏∙高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ==︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．考点04 求三角形的高、中线、角平分线及其他线段长1．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=-=． (1)求sin A ；(2)设5AB =，求AB 边上的高．考点05 三角形中的证明问题1．（2022∙全国乙卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-．(1)若2A B =，求C ； (2)证明：2222a b c =+2．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=. （1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.参考答案考点01 求面积的值及范围或最值1．（2024∙北京∙高考真题）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos B B =．(1)求A ∠；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积． 条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)2π3A =； (2)选择①无解；选择②和③△ABC【详细分析】（1）利用正弦定理即可求出答案； （2）选择①，利用正弦定理得3B π=，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出sin 14B =，再代入式子得3b =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin C ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到5c =，再利用正弦定理得到sin 14C =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin B ，最后利用三角形面积公式即可；【答案详解】（1）由题意得2sin cos cos B B B =，因为A 为钝角， 则cos 0B ≠，则2sin 7B b =，则7sin sin sin b a BA A ===，解得sin 2A =， 因为A 为钝角，则2π3A =. （2）选择①7b =，则sin 7B ===2π3A =，则B 为锐角，则3B π=， 此时πA B +=，不合题意，舍弃；选择②13cos 14B =，因为B为三角形内角，则sin 14B ==，则代入2sin 7B =得2147⨯=，解得3b =，()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭131********⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭,则11sin 7322ABC S ab C ==⨯⨯=选择③sin c A =2c ⨯=5c =，则由正弦定理得sin sin a c A C =5sin C ，解得sin C =，因为C 为三角形内角，则11cos 14C ==， 则()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333B A C C C C ⎛⎫=+=+=+⎪⎝⎭11121421414⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭，则11sin 7522144ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△ 2．（2023∙全国甲卷∙高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2222cos b c a A+-=．(1)求bc ； (2)若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=+，求ABC 面积．【答案】(1)1(2)4【详细分析】（1）根据余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出sin A 即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．【答案详解】（1）因为2222cos a b c bc A =+-，所以2222cos 22cos cos b c a bc Abc A A+-===，解得：1bc =．（2）由正弦定理可得cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin a B b A b A B B A Ba Bb Ac A B B A C---=-++()()()()()sin sin sin sin 1sin sin sin A B A B B BA B A B A B ---=-==+++，变形可得：()()sin sin sin A B A B B --+=，即2cos sin sin A B B -=，而0sin 1B <≤，所以1cos 2A =-，又0πA <<，所以sin 2A =，故ABC的面积为11sin 122ABC S bc A ==⨯△．3．（2023∙全国乙卷∙高考真题）在ABC 中，已知120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =. (1)求sin ABC ∠；(2)若D 为BC 上一点，且90BAD ∠=︒，求ADC △的面积. 【答案】(1)14；【详细分析】(1)首先由余弦定理求得边长BC的值为BCcos 14B =，最后由同角三角函数基本关系可得sin 14B =； (2)由题意可得4ABDACD S S =△△，则15ACD ABC S S =△△，据此即可求得ADC △的面积. 【答案详解】（1）由余弦定理可得：22222cos BC a b c bc A ==+-41221cos1207=+-⨯⨯⨯= ，则BC =222cos 214a c b B ac +-===，sin ABC ∠==（2）由三角形面积公式可得1sin 90241sin 302ABD ACDAB AD S S AC AD ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯ △△，则11121sin12055210ACD ABC S S ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭△△. 4．（2022∙浙江∙高考真题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c．已知34,cos 5a C ==． (1)求sin A 的值；(2)若11b =，求ABC 的面积． 【答案】；(2)22．【详细分析】（1）先由平方关系求出sin C ，再根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理的推论222cos 2a b c C ab +-=以及4a =可解出a ，即可由三角形面积公式in 12s S ab C =求出面积．【答案详解】（1）由于3cos 5C =， 0πC <<，则4sin 5C =．因为4a =，由正弦定理知4sin A C =，则sin 45A C ==． （2）因为4a ，由余弦定理，得2222221612111355cos 22225a a aa b c C ab a a +--+-====， 即26550a a +-=，解得5a =，而4sin 5C =，11b =， 所以ABC 的面积114sin 51122225S ab C ==⨯⨯⨯=．5．（2019∙全国∙高考真题）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围． 【答案】(1) 3B π=;(2). 【详细分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B 的三角方程，最后根据A,B,C 均为三角形内角解得3B π=.(2)根据三角形面积公式1sin 2ABC S ac B =⋅ ，又根据正弦定理和1c =得到ABC S 关于C 的函数，由于ABC 是锐角三角形，所以利用三个内角都小于2π来计算C 的定义域，最后求解()ABC S C 的值域.【答案详解】(1)[方法一]【最优解：利用三角形内角和为π结合正弦定理求角度】 由三角形的内角和定理得222A C Bπ+=-， 此时sinsin 2A C a b A +=就变为sin sin 22B a b A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 由诱导公式得sin cos 222B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以cos sin 2B a b A =．在ABC 中，由正弦定理知2sin ,2sin a R A b R B ==， 此时就有sin cossin sin 2BA AB =，即cos sin 2B B =，再由二倍角的正弦公式得cos2sin cos 222B B B=，解得3B π=． [方法二]【利用正弦定理解方程求得cos B 的值可得B ∠的值】 由解法1得sin sin 2A CB +=， 两边平方得22sinsin 2A CB +=，即21cos()sin 2A CB -+=． 又180A BC ++=︒，即cos()cos A C B +=-，所以21cos 2sin B B +=， 进一步整理得22cos cos 10B B +-=， 解得1cos 2B =，因此3B π=． [方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为π求得,,A BC 的比例关系】 根据题意sinsin 2A Ca b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A C A B A +=， 因为0A π<<，故sin 0A >， 消去sin A 得sin sin 2A CB +=． 0<B π<，02A C π+<<，因为故2A C B +=或者2A CB π++=， 而根据题意A BC π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A CB +=， 又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C 的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】 因为ABC 是锐角三角形，又3B π=，所以,6262A C ππππ<<<<， 则1sin 2ABCS ac B ==V 22sin 1sin 3sin 24sin 4sin C a A c B c C Cπ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅⋅=⋅=⋅=22sincos cos sin 333sin 8tan C CC C ππ-=． 因为,62C ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以tan C ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，则1tan C ∈，从而ABC S ⎝⎭∈ ，故ABC面积的取值范围是82⎫⎪⎪⎝⎭． [方法二]【由题意求得边a 的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】 由题设及（1）知ABC的面积4ABC S a =△． 因为ABC 为锐角三角形，且1,3c B π==，所以22221cos 0,21cos 0,2b a A bb a C ab ⎧+-=>⎪⎪⎨+-⎪=>⎪⎩即22221010.b a b a ⎧+->⎨+->⎩， 又由余弦定理得221b a a =+-，所以220,20,a a a ->⎧⎨->⎩即122a <<，所以82ABC S << ，故ABC面积的取值范围是⎝⎭． [方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】如图，在ABC 中，过点A 作1AC BC ⊥，垂足为1C ，作2AC AB ⊥与BC 交于点2C ． 由题设及（1）知ABC的面积ABC S =△，因为ABC 为锐角三角形，且1,3c B π==，所以点C 位于在线段12C C 上且不含端点，从而cos cos cc B a B⋅<<， 即1cos3cos 3a ππ<<，即122a <<，所以82ABC S << ， 故ABC面积的取值范围是82⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．【整体点评】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，与三角形内角和相结合是常用的方法； 方法二：方程思想是解题的关键，解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值； 方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系，从而确定角的大小. (2)方法一：由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法；方法二：将面积问题转化为边长的问题，然后求解边长的范围可得面积的范围；方法三：极限思想和数形结合体现了思维的灵活性，要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用.6．（2017∙全国∙高考真题）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c已知sin 0,2A A a b +===.（1）求角A 和边长c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥,求ABD ∆的面积. 【答案】（1）23π，4；（2【答案详解】试题详细分析：（1）先根据同角的三角函数的关系求出tan A = 从而可得A 的值，再根据余弦定理列方程即可求出边长c 的值；（2）先根据余弦定理求出cos C ，求出CD 的长，可得12CD BC =，从而得到12ABD ABC S S ∆∆=，进而可得结果. 试题解析：（1）sin 0,tan A A A =∴= 20,3A A ππ<<∴=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即21284222c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，即22240c c +-=，解得6c =-（舍去）或4c =，故4c =. (2)2222cos c b a ab C =+-Q，1628422cos C ∴=+-⨯⨯，2cos 2cos AC C CD C ∴=∴===12CD BC ∴=，1142222ABC S AB AC sin BAC ∆∴=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=12ABD ABC S S ∆∆∴==7．（2016∙全国∙高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=. （1）求角C ；（2）若c =2ABC S ∆=，求ABC ∆的周长. 【答案】（1）3C π=（2）5【答案详解】试题详细分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C += 12cos sin()sin cos 23π∴+=⇒=⇒=C A B C C C （2）11sin 6222∆=⇒=⇒=ABC S ab C ab ab又2222cos +-= a b ab C c2213a b ∴+=，2()255∴+=⇒+=a b a bABC ∆∴的周长为5考点：正余弦定理解三角形.8．（2015∙浙江∙高考真题）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan()24A π+=.（1）求2sin 2sin 2cos AA A+的值；（2）若,34B a π==，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）25；（2）9 【答案详解】（1）利用两角和与差的正切公式，得到1tan 3A =，利用同角三角函数基本函数关系式得到结论；（2）利用正弦定理得到边b 的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积.试题解析：（1）由tan()24A π+=，得1tan 3A =，所以22sin 22sin cos 2tan 2sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15A A A A A A A A A A ===+++.（2）由1tan 3A =可得，sin A A ==3,4a B π==，由正弦定理知：b =又sin sin()sin cos cos sin 5C A B A B A B =+=+=，所以11sin 3922ABC S ab C ∆==⨯⨯=. 考点：1.同角三角函数基本关系式；2.正弦定理；3.三角形面积公式.9．（2015∙全国∙高考真题）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边， 2sin 2sin sin B A C =． （1）若a b =，求cos ;B（2）若90B = ，且a =求ABC ∆的面积． 【答案】（1）14；（2）1 【答案详解】试题详细分析：（1）由2sin 2sin sin B A C =，结合正弦定理可得：22b ac =，再利用余弦定理即可得出cos ;B（2）利用（1）及勾股定理可得c ，再利用三角形面积计算公式即可得出 试题解析：（1）由题设及正弦定理可得22b ac = 又a b =，可得2,2b c a c ==由余弦定理可得2221cos 24a c b B ac +-==（2）由（1）知22b ac =因为90B = ，由勾股定理得222a c b += 故222a c ac +=，得c a == 所以的面积为1考点：正弦定理，余弦定理解三角形10．（2015∙山东∙高考真题）设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.【答案】（Ⅰ）单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）ABC ∆【答案详解】试题详细分析：（Ⅰ）首先利用二倍角公式化简函数()f x 的解析式，再利用正弦函数的单调性求其单调区间；（Ⅱ）首先由02A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭结合（Ⅰ）的结果，确定角A 的值，然后结合余弦定理求出三角形ABC ∆面积的最大值. 试题解析：解：（Ⅰ）由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-sin 21sin 21sin 2222x x x -=-=- 由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 可得,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 可得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ （Ⅱ）由1sin 0,22A f A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭得1sin 2A =由题意知A 为锐角，所以cos 2A =由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-可得：2212b c bc =+≥即：2bc ≤ 当且仅当b c =时等号成立.因此1sin 2bc A ≤所以ABC ∆面积的最大值为24考点：1、诱导公式；2、三角函数的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式.考点02 求边长、周长的值及范围或最值1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =． (1)求A ．(2)若2a =sin sin 2C c B =，求ABC 的周长． 【答案】(1)π6A =(2)2+【详细分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 2A A =进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长. 【答案详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由sin 2A A =可得1sin 12A A =，即sin()1π3A +=，由于ππ4π(0,π)(,333A A ∈⇒+∈，故ππ32A +=，解得π6A = 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 2A A =，又22sin cos 1A A +=，消去sin A 得到：224cos 30(2cos 0A A A -+=⇔=，解得cos A = 又(0,π)A ∈，故π6A =方法三：利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x =<<，则π()2sin (0π)3f x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，显然π6x =时，max ()2f x =，注意到π()sin 22sin(3f A A A A =+==+，max ()()f x f A =，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A =必定是极值点，即()0cos f A A A '==，即tan A = 又(0,π)A ∈，故π6A =方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(sin ,cos )a b A A == ，由题意，sin 2a b A A ⋅==，根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅==， 则2cos ,2cos ,1a b a b =⇔= ，此时,0a b =，即,a b 同向共线，根据向量共线条件，1cos sin tan 3A A A ⋅=⇔=， 又(0,π)A ∈，故π6A =方法五：利用万能公式求解设tan 2A t =，根据万能公式，22sin 21t A A t ==+整理可得，2222(2(20((2t t t -+==-，解得tan22A t ==22tan 13t A t ==-， 又(0,π)A ∈，故π6A =（2）由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=，又,(0,π)B C ∈，则sin sin 0B C ≠，进而cos B =π4B =，于是7ππ12C A B =--=，sin sin(π)sin()sin cos sin cos 4C A B A B A B B A =--=+=+=， 由正弦定理可得，sin sin sin a b cA B C ==，即2ππ7πsin sin sin6412b c==，解得b c == 故ABC的周长为2+2．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin C B =，222a b c +-=(1)求B ；(2)若ABC的面积为3c ． 【答案】(1)π3B =(2)【详细分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C，最后结合已知sin C B =得cos B 的值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【答案详解】（1）由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得222cos 222a b c C ab ab +-===， 因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，从而sin 2C ===，又因为sin C B =，即1cos 2B =， 注意到()0,πB ∈， 所以π3B =. （2）由（1）可得π3B =，cos 2C =，()0,πC ∈，从而π4C =，ππ5ππ3412A =--=，而5πππ1sin sin sin 124622224A ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c==，从而1,4222a cbc +====， 由三角形面积公式可知，ABC 的面积可表示为21113sin 222228ABC S ab C c c ==⋅⋅= ， 由已知ABC的面积为323=所以c =3．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABCD 为BC 中点，且1AD =． (1)若π3ADC ∠=，求tan B ； (2)若228b c +=，求,b c ． 【答案】(2)2b c ==.【详细分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出a ，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出a ，作出BC 边上的高，利用直角三角形求解作答.（2）方法1，利用余弦定理求出a ，再利用三角形面积公式求出ADC ∠即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a ，再利用三角形面积公式求出ADC ∠即可求解作答. 【答案详解】（1）方法1：在ABC 中，因为D 为BC 中点，π3ADC ∠=，1AD =，则1111sin 12222ADC ABC S AD DC ADC a S =⋅∠=⨯⨯===，解得4a =， 在ABD △中，2π3ADB ∠=，由余弦定理得2222cos c BD AD BD AD ADB =+-⋅∠， 即2141221()72c =+-⨯⨯⨯-=，解得c =cos 14B ==，sin B ===，所以sin tan cos 5B B B ==. 方法2：在ABC 中，因为D 为BC 中点，π3ADC ∠=，1AD =，则1111sin 12222ADC ABC S AD DC ADC a S =⋅∠=⨯⨯===，解得4a =， 在ACD 中，由余弦定理得2222cos b CD AD CD AD ADC =+-⋅∠，即214122132b =+-⨯⨯⨯=，解得b =，有2224AC AD CD +==，则π2CAD ∠=，π6C =，过A 作AE BC ⊥于E，于是3cos ,sin 2CE AC C AE AC C ====，52BE =，所以tan 5AE B BE ==. （2）方法1：在ABD △与ACD 中，由余弦定理得222211121cos(π)4211121cos 42c a a ADC b a a ADC ⎧=+-⨯⨯⨯-∠⎪⎪⎨⎪=+-⨯⨯⨯∠⎪⎩，整理得222122a b c +=+，而228b c +=，则a =，又11sin 22ADC S ADC =⨯∠=，解得sin 1ADC ∠=，而0πADC <∠<，于是π2ADC ∠=，所以2b c ===.方法2：在ABC 中，因为D 为BC 中点，则2AD AB AC =+ ，又CB AB AC =-，于是2222224()()2()16AD CB AB AC AB AC b c +=++-=+= ，即2416a +=，解得a =，又11sin 2ADC S ADC =⨯∠ sin 1ADC ∠=，而0πADC <∠<，于是π2ADC ∠=，所以2b c ===.4．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S，已知123123S S S B -+==． (1)求ABC 的面积； (2)若sin sin 3A C =，求b ． 【答案】(2)12【详细分析】（1）先表示出123,,S S S，再由1232S S S -+=求得2222a c b +-=，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得22sin sin sin b acB AC =，即可求解.【答案详解】（1）由题意得22221231,,22444S a a S b S c =⋅⋅===，则222123S S S -+==， 即2222a c b +-=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-=，整理得cos 1ac B =，则cos 0B >，又1sin 3B =，则cos 3B ==，1cos 4ac B ==，则1sin 28ABC S ac B == ； （2）由正弦定理得：sin sin sin b a c B A C ==，则229sin sin sin sin sin 43b ac ac B A C A C =⋅==，则3sin 2b B =，31sin 22b B ==. 5．（2022∙全国乙卷∙高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+； (2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长． 【答案】(1)见解析 (2)14【详细分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证； （2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc ，从而可求得b c +，即可得解. 【答案详解】（1）证明：因为()()sin sin sin sin C A B B C A -=-， 所以sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C -=-，所以2222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab +-+-+-⋅-⋅=-⋅， 即()22222222222a cb a bc b c a +-+--+-=-， 所以2222a b c =+；（2）解：因为255,cos 31a A ==， 由（1）得2250bc +=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 则50502531bc -=， 所以312bc =， 故()2222503181b c b c bc +=++=+=， 所以9b c +=，所以ABC 的周长为14a b c ++=.6．（2022∙北京∙高考真题）在ABC 中，sin 2C C =． (1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为ABC 的周长． 【答案】(1)6π(2)6+【详细分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cos C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值； （2）利用三角形的面积公式可求得a 的值，由余弦定理可求得c 的值，即可求得ABC 的周长.【答案详解】（1）解：因为()0,C π∈，则sin 0C >2sin cos C C C =，可得cos 2C =，因此，6C π=.（2）解：由三角形的面积公式可得13sin 22ABC S ab C a === ，解得a =.由余弦定理可得2222cos 48362612c a b ab C =+-=+-⨯=，c ∴=所以，ABC 的周长为6a b c ++=.7．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c +的最小值．【答案】(1)π6；(2)5．【详细分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cos sin 21sin 1cos2A BA B=++化成()cos sin A B B +=，再结合π02B <<，即可求出； （2）由（1）知，π2C B =+，π22A B =-，再利用正弦定理以及二倍角公式将222a b c +化成2224cos 5cos B B +-，然后利用基本不等式即可解出． 【答案详解】（1）因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B BA B B B===++，即()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A BC =-=+=-=， 而π02B <<，所以π6B =；（2）由（1）知，sin cos 0B C =->，所以πππ,022C B <<<<， 而πsin cos sin 2B C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以π2C B =+，即有π22A B =-，所以30,,,424B C πππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B Bc C B +++-==()2222222cos 11cos 24cos 555cos cos B BB BB-+-==+-≥=．当且仅当2cos B =222a b c +的最小值为5． 8．（2020∙全国∙高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a，b ，求ABC 的面积；（2）若sin AC =2，求C . 【答案】（1（2）15︒.【详细分析】（1）已知角B 和b 边，结合,a c 关系，由余弦定理建立c 的方程，求解得出,a c ，利用面积公式，即可得出结论；（2）方法一 ：将30A C =︒-代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关C 角的三角函数值，结合C 的范围，即可求解.【答案详解】（1）由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-⋅︒=，2,c a ABC ∴==∴△的面积1sin 2S ac B == （2）[方法一]：多角换一角 30A C +=︒ ，sin sin(30)A C C C ∴=︒-1cos sin(30)22C C C ==+︒=， 030,303060C C ︒<<︒∴︒<+︒<︒ ，3045,15C C ∴+︒=︒∴=︒. [方法二]：正弦角化边由正弦定理及150B =︒得22sin sin sin ====a c bR b A C B．故sin ,sin 22==a c A C b b ．由sin 2A C =，得a +=．又由余弦定理得22222cos =+-⋅=+b a c ac B a 2+c ，所以()222()2=++a a c ，解得a c =．所以15=︒C ．【整体点评】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.其中第二问法一主要考查三角恒等变换解三角形，法二则是通过余弦定理找到三边的关系，进而求角.9．（2020∙全国∙高考真题）ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin ．C（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+【详细分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）方法一：利用余弦定理可得到()29AC AB AC AB +-⋅=，利用基本不等式可求得AC AB +的最大值，进而得到结果.【答案详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈ ，23A π∴=. （2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式由余弦定理得：2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅229AC AB AC AB =++⋅=， 即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为3+[方法二]：正弦化角（通性通法）设,66ππαα=+=-B C ，则66ππα-<<，根据正弦定理可知sin sin sin a b cA B C===，所以sin )b c B C +=+sin sin 66ππαα⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦α=≤，当且仅当0α=，即6B C π==时，等号成立．此时ABC周长的最大值为3+ [方法三]：余弦与三角换元结合在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．由余弦定理得229b c bc =++，即2213924⎛⎫++= ⎪⎝⎭b c c ．令13sin ,20,2b c c θπθθ⎧+=⎪⎛⎫∈⎨ ⎪⎝⎭⎪=⎩，得3sin b c θθ+=6πθ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，易知当6C π=时，max ()b c +=所以ABC周长的最大值为3+【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值. 方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.10．（2018∙全国∙高考真题）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠= ，45A ∠= ，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠； （2）若DC =，求BC . 【答案】（1）5；（2）5. 【详细分析】（1）方法一：根据正弦定理得到sin sin BD AB A ADB =∠∠，求得sin 5ADB ∠=，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得cos 5ADB ∠==；（2）方法一：根据第一问的结论可以求得cos sin 5BDC ADB ∠=∠=，在BCD △中，根据余弦定理即可求出．【答案详解】（1）［方法1］：正弦定理＋平方关系在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB A ADB =∠∠，代入数值并解得sin 5ADB ∠=．又因为BD AB >，所以A ADB ∠>∠，即ADB ∠为锐角，所以cos 5ADB ∠=． ［方法2］：余弦定理在ABD △中，2222cos 45BD AB AD AB AD =+-⋅ ，即2254222AD AD =+-⨯⨯⨯，解得：AD =所以，2254cos5ADB +-∠==． ［方法3］：【最优解】利用平面几何知识如图，过B 点作BE AD ⊥，垂足为E ，BF CD ⊥，垂足为F ．在Rt AEB 中，因为45A ∠=︒，=2AB ，所以AE BE ==．在Rt BED △中，因为5BD =，则DE ===．所以cos ADB ∠=［方法4］：坐标法以D 为坐标原点，DC 为x 轴，DA为y 轴正方向，建立平面直角坐标系（图略）．设BDC α∠=，则(5cos ,5sin )B αα．因为45A ∠=︒，所以(0,5sin A α．从而2AB ==，又α是锐角，所以cos 5α=，cos sin ADB α∠===（2）［方法1］：【通性通法】余弦定理在BCD △，由（1）得，cos 5ADB ∠=，()2222cos 90BC BD DC BD DC ADB︒=+-⋅-∠2252525ADB =+-⨯⨯∠=，所以=5BC ．［方法2］：【最优解】利用平面几何知识作BF DC ⊥，垂足为F ，易求，BF =FC =，由勾股定理得=5BC ．【整体点评】（1）方法一：根据题目条件已知两边和一边对角，利用正弦定理和平方关系解三角形，属于通性通法；方法二：根据题目条件已知两边和一边对角，利用余弦定理解三角形，也属于通性通法； 方法三：根据题意利用几何知识，解直角三角形，简单易算．方法四：建立坐标系，通过两点间的距离公式，将几何问题转化为代数问题，这是解析思想的体现． （2）方法一：已知两边及夹角，利用余弦定理解三角形，是通性通法． 方法二：利用几何知识，解直角三角形，简单易算．11．（2017∙全国∙高考真题）△ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、,已知△ABC 的面积为23sin a A(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求△ABC 的周长.【答案】(1)2sin sin 3B C =(2) 3【答案详解】试题详细分析：（1）由三角形面积公式建立等式21sin 23sin a ac B A=，再利用正弦定理将边化成角，从而得出sin sin B C 的值；（2）由1cos cos 6B C =和2sin sin 3B C =计算出1cos()2B C +=-，从而求出角A ，根据题设和余弦定理可以求出bc 和b c +的值，从而求出ABC 的周长为3+试题解析：（1）由题设得21sin 23sin a ac B A=，即1sin 23sin a c B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin A C B A =. 故2sin sin 3B C =. （2）由题设及（1）得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-，即()1cos 2B C +=-.所以23B C π+=，故3A π=. 由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即()239b c bc +-=，得b c +故ABC 的周长为3+点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.12．（2017∙山东∙高考真题）在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =3,6AB AC ⋅=-,S △ABC =3,求A 和a .【答案】34A π=，a =【答案详解】试题详细分析：先由数量积公式及三角形面积公式得3cos 613sin 32c A c A =-⎧⎪⎨⨯=⎪⎩,由此求A ,再利用余弦定理求a .试题解析：因为6AB AC ⋅=-， 所以cos 6bc A =-， 又3ABC S =△， 所以sin 6bc A =，因此tan 1A =-，又0πA <<， 所以3π4A =， 又3b =，所以c =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得29823(a =+-⨯⨯，所以a = 【考点】解三角形【名师点评】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据,也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法,化边法,面积法,运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．13．（2017∙全国∙高考真题）△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin2B AC +=．（1）求cos B ；（2）若6a c +=，△ABC 的面积为2，求b ． 【答案】（1）1517；（2）2． 【答案详解】试题详细分析：（1）利用三角形的内角和定理可知A C B π+=-，再利用诱导公式化简()sin A C +，利用降幂公式化简28sin 2B，结合22sin cos 1B B +=，求出cos B ；（2）由（1）可知8sin 17B =，利用三角形面积公式求出ac ，再利用余弦定理即可求出b . 试题解析：（1）()2sin 8sin2BA C +=，∴()sin 41cosB B =-，∵22sin cos 1B B +=， ∴()22161cos cos 1B B -+=，∴()()17cos 15cos 10B B --=，∴15cos 17B =； （2）由（1）可知8sin 17B =， ∵1sin 22ABC S ac B =⋅=，∴172ac =， ∴()2222222217152cos 2152153617154217b ac ac B a c a c a c ac =+-=+-⨯⨯=+-=+--=--=， ∴2b =．14．（2016∙全国∙高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若c =ABC S ∆=ABC ∆的周长.【答案】（1）3C π=（2）5【答案详解】试题详细分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C += 12cos sin()sin cos 23π∴+=⇒=⇒=C A B C C C（2）11sin 622∆=⇒=⇒=ABC S ab C ab ab 又2222cos +-= a b ab C c2213a b ∴+=，2()255∴+=⇒+=a b a bABC ∆∴的周长为5考点：正余弦定理解三角形.15．（2015∙浙江∙高考真题）在ABC ∆中，内角 A ，B ， C 所对的边分别为a ， b ，c ，已知 4A π=，22b a -=122c .（1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为3，求 b 的值. 【答案】（1）2；（2）3b =.【答案详解】（1）根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间满足的关系，再将式 子作三角恒等变形即可求解；（2）根据条件首先求得sin B 的值，再结合正弦定理以及三角 形面积的计算公式即可求解.试题解析：（1）由22212b a c -=及正弦定理得2211sin sin 22B C -=， ∴2cos 2sin B C -=，又由4A π=，即34B C π+=，得cos 2sin 22sin cos B C C C -==，解得tan 2C =；（2）由tan 2C =，(0,)C π∈得sin 5C =，cos 5C =，又∵sin sin()sin()4B A C C π=+=+，∴sin B =3c b =，又∵4A π=，1sin 32bc A =，∴bc =3b =. 考点：1.三角恒等变形；2.正弦定理.16．（2015∙山东∙高考真题）ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知cos ()39B A B ac =+==求sin A 和c 的值.【答案】,1.3【详细分析】由条件先求得sin sin C A ，，再由正弦定理即可求解.【答案详解】在ABC 中，由cos 3B =，得sin 3B =.因为A B C π++=，所以sin sin()9C A B =+=，因为sin sin C B <，所以C B <，C 为锐角，cos 9C =，因此sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+39393=⨯+⨯=.由sin sin a c A C =，可得sin sin 9cc A a C ===，又ac =1c =.考点03 求角和三角函数的值及范围或最值1．（2024∙天津∙高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ===，，． (1)求a ； (2)求sin A ；(3)求()cos 2B A -的值．【答案】(1)4(2)4 (3)5764【详细分析】（1）2,3a t c t ==，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【答案详解】（1）设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯，解得2t =（负舍）； 则4,6a c ==.（2）法一：因为B为三角形内角，所以sin B ===再根据正弦定理得sin sin a b A B =，即4sin A =sin A =法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，因为()0,πA ∈，则sin A ==（3）法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB ∈，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 由（2）法一知sin 16B =，。
2022年全国高考数学真题分类汇编：三角函数(附答案解析)
2022年全国高考数学真题分类汇编：三角函数
一．选择题（共8小题）
1．为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sin（3x +）图象上所有的点（）A ．向左平移个单位长度
B
．向右平移个单位长度
C
．向左平移个单位长度
D ．向右平移个单位长度
2．已知函数f（x）＝cos2x﹣sin2x，则（）
A．f（x
）在（﹣，﹣）上单调递减
B．f（x
）在（﹣，）上单调递增
C．f（x）在（0，）上单调递减
D．f（x ）在（，）上单调递增
3．已知a ＝，b＝cos，c＝4sin，则（）
A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b
4．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如
图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D
在上，CD⊥AB．“会
圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB +．当OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
第1页（共31页）。
三角函数解答题2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(全国通用版)(解析版)
(2)求 的最小值．
【答案】(1) ；
(2) ．
解析：(1)因为 ，即 ，
而 ，所以 ；
(2)由(1)知， ，所以 ，
而 ， 所以 ，即有 ．
所以
．
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ．
【题目栏目】三角函数\三角函数的综合问题
【题目来源】2022新高考全国I卷·第18题
4．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第18题)在 中，角 、 、 所对的边长分别为 、 、 ， ， ．．
问题：是否存在 ，它的内角 的对边分别为 ，且 ， ，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】解法一：
由 可得： ，
不妨设 ，
则： ，即 ．
选择条件①的解析：
据此可得： ， ，此时 ．
选择条件②的解析：
据此可得： ，
则： ，此时： ，则： ．
选择条件③的解析：
可得 ， ，
【答案】(1)
(2)
解析：(1)由题意得 ，则 ，
即 ，由余弦定理得 ，整理得 ，则 ，又 ，
则 ， ，则 ；
(2)由正弦定理得： ，则 ，则 ， ．
【题目栏目】三角函数\正弦定理和余弦定理\正、余弦定理的综合应用
【题目来源】2022新高考全国II卷·第18题
3．(2022新高考全国I卷·第18题)记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
则 ，
所以 ，
故 ，
所以 ，
所以 的周长为 ．
【题目栏目】三角函数\三角函数的综合问题
【题目来源】2022年全国乙卷理科·第17题
2．(2022新高考全国II卷·第18题)记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为 ，已知 ．
高考真题——三角函数及解三角形真题(加答案)
全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析三角函数一、三角恒等变换（3题）1.（2015年1卷2）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A） （B（C ）12- （D ）12【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.2.（2016年3卷）（5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．3.（2016年2卷9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）15-（D ）725-【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．二、三角函数性质（5题）4.（2017年3卷6）设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.π5.（2017年2卷14）函数()23sin 3cos 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ．【解析】()22311cos 3cos cos 3cos 44f x x x x x =-+-=-++ 23cos 12x ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[]cos 0,1x ∈，当3cos 2x =时，取得最大值1. 6．（2015年1卷8）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质7. （2015年2卷10）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x ．将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．8.（2016年1卷12）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5考点：三角函数的性质 三、三角函数图像变换（3题）9.（2016年2卷7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈【解析】平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈，故选B ． 10.（2016年3卷14）函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数sin 3cos y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．11.（2017年1卷9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】：熟识两种常见的三角函数变换，先变周期和先变相位不一样。
2019年高考数学试题分类汇编三角函数附答案详解
2019年高考数学试题分类汇编三角函数一、选择题.1、（2019年高考全国I 卷文理科5）函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．C ．D ．答案：D解析：因为)()(x f x f -=-，所以)(x f 为奇函数又01)(2>-=πππf ，124412)2(22>+=+=πππππf ，故选D 2、（2019年高考全国I 卷理科11）关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④C ．①④D ．①③答案：C解析：由)(|sin |||sin |)sin(|||sin )(x f x x x x x f =+=-+-=-，故①正确；),2(ππ∈x 时，x x x x f sin 2sin sin )(=+=，函数递减，故②错误；],0[π∈x 时，x x x x f sin 2sin sin )(=+=，函数有2个零点，0)()0(==πf f ，而],0[π∈x 时0)()0(=-=πf f ，所以函数有且只有3个零点，故③错误；函数为偶函数，只需讨论0>x ，N k k k x ∈+∈),2,2(πππ时，x x x x f sin 2sin sin )(=+=，最大值为2，N k k k x ∈++∈),22,2(ππππ时，0sin sin )(=-=x x x f ，故函数最大值为2，故④正确。
故选C3、（2019年高考全国I 卷文科7）tan255°= A ．-2B ．-C ．2D ．答案：D解析：32)4530tan(75tan )75180tan(255tan +=︒+︒=︒=︒+︒=︒故选D4、（2019年高考全国I 卷文科11）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A -b sin B =4c sin C ，cos A =-14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．3答案：A解析：由正弦定理C B b A a sin 4sin sin =-,角化边得2224c b a +=又412)4(cos 2222-=+-+=bc c b c b A ，联立求得6=c b 故选A5、（2019年高考全国II 卷理科4）019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设r Rα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 ABCD答案：D 解析：Rr=α则R r α=，代入121223()()M M M R r R r r R +=++得12322)1(1)1(M M ααα+-+=即3254322312)1(33)1(1)1(αααααααα≈+++=+-+=M M所以R M M r 3123=.故答案选D 6、（2019年高考全国II 卷理科9）下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=│cos2x │B ．f (x )=│sin 2x │C ．f (x )=cos│x │D ．f (x )= sin │x │答案：A解析：将|2cos |)(x x f =的图像变换，“下翻上”，如图可知在区间)2,4(ππ上是增函数.故答案选A 7、（2019年高考全国II 卷理科10，文科11）已知α∈(0，2π)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=A ．15B 5C 3D 5答案：B解析：ααα2cos 212cos 2sin 2=+=，与αααcos sin 22sin =联立求得21tan =α 又)2,0(πα∈，所以55sin =α故答案选B 8、（2019年高考全国II 卷文科8）若x 1=4π，x 2=43π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=A ．2B ．32C ．1D ．12答案：A 解析：πππ=-=T T ,4432,又ωπ2=T ,所以2=ω。
2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：三角函数(附答案解析)
2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：三角函数一．选择题（共10小题）1．已知tan()1αβ+=-，1tan()2αβ-=，则sin 2sin 2αβ的值为( )A ．13B ．13-C ．3D ．3-2．已知tan 2θ=，则sin()cos()2(cos sin()πθπθθπθ+--=-- ) A ．2B ．2-C ．0D ．233．若tan 24tan()04πθθ++=，则sin 2θ的值为( )A ．35B ．45 C ．35-D ．45-4．计算：sin11002sin100(cos160︒-︒=︒)A ．1BC ．2 D．5．cos30cos105sin30sin75(︒︒-︒︒= )A．B． CD6．已知1sin()sin()25ππαα++-=，且(0,)απ∈，则tan()(4πα+= )A ．17-B ．17C ．7D ．7-7．已知1tan()62πα+=，则2sin(2)(3πα-= )A ．45B ．45-C ．34 D ．34-8．已知4tan 3α=-，则sin 2(α= )A ．45-B ．45C ．2425D ．2425-9．已知tan 121tan αα-=+，则sin(2)6πα+的值为( )A． B． CD．10．已知函数()sin(2)6f x x π=+，若将()f x 的图象向右平移6π个单位后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则( )A ．()sin(4)6g x x π=-B ．()sin 4g x x =C ．()sin g x x =D ．()sin()6g x x π=-二．多选题（共1小题）11．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，||)ϕπ<的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )A ．函数()f x 的图象关于点(,0)12π-对称B ．函数()f x 的图象关于2x π=直线对称C ．函数()f x 在区间[,]36ππ-上单调递增D ．1y =与图象23()()1212y f x xππ=-的所有交点的横坐标之和为83π 三．填空题（共7小题）12．若5sin()6πα-=，则2cos(2)3πα+= ．13．已知2παπ<<，若tan 2sin2αα=，则tan α= ．14．若4sin()65πα-=-，则cos()3πα+= ．15．若tan 1α=，则sin cos αα= ．16．已知sin cos 3cos 3sin αβαβ-=-，且sin()1αβ+≠，则sin()αβ-= ． 17．已知α为第四象限角，且5cos α=222)4cos sin πααα-=- ． 18．已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>，若()f x 的图像在[0，2]3π上与x 轴恰有两个交点，则ω的取值范围是 ． 四．解答题（共4小题）19．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，并且223sin sin 312A BC +=+．（1）求角C 的大小；（2）若a =2c =，求b ．20．ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，2sin a B =．（1）若ABC ∆，2c =，求a 的值； （2）若21()()2b a b ac -+=，求tan C 的值．21．某同学用“五点法”作函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)2πϕ<在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（Ⅰ）根据上表数据，直接写出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）求()f x 在区间2[3π-，0]上的最大值和最小值． 22．已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><，且()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件． （Ⅰ）确定()f x 的解析式；（Ⅱ）若()()2cos(2)6g x f x x π=++，求函数()g x 的单调减区间．条件①：()f x 的最小值为2-； 条件②：()f x 图像的一个对称中心为5(,0)12π； 条件③：()f x 的图像经过点5(,1)6π-．2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：三角函数参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．已知tan()1αβ+=-，1tan()2αβ-=，则sin 2sin 2αβ的值为( )A ．13B ．13-C ．3D ．3-【考点】两角和与差的三角函数 【分析】sin 2sin[()()]sin()cos()sin()cos()tan()tan()sin 2sin[()()]sin()cos()sin()cos()tan()tan()ααβαβαβαβαβαβαβαββαβαβαβαβαβαβαβαβ++-+-+-+++-===+--+---++--，代入即可求解．【解答】解：因为tan()1αβ+=-，1tan()2αβ-=， 则11sin 2sin[()()]sin()cos()sin()cos()tan()tan()121sin 2sin[()()]sin()cos()sin()cos()tan()tan()312ααβαβαβαβαβαβαβαββαβαβαβαβαβαβαβαβ-+++-+-+-+++-=====+--+---++----．故选：A ．【点评】本题主要考查了同角基本关系，和差角公式在求解三角函数值中的应用，属于基础题．2．已知tan 2θ=，则sin()cos()2(cos sin()πθπθθπθ+--=-- ) A ．2B ．2-C ．0D ．23【考点】运用诱导公式化简求值；三角函数的恒等变换及化简求值【分析】由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解． 【解答】解：因为tan 2θ=，所以sin()cos()cos cos 2222cos sin()cos sin 1tan 12πθπθθθθπθθθθ+--+====------．故选：B ．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．3．若tan 24tan()04πθθ++=，则sin 2θ的值为( )A ．35B ．45 C ．35-D ．45-【考点】二倍角的三角函数【分析】由题意利用二倍角公式、两角和的正切公式，先求出tan θ的值，再利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，计算求得sin 2θ的值．【解答】解：tan 24tan()04πθθ++=，∴22tan 1tan 41tan 1tan θθθθ+=-⨯--， ∴tan 2(1tan )1tan θθθ=-⨯++，22tan 5tan 20θθ∴++=，求得tan 2θ=- 或1tan 2θ=-，当tan 2θ=-时，2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 15θθθθθθθ===-++； 当1tan 2θ=-时，22tan 4sin 2tan 15θθθ==-+， 故选：D ．【点评】本题主要考查二倍角公式、两角和的正切公式，同角三角函数的基本关系式，属于中档题． 4．计算：sin11002sin100(cos160︒-︒=︒)A ．1B C ．2 D ．【考点】二倍角的三角函数；运用诱导公式化简求值【分析】由已知结合诱导公式，两角差的余弦公式进行化简，由此即可求解． 【解答】解：sin11002sin100sin(108020)2sin(9010)2cos10sin 202cos(3020)sin 20cos160cos(18020)cos 20cos 20︒-︒︒+︒-︒+︒︒-︒︒-︒-︒===︒︒-︒︒︒．故选：B ．【点评】本题主要考查了诱导公式，两角差的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．5．cos30cos105sin30sin75(︒︒-︒︒= )A ．B ．2C ．2D【考点】两角和与差的三角函数【分析】利用公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+，结合诱导公式，可得答案． 【解答】解：cos30cos105sin30sin75︒︒-︒︒ cos30sin15sin30cos15=-︒︒-︒︒sin(1530)sin 45=-︒+︒=-︒2=， 故选：B ．【点评】本题考查的知识点是两角和与差的正弦公式，诱导公式，属于基础题．6．已知1sin()sin()25ππαα++-=，且(0,)απ∈，则tan()(4πα+= )A ．17-B ．17C ．7D ．7-【考点】两角和与差的三角函数【分析】先利用诱导公式化简条件，再结合同角三角函数基本关系，推出3tan 4α=，然后由两角和的正切公式，得解．【解答】解：因为1sin()sin()25ππαα++-=，所以1sin cos 5αα-+=， 又22sin cos 1αα+=，且(0,)απ∈，所以3sin 5α=，4cos 5α=， 所以sin 3tan cos 4ααα==， 所以31tan 14tan()7341tan 14πααα+++===--． 故选：C ．【点评】本题考查三角函数的求值，熟练掌握两角和的正切公式，同角三角函数基本关系，诱导公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．7．已知1tan()62πα+=，则2sin(2)(3πα-= )A ．45B ．45-C ．34 D ．34-【考点】二倍角的三角函数；两角和与差的三角函数 【分析】直接利用诱导公式的应用求出三角函数的值．【解答】解：由于1tan()62πα+=，所以22tan()2146sin(2)cos(2)sin(2)sin(2)13626351tan ()164παπππππααααπα+-=-=+-=+===+++． 故选：A ．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．8．已知4tan 3α=-，则sin 2(α= )A ．45-B ．45C ．2425D ．2425-【考点】二倍角的三角函数【分析】结合二倍角公式与“同除余弦可化切”的思想，即可得解．【解答】解：222242()2sin cos 2tan 243sin 22sin cos 4125()13sin cos tan ααααααααα⨯-=====-++-+． 故选：D ．【点评】本题考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，理解同除余弦可化切的思想是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 9．已知tan 121tan αα-=+，则sin(2)6πα+的值为( )A． B． CD．【考点】二倍角的三角函数；两角和与差的三角函数【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和三角函数的值的应用求出结果． 【解答】解：由于tan 121tan αα-=+，整理得tan 3α=-，所以22tan 63sin 21tan 105ααα==-=-+；221tan 84cos21tan 105ααα-==-=-+；所以341sin(2)()()6552πα+=-+-⨯=． 故选：A ．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10．已知函数()sin(2)6f x x π=+，若将()f x 的图象向右平移6π个单位后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则( ) A ．()sin(4)6g x x π=-B ．()sin 4g x x =C ．()sin g x x =D ．()sin()6g x x π=-【考点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换【分析】利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律解决即可． 【解答】解：()sin(2)6f x x π=+，∴将()f x 的图象向右平移6π个单位后， 得()sin[2()]sin(2)6666f x x x ππππ-=-+=-，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象， 则()sin()6g x x π=-，故选：D ．【点评】本题考查了函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换，熟练掌握其图象变化规律是解决问题的关键，考查逻辑思维能力与运算求解能力，属于中档题． 二．多选题（共1小题）11．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，||)ϕπ<的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )A ．函数()f x 的图象关于点(,0)12π-对称B ．函数()f x 的图象关于2x π=直线对称C ．函数()f x 在区间[,]36ππ-上单调递增D ．1y =与图象23()()1212y f x xππ=-的所有交点的横坐标之和为83π【考点】由sin()y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式【分析】由顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点作图求出ϕ，正弦函数的图象和性质，可得函数的解析式．再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：根据函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，||)ϕπ<的部分图象， 可得2A =，12254312πππω⨯=-，2ω∴=． 结合五点法作图，可得5212πϕπ⨯+=，6πϕ∴=，故()2sin(2)6f x x π=+．令12x π=-，求得()0f x =，可得函数()f x 的图象关于点(,0)12π-对称，故A 正确；令2x π=，求得()1f x =-，不是最值，故函数()f x 的图象关不于2x π=直线对称，故B 错误；在区间[,]36ππ-上，2[62x ππ+∈-，]2π，函数()f x 单调递增，故C 正确；当[12x π∈-，23]12π，2[06x π+∈，4]π， 直线1y =与图象23()()1212y f x xππ=-的4个交点关于直线3262x ππ+=对称． 设这4个交点的横坐标分别为a 、b 、c 、d ，a b c d <<<，则3(2)(2)2662a d πππ+++=⨯，3(2)(2)2662b c πππ+++=⨯，故所有交点的横坐标之和为83a b c d π+++=，故D 正确， 故选：ACD ．【点评】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求函数的解析式，由顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点作图求出ϕ，正弦函数的图象和性质，属于中档题． 三．填空题（共7小题）12．若sin()6πα-=，则2cos(2)3πα+= 35- ．【考点】二倍角的三角函数；两角和与差的三角函数【分析】直接利用三角函数的诱导公式的应用求出三角函数的值．【解答】解：由于sin()cos()cos()6263ππππααα-=-+=+=所以2213cos(2)2cos ()1213355ππαα+=+-=⨯-=-．故答案为：35-．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的值，三角函数的诱导公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．13．已知2παπ<<，若tan 2sin 2αα=，则tan α【考点】二倍角的三角函数【分析】根据同角三角函数基本关系式以及二倍角公式，即可得到结论． 【解答】解：2παπ<<，∴22παπ<<，又tan 2sin 2αα=⇒sin 2sin sin 2sin cos cos 22αααααα=⇒=⋅， 即2sin cos2sincos 222αααα⋅=⋅， 2coscos 2cos 122ααα∴==-，解得：1cos 22α=-，(cos 12α=舍）sin2α∴=，∴tan 2sin2αα=．【点评】本题主要考查函数值的计算，熟练掌握同角三角函数基本关系式以及二倍角公式是解决本题的关键．14．若4sin()65πα-=-，则cos()3πα+= 45．【考点】两角和与差的三角函数 【分析】把所求式子中的角度变为()362πππαα+=-+，利用两角和的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将已知的等式值代入即可求出值． 【解答】解：4sin()65πα-=-，∴4cos()cos[()]sin()36265ππππααα+=-+=--=． 故答案为：45． 【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，灵活变换所求式子的角度，熟练掌握公式是解本题的关键，属于基础题．15．若tan 1α=，则sin cos αα=12． 【考点】同角三角函数间的基本关系【分析】根据已知条件，结合弦化切公式，即可求解． 【解答】解：tan 1α=， 222sin cos tan 11sin cos 1112sin cos tan αααααααα∴====+++． 故答案为：12． 【点评】本题主要考查弦化切公式，属于基础题．16．已知sin cos 3cos 3sin αβαβ-=-，且sin()1αβ+≠，则sin()αβ-= 45- ．【考点】两角和与差的三角函数 【分析】令cosθ=，sin θ=，根据两角和差的正余弦公式化简已知等式可得sin()cos()αθβθ-=+，再利用诱导公式化成同名函数，推出22k παθβθπ-=+++或()()22k παθβθππ-+++=+，k Z ∈，然后分类讨论，即可得解．【解答】解：因为sin cos 3cos 3sin αβαβ-=-， 所以sin 3cos 3sin cos ααββ-=-+，即))ααββ，ααββ=，cosθ=sin θ=，则sin cos cos sin cos cos sin sin αθαθβθβθ-=-，即sin()cos()sin()2παθβθβθ-=+=++，所以22k παθβθπ-=+++或()()22k παθβθππ-+++=+，k Z ∈， 所以222k παβθπ-=++或22k παβπ+=+，k Z ∈，若222k παβθπ-=++，k Z ∈，则224sin()sin(22)cos22cos 12125k παβθπθθ-=++==-=⨯-=-，若22k παβπ+=+，k Z ∈，则sin()sin(2)12k παβπ+=+=，与sin()1αβ+≠相矛盾，不满足条件，综上，4sin()5αβ-=-．故答案为：45-．【点评】本题考查三角函数的求值，熟练掌握两角和差的正余弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．17．已知α为第四象限角，且cos α=22)4cos sin πααα--【考点】二倍角的三角函数【分析】利用同角三角函数关系式及三角恒等变换公式直接计算即可． 【解答】解：因为α为第四象限角，且cos α= 所以sin α==， 又22cos sin (cos sin )(cos sin )αααααα-=-+， )sin cos 4πααα-=-，所以22)14cos sin sin cos πααααα-=-=-+．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18．已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>，若()f x 的图像在[0，2]3π上与x 轴恰有两个交点，则ω的取值范围是 5[2，4) ．【考点】正弦函数的图象【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围．【解答】解：若函数()sin()(0)3f x x πωω=+>的图像在[0，2]3π上与x 轴恰有两个交点，[33x ππω+∈，2]3πωπ+， 2233πωπππ+∴<，求得542ω<， 可得ω的取值范围为5[2，4)，故答案为：5[2，4)．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题． 四．解答题（共4小题）19．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，并且2sin 12A BC +=+．（1）求角C 的大小；（2）若a =2c =，求b ． 【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（1）由已知式子和三角函数公式化简可得1cos()62C π+=，结合C 的范围可得答案；（2）由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，代入数据即可解得．【解答】解：（1）223sin (sin 1)02A B C +-=，2(sin 1)02CC ∴-=．即1cos (sin 1)02C C +-=sin 1C C -=，1cos()62C π+=． C 为ABC ∆的内角，0C π∴<<，∴7666C πππ<+<．从而63C ππ+=，6C π∴=．（2）23a =2c =，∴由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-， 代入数据化简可得2680b b -+=，解得2b =或4b =．【点评】本题考查解三角形，设计正余弦定理得应用即三角函数公式，属中档题．20．ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，2sin a B =．（1）若ABC ∆，2c =，求a 的值； （2）若21()()2b a b ac -+=，求tan C 的值．【考点】正弦定理；余弦定理【分析】由2sin a B =可得60A =︒或120︒，（1）由面积可求b ，再由余弦定理可求得a ；（2）由21()()2b a b a c -+=，可得32b c =，进而可求tan C 的值．【解答】解：2sin a B ，∴2sin sin sin A B B A ⇒，60A =︒或120︒，（1）12sin 2ABC S b A ∆=⨯，3b ⇒=，22223223cos60a =+-⨯⨯︒，a ⇒=， （2）21()()2b a b a c -+=，22222132cos 2cos 22a b c b c bc A b A c ⇒=-=+-⇒=，3cos 04c A b ⇒=>，60A ∴=︒，∴32b c =，3sin sin(120)sin 2B C C =︒-=，sin C C ⇒=，tan C =【点评】本题考查解三角形，以及正余弦定理的应用和三角恒等变换，属中档题． 21．某同学用“五点法”作函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)2πϕ<在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（Ⅰ）根据上表数据，直接写出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）求()f x 在区间2[3π-，0]上的最大值和最小值． 【考点】由sin()y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式；五点法作函数sin()y A x ωϕ=+的图象【分析】（Ⅰ）直接利用五点法的应用求出函数的关系式；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）根据五点法的表格，所以()2sin(2)3f x x π=+．（Ⅱ）由于203x π-，所以233x πππ-+，当512x π=-时，函数()f x 的最小值为2-；当0x =【点评】本题考查的知识要点：五点法，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．22．已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><，且()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件． （Ⅰ）确定()f x 的解析式；（Ⅱ）若()()2cos(2)6g x f x x π=++，求函数()g x 的单调减区间．条件①：()f x 的最小值为2-； 条件②：()f x 图像的一个对称中心为5(,0)12π； 条件③：()f x 的图像经过点5(,1)6π-． 【考点】由sin()y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式【分析】（Ⅰ）先根据已知求出()f x 的最小正周期，即可求解ω，选条件①②：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据对称中心可求ϕ，即可得解函数解析式；选条件①③：可得()f x 的最小值为A -，可求A ，根据函数()f x 的图象过点5(6π，1)-，可求ϕ，可得函数解析式；选条件②③：根据对称中心可求ϕ，再根据函数()f x 的图象过点5(6π，1)-，可求A 的值，即可得解函数解析式．（Ⅱ）先求()g x 的最简式，再根据正弦型函数的减区间的求法求解． 【解答】解：（Ⅰ）由于函数()f x 图像上两相邻对称轴之间的距离为2π， 所以函数()f x 的最小正周期22T ππ=⨯=，所以22Tπω==， 此时()sin(2)f x A x ϕ=+； 选条件①②，因为()f x 的最小值为A -， 所以2A =，因为函数()f x 的一个对称中心为5(,0)12π， 所以52()12k k Z πϕπ⨯+=∈， 解得5?,()6k k Z πϕπ=∈， 因为||2πϕ<，所以6πϕ=，6选条件①③，因为()f x 的最小值为A -， 所以2A =，因为函数()f x 的图像过5(,?1)6π， 则5()?16f π=， 即52sin()?13πϕ+=，51sin()?32πϕ+=， 因为||2πϕ<，所以7513636πππϕ<+<， 所以511,366πππϕϕ+==， 所以()2sin(2)6f x x π=+；选择条件②③，因为函数()f x 的一个对称中心为5(,0)12π， 所以52()12k k Z πϕπ⨯+=∈， 解得5?,()6k k Z πϕπ=∈， 因为||2πϕ<，所以6πϕ=，此时()sin(2)6f x A x π=+，因为函数()f x 的图像过5(,?1)6π， 则5()?16f π=， 即5sin()?13A πϕ+=， 所以11sin16A π=-， 所以2A =，6综上，不论选哪两个条件，()2sin(2)6f x x π=+；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()2sin(2)6f x x π=+，所以5()()2cos(2)2sin(2)2cos(2))66612g x f x x x x x ππππ=++=+++=+，由532222122k x k πππππ+++，k Z ∈， 得132424k xk ππππ++，k Z ∈， 所以()g x 的单调递减区间为[24k ππ+，13]24k ππ+，k Z ∈． 【点评】本题考查了三角函数的图像与性质，属于基础题．。
2012_2022年高考数学真题分类汇编05三角恒等变换与三角函数(含答案)
2012_2022年高考数学真题分类汇编：三角恒等变换与三角函数一、选择题1．(2021年高考全国甲卷理科)若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α= ( )A ．1515B ．55C ．53D ．153【答案】A 解析：cos tan 22sin ααα=-2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===--，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=--，解得1sin 4α=， 215cos 1sin 4αα∴=-=，sin 15tan cos 15ααα∴==． 故选：A ．【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin α．2．(2021年高考全国乙卷理科)魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”则海岛的高AB = ( )( )A ．⨯+表高表距表目距的差表高B ．⨯-表高表距表目距的差表高C ．⨯+表高表距表目距的差表距D ．⨯表高表距-表目距的差表距【答案】A 解析：如图所示：由平面相似可知，,DE EH FG CGAB AH AB AC==，而DE FG =，所以 DE EH CG CG EH CG EHAB AH AC AC AH CH--====-，而CH CE EH CG EH EG =-=-+， 即CG EH EG EG DE AB DE DE CG EH CG EH-+⨯=⨯=+--＝+⨯表高表距表高表目距的差． 故选：A ．【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出． 3．(2021年高考全国乙卷理科)把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，则()f x =( )A ．7sin 212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，则()f x =（）A ． 7sin 212x x ⎛⎫-⎪⎝⎭B ． sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C ． 7sin 212x π⎛⎫-⎪⎝⎭D ． sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 4．(2021年高考全国甲卷理科)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848．86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ．B ．C 三点，且A ．B ．C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45AC B ∠'''=︒，60A B C ''∠'=︒．由C 点测得B 点的仰角为15︒，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ．C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC ''-约为(3 1.732≈)( )A ．346B ．373C ．446D ．473【答案】B 解析：过C 作'CH BB ⊥，过B 作'BD AA ⊥，故()''''''100100AA CC AA BB BH AA BB AD -=--=-+=+， 由题，易知ADB △为等腰直角三角形，所以AD DB =． 所以''100''100AA CC DB A B -=+=+． 因为15BCH ∠=︒，所以100''tan15CH C B ==︒在'''A B C 中，由正弦定理得：''''100100sin 45sin 75tan15cos15sin15A B C B ===︒︒︒︒︒，而62sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 304-︒=︒-︒=︒︒-︒︒=， 所以210042''100(31)27362A B ⨯⨯==+≈-， 所以''''100373AA CC A B -=+≈． 故选：B ．【点睛】本题关键点在于如何正确将''AA CC -的长度通过作辅助线的方式转化为''100A B +．5．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为 ( )( )A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭， 将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点， 所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω=== 故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题．6．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)若α为第四象限角，则 ( )A ．cos2α>0B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<0【答案】D解析：方法一：由α为第四象限角，可得3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈， 所以34244,k k k Z ππαππ+<<+∈此时2α的终边落在第三、四象限及y 轴的非正半轴上，所以sin 20α< 故选：D ． 方法二：当6πα=-时，cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，选项B 错误； 当3πα=-时，2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，选项A 错误； 由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确； 故选：D ．7．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α= ( )AB ．23C ．13D【答案】A【解析】3cos28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=， 即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又(0,),sin απα∈∴==故选：A ．8．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ= ( ) A ．–2 B ．–1C ．1D ．2【答案】D 解析：2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题． 9．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B = ( ) A ．19B ．13C ．12D ．23【答案】A 解析：在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC = 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB =，即3AB =由22299161cos22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =． 故选：A ．10．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)设函数()sin()5f x x ωπ=+(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在0,2π)(有且仅有3个极大值点②()f x 在0,2π)(有且仅有2个极小值点③()f x 在(0,)10π单调递增④ω的取值范围是1229[)510， 其中所有正确结论的编号是 ( )A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④【答案】D【解析】()f x 在0,2π)(有且仅有3个极大值点，分别对应59=,,5222x ππππω+，故①正确．()f x 在0,2π)(有2个或3个极小值点，分别对应37=,522x πππω+和3711=,5222x ππππω+，，故②不正确．因为当[0,2]x ∈π时，2555x πππω+ωπ+≤≤，由()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点．则265x ππω+<π5≤，解得1229[)510ω∈，，故④正确．由1229[)510ω∈，，得[0.44,0.49)105ππω+∈ππ，10.492π<π，所以()f x 在(0,)10π单调递增，故③正确． 综上所述，本题选D ．11．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 2cos21αα=+，则sin α= ( )A ．15B C D 【答案】B【解析】∵2sin 2cos21α=α+，∴24sin cos 2cos α⋅α=α.0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴cos 0α>，sin 0α>，∴2sin cos α=α，又22sin cos 1αα+=，∴25sin 1α=，21sin 5α=，又sin 0α>，∴sin α=，故选B ． 12．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)下列函数中，以2π为周期且在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增的是()( )A ．()cos2f x x =B ．()sin 2f x x =C ．()cos f x x =D ．()sin f x x =【答案】A【解析】因为sin ||y x =图象如下图，知其不是周期函数，排除D ；因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ，作出cos2y x =图象，由图象知，其周期为2π，在区间,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，A 正确；作出sin 2y x =的图象，由图象知，其周期为2π，在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，排除B ，故选A.【点评】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．利用二级结论：①函数()y f x =的周期是函数()y f x =周期的一半；②sin y x ω=不是周期函数；③函数2()()y f x f x ==函数公式法求三角函数的周期，例如，21cos 4cos 2cos 22xy x x +===，所以周期242T ππ==. 13．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是偶函数②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 ③()f x 在[,]ππ-有4个零点④()f x 的最大值为2 其中所有正确结论的编号是( )A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③【答案】C解析：作出函数sin ,sin ,sin sin y x y x y x x ===+的图象如图所示，由图可知，()f x 是偶函数，①正确，()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，②错误，ABC△的面积为2224a b c +-，则C =( )A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】C解析：由余弦定理可得2222cos a b c ab C +-=， 所以由222112cos sin sin 2424ABCa b c ab C S ab C ab C +-==⇒=△ 所以tan 1C =，而()0,πC ∈，所以π4C =，故选C ． 15．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)若1sin 3α=，则cos2α= ( )A ．89B ．79C ．79-D ．89-【答案】B解析：2217cos 212sin 1239αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭，故选B ．16．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是( )A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π【答案】A解析：由已知()sin cos 0f x x x '=--≤，得sin cos 0≥x x +，即04)≥x π+，解得322,()44≤≤k x k k Z ππππ-++∈，即[]3,,44a a ππ⎡⎤-⊂-⎢⎥⎣⎦，所以434≥≤a a a a ππ⎧⎪-<⎪⎪--⎨⎪⎪⎪⎩，得04≤a π<，所以a 的最大值是4π，故选A ．17．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)在ABC △中，cos2C =1BC =，5AC =，则AB = ( )A．BCD．【答案】A解析：因为223cos 2cos 12125C C =-=⨯-=-， 所以22232cos 125215()325AB BC AC BC AC C =+-⨯⨯=+-⨯⨯⨯-=，所以AB =故选A ．18．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知曲线1:cos C y x =,22π:sin 23C y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭,则下面结论正确的是( )A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线2C【答案】D【解析】因为12,C C 函数名不同,所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名,则22π2πππ:sin 2cos 2cos 23326C y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为sin 2y x =,再将曲线向左平移π12个单位得到2C ,故选D ．19．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)设函数()cos 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论错误的是( )A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线83x π=对称 C ．()f x π+的一个零点为6x π= D ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 【答案】D【解析】函数()f x 的周期为2n π，n Z ∈，故A 正确；又函数()f x 的对称轴为,3x k k Z ππ+=∈，即3x k ππ=-，k Z ∈，当3k =时，得83x π=，故B 正确；由()0cos 03f x x π⎛⎫=⇒+= ⎪⎝⎭32x k πππ⇒+=+，所以函数()f x 的零点为,6x k k Z ππ=+∈，当0k =时，6x π=，故C 正确；由223k x k ππππ≤+≤+，解得22233k x k ππππ-≤≤+，所以函数()f x 的单调递减区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，而2,2,2233k k ππππππ⎛⎫⎡⎤⊄-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故D 错误． 【考点】函数()cos y A x ωϕ=+的性质20．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)在△ABC 中,4B π=,BC 边上的高等于13BC ,则cos A = ( )ABC． D．【答案】C 【解析】设BC 边上的高线为AD ,则3BC AD =,所以AC =,AB =.由余弦定理,知222222cos 210AB AC BC A AB AC +-===-⋅,故选C. 21．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)若3tan 4α=,则2cos 2sin 2αα+= ( ) A ．6425B ．4825C ．1D ．1625【答案】A【解析】由3tan 4α=,得3sin 5α=,4cos 5α=或3sin 5α=-,4cos 5α=- 所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=,故选A. 22．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)若π3cos 45α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2α=( ) A ．725B ．15C ．15-D ．725-【答案】C【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ． 23．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．()26k x k Z ππ=-∈ B ．()26k x k Z ππ=+∈ C ．()212k x k Z ππ=-∈D ．()212k x k Z ππ=+∈【答案】B24．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为( )(A)11(B)9(C)7(D)5【答案】B 【解析】由题意知：12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则21k ω=+，其中k ∈Z()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，5π,123618122T ππω∴-=≤≤接下来用排除法：若π11,4ωϕ==-，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x 在π3π,1844⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在3π5π,4436⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调若π9,4ωϕ==，此时π()sin 94f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调递减故选B ．25．(2015高考数学新课标1理科)函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为( )A ．13(,),k 44k k ππ-+∈Z B ．13(2,2),k 44k k ππ-+∈Z C ．13(,),k 44k k -+∈ZD ．13(2,2),k 44k k -+∈Z【答案】D解析：由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D ． 考点：三角函数图像与性质26．(2015高考数学新课标1理科)sin 20cos10cos160sin10︒︒-︒︒= ( )A．2-B．2C ．12-D ．12【答案】D解析：原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D ． 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式． 27．(2014高考数学课标2理科)设函数xf x m()sinπ=．若存在f x ()的极值点x 0满足x f x m 22200[()]+<，则m 的取值范围是 ( )A ．(,6)(6,)-∞-⋃+∞B ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞C ．(,2)(2,)-∞-⋃+∞D ．(,1)(4,)-∞-⋃+∞【答案】C28．(2014高考数学课标2理科)钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，AC= ( ) A ．5 BC ．2D ．1【答案】B解析：有面积公式得：112sin 22B，解得2sin 2B ，因为钝角三角形，所以0135B ，由余弦定理得：21222cos1355AC，所以5AC ，选B 。
2016-2020年高考理科数学试题分类汇编专题06三角函数及解三角形试题及答案
专题06 三角函数及解三角形【2020年】1.（2020·新课标Ⅰ）设函数()cosπ()6f x xω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（）A.10π9B.7π6C.4π3D.3π2【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，将它代入函数()f x可得：4cos096ππω⎛⎫-⋅+=⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x图象与x轴负半轴的第一个交点，所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x的最小正周期为224332Tπππω===2.（2020·新课标Ⅰ）已知π()0,α∈，且3cos28cos5αα-=，则sinα=（）A.53 B. 23C. 13 D. 59【答案】A【解析】3cos28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=， 即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又(0,),sin απα∈∴==3.（2020·新课标Ⅱ）若α为第四象限角，则（ ） A. cos2α>0 B. cos2α<0C. sin2α>0D.sin2α<0 【答案】D 【解析】当6πα=-时，cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，选项B 错误；当3πα=-时，2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，选项A 错误； 由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确；4.（2020·新课标Ⅱ）已知△ABC 且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）B.32C. 1 【答案】C【解析】设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得：2R =. 设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC212a ∴=，解得：3a =，2233r ∴===∴球心O 到平面ABC 的距离1d =.5.（2020·新课标Ⅲ）在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ）A.19B.13C.12D.23【答案】A 【解析】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC = 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB = 由22299161cos22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =. 6.（2020·新课标Ⅲ）已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ） A. –2 B. –1C. 1D. 2【答案】D 【解析】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=. 7.（2020·山东卷）下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A. πsin(3x +）B. πsin(2)3x - C. πcos(26x +）D.5πcos(2)6x -【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362Tπππ=-=，则222Tππωπ===，所以不选A,当2536212xπππ+==时，1y=-∴()5322122k k Zππϕπ⨯+=+∈，解得：()223k kϕππ=+∈Z，即函数的解析式为：2sin22sin2cos2sin236263y x k x x xππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos2cos(2)66x xππ⎛⎫+=--⎪⎝⎭8.（2020·北京卷）若函数()sin()cosf x x xϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．【答案】2π（2,2k k Zππ+∈均可）【解析】因为()()()()22cos sin sin1cos cos sin1sinf x x x xϕϕϕϕθ=++=+++，所以()22cos sin12ϕϕ++=，解得sin1ϕ=，故可取2ϕπ=.9.（2020·山东卷）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC 的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=35，BH DG∥，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．【答案】542π+【解析】设==OB OA r，由题意7AM AN==，12EF=，所以5NF=，因为5AP =,所以45AGP ︒∠=， 因//BH DG ，所以45AHO ︒∠=，因为AG 与圆弧AB 相切于A 点，所以OA AG ⊥， 即OAH △为等腰直角三角形； 在直角OQD △中，252OQ r =-，272DQ r =-， 因为3tan 5OQ ODC DQ ∠==，所以32522125r r -=-， 解得22r =； 等腰直角OAH△的面积为11222242S =⨯⨯=； 扇形AOB 的面积()221322324S ππ=⨯⨯=， 所以阴影部分的面积为1215422S S ππ+-=+.10.（2020·浙江卷）已知tan 2θ=，则cos2θ=________；πtan()4θ-=______． 【答案】 (1).35 (2). 13【解析】2222222222cos sin 1tan 123cos 2cos sin cos sin 1tan 125θθθθθθθθθ---=-====-+++， tan 1211tan()41tan 123πθθθ---===++，11.（2020·江苏卷）已知2sin ()4πα+ =23，则sin 2α的值是____.【答案】13【解析】221sin ())(1sin 2)42παααα+==+121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴= 12.（2020·江苏卷）将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____. 【答案】524x π=-【解析】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=- 72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈当1k =-时524x π=-故答案为：524x π=-13.（2020·江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知0)P ，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△PAB 面积的最大值是__________．【答案】【解析】PA PB PC AB =∴⊥设圆心C 到直线AB 距离为d ，则||1AB PC ==所以11)2PABSd ≤⋅+=令222(36)(1)(06)2(1)(236)04y d d d y d d d d '=-+≤<∴=+--+=∴=（负值舍去） 当04d ≤<时，0y '>；当46d ≤<时，0y '≤，因此当4d =时，y 取最大值，即PABS取最大值为14.（2020·新课标Ⅰ）如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，AB AD ==AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos∠FCB =______________.【答案】14- 【解析】AB AC ⊥，3AB =，1AC =，由勾股定理得222BC AB AC =+=，同理得6BD =，6BF BD ∴==，在ACE △中，1AC =，3AE AD ==，30CAE ∠=，由余弦定理得22232cos301321312CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯⨯⨯=， 1CF CE ∴==，在BCF 中，2BC =，6BF =，1CF =，由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯.【2019年】1．【2019·全国Ⅰ卷】函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．C ．D ．【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ．2．【2019·全国Ⅰ卷】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论： ①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③【答案】C 【解析】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确． 当ππ2x <<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误． 当0πx ≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当π0x -≤<时，()()sin sin f x x x =--2sin x =-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误． 当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确． 综上所述，①④正确，故选C ． 3．【2019·全国Ⅱ卷】下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=|cos2x |B ．f (x )=|sin2x |C ．f (x )=cos|x |D ．f (x )=sin|x |【解析】作出因为sin ||y x =的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D ； 因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ；作出cos2y x =图象如图2，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递增，A 正确； 作出sin 2y x =的图象如图3，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递减，排除B ， 故选A ．图1图2图34．【2019·全国Ⅱ卷】已知α∈(0，2π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15B 55C 33D 255【答案】B【解析】2sin 2cos21αα=+，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，5sin α∴=，故选B ． 5．【2019·全国Ⅲ卷】设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③④【答案】D【解析】①若()f x 在[0,2π]上有5个零点，可画出大致图象， 由图1可知，()f x 在(0,2π)有且仅有3个极大值点.故①正确；②由图1、2可知，()f x 在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点.故②错误；④当()f x =sin （5x ωπ+）=0时，5x ωπ+=k π（k ∈Z ），所以ππ5k x ω-=，因为()f x 在[0,2π]上有5个零点，所以当k =5时，π5π52πx ω-=≤，当k =6时，π6π52πx ω-=>，解得1229510ω≤<， 故④正确.③函数()f x =sin （5x ωπ+）的增区间为：πππ2π2π252k x k ω-+<+<+，732π2π1010k k x ωω⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<.取k =0，当125ω=时，单调递增区间为71ππ248x -<<， 当2910ω=时，单调递增区间为73ππ2929x -<<，综上可得，()f x 在π0,10⎛⎫⎪⎝⎭单调递增.故③正确.所以结论正确的有①③④.故本题正确答案为D.6．【2019·天津卷】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2- B． CD ．2【答案】C【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=；又12π()sin,2π,122g x A x T ωω=∴==∴2ω=，又π()4g =2A =，∴()2sin 2f x x =，3π()8f =故选C. 7．【2019·北京卷】函数f （x ）=sin 22x 的最小正周期是__________． 【答案】π2【解析】函数()2sin 2f x x ==1cos 42x -，周期为π2. 8．【2019·全国Ⅱ卷】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为_________．【答案】【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =，解得c c ==-，所以2a c ==11sin 22ABC S ac B ==⨯=△ 9．【2019·江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ .【答案】10【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=，解得tan 2α=，或1tan 3α=-. πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()2222222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭ 2222tan 1tan =2tan 1ααα⎛⎫+- ⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式22222122==22110⎛⎫⨯+-⨯ ⎪+⎝⎭； 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()2233[]=1210()13⨯-+--⨯-+. 综上，π2sin 2.410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 10．【2019·浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________． 【答案】1225，7210【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BDADB BAC=∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=, 225AC =AB +BC =，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以1225BD =. ππ72cos cos()cos cos sin sin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【2018年】1．【2018·全国Ⅲ卷】若1sin 3α=，则cos2α=A ．89B ．79 C ．79-D ．89-【答案】B【解析】2217cos 212sin 12()39αα=-=-⨯=.故选B. 2．【2018·全国卷II 】若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是 A ．π4 B ．π2C ．3π4D ．π【答案】A【解析】因为()πcos sin 4f x x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，所以由π02ππ2π()4k x k k +≤+≤+∈Z 得π3π2π2π()44k x k k -+≤≤+∈Z ， 因此[]π3ππ3ππ,,,,,,044444a a a a a a a ⎡⎤-⊂-∴-<-≥-≤∴<≤⎢⎥⎣⎦，从而a 的最大值为π4，故选A.3．【2018·天津】将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间35[,]44ππ上单调递增 B ．在区间3[,]4ππ上单调递减 C ．在区间53[,]42ππ上单调递增 D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减 【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将πsin 25y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π10个单位长度之后的解析式为ππsin 2sin2105y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 则函数的单调递增区间满足()ππ2π22π22k x k k -≤≤+∈Z ，即()ππππ44k x k k -≤≤+∈Z ， 令1k =可得一个单调递增区间为3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 函数的单调递减区间满足：()π3π2π22π22k x k k +≤≤+∈Z ，即()π3πππ44k x k k +≤≤+∈Z ， 令1k =可得一个单调递减区间为：5π7π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选A.4．【2018·浙江卷】函数y =2xsin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】令()2sin2xf x x =，因为()()(),2sin22sin2xxx f x x x f x -∈-=-=-=-R ，所以()2sin2xf x x =为奇函数，排除选项A ，B ；因为π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x <，所以排除选项C ，故选D. 5．【2018·全国Ⅱ】在ABC △中，5cos2C =1BC =，5AC =，则AB = A ．42B 30CD ．【答案】A【解析】因为223cos 2cos 121,255C C ⎛=-=⨯-=- ⎝⎭所以22232cos 125215325AB BC AC BC AC C AB ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-== ⎪⎝⎭，则，故选A.6．【2018·全国Ⅲ】ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =A ．π2B ．π3 C ．π4D ．π6【答案】C【解析】由题可知2221sin 24ABCa b c S ab C +-==△，所以2222sinC a b c ab +-=， 由余弦定理2222cos a b c ab C +-=，得sin cos C C =，因为()0,πC ∈，所以π4C =，故选C.7．【2018·浙江卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =b =2，A =60°，则sinB =___________，c =___________．【答案】7，3【解析】由正弦定理得sinsin a A b B =，所以πsin sin 37B == 由余弦定理得22222cos ,742,3a b c bc A c c c =+-∴=+-∴=（负值舍去）.8．【2018·全国Ⅰ】已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．【答案】2-【解析】()()212cos 2cos 24cos 2cos 24cos 1cos 2f x x x x x x x ⎛⎫'=+=+-=+-⎪⎝⎭， 所以当1cos 2x <时函数单调递减，当1cos 2x >时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为()5ππ2π,2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ，函数的递增区间为()ππ2π,2π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，所以当π2π,3x k k =-∈Z 时，函数()f x 取得最小值，此时sin 22x x =-=-，所以()min2f x ⎛=⨯= ⎝⎭2-. 9．【2018·北京卷】设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________． 【答案】23【解析】因为()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，所以π4f ⎛⎫⎪⎝⎭取最大值， 所以()()ππ22π 8463k k k k -=∈∴=+∈Z Z ，ωω， 因为0>ω，所以当0k =时，ω取最小值为23.10．【2018·全国Ⅲ】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．【答案】3【解析】0πx ≤≤，ππ19π3666x ∴≤+≤，由题可知πππ3π336262x x +=+=，，或π5π362x +=，解得π4π,99x =，或7π9，故有3个零点. 11．【2018·江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________． 【答案】π6-【解析】由题意可得2sin π13⎛⎫+=± ⎪⎝⎭ϕ，所以2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，因为ππ22-<<ϕ，所以π0,.6k ==-ϕ 【2017年】1．【2017·全国Ⅰ】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 【答案】D【解析】因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则22π2πππ:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x =+=+-=+，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为cos 2y x =，再将曲线向左平移π12个单位长度得到2C ，故选D.2．【2017·全国Ⅲ】设函数()π(3cos )f x x =+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图象关于直线8π3x =对称 C ．(π)f x +的一个零点为π6x =D ．()f x 在(π2，π)单调递减 【答案】D【解析】函数()f x 的最小正周期为2π2π1T ==，则函数()f x 的周期为()2πT k k =∈Z ，取1k =-，可得函数()f x 的一个周期为2π-，选项A 正确； 函数()f x 图象的对称轴为()ππ3x k k +=∈Z ，即()ππ3x k k =-∈Z ，取3k =，可得y =f (x )的图象关于直线8π3x =对称，选项B 正确； ()πππcos πcos 33f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数()f x 的零点满足()πππ32x k k +=+∈Z ，即()ππ6x k k =+∈Z ，取0k =，可得(π)f x +的一个零点为π6x =，选项C 正确； 当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，π5π4π,363x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数()f x 在该区间内不单调，选项D 错误.故选D.3．【2017·天津卷】设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 A ．23ω=，12ϕπ= B ．23ω=，12ϕ11π=- C ．13ω=，24ϕ11π=-D ．13ω=，24ϕ7π= 【答案】A【解析】由题意得125282118k k ωϕωϕππ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ωπ=>π，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π， 由ϕ<π得12ϕπ=，故选A ． 4．【2017·山东卷】在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是 A ．2a b = B ．2b a = C ．2A B = D ．2B A =【答案】A【解析】由题意知sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+， 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=， 故选A.5．【2017·浙江卷】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．【答案】24【解析】取BC 中点E ，由题意：AE BC ⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，∴1cos ,sin 4DBC DBC ∠=-∠==，∴1sin 2BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠=△． ∵2ABC BDC ∠=∠，∴21cos cos 22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=，解得cos BDC ∠=或cos BDC ∠=（舍去）．综上可得，△BCD ，cos BDC ∠=．6．【2017·全国Ⅱ】函数()23sin 4f x x x =-(π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)的最大值是 . 【答案】1【解析】化简三角函数的解析式：()222311cos cos cos 144f x x x x x x ⎛=-+-=-++=-+ ⎝⎭， 由自变量的范围：π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得：[]cos 0,1x ∈，当cos x =时，函数()f x 取得最大值1. 7．【2017·北京卷】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________. 【答案】79-【解析】因为α和β关于y 轴对称，所以π2π,k k αβ+=+∈Z ，那么1sin sin 3βα==，cos cos αβ=-=cos cos βα=-=）， 所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-. 8．【2018·全国Ⅱ】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________． 【答案】12-【解析】因为sin cos 1+=αβ，cos sin 0+=αβ，所以()()221sin cos 1,-+-=αα 所以11sin ,cos 22==αβ， 因此()22111111sin sin cos cos sin cos 1sin 1.224442+=+=⨯-=-+=-+=-αβαβαβαα9．【2017·江苏卷】若π1tan(),46α-=则tan α= ▲ ．【答案】75【解析】11tan()tan7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ααααππ+-+ππ=-+===ππ---．故答案为75． 【2016年】1. 【2016高考新课标1卷】已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为( )（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B【解析】 因为π4x =-为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，所以ππ()444T kT --=+，即π41412π244k k T ω++==⋅，所以*41()k k ω=+∈N ，又因为()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，所以5πππ2π36181222T ω-=≤=，即12ω≤，则ω的最大值为9.故选B.2.【2016年高考四川理数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D【解析】由题意，为了得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-，只需把函数sin 2y x =的图像上所有点向右移6π个单位，故选D. 3.【2016高考新课标3理数】在ABC △中，π4B ，BC 边上的高等于13BC ,则cos A （ ）（A ）31010 （B ）1010 （C ）1010 （D ）31010【答案】C【解析】设BC 边上的高为AD ，则3BC AD =，所以225AC AD DC AD =+=，2AB AD =．由余弦定理，知22222225910cos 210225AB AC BC AD AD AD A AB AC AD AD +-+-===-⋅⨯⨯，故选C ． 4.【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725-【答案】D【解析】2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.5.【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） （A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈（C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈ 【答案】B【解析】由题意，将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+，则平移后函数的对称轴为2,62x k k Z πππ+=+∈，即,62k x k Z ππ=+∈，故选B. 6.【2016高考新课标3理数】若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】 由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．7.【2016高考浙江理数】设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ） A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 【答案】B 【解析】21cos 2cos 21()sin sin sin sin 222-=++=++=-+++x x f x x b x c b x c b x c ，其中当0=b 时，cos 21()22=-++x f x c ，此时周期是π；当0≠b 时，周期为2π，而c 不影响周期．故选B ．8.【2016年高考北京理数】将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >）个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）A.12t =，s 的最小值为6πB.2t = ，s 的最小值为6πC.12t =，s 的最小值为3πD.2t =，s 的最小值为3π【答案】A【解析】由题意得，ππ1sin(2)432t =⨯-=，当s 最小时，'P 所对应的点为π1(,)122，此时min πππ4126s ==-，故选A. 9.【2016年高考四川理数】22cossin 88ππ-= . 【答案】22【解析】由二倍角公式得22cossin 88ππ-=2cos.42=π10.【2016高考新课标2理数】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ． 【答案】2113【解析】因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形的内角，所以312sin ,sin 513A C ==，63sin sin[π()]sin()sin cos cos sin 65B AC A C A C A C =-+=+=+=，又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13a B b A ==.11.【2016高考浙江理数】已知2cos 2x +sin 2x =Asin(ωx +φ)+b (A >0)，则A =______，b =________．2 1【解析】22cos sin 22)14x x x π+++，所以2, 1.A b ==12.【2016高考新课标3理数】函数sin 3y x x =的图像可由函数sin 3y x x =的图像至少向右平移_____________个单位长度得到． 【答案】32π【解析】因为sin 32sin()3y x x x π=+=+，sin 32sin()3y x x x π==-＝2sin[()]33x π2π+-，所以函数sin 3y x x =-的图像可由函数sin 3y x x =+的图像至少向右平移32π个单位长度得到．13.【2016高考山东理数】函数f （x ）=x +cos x ）cos x –sin x ）的最小正周期是（ ） （A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π【答案】B【解析】()2sin 2cos 2sin 2663f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故最小正周期22T ππ==,故选B.14.【2016高考天津理数】在△ABC 中，若AB ,BC=3，120C ∠= ,则AC = （ ） （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4【答案】A【解析】由余弦定理得213931AC AC AC =++⇒=,选A.15.【2016高考江苏卷】定义在区间[0,3]π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是 ▲ . 【答案】7【解析】由1sin 2cos cos 0sin 2x x x x =⇒==或，因为[0,3]x π∈，所以3551317,,,,,,,2226666x πππππππ=共7个 16.【2016高考江苏卷】在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是 ▲ . 【答案】8.【解析】sin sin()2sin sin tan tan 2tan tan A B+C B C B C B C ==⇒+=，又tan tan tan tan tan 1B+CA=B C -，因此tan tan tan tan tan tan tan 2tan tan tan tan tan 8,A B C A B C A B C A B C =++=+≥≥即最小值为8.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
2
象如图所示,则, 的值分别是( )
(A) 2, 3
(B) 2, 6
(C) 4, 6
(D) 4, 3
9 ．（20XX 年上海市春季高考数学试卷(含答案)）既是偶函数又在区间 (0， ) 上单调递减的
函数是( )
(A) y sin x (B) y cos x (C) y sin 2x (D) y cos 2x
3
2．（20XX 年高考新课标 1（理））设当 x 时,函数 f (x) sin x 2 cos x 取得最大值,则 cos ______ 3．（20XX 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版））如图 ABC 中, 已 知 点 D 在 BC 边 上 ,AD AC, sin BAC 2 2 , AB 3 2, AD 3 则 BD 的 长 为
a、b、c ,若 a 5，b 8，B 60 ,则 b= _______
11．（20XX 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 WORD 版））设 ABC 的内 角 A, B,C 所对边的长分别为 a,b, c .若 b c 2a ,则 3sin A 5sin B, 则角 C _____.
(A) 10 10
(B) 10 5
(C) 3 10 (D) 5
10
5
4 ．（ 20XX 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 山 东 数 学 （ 理 ） 试 题 （ 含 答 案 ）） 将 函 数
y sin(2x ) 的图象沿 x 轴向左平移 个单位后,得到一个偶函数的图象,则 的一个可 8
是第三象限角, sin a 1 ,则 cot a ____________. 3
9．（20XX 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯 WORD 版含附加
题））函数 y 3sin(2x ) 的最小正周期为___________. 4
10．（20XX 年上海市春季高考数学试卷(含答案)）在 ABC 中,角 A、B、C 所对边长分别为
12．（20XX 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯 WORD 版含答案））设 为 第二象限角,若 tan( ) 1 ,则 sin cos ________.
3
_______________
4．（20XX 年上海市春季高考数学试卷 (含答案)）函数 y 2 sin x 的最小正周期是
_____________
5．（20XX 年高考四川卷（理））设 sin 2 sin , ( , ) ,则 tan 2 的值是_________. 2
6．（20XX 年高考上海卷（理））若 cos x cos y sin x sin y 1 ,sin 2x sin 2 y 2 ,则
A.
B.
C.
D.
12
6
4
3
12．（20XX 年高考湖北卷（理））将函数 y 3 cos x sin x x R 的图像向左平移
m m 0 个长度单位后,所得到的图像关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( )
A. 12
B. 6
二、填空题
C. 3
D. 5 6
1．（20XX 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题） ABC 中, C 900 , M 是 BC 的中点,若 sin BAM 1 ,则 sin BAC ________.
20XX 年高考理科数学试题分类汇编：三角函数（附答案）
一、选择题 1 ．（20XX 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版））已知
R,sin 2 cos 10 ,则 tan 2 2
A. 4
B. 3
C. 3
D. 4
3
4
4
3
2 ．（20XX 年高考陕西卷（理））设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若
能取值为
3 (A) 4
(B) 4
(C)0
(D) 4
5 ．（20XX 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））在 ABC ,内角
A, B,C 所对的边长分别为 a,b, c. a sin B cos C c sin B cos A 1 b, 且 a b ,则 B 2
A.
b cosC c cos B a sin A , 则△ABC 的形状为
(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定
3 ．（20XX 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））在△ABC 中,
ABC , AB 2, BC 3, 则 sinBAC = 4
2
(C) f x 的最大值为 3
2
(D) f x 既奇函数,又是周期函数
7 ．（ 20XX 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 山 东 数 学 （ 理 ） 试 题 （ 含 答 案 ）） 函 数
y x cos x sin x 的图象大致为
8 ．（20XX 年高考四川卷（理））函数 f (x) 2sin(x ), ( 0, ) 的部分图
2
3
sin(x y) ________
7．（20XX 年高考上海卷（理））已知△ABC 的内角 A、B、C 所对应边分别为 a、b、c,若
3a2 2ab 3b2 3c2 0 ,则角 C 的大小是_______________(结果用反三角函数值表示)
8．（20XX 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知
10．（20XX 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））4 cos 500 tan 400
()
A. 2
B. 2ห้องสมุดไป่ตู้ 3 2
C. 3
D. 2 2 1
11．（20XX 年高考湖南卷（理））在锐角中 ABC ,角 A, B 所对的边长分别为 a, b .若
2a sin B 3b,则角A等于
B.
6
3
C. 2 3
D. 5 6
6 ．（20XX 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知
函数 f x = cos x sin 2x ,下列结论中错误的是
(A) y f x 的图像关于 , 0 中心对称 (B) y f x 的图像关于直线 x 对称