2020年全国高考理科数学试题分类汇编5：平面向量

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2020年高考数学试题分项版—平面向量(解析版)

2020年高考数学试题分项版——平面向量（解析版）一、选择题1．(2020·全国Ⅲ理，6)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉等于( )A ．－3135B ．－1935 C.1735 D.1935答案 D解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝25－12＋36＝49， ∴|a ＋b |＝7，∴cos 〈a ，a ＋b 〉＝a ·(a ＋b )|a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935. 2．(2020·新高考全国Ⅰ，7)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →·AB →的取值范围是( )A ．(－2,6)B ．(－6,2)C ．(－2,4)D ．(－4,6) 答案 A解析如图，取A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (3，3)，F (－1，3)．设P (x ，y )，则AP →＝(x ，y )，AB →＝(2,0)，且－1<x <3. 所以AP →·AB →＝(x ，y )·(2,0)＝2x ∈(－2,6)．3．(2020·新高考全国Ⅱ，3)若D 为△ABC 的边AB 的中点，则CB →等于( ) A ．2CD →－CA → B ．2CA →－CD → C ．2CD →＋CA → D ．2CA →＋CD →答案 A解析如图所示，∵D 为△ABC 的边AB 的中点， ∴CA →＋CB →＝2CD →， ∴CB →＝2CD →－CA →.4．(2020·全国Ⅱ文，5)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是( )A ．a ＋2bB ．2a ＋bC ．a －2bD ．2a －b 答案 D解析由题意得|a |＝|b |＝1，设a ，b 的夹角为θ＝60°，故a ·b ＝|a ||b |cos θ＝12.对A 项，(a ＋2b )·b ＝a ·b ＋2b 2＝12＋2＝52≠0；对B 项，(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2＝2×12＋1＝2≠0；对C 项，(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝12－2＝－32≠0；对D 项，(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2×12－1＝0.5．(2020·全国Ⅲ文，6)在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若AC →·BC →＝1，则点C 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线答案 A解析建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，设点A ，B 的坐标分别为(－a,0)，(a,0)，点C 为(x ，y )，则AC →＝(x ＋a ，y )，BC →＝(x －a ，y )，所以AC →·BC →＝(x －a )(x ＋a )＋y ·y ＝x 2＋y 2－a 2＝1，整理得x 2＋y 2＝a 2＋1. 因此点C 的轨迹为圆．二、填空题1．(2020·全国Ⅰ理，14)设a ，b 为单位向量，且|a ＋b |＝1，则|a －b |＝________. 答案3解析将|a ＋b |＝1两边平方，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝1. ∵a 2＝b 2＝1，∴1＋2a ·b ＋1＝1，即2a ·b ＝－1. ∴|a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝1－(－1)＋1＝ 3.2．(2020·全国Ⅱ理，13)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________. 答案22解析由题意知(k a －b )·a ＝0，即k a 2－b ·a ＝0. 因为a ，b 为单位向量，且夹角为45°，所以k ×12－1×1×22＝0，解得k ＝22. 3．(2020·北京，13)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →＝12(AB →＋AC →)，则|PD →|＝________；PB →·PD →＝________. 答案5 －1解析建立如图所示的平面直角坐标系，∵AP →＝12(AB →＋AC →)，∴P 为BC 的中点．∴点P 的坐标为(2,1)，点D 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(2,0)， ∴|PD →|＝5，PB →＝(0，－1)，PD →＝(－2,1)， ∴PB →·PD →＝－1.4.(2020·天津，15)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为________．答案 16 132解析因为AD →＝λBC →，所以AD ∥BC ，则∠BAD ＝120°，所以AD →·AB →＝|AD →|·|AB →|·cos 120°＝－32，解得|AD →|＝1.因为AD →，BC →同向，且BC ＝6，所以AD →＝16BC →，即λ＝16.在四边形ABCD 中，作AO ⊥BC 于点O ，则BO ＝AB ·cos 60°＝32，AO ＝AB ·sin 60°＝332.以O 为坐标原点，以BC 和AO 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系．如图，设M (a,0)，不妨设点N 在点M 右侧，则N (a ＋1,0)，且－32≤a ≤72.又D ⎝⎛⎭⎫1，332，所以DM →＝⎝⎛⎭⎫a －1，－332，DN →＝⎝⎛⎭⎫a ，－332，所以DM →·DN →＝a 2－a ＋274＝⎝⎛⎭⎫a －122＋132. 所以当a ＝12时，DM →·DN →取得最小值132.5.(2020·江苏，13)在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，∠BAC ＝90°，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP ＝9，若P A →＝mPB →＋⎝⎛⎭⎫32－m PC →(m 为常数)，则CD 的长度是________．答案185或0解析方法一 ∵AB ＝4，AC ＝3，∠BAC ＝90°， ∴BC ＝5.由向量系数m ＋⎝⎛⎭⎫32－m ＝32为常数，结合等和线定理可知|P A →||PD →|＝321. 故PD ＝23P A ＝6，AD ＝P A －PD ＝3＝AC ，当D 与C 重合时，CD ＝0；当D 与C 不重合时，得∠ACD ＝∠ADC ， ∴∠CAD ＝π－2∠ACD .在△ABC 中，cos ∠ACB ＝AC BC ＝35.在△ADC 中，由正弦定理得CD sin ∠CAD ＝ADsin ∠ACD，∴CD ＝sin (π－2∠ACD )sin ∠ACD ·AD ＝sin 2∠ACDsin ∠ACD ·AD＝2cos ∠ACD ·AD ＝2×35×3＝185.综上，CD ＝185或0.方法二如图，以点A 为坐标原点，AB ，AC 所在的直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则C (0,3)，B (4,0)，AC →＝(0,3)，CB →＝(4，－3)．∵P A →＝mPB →＋⎝⎛⎭⎫32－m PC →＝32PC →＋m (PB →－PC →)＝32(P A →＋AC →)＋mCB →＝32P A →＋32AC →＋mCB →， ∴－12P A →＝32(0,3)＋m (4，－3)＝⎝⎛⎭⎫4m ，92－3m ， ∴P A →＝(－8m,6m －9)．∵|P A →|＝9，∴64m 2＋(6m －9)2＝81， ∴m ＝2725或m ＝0，当m ＝2725时，P A →＝⎝⎛⎭⎫－21625，－6325， ∴P ⎝⎛⎭⎫21625，6325，∴k P A ＝63216＝724.由⎩⎨⎧y ＝724x ，x 4＋y3＝1，解得⎩⎨⎧x ＝7225，y ＝2125，∴D ⎝⎛⎭⎫7225，2125， ∴CD ＝⎝⎛⎭⎫0－72252＋⎝⎛⎭⎫3－21252＝8 100252＝9025＝185. 当m ＝0时，P A →＝(0，－9)， ∴P (0,9)，此时C 与D 重合，CD ＝0. 综上，CD ＝185或0.6．(2020·浙江，17)已知平面单位向量e 1，e 2满足|2e 1－e 2|≤2，设a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1＋e 2，向量a ，b 的夹角为θ，则cos 2θ的最小值是________．答案2829解析设e 1＝(1,0)，e 2＝(x ，y )，则a ＝(x ＋1，y )，b ＝(x ＋3，y )．由2e 1－e 2＝(2－x ，－y )，故|2e 1－e 2|＝(2－x )2＋y 2≤2，得(x －2)2＋y 2≤2.又有x 2＋y 2＝1，得(x －2)2＋1－x 2≤2，化简，得4x ≥3，即x ≥34，因此34≤x ≤1.cos 2θ＝⎝⎛⎭⎫a ·b |a |·|b |2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x ＋1)(x ＋3)＋y 2(x ＋1)2＋y 2(x ＋3)2＋y 22 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋42x ＋26x ＋102＝4(x ＋1)2(x ＋1)(3x ＋5) ＝4(x ＋1)3x ＋5＝43(3x ＋5)－833x ＋5 ＝43－833x ＋5，当x ＝34时，cos 2θ有最小值，为4⎝⎛⎭⎫34＋13×34＋5＝2829.7．(2020·全国Ⅰ文，14)设向量a ＝(1，－1)，b ＝(m ＋1,2m －4)，若a ⊥b ，则m ＝________. 答案 5解析 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0.又a ＝(1，－1)，b ＝(m ＋1,2m －4)，∴1×(m ＋1)＋(－1)×(2m －4)＝0，解得m ＝5.。

2020年高考数学(理)总复习：平面向量(解析版)

在 △ ABC 中， AC＝ 1，∠ ABC＝ 60°.
根据圆的性质：同弧所对的圆周角相等．
作 △ ABC 的外接圆，当 BC 为圆的直径时， |a|最大，
8
此时 |a|＝BC ＝ 1 ＝2 3 ； sin 60 ° 3
当 B， C 无限接近时， |a|＝ BC→0.
故 |a|的取值范围是
23 0,
3
A．9
B．3
C. 109
D． 3 10
【解析】向量 a＝ (2，－ 4)， b＝ (－ 3， x)， c＝ (1，－ 1)，∴ 2a＋b＝ (1， x－ 8)，
由 (2a＋ b)⊥ c，可得 1＋8－ x＝ 0，解得 x＝9.则 |b|＝－ 3 2＋ 92＝ 3 10.故选 D.
【答案】 B
如图，设 M (－ 1， 3)，则 O→A＋ O→B＝O→M ，取 N(1，－ 3)，
∴ O→M＝－ O→N.由 |C→D |＝ 1，可知点 D 在以 C 为圆心，半径 r ＝ 1 的圆上， ∴ O→A＋ O→B＋O→D ＝ O→D －O→N＝ N→D ，
∴ |O→A＋
O→B＋
O→D
|＝
→ |ND
|，∴
D． [ 7－ 1， 7＋ 1]
【解析】法一：设出点 D 的坐标，利用向量的坐标运算公式及向量模的运算公式求
7
解．
设 D(x， y)，则由 |C→D |＝1， C(3,0)，得 (x－ 3)2＋ y2＝ 1.
又∵ O→A＋ O→B＋ O→D ＝ (x－ 1，y＋ 3) ，
∴ |O→A＋ O→B＋ O→D |＝ x－ 1 2＋ y＋ 3 2.
B．2 3
C．2
D．－ 3
( ) 【解析】

2020年全国高考数学试题分类汇编4-平面向量-含详细答案

2020年全国高考数学试题分类汇编平面向量一、选择题1. 设a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(1,1)，且a ⃗ 与a ⃗ +λb⃗ 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( ) A. (−53,0)∪(0,+∞) B. (−53,+∞) C. [−53,0)∪(0,+∞)D. (−53,0)2. △ABC 中A(2,1)，B(0,4)，C(5,6)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 103. 已知M(3,−2)，N(−5,−1)，且MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则P 点的坐标为( ) A. (−8,1)B. (−1,−32)C. (1,32)D. (8,−1)4. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=√5，b ⃗ =(2,4)，则“a ⃗ =(−1,−2)”是“a ⃗ //b ⃗ ”成立的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 过抛物线y 2=2x 的焦点且与x 轴垂直的直线与抛物线交于M 、N 两点，O 为坐标原点，则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 34B. 14C. −14D. −346. 在以AB 为边，AC 为对角线的矩形中，AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1), AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,k)，则实数k =( ) A. −6 B. 4 C. 2D. 237. △ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ +b ⃗ ，则下列结论正确的是( )A. |b ⃗ |=1B. a ⃗ ⊥b ⃗C. a ⃗ ⋅b⃗ =1 D. (4a ⃗ +b⃗ )⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 8. 已知向量a ⃗ =(1,m)，b ⃗ =(3,−2)，且(a ⃗ +b ⃗ )⊥b ⃗ ，则m =( )A. −8B. −6C. 6D. 89. 设a ⃗ ，b ⃗ 是向量，则“|a ⃗ |=|b ⃗ |”是“|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 若|a ⃗ |=1,|b ⃗ |=2,c ⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，且c ⃗ ⊥a ⃗ ，则向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°11. 在平面直角坐标系中，已知两点A(cos80°,sin80°)，B(cos20°,sin20°)，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的值是( )A. 12B. √22 C. √32D. 112. 在平行四边形ABCD 中，AB//CD ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −3 B. 2 C. 3 D. 413. 设四边形ABCD 为平行四边形，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，若点M 、N 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 20 B. 15 C. 9 D. 614. 设m⃗⃗⃗ ，n ⃗ 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ ”是“m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ <0”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件15. 设点A,B,C 不共线，则“ AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是锐角”是“ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件16. 已知向量a ⃗ =(2,4)，b ⃗ =(−1,1)，则2a ⃗ −b ⃗ =( )A. (5,7)B. (5,9)C. (3,7)D. (3,9)17. 如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 2√3B. √32 C. √33D. √318. 设a ⃗ ，b ⃗ 是非零向量，“a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |”是“a ⃗ //b ⃗ ”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件19. 设a ⃗ ，b ⃗ 均为单位向量，则“”是“a ⃗ ⊥b ⃗ ”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件二、填空题20. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60°，且a ⃗ =(−2,−6)，|b ⃗ |=√10，则a ⃗ ·b ⃗ =______． 21. 已知向量a ⃗ =(−4,3)，b ⃗ =(6,m)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则m =______． 22. 设向量a ⃗ =(1,−1)，b ⃗ =(m +1,2m −4)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则m =______． 23. 已知单位向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为45°，k a ⃗ −b⃗ 与a ⃗ 垂直，则k =______． 24. 已知平面向量a ⃗ ，b ⃗ ，|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，a ⃗ ⋅b ⃗ =1，则向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为______． 25. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120°，|a ⃗ |=3，|a ⃗ +b ⃗ |=√13，则|b ⃗ |=________．26. 已知向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(1,−2)，若m a ⃗ +n b ⃗ =(9,−8)(m,n ∈R)，则m −n 的值为______． 27. 设向量a ⃗ =(1,0)，b ⃗ =(−1,m).若a ⃗ ⊥(m a ⃗ −b ⃗ )，则m =______． 28. 设向量a ⃗ ，b ⃗ 不平行，向量λa ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ +2b ⃗ 平行，则实数λ=________． 29. 已知向量a ⃗ =(1,√3)，b ⃗ =(√3,1)，则a ⃗ 与b ⃗ 夹角的大小为______．30. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=1，b ⃗ =(2,1)，且λa ⃗ +b ⃗ =0⃗ (λ∈R)，则|λ|= ______ ． 31. 若P(x,y)满足约束条件{x −y ≥0x +y −2≤0y ≥0，设A(3,−4)，则OP⃗⃗⃗⃗⃗ 在OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上投影的最小值为______． 32. 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 33. 已知实数x 1、x 2、y 1、y 2满足：x 12+y 12=1，x 22+y 22=1，x 1x 2+y 1y 2=12，则11√2+22√2的最大值为______．34. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120°，且|a ⃗ |=|b ⃗ |=4，那么b ⃗ ⋅(2a ⃗ +b ⃗ )的值为______．35. 平面向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(4,2)，c ⃗ =m a ⃗ +b ⃗ (m ∈R)，且c ⃗ 与a ⃗ 的夹角等于c ⃗ 与b ⃗ 的夹角，则m =______．三、解答题36. 已知平面向量a ⃗ =(1,x)，b ⃗ =(2x +3,−x)(x ∈R)．(1)若a ⃗ ⊥b ⃗ ，求x 的值；(2)若a ⃗ //b⃗ ，求|a ⃗ −b ⃗ |．37. 已知点M(−2,0)，N(2,0)，动点P 满足条件|PM|−|PN|=2√2.记动点P 的轨迹为W ．(Ⅰ)求W 的方程；(Ⅱ)若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值．38. 已知抛物线C ：y 2=2px 经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． (Ⅰ)求直线l 的斜率的取值范围；(Ⅱ)设O 为原点，QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：1λ+1μ为定值．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查向量数量积的坐标表示，考查向量的夹角问题，属于简单题．由题意，a ⃗ 与(a ⃗ +λb ⃗ )的数量积大于0，且排除同向的情况即可得．【解答】解：由已知得a ⃗ ·(a ⃗ +λb ⃗ )>0且去掉a ⃗ 与(a ⃗ +λb ⃗ )方向相同的情况， a ⃗ +λb ⃗ =(1+λ,2+λ)，a ⃗ ·(a ⃗ +λb ⃗ )=1+λ+2(2+λ)=3λ+5>0，解出λ>−53，当a ⃗ 与(a ⃗ +λb ⃗ )方向相同时λ=0，所以λ>−53且λ≠0，故选A ．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了平面向量的坐标表示与数量积运算问题，是基础题目．根据平面向量的坐标表示与数量积运算，计算即可．【解答】解：△ABC 中，A(2,1)，B(0,4)，C(5,6)， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,5)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2×3+3×5=9．故选C ．3.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查两个向量的加减法法则的应用，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．设点P 的坐标为(x,y)，则由MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可得(x −3,y +2)=12(−8,1)，解方程求得x 、y 的值，即可求得点P 的坐标．【解答】解：设点P 的坐标为(x,y)，则由 MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可得(x −3,y +2)=12(−8,1)=(−4,12)， ∴x −3=−4，y +2=12．解得x =−1，y =−32， ∴点P 的坐标为(−1,−32)，故选B ．4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，属于基础题．通过向量共线的充要条件利用充分必要条件的定义求解．【解答】解：由a ⃗ =(−1,−2)，则b ⃗ =−2a ⃗ ，显然a ⃗ //b ⃗ 成立，故充分性具备．反之，若a ⃗ //b ⃗ ，则b ⃗ =λa ⃗ ，设a ⃗ =(x,y)，则必有{2=λx,4=λy,所以y =2x ，① 又x 2+y 2=5，② 由①②得{x =1,y =2或{x =−1,y =−2.则a⃗ =(1,2)或a ⃗ =(−1,−2)，故必要性不具备．因而是充分不必要条件．故选A ．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了抛物线的性质以及平面向量数量积的运算，属于基础题．先求出抛物线的焦点坐标，从而得出垂直x 轴的直线方程，将直线方程代入y 2=2x 求得y 的值，即可求出OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．【解答】解：y 2=2x 的焦点坐标是(12,0)，则过焦点且垂直x 轴的直线是x =12，代入y 2=2x 得y =±1，所以不妨设M(12,1)，N(12,−1)故OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,1)·(12,−1)=14−1=−34．故选D ．6.【答案】B【解析】解：BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,k −1)；据题意知，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3+k −1=0； ∴k =4．故选：B ．可得出BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,k −1)，而根据题意可知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而得出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，进行数量积的坐标运算即可求出k ．考查向量垂直的充要条件，向量数量积和减法的坐标运算，以及向量减法的几何意义．7.【答案】D【解析】解：因为已知三角形ABC 的等边三角形，a ⃗ ，b ⃗ 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ +b ⃗ ，又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴b ⃗ 的方向应该为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向．所以a ⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以|b ⃗ |=2，a ⃗ ⋅b ⃗ =1×2×cos120°=−1，4a ⃗ ⋅b ⃗ =4×1×2×cos120°=−4，b ⃗ 2=4，所以4a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=0，即(4a⃗ +b ⃗ )⋅b ⃗ =0，即(4a ⃗ +b ⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以(4a ⃗ +b ⃗ )⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；故选：D ．由题意，知道a ⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据已知三角形为等边三角形解之．本题考查了向量的数量积公式的运用及向量的模；注意：三角形的内角与向量的夹角的关系．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查了向量垂直的充要条件，向量的坐标运算，属于基础题．求出向量a⃗+b⃗ 的坐标，根据向量垂直的充要条件，得到关于m的方程，求解即可．【解答】解：∵向量a⃗=(1,m)，b⃗ =(3,−2)，∴a⃗+b⃗ =(4,m−2)，又∵(a⃗+b⃗ )⊥b⃗ ，∴(a⃗+b⃗ )·b⃗ =12−2(m−2)=0，解得m=8．故选D．9.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查的知识点是充分条件，必要条件的判断，涉及向量的数量积与模的概念，属于基础题．根据|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |⇔a⃗·b⃗ =0，从而可以判断“|a⃗|=|b⃗ |”是“|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |”的既不充分也不必要条件．【解答】解：因为|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，所以|a⃗+b⃗ |2=|a⃗−b⃗ |2，则a⃗2+b⃗ 2+2a⃗·b⃗ =a⃗2+b⃗ 2−2a⃗·b⃗ ，即a⃗·b⃗ =0，由|a⃗|=|b⃗ |⇏a⃗·b⃗ =0，a⃗·b⃗ =0⇏|a⃗|=|b⃗ |，故“|a⃗|=|b⃗ |”是“|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |”的既不充分也不必要条件．故选D．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查向量的夹角，向量垂直的条件，是基础题．根据两个向量垂直，数量积为零，把式子变化出现只含向量夹角余弦的方程，解出夹角的余弦值，根据角的范围，得到结果．【解答】解：若|a ⃗ |=1,|b ⃗ |=2,c ⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，设向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ， ∵c ⃗ ⊥a ⃗ ，c ⃗ =a ⃗ +b ⃗ ， ∴(a ⃗ +b ⃗ )⋅a ⃗ =0，则|a ⃗ |2+|a ⃗ |⋅|b ⃗ |cosθ=0， ∴cosθ=−|a ⃗ |2|a ⃗ ||b⃗ |=−12，又0°≤θ≤180°，∴θ=120°．故选C ．11.【答案】D【解析】【分析】本题考查了向量模的坐标运算，即把点的坐标代入，利用两角和与差的余弦公式进行化简求值．属于基础题．根据向量模的坐标表示，把已知两个点的坐标代入，利用两角和与差的余弦公式进行化简，进而求出向量模．【解答】解：∵A(cos80°,sin80°)，B(cos20°,sin20°)，=√2−2cos600=1．故选D ．12.【答案】C【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积的运算，向量加减的坐标运算，考查计算能力，属基础题．利用已知条件表示所求数量积的两个向量，然后利用数量积的运算法则求解即可．【解答】在平行四边形ABCD 中，AB//CD ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−1)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−3)，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4×0+(−1)(−3)=3．故选：C ．13.【答案】C【解析】【分析】本题考查了平面向量的运算，数量积的运用，考查了数形结合的思想，关键是向量的分解，表示．根据图形得出AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合向量的数量积求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，点M 、N 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴根据图形可得：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，又AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +916AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2， AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−316AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=12−3=9 故选：C ．14.【答案】A【解析】【分析】本题考查了向量的数量积、必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 为非零向量，存在负数λ，使得m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ ，则向量m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 共线且方向相反，可得m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ <0.而非零向量m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 的夹角为钝角，满足m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ <0，但m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ 不成立．则答案可得．【解答】解：m⃗⃗⃗ ，n ⃗ 为非零向量，存在负数λ，使得m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ ，则向量m⃗⃗⃗ ，n ⃗ 共线且方向相反，可得m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ <0．反之不成立，非零向量m⃗⃗⃗ ，n ⃗ 的夹角为钝角，满足m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ <0，而m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ 不成立． ∴m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ ”是m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ <0”的充分不必要条件．故选A ．15.【答案】C【解析】【分析】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．“AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”⇒“|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |”，“|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |”⇒“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”，由此能求出结果．【解答】解：点A ，B ，C 不共线，若“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ >0， |AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，∴“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”⇒“|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |”，若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2>|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，化简得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >0，即AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角， ∴“|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |”⇒“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”， ∴设点A ，B ，C 不共线，则“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”是“|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |”的充分必要条件．故选C ．16.【答案】A【解析】解：由a ⃗ =(2,4)，b ⃗ =(−1,1)，得： 2a ⃗ −b ⃗ =2(2,4)−(−1,1)=(4,8)−(−1,1)=(5,7)．故选：A ．直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案．本题考查平面向量的数乘及坐标减法运算，是基础的计算题．17.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查平面向量的数量积以及向量加法法则的运用，属于中档题．由向量的加法结合AD ⊥AB 可得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由此可求解．【解答】解：由题意可得，AD ⊥AB ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=√3，故选D ．18.【答案】A【解析】【分析】考查充分条件，必要条件，及充分不必要条件的概念，以及判断方法与过程，数量积的计算公式，向量共线的定义，向量夹角的定义，属于中档题．由a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |便可得到a ⃗ ,b ⃗ 夹角为0，从而得到a ⃗ //b ⃗ ，而a ⃗ //b ⃗ 并不能得到a ⃗ 夹角为0，从而得不到a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |，这样根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项．【解答】解：(1)a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos <a ⃗ ,b ⃗ >； ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |时，cos <a ⃗ ,b ⃗ >=1； ∴<a ⃗ ,b ⃗ >=0； ∴a ⃗ //b ⃗ ；∴“a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |”是“a ⃗ //b ⃗ ”的充分条件； (2)a ⃗ //b ⃗ 时，a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为0或π； ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |，或−|a ⃗ ||b ⃗ |；即a ⃗ //b ⃗ 得不到a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |；∴“a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |”不是“a ⃗ //b ⃗ ”的必要条件；∴总上可得“a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |”是“a ⃗ //b ⃗ ”的充分不必要条件．故选：A ．19.【答案】C【解析】【分析】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，向量垂直的判断，属于中档题．根据题意，分别验证充分条件、必要条件即可．【解答】解：若“|a ⃗ −3b ⃗ |=|3a ⃗ +b ⃗ |”，则|a ⃗ |2+9|b ⃗ |2−6a ⃗ ·b ⃗ =9|a ⃗|2+|b ⃗ |2+6a ⃗ ·b ⃗ ，又∵a ⃗ ，b ⃗ 均为单位向量，即|a⃗ |=|b ⃗ |=1，∴a⃗·b⃗ =0，即a⃗⊥b⃗ ，∴“|a⃗−3b⃗ |=|3a⃗+b⃗ |”是“a⃗⊥b⃗ ”的充分条件；若a⃗⊥b⃗ ，则a⃗·b⃗ =0，a⃗，b⃗ 均为单位向量，即|a⃗|=|b⃗ |=1，∵|a⃗−3b⃗ |2=|a⃗|2+9|b⃗ |2−6a⃗·b⃗ =1+9×1−6×0=10，|3a⃗+b⃗ |2=9|a⃗|2+|b⃗ |2+6a⃗·b⃗ =9×1+1+6×0=10，∴|a⃗−3b⃗ |2=|3a⃗+b⃗ |2，则|a⃗−3b⃗ |=|3a⃗+b⃗ |，∴“|a⃗−3b⃗ |=|3a⃗+b⃗ |”是“a⃗⊥b⃗ ”的必要条件；综上，则“”是“a⃗⊥b⃗ ”的充要条件，故选C．20.【答案】10【解析】【分析】本题考查了向量的数量积公式，属于基础题．利用向量的模、夹角形式的数量积公式求出即可．【解答】解：∵a⃗=(−2,−6)，∴|a⃗|=√(−2)2+(−6)2=2√10，∴a⃗⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >．故答案为10．21.【答案】8【解析】【分析】本题考查了平面向量的数量积与垂直的关系，属基础题．a⃗⊥b⃗ 则a⃗⋅b⃗ =0，代入a⃗，b⃗ ，解方程即可．【解答】解：由向量a⃗=(−4,3)，b⃗ =(6,m)，且a⃗⊥b⃗ ，得a⃗⋅b⃗ =−24+3m=0，∴m=8．故答案为8．22.【答案】5【解析】解：向量a⃗=(1,−1)，b⃗ =(m+1,2m−4)，若a⃗⊥b⃗ ，则a⃗⋅b⃗ =m+1−(2m−4)=−m+5=0，则m=5，故答案为：5根据向量垂直的条件可得关于m的方程，解之可得结果．本题考查了向量的垂直的条件和向量数量积的运算，属于基础题．23.【答案】√22【解析】解：∵向量a⃗，b⃗ 为单位向量，且a⃗，b⃗ 的夹角为45°，∴a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗ |cos45°=1×1×√22=√22，又k a⃗−b⃗ 与a⃗垂直，∴(k a⃗−b⃗ )⋅a⃗=k|a⃗|2−a⃗⋅b⃗ =0，即k−√22=0，则k=√22．故答案为：√22．由已知求得a⃗⋅b⃗ ，再由k a⃗−b⃗ 与a⃗垂直，可得(k a⃗−b⃗ )⋅a⃗=0，展开即可求得k值．本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积的关系，是基础题．24.【答案】π3【解析】解：设向量a⃗，b⃗ 的夹角为θ，平面向量a⃗，b⃗ ，|a⃗|=1，|b⃗ |=2，a⃗⋅b⃗ =1，可得1×2×cosθ=1，可得cosθ=12，所以θ=π3．故答案为：π3．直接利用向量的数量积列出方程求解即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，是基本知识的考查．25.【答案】4【解析】【分析】本题主要考查了向量的数量积，属于基础的计算题，|a ⃗ +b ⃗ |2=(a ⃗ +b ⃗ )2=a ⃗ 2+b ⃗ 2+2a ⃗ ·b ⃗ =|a ⃗ |2+|b ⃗ |2+2|a ⃗ ||b ⃗ |cos120°即得9+|b ⃗|2−3|b ⃗ |=13，即可解得|b ⃗ |，【解答】解：因为|a ⃗ +b ⃗ |=√13，所以|a ⃗ +b ⃗ |2=(a ⃗ +b ⃗ )2=a ⃗ 2+b ⃗ 2+2a ⃗ ·b ⃗=|a ⃗ |2+|b ⃗ |2+2|a ⃗ ||b ⃗ |cos120°，所以9+|b ⃗ |2−3|b ⃗ |=13，解得|b ⃗ |=4，故答案为4．26.【答案】−3【解析】解：向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(1,−2)，若m a ⃗ +n b ⃗ =(9,−8) 可得{2m +n =9m −2n =−8，解得m =2，n =5，∴m −n =−3．故答案为：−3．直接利用向量的坐标运算，求解即可．本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．27.【答案】−1【解析】【分析】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力．利用向量的坐标运算，以及向量的垂直，列出方程求解即可．【解答】解：向量a⃗ =(1,0)，b ⃗ =(−1,m)． m a ⃗ −b ⃗ =(m +1,−m)． ∵a ⃗ ⊥(m a ⃗ −b ⃗ )，∴m+1=0，解得m=−1．故答案为−1．28.【答案】12【解析】【分析】本题考查实数值的解法，考查平面向量平行的条件及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．利用向量平行的条件直接求解即可．【解答】解：∵向量a⃗，b⃗ 不平行，向量λa⃗+b⃗ 与a⃗+2b⃗ 平行，∴λa⃗+b⃗ =t(a⃗+2b⃗ )=t a⃗+2t b⃗ ，∴{λ=t1=2t，解得实数λ=12．故答案为12．29.【答案】π6【解析】【分析】本题考查平面向量的夹角公式，属于基础题．根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案，【解答】解：∵向量a⃗=(1,√3)，b⃗ =(√3,1)，∴a⃗与b⃗ 夹角θ满足，cosθ=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |⋅|b⃗|=2√32×2=√32，又∵θ∈[0,π]，∴θ=π6，故答案为π6．30.【答案】√5【解析】解：设a⃗=(x,y)．∵向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=1，b⃗ =(2,1)，且λa⃗+b⃗ =0⃗(λ∈R)，∴λa ⃗ +b ⃗ =λ(x,y)+(2,1)=(λx +2,λy +1)， ∴{√x 2+y 2=1λx +2=0λy +1=0，化为λ2=5．解得|λ|=√5．故答案为：√5．设a ⃗ =(x,y).由于向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=1，b ⃗ =(2,1)，且λa ⃗ +b⃗ =0⃗ (λ∈R)，可得{√x 2+y 2=1λx +2=0λy +1=0，解出即可．本题考查了向量的坐标运算、向量的模的计算公式、零向量等基础知识与基本技能方法，属于基础题．31.【答案】−15【解析】【分析】本题考查线性规划中的最值问题，向量的投影，属于中档题．根据题意，可得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=15(3x −4y )，作出不等式组{x −y ≥0x +y −2≤0y ≥0对应的平面区域，数形结合，进行求解即可．【解答】解：∵P(x,y)，A(3,−4)，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=15(3x −4y )，设z =3x −4y ，得y =34x −z4，作出不等式组{x −y ≥0x +y −2≤0y ≥0对应的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线y =34x −z4，由图象可知，当直线y =34x −z4经过点B(1,1)时，直线y =34x −z4的截距最大，此时z 取得最小值，所以z min =3−4=−1，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上投影的最小值为−15．故答案为−15．32.【答案】2【解析】解：∵已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，故AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=4+0−0−12×4=2，故答案为2．根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果．本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，属于中档题．33.【答案】√2+√3【解析】【分析】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2)，由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB 为等边三角形，AB =1，11√222√2的几何意义为点A ，B 两点到直线x +y −1=0的距离d 1与d 2之和，由此可求最大值．【解答】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2)，由x 12+y 12=1，x 22+y 22=1，x 1x 2+y 1y 2=12，可得A ，B 两点在圆x 2+y 2=1上，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×1×cos∠AOB =x 1x 2+y 1y 2=12，即有∠AOB =60°，即三角形OAB 为等边三角形，AB =1，11√222√2的几何意义为点A ，B 两点到直线l:x +y −1=0的距离d 1与d 2之和，设AB 中点为M ，则距离d 1与d 2之和等于M 到直线l 的距离的两倍，圆心到线段AB中点M的距离d=√32，圆心到直线l的距离d′=√2=√22，∴M到直线l的距离的最大值为d+d′=√32+√22，即11√222√2的最大值为√2+√3，故答案为：√2+√3．34.【答案】0【解析】解：由题意知b⃗ ⋅(2a⃗+b⃗ )=2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=2×4×4cos120°+42=0．故答案为0．由向量数量积公式进行计算即可．本题考查向量数量积运算公式．35.【答案】2【解析】解：∵向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(4,2)，c⃗=m a⃗+b⃗ (m∈R)，∴c⃗=m(1,2)+(4,2)=(m+4,2m+2)．∴c⃗⋅a⃗=m+4+2(2m+2)=5m+8，c⃗⋅b⃗ =4(m+4)+2(2m+2)=8m+20．|a⃗|=√5，|b⃗ |=√42+22=2√5．∵c⃗与a⃗的夹角等于c⃗与b⃗ 的夹角，∴c⃗ ⋅a⃗|c⃗ | |a⃗ |=c⃗ ⋅b⃗|c⃗ | |b⃗|，∴√5=2√5，化为5m+8=4m+10，解得m=2．故答案为：2．利用向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式即可得出．本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式，属于基础题．36.【答案】解：(1)由a⃗⊥b⃗ 得，2x+3−x2=0，即(x−3)(x+1)=0，解得x=3或x=−1；(2)由a⃗//b⃗ ，则2x2+3x+x=0，即2x2+4x=0，得x=0或x=−2．当x=0时，a⃗=(1,0),b⃗ =(3,0)，∴a⃗−b⃗ =(−2,0)，此时|a ⃗ −b ⃗ |=2；当x =−2时，a ⃗ =(1,−2),b ⃗ =(−1,2)，则a ⃗ −b ⃗ =(2,−4)．故|a ⃗ −b⃗ |=√22+(−4)2=2√5．【解析】本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量共线，垂直的充要条件． (1)利用两个向量互相垂直，可以求出x 的值； (2)由两个向量的互相平行先求出x 的值，再求模长．37.【答案】解：(Ⅰ)依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，所求方程为：x 22−y 22=1(x >0)(Ⅱ)当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x =x 0，此时A(x 0,√x 02−2)，B(x 0,−√x 02−2)，OA ⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y =kx +b ，代入双曲线方程x 22−y 22=1中，得：(1−k 2)x 2−2kbx −b 2−2=0依题意可知方程1°有两个不相等的正数根，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则{ Δ=4k 2b 2−4(1−k 2)⋅(−b 2−2)>0x 1+x 2=2kb1−k 2>0x 1x 2=b 2+2k 2−1>0, 解得|k|>1又OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2 =x 1x 2+(kx 1+b)(kx 2+b) =(1+k 2)x 1x 2+kb(x 1+x 2)+b 2 =2k 2+2k 2−1=2+4k 2−1>2 综上可知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为2．【解析】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用． (Ⅰ)依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，由此能求出其方程．(Ⅱ)当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x =x 0，此时A(x 0,√x 02−2)，B(x 0,−√x 02−2)，OA ⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y =kx +b ，代入双曲线方程x 22−y 22=1中，得(1−k 2)x 2−2kbx −b 2−2=0.依题意可知方程有两个不相等的正数根，由此入手能求出OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值． 38.【答案】解：(Ⅰ)∵抛物线C ：y 2=2px 经过点P(1,2)，∴4=2p ，解得p =2，由题意，直线l 的斜率存在且不为0，设过点(0,1)的直线l 的方程为y =kx +1，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2) 联立方程组可得{y 2=4xy =kx +1，消y 可得k 2x 2+(2k −4)x +1=0， ∴Δ=(2k −4)2−4k 2>0，且k ≠0，解得k <1，且k ≠0，则x 1+x 2=−2k−4k 2，x 1x 2=1k 2，又∵PA 、PB 要与y 轴相交，∴直线l 不能经过点(1,−2)，即k ≠−3，故直线l 的斜率的取值范围是(−∞,−3)∪(−3,0)∪(0,1)； (Ⅱ)证明：设点M(0,y M )，N(0,y N )，则QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,y M −1)，QO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1)，因为QM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以y M −1=−λ，故λ=1−y M ，同理μ=1−y N ，直线PA 的方程为y −2=2−y11−x 1(x −1)=2−y 11−y 124(x −1)=42+y 1(x −1)，令x =0，得y M =2y 12+y 1，同理可得y N =2y22+y 2，第21页，共21页因为1λ+1μ=11−y M +11−y N =2+y 12−y 1+2+y 22−y 2=8−2y 1y 2(2−y 1)(2−y 2) =8−2(kx 1+1)(kx 2+1)1−k(x 1+x 2)+k 2x 1x 2=8−[k 2x 1x 2+k(x 1+x 2)+1]1−k(x 1+x 2)+k 2x 1x 2=8−2(1+4−2k k +1)1−4−2k k +1=4−2×4−2k k 2−4−2k k =2，∴1λ+1μ=2，∴1λ+1μ为定值．【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查计算能力，属于难题． (Ⅰ)根据题意，利用直线与抛物线的位置关系进行求解即可；(Ⅱ)求得λ=1−y M ，μ=1−y N ，带入韦达定理化简即可．。

专题07 2020版平面向量(解析版)

(1,
3)
，
结合向量数量积的定义式，
可知 AP AB 等于 AB 的模与 AP 在 AB 方向上的投影的乘积，
所以
AP
AB
的取值范围是
(2,
6)
，
故选：A．
【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.
3．【2020 年高考全国Ⅰ卷理数】设 a, b 为单位向量，且| a b | 1，则| a b | ______________.
2．【2020 年新高考全国Ⅰ卷】已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，则 AP AB 的取值范围是
A． (2, 6)
B． (6, 2)
C． (2, 4)
D． (4, 6)
【答案】A 【解析】如图，
1
AB 的模为 2，根据正六边形的特征，
可以得到
AP
在
AB
方向上的投影的取值范围是
a
b
0
且不反向共线，
a
b
2
3t
0
，得
t
2
.
3
向量
a
2,
t
，
b
1,
3
共线时，
2
3
t
，得
t
6
.此时
a
2b
.
所以 t 2 且 t 6 . 3
故选 C．
【点睛】
本题主要考查了利用数量积研究向量的夹角，当为钝角时，数量积为 0，容易忽视反向共线时，属于易
A．−8
B．−6
C．6
D．8
【答案】D
【解析】∵

高考理科数学试题分类汇编5：平面向量

高考理科数学试题分类汇编5：平面向量一、选择题1 ．（2013年高考上海卷（理））在边长为1的正六边形ABCDEF 中,记以A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a ;以D 为起点,其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d.若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++的最小值、最大值,其中{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆,则,m M 满足（）A ．0,0m M =>B ．0,0m M <>C ．0,0m M <=D ．0,0m M <<【答案】D ．2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（）A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，【答案】A [来源:12999数学网]3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））设0,P ABC ∆是边AB 上一定点,满足AB B P 410=,且对于边AB 上任一点P ,恒有C P B P 00∙≥∙.则（）A ．090=∠ABCB ．090=∠BAC C ．AC AB =D ．BC AC =【答案】D4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））在四边形ABCD中,(1,2)AC = ,(4,2)BD =-,则四边形的面积为（）A B ．C ．5D ．10【答案】C5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点,A B满足2,OA OB OA OB ===则点集{}|,1,,P O PO A O B R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））在平面上,12AB AB ⊥ ,121OB OB == ,12AP AB AB =+ .若12OP < ,则OA 的取值范围是（）A ．0,2⎛ ⎝⎦B ．,22⎛ ⎝⎦C ．2⎛ ⎝D ．2⎛ ⎝【答案】D7 ．（2013年高考湖南卷（理））已知,a b 是单位向量,0a b = .若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是（）A ．⎤⎦B ．⎤⎦C ．1⎡⎤⎣⎦D ．1⎡⎤⎣⎦【答案】A8 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+ ,若()()m n m n +⊥-,则=λ（）A ．4-B ．3-C ．2-D ．-1[来源:]【答案】B9 ．（2013年高考湖北卷（理））已知点()1,1A -.()1,2B .()2,1C --.()3,4D ,则向量AB 在CD方向上的投影为（）A B C ．D ．【答案】A [来源:12999数学网] 二、填空题10．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD =_______.【答案】211．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）已知向量(1 )a k =，,(9 6)b k =- ，.若//a b ,则实数 k = __________【答案】34-12．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知向量AB与AC的夹角为120°,且3AB = ,2AC = ,若AP AB AC λ=+ ,且AP BC ⊥,则实数λ的值为__________.【答案】71213．（2013年高考新课标1（理））已知两个单位向量a ,b 的夹角为60°,c =t a +(1-t)b ,若b ·c =0,则t =_____.【答案】t =2.14．（2013年高考北京卷（理））向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示.若c =λa +μb (λ,μ∈R),则λμ=_________.【答案】4 [来源:]15．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））设21,e e 为单位向量,非零向量R y x e y e x ∈+=,,21,若21,e e 的夹角为6π,的最大值等于________. 【答案】216．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点,AB AD 21=,BC BE 32=,若AC AB DE 21λλ+= (21λλ，为实数),则21λλ+的值为__________.【答案】1217．（2013年高考四川卷（理））在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,AB AD AO λ+=,则λ=_________.【答案】218．（2013年高考江西卷（理））设1e ,2e 为单位向量.且1e ,2e 的夹角为3π,若123a e e =+,12b e =,则向量a 在b 方向上的射影为 ___________【答案】5219．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））在平行四边形ABCD 中, AD = 1,60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =, 则AB 的长为______.【答案】12。

2020高考数学(理)(全国通用)大一轮复习2020高考试题汇编第五章平面向量 Word版含解析.doc

第五章平面向量第一节平面向量的线性运算及其坐标表示题型59 向量的概念及共线向量题型60 平面向量的线性表示——暂无题型61 向量共线的应用1.（2017全国3理12）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（）. A ．3B．D ．2解析解法一：由题意，作出图像，如图所示．设BD 与C 切于点E ，联结CE ．以点A 为坐标原点，AD 为x 轴正半轴，AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系，则点C 坐标为(2,1)．因为||1CD =，||2BC =．所以BD =BD 切C 于点E ．所以CE⊥BD ．所以CE 是Rt BCD △斜边BD上的高．1222BCDBC CDS EC BD BD ⋅⋅⋅==△，即C．因为点P 在C 上．所以点P 的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=．设点P 的坐标为00(,)x y ，可以设出点P坐标满足的参数方程0021x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，而00(,)AP x y =，(0,1)AB =，(2,0)AD =．因为(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=，所以0112x μθ==，01y λθ==．两式相加得()112λμθθθϕ+=++=++= 2sin()3θϕ++≤ (其中sin ϕcos ϕ)，当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值为3．故选A.解法二：如图所示，考虑向量线性分解的等系数和线，可得λμ+的最大值为3. 2.(2017浙江理15)已知向量a ，b 满足1=a ，2=b ，则++-a b a b 的最小值是，最大值是 .解析解法一：如图所示，a +b 和-a b 是以,a b 为邻边的平行四边形的两条对角线，则()2222210++-=+=a b a b a b，A 是以O 为圆心的单位圆上的一动点，构造2个全等的平行四边形AOBD ，平行四边形ECOA ．所以AB AC +-=+a +b a b ．易知当A ，B ，C 三点共线时，AB AC +最小，此时4AB AC BC +==；当AO BC ⊥时，AB AC+最大，此时2AB AC AB +==解法二:()2222++-=++-++-=a b a b a b a b a b a b ()222++a b1010+=+θ是向量a ，b 的夹角).所以当2cos 1θ=时，++-a b a b 取得最小值4；当2cos 0θ=时，++-a b a b 取得最大值a题型62 平面向量基本定理及应用1.（2017江苏12）如图所示，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，OA 与OC 的夹角为α，且t a n 7α=，OB 与OC 的夹角为45︒．若O C m O An O =+(),mn ∈R ，则m n += ．B解析解法一：由题意OC OA mOA OA nOB OA OC OB mOA OB nOB OB⎧⋅=⋅+⋅⎪⎨⋅=⋅+⋅⎪⎩ （*）而由tan 7α=，得sin α=，cos α=，11cos 4OA OB απ⎛⎫⋅=⨯⨯+ ⎪⎝⎭3cos cos sin sin 445ααππ=⋅-⋅=-．将（*）式化简为13 5531 5m n m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩①②式①加式②，得3m n +=．故填3．解法二（坐标法）：如图所示，以OA 所在的直线为x 轴，过O 且垂直于OA 的直线为y 轴建立平面直角坐标系，由题意结合解法一可得()1,0A ，17,55C ⎛⎫⎪⎝⎭，34,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由OC mOA nOB =+，得()1734,1,0,5555m n ⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即13557455m n n⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得5474m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故3m n +=．故填3．解法三（解三角形）：由tan 7α=，可得sin 10α=，cos 10α=，如图所示，根据向量的分解，易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2100210n m n m +=⎪-=⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，解得57,44m n ==，所以3m n +=．题型63 平面向量的坐标运算1.（2017江苏13）在平面直角坐标系xOy 中，点()12,0A -，()0,6B ，点P 在圆22:50O x y +=上．若20PA PB ⋅…，则点P 的横坐标的取值范围是．解析不妨设()00,P x y ，则220050x y +=，且易知0x ⎡∈-⎣．因为PA PB AP BP =⋅⋅()()000012,,6x y x y =+⋅-=220000126x x y y ++-005012620x y =+-…，故00250x y -+…．所以点()00,P x y 在圆22:50O x y +=上，且在直线250x y -+=的左上方（含直线）.联立2250250x y x y ⎧+=⎨-+=⎩，得15x =-，21x =，如图所示，结合图形知0x ⎡⎤∈-⎣⎦．故填⎡⎤-⎣⎦．2评注也可以理解为点P 在圆22000012620x y x y +=+-的内部来解决，与解析中的方法一致．题型64 向量共线（平行）的坐标表示——暂无第二节平面向量的数量积题型65 平面向量的数量积1.（2017天津理13）在ABC △中，60A =∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =，()AE AC AB λλ∈=-R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________.解析解法一：如图所示，以向量AB ，AC 为平面向量的基底，则依题意可得1cos603232AB AC AB AC ⋅==⨯⨯=.又因为2BD DC =，则()22213333AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+，则22212114533333AD AE AC AB AC AB λλλ⎛⎫-=⋅=-+-⋅=- ⎪⎝⎭，解得311λ=.DCBA解法二：以点A 为坐标原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系(如图所示).依题意易得()0,0A ，()3,0B，(C ，()=3,0AB，(BC =-，(=1,3AC .则可得2533AD AB BD AB BC ⎛=+=+= ⎝⎭，()AE AC AB λλ=-=-，于是有()511432533AD AE λλλ-=⋅=-+=-，解得311λ=.2.(2017北京理6)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的（）. A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析若0λ∃<，使λ=m n ，即两向量方向相反，夹角为180，则0⋅<m n .若0⋅<m n ，也可能夹角为(90,180⎤⎦，方向并不一定相反，故不一定存在.故选A.3.（2017全国1理13）13.已知向量a ，b 的夹角为60，2=a ，1=b ，则2+=a b . 解析 ()22222(2)22cos602+=+=+⋅⋅⋅+a b a b a a b b221222222=+⨯⨯⨯+=444++=12，所以2+==a b 4.（2017全国2理12）已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）.A.2-B.32-C. 43- D.1-解析解法一（几何法）：如图所示，取BC 的中点D ，联结AD ，取AD 的中点E ，由2PB PC PD +=，则()()()22PA PB PC PD PA PE ED PE EA ⋅+=⋅=+⋅+=()222PE ED-=2221132422PE AD AD ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭…，当且仅当20PE =，即点P 与点E 重合时，取得最小值为32-，故选B.解法二（解析法）：建立如图所示的直角坐标系，以的BC 的中点为坐标原点，所以(0A ，()10B -，，()10C ，．设点()P x y ，，()PA x y=-，()1PB x y =---，，()1PC x y =--，，所以()2222PA PB PC x y ⋅+=-+22324x y ⎡⎤⎛⎢⎥=+-- ⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则其最小值为33242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，此时0x =，y =．故选B.5.（2017全国3理12）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（）. A ．3B．D ．2解析解法一：由题意，作出图像，如图所示．设BD 与C 切于点E ，联结CE ．以点A 为坐标原点，AD 为x 轴正半轴，AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系，则点C 坐标为(2,1)．因为||1CD =，||2BC =．所以BD =BD 切C 于点E ．所以CE⊥BD ．所以CE 是Rt BCD △斜边BD上的高．1222BCDBC CDS EC BD BD ⋅⋅⋅==△，即C．因为点P 在C 上．所以点P 的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=．设点P 的坐标为00(,)x y ，可以设出点P坐标满足的参数方程0021x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，而00(,)AP x y =，(0,1)AB =，(2,0)AD =．因为(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=，所以0112x μθ==，01y λθ==．两式相加得()112λμθθθϕ+=++=++=2sin()3θϕ++≤ (其中sin ϕcos ϕ)，当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值为3．故选A.解法二：如图所示，考虑向量线性分解的等系数和线，可得λμ+的最大值为3.λ+μ=2λ+μ=3DCBA6.（2017山东理12）已知12,e e 是互相垂直的单位向量，12-e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是. 解析)()221212112122λλλ-⋅+=+⋅-⋅-=e e e e e e e e ，122-===e，12λ+===e e2cos601λ==+，解得3λ=．7.(2017浙江理10)如图所示，已知平面四边形ABCD，AB BC⊥，2AB BC AD===，3CD=，AC与BD交于点O，记1·I O A O B=，2·I OB OC=，3·IOC OD=，则（）.A．123I I I<<B．132I I I<<C．312I I I<<D．213I I I<<解析如图所示，动态研究问题:D D¢®，O O¢®．此时有90AOB?o，90BOC?o，90COD?o，且CO AO>，DO BO>．故OB OC OA OB OC OD???uu u r uuu r uu r uu u r uuu r uuu r.8.(2017浙江理15)已知向量a，b满足1=a，2=b，则++-a b a b的最小值是，最大值是.解析解法一：如图所示，a+b和-a b是以,a b为邻边的平行四边形的两条对角线，则()2222210++-=+=a b a b a b，A是以O为圆心的单位圆上的一动点，构造2个全等的平行四边形AOBD，平行四边形ECOA．所以AB AC+-=+a+b a b．易知当A，B，C三点共线时，AB AC+最小，此时4AB AC BC+==；当AO BC⊥时，AB AC+最大，此时2AB AC AB+==Aa解法二:()2222++-=++-++-=a b a b a b a b a b a b ()222++a b1010+=+θ是向量a ，b 的夹角).所以当2cos 1θ=时，++-a b a b 取得最小值4；当2cos 0θ=时，++-a b a b 取得最大值题型66 向量与三角形的四心——暂无。

2020高考数学平面向量(一)pdf

平面向量（一）（二）平面向量的实际背景及基本概念平面向量的线性运算平面向量（一）平面向量的实际背景及基本概念一、基本概念1.向量：数学中，把既有大小，又有方向的量叫做向量（物理学中称矢量），而只有大小，没有方向的量叫做数量（物理学中成标量）.2.几何表达：（1）带有方向的线段叫做有向线段，向量可以用有向线段表示.（2）如图，以A 为起点，B 为终点的有向线段记作AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，起点写在终点的前面.（3）向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的大小，也就是向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度（或称模），记作|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |.长度为0的向量叫做零向量，记作0.长度等于1个单位的向量，叫做单位向量.（4）向量也可以用字母a ,b ,c ,…表示.（印刷用黑体a ，书写时，写成a ）3.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.（如记作a ∥b ）。

我们规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a ，都有0∥a .4.长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 平面向量（二）平面向量的线性运算一、向量加法的三角形法则1.已知向量AB 、BC ，再作向量AC ，则向量AC 叫做AB 、BC 的和，记作AB+BC ，即有：AB +BC =AC 。

2.用坐标表示时，显然有：AB +BC =(x 2-x 1,y 2-y 1)+(x 3-x 2,y 3-y 2)=(x 2-x 1+x 3-x 2,y 2-y 1+y 3-y 2)=(x 3-x 1,y 3-y 1)=AC 。

这就是说，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。

3.三角形法则：AB +BC =AC ，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则，简记为：首尾相连、连接首尾、指向终点。

4.四边形法则：已知两个从同一点A 出发的两个向量AC 、AB ，以AC 、A B 为邻边作平行四边形ACDB ，则以A 为起点的对角线AD 就是向量AC 、AB 的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则，简记为：共起点对角连。

专题05 平面向量(原卷)2020年高考物理十年真题精解(全国Ⅰ卷)

三观一统2020年高考数学十年高考真题精解（全国卷I）专题5 平面向量十年树木，百年树人，十年磨一剑。

本专辑按照最新2020年考纲，对近十年高考真题精挑细选，去伪存真，挑选符合最新考纲要求的真题，按照考点/考向同类归纳，难度分层精析，对全国卷Ⅰ具有重要的应试性和导向性。

三观指的观三题（观母题、观平行题、观扇形题），一统指的是统一考点/考向，并对十年真题进行标灰（调整不考或低频考点标灰色）。

（一）2020考纲（二）本节考向题型研究汇总一、考向题型研究一：平面向量的基本定理及其坐标表示（2017新课标I 卷T13文科）已知向量=（﹣1，2），=（m ，1），若向量+与垂直，则m= ．（2016新课标I 卷T13文科）设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x = .（2011新课标I 卷T13文科）已知a 与b 为两个垂直的单位向量，k 为实数，若向量+与向量k ﹣垂直，则k= ．一、平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使1122λλ+=a e e .其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.二、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a =x i ＋y j ，这样，平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定，我们把（x ，y ）叫做向量a 的坐标，记作a =（x ，y ），其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标. 三、平面向量的坐标运算 1．向量坐标的求法（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB u u u r =（x 2－x 1，y 2－y 1）.2．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ＋b =（x 2+x 1，y 2+y 1），a －b =（x 1－x 2，y 1－y 2），λa =（λx 1，λy 1），|a ，|a ＋b3．平面向量共线的坐标表示设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1=0. 4．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA u u u r =a ，OB uuu r=b ，则∠AOB =θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a 与b 的夹角.如果向量a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b . *平面向量的坐标运算1．向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．2．解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用.牢记：向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的． *向量共线（平行）的坐标表示1．利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．2．利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，则∥a b 的充要条件是1221x y x y =”解题比较方便．3．三点共线问题．A ，B ，C 三点共线等价于AB u u u r 与AC u u ur 共线．4．利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变二、考向题型研究二：平面向量的数量积(2019新课标I 卷T7理科)．已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a–b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3 D ．5π6（2016新课标I 卷T13理科）设向量a =(m ,1)，b =(1,2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m = ．（2017新课标I 卷T13理科）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=（2012新课标I 卷T15文科）已知向量a ，b 夹角为045，且|a |=1，|2-a b |b |= .(2013新课标Ⅰ卷T13理科)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝__________.一、平面向量的数量积 1．平面向量数量积的概念（1）数量积的概念已知两个非零向量,a b ，我们把数量||||cos θa b 叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作⋅a b ,即⋅=a b ||||cos θa b ，其中θ是a 与b 的夹角.【注】零向量与任一向量的数量积为0. （2）投影的概念设非零向量a 与b 的夹角是θ，则||cos θa (||cos θb )叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影. 如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量a 与b 的夹角为锐角、钝角、直角时向量a 在b 方向上的投影的情形，其中1OB =||cos θa ，它的意义是，向量a 在向量b 方向上的投影长是向量1OB u u u r的长度.（3）数量积的几何意义由向量投影的定义，我们可以得到⋅a b 的几何意义：数量积⋅a b 等于a 的长度||a 与b 在a 方向上的投影||cos θb 的乘积.2．平面向量数量积的运算律已知向量,,a b c 和实数λ,则 ①交换律：⋅=⋅a b b a ；②数乘结合律：()()λλ⋅=⋅a b a b =()λ⋅a b ；③分配律：()+⋅⋅+⋅a b c =a c b c .二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质设非零向量1122(,),(,)x y x y ==a b ，θ是a 与b 的夹角. （1）数量积：⋅=a b 1212||||cos x x y y θ=+a b .（2）模：2211||x y =⋅=+a a a（3）夹角：cos ||||θ⋅==a ba b 121212122222x y x y +⋅+ .（4）垂直与平行：0⊥⇔⋅=⇔a b a b 12120x x y y +=；a ∥b ⇔a ·b =±|a ||b |.【注】当a 与b 同向时,||||⋅=a b a b ；当a 与b 反向时,⋅=a b ||||-a b .（5）性质：|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔121212222212||x x y y x y x y +≤++.三、平面向量的应用1．向量在平面几何中常见的应用已知1122(,),(,)x y x y ==a b .（1）证明线段平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件：λ⇔=⇔∥a b a b 1221x y x y -0()=≠0b（2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件：0⊥⇔⋅=⇔a b a b 1212x x y y +0=（其中,a b 为非零向量）（3）求夹角问题，若向量a 与b 的夹角为θ，利用夹角公式：cos θ=||||⋅a ba b=,a b 为非零向量）（4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：||=a或||||AB AB ==u u ur,A B 两点的坐标分别为3344(,),(,)x y x y ）（5）对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题. *平面向量数量积的类型及求法：(1)平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式⋅=a b ||||cos θa b ；二是坐标公式⋅=a b 1212x x y y +.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. 平面向量数量积主要有两个应用：(1)求夹角的大小：若a ，b 为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cos θ=||||⋅a ba b (夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．(2)确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.（3）当题中出现一个向量式子的模长时，例如b a 2+，可以先对整个式子进行平方，向量的平方就相当于模长的平方，带入数量积公式，即可求解 *平面向量的模及其应用的类型与解题策略：(1)求向量的模．解决此类问题应注意模的计算公式||==a ，或坐标公式||=a 的应用，另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解． (2)求模的最值或取值范围．解决此类问题通常有以下两种方法：①几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；②代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围． (3)由向量的模求夹角．对于此类问题的求解，其实质是求向量模方法的逆运用.三、考向题型研究三：平面向量的几何表示（2015新课标I 卷T2文科）已知点(0,1)A ，(3,2)B ，向量(4,3)AC =--u u u r ，则向量(BC =u u u r)A ．(7,4)--B ．(7,4)C ．(1,4)-D ．(1,4)（2015新课标I 卷T7理科）设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =u u u r u u u r，则（）（A ）1433AD AB AC =-+u u u r u u ur u u u r （B ）1433AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r（C ）4133AD AB AC =+u u u u u r u u u r u u u r （D ）4133AD AB AC =-u u u u u u u ru u u r u u u r(2014新课标Ⅰ卷T15理科)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若=（+），则与的夹角为．平面向量线性运算问题的求解策略：(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： ①观察各向量的位置； ②寻找相应的三角形或多边形； ③运用法则找关系； ④化简结果.（4）平面向量进行运算时，如果是正三角形，直角梯形，圆，正方形，长方形，间距相等的表格等时，应该建立直角坐标方程系，把每个点的坐标表示出来，带入进行计算，如果这些图形的长度未知时，可以设立参数表示，表达出相关关系式子，可以求解四、考向题型研究四：平面向量的综合应用（2018新课标I卷T6理科）在△ABC中，AD为BC边上的中线，为AD的中点，则EB⃑⃑⃑⃑⃑ =A. 34AB⃑⃑⃑⃑⃑ −14AC⃑⃑⃑⃑⃑ B. 14AB⃑⃑⃑⃑⃑ −34AC⃑⃑⃑⃑⃑C. 34AB⃑⃑⃑⃑⃑ +14AC⃑⃑⃑⃑⃑ D. 14AB⃑⃑⃑⃑⃑ +34AC⃑⃑⃑⃑⃑（2011新课标I卷T10理科）已知与均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题P1：|+|＞1⇔θ∈[0，）；P2：|+|＞1⇔θ∈（，π]；P3：|﹣|＞1⇔θ∈[0，）；P4：|﹣|＞1⇔θ∈（，π]；其中的真命题是（）A．P1，P4B．P1，P3C．P2，P3D．P2，P41．向量与平面几何综合问题的解法与步骤：(1)向量与平面几何综合问题的解法①坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．②基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．【注】用坐标法解题时，建立适当的坐标系是解题的关键，用基向量解题时要选择适当的基底．(2)用向量解决平面几何问题的步骤①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系.2．利用向量求解三角函数问题的一般思路：(1)求三角函数值，一般利用已知条件将向量关系转化为三角函数关系式．利用同角三角函数关系式及三角函数中常用公式求解．(2)求角时通常由向量转化为三角函数问题，先求值再求角．(3)解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想，即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题．(4)解三角形．利用向量的坐标运算，把向量垂直或共线转化为相应的方程，在三角形中利用内角和定理或正、余弦定理解决问题.3．用向量法解决物理问题的步骤如下：(1)抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题；(2)建立以向量为主体的数学模型；(3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；(4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题.4．常见的向量表示形式： (1)重心．若点G 是ABC △的重心，则GA GB GC ++=0u u u r u u u r u u u r 或1()3PG PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r (其中P 为平面内任意一点)．反之，若GA GB GC ++=0u u u r u u u r u u u r ，则点G 是ABC △的重心．(2)垂心．若H 是ABC △的垂心，则HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .反之，若HA HB HB HC ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u rHC HA ⋅u u u r u u u r ，则点H 是ABC △的垂心．(3)内心．若点I 是ABC △的内心，则||||||BC IA CA IB AB IC ⋅+⋅+⋅=0u u u r u u r u u u r u u r u u u r u u r .反之，若||||BC IA CA ⋅+⋅u u u r u u r u u u r||IB AB IC +⋅=0u u r u u u r u u r ，则点I 是ABC △的内心．(4)外心．若点O 是ABC △的外心，则()()()0OA OB BA OB OC CB OC OA AC +⋅=+⋅=+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 或||||||OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r .反之，若||||||OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r ，则点O 是ABC △的外心.。

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2020年全国高考理科数学试题分类汇编5：平面向量
一、选择题
1 ．（2020年高考上海卷（理））在边长为1的正六边形ABCDEF 中,记以
A
为起点,其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a u r u u r u u r u u r u u r
;以
D 为起点,其
余顶点为终点的向量分别为
12345
,,,,d d d d d u u r u u r u u r u u r u u r .若
,m M
分别为
()()
i j k r s t a a a d d d ++⋅++u r u u r u u r u u r u u r u u r 的最小值、最大值,其中
{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆,则,m M
满足
（）
A ．0,0m M =>
B ．0,0m M <>
C ．0,0m M <=
D ．0,0m M <<
【答案】
D ．
2 ．（2020年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已
知点()()1,3,4,1,A B AB -u u u r
则与向量同方向的单位向量为
（）
A ．345
5⎛⎫ ⎪⎝⎭
，- B ．435
5⎛⎫ ⎪⎝⎭
，- C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
D ．4355⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，【答案】A
3 ．（2020年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））
设0,P ABC ∆是边AB 上一定点,满足AB B P 4
10=,且对于边AB 上任一点P ,
恒有C
P B
P PC PB 00•≥•.则（）
A ．090=∠ABC
B ．090=∠BA
C C ．AC AB =
D ．BC AC =
【答案】D
4 ．（2020年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））
在四边形ABCD
中,(1,2)AC =u u u r ,(4,2)BD =-u u u r
,则四边形的面积为
（）
【答案】C
5 ．（2020年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））
在平面直角坐标系中,
O
是坐标原点,两定点
,A B
满足
2,OA OB OA OB ===u u u r u u u r u u u r u u u r g 则点集{}|,1,,P OP OA OB R
λμλμλμ=++≤∈u u u r u u u r u u u r
所表示的
区域的面积是（）
A ．2
2
B ．23
C ．42
D ．43
【答案】D
6 ．（2020年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））在平
面上,12AB AB ⊥u u u r u u u u r ,121OB OB ==u u u r u u u u r ,12AP AB AB =+u u u r u u u r u u u u r
.若12
OP <u u u r ,则OA
u u u r 的取值范围
是
（）
A ．50,2⎛⎤
⎥ ⎝⎦
B ．57,22⎛⎤
⎥ ⎝⎦
C ．5,22⎛⎤
⎥ ⎝⎦
D ．7,22⎛⎤
⎥ ⎝⎦
【答案】D
7 ．（2020年高考湖南卷（理））已知,a b 是单位向量,0a b =g .若向量c 满足
1,c a b c --=则的取值范围是
（）
A ．2-1,2+1⎡⎤⎣
⎦，
B ．2-1,2+2⎡⎤⎣
⎦，
C ．1,2+1⎡⎤⎣⎦，
D ．1,2+2⎡⎤⎣⎦，
【答案】A
8 ．（2020年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已
校对））已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+u r r
,若()()m n m n
+⊥-u r r u r r ,则=λ （
）
【答案】B
9 ．（2020年高考湖北卷（理））已知点()1,1A -.()1,2B .()2,1C --.()3,4D ,则向量AB
u u u r
在CD u u u r
方向上的投影为
（）
A ．3
22
B ．3
15
2
C ．3
22
-
D ．3
152
- 【答案】A [ 二、填空题[
10．（2020年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含
答案））已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则
AE BD =u u u r u u u r
g _______.
【答案】2
11．（2020年上海市春季高考数学试卷(含答案)）已知向量(1 )a k =r
，,(9 6)b k =-r ，
.若//a b r
r ,则实数 k =
__________
【答案】3
4
-
12．（2020年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知
向量
AB
u u u r 与
AC
u u u r 的夹角为120°,且
3
AB =u u u r ,
2
AC =u u u r ,若
AP AB AC
λ=+u u u r u u u r u u u r ,且
AP BC ⊥u u u r u u u r ,
则实数λ的值为__________.
【答案】
712
13．（2020年高考新课标1（理））已知两个单位向量a,b 的夹角为
60°,c=ta+(1-t)b,若b ·c=0,则t=_____.[
【答案】t =2.
14．（2020年高考北京卷（理））向量a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示.
若c=λa+μb (λ,μ∈R),则λμ
=_________.
【答案】4
15．（2020年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））
设21,e e 为单位向量,非零向量R y x e y e x b ∈+=,,21,若21,e e 的夹角为6
π,则
|
|||b x 的最大值等于________.
【答案】2
16．（2020年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯
WORD 版含附加题））设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的
点,AB AD 2
1=,BC BE 3
2=,若AC AB DE 21λλ+= (21λλ，为实数),则21λλ+的值
为__________.
【答案】12
17．（2020年高考四川卷（理））在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于
点O ,AB AD AO λ+=u u u r u u u r u u u r
,则λ=_________.
【答案】2
18．（2020年高考江西卷（理））设1e ,2e 为单位向量.且1e ,2e 的夹角为
3
π
,若
b
c
a
123a e e =+,12b e =,则向量a 在b 方向上的射影为 ___________
【答案】5
2
19．（2020年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））在平
行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E
为CD 的中点. 若·1AD BE =u u u r u u u r
,
则AB 的长为______.
【答案】12。