2020年浙江高三数学总复习：数学归纳法 复习讲义

第六节 数学归纳法

数学归纳法

一般地,证明一个与正整数n 有关的命题,可按下列步骤进行:

(1)归纳奠基:证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立; (2)归纳递推:假设n=k(k ≥n 0,k ∈N *)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.

只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.

概念理解

数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想,第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,两个步骤缺一不可,否则就会导致错误. (1)第一步中,验算n=n 0中的n 0不一定为1,而应该是使命题成立的第一个正 整数.

(2)第二步中,证明n=k+1时命题成立的过程中,一定要用到归纳假设,掌握“一凑假设,二凑结论”的技巧.

1.若f(n)=1+12

+13

+…+161n - (n ∈N *),则f(1)为( C )

(A)1 (B)15

(C)1+12

+13

+14

+15

(D)非以上答案

2.数列{a n }满足a n =,21,

,2,

k

n n k a n k =-⎧⎨

=⎩

其中k ∈N *,设f(n)=a 1+a 2+…+21n a -+2n

a ,则f(2 013)-f(2 012)等于( C ) (A)22 019 (B)22 020 (C)42 019 (D)42 020

解析:由题意可知该数列依次为1,1,3,1,5,3,7,1,9,5,…,可以计算出f(1)=2,

f(2)-f(1)=4=41,f(3)-f(2)=16=42,f(4)-f(3)=64=43,…,推理可以得出f(2 020)

-f(2 019)=42 019.故选C.

3.用数学归纳法证明关于n 的恒等式,当n=k 时,表达式为1×4+2×7+…+k(3k+1)=k(k+1)2,则当n=k+1时,表达式为 .

答案:1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2

考点一 用数学归纳法证明等式 【例1】 用数学归纳法证明:

124

⨯+146⨯+168

⨯+…+()1

222n n +=()

41n

n + (n ∈N *).

证明:(1)当n=1时,左边=()

1

21212⨯⨯⨯+=18

, 右边=

()

1411⨯+=18

. 左边=右边,所以等式成立.

(2)假设n=k(k ∈N *且k ≥1)时等式成立,即有

1

24

⨯+146⨯+168

⨯+…+()1

222k k +=()

41k

k +,

则当n=k+1时,

124

⨯+146⨯+168

⨯+…+()1222k k ++()()1

21212k k +⎡++⎤⎣⎦

=()

41k

k ++

()()

412k

k k ++

=

()()()

21412k k k k ++++

=()()()2

2412k k k +++ =()

142k k ++

=

()

1

411k k +++.

所以当n=k+1时,等式也成立,

由(1)(2)可知,对于一切n ∈N *,等式都成立.

用数学归纳法证明恒等式应注意

(1)明确初始值n 0的取值并验证n=n 0时等式成立.

(2)由n=k 证明n=k+1时,弄清左边增加的项,且明确变形目标. (3)掌握恒等变形常用的方法:①因式分解;②添拆项;③配方法.

用数学归纳法证明:n ∈N *时,113⨯+1

35

⨯+…+()()

1

2121n n -+=21n n +.

证明:①当n=1时,左边=113⨯=13

, 右边=1211⨯+=13

,

左边=右边,所以等式成立.

②假设n=k(k ≥1)时等式成立,即有113⨯+1

35

⨯+…+()()

2121k

k k -+=21k k +,则

当n=k+1时,

113

⨯+135

⨯+…+()()

1

2121k k -++

()()

1

2123k k ++=21k k ++

()()

1

2123k k ++

=()()()

2312123k k k k ++++

=()()

22312123k k k k ++++

=123

k k ++ =

()1

211

k k +++,

所以当n=k+1时,等式也成立. 由①,②可知,对一切n ∈N *等式都成立. 考点二 用数学归纳法证明不等式

【例2】 设f n (x)是等比数列1,x,x 2,…,x n 的各项和,其中x>0,n ∈N,n ≥2.

设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为g n (x),比较f n (x)和g n (x)的大小,并加以证明. 解:由题设,f n (x)=1+x+x 2+…+x n , g n (x)=

()()

112

n n x ++,x>0.

当x=1时,f n (x)=g n (x).

当x ≠1时,用数学归纳法可以证明f n (x)

①当n=2时,f 2(x)-g 2(x)=-12

(1-x)2<0, 所以f 2(x)

②假设n=k(k ≥2,k ∈N *)时,不等式成立,